2020年高考模拟卷文科数学03
2020年高三第三次模拟考试卷文科数学(三)(含答案)
c 2 ，则角 C （ ）
A． 5π 6
B． π 6
C． π 4
D． π 3
uur uuur 10 ． 在 △ ABC 中 ， A, B 分 别 是 双 曲 线 E 的 左 、 右 焦 点 ， 点 C 在 E 上 ． 若 BA BC 0 ，
uur uuur uuur
( BA BC) AC 0 ，则双曲线 E 的离心率为（
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
）
A． 36
B． 18
C． 6 2
D． 5 2
8．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知
甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（
）
2
A．
9
1
B．
5
3
C．
10
1
D．
3
9． △ ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 sin B sin A(sin C cosC) 0 ， a 2 ，
增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间
x 与乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下
数据：
间隔时间 x （分钟）
10
11
12
13
14
15
等候人数 y （人）
23
2020年高考全真模拟卷文科数学03(含解析)
2020年高考全真模拟卷（3）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2560A x x x =-+≥，{}10B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]3,1--D ．[)3,+∞2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．23．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ） A ．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍 C ．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元 D ．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．5．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115 B ．13 C ．25 D ．357．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ） A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤9．函数ln||()xf x xx=+的图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④B ．②③C ．①③D ．②（④11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+ 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(,3),(1,3)a m b =-=．若//a b ，则m = ．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N +=∈，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是 ．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 16．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++L 的值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ．（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积．19．（本小题满分12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4． （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----． （1）讨论()f x 的单调性．（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2560A x x x =-+≥，{}10B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]3,1--D ．[)3,+∞【答案】A【解析】{}(][)2560,23,A x x x =-+≥=-∞⋃+∞Q ，{}(]10,1B x x =-≤=-∞，因此(],1A B =-∞I ，故选A ．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++，所以z 的虚部为3-，故选B ． 3．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ）A ．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C ．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D ．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍 【答案】D【解析】A ：观察统计图可知，20l5年-2018年中国居民人均可支配收入随着年份的增加而增加，选项A 正确；B ：2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.0549.7568÷≈倍，所以选项B 正确；C ：2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为1(21966.1923820.9825973.7928228.05)24997.254+++≈（元），所以选项C 正确； D ：2015年中国居民人均可支配收入是1949年的21966.1949.7442÷≈倍，所以选项D 错误，故选D ． 4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．【答案】D【解析】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误；对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确．故选D ．5．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】211533311220,log 03355a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c a b <<，故选A ．6．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115 B ．13 C ．25 D ．35【答案】D【解析】甴列举法可得：从6罐中随机抽取2罐的方法数是15，能中奖的方法数是9，则能中奖的概率为概率为93155p ==，故选D ． 7．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】设双曲线的方程为：22221x y a b -=，其渐近线方程为：b y x a =±，依题意可知2252a b ⎧+=⎪=，解得12a b ==，，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，故选D ．8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤【答案】B【解析】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”．故选B ． 9．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知，函数ln ||()x f x x x =+，满足ln ||ln ||()()()x x f x x x f x x x--=-+=-+=--，所以函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，所以B 选项错误；又因为(1)10f =>，所以C 选项错误；又因为ln 2(2)202f =+>，所以D 选项错误，故选A ． 10．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②（④【答案】C【解析】由题意将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度， 得55()sin 2sin 2126f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令23x k ππ+=，k ∈Z ，得到,26k x k ππ=-∈Z ，所以对称轴为直线,26k x k ππ=-∈Z ； 令232x k πππ+=+，k ∈Z ，得到212k x ππ=+，k ∈Z ，所以对称中心为点,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ； 由2223k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，得63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 在,()63k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减；由22223k k x πππππ≤≤+++，k ∈Z ，得236k x k ππ-+π≤≤-+π，k ∈Z ，所以函数()f x 在2,()36k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，所以①③正确，故选C ．11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+ 【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+，故选A ．12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞【答案】A【解析】要求解的不等式等价于()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，()()()()''10xx f x xf x g x e-+=>，所以()g x 在R 上为增函数，又因为(1)y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，所以()11g =，所以所求不等式等价于()()1g x g >，所以解集为()1,+∞，故选A ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(,3),(1,3)a m b =-=．若//a b ，则m = ． 【答案】1-【解析】由331m ⨯=-⨯，得1m =-，故答案为：1-．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N +=∈，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是 ． 【答案】11,60,61【解析】观察、先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足()222*,,a b ca b c N +=∈；②最小的数a 是奇数，并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如22222345,51213,72425,94041,116061=+=+=+=+=+⋅⋅⋅，由以上特点我们可知第⑤组勾股数：2116061=+，故答案为：11,60,61．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．16．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[6,2]-【解析】11'221()()ln 2f x x a f x x x x --=+⇒=+．由题可得函数()f x 在1x =处的切线斜率(1)1k f '==．又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-．将圆22:2440C x y x y +-+-=化为标准式为22(1)(2)9x y -++=，则圆C 的圆心坐标为：(1,2)-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =．因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则26≤≤，解得62a -≤≤，所以，实数a 的取值范围是[6,2]-，故答案为：[6,2]-．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++L 的值． 【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=．（2）n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L ． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ．（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积． 【解析】（1）连接1AC 交1A C 于点O ，连接OD ． 因为四边形11AAC C 是平行四边形，所以O 是1AC 的中点．因为D 是AB 的中点，所以1//OD BC ．又OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）设三棱柱111A B C ABC -的高为h ，底面ABC ∆的面积为S ， 则三棱柱111A B C ABC -的体积12V S h =⋅=． 又111A A CE C AA E C ABA V V V ---==，1113C ABA A ABC V V Sh --==，所以111243A A CE V -=⨯=． 19．（本小题满分12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人，则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人，∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人，则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人，可得列联表如下：()221001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=，∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c ，从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P ==， 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4． （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值．【解析】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x ya b+=，① ∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，② ∴联立①②得()()222230b axa--=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =． （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b =，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=．由已知得l：)2y x =-，联立()2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=． 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+21．（本小题满分12分） 已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----． （1）讨论()f x 的单调性．（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞．当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增； 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增．（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立． 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >． 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意； 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*）． 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞，所以2x e <<即2e a <<．综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e ． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）21 已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y y y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．【解析】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=． （2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，d ==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d取最大值为2． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<．（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =时，令()|1||3|5g x x x =++-<，当1x <-时，()225g x x =-+<，解得312x ->>-； 当13x -≤<时，()45g x =<，不等式恒成立；当3x ≥时，()225g x x =-<，解得732x ≤<． 综上所述，不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+，所以2255a a -+<，即25255a a -<-+<，解得()0,2a ∈．。
2020年3月普通高考新课标III卷全真模拟文科数学卷3(6页)
2020年3月普通高考新课标III 卷全真模拟文科数学卷3数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，集合{}|10A x x =-≤，集合{}|23B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|3x x <B ．{}|31x x -<≤C ．{}|2x x <D ．{}|21x x -<≤2．已知i 为虚数单位，复数()23z i i =+，则其共扼复数z =（ ） A ．23i -B ．23i --C ．32i -D ．32i --3．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u ur u u u r C ．12AB AD +u u u r u u u r D ．12AB AD -u u u r u u u r4．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数-样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万．．．用纵式表示，十位、千位、十万位．--．用横式表示，例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A ．B ．C ．D ．5．已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．3D6．设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A ．(43π+ B ．(86π+ C ．(83π+ D ．(4π+8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA =（O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）A B C D10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．C D11．在三棱柱111 ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，记ABC ∆和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ，若2AC =，月三棱柱外接球体积为323π，则12O O 的值为( )A ．53B ．2CD12．已知函数2e (),()212xf xg x x x a x==-++-，若12,(0,)x x ∀∈+∞，都有()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,)e -∞B ．(,e]-∞C ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为 ．15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,4B ，离心率e =，直线l 交椭圆于M ，N两点，如果△BMN 的重心恰好为椭圆的左焦点F ，则直线l 方程为 ． 16．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2458,15a a S ⋅==；等比数列{}n b 的前n 项和21nn T =-（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）当{}n a 各项为正时，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．18．（本小题满分12分）在长方体1111-ABCD A B C D 中，1AD AA =．（I ）证明：平面1A BD ⊥面11BC D ；（II ）求三棱锥11B A BD -与11D A BD -的体积比．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据．注：年份代码1～7分别表示2012～2018．（I ）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（II ）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份．参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-20．（本小题满分12分）已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =．（I ）求抛物线Γ的方程；（II ）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC V ，求PBC V 面积的最小值．已知函数()e (0)xx f x a a=->． （I ）求函数()f x 在[1,2]上的最大值；（II ）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，证明：12x ae x <．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设函数()|2||2|f x x x =+-- （I ）解不等式()2f x ≥；（II ）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．。
2020年高考文科数学模拟试卷(三)Word版含答案及解析
2020年高考文科数学模拟试卷（三）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.设命题，则为（）A.B.C.D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B.C. D.4.椭圆C：的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为（）A. B.C. D.5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是（）A. B.C. D.6.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A. 1B. 2C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. －2B.C. 3D.8.以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为（）A. B.C. D.9.函数在上的值域为（）A. B.C. D.10.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若，则双曲线C渐近线方程为（）A. B. C.D.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit ，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 （ ） A. 254 B. 381C. 510D. 76512.函数的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 与a 有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为__________．14.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________． 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．16.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．三、解答题：共70分。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析03
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A ．{}3|2B A x x =<I B ．A B =∅I C ．3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭U D ．A B =R U【答案】A2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．2D ．i 1-【答案】A3．已知命题p ：0x ∀>，()ln 10x +＞；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B4．已知向量(3,6)a =v ，(1,)b λ=-v，且a b r r ∥，则λ=（ ）A ．2B ．3C ．2-D ．3-【答案】C5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C6．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法错误的是（ ）A ．丙可以知道四人的成绩B ．乙、丙的成绩是一优秀一良好C ．乙可以知道自己的成绩D ．丁可以知道自己的成绩【答案】A7．已知函数()()() sin 00f x A x b A ωϕω=++＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D8．2()2f x x x =-的定义域为[1,1]a a -+，lg 0.2b =，0.22c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】D9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．43B ．23C ．83D ．2【答案】C10．已知[x ]表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．【答案】B11．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +【答案】D12．已知定义在()0,+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()()2f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数），则()()23f f 的范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．311,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)g g <，即2(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f <⇒<，令2()()e x f x h x =，则2()2()()0e xf x f x h x '-'=<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)h h >，即242(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f >⇒>．综上，21(2)1e (3)ef f <<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则34z x y =-的最小值为___________．【答案】1-14．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．【答案】8π15．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为255．，据此估计其身高为____________．【答案】17616．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则22110n n nS S +的最大值为_____．【答案】319【解析】因为11n n n a S S ++=-，所以有111111n n n n n nS S S S S S +++-=-⇒-=，即1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项等于1公差为1的等差数列，所以11n n n S S n=⇒=，则22221()1110110()nn n nS n S n =++2221111101010110()n n n n n n n n====++++，因为10210n n +≥（当且仅当10n =时取等号），因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10n =相邻的两个整数中求最大值，3n =，13n S =，22311019n n nS S =+，22124,,411013n n n nS n S S ===+，所以最大值为319．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}()123n a n =⋯，，，的项满足关系12(2)n n a a n -=≥，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．【答案】（1）()122n n a a n =Q －≥，从而212a a =，32124a a a ==，又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=＋， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+-L ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+．（1）求证：1cos 2B ≥；（2）设B 的最大值为0B ，当0B B =，3a =，又12AD DB =u u u r u u u r，求CD 的长． 【答案】（1）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，()()222222223232212cos 22882a c a c a c ac ac ac a cb B ac ac ac ac +⎛⎫+- ⎪+--+-⎝⎭====≥，（2）cos y x =Q 在()0,π上单调递减，B ∴的最大值03B π=，根据（1）中均值不等式，只有当a c =时才能取到03B π=，3a c ∴==，又12AD DB =u u u r u u u r ，所以1AD =，在ACD △中由余弦定理得：22213cos 3213CD π+-=⨯⨯，得7CD =．19．（本小题满分12分）某化妆品商店为促进顾客消费，在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动，具体规则如下表：购买商品金额 折扣 消费不超过200元的部分 9折 消费超过200元但不超过500元的部分 8折 消费超过500元但不超过1000元的部分7折 消费超过1000元的部分6折例如，某顾客购买了300元的化妆品，她实际只需付：()2000.93002000.8260⨯+-⨯=（元）．为了解顾客的消费情况，随机调查了100名顾客，得到如下统计表：购买商品金额（0，200] （200，500] （500，1000] 1000以上人数10403020（1）写出顾客实际消费金额y 与她购买商品金额x 之间的函数关系式（只写结果）； （2）估算顾客实际消费金额y 不超过180的概率； （3）估算顾客实际消费金额y 超过420的概率．【答案】（1）0.92000.8202005000.77050010000.6170100x x x x y x x x x ⎧⎪+<⎪=⎨+<⎪⎪+>⎩ ≤ ≤ ≤ ．（2）令180y ≤，得200x ≤，所以()()118020010P y P x ==≤≤．（3）令420y >，得500x >，所以()()()()3214205005001000100010102P y P x P x P x >=>=<+>=+=≤．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD ==，4PA BC ==，N ，T 分别为线段PC ，PB 的中点．（1）若PC 与面ABCD 所成角的正切值为43，求四棱锥P ABCD -的体积．（2）试探究：线段AD 上是否存在点M ，使得AT ∥平面CMN ？若存在，请确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）连AC ，由PA ⊥底面ABCD 可知PCA ∠为PC 与面ABCD 所成的角，4PA =Q ，4tan 3PCA ∠=，3AC ∴=， 取线段BC 的中点E ，由3AB AC ==得AE BC ⊥，225AE AB BE =-=．()1753452ABCDS ∴=+⨯=，17514543P ABCD V -∴=⨯⨯=．（2）取线段AD 的三等分点M ，使得223AM AD ==．连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==． 又AD BC ∥，故TN AM ∥且TN AM =．四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊄面CMN ，MN ⊂面CMN ，所以AT ∥平面CMN ，AD ∴上存在点M ，满足2AM =，就能使AT ∥平面CMN ．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x mx =--． （1）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（2）函数()f x 与x 轴交于两点1(,0)A x ，2(,0)B x 且120x x <<，证明：1212121()()333f x x x x '+<-．【答案】（1）当0m =时，()22ln f x x x =-，求导得()()()211x x f x x+-'=，根据定义域，容易得到在1x =处取得最大值，得到函数的最大值为1-．（2）根据条件得到21112ln 0x x mx --=，22222ln 0x x mx --=，两式相减得 221212122(ln ln )()()x x x x m x x ---=-，得221212121212122(ln ln )()2(ln ln )()x x x x x x m x x x x x x ----==-+--，因为2()2f x x m x'=-- 得1212121212122(ln ln )12212()2()()12333333x x f x x x x x x x x x x -'+=-+-++-+121212122(ln ln )21()12333x x x x x x x x -=-+--+ 因为120x x <<，要证1212121()()333f x x x x '+<-，即证1212122(ln ln )201233x x x x x x --<-+，即证1212122()2(ln ln )01233x x x x x x --->+，即证2112212(1)2ln 01233x x x x x x -->+， 设12x t x =(01)t <<，原式即证12(1)2ln 012133t t t -->+⋅，即证6(1)2ln 02t t t -->+ 构造18()62ln 2g t t t =--+，22(1)(4)()0(2)t t g t t t ---'=<+，()g t 单调递减， 所以()(1)0g t g >=得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围； （2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB+的取值范围． 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ．（2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==，又由cos 12α<≤，所以4cos 4333α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为43⎤⎥⎝⎦． 23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =+-．（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小．【答案】（1）32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤从而得0325x x x <⎧⎨-+⎩≥或0335x x ⎧⎨+⎩≤≤≥或3235x x x >⎧⎨-+⎩≥，解之得23x -≤或 x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2(,][8,)3-∞-+∞U ． （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥， 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．。
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2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12M x x =-<<，{}2|0N x x mx =-<，若{}|01M N x x =<<，则m的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1±D ．2 2.命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是（ ）A ．2x ∀>，230x -≤B ．2x ∀≤，230x ->C ．02x ∃>，230x -≤D ．02x ∃>，230x ->3.设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i =+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．-5 B ．53- C ．-1 D ．13-4.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,45.在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206.在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-，()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．3603 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．14-B ．45C ．4D ．5 9.若函数()24log m x m f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（0m >且1m ≠）在[]2,3上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]1,36B ．[)36,+∞C ．(][)1,1636,+∞ D ．(]1,1610.已知变量x ，y 满足2220240x y x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k ++-=有解，则实数k 的最小值为（ ） A．455 B ．295- C．33 D ．16511.将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位后，得到函数()g x 的图象，若()12g x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数t 的最小值为（ ） A ．524π B ．724π C ．512π D ．712π12.已知关于x 的不等式()221x x m x x e e -+≥在(],0-∞上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)0,+∞C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知向量()2,1a =，()1,b x x =-，()3,3c x x =-，满足//a b ，则b ，c 夹角的余弦值为 ．14. 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为 ．15.已知球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为 ． 16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22122a S =+，32a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log 3n n b a =+，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值.18.新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[)20,25摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[)15,20摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD .点E 、F 分别为CD 、PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AGGBλ=.（Ⅰ）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ； （Ⅱ）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且椭圆C 过点2⎫-⎪⎪⎭.过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若MS SN =，PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知函数()()ln f x x x m m R =--∈. （Ⅰ）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（Ⅱ）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （Ⅰ）求出曲线2C 、3C 的参数方程；（Ⅱ）若P 、Q 分别是曲线2C 、3C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()225f x x =+-. （Ⅰ）解不等式：()1f x x ≥-；（Ⅱ）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.2020届高三第三次模拟考试 数学（文科）参考答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、12：BC 二、填空题13. 10- 14. 2213y x -= 15. 16π 16. 6 三、解答题17.（Ⅰ）由题意知，22122a S =+，∴212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又∵32a =，∴22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =. ∴3323222n n n n a a q ---=⋅=⋅=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2log 3n n b a =+22log 23231n n n -=+=-+=+.∴()()11112n n b b n n +=++1112n n =-++， ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111233412n n =-+-+⋅⋅⋅+-++()112222n n n =-=++. 令13n T >，得()1223n n >+，解得4n >， ∴满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.（Ⅰ）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润为4504500⨯-⨯=元. ∴这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为204008839190⨯+⨯≈元.（Ⅱ）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润为410041000⨯-⨯=元； 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润为4504150400⨯-⨯=-元； ∴当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤，则所求概率902449045P -==. 19.（Ⅰ）连接CG ，当12λ=时，//CE AG ，∴四边形AECG 是平行四边形，∴//AE CG ，∵12PF CE FD ED ==，∴//EF PC ，∵AE EF E =，PC CG C =， ∴平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，∴//PG 平面AEF . （Ⅱ）取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD . 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH，则2233FH PO ===∵2DH DF HO PF ==，∴213DH OD ==， ∵PO AD ⊥，FH AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD ， ∴FH AC ⊥，又FG AC ⊥，∴AC ⊥平面FGH ，∴AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∴//GH BD ，∴2AG AH ==， ∴A EFG F AGE V V --=112332=⨯⨯⨯=20.（Ⅰ）由题意知，222223112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）∵MS SN =，PT TQ =，∴S 、T 分别为MN 、PQ 的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线1l 的方程为()1y k x =-， 则直线2l 的方程为()11y x k=--，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， 联立()221421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，∴224160k ∆=+>， ∴2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+，∴PQ 中点T 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；同理，MN 中点S 的坐标为222,22k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴232(1)ST k k k -=-， ∴直线ST 的方程为223212(1)kky k k -+=+-22221k x k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，即2322(1)3k y x k -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 21.（Ⅰ）令()ln 0f x x x m =--=，∴ln m x x =-； 令()ln g x x x =-，∴()11'1xg x x x-=-=， 令()'0g x >，解得01x <<，令()'0g x <，解得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11g x g ==-. 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =有两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(),1-∞-.（Ⅱ）∵()()20xf x x e +-<，∴()2ln xm x e x x >-+-.设()()2ln xh x x e x x =-+-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()1'1xh x x e x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 设()1x u x e x =-，∴()21'0x u x e x =+>，则()u x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1202u ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110u e =->， ∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00u x =，即001x e x =，∴00ln x x =-.当01,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0u x <，()'0h x >；当(]0,1x x ∈时，()0u x >，()'0h x <；∴函数()h x 在01,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,1x 上单调递减， ∴()()()00000max 2ln xh x h x x e x x ==-+-()00000122212x x x x x =-⋅-=--. 设()212x x xϕ=--，∴()222222'2x x x x ϕ-=-=， 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>恒成立，则()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()()13x ϕϕ<=-，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3h x <-，∴当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.22.（Ⅰ）曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， ∴其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， ∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=，∴其参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（β为参数）.（Ⅱ）设()2cos ,sin P αα，则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d==∵[]sin 1,1α∈-，∴当1sin 3α=时，max 3d =.∴max max PQ d r=+3133=+=. 23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于理综押题【绝密】12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞. （Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+-37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m -=-<⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2. 已知集合A ={x|x −1⩾0}，B ={x|x 2⩽1}，则A ∪B =( )A. {x|x ⩾1}B. {x|x ≥−1}C. {x|x <1}D. {x|x ⩽−1}3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. −6 C. −1 D. 14. 如图所示的程序框图，若输入m =221，n =91，则输出的结果是( )A. 3B. 7C. 13D. 265. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 3B. 2C. 83 D. 436. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −67.将一个质地均匀的正四面体玩具(四个面上依次标有1，2，3，4)先后抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，则事件“2a−b=0”发生的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 128.若x∈[−π6,π3]时，函数y=sin(x+π3)的值域是()A. [−1,√3]B. [1,√3]C. [√3,2]D. [1,2]9.已知点M是双曲线x23−y22=1上一点，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|MF1|=2|MF2|，则△MF1F2的面积是()A. 4√3B. 2√11C. 3√6D. 6√5510.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，那么函数F(x)=xf(x)(x∈R)()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数11.如图所示，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为()A. 16B. 14C. 13D. 1212.如图，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，则椭圆的离心率为()A. √33B. √63C. √306D. √426二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={|log4x|,0<x≤4−12x+3,x>4，若a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)，则(ab+1)c的取值范围是________．14.若直线l与圆(x+1)2+(y−2)2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为(−2,3)，则直线l的方程为______ ．15.已知△ABC满足(c−b)(sinC+sinB)=(c−a)sinA，则角B=______ ．16.三棱锥P−ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2√2，PC=2√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(−1)nn(a n−12)(a n+1−12)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°．(1)证明：PB⊥BC；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，E为线段PD上的点，且PE=2ED，求三棱锥P−ABE的体积．19.为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治．某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：综合得分m等级m≥85一级品75≤m<85二级品70≤m<75三级品根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表如下和乙型号的样本频率分布直方图(如图)．综合得分频数[70,75)2[75,80)8[80,85)30[85,90)35[90,95)25合计100(Ⅰ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)在某次促销活动中，厂家从2件甲型一级品和3件乙型一级品中随机抽取2件送给两名幸运客户，求这两名客户得到同一型号产品的概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较．20.已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)，求x0的取值范围．21.已知函数f(x)=(e x−1)(x−a)+ax．(1)当a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若当x>0时，f(x)>0，求a的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|．(1)若不等式f(x)≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)−|x+2||>3的解集．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的运算，化简得z =−1+i ，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 解：z =−1i −1=−1+i ，z −=−1−i ，对应点的坐标为(−1,−1)， 故选：A ．2.答案：B解析：本题主要考查集合的基本运算，求出集合A ，B 的元素是解决本题的关键，求出集合A ，B ，利用集合的并集运算即可得到结论，比较基础． 解：由题意得集合A ={x|x ≥1}， B ={x|x 2≤1}={x |−1≤x ≤1}， 所以A ∪B ={x|x ≥−1}， 故选B ．3.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1,2)⋅(−4,−1)=−4−2=−6， 故选：B ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．4.答案：C解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：若输入m=221，n=91，第一次执行循环体后，满足m≠n，k=130，不满足n>k，故m=130第二次执行循环体后，满足m≠n，k=39，满足n>k，故m=91，n=39；第三次执行循环体后，满足m≠n，k=52，不满足n>k，故m=52第四次执行循环体后，满足m≠n，k=13，满足n>k，故m=39，n=13第五次执行循环体后，满足m≠n，k=26，不满足n>k，故m=26第六次执行循环体后，满足m≠n，k=13，不满足n>k，故m=13第七次执行循环体后，不满足m≠n，故输出的m值为13，故选：C．5.答案：C解析：本题考查简单几何体的三视图以及棱锥的体积公式．解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为边长是2的正方形，髙为2，所以体积为V=13×2×22=83．故选C．6.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．7.答案：B解析：本题考查古典概型，解决问题的关键是由题列举所有的情况，结合满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个，进而求解比值即可． 解析：解：将一个质地均匀的正四面体玩具连续抛掷两次，得到的点数(a,b)分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个， 则事件“2a −b =0”发生的概率P =216=18， 故选B ．8.答案：D解析：本题主要考查正弦型函数在给定区间上值域问题，属基础题．解：∵x∈[−π6,π3 ]，∴x+π3∈[π6,2π3]，∴sin(x+π3)∈[12,1]∴y∈[1,2]，故选D．9.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，属于中档题．解：由双曲线x23−y22=1知a=√3，因为|MF1|=2|MF2|，且|MF1|−|MF2|=2a=2√3，所以|MF1|=4√3，|MF2|=2√3，又|F1F2|=2√5，所以在△MF1F2中，cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|M F1||MF2|=56，故sin∠F1MF2=√116，所以S△MF1F2=12|MF1||MF2|sin∠F2MF2=2√11，故选B．10.答案：B解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．解：由y=f(x)为奇函数可得f(−x)=−f(x).∵F(x)=xf(x).∴F(−x)=−xf(−x)=xf(x)=F(x)．∴函数y=F(x)为偶函数．故选B．11.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．利用异面直线所成角的定义：取BC的中点M，连接ME，得∠AEM的余弦值即为所求，利用余弦定理解决．解：取BC的中点M，连接ME，由题意得∠AEM的余弦值即为所求，设PA=AB=2a，在ΔAME中EM=√2a，EM=√2a，AM=√3a，由余弦定理得．故答案为14．12.答案：C解析：可以已知条件求出M的坐标，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，可得tan∠MBA=−tan∠AMB+tan∠MAB1−tan∠AMBtan∠MAB=12，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，A(−a,0)，B(a,0)，M(acosθ,bsinθ)，所以bsinθacosθ+a =13，bsinθacosθ−a=−12，可得cosθ=15，所以2√65b15a+a=13，可得a2−c2a2=16，解得e=ca =√306．故选：C．13.答案：(16,64)解析：本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，指数函数的单调性的运用，属于中档题．画出图象得出，当f(a)=f(b)=f(c)，a<b<c时，0<a<1<b<4<<c<6，ab=1，化简(ab +1)c =2c ，由指数函数的单调性即可求得范围．解：函数f(x)={|log 4x|,0<x ≤4−12x +3,x >4， f(a)=f(b)=f(c)，a <b <c ，∴0<a <1<b <4<c <6，ab =1，∴(ab +1)c =2c ，即有16<2c <64，故答案为：(16,64)．14.答案：x −y +5=0解析：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中由垂径定理的逆定理得到圆心与弦AB 中点的连线与直线l 垂直是解本题的关键．由圆的方程找出圆心C 的坐标，连接圆心与弦AB 的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l 垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，由圆心与弦AB 中点的连线的斜率，求出直线l 的斜率，再由直线l 过AB 的中点，即可得到直线l 的方程．解：由圆(x +1)2+(y −2)2=100，得到圆心C 的坐标为(−1,2)，由题意得：圆心C 与弦AB 中点的连线与直线l 垂直，∵弦AB 的中点为(−2,3)，圆心C 的坐标为(−1,2)，∴圆心与弦AB 中点的连线的斜率为3−2−2+1=−1，∴直线l 的斜率为1，又直线l 过(−2,3)，则直线l 的方程为y −3=x +2，即x −y +5=0．故答案为x −y +5=0． 15.答案：π3解析：解：由正弦定理得(c−b)(c+b)=(c−a)a，即c2−b2=ac−a2，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，则在△ABC中，B=π3，故答案为：π3根据正弦定理和余弦定理进行化简即可．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．16.答案：12π解析：可得△PAC是直角三角形．△PBC是直角三角形．可得三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P−ABC的外接球的表面积．本题考查了三棱锥P−ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径是关键．属于中档题．解：∵AP=2，AC=2√2，PC=2√3，∴AP2+AC2=PC2．∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．∵PB=2√2，BC=2，PC=2√3，∴PB2+BC2=PC2，∴△PBC是以∠PBC为直角的直角三角形．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=√3，∴O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，半径为√3．∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．17.答案：解：(Ⅰ)在公差d 不为0的等差数列{a n }中，a 22=a 3+a 6，且a 3为a 1与a 11的等比中项，可得(a 1+d)2=2a 1+7d ，且a 32=a 1a 11，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+10d)，解得a 1=2，d =3，则a n =2+3(n −1)=3n −1，n ∈N ∗；(Ⅱ)b n =(−1)n n (a n −12)(a n+1−12)=(−1)n n (3n−32)(3n+32) =19⋅(−1)n ⋅4n (2n−1)(2n+1)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =19[−(11+13)+(13+15)−(15+17)+⋯+(−1)n ⋅(12n −1+12n +1)] =19[−1+(−1)n ⋅12n+1)]．解析：本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)化简b n =(−1)n n (3n−32)(3n+32)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．18.答案：解：(1)取AD 中点O ，连接OP ，OB ， ∵PA =PD ，∴OP ⊥AD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∴OB ⊥AD ，∴AD ⊥平面POB ，又AD//BC ，∴BC⊥平面POB，∴PB⊥BC；(2)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OB⊥AD，∴OB⊥平面PAD．∵PE=2ED，∴S△PAE=23S△PAD=23⋅√34⋅22=2√33，又OB=√3OA=√3，∴V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB=13×2√33×√3=23．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)取AD中点O，连接OP，OB，证明AD⊥PO，AD⊥OB得出AD⊥平面POB，再结合AD//BC得出结论；(2)根据V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB求出棱锥的体积．19.答案：解：(Ⅰ)设事件A为“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为一级品”，由图可得，估计这件产品为一级品的概率P(A)=1−(0.01+0.02+0.03)×5=0.7；(Ⅱ)设甲型净化器记为a1，a2，乙型净化器记为b1，b2，b3，从5件中任取2件共有10种情况：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3),(a2,b1)，(a2,b2),(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况：(a1,a2)，(b1,b2),(b1,b3)，(b2,b3)，设事件B为“两名顾客得到同一型号产品”，则P(B)=410=25；(Ⅲ)①可根据三级品率进行比较，由图表可知，甲型产品三级品的概率为0.02，乙型产品三级品的概率0.05，所以可以认为甲型产品的质量更好；②可根据一级品率进行比较，由图表可知，甲型产品一级品的概率为0.6，乙型产品一级品的概率为0.7，所以可以认为乙型产品的质量更好．解析：本题考查频率分布直方图及随机变量的概率求法．(Ⅰ)由频率f分布直方图中各小矩形面积之和为1估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)考查求这两名客户得到同一型号产品的概率，应用古典概型求概率的方法：从5件中任取2件共有10种情况，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况，从而求概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较，可从三级品概率角度也可从一级品概率角度．20.答案：解：(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，则|MD|=2，∴|CP|2=|CM|2=|MD|2+|DC|2，∴即(x −2)2+y 2=22+x 2，化简得y 2=4x ．(2)由题意，设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，则由{x =my +1y 2=4x，得y 2−4my −4=0， 所以y 3=y 1+y 22=2m,x 3=my 3+1=2m 2+1，则线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，则x 0=2m 2+3，所以x 0的取值范围是(3,+∞)．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，转化求解即可．(2)设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，由{x =my +1y 2=4x，求出线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，然后求解x 0的取值范围． 21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=(e x −1)(x −1)+x =xe x −e x +1，∴f′(x)=xe x ，∴k =f′(1)=e ，∵f(1)=1，∴f(x)在x =1处的切线方程为y −1=e(x −1)，即ex −y −e +1=0；(2)∵f′(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，令g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，∴g′(x)=(2+x −a)e x ，①当a ≤2时，g′(x)>0，在(0,+∞)上恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=1−a +a −1=0∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)=0，②当a >2时，当x ∈(0,a −2)时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，∵g(0)=(1−a)+(a −1)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，g(x)<0，即f′(x)<0，函数f(x)在(0,a −2)为减函数，∵f(0)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，f(x)<0，即f(x)>0不是对一切x >0都成立，综上所述，a ≤2，即a 的取值范围为是(−∞,2]．解析：(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，(2)先求导，再构造函数g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出．本题考查了导数以及应用，不等式等基础知识，考查了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力等，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想，数形结合思想等，属于难题． 22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα， 整理得， 4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，所以由f(x)≤|a +1|恒成立得|a +1|≥3，即a +1≥3或a +1≤−3，解得a ≥2或a ≤−4；(2)不等式||x −1|−2|x +2||>3，等价于|x −1|−2|x +2|>3或|x −1|−2|x +2|<−3，设g(x)=|x −1|−2|x +2|={−x −5,x ≥1−3x −3,−2≤x <1x +5,x <−2，画出g(x)的图象如图所示：由图可知，不等式的解集为{x|x<−8或x>0}．解析：(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，再求关于a的绝对值不等式即可；(2)由题意画出函数g(x)=|x−1|−2|x+2|的图象，结合图象求出对应不等式的解集．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020届高三模拟考试数学文科试卷
高三三诊模拟考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =IA ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<2．z C ∈，若||12z z i -=+，则z =A ．322i - B ．322i + C ．22i + D ．22i -3．若sin 78m =o ，则sin 6=o A ．12m + B ．12m- C ．1m + D ．1m- 4．函数()21x f x x-=的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 912216,4,2a a a =+=则数列1{}nS 的前10项和为 A ．1112B ．1011 C ．910D ．896．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为 A ．12πB ．6π C ．3π D ．4π 7．已知ln 241log 532a b c e ===，，，则a b c ，，满足 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为A ．54B ．5CD ．29．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6C π=，12a b +=，则ABC V 面积的最大值为 A ．8B ．9C ．16D ．2110．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=） A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为 A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π12．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞ 第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(三)解析版
0
x
1，
g ( x)
0
)
上单调递增，
在 (1， ) 上单调递减. g(2) 0 ， g(x)max g(1) e ，当 x 2，g(x) 0. x ，g (x) ，
x ，g (x) 0 ． 由 g 2 (x) (3a 1)g(x) 2a2
的最大值即：圆心到原点的距离+半径，即 9 3 3 3 3 ，故选 D．
文科数学参考答案·第 1页（共 7页）
11 ． 设 P(x0，y0 )，A(x1，y1)，B(x2，y2 )
， 则 kAB
y1 y2 x1 x2
x12 x22 22 x1 x2
x1 x2 2
2．
z
1i 2i
(1 i)(2 i) (2 i)(2 i)
1 5
3 5
i
，点
1 ， 5
3 5
在第四象限，故选
D．
3．由判定定理和性质定理知，只有 B 选项正确，故选 B． 4．作出可行域，由 z x y，得 y x z ，当 y x z 与边界直线 x y 2 0 重合时， z 取得最小值，
2
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13
14
15
16
答案
π
6
3
x2 y2 1
①③
5
33
【解析】
13．由正弦定理 AC AB ，∴ 2 2 ，∴ sin C 1 ， 又 AB AC，∴ C π .
2020年高考模拟试卷数学卷(3)及参考答案
2020年普通高校招生考试模拟卷数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至6页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ， V =13Sh那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.k 次的概率球的表面积公式P n (k )=(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --=LS =4πR 2台体的体积公式球的体积公式V =13(S 1S 2) h V =43πR 3其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积， 其中R 表示球的半径h 表示棱台的高.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3P x x =-＞，104x Q xx ⎧-⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则()R C P Q =UA.(]3,1-B.(],4-∞-C.(]1-∞，D.[)1+∞，2.抛物线24y x =的焦点坐标 A.()1,0B.()0,1C.1016⎛⎫⎪⎝⎭，D.1016⎛⎫⎪⎝⎭，3.复数z 满足()122i z +=（i 为虚数单位），则z 的虚部是 A.45- B.45i-C.43D.43i 4.已知{}n a 是公比不为1的等比数列且公比为q ，前n 项和为n S ，则“10a ＞”是“4652S S S +＞” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数sin ln 2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图像可能是ABCD6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.335333937.已知ξ为随机变量，则下列说法错误的是A.21122P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.()()()221D D ξξ=-211113C.()()1D D ξξ=-D.()()()22E E ξξ≤8.若0,0a b ≥≥，当11x y x y m ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，且以,a b 为坐标点(),P a b 所形成的平面区域的面积为16，则m = A.136B.133C.3D.69.已知123,,e e e u r u u r u r为空间单位向量，1223311===2e e e e e e ⋅⋅⋅u r u u r u u r u r u r u r .若空间向量a r满足12=a e a e ⋅⋅r u r r u u r ，且对于任意,x y R ∈，()124a xe ye -+≥r u r u u r，则3a e λ-r u r 的最小值为10.三棱锥P ABC -中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为12,16,20且底面面积为24，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A.193πB.793πC.763πD.3163π非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.计算：3log = ，93log4log 43+= . 12.已知()()()sin sin cos sin 0x x x A wx b A ϕ⋅+=++＞，则A =，=b.13.已知多项式()()32234567012345671+12x x x a a x a x a x a x a x a x a x ++=+++++++，则3a =，7a =.14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4,3b c ==，3CD BD =，3cos 8A =，则=a，=AD.15.若a 为实数，且关于x的方程x =有实数解，则a 的取值范围是.16.某校共开设了六门选修课：物理、化学、生物、政治、历史、地理，要求每名学生选三门课，其中物。
2020年整理天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题.doc
高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x =>，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.84．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．21C ．20D ．208．如图，已知圆的半径为1，直线l ，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A ．43x π=是()f x 的一条对称轴 B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的离心（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨对于集合A：配方得()()22120x y-++=，1x∴=，2y=-，从而{}1A=.对于集合B：)120>，0x≥，20>，10>，解得1x>，()1,B∴=+∞，从而[)1,A B=+∞.奇思妙解对于集合B；取特殊值2x=，成立，从而A B中一定有2，故选B.2．C 考查目标本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨由题意可知3223iz ii+==-，从而23z i=+，∴24z i i+=+，∴z i+== C.命题陷阱z i+易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A. 4．C 考查目标本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力.思路点拨∵方程2840x x-+=的两根分别为4a，8a，∴484880,40,a aa a+=>⎧⎨=>⎩∴480,0.aa>⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a==，∴62a=±.又264a a q=>，∴62a=，故选C.命题陷阱考虑不周全，未在原数列中研究4a，6a，8a之间的关系，易选错.5．D 考查目标本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨∵函数()1f x+是偶函数，∴函数()1f x+的图象关于直线0x=对称，从而函数()f x的图象关于直线1x=对称.由()()1221f x f xx x-<-得()f x在()1,+∞上为增函数，1744a f f⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t>得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=可计算AD '∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420++⨯= D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A. 9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k+=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°. 思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，由抛物线定义可得2A px AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C. 规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2，22.5 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力. 思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力. 15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力. 思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<， 所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理， 得sin sin AB BD A θ=，即3sin θ=，得sin 14θ=. （Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos θ==， 而()1sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin 5CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想.思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==，由F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即d = ∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,42,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k=-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t tk -+-++-==+， 令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ； ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立，即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+， 则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数， 此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >， ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >， ∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a =++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。
2020年全国高考仿真模拟文科数学试卷(三)解析版
解析 ∵z＝ 2i ＝2i1＋i＝－1＋i，∴－z ＝－1－i，故选 D. 1－i 2
3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指 标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注 度也越高．下图是 2018 年 9 月到 2019 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势 图．
A．(－∞，0]∪(1，＋∞)
B．(0,1]
C．[3，＋∞)
D．∅
答案 C
解析 因为 A＝(0,3)，所以∁RA＝(－∞，0]∪[3，＋∞)．又 B＝(1，＋∞)，所以(∁RA)∩B ＝[3，＋∞)．
2．复数 z＝ 2i 的共轭复数是( ) 1－i
A．1＋i 答案 D
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
-2-
A.1＋2π 33
答案 C
B.1＋ 2π 33
C.1＋ 2π 36
D．1＋ 2π 6
解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为 1，四棱锥的高为 1，球的
直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径 2R＝ 2，则 R＝ 2，所以半球的 2
体积为 2πR3＝ 2π，又正四棱锥的体积为1×12×1＝1，所以该几何体的体积为1＋ 2π.
-1-
解析 A 错误，并无周期变化；B 错误，并不是不断减弱，中间有增强；C 错误，10 月 份的波动大于 11 月份，所以方差要大；D 正确，由图可知，12 月份起到 1 月份有下降的趋势， 所以 12 月份的平均值大于 1 月份．故选 D. 4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值为( )
A．0
2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年陕西省高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2<1−x<4}，B={x|x2−4x−12≥0}，则A∪(∁R B)=()A. (−2,−1)B. (−3,6)C. (−3,6]D. (−6,2)2.复数2+i1−2i=()A. iB. −iC. 4+3iD. 4−3i3.已知抛物线y2=mx的焦点坐标为(2,0)，则m的值为()A. 12B. 2C. 4D. 84.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为()A. 25B. 24C. 18D. 165.设函数f(x)={x 2,x≤1,2−x,x>1,则f(f(2))=()A. 116B. 16 C. 14D. 46.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位后，得到的函数是()A. B.C. D.7.已知等差数列{a n}满足a1=2，公差d≠0，且a1,a2,a5成等比数列，则d=()A. 1B. 2C. 3D. 48.设a=ln3,b=log312,c=0.21.1，则()A. b<c<aB. b<a<cC. a<b<cD. c<b<a9.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是()A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了四十二里路10.x，y∈R，x∈[0,1]，y∈[0,1]，则x2≤y≤x的概率为()A. 14B. 16C. 18D. 1911.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，则蚂蚁爬行的最短距离是()A. √13B. 1C. √17D. 2+√512.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点A作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M、N两点，F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x2+y2=a2，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √62D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(1,0)，则||2a⃗+b⃗ |=________．14.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．16.已知函数f(x)=e2x+ax，若当x∈(0,+∞)时，总有f(x)>1，则实数a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=sinC2−cosC，c=3．(1)求ba；(2)若△ABC的面积为3，求cos C．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC，AD//BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E是BC上一点且BE=23PB⊥AE．(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAE；(Ⅱ)求点C到平面PDE的距离．19.为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)分数[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲班频数1145432乙班频数0112664(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计(2)在上述样本中，学校从成绩为[140,150]的学生中随机抽取2人进行学习交流，求这2人来自同一个班级的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．临界值表：20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx，a∈R．(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若不等式f(x)>0在区间(0,12)上恒成立，求实数a的取值范围．22. 在极坐标系中，曲线C 1：ρ=2sinθ，曲线C 2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． (Ⅰ)写出曲线C 1与C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)过点P 的直线l 与C 1交于两点A ，B ，交C 2于点Q ，若|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求λ的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。
2020年模考(文科数学3)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模考卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N =UA ．∅B ．{3}x x ≥-C ．{1}x x ≥D ．{1}x x <2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =A ．2-B ．1-C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是A ．(k ∈B ．()k ∈-∞-+∞U ，C ．(k ∈D ．()k ∈-∞-+∞U ，4．已知01a <<，log log a a x =1log 52a y =，log log a a z =，则A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>5．已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r ，则顶点D 的坐标为A ．7(2)2，B ．1(2)2-， C ．(3,2) D ．(1,3) 6.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0]4π，，则点P 横坐标的取值范围为 A ．1[1]2--， B ．[1,0]- C ．[0,1] D ．1[,1]27．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为A ．13B ．12C ．23D ．348．函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππC ．]2,0[πD ．],2[ππ 9．已知变量x ，y 满足约束条件1031010y x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．4B ．2C ．1D ．4-10．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B - AC D -，则四面体ABCD 的外接球的体积为A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125 11．已知双曲线22291y m x -=（0m >）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =A ．1B ．2C ．3D ．412．已知实数a ，b 满足等式11()()23a b =，下列五个关系式 ①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b =其中不可能．．．成立的关系式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = .(lg 20.3010)≈14.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a ⋅=，则5a = .15.已知tan 22α=，则tan α= ，tan()4πα+= . 16.对于函数()f x 定义域中任意的1x ，2x （12x x ≠），有如下结论：①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；③1212()()0f x f x x x ->-；④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC ∆，求a ，b ；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，74a =，1992a a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和.n S （裂项求和） 21．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，点P 到两点(0,，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA OB ⊥u u u r u u u r ？。
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(3)(文科数学含答案详解)【范本模板】
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（3）文科数学本试题卷共5页，23题(含选考题）。
全卷满分150分.考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，集合{}11A x x =-<,2511x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA B =（ ）A ．{}12x x << B ．{}12x x <≤ C ．{}12x x ≤< D ．{}14x x ≤<【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，{}254101411x x B x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≥=<≥⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭或，∴{}14UB x x =≤<，∴(){}12U AB x x =≤<．选C ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+,因为3ππ42<<，所以4在第三象限，所cos 40<,sin 40<,故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限,选C ．3．如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）A B C ．15D 【答案】B【解析】设小正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为x ，1x +，由几何概型可得()221151x x =++,解得1x =,2x =-（舍），所以直角三角形边长分别为1，2=B ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5；③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<" ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2,则函数()()2g x f x =的定义域为[]0,1． 正确命题的个数为（ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；②因为()f x 为偶函数,所以5a =-，因为定义区间为[],a b ,所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5；③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>,使得0012x x +<”; ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x ，y 分别为（ )A ．90,86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序:86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =,故输出的x ,y 分别为98，78．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16+24π3 B ．16+16π3C ．8+8π3D ．16+8π3【答案】D【解析】由三视图可知:该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥,一部分为四分之一球体,∴该几何体的体积是311416+8π242+π2=3433⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D ． 7．已知实数x ，y 满足：260026x x y x y y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥≥+≤⎩-≤,则21z x y =-+的最大值（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】根据不等式组画出可行域是封闭的四边形区域，对目标函数进行分类, 当210x y -+>时,令21z x y =-+,1122zy x -=+，这时可行域为直线21x y -+下方的部分，当目标函数过点()30，时有最大值4． 当210x y -+<时，令21z x y =-+-，1122zy x +=+，这时可行域为直线21x y -+上方的部分，这时当目标函数过点()24，时有最大值，代入得到最大值为5．故答案为：D ． 8．设0ω>，函数2cos 17y x ωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．32B ．23 C ．43 D ．34【答案】A【解析】将π2cos 17y x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π3个单位后对应的函数为4πππ4π2cos +12cos 13773y x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵函数π2cos 17y x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象22222正视图侧视图向右平移4π3个单位后与原图象重合,所以有()42π3k k ωπ=∈Z ，即32k ω=，又0ω>，1k ∴≥，故3322k ω=≥,故选A ．9．已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图，则满足()()f x f x '<的x 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．()(),01,4-∞ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,14,+∞【答案】D【解析】根据导函数与原函数的关系可知,当()0f x '>时，函数()f x 单调递增， 当()0f x '<时，函数()f x 单调递减，由图象可知：当01x <<时,函数()y f x ='的图象在()y f x =图象的下方,满足()()f x f x '<； 当4x >时，函数()y f x ='的图象在()y f x =图象的下方，满足()()f x f x '<；所以满足()()f x f x '<的解集为{01x x <<或4}x >,故选D ．10．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a λλ+-+-=∈R ,则67a a λ+的最小值为（ )A ．2-B ．4-C ．2D ．4【答案】D【解析】因为()()243510a a a a λ+-+-=,所以4211+q a a λ=-(1)q >，67a a λ∴+()()()4242662224211111224111q a qa q q a a q q q λ-+=+====-++≥+=----当且仅当q =67a a λ+的最小值为4，选D ．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ,且此棱锥的内切球的半径17R H =，则22H PA =（ ）A ．2939B ．3239C ．3439D ．3539【答案】D【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 的射影为O ，连接CD ，PD ，设AB a =，则13OD =⨯=，设PD ma =,则正三棱锥PABC -的表面积2132a ma ⨯⨯+，由体积得,213V H =，317V RH S ∴==,m ∴=,H ==，132PA =,223539H PA ∴=，选D ． 12．已知()2e xf x x =⋅,若函数()()()21g x fx kf x =-+恰有三个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．2k =±B ．28ek =C ．2k =D ．224e +e 4k =【答案】D【解析】()()2e 2x f x x x ='+，可知函数()f x 在区间(),2-∞-单调递增，在()2,0-单调递减，在()0,+∞单调递增，如下图，()242e f -=，()00f =，()0f x ≥，令()t f x =,则210t kt -+=，因为()g x 要有三个零点，∴210t kt -+=有解，设为1t ,2t ，由1210t t =>，根据图象可得：当12t t ≠时,124e t =，222e 44et =>，符合题意，此时22214e +e 4k t t =+=，当12240,e t t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，可求得12241e t t ==>，不符合题意．综上所述，224e +e 4k =,故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．向量a ，b 满足1a =,32-=a b ，a 与b 的夹角为60︒，则=b ________． 【答案】12【解析】由32-=a b 可得()234-=a b ，即22324-⋅+=a a b b ，代入1=a 可得21312124-⨯⨯⨯+=b b ，整理可得()2210-=b ，解得12=b ，故答案为12． 14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ,P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________．【答案】13【解析】由抛物线定义,抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ,即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥,填13．15．在ABC △中，内角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=,且4c =，则ABC △面积的最大值为________．【答案】43【解析】由已知有222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，由于()0,πC ∈，3sin 2C =，又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=,则16ab ≤，113sin 1643222ABC S ab C =≤⨯⨯=△，当且仅当4a b ==时等号成立． 故ABC △面积的最大值为43．16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a (a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ,且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．【答案】2【解析】如图所示:连接2MF ，由双曲线的定义知122MF MF a -=，12222MQ MF MF MQ a F Q a ∴+=++≥+，当且仅当Q ，M ，2F 三点共线时取得最小值3，此时，由()2,0F c 到直线1:b l y x x a a =-=-的距离221c F Q a =+,2232311c c a a a c a ∴+=⇒+=⇒=+，由定义知通径等于222b a=,故答案为2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一）必考题：60分,每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-．（1)求数列{}n a 的通项公式;（2）设()121log nn n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1）112n n a -=；（2)1,2,2n nn T n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数．【解析】（1）∵122n n S a +=-,11a =,∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-,∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-，即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分 ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分 (2)由（1）知，()()11nn b n =--，····7分 ()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分 当n 为偶数时,2n n T =；····10分 当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=， ∴1,2,2n nn T n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数．····12分18． 2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？(3）若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1）18,12;（2）列联表见解析,没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关;（3）25． 【解析】（1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人····2分 （2）22⨯列联表如下:热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计青年61218中年7512总计 13 17 30····4分()2230651274051.8332.70613171812221K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，····6分 ∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关．····7分（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1A ，2A ,3A ，4A ，其余两人记为1B ，2B ,则从中选两人，一共有如下15种情况:()12,A A ,()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，()11,A B ，()12,A B ,()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ,()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，····10分 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，····11分 所以62155P ==．····12分 19．如图,在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PAD BAD △≌△，平面PAD ⊥平面ABCD ，4AB =，PA PD =，M 在棱PD 上运动．(1)当M 在何处时，PB ∥平面MAC ;（2）已知O 为AD 的中点,AC 与OB 交于点E ,当PB ∥平面MAC 时，求三棱锥E BCM -的体积．【答案】（1)当M 为PD 中点时，PB ∥平面MAC ;（2）83． 【解析】（1）如图，设AC 与BD 相交于点N ， 当M 为PD 的中点时，PB ∥平面MAC ，····2分证明∵四边形ABCD 是菱形，可得：DN NB =,又∵M 为PD 的中点,可得:DM MP =，∴NM 为BDP △的中位线，····3分 可得NM PB ∥，····4分又∵NM ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，∴PB ∥平面MAC ．····6分(2）O 为AD 的中点，PA PD =,则OP AD ⊥，又PAD BAD △≌△，OB AD ∴⊥，且23OB =，又AEO CEB △∽△,12OE OA BE BC ∴==． 24333BE OB ∴==．143834233EBC S ∴=⨯⨯=△．····9分 又34232OP =⨯=，点M 为PD 的中点, M ∴到平面EBC 的距离为3．····11分 18383333E BCM M EBC V V --∴==⨯⨯=．····12分 20．在平面直角坐标系xOy 中，点()13,0F -，圆222:23130F x y x +--=，点Q 是圆上一动点，线段1FQ 的中垂线与线段2F Q 交于点P ． (1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2)若直线l （斜率存在）与曲线E 相交于A ,B 两点,且存在点()4,0D （其中A ，B ，D不共线），使得ADB ∠被x 轴平分，证明：直线l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）()1,0． 【解析】(1）由已知()1F,)2F ，圆2F 的半径为4r =，依题意有：1PF PQ =,····1分 12224PF PF PQ PF QF r ∴+=+===····3分故点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即c =,2a =，1b ∴=．故点P 的轨迹E 的方程为2214x y +=．····5分 (2）令()11,A x y ，()22,B x y ，因A ，B ，D 不共线，故l 的斜率不为0，可令l 的方程为：x my n =+，则由2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩,得()2224240m y mny n +++-= 则12224mny y m -+=+，212244n y y m -⋅=+①····7分ADB ∠被x 轴平分，0DA DB k k ∴+=，即1212044y yx x +=--,亦即()12211240y x y x y y +-+=②····8分 而()()()1221122112122y x y x y my n y my n my y n y y +=+++=++代入②得:()()1212240my y n y y +-+=③····9分①代入③得：2m 2244n m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭()22404mn n m -⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭····10分 ∵直线l 的斜率存在，∴0m ≠，∴1n =,此时l 的方程为：1x my =+，过定点()10，， 综上所述，直线l 恒过定点()10，．····12分21．设函数()()212e 2x f x x ax ax =-+-． （1)讨论()f x 的单调性；（2）设1a =，当0x ≥时，()2f x kx ≥-,求k 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞-．【解析】（1)由题意得x ∈R ,()()()1e x f x x a =-+'．····1分当0a ≥时,当(),1x ∈-∞，()0f x '<;当()1,x ∈+∞时，()0f x '>; ∴()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增····2分 当0a <时，令()0f x '=得1x =，()ln x a =-，①当e a <-时，(),1x ∈-∞，()0f x '>；当()()1,ln x a ∈-时，()0f x '<； 当()()ln ,x a ∈-+∞时,()0f x '>；所以f （x ）在(),1-∞,()()ln ,a -+∞单调递增，在()()1,ln a -单调递减····3分 ②当e a =-时，()0f x '≥，所以()f x 在R 单调递增····4分 ③当e 0a -<<时,()(),ln x a ∈-∞-,()0f x '>；当()()ln ,1x a ∈-时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 在()(),ln a -∞-，()1,+∞单调递增，在()()ln ,1a -单调递减．····5分 （2）令()()()2122e 22x g x f x kx x x x kx =-+=-+--+, 有()()1e 1xg x x x k =-+--'．····6分令()()1e 1xh x x x k =-+--，有()e 1xh x x '=+,当0x ≥时,()10xh x xe +'=>,()h x 单调递增．∴()()02h x h k ≥=--，即()2g x k '≥--．····7分①当20k --≥,即2k ≤-时，()0g x '≥,()g x 在()0,+∞单调递增，()()00g x g ≥=，不等式()2f x kx ≥-恒成立····9分②当20k --<，2k >-时，()0g x '=有一个解,设为0x 根．∴有()00,x x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时,()0g x '>;()g x 单调递增,有()()000g x g <=．∴当0x ≥时，()2f x kx ≥-不恒成立；····11分综上所述,k 的取值范围是(],2-∞-．····12分(二）选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做第一题计分)22．【选修4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C 经过伸缩变换: x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B两点，且1AB =-，求α的值．【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=,所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1 ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=,由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得1B ρ=>，11=，∴1cos 2α=±， 而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分 23．选修4-5:不等式选讲已知函数()2f x x a =-，()1g x bx =+．（1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值; （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】(1）8a =-或4;（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b =时，()()11112222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+, 因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2)当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．····10分。
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茶陵一中2020届高三模拟卷三
文科数学
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1
．设复数z 满足2(1i)(1i)z -=+（i 为虚数单位），则z = （ ） A ．0 B ．2 C ．2 D ．2±
2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8 3．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z y
y x
=”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则
往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为 （ ）
A ．
4327
π
B ．
4354
π
C ．43127
π
-
D ．23127π-
6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且432110,99
S a S ==，若()72M a =，()e
496,log N a P a ==，
则,,M N P 的大小关系为 （ ） A ．M P N >> B ．M N P >> C ．N M P >> D ．N P M >>
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为 （ ）
A ．16π
B ．18π
C ．20π
D ．24π
8．已知单位向量,a b 的夹角为3
4
π，若向量2,4λ==-m a n a b ，且⊥m n ，则=n （ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．16
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值是35，则判断框内应补充的条件为
（ ）
A ．9i ≤
B ．10i ≤
C ．11i ≤
D ．12i ≤
10．过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>一个焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，O 是原点，
若ABO △是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A ．
3
2 B ．1714- C ．2625- D ．3936
- 11．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）
A ．
|cos3|
x x
B ．1cos22x
x
+
C ．22225(4)(49)x x x ππ--
D ．
|sin 2|
x x
12．设定义在R 上的函数()y f x =满足对任意t ∈R 都有1
(2)()
f t f t +=
，且 (0,4]
x ∈时，()()f x f x x
'>
，则(2016),4(2017),2(2018)
f f f 的大小关系是
（ ）
A ．2(2018)(2016)4(2017)f f f <<
B ．2(2018)(2016)4(2017)f f f >>
C ．4(2017)2(2018)(2016)f f f <<
D ．4(2017)2(2018)(2016)f f f >>
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知函数()sin(2)cos(2)44
f x x x ππ
=-
+，则函数()f x 图象的对称轴为 .
14．已知直线1:250l x y +-=与直线()2:50l mx ny n -+=∈Z 相互垂直，点()2,5到圆
()()22
:1C x m y n -+-=的最短距离为3，则mn = .
15．已知点(,)x y 满足280
260370
x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
≥≤≥，求11x z y +=-的取值范围为 .
16．已知数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，数列{}n b 对*n ∈N ，有1122n n n S b S b S b a +++=L ，求122017b b b +++=L .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=.
（1）求a
b
；
（2）若3
cos 4
C =，求sin()A B -.
18．（12分）如图，正三棱柱A B C ABC '''-中，D 为AA '中点，E 为BC '上的一点，,AB a CC h '==. （1）若DE ⊥平面BCC B ''，求证：BE EC '=.
（2）平面BC D '将棱柱A B C ABC '''-分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为1V ，下面一个几何体的体积为2V ，求12,V V .
19．（12分）为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了100名工人某天生产该产品的数量，所取样本数据分组区间为[40,45),[45,50)，[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)由此得到右图所示频率分布直方图.
（1）求a的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；
（2）从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？
20．（12分）已知()(),0P x y y ≥是曲线Ω上的动点，且点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1.直线
1:10l x y -+=与直线2:320l x y -=的交点为Q . （1）求曲线Ω的轨迹方程；
（2）已知,A B 是曲线Ω上不同的两点，线段AB 的垂直垂直平分线交曲线Ω于,C D 两点，若,A B 的中点为Q ，则是否存在点R ，使得,,,A B C D 四点内接于以点R 为圆心的圆上；若存在，求出点R 坐标以及圆R 的方程；若不存在，说明理由.
21．（12分）已知函数2()2ln 2(1)f x a x a x x =-++(1)a ≤. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 在区间21
[,]e e
上有两个零点，求a 的取值范围.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平
面直角坐标系，直线l 的参数方程为2
22
22x t y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数).
（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；
（2）点P 在曲线C 上，且到直线l 的距离为2，求符合条件的P 点的直角坐标.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.。