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高考数学复习好题精选 圆的方程

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高考数学专题复习：圆及其方程

高考数学专题复习：圆及其方程

高考数学专题复习：圆及其方程一、单选题1．已知圆C 与x 轴相切，圆心在直线3y x =上，且被直线y x =截得的弦长为则圆C 的半径为（ ）A B ．C ．3D ．32．过点()2,1P 作圆22:(1)4M x y -+=的最短弦，延长该弦与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，则ABM 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．圆221:(3)(4)1C x y -+-=和圆222:16C x y +=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．外离4．直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关5．若圆22:2430C x y x y +-++=上存在两点关于直线260ax by ++=对称，则过圆C 外一点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A B ．2C ．3D ．46．圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．3D ．47．两圆1C ：221x y +=与2C ：()2234x y -+=的公切线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若当[]2,2x ∈-时，不等式6kx ≥k 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．(),-∞⋃+∞D ．[]1,1-9．已知过点()2,2P 且与两坐标轴都有交点的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（ ） A ．3420x y+=- B ．4320x y --= C ．3420x y+=-或2x =D ．4320x y --=或2x =10．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=，过点()1,2P 的直线与圆相交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，则直线AB 方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．30x y ++=D ．30x y +-=11．圆C ：22(1)4x y -+=被直线1y kx =-截得的最短弦长为（ ）A ．B ．CD 12．已知圆22 : 68240C x y x y +--+=和两点(),0A t -，()(),00B t t >，若圆C 上总存在点P ，使得222PA PB AB +=，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[]6,8 B ．[]5,7 C ．[]4,6 D ．[]3,5二、填空题13．设A 为圆22(2)(2)1x y -+-=上一动点，则A 到直线50x y --=的最大距离为_______． 14．已知圆221:410C x y x +++=及圆222:2210C x y x y ++++=．则两圆的公共弦所在的直线方程为________.15．直线:10l x y +-=与圆22:4C x y +=交于A 、B 两点，则AB =________16．直线10kx y k -+-=与圆C ：()()22224x y -+-=相交于A ，B 两点．则ABC 面积的最大值为________． 三、解答题17．已知圆C 过点()()3153A B ,,,，圆心在直线y x =上. （1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系18．已知点()21A ，在圆22:860M x y x y m +--+=上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆N过点(1,P ，且与圆M 相切于点A ，求圆N 的标准方程．19．已知点P 在圆C ：()()222316x y +++=上运动，点()4,3Q ． （1）若点M 是线段PQ 的中点，求点M 的轨迹E 的方程；（2）过原点O 且不与y 轴重合的直线l 与曲线E 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，1211+x x 是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点()()1,0,1,0-，且圆心N 在直线:10l x y +-=上；圆22:(3)(4)8M x y -+-=，（1）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足2BS BT =？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知圆C 的方程：22240,x y x y m +--+=其中5m <. （1）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M N 、两点，且||MN =m 的值；（2）在（1）的条件下，是否存在直线1:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线l 若存在，求出c 的取值范围：若不存在，请说明理由.22．已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=． （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； （3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．参考答案1．C【分析】设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，由圆心在直线上得3b a =，由圆与x 轴相切得r b =，再由弦长公式得一等式，联立可求得,,a b r ．【详解】设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，则3b a =，r b ==解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即圆C 的半径为3． 故选：C ． 2．B 【分析】先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得,A B 两点坐标，计算面积即得结果. 【详解】依题意，点()1,0M ，由圆的性质可知，过点()2,1P 且垂直PM 的直线l 截得的弦长最短. 而10121PM k -==-，所以直线l 的斜率为1，即方程为：()12y x -=--，即3y x =-+. 所以直线l 与x 轴、y 轴分别交于()()3,0,0,3A B ， 故ABM 底边2AM =，高3h =，即面积为12332⨯⨯=.故选：B. 3．C【分析】先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出12125C C r r ==+，故两圆外切.【详解】因为圆1C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，所以圆心()13,4C ，半径11r =， 因为圆2C 的方程为2216x y +=，所以圆心()20,0C ，半径24r =， 所以125C C ==.因为12125C C r r ==+，所以圆1C 和圆2C 外切. 故选：C. 4．A【分析】确定直线过定点()0,1，点在圆内，得到答案.【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 5．D【分析】依题意可知动点(),A a b 在直线l ：30x y -+=上移动，当CA 与直线l 垂直时，CA 最小，从而切线长最小. 由点到直线距离公式求得CA 的最小值，进而可得结果. 【详解】圆C ：()()22122x y -+=+，圆心为()1,2C -，半径r =依题意知，直线260ax by ++=过圆心()1,2C -，所以30a b -+=，即动点(),A a b 在直线l ：30x y -+=上移动.所以，当CA 与直线l 垂直时，CA 最小，从而切线长最小，min CA ==4.故选：D.6．B【分析】将问题转化为圆心到直线的距离与半径差的问题求解即可.解：由题知圆221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =， 所以圆心到直线34100x y --=的距离为2d =，所以圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为1d r -=. 故选：B 7．C 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，进而判断两圆的位置关系，即可知公切线条数. 【详解】由题意，圆1C 的圆心(0,0)，半径为1，而圆2C 的圆心为(3,0)，半径为2， ∴123C C =，故圆1C 、圆2C 外切. ∴它们公切线条数为3条. 故选：C 8．B 【分析】把原不等式转化为半圆弧上任意一点到l 的距离大于等于1，也就是原点O 到直线l 的距离大于等于3，利用点到直线的距离公式建立不等式，即可解出实数k 的取值范围. 【详解】1≥对[]2,2x ∀∈-恒成立.记直线l ： 6y kx =+，上半圆C ：()2204y x y +=≥，1≥表示半圆弧上任意一点到l 的距离大于等于1，也就是原点O 到直线l的距离大于等于3. 而原点O 到直线l3≥，解得：k ≤k的取值范围是⎡⎣.【点睛】距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 9．A 【分析】根据点斜式设出直线的方程，1=，解方程即可. 【详解】由于直线1l 过点()2,2P 且与两坐标轴都有交点，则直线1l 的斜率存在且不为零， 设直线1l 的方程为()22y k x -=-，即220kx y k -+-=， 圆()2211x y -+=的圆心坐标为()1,0，半径为1，1=，解得34k =，所以，直线1l 的方程为()3224y x -=-，即3420x y+=-. 故选：A . 10．D 【分析】由题意可知当ACB ∠最小时，则弦AB 最小，此时CP AB ⊥，从而可求出直线AB 的斜率，进而可求出直线AB 的方程 【详解】解：由题意可得圆心C 坐标为()3,4，由三角形的大边对大角可知，当ACB ∠最小时，则弦AB 最小，所以CP AB ⊥，421131CP AB k k -==⇒=--， 所以直线方程为2(1)30y x x y -=--⇒+-=， 故选：D.【分析】由于直线1y kx =-过定点(0,1)P -，所以由圆的性质可知当直线CP 与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案 【详解】直线1y kx =-过定点(0,1)P -，圆心(1,0)C ，当直线CP 与弦垂直时，弦长最短，||CP =故选：B ． 12．C 【分析】将圆的方程化简为标准方程，设出点P 的坐标，运用向量垂直的坐标表示得出0AP BP ⋅=，即()()2223cos +4sin t θθ=++，再由正弦函数的性质可得选项. 【详解】由圆22 : 68240C x y x y +--+=得()()22341x y -+-=，又点P 在圆C 上，所以设()3cos ,4sin P θθ++，其中[)02，θπ∈，因为222PA PB AB +=，所以AP BP ⊥，所以0AP BP ⋅=， 又()()3cos +,4sin ,3cos ,4sin AP t BP t θθθθ=++=+-+， 所以()()2223cos +4sin 0AP BP t θθ⋅=+-+=，整理得 ()()2223cos +4sin t θθ=++()26+6cos +8sin 26+10sin +θθθβ==（其中3tan 4β=）， 因为[)02，θπ∈，所以()1sin +1θβ-≤≤， 所以21636t ≤≤，所以46t ≤≤， 故选：C.131+ 【分析】求出圆心C 到直线50x y --=的距离d ，进而可得结果.依题意可知圆心为()2,2C ，半径为1.则圆心C 到直线50x y --=的距离d =则A 点直线50x y --=的最大距离为12+.1. 14．x -y =0 【分析】当两圆相交时，将两圆方程相减可得公共弦的方程. 【详解】圆1C ：22410x y x +++= ① 圆2C ：222210x y x y ++++= ②①-②得公共弦的方程为：220x y -=，即0x y -=. 故答案为：0x y -=.15【分析】先求出圆心C 到直线的距离，即得解. 【详解】圆22:4C x y +=的圆心为原点，半径为2.由题得圆心C 到直线的距离为d =，所以AB =16．2 【分析】由题知直线10kx y k -+-=过点()1,1，且()1,1在圆内，进而设ACB θ∠=，,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】解：将直线10kx y k -+-=整理得()11y k x -=-，所以直线10kx y k -+-=过点()1,1， 因为()()2212124-+-<，所以()1,1在圆内，连接,AC BC ，则2AC BC ==，设ACB θ∠=，如图，因为CP =所以当直线10kx y k -+-=与CP 垂直时，θ取最小值2π， 所以在ABC 中，,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以1sin 2sin 22ABC S AC BC θθ==≤，当且仅当2πθ=.故答案为：217．（1）()()22334x y -+-=；（2）P 在圆C 内部. 【分析】(1)由给定条件设出圆心(),C a a 、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解. 【详解】（1）由题意设圆心为(),C a a ，半径为r ，则圆的标准方程为()222()x a y a r -+-=，由题意得()()222222(3)1(5)3a a ra a r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=； （2）由(1)知PC r =< P (2，4)在圆C 内.18．（1）()()22438x y -+-=；（2）()2212x y -+=. 【分析】(1)将点(2,1)A 代入圆M 的方程即可求出m 的值，再将一般方程化为标准方程即可； (2)设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)N a b ，根据,,M A N 三点共线，可先求出直线AM 的方程，将(,)N a b 代入可得1b a =-，再结合AN PN =，即()()()(2222211a b a b -+-=-+，即可求出,a b 的值，再求半径r ，从而可得圆N 的标准方程． 【详解】解：（1）将点(2,1)A 代入圆22:860M x y x y m +--+=，可得17m =， 所以圆22:86170M x y x y +--+=， 化为标准方程可得()()22438x y -+-=．（2）设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)N a b ，直线AM 的方程为123142y x --=--，即 1y x =-， 把(,)N a b 代入得1b a =-，又()()()(2222211a b a b -+-=-+，解得1a =，0b =， 所以r =故圆N 的标准方程为()2212x y -+=． 19．（1）()2214x y -+=；（2）1211+x x 是定值23-． 【分析】(1)根据给定条件探求出动点M 所满足的几何关系，再借助轨迹定义即可得解；(2)由题设条件设出直线l 的方程，联立直线l 与(1)中曲线E 的方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，借助韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）圆C 的圆心()2,3C --，半径为4， 设CQ 的中点为N ，则()1,0N ， 依题意，122MN CP ==，所以点M 的轨迹是以N 为圆心，2为半径的圆， 即M 的轨迹E 的方程为()2214x y -+=；（2）因l 过原点O 且不与y 轴重合，则可设直线l 的方程为y kx =．由22(1)4y kx x y =⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得22(1)230k x x +--=， 依题意知1x ，2x 是上述关于x 的一元二次方程的两根，则12221x x k +=+，12231x x k -=+， 于是有2121212221121331x x k x x x x k +++===--+， 所以1211+x x 是定值23-. 20．（1）22(1)2x y +-=；圆M 与圆N 相外切；（2）存在；(7,8)B ． 【分析】（1）先确定两圆圆心和半径，再计算圆心距与半径和进行比较即得结果；（2）设直线MN 上是存在点(,1)B a a +满足题意，利用2BS BT =，及其与切线长和半径之间的关系得到22430BN BM =-，再利用距离公式代入计算解得参数a 值，经检验即得结果. 【详解】解：（1）由题意知，圆N 的圆心N 也在直线0x =上，联立10,0x y x +-=⎧⎨=⎩解得0,1x y ==， ∴圆心(0,1)N ，设()1,0A -，则半径为N r NA = 圆N 的标准方程为22(1)2x y +-=. 又∵圆M 的圆心()3,4M，半径M r =∴圆心距NM M N r r MN +， ∴圆M 与圆N 相外切；（2）∵(0,1),N (3,4),M 直线MN 的方程为10x y -+=， 设直线MN 上是存在点B 满足题意，设(,1)B a a +， 由2BS BT =可知，224BS BT =，即2224(8)BN BM -=-，所以22430BN BM =-， 即2222(11)4[(3)(14)]30a a a a ++-=-++--，整理得2870a a -+=，解得1a =或()71,2a B =∴或()7,8B ．当(1,2)B 时，点B 为圆N 与圆M 的公切点，此时T ，S ，B 重合，不符合题意． 当(7,8)B 时，满足2BS BT =. 综上，存在点(7,8)B ，满足2BS BT =.21．（1）4m =；（2）存在，42c <<【分析】（1）将圆的一般方程先转化为标准方程，得出圆C 的圆心坐标和半径，再算出圆心到直线的距离，在直角三角形中由边的关系列出方程组即可得出答案；（2）由（1）结论算出圆的半径，算出圆心到直线1l 的距离1d ，若圆上有四点到直线l 的距11d <. 【详解】解：（1）把圆C 的方程化为22(1)(2)5x y m -+-=-，∴圆心为(1,2)，半径r∴圆心(1,2)C 到直线:240l x y +-=的距离为d =，由于MN =1122MN =， 由2221()2r d MN =+，得222=+， 解得4m =.（2）假设存在直线1:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线1l由于圆心为1,2（），半径1r =，则圆心(1,2)C 到直线1:20l x y c -+=的距离为1d =，所以11d =<解得42c <<即存在直线1:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线1l c的取值范围为42c <<22．（1）证明见解析；（2）22210x y x y +--+=；（3）0x y -=或20x y +-=. 【分析】（1）求出圆心到直线得距离与半径比较即可得出结论； （2）结合几何性质得到等量关系，即可求出轨迹方程；（3）联立直线与圆的方程，结合韦达定理以及已知条件即可求出结果. 【详解】（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ()0,1C 到直线l 的距离为1d <=<，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点； （2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=， 设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=， 故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=; （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB =，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+， 将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±， 所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.。

高考圆复习题

高考圆复习题

高考圆复习题一、选择题1. 圆的标准方程是：A. \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)B. \(x^2+y^2=r^2\)C. \((x-a)^2+(y-b)^2=1\)D. \(x^2+y^2=1\)2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 圆的切线与半径垂直，切点到圆心的距离等于：A. 半径的长度B. 切线的长度C. 圆心到切点的距离D. 半径的一半二、填空题4. 若圆的方程为 \(x^2+y^2=9\)，圆心坐标为（0，0），半径为3，则圆上任意一点P(x,y)到圆心的距离为______。

5. 圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 与直线 \(Ax+By+C=0\) 相切，则\(D^2+E^2-4F=\) ______。

三、解答题6. 已知圆 \((x-2)^2+(y+1)^2=9\)，求圆心坐标和半径。

7. 证明：圆的任意一条直径所对的圆周角是直角。

8. 已知圆心在原点，半径为4的圆，求经过点P(3,2)的圆的切线方程。

四、综合题9. 圆 \(x^2+y^2-4x-6y-10=0\) 与直线 \(2x+3y-11=0\) 相交于A、B 两点，求弦AB的长度。

10. 已知圆 \(x^2+y^2=16\) 内接于一个矩形，求矩形的面积最大值。

【答案】1. A2. B3. A4. 35. \(AB^2\)6. 圆心坐标为(2,-1)，半径为3。

7. 证明略。

8. 切线方程为 \(x+3y-7=0\) 或 \(3x-y-5=0\)。

9. 弦AB的长度为 \(\sqrt{65}\)。

10. 矩形面积最大值为32。

【结束语】通过以上题目的练习，相信同学们对圆的方程、性质、与直线的位置关系等知识点有了更深刻的理解和掌握。

希望同学们能够继续努力，不断巩固和提高自己的数学能力，为即将到来的高考做好充分的准备。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高考数学必考之圆的方程

高考数学必考之圆的方程

高考数学必考之圆的方程考点一 圆的方程1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()223125x y -+-=【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2<a <23【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<.考点二 点与圆的位置关系1．点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，2．经过点(1,2)A 可做圆22240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ）A ．(,(23,)-∞-+∞B ．(5,(23,)--+∞C ．(,)-∞-⋃+∞D ．(5,(22,)--+∞【答案】B【解析】圆22240x y mx y ++-+=，即为222()(1)324m m x y -+-=-， 2304m ∴->⇒m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B3．若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．,22⎛-⎝⎭C ．(D ．(【答案】D【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-<解得：m <本题正确选项：D考点三 直线与圆1．已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = 。

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切得，|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－23x ＋2＝0B ．(x －3)2＋y 2＝9C ．x 2＋y 2＋23x ＋2＝0D ．(x －3)2＋y 2＝3[答案] D[解析] 双曲线右焦点F (3,0)，渐近线方程y ＝±22x ，故圆半径r ＝3，故圆方程为(x－3)2＋y 2＝3.2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) [答案] B[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．2[答案] A[解析] ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为2，∴d min ＝2－1＝1.(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13D ．－15[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示的圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] ∵方程表示圆∴16m 2＋4－20m >0，∴m <14或m >1.5．已知f (x )＝(x －1)(x ＋2)的圆象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(0，2)D ．(0，22) [答案] A[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (1,0)，B (－2,0)，与y 轴交于点C (0，－2)，设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，a )，易知a ＝1.6．(2010·北京海淀区)已知动圆C 经过点F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，若直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值πB ．有最小值πC ．有最大值4πD ．有最小值4π[答案] D[解析] 由于圆经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切，所以圆心C 到点F 与到直线y ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C 的轨迹方程为x 2＝4y ，设C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 024，∵⊙C 过点F ，∴半径r ＝|CF |＝(x 0－0)2＋⎝⎛⎭⎫x 024－12＝x024＋1，直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，即转化为点⎝⎛⎭⎫x 0，x 024到直线3x －4y ＋20＝0的距离d ＝|3x 0－4×x 024＋20|5≤x 024＋1，解得x 0≥103或x 0≤－2，从而得圆C 的半径r ＝x 024＋1≥2，故圆的面积有最小值4π. 7．(文)已知a ≠b ，且a 2sin θ＋a cos θ－π4＝0，b 2sin θ＋b cos θ－π4＝0，则连结(a ，a 2)，(b ，b 2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] ∵A (a ，a 2)，B (b ，b 2)都在直线x cos θ＋y sin θ－π4＝0上，原点到该直线距离d ＝⎪⎪⎪⎪－π4sin 2θ＋cos 2θ＝π4<1，故直线AB 与单位圆相交．(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A ．4 B.163 C.473D ．5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±473，∴圆心⎝⎛⎭⎫－4，473到双曲线中心距离为d ＝(－4－0)2＋⎝⎛⎭⎫473－02＝163，A 1F 2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.8．(2010·吉林省质检)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0表示圆， ∴4＋36－20a >0，∴a <2，又圆关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形， ∴圆心(1，－3)在直线上，∴－3＝1＋2b ，∴b ＝－2，∴a －b <4. 9．(文)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y －4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2010·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx－3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 [答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.10．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x＋22y ≥22x＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝⎛⎭⎫12，－14的距离为d ＝⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C. 二、填空题11．(文)(2010·金华十校)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 [解析] 设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.(理)已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是________________．[答案] (x －4)2＋y 2＝16[解析] 由抛物线的性质知，A ，B 两点关于x 轴对称，所以△OAB 外接圆的圆心C 在x 轴上．设圆心坐标为(r,0)，并设A 点在第一象限，则A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫32r 2＝2×32r ，解得r ＝4，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0恒成立，且f (4)＝1，若f (x 2＋y 2)≤1，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是________．[答案] 6－4 2[解析] 依题意得，f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∵f (x 2＋y 2)≤1，f (4)＝1，∴f (x 2＋y 2)≤f (4)， ∴x 2＋y 2≥4，又因为x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，(x ＋1)2＋(y ＋1)2可以看作是点(x ，y )到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r －|OC |)2＝(2－2)2＝6－4 2.13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB |＝6，∴半径为3， 又⊙M 经过点C ，∴|CM |＝12|AB |＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.(理)(2010·胶州三中)以椭圆x 241＋y 216＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程为________．[答案] (x －5)2＋y 2＝16[解析] 由c 2＝41－16＝25得c ＝5，∴椭圆右焦点F 2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，∴圆半径r ＝|4×5＋0|42＋32＝4，∴圆方程为(x －5)2＋y 2＝16. 14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径 R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)(2010·瑞安中学)已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是______．[答案] (0,22][解析] 如图，曲线C ：|x |＋|y |＝4为正方形ABCD ，∵圆x 2＋y 2＝r 2在曲线C 的内部(含边界) ∴0<r ≤|OM |＝2 2. 三、解答题15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴过点A 的圆的切线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，过点A 的圆的切线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134， S ＝12·d ·|AO |＝12. 16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m <3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m <3) 将点A 的坐标代入圆C 的方程得，(3－m )2＋1＝5 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5 ∵m <3，∴m ＝1∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切依题意设直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4， 即kx －y －4k ＋4＝0若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5 ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112，或k ＝12当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0) ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12 ＝52＋2＝6 2∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(理)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为A (p ，q )，则圆C 的方程为(x －p )2＋(y －q )2＝8. ∵直线y ＝x 与圆C 相切于坐标原点O ， ∴O 在圆C 上，且直线OA 垂直于直线y ＝x .于是有⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＝8p q＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2q ＝2. 由于点C (p ，q )在第二象限，故p <0. 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)∵椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴2a ＝10，∴a ＝5.故椭圆右焦点为F (4,0)．若圆C 上存在异于原点的点Q (x 0，y 0)到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，则有|QF |＝|OF |，于是(x 0－4)2＋y 02＝42，且x 02＋y 02≠0①由于Q (x 0，y 0)在圆上，故有(x 0＋2)2＋(y 0－2)2＝8.②解①和②得⎩⎨⎧x 0＝45y 0＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.17．(文)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆． ∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32， 由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线PQ 方程为y ＝－x ＋1.(理)已知动圆P 与定圆B ：x 2＋y 2＋25x －31＝0内切，且动圆P 经过一定点A (5，0)． (1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在曲线E 上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围． [解析] (1)定圆B 的圆心B (－5，0)，半径r ＝6， ∵动圆P 与定圆B 内切，且过A (5，0)， ∴|P A |＋|PB |＝6.∴动圆圆心P 的轨迹E 是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆． 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝6，a ＝3，c ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝4. ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由DM →＝λDN →，可得(x 1，y 1－3)＝λ(x 2，y 2－3)，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λ(y 2－3)＋3.∵M ，N 在动点P 的轨迹上，∴⎩⎨⎧(λx 2)29＋(λy 2＋3－3λ)24＝1x 229＋y224＝1，消去x 2得，(λy 2＋3－3λ)2－λ2y 224＝1－λ2.解得y 2＝13λ－56λ(λ≠1)或λ＝1.①当λ＝1时，M 与N 重合，DM →＝DN →，满足条件．高考总复习含详解答案 ②当λ≠1时，∵|y 2|≤2，∴⎪⎪⎪⎪13λ－56λ≤2，解得15≤λ≤5，且λ≠1. 综上可得λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤15，5.。

圆与方程高考历年真题精选

圆与方程高考历年真题精选

圆与方程高考真题精选2009年考题1.（2009辽宁）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（ ）（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=【解析】选B.圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S ，故其内切圆半径为r=34512+-=,当该圆运动时，最多与直角三角形S 的两边也有4个交点。

3.（2009上海）.过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+¥则直线AB 有（ ）（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条【解析】选B.由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B 。

4.（2009湖南）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1【解析】选B.设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩， 解得：22a b =⎧⎨=-⎩，对称圆的半径不变，为1，故选B. 5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（A（B ）2 （C（D ）2 【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为220,241,y x y d -=+-=====圆（）的圆心（0，2）到直线的距离为因此弦长为6.（2009重庆高考）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离【解析】选B.圆心(0,0)为、到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B 。

高考数学专题《圆与方程》训练试题含答案

高考数学专题《圆与方程》训练试题含答案

高考数学专题《圆与方程》一、单选题1．若,,a b c 是ABC ∆的三边，直线0ax by c 与圆221x y +=相离，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形2．直线210kx y -+=与圆22(1)1y x +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 4．圆22460x y x y ++-=和圆2260x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．3590x y ++=B ．3590x y --=C ．3590x y -+=D ．3590x y +-= 5．已知圆C ：()()22114x y -+-=，过直线l ：()0y m m =>上一点Р作圆C 的切线，切点依次为A ，B ，若直线l 上有且只有一点Р使得2PC AC =，O 为坐标原点．则OP PC ⋅=（ ） A ．-20 B ．20或12 C ．-20或-12 D ．12 6．已知圆C ：221x y +=，则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知圆C ：()()22261x y ++-=，直线l ：3450x y -+=，则圆C 关于直线对称的圆是（ ） A ．()()22421x y ++-=B ．()()22421x y -+-= C ．()()22421x y +++= D ．()()22421x y -++= 8．已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A B 1 C ．1 D 9．已知圆22:9O x y +=，过点()2,1C 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，则当OAB 的面积最大时，直线l 的方程为（ ）A ．30x y --=或7150x y --=B ．30x y ++=或7150x y +-=C ．30x y +-=或7150x y -+=D ．30x y +-=或7150x y +-= 10．若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭11．若圆224x y +=上恰有2个点到直线y =x +b 的距离等于1，则b 的取值范围是A ．((2,22-B ．(()2,32-C ．(D ．(-12．若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是A ．2⎡⎤--⎣⎦B ．(2⎤--⎦C ．(-D ．2,⎡⎣ 13．若直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是 A ．0x = B ．1y = C ．10x y +-= D ．10x y -+= 14．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7415．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 17．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．圆22(2)(3)9x y ++-=上到直线0x y +=的距离等于2的点有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．已知两圆相交于()()A 1,3B ,1m -，，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则2m c +的值为A ．1B ．1-C ．3D ．020．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．321．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为领边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹为（ ）A ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆B ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆C ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．在平面直角坐标系中，已知定点()0,4A ，()2,0B ，若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则实数m 的最大值是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4523．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－D ．14＋24．若直线l 将圆22(2)(1)9x y ++-=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．20x y -=或10x y +-=D ．20x y +=或10x y ++=25．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．3C ．5+D ．5+26．若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+=-有三条公切线，则m 的值为A ．2BC ．4D ．627．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是（ ）A．4 B ．5 C ．1 D ．28．曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．重合 D ．相离29．已知(),,0A B C ABC ≠成等差数列，直线0Ax By C ++=与圆22260x y tx ty +++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随着t 的变化而变化 30．已知直线:3l y x =+与x 轴的交点为()30A -,，P 是直线l 上任一点，过点P 作圆()22:14E x y -+=的两条切线，设切点分别为C ､D ，M 是线段CD 的中点，则AM 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．31．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心32．圆221:(1)(3)1C x y ++-=，圆222:(5)(5)4C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值（ ）A ．6B ．C ．7D ．1033．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A．B ．6 C ．D ．334．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ）A ．12 B ．27 C ．23 D 35．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+36． 实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2BC ．8D ．37．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 所成角正弦值为定值，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A B C D 38．在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足2AP =，PM MC =，则BM 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．8D ．16 39．已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆1C ()()22:414x y -+-=与圆2C ：()2221x y +-=上的点,则PM PN -的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 40．过点()1,2总可以作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A ．()()32,-∞-+∞，B ．()8332,⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．()32,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．8332,⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题41．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：225x y +=有公共点(1,2)P -，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 42．已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，曲线C 上两点(),A m n ，(),B s p ，（m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，则s p m n -=______.43．平面区域321047020y x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的外接圆的方程是____________.44．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为____________．45．过圆2225x y +=上一点P 作圆222(05)x y m m +=<<的两条切线，切点分别为A 、B ，若120AOB ∠=︒，则实数m 的值为______.46．已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若2AB =，则实数m 的值为______．47．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______．48．已知圆E ：2220x y x +-=，若A 为直线l ：0x y m ++=上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是________. 49．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.50．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 及圆22:24270C x y x y +---=，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点，则ABC ∆的面积的最大值为________.51．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是________. 52．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：2220x y y +-=与圆2C：220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为实数a 的值为___________.53．若圆22211()()x y R -++=上有且仅有三个点到直线4311x y +=的距离等于1，则半径R 的值为______．54．已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为__________．55．22sin )x dx -+=⎰___________56．若直线y x t =+被圆228x y +=，则实数t 的取值范围为______． 57．直线20ax y +-=与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，若2CA CB ⋅=-，则a =__________． 58．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．59．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．60．若直线l ：2y x =+与圆C ：224x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为_____．61．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______62．动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积的取值范围为__________.63．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A （2，2）的距离为1且与点B （m ，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为______．64．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______．65．已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点，且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ，使22PA PB 10+=，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为__________.三、解答题66．已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，点P 在圆224x y +=上运动，求222PA PB PC ++的最大值和最小值．67．已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）若||AB =AOB 外接圆的方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点是A '(A '与B 不重合)，证明：直线A B '经过定点.68．已知椭圆C ：22221y x a b+=(0)a b >>过点P ，上、下焦点分别为1F 、2F ， 向量12PF PF ⊥．直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 中点为13(,)22M -． （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程；（3）记椭圆在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ，若曲线 2222440x mx y y m -+++-=与区域D 有公共点，试求m 的最小值．69．已知直线过点，并与直线和分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．70．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=；（2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．71．已知直线:220l ax by -+=(0,0)a b >>，圆22:2410C x y x y ++-+=. （1）若1,2a b ==，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求14a b+的最小值.72．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆,//E AB DC .记直线,AC BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.73．已知直线l 过点()1,1且与直线210x y ++=垂直.（1）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，求AB ；（2）求圆心在直线l 上且过两点()()1,1,3,1M N 的圆的标准方程.74．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.75．从圆C :22(2)(2)4-++=x y 外一动点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且PM PO =(O为坐标原点)，求PM 的最小值和PM 取得最小值时点P 的坐标．76．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．77．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+3=0，圆M 的极坐标方程为ρ=4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）写出直线l 与圆M 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆M 交于A 、B 两点，求AB 的长．78．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．79．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.80．已知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，且圆C 的一条直径的两个端点M ，N 分别在x 轴和y 轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 为直角三角形，求直线l 的方程．81．已知圆22:80C x y y +-=与动直线:22l y kx k =-+交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）已知点()2,2P ，当OP OM =时，求l 的方程及POM 的面积.82．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围．83．如图，已知圆2212x y +=与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P 、2P 、3P 、4P ，求：①13PP ；②1324PP P P -的值．84．已知定点F （3，0）和动点P （x ，y ），H 为PF 的中点，O 为坐标原点， （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，点C （2，0）．连接AC ，BC 分别交于点M ，N ．试证明：以MN 为直径的圆恒过点F ．85．求半径为2，圆心在直线12:l y x =上，且被直线2l ：10x y --=所截弦的长为圆的方程.86．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．87．已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上.（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点A ，B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ，QB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 坐标；若不存在，请说明理由.88．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程：()222411211k x k k y k ⎧=-+⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程；（2）过曲线2C 上一点P 作直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，中点为D，AB =求PD 的最小值.89．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； ②设l 与圆C 交于A 、B两点，若AB l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.90．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D 【详解】试题分析：因为直线0ax by c 与圆221x y +=1>，即222222,cos 02a b c a b c C ab+-+<=<，角C 为钝角，ABC ∆一定是锐角三角形,故选D.考点：1、点到直线的距离公式；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形. 2．A 【分析】确定直线过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，点在圆内，得到答案.【详解】210kx y -+=过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2211(110)24+-=<，故10,2⎛⎫⎪⎝⎭在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 3．B 【详解】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d =．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ． 4．D 【分析】求出两圆的连心线所在直线的方程，即为AB 的垂直平分线的方程. 【详解】圆22460x y x y ++-=的标准方程为()()222313x y ++-=，圆心为()2,3M -，圆2260x y x +-=的标准方程为()2239x y -+=，圆心为()3,0N ，由于两圆关于直线MN 对称，所以，A 、B 两点也关于直线MN 对称， 所以，AB 的垂直平分线为直线MN ， 直线MN 的斜率为303235MN k -==---，则直线MN 的方程为()335y x =--，即3590x y +-=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查两圆相交弦的垂直平分线所在直线的方程，解题的关键就是由两圆关于连心线所在直线对称，进而得出相交弦被连心线垂直平分，解题时应充分分析圆的几何性质，结合几何性质来解题. 5．A 【分析】由题设易知PC l ⊥且||PC 为C 到直线l 的距离，再根据圆心坐标及半径、2PC AC =即可确定m 的值，进而可得()1,5P ，应用向量数量积的坐标运算求OP PC ⋅. 【详解】∵这样的点P 是唯一的，则PC l ⊥，即||PC 为C 到直线l ：()0y m m =>的距离，而圆C 的半径为2且(1,1)C ，∴要使2PC AC =，则4PC =，又0m >，即5m =， ∴()1,5P ，故()()1,50,420OP PC ⋅=⋅-=-． 故选：A ． 6．C 【分析】根据题意，求出圆C 的圆心与半径，求出圆心到直线的距离125=，分析可得3r d +>，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：221x y +=，圆心为()0,0，半径1r =，则圆心()0,0C 到直线l ：34120x y +-=距离1215d r ==>=， 圆的半径为1，有12135+>，即3r d +>， 则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有2个. 故选C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，属于基础题． 7．D【分析】对称圆的圆心C '与C 关于l 对称，且CC '所在直线垂直于直线l ，据此求解出对称圆的圆心C '坐标，再根据圆对称半径不变即可求解出对称圆的方程. 【详解】设对称圆的圆心(),C a b '，()2,6C -，所以CC '中点为26,22a b -+⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2634502263124a b b a -+⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪+⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 关于直线对称的圆的方程为：()()22421x y -++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的方程，难度一般.求解圆关于直线的对称圆的方程从两方面入手：(1)两圆圆心连线的中点在已知直线上；(2)两圆圆心的连线垂直于已知直线. 8．B 【详解】直线()220ax a b y b +++=整理得()()220a x y b y +++= 可知直线过定点T ()1,2-，所以点H 落在以QT 为直径的圆上，点H 的轨迹为()()22111x y -++=，圆心为C ()1,1-半径为1，PH的最小值为r 1PC -;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半径，重点是转化的思想. 9．D 【分析】当直线l的斜率不存在时，易求得OAB S =l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，进而得弦长AB =,A B的距离dOAB S ∆=.【详解】当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为2x =，则,A B 的坐标分别为在时，所以122OABS=⨯⨯=当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则圆心到直线,A B 的距离d =由平面几何知识得AB =119222OABS AB d ∆=⨯⋅=⨯， 当且仅当229d d -= ，即292d =时， OAB S ∆取得的最大值为92，因为92，所以OAB S ∆的最大值为92.此时292=，解得1k =-或7k =-， 此时直线l 的方程为: 30x y +-=或7150x y +-= 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题. 10．C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题. 11．B 【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列出不等式可解得． 【详解】依题意可得圆心到直线的距离()1,3d ∈.∵d =3<，解得b -<b <B . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题． 12．B 【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =<，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分， 直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件： 当直线经过点()4,2A 时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2=，解得：b =±B 时，b =-结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】 13．D 【详解】因为直线l ：1y kx =+过定点()0,1M ，而点()0,1M 在圆22:230C x y x +--=内，根据圆的几何性质可知，当直线l 与MC 垂直时,直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，由圆的方程可得()1,0C ，于是可得101,101MC k k -==-=-，直线l 的方程是1,y x =+化为10x y -+=，故选D. 14．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C15．C【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r +≥-即可求解.【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --，由图得AC BC AP r +≥-==故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解. 16．D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值， 而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故d ==故1sin 302r PC ==︒=，解得r =故选：D .【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 17．B【分析】根据“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”求出1a =-，由211a a =⇒=±，然后根据必要不充分条件的概念进行判断.【详解】因为直线l 与圆22210x y ay +--=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又因为圆心()0,a=1a =-，又211a a =⇒=±，所以“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的必要不充分条件.故选：B.18．A【分析】首先判断出圆心到直线的距离，然后判断2d +，2d -与r 的关系，从而确定点的个数.【详解】圆的圆心为()2,3-，半径为3圆心到直线的距离d ==可知23<，232+<由上图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由位置关系判断到直线距离为定值的点的个数，解题关键在于确定圆心到直线的距离，再进一步判断.19．A【详解】由圆的性质知：AB 与直线0x y c -+=垂直且被平分，所以3111AB k m+==--，解得5m =，又AB 中点(3,1)在直线上，代入可求得2c =-，所以21m c +=故选A.20．B【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=≥，所以(2,1)AE =，(0,2)AD =，00(,)AP x y =，因为(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =⎧⎨=+⎩，即0002221y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以001212y x y x -+=+⋅，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点， 所以01cos x θ=+，0sin y θ=，[0,]θπ∈， 所以1sin 2121cos θx y θ-+=+⋅+，所以当2πθ=时，2x y +取得最小值1. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.21．C【分析】 首先设()()00,,,P x y N x y ，根据平行四边形的性质，求得003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩，代入圆的方程，求得点P 的轨迹，同时注意去掉不能满足平行四边形的点.【详解】设()()00,,,P x y N x y ，则线段OP 的中点坐标为,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标为0034,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于平行四边形的对角线互相平分，所以003,22422x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，从而003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩又点()3,4N x y +-在圆224x y +=上，所以()()22344x y ++-=.当点P 在直线OM 上时，22443x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得：912,55x y =-=或2128,55x y =-=. 因此所求轨迹为以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：C.22．D【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以()0,4A ，()2,0B 两点为直径的圆的方程为()()22125x y -+-=，设圆心为N ，所以()1,2N若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则圆M 与圆N 有公共点，又圆22:245M x y x y m ++++=，所以()1,2M --)0m >，所以MN =≤545m ≤≤，所以m 的最大值为45.故选：D23．D【解析】圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(32＝14＋故选D.24．D【分析】由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，分直线l 过原点和直线l 不过原点，分别求得其直线方程.【详解】解：由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，当直线l 过原点时，其方程为20x y +=；当直线l 不过原点时，设l ：x y a +=，则211a =-+=-，此时方程为10x y ++=. 故选：D.25．A【分析】先求出AC AB ⊥，然后以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出圆C 的方程丹凤 出M 点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最大值．【详解】 由题意3ABC π∠=，所以22212212cos 33AC π=+-⨯⨯=，即222AC AB BC +=，所以2CAB π∠=，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0)B ，C ，(D -．直线BD 方程为111x -=--20y +-=，所以圆C 半径为7r ==C 方程为223(7x y +=，设()77M αα，21()AM αα=，(BD =-，所以3AM BD αα⋅=+，33=．故选：A ．26．C【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值．【详解】由题意可知两圆外切，圆C 的圆心为()0,0，圆E 的圆心为()3,4，半径为4，4，解得4m =.故答案为C.【点睛】本题考查了两圆的公切线，考查了圆与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题． 27．A【解析】【详解】由题意可得圆心(2,3)C ,半径为1r =,点A 关于x 轴的对称点(1,1)A -'-,求得5A C =',则要求的最短路径的长为514A C r -=-=',故选A.28．B【详解】将sin 20ρθ-=化为直角坐标方程得，20y -= ，由4cos 0ρθ-=可得，24cos ρρθ=化为直角坐标方程可得，()2224x y -+= ，圆心()2,0 到直线20y -=的距离为2 ，等于圆的半径，所以直线20y -=与()2224x y -+=相切，即曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是相切，故选B.29．A【分析】若,,A B C 公差为d ，结合直线方程可得(1)(2)0A x y d y ++++=，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可.【详解】若,,A B C 公差为d ，则()(2)(1)(2)0Ax A d y A d A x y d y ++++=++++=，∴直线恒过定点(1,2)-，将代入圆中，可得522610t t +--=-<，∴(1,2)-在圆22260x y tx ty +++-=内，故直线与圆相交.故选：A30．B【分析】先求出M 点的轨迹为圆，然后问题转化为圆外的点到圆上的点的距离最大问题求解即可【详解】设点M 坐标为(),x y ，P 点坐标为()00,x y ，因为P ，M ，E 共线所以//PE ME ，得()()0011y x y x -=-因为003y x =+，得0033141y x x y x y y y x +-⎧=⎪-+⎪⎨⎪=⎪-+⎩① CD 的直线方程为()()00114x x y y --+=②将①代入②得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 点的轨迹是以N 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，AM的最大值为2AN r +=+=故选：B31．C【详解】圆心到直线的距离()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项.32．C【详解】圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标C 3（﹣1，﹣3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标（5，5），半径为2， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，31037=-=． 故选C ．33．A【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =18PF =，从而可求出c 的值 【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =． 设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF =8=，c =2c = 故选：A 【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 34．B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：。

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题1. 请根据圆的标准方程 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，判断圆心坐标和半径。

2. 圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 是一个什么圆？3. 已知一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16，请问这个圆的半径是多少？4. 如果一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 1，那么这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？5. 已知一个圆的方程是 (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4，请判断这个圆是否是圆心在原点的圆。

6. 请根据圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，判断这个圆的圆心坐标和半径。

7. 已知一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？8. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0 是否是一个标准圆的方程。

9. 如果一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？10. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。

11. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。

12. 已知一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 4，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？13. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0 是否是一个标准圆的方程。

14. 如果一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？15. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的圆心坐标和半径。

16. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。

17. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。

圆的方程-2023届高考数学二轮专题必考点专练(含解析)

圆的方程-2023届高考数学二轮专题必考点专练(含解析)

专专9.2圆的专专一、单选题1. 已知圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，a ，b为正实数，则ab 的最大值为 ( )A. B.94C.32D.22. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C.D.3. 已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)D 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点(0,4)P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 30B. 40C. 60D. 805. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，，若动点M 满足||2||MA MO =，则OM ON ⋅的取值范围是( )A.B.C.D.6. 若平面内两定点A ，B 之间的距离为2，动点P 满足|||PB PA =，则tan ABP∠的最大值为( )A.2B. 1C.D. 7. 已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( )A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++= 8. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，ABC 内接于圆，且60BAC ︒∠=，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是( )A. 2212x y +=B. 2214x y +=C. 2211()22x y x +=<D. 2211()44x y x +=<9. 已知线段AB 是圆C ：224x y +=上的一条动弦，且||23AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则的最小值为( )A. 1B. 1C. 2D. 2二、多选题10. 已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( ) A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，||PB =D. 当PBA ∠最大时，||PB =11. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1:2，则圆C的方程为( )A. 224()33x y ++= B. 224(33x y +-=C. 224(3x y +=D. 224(3x y ++=12. 关于圆2221:2104C x y kx y k k +-++-+=，下列说法正确的是( ) A. k 的取值范围是0k >B. 若4k =，过(3,4)M 的直线与圆C 相交所得弦长为125160x y --=C. 若4k =，圆C 与圆221x y +=相交D. 若4k =，0m >，0n >，直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则128m n+恒成立13. 圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q在直线l 上，则下列结论正确的是( )A. 直线l 与圆C 相交B. ||PQ 的最小值是1C. 若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D. 从Q 点向圆C 引切线，切线长的最小值是314. 已知222{(,)|}A x y x y r =+=，222{(,)|()()}B x y x a y b r =-+-=，1122{(,),(,)}A B x y x y ⋂=，则( )A. 22202a b r <+<B. 1212()()0a x x b y y -+-=C. 1212,x x a y y b +=+=D. 221122a b ax by +=+三、填空题15. 已知P ，Q 分别为圆M ：22(6)(3)4x y -+-=与圆N ：22(4)(2)1x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的最小值为__________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点.D 若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为__________.17. 已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________.18. 已知圆O ：221x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=__________.19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________. 四、解答题20. 已知两个定点(4,0)A -，(1,0)B -，动点P 满足||2||.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ： 4.y kx =-()Ⅰ求曲线E 的轨迹方程；()Ⅱ若l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且90(COD O ︒∠=为坐标原点)，求直线l的斜率；()Ⅲ若12k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点．答案和解析1.【答案】B解：由已知，得圆1C ：22()(2)1x a y ++-=的圆心为1(,2)C a -，半径1 1.r = 圆2C ：22()(2)4x b y -+-=的圆心为2(,2)C b ，半径2 2.r =圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，1212,||C C r r ∴=+即3a b +=， 由基本不等式，得29()24a b ab +=，取等号时32a b ==， 故选：.B2.【答案】A解：直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||4422AB =+=，点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，圆心到直线的距离为：，所以点P 到直线的距离h 的最大值为22232+=，最小值为2222-=，则ABP 面积为，最大值为1223262⨯⨯=， 最小值为122222⨯⨯=， 所以ABP 面积的取值范围为[2,6]. 故选.A解：由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =，且点D 在圆内，设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D 的直线与圆的相交弦长||AB = 当d 最大时||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，这时||d CD ===所以最小的弦长||2AB ==， 故选.B4.【答案】B解：圆 M 的标准方程为 22(3)(4)25x y -+-=， 即圆是以 (3,4)M 为圆心，5为半径的圆，且由 22(03)(44)925-+-=<，即点 (0,4)P 在圆内， 则最短的弦是以 (0,4)P 为中点的弦， 所以 225()92AC =+，所以 8AC =， 过 (0,4)P 最长的弦 BD 为直径， 所以 10BD =，且 AC BD ⊥， 故而故选.B5.【答案】D解：设(,)M x y ，因为动点M 满足||||MA MO = 则222222(2)22(2)8x y x y x y ++=+⇒+-=，即(,)(1,0)[OM ON x y x ⋅=⋅=∈-， 故选.D解：以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 如图，则(1,0)A ，(1,0)B -，设，2222(1)2(1)x y x y ++=-+，整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+=，根据图象可知，当BP 为圆C 切线时，tan ABP ∠取得最大值， 此时BP == 则tan 1PC ABP PB ∠===， 故选：.B7.【答案】D解：圆M 方程的圆心(1,1)M ，半径2r =， 根据切线的性质及圆的对称性可知PM AB ⊥， 则||||42||||PAMPM AB SPA AM ⋅==⋅，要使||||PM AB ⋅最小，只需最小，即最小，此时PM l ⊥，min |212|||55PM ++∴==，22||||||1PA PM AM =-=， 过点M 且垂直于l 的方程为11(1)2y x -=-，将其与l 的方程联立，解得(1,0)P -， 以PM 为直径的圆的方程为，结合圆M 的方程两式相减可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故选.D(,)P x y8.【答案】D解：设BC 中点是D ，圆周角等于圆心角的一半，120BOC ︒∴∠=，60BOD ︒∠=，在直角三角形BOD 中，有12OD =， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=， 考虑A ，B 重合的极限情况，此时30OAC ︒∠=， 则直线AC 所在的方程为3333y x =-， 联立，得或故C 的横坐标为12-，AC 的中点横坐标为1.4因为A ，B 不重合，所以D 点横坐标14x <， 故选：.D9.【答案】C解：由题意，过圆心C 作CD AB ⊥交AB 于点D ，又圆C ：224x y +=，圆心为(0,0)C ，半径2r =， 所以，则||||2||2||PA PB PC CA PC CB PC CD PD +=+++=+=， 当PC AB ⊥时，且D 在线段PC 上时，||PD 取最小值， 由点C 到直线40x y +-=的距离，所以，所以的最小值为42 2.-故选.C10.【答案】ACD解：由点(4,0)A ，(0,2)B ， 可得直线AB 的方程为240.x y +-=则圆心(5,5)=，故P 到直线AB 410<，42<，所以A 正确，B 错误.由题意可知，当直线PB 与圆相切时，PBA ∠最大或最小， 由于圆心到B 的距离为，此时，故C ，D 都正确.故选.ACD11.【答案】AB解：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π， 设圆心(0,)a ，半径为 r ， 则sin13r π=，cos||3r a π=，解得r =243r =，||3a =，即3a =±，故圆C 的方程为224(.33x y +±= 故选.AB12.【答案】ACD解：对于A ，若方程22212104x y kx y k k +-++-+=表示圆，则，化简得0k >，故A 正确；对于B ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.过(3,4)M 的直线的斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心到直线3x =的距离为1，则过(3,4)M 的直线与圆 C 相交所得弦长为2222123-=； 过(3,4)M 的直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则直线方程为，即430kx y k -+-=，设圆心到直线430kx y k -+-=的距离为d ，因为弦长为23，则222223d -=，解得1d =， 故，解得125k =， 所以直线方程为，即125160x y --=，故满足条件的直线方程为3x =或125160x y --=， 故B 错误；对于C ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.圆221x y +=的圆心为，半径为1，所以两圆心间的距离为，又21521-<<+，故两圆相交，故C 正确；对于D ，若4k =，则圆C 的圆心为，又直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则21m n +=，又0m >，0n >， 则444248m n m n m n m=++⨯= 当且仅当224n m =，即11,42m n ==时等号成立， 故D 正确. 故选.ACD13.【答案】BCD解：圆的方程化为标准形式为，圆心为，半径 4.r =圆心C 到直线l 的距离为22|3(2)437|543(4)d ⨯--⨯-==>+-，∴直线l 与圆C 相离，不相交，故选项A 错误；||PQ 的最小值为541-=，故选项B 正确；圆C 上的点到l 的距离最小值为541-=，最大值为549+=，2(1,9)∈，∴圆C 上到直线l 的距离为2的点P 有2个，故选项C 正确；Q 到圆C 的切线QT ，T 为切点，则，当||QC 最小时||QT 最小，||QC 的最小值等于C 到直线l 的距离5d =，22||543QT ∴=-=最小值，故选项D 正确.故选.BCD14.【答案】BCD解：设两圆相交于111(,)P x y ，222(,)P x y ，圆，圆C ：222()()x a y b r -+-=，则02||OC r <<，即22204a b r <+<，故A 错误，两圆方程相减可得直线12P P 的方程为：22220a b ax by +--=，即2222ax by a b +=+， 分别把111(,)P x y ，222(,)P x y 两点代入2222ax by a b +=+得：221122ax by a b +=+，222222ax by a b +=+，两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，故BD 正确； 由圆的性质可知：线段12P P 与线段OC 互相平分，12x x a ∴+=，12y y b +=，故C 正确，故选：.BCD15.【答案】3解：如图所示，因为圆N ：22(4)(2)1x y ++-=关于x 轴对称的圆为圆G ：22(4)(2)1x y +++=， 则||||AP AQ +的最小值为22||12105355 3.MG --=+-=-故答案为55 3.-16.【答案】3解：设(,2)A a a ，0a >，(5,0)B ，5(,)2a C a +∴， 则圆C 的方程为(5)()(2)0.x x a y y a --+-=联立2(5)()(2)0y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得(1,2).D223215(5,2)(,2)240.22a a a AB CD a a a a a ----∴⋅=--⋅-=+-= 解得：3a =或 1.a =-又0a >， 3.a ∴=即A 的横坐标为3.故答案为：3.17.【答案】22(1)(2)4x y -+-=解：圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，故有|1||2|a a +=，解得1a =，或1(3a =-舍去)，故半径为2， 则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2) 4.x y -+-=18.【答案】12解：根据题意，设(,)M x y ，若||||MB MA λ=，变形可得222||||MB MA λ=，即222222()(2)x b y x y λλ-+=++，又由221x y +=，则变形可得：2221245b bx x λλ+-=+， 则有2225142b bλλ⎧=+⎨=-⎩， 解可得1(2λ=负值舍去)，12b =-； 故答案为：1.219.【答案】[4,2]--解：如图过直线60x y -+=上点P 作圆2210x y +=的切线，当两条切线垂直时，根据，得4OPB π∠=， 所以， 则由题意得，设(,6)A x x +，则22(6)25x x ++，即2680x x ++，解得42x --，所以点A 横坐标的取值范围是[4,2].--故答案为[4,2].--20.【答案】解：(1)设点P 坐标为(,)x y ，由||2||PA PB ==， 平方可得22228164(21)x y x x y x +++=+++，整理得：曲线E 的轨迹方程为224x y +=； (2)直线l 的方程为4y kx =-，依题意可得三角形COD 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为1||2CD =则d ==，k ∴=；(3)由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上， 设1(,4)2Q t t -，以OQ 为直径的圆的方程为1()(4)02x x t y y t -+-+=， 即：22(4)02t x tx y y -+--=，又M ，N 在曲线E ：224x y +=上，可得MN 的方程为1(4)402tx t y +--=， 即()4(1)02y x t y +-+=，由0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线MN 过定点1(,1).2-。

2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

2020年高考数学复习题：圆的方程

2020年高考数学复习题：圆的方程

圆的方程[基础训练]1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9答案：C 解析：∵圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5＝3， ∴圆的半径为3，即圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.2．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<m <1B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1 答案：B 解析：由D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4－20m >0，解得m >1或m <14.3．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案：B 解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m，要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.4．[2019湖南师大附中月考]已知圆x2＋(y－1)2＝2上任一点P(x，y)，其坐标均使得不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]答案：A解析：∵x＋y＋m≥0，即m≥－x－y恒成立，∴只需求出－x－y的最大值即可．∵1＝x2＋(y－1)22≥⎝⎛⎭⎪⎫x＋y－122，∴(x＋y－1)2≤4，解得－2≤x＋y－1≤2，即－1≤x＋y≤3，∴－3≤－x－y≤1，∴－x－y的最大值是1，则m≥1，∴实数m的取值范围是[1，＋∞)．故选A.5．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4,6) B．[4,6] C．[4,6) D．(4,6]答案：A解析：易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r在(4,6)之间取值符合题意．6．[2019河南豫西五校联考]在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16答案：B解析：解法一：由题意，可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝|1＋b|1＋b2＝(1＋b)21＋b2＝1＋2b1＋b2≤1＋2|b|1＋b2≤2，当且仅当b＝1时等号成立，所以半径最大的圆的半径r＝2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.解法二：直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图，∴圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.7．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．答案：4解析：如图所示，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.8．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN ＝45°，则x0的取值范围是________．答案：[－1,1]解析：解法一：当x0＝0时，M(0,1)，由圆的几何性质，得在圆上存在点N(－1,0)或N(1,0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A，B，如图1.若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，应有∠OMB≥∠OMN＝45°，∴∠AMB≥90°，∴－1≤x0<0或0<x0≤1.综上，－1≤x0≤1.解法二：过O作OP⊥MN，P为垂足，如图2，OP ＝OM ·sin 45°≤1，∴OM ≤1sin 45°，∴OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.9．[2019银川模拟]已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________． 答案：3 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形P ACB 的面积为2S △APC ＝2×12|P A |r ＝|P A |＝|PC |2－r 2，要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2. 所以四边形P ACB 面积的最小值为|PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.10．[2019河南安阳一模]在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是________．答案：[0,3] 解析：设满足|MA |＝2|MO |的点的坐标为M (x ，y )， 由题意得x 2＋(y ＋3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y －1)2＝4，即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x 2＋(y －1)2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1有交点，据此可得关于实数a 的不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(a －3)2≥1，a 2＋(a －3)2≤3， 解得0≤a ≤3，综上可得，实数a 的取值范围是[0,3]．11．[2019广东深圳3月联考]如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)在(2)的条件下，若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程．解：(1)易知k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22，∴BC 边所在直线方程为y ＝22x －2 2.(2)由(1)及题意得C (4,0)，∴M (1,0)，又∵AM ＝3，∴外接圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(3)∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是动圆的半径，又∵动圆N 与圆M 内切，∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3，∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∵P (－1,0)，M (1,0)，∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54，∴所求轨迹方程为x 294＋y 254＝1，即4x 29＋4y 25＝1.[强化训练]1．[2019广东七校联考]圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4 D.163答案：D 解析：圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9 ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时等号成立，故选D.2．[2019江西新余五校3月联考]已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0答案：D 解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k ≠12， 则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2， 由平面几何知识，得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92， 当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92. 因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92， 解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.3.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]答案：B 解析：由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆，3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，直线的斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．4．过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 C ．(－3,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 答案：D 解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或a >1，所以a <－3或1<a <32.5．[2019福建厦门3月联考]若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23. 又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34， ∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.6．[2019重庆九校联盟联考]设m ，θ∈R ，则(22－m －cos θ)2＋(22＋m －sin θ)2的最小值为( )A ．3B ．4C ．9D ．16答案：C 解析：(22－m －cos θ)2＋(22＋m －sin θ)2的几何意义是单位圆上的点与直线x ＋y －42＝0上的点间的距离的平方，故其最小值为(4－1)2＝9.故选C.7．[2019广东广州模拟]已知圆(x ＋3)2＋y 2＝64的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则|PM ||PN |的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤67，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 答案：C 解析：圆(x ＋3)2＋y 2＝64的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，∴P 是AN 的垂直平分线上一点，∴|P A |＝|PN |.又∵|AM |＝8，∴点P 满足|PM |＋|PN |＝|AM |＝8>6，即点P 满足椭圆的定义，焦点是(3,0)，(－3,0)，长半轴长a ＝4，∴点P 的轨迹方程为x 216＋y 27＝1，|PM |＋|PN |＝8，|PM ||PN |＝8－|PN ||PN |＝8|PN |－1.∵1≤|PN |≤7，∴8|PN |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤87，8， ∴|PM ||PN |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，7， 故选C.8．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0上的动点M 到坐标原点的距离的最大值、最小值分别是________，________.答案：322 解析：因为圆心是A (2，－2)，半径是2，又AO ＝22，所以动点M 到坐标原点的距离的最大值、最小值分别是22＋2＝32，22－2＝ 2.9．[2019湖南师大附中模拟改编]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b a x 相交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，OP →＝3OQ →.则椭圆C 的标准方程和圆A 的方程分别为________，________.答案：x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85 解析：如图，设T 为线段PQ的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ .∵AP →·AQ →＝0，即AP ⊥AQ ，∴|AT |＝12|PQ |.又OP →＝3OQ →，∴|OT |＝|PQ |.∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12.由已知c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4，∴|AT |2＋4|AT |2＝4，∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105.∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85. 10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M 的坐标为(m ，n )(m ≠－2)，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.∵|QC |＝[2－(－2)]2＋(7－3)2＝42>22，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)易知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即直线MQ 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知，当直线MQ 与圆C 相切时取得最值， 则|7－2k －2k －3|1＋k2＝22， 解得k ＝2－3或k ＝2＋3，则k ＝n －3m ＋2的最大值和最小值分别为2＋3，2－ 3. 11．[2016江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤[(t＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221 ]．。

高考复习文科数学课时试题(47)圆的方程及答案

高考复习文科数学课时试题(47)圆的方程及答案

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】课时作业(四十七) [第47讲 圆的方程][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．圆心在(2，－1)且经过点(－1,3)的圆的标准方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝52．直线y ＝x ＋b 平分圆x 2＋y 2－8x ＋2y ＋8＝0的周长，则b ＝( ) A ．3 B ．5 C ．－3 D ．－53．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0 4． 已知抛物线y 2＝4x 的焦点与圆x 2＋y 2＋mx －4＝0的圆心重合，则m 的值是________． 能力提升5． 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－36．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A ．30＋226 B ．30＋426 C ．30＋213 D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，12(5－2) 10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0的圆心到直线x ＋3y ＝0的距离是________．11． 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．12．在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．13． 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．15．(13分)点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．难点突破16．(12分) 已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．A [解析] 因为圆的圆心为(2，－1)，半径为r ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25.故选A.2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y ＝x ＋b 过圆心，所以－1＝4＋b ，所以b ＝－5.故选D.3．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B.4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以－m2＝1，得m ＝－2.【能力提升】5．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.6．C [解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以AB 的中点轨迹是圆，故选C.7．D [解析] A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．B [解析] 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.故选B.10．2 [解析] 圆C 的圆心是C (2，－23)，由点到直线的距离公式得|2－23×3|1＋3＝2.11．x －2y －3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0. 12．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.13．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cos θ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 14．[解答] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列得，(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1，所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．15．[解答] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )， 由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4， 故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 【难点突破】16．[解答] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)由(1)知曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 设直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16。

2022届高考数学二轮专题复习14圆的方程

2022届高考数学二轮专题复习14圆的方程

1．直线与圆的位置关系1．若直线():430l mx y m m --+=∈R 与曲线()()22231x y -+-=有公共点， 则m 的取值范围为（） A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆， 由题意可知，圆心()2,3到直线l 的距离应小于等于半径1，所以，2223432111m m m m m --+=≤++，解得33m -≤≤，故选C ． 2．若直线()():1210l m x m y -+-=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则实数m 的范围是（） A ．3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】当12m =时，直线l 为y 轴与曲线C 显然有公共点； 12m ≠时，1:21ml y x m -=-经过原点，斜率为121m m --，曲线C 为圆心（2，2）半径为2的上半圆． 当直线经过半圆的右端点A 恰好有公共点，逆时针旋转至y 轴满足题意，如下图．由于12OA k =，故11212m m -≥-，解得1324m <≤，综上1324m ≤≤，故选D ．3．若曲线24y x =-与直线4)2(y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(]1,3【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示． 由题意可得，曲线24y x =-的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过A (2，4)，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即221k =+，解得34k =； 当直线l 过B 点时，直线l 的斜率40122k -==-(-)，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A ．4．已知()2,0A -，()4,0B ，在直线:430l x y m ++=上存在点P ，使PA PB ⊥，则m 的最大值是（） A ．9 B ．11 C ．15 D ．19【答案】B【解析】设以线段AB 为直径的圆为圆M ，则圆心为()1,0M ，半径3r =， 故圆M 的方程为()2219x y -+=． 因为PA PB ⊥，所以点P 在圆M 上．因为点P 在直线l 上，所以圆心M 到直线l 的距离43169m d +=≤+，解得1911m -≤≤，故选B ．5．过点(0,5)M 作圆22:4410C x y x y ++--=的两条切线12,l l 与圆C 分别切于A ，B 两点，则直线AB的方程为（）A ．23110x y +-=B ．23110x y --=C ．2390x y +-=D ．2390x y --=【答案】A【解析】由题意可得圆22:4410C x y x y ++--=的标准方程为：22(2)(2)9,x y ++-=①，圆心为(2,2)C -，过点(0,5)M 作圆22:4410C x y x y ++--=的两条切线12,l l 与圆C 分别切于A ，B 两点，则MA CA ⊥，MB CB ⊥，故点A ，B 在以MC 为直径的圆上，而以MC 为直径的圆的方程为22713(1)(),24x y ++-=②， -①②得23110x y +-=，即直线AB 的方程为23110x y +-=，故选A ．6．已知直线20x y m -+=与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，则“0OA OB ⋅=”是“m =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方法1：由0OA OB ⋅=知，圆心到直线的距离为2==m =0OA OB ⋅=”是“m =方法2：设()()1122,,,A x y B x y ，联立22204x y m x y -+=⎧⎨+=⎩， 化为225440x mx m ++-=，()22162040Δm m ∴=-->，解得220m <， 1245mx x ∴+=-，21245m x x -=， ∵0OA OB ⋅=，∴12120x x y y +=，()()1212220x m x m x x ∴+++=，()21212520x x m x x m ∴+++=，224452055m m m m -⎛⎫∴⨯+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得m =220m <，则“0OA OB ⋅=”是“m =B ．7．（多选）已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:340l kx y k -+-=， 则（）A ．直线l 与圆C 的位置关系无法判定B ．当1k =时，圆C 上的点到直线l 2 C ．当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，0k =D ．如果直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，则MN 的最小值是3 【答案】BC【解析】由2268210x y x y +--+=，得22(3)(4)4x y -+-=，所以圆心(3,4)C ，半径为2， 对A ：由直线l 的方程可得3(4)y k x -=-，所以直线l 恒过定点(4,3)P ，又22(43)(34)4-+-<，所以点(4,3)P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 相交，故选项A 错误； 对B ：1k =时，直线l 的方程为34y x -=-，即10x y --=，设圆心(3,4)C 到直线l 距离为d ，则d ==所以圆C 上的点到直线l 2+，故选项B 正确；对C ：当圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1时，圆心(3,4)C 到直线l 距离为1，即1d ==，解得0k =，故选项C 正确；对D ：直线l 恒过定点(4,3)P ，且(4,3)P 在圆C 内，所以当l CP ⊥时MN 取得最小值，因为CP ==min MN ===D 错误，故选BC ．8．（多选）已知圆()()22:334C x y -+-=与直线:20l mx y +-=，下列说法正确的是（） A ．直线l 与圆C 一定相交B ．若43m <，则圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1 C ．若1m =，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程是()()22114x y +++=D ．若1m =，直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当6PB =时，则PBA ∠最大或最小 【答案】BCD【解析】对于A ，直线:20l mx y +-=是绕点(0,2)转动的动直线，和圆()()22:334C x y -+-=不一定相交，比如1m =时，圆心到直线:20l x y +-=的距离为2222d ==>，直线和圆相离，故A 错误；对于B ，令231d m =<+，解得43m <，此时圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1，故B 正确；对于C ，设圆心(3,3)关于:20l x y +-=的对称点为(,)a b ，则313332022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，故对称圆的方程为()()22114x y +++=，故C 正确； 对于D ，如图示，当PB 和圆相切时，PBA ∠最大或最小，此时22||||||6PB BC PC =-=D 正确， 故选BCD ．9．已知圆()2220:C x y r r +=>，直线:2l y x =C 上至少有3个点到直线l 的距离都是1”成立的一个充分条件是“r =______”． 【答案】3【解析】若圆C 与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1， 故圆C 与直线相交，即圆心C 到直线的距离2221(1)1d r +==<-，要使圆C 上恰有3个点到直线l 的距离是1，需1r d -=，即2r =， 圆C 上至少有3个点到直线l 的距离都是1，则2r ≥，根据充分条件的定义知使“圆C 上至少有3个点到直线l 的距离都是1”成立的一个充分条件是“3r =”， 故答案为3．10．若关于x 的方程234x b x x +=--有解，则实数b 的取值范围是_______． 【答案】3522b ≤≤+【解析】关于x 的方程234x b x x +=--有解等价于243x x x b -=-+-有解， 等价于24y x x =-与3y x b =-+-的图象有公共点，24y x x =-等价于2240y x x y ⎧=-⎨≥⎩，等价于()22240x y y ⎧-+=⎪⎨≥⎪⎩， 其图象为()2,0为圆心2为半径的圆的上半部分，作图可得当平行直线3y x b =-+-介于两直线之间时满足题意， 易得直线m 的截距为0，设直线n 的截距为t ，由直线与圆相切可得直线0x y t +-=到点()2,0的距离为2，可得222t -=，解得222t =+或222t =-（舍去）， 03222b ∴≤-≤+，解得3522b ≤≤+，故答案为3522b ≤≤+．2．圆与圆的位置关系1．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离【答案】B 【解析】圆()222:x y M a a +-=的圆心为(0,)a ，半径为a ，∴圆心到直线的距离为d =，222a ∴===，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为()1,1，半径为1，011∴<=<+，∴两圆相交，故选B ．2．已知圆22130:C x y mx +--=平分圆()()222:124C x y -+-=的周长，则m =（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】由圆22130:C x y mx +--=平分圆()()222:124C x y -+-=的周长可知，圆1C 经过圆2C 的一条直径的两个端点，所以圆2C 的圆心在圆1C 与圆2C 的公共弦上，两圆方程相减整理得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为()2440m x y -+-=，又圆心()21,2C ，所以2840m -+-=，所以6m =，故选C ．3．圆2211:C x y +=与圆2224310,:()0C x y k x y k k ++=∈≠-+R （）的位置关系为（） A ．相交 B ．相离C ．相切D ．无法确定【答案】A【解析】圆2211:C x y +=的圆心()10,0C ，半径1r =，圆222:(4310)C x y k x y +++=-的圆心232,2C k k ⎛⎫--⎪⎝⎭，半径R =，∴12C C ==，11<<+A ． 4．已知点()1,0A ，()6,0B ，若点A ，B 到直线l 的距离分别为1，3，则符合条件的直线l 的条数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由题意可知直线l 是圆()2211x y -+=与()2269x y -+=的公切线， 因为315AB +<=，所以这两个圆外离，所以它们有4条公切线， 故选D ．5．（多选）若圆()()221x a y a -+-=（0a >）上总存在到原点距离为3的点，则实数a 的取值可以是（）A ．1 BC ．2D ．3【答案】BC【解析】根据题意，到原点距离为3的点的轨迹方程为229x y +=， 若圆()()221x a y a -+-=（0a >）上总存在到原点距离为3的点， 则圆()()221x a y a -+-=（0a >）与圆229x y +=有公共点，所以3131-≤≤+，即24≤≤a ≤≤故选BC ．6．（多选）若圆2221:4440C x y ax a +-+-=和圆2222:4164C x y by b ++-+()0,a b =∈R 恰有三条公切线，则下列结论正确的是（）A ．313b a +≥-B ．a b -≤+≤C ．224(3)(4)64a b ≤-+-≤D ．33ab -≤≤【答案】BC【解析】由圆2221:4440C x y ax a +-+-=，可得()2224x a y -+=， 圆心为()12,0C a ，半径为2，由圆2222:41640C x y by b ++-+=，可得()22216x y b ++=， 其圆心为()20,2C b -，半径为4，由题可得12246C C ==+=，∴229a b +=，取0,3a b ==则3203b a +=-<-，故A 错误； 由222a b ab +≥，可得()()2222222a b a b ab a b +≥++=+， ∴()()222218a b a b +≤+=，当且仅当a b =时取等号，∴a b -≤+≤B 正确；由229a b +=可知(),a b 为圆心()0,0半径为3的圆上任意一点，33≤≤，即224(3)(4)64a b ≤-+-≤，故C 正确； 由2292a b a b +=≥，可得92a b ≤，当且仅当a b =时取等号， ∴9922ab -≤≤，故D 错误， 故选BC ．7．（多选）已知O 为坐标原点，圆22Ω:(cos )(sin )1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（） A ．圆Ω恒过原点OB ．圆Ω与圆224x y +=内切C ．直线x y +=ΩD ．直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相离 【答案】ABC【解析】A ．代入点()0,0得22(cos )(sin )1θθ-+-=恒成立，A 正确；B 12=-，即两圆心距离等于两圆半径差，B 正确；C ．直线x y +=Ω所截得弦长为=sin cos4πθθθ⎛⎫⎡+=+∈⎪⎣⎝⎭，∴=即直线x y+=被圆Ω，C正确；D()cos1θα=-≤，故圆和直线相切或相交，D错误，故选ABC．8．设221:1O x y+=与222:(2)4O x y+-=相交于,A B两点，则AB=________．【解析】将221:1O x y+=和222:(2)4O x y+-=两式相减：得过,A B两点的直线方程：14y=，则圆心1(0,0)O到14y=的距离为14，所以AB==，9．已知圆221:8C x y+=与圆222:0x y aC x y+++-=相交于A，B两点，则实数a的取值范围为_________；若圆1C上存在点P，使得ABP△为等腰直角三角形，则实数a的值为__________．【答案】()4,12，8或8+或8-【解析】圆221:8C x y+=，圆心()10,0C，半径1r=圆222221110222:x y x y a x y a C ⎛⎫⎛⎫+++-=⇒+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心211,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径2r =122C C ==， 因为圆1C 和圆2C 相交于A ，B两点，所以24122102a a <>⇒<<⎪⎪⎪+>⎪⎩，两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为80x y a ++-=． 因为圆1C 上存在点P ，使得ABP △为等腰直角三角形， ①当P 为直角顶点时，则直线AB 过圆1C 的圆心()0,0，所以80x y a ++-=，即8a =； ②当A 或B 为直角顶点时，则直线PB 或直线PA 过圆1C 的圆心()0,0，则42AB ==，即1C 到直线AB 的距离为2，2=，解得8a =+8-，故答案为()4,12；8或8+或8-．10．已知两圆22:2610M x y x y +---=和22:10120N x y x y m +--+=．求： （1）m 取何值时两圆外切？（2）m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？（3）求45m =时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【答案】（1）25m =+；（2）25m =-，43130x y ++=；（3）43230x y +-=，【解析】（1）解：由题意，两圆22:2610M x y x y +---=和22:10120N x y x y m +--+=， 可化为22:(1)(3)11M x y -+-=和22:(5)(6)61N x y m -+-=-， 可得圆心坐标分别为(1,3),(5,6)M N，半径分别为12r r ==，当两圆相外切时，可得12MN r r =+，=25m =+． （2）解：由圆心距5MN ==，当两圆内切时，可得21MN r r =-5=，解得25m =-， 因为633514MN k -==-，可得两圆公切线的斜率是43-， 设切线方程为43y x b =-+=，解得133b =，当133b =+时，直线与圆22:10120N x y x y m +--+=相交，舍去；故所求公切线方程为41333y x =-+-43130x y ++=． （3）解：由圆22:2610M x y x y +---=和22:1012450N x y x y +--+=， 两圆的方程相减，可得2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=， 可得43230x y +-=，即两圆的公共弦的方程为43230x y +-=， 则圆心(1,3)M到公共弦的距离为2d ==，又由弦长公式，可得弦长为2=11．已知圆()222:0O x y r r +=>，直线:40l kx y k --=，当k =时，直线l 与圆O 恰好相切． （1）若l 被圆O 截得弦长为2，求l 方程；（2）若直线l 上存在两点M ､N ，满足2MN =，在圆O 上存在点P 使得0PM PN ⋅=，求k 的取值范围．【答案】（1）)4y x =-；（2）k ⎡∈⎢⎣⎦．【解析】（1）由题干可知，d =将圆心()0,0,k =代入表达式得2d r ==，故224x y +=，若l 被圆O 截得弦长为2，则弦心距1d ==，将()0,0=，解得k =，又()404kx y k y k x --=⇒=-，故直线l 方程为)4y x =-．（22，k ⎡∈⎢⎣⎦时，当点P 与()M N 点重合时，满足0PM PN ⋅=，符合题意；当直线与圆无公共点时，即3,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0PM PN ⋅=，所以P 在以MN 为直径的圆上，设MN 中点为()00,Q x y ，则圆Q 的方程为()()22001x x y y -+-=，此时圆O 与圆Q ，则圆心距()21,3d ∈[]1,3，故只需O 到直线距离33d =≤，解得k ⎡∈⎢⎣⎦，故33,k ⎡⎛∈ ⎢ ⎣⎭⎝⎦，综上所述，k ⎡∈⎢⎣⎦．12．在平面直角坐标xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，设点(3,0)A ，在圆C 上是否存在点M 使2MA MO =，若有请求出M 点的坐标，若没有请说明理由．【答案】存在，76()1717M +-或76(1717M -+．【解析】由题设，261y x x =-+与y 轴的交点为(0,1)，对称轴为3x =， 若与x 轴交点横坐标分别为,m n ，则6m n +=，1mn =，∴||m n -==，若圆C 半径为r ，圆心为(3,)b ，∴()2222891b r b r+=+-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得13b r =⎧⎨=⎩， ∴圆C 半径为3r =，圆心为(3,1)，则圆的方程为22(3)(1)9x y -+-=， 设(,)M x y ，由题意有22224()(3)x y x y +=-+，整理得22(1)4x y ++=． ∴圆心为(1,0)-，半径为2，故两圆的圆心距离15<=<，∴两圆相交，作差可得420x y +-=，联立22(1)4x y ++=， 整理得2171410x x -+=，∴x =，即76(,1717M +-或76(,1717M -+．3．与圆有关的综合性问题1．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上运动，则ABP △面积的最小值为（） A ．6 B ．4 C ．2D．4-【答案】C【解析】由直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，得()2,0A -，()0,2B -，所以AB =由圆()2222x y -+=得圆心()20M ，，半径r = 设点P 到直线AB 的距离为h ，点M 到直线AB 的距离为d ，则d ==h d ≥=11222ABCSAB h ∴=⋅≥⨯=，故选C ．2．若点P 是圆22:(3)(2)1C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为（）A ．5B ．6C ．1D ．1【答案】C【解析】由题知，直线过定点()0,1-，所以圆心()3,2-=，所以点P 到直线1y kx =-距离的最大值为1+，故选C ．3．若点()2,1P --为圆229x y +=的弦AB 的一个三等分点，则弦AB 的长度为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】A【解析】不妨设P 为靠近A 的一个三等分点，设AB 的中点为Q ，原点为O ，PQ m =，则2AP m =，由()22239OA m OQ =+=，2225OP m OQ =+=，得22284m OA OP =-=，所以m =6AB m == 故选A ．4．已知圆22:4O x y +=，过直线1:20x l y +=上的一点P 作圆O 的一条切线，切点为M ，则PM 的最小值为（）A ．4B ．5CD ．【答案】A【解析】圆22:4O x y +=中，圆心(0,0)O ，半径2r =， 设00(,)P x y ，则00210x y +=，即00102y x =-，则P M ===4=≥=（当且仅当04x =时等号成立）， 故选A ．5．已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．当四边形PAOB 面积最小时，直线AB 的方程为（）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．2210x y -+=D ．210x y +-=【答案】B【解析】∵22:1O x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，当点P 与圆心的距离最小时，切线长PA 、PB 最小，此时四边形PAOB 的面积最小， ∴PO ⊥直线l ，则PO 的方程为0x y -=， 联立020x y x y -=⎧⎨++=⎩，解得1x y ==-，∴()1,1P --，∴以OP 为直径的圆的方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +++=，两圆方程相减可得10x y ++=，故选B ．6．已知圆22:20C x y x +-=与直线:20(0)l mx y m m -+=>，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A ，B ，若线段ABm 的值为（）ABCD【答案】D【解析】圆22:(1)1C x y -+=，设02ACP πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则||2sin AB θ=，因为min ||AB =min (sin )θ= 又02πθ<<，所以32ππθ≤<，又1||cos CP θ=，所以min 1||2cos3CP π==2=，又0m >，所以m =，故选D ． 7．（多选）已知圆()2221:0C x y r r +=>与圆()()()2222:0C x a y b r r -+-=>交于不同的1122(,),(,)A x y B x y 两点，下列结论正确的有（）A ．()()12120a x x b y y ---=B ．221122ax by a b +=+C ．12x x a +=D ．122y y b +=【答案】BC【解析】222x y r +=①()()222x a y b r -+-=②①－②即得公共弦AB 所在直线方程2222ax by a b +=+， 将A 的坐标代入得：221122ax by a b +=+③，故B 正确； 将B 的坐标代入得：222222ax by a b +=+④ ③－④得：()()12120a x x b y y -+-=，故A 错误；两圆圆心分别为()()120,0,,C C a b ，因为两圆半径相等，所以12C C 中点和AB 中点为同一点，故121222x x ax x a +=⇒+=，C 正确； 121222y y by y b +=⇒+=，D 错误， 故选BC ．8．（多选）已知圆22:9O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于A ，B 两点，则（）A ．直线PA ，PB 均与圆O 相切B ．当4PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动C ．当3PA PB ==时，点M 在圆2292x y +=上运动 D ．若4,2a b ==-，则直线AB 的方程为4290x y --= 【答案】ACD【解析】由题意知，线段OP 为圆M 的直径，则90OAP OBP ∠=∠=︒， 可得,OA PA OB PB ⊥⊥，即原点O 到直线,PA PB 的距离等于半径， 所以直线,PA PB 均与圆O 相切，所以A 正确；当4PA PB ==时，因为3OA OB ==，且90OAP OBP ∠=∠=︒，则5OP =， 所以点P 在圆2225x y +=上运动，所以B 错误；当3PA PB ==时，3OA OB ==，则圆M ，所以点M 在圆2292x y +=上运动，所以C 正确； 若4,2a b ==-，则点(2,1)M -，则圆22:(2)(1)5M x y -++=， 又由圆22:9O x y +=，将这两圆的方程两端分别相减并整理，得直线AB 的方程为4290x y --=， 所以D 正确， 故选ACD ．9．设m ∈R ，直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，点Q 是圆()()22:112C x y +++=上的一个动点，则PQ 的最小值为__________．【解析】由题意得：()()1:310l x m y -+-=，()()2:130l x y m -+-=，1l ∴恒过定点()3,1M ，2l 恒过定点()1,3N ，又12l l ⊥，P ∴点轨迹是以MN 为直径的圆，即()2,2=P ∴点轨迹为()()22222x y -+-=，圆()()22222x y -+-=与圆C 的圆心距d ==>∴两圆相离，PQ ∴的最小值是两圆圆心距d 减去两圆半径之和，即min PQ ==．10．设点P 是直线3470x y -+=上的动点，过点P 引圆()2221x y r -+=的切线PA ，PB （切点为A ，B ），若APB ∠的最大值为23π，则该圆的半径r 等于______．【解析】圆()2221x y r -+=的圆心为(1,0)C ，半径为r ， 若APB ∠最大值为23π时，则31=2APB APC π∠=∠，APC ∠也为最大值，又2sin AC rAPC PC PC===∠，APC ∴∠最大时，则PC 最小， 点P 是直线3470x y -+=上的动点，C 为圆点，故PC 的最小值即为点C 到直线3470x y -+=的距离22234d ==+，3=3r PC ∴=， 故答案为3．11．已知圆221:2C x y +=，222:4460C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是___________；若点P 在直线5:0x y l -+=上运动，点Q 在圆1C 与圆2C 的圆周上运动，则|PQ |的最小值为___________．32【解析】根据题意，圆1C 的圆心为()0,0，半径为12r =，圆2C 的圆心为()2,2，半径为22r =所以121222C C r r ==+，即圆1C 与圆2C 的位置关系为外切． 因为121C C k =，1l k =，所以直线l 与直线12C C 平行，由于122r r ==，所以PQ 的最小值为两圆中，任意一个圆的圆心到直线l 与半径的差． 因为圆1C 的圆心为()0,0到直线l 的距离为522d ==， 所以PQ 的最小值为52322=32． 12．已知()1,0M ，()3,0N ，(),C x y ，且CM CN CM CN -=+． （1）求动点C 的轨迹E ；（2）若点()1,P t -为直线1:l x =-上一动点，过点P 引轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B ，两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求PST 面积的最小值．【答案】（1）动点C 的轨迹E 是以（2，0）为圆心，1为半径的圆；（2）2． 【解析】（1）∵CM CN CM CN -=+，∴0CM CN ⋅=，∴()()1,3,0x y x y --⋅--=，∴()()2130x x y --+=，∴()2221x y -+=， ∴动点C 的轨迹E 是以(2，0)为圆心，1为半径的圆．（2）设切线方程为()1y t k x -=+，即0kx y k t -++=，PA ，PB 的斜率为1k ，2k ， 故圆心C 到切线的距离2311k t d k +==+，得228610k kt t ++-=，∴1234k k t +=-，21218t k k -=，在切线方程中令0x =可得y k t =+， 故()()()221212121284t ST k t k t k k k k k k +=+-+=-=+-=， ∴21821284PSTt S ST +=⨯=≥△，当0t =时，等号成立， 故PST 面积的最小值24．13．已知圆22:9C x y +=，点()5,0A -，直线:20l x y -=． （1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；（2）在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PB PA21 / 21 为一常数，若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x =-+2y x =--（2）存在点9(,0)5B -，使得对于圆C 上任一点P ，都有||||PB PA 为常数35，理由见解析． 【解析】（1）所求直线与直线l 垂直，∴所求直线的斜率为2-．设所求直线方程为2y x b =-+，即20x y b +-=．直线20x y b +-=与圆22:9C x y +=相切，3=，b ∴=±∴所求直线方程为2y x =-+2y x =--．（2）设()00,P x y ，则22009y x =-， 假设存在这样的点()(),05B t t ≠-，使得||||PB PA 为常数λ，(1λ≠且)0λ>． 则222=PB PA λ，所以()()2222200005x t y x y λ⎡⎤-+=++⎣⎦， 将22009y x =-代入上式消去20y ，得()22201023490t x t λλ++--=对[]03,3x ∈-恒成立， 22210203490t t λλ⎧+=∴⎨--=⎩，解得3=59=5t λ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩或=1=5t λ⎧⎨-⎩(舍去)． 存在点9(,0)5B -，使得对于圆C 上任一点P ，都有||||PB PA 为常数35．。

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题1. 题目：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，求圆心坐标和半径。

2. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 4y + 1 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

3. 题目：已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5，求圆心坐标和半径。

4. 题目：若圆的方程为(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 8，求该圆的圆心坐标和半径。

5. 题目：已知圆的方程为x^2 - 2x + y^2 - 2y + 3 = 0，求圆心坐标和半径。

6. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 + 4x - 4y + 3 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

7. 题目：已知圆的方程为(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3，求圆心坐标和半径。

8. 题目：若圆的方程为(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4，求该圆的圆心坐标和半径。

9. 题目：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 4y - 5 = 0，求圆心坐标和半径。

10. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 + 4x - 4y - 3 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

11. 题目：已知圆的方程为(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 2，求圆心坐标和半径。

12. 题目：若圆的方程为(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 3，求该圆的圆心坐标和半径。

13. 题目：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y - 5 = 0，求圆心坐标和半径。

14. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y - 3 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

15. 题目：已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1，求圆心坐标和半径。

16. 题目：若圆的方程为(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 4，求该圆的圆心坐标和半径。

高考数学百大经典例题 圆的方程 试题

高考数学百大经典例题 圆的方程 试题

典型例题一创 作人：荧多莘 日 期： 二O 二二 年1月17日例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的间隔 为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或者先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的间隔 为d ，那么324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且间隔 为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点一共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之间隔 为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，那么1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或者16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或者016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的间隔 为1d 、2d ，那么 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公一共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公一共点．即符合题意的点一共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的间隔 为d ，那么324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 间隔 为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的间隔 ，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的间隔 为1．到一条直线的间隔 等于定值的点，在与此直线间隔 为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公一共点．求直线与圆的公一共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的间隔 和半径的大小比拟来判断．典型例题三例 3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的HY 方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的HY 方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的间隔 和圆的半径的大小关系，假设间隔 大于半径，那么点在圆外；假设间隔 等于半径，那么点在圆上；假设间隔 小于半径，那么点在圆内．解法一：〔待定系数法〕设圆的HY 方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：〔直接求出圆心坐标和半径〕因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的间隔 为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的间隔 和半径的大小关系来断定点与圆的位置关系，假设将点换成直线又该如何来断定直线与圆的位置关系呢？典型例题四例4 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的间隔 为2的点一共有〔 〕．〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个分析：把034222=-+++y x y x 化为()()82122=+++y x ，圆心为()21--，，半径为22=r ，圆心到直线的间隔 为2，所以在圆上一共有三个点到直线的间隔 等于2，所以选C ．典型例题五例5 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公一共点，如下图．分析：观察动画演示，分析思路． 解：设直线l 的方程为()34+=+x k y即043=-+-k y kx根据r d ≤有214322≤+-++k k k整理得0432=-k k解得340≤≤k ．典型例题六例6 圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决〔也要注意漏解〕．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．典型例题七例7 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切〔1〕求光线l 和反射光线所在的直线方程．〔2〕光线自A 到切点所经过的路程．分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A 的对称点A '的坐标为()33--，，其次设过A '的圆C 的切线方程为 ()33-+=x k y根据r d =，即求出圆C 的切线的斜率为34=k 或者43=k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334=+-y x 或者0343=--y x最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为0334=++y x 或者0343=-+y x光路的间隔 为M A '，可由勾股定理求得7222=-'='CM C A MA ．说明：此题亦可把圆对称到x 轴下方，再求解．典型例题八例8 如下图，圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ， 那么BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程，可考虑代入法．典型例题九例9 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的HY 方程求解．解：那么题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，那么圆心C 的坐标为)4,(1a C 或者)4,(2-a C ． 又圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 假设两圆相切，那么734=+=CA 或者134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或者2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或者2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或者2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或者2224)4()622(=+++-y x ．说明：对此题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，那么圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．假设两圆相切，那么34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或者2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．典型例题十例10 圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，务实数m 的值．分析：设P 、Q 两点的坐标为),(11y x 、),(22y x ，那么由1-=⋅OQ OP k k ，可得02121=+y y x x ，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或者因为通过原点的直线的斜率为x y ，由直线l 与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQ OP k k ⋅的值，从而使问题得以解决．解法一：设点P 、Q 的坐标为),(11y x 、),(22y x ．一方面，由OQ OP ⊥，得1-=⋅OQ OP k k ，即12211-=⋅x y x y ，也即：02121=+y y x x ． ① 另一方面，),(11y x 、),(22y x 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x 的实数解，即1x 、2x 是方程02741052=-++m x x ②的两个根．∴221-=+x x ，527421-=m x x ． ③ 又P 、Q 在直线032=-+y x 上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121x x x x x x y y ++-=-⋅-=． 将③代入，得51221+=m y y ． ④将③、④代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>∆成立， ∴3=m ．解法二：由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有0)2(9)6)(2(31222=++-+++y x my x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ． 由于0≠x ，故可得012)3(4))(274(2=++-+-m xym x y m ．∴OP k ，OQ k 是上述方程两根．故1-=⋅OQ OP k k ．得127412-=-+m m，解得3=m ．经检验可知3=m 为所求．说明：求解此题时，应防止去求P 、Q 两点的坐标的详细数值．除此之外，还应对求出的m 值进展必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、Q 存在．解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于根据直线方程构造出一个关于xy的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．典型例题十一例11 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的间隔 相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或者03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的间隔 等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或者5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或者圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或者125)15()5(22=-+-y x ．说明：此题解决的关键是分析得到圆心在两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两直线相切的圆的方程的常规求法．典型例题十二例12 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的间隔 最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的HY 方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，假设能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的间隔 公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 那么P 到x 轴、y 轴的间隔 分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的间隔 为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=〞号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或者⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或者2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或者2)1()1(22=+++y x ．说明：此题是求点到直线间隔 最小时的圆的方程，假设变换为求面积最小呢？典型例题十三例13 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公一共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了防止求交点，可以采用“设而不求〞的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，那么有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的． ∴两圆1C 、2C 的公一共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念到达了目的．从解题的角度上说，这是一种“设而不求〞的技巧，从知识内容的角度上说，还表达了对曲线与方程的关系的深入理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．典型例题十四例14 对于圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ，，不等式0≥++m y x 恒成立，务实数m 的取值范围．解：运用圆的参数方程，设P 的坐标为()θθsin 1cos +，， [)πθ20，∈ 即θcos =x ，θsin 1+=y ， ∵0≥++m y x 恒成立 ∴()y x m +-≥恒成立即()θθsin 1cos ++-≥m 恒成立∴只需m 大于等于()θθsin 1cos ++-的最大值．令()()14sin 21sin cos sin 1cos -⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=++-=πθθθθθu u 的最大值为12-∴12-≥m说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法．采用这种设法的优点在于，一方面可以减少参数的个数，另一方面可以灵敏地运用三角公式．从代数的观点看，这种设法的本质就是三角代换．另外此题也可以不用圆的参数方程求解，此题的本质就是求最值问题，方法较多．但以上述解法较简．典型例题十五例15 试求圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)上的点到点)4,3(A 间隔 的最大(小)值．分析：利用两点间间隔 公式求解或者数形结合求解．解法一：设P 是圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x 上任一点，那么)sin 2,cos 2(θθP ．所以22)sin 24()cos 23(θθ-+-=PAθθsin 16cos 12425--+=)43arctan ()sin(2029=+-=ϕϕθ．因为R ∈θ，所以R ∈+ϕθ，因此当1)sin(-=+ϕθ时，72029=+=最大值PA ． 当1)sin(=+ϕθ时，32029=-=最小值PA ．解法二：将圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x 代入普通方程得422=+y x ．如下图可得，A P 1、A P 2分别是圆上的点到)4,3(A 的间隔 的最小值和最大值．易知：31=A P ，72=A P ．说明：(1)在圆的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数)中，),(b a A 为圆心，)0(>r r 为半径，参数θ的几何意义是：圆的半径从x 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P 所得圆心角的大小．假设原点为圆心，常常用)sin ,cos (θθr r 来表示半径为r 的圆上的任一点．(2)圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具．典型例题十六例16 圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或者利用转移法求解，或者利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，假设设),(y x Q ，那么)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，那么22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+． 这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ， 由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ① βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+． 说明：此题的条件较多且较隐含，解题时，思路应明晰，且应充分利用图形的几何性质，否那么，将使解题陷入困境之中．此题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222r y x =+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的一共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．典型例题十七例17 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=x y u 的取值范围． 分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x 、y ，转化为三角问题来解决． 解法一：设圆122=+y x 上任一点)sin ,(cos θθP 那么有θcos =x ，θsin =y )2,0[πθ∈ ∴1cos 2sin +-=θθu ，∴2sin cos -=+θθu u∴)2(sin cos +-=-u u θθ．即2)sin(12+=-+u u ϕθ〔u =ϕtan 〕 ∴1)2()sin(2++=-u u ϕθ．又∵1)sin(≤-ϕθ∴1122≤++u u解之得：43-≤u ． 分析二：12+-=x y u 的几何意义是过圆122=+y x 上一动点和定点)2,1(-的连线的斜率，利用此直线与圆122=+y x 有公一共点，可确定出u 的取值范围．解法二：由12+-=x y u 得：)1(2+=-x u y ，此直线与圆122=+y x 有公一共点，故点)0,0(到直线的间隔 1≤d ．∴1122≤++u u 解得：43-≤u ． 另外，直线)1(2+=-x u y 与圆122=+y x 的公一共点还可以这样来处理：由⎩⎨⎧=++=-1)1(222y x x u y 消去y 后得：0)34()42()1(2222=++++++u u x u u x u ， 此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222≥+++-+=∆u u u u u ， 解之得：43-≤u ． 说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．典型例题十八例18 对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，务实数m 的取值范围．分析一：为了使不等式0≥++m y x 恒成立，即使m y x -≥+恒成立，只须使m y x -≥+min )(就行了．因此只要求出y x +的最小值，m 的范围就可求得．解法一：令y x u +=，由⎩⎨⎧=-+=+1)1(22y x u y x 得：0)1(2222=++-u y u y ∵0≥∆且228)1(4u u -+=∆， ∴0)12(42≥++-u u ．即0)122≤--u u ，∴2121+≤≤-u ， ∴21min -=u ，即21)(min -=+y x又0≥++m y x 恒成立即m y x -≥+恒成立． ∴m y x -≥-=+21)(min 成立， ∴12-≥m ．分析二：设圆上一点)sin 1,(cos θθ+P [因为这时P 点坐标满足方程1)1(22=-+y x ]问题转化为利用三解问题来解．解法二：设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(rb y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵敏地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的本质就是三角代换．典型例题十九例19 (1)圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或者数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的HY 方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x 〔θ是参数〕．那么θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=〔其中34tan =φ〕． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点间隔 的最大值1d 等于圆心到原点的间隔 '1d 加上半径1，圆上点到原点间隔 的最小值2d 等于圆心到原点的间隔 '1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．那么3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ，得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ． 所以433max +=t ，433min -=t ． 即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．(法2)设k x y =--12，那么02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如下图，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222=++--=k k k d ，得433±=k ． 所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-． 令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=md ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．典型例题二十例20 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格一样．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位间隔 A 地的运费是B 地的运费的3倍．A 、B 两地间隔 为10公里，顾客选择A 地或者B 地购置这种商品的HY 是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界限的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不管是问题的背景或者生活实际的贴近程度上都具有深入的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联络实际，要重视数学在消费、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解：以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如下图的平面直角坐标系．∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购置商品廉价，并设A 地的运费为a 3元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费 即：2222)5()5(3y x a y x a +-≤++．∵0>a ， ∴2222)5()5(3y x y x +-≤++ 化简整理得：222)415()425(≤++y x ∴以点)0,425(-为圆心415为半径的圆是两地购货的分界限． 圆内的居民从A 地购货廉价，圆外的居民从B 地购货廉价，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．。

高考数学-圆的方程

高考数学-圆的方程

直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．以直线30()ax y a a −−−=∈R 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）A ．222660x y x y +−++=B ．222660x y x y ++−+=C ．226260x y x y ++−+=D ．226260x y x y +−++=2．若0x =，则2y x −的取值范围为（ ）A ．[B ．(,)−∞+∞C ．11(,][,)22−∞−∪+∞D ．11[,]22− 3．已知圆C ：222210x y x y +−−+=，直线l ：40x y +−=，若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则ACB ∠最小时，原点O 到直线AB 的距离为（ ）A B C D ．4．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++−=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ． D ．5．若圆22224120x y ax y a +−++−=上存在到直线4320x y −−=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2921,44 −B ．91,44 −C ．91,,44 −∞−∪+∞D ．2921,,44 −∞−∪+∞6．若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y −+=所截得的弦长为2，则点(0,A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（ ）A ．1BCD ．7．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点,A B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大？问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点,D E 的坐标分别是()0,1，()0,3，F 是x 轴正半轴上的一动点，当DFE ∠最大时，点F 的横坐标为（ ）A ．1BCD ．28．过点() 0 引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A B ．C ．D ．二、多选题9．已知二次函数()220y x x m m =−+≠交x 轴于A ，B 两点（A ，B 不重合），交y 轴于C 点.圆M 过A ，B ，C 三点.下列说法正确的是（ ）①圆心M 在直线1x =上；②m 的取值范围是()0,1；③圆M 半径的最小值为1；④存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A ．①B ．②C ．③D ．④10．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R −+−=∈，下列命题正确的是（ ）．A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆kC 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π11．已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++−+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3−B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +−−+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99 −−12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y −+=B ．曲线221:+20C x y x +=与曲线222480C :x y x y m +−−+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C ．已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为2D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +−=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点11,2三、填空题13．若方程222450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，则k 的取值范围为________.14．已知直线():40l ax y a R +−=∈是圆22:2610C x y x y +−−+=的对称轴.过点()4,A a −作圆C 的一条切线，切点为B ，有下列结论：①1a =；②AB =③切线AB ④对任意的实数m ，直线1y mx m −+与圆C 的位置关系都是相交.其中所有正确结论的序号为__________．15．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过,M N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M −、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN∠取最大值时，点P 的坐标为___________16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(0,5)A 且与曲线225(0)x y x +=>相切于点B ，则直线l 的方程是_____，设E 是线段OB 中点，PQ （P 在Q 的上方）在直线l 上滑动，则||||OP EQ +的最小值是_____.四、解答题17．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y −−=，(2,0)M 满足BM MC = ，点(1,1)T −在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅= .（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC ∆外接圆的方程；18．已知点(),P x y 在圆22(1)1y x +−=上运动.（1）求12y x −−的最大值； （2）求2x y +的最小值.19．（疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k 米的区域，如图，1l 、2l 分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O 为坐标原点，1l 、2l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点()100,400M ）和平安检查点（即点()400,700N ）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k ，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线:10000l x y −+=）上碰头见面，你认为在何处最.20．已知圆1O 过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++−=>关于直线20x y −+=对称． （1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为,C D ,且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值M ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点()()1,0,1,0−，且圆心N 在直线:10l x y +−=上；圆22:(3)(4)8M x y −+−=，（1）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系； （2）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足2BS BT =？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P −−，圆22:4O x y +=与x 轴的负半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ．（1）设直线,QA QB 的斜率分别是12,k k ，求12k k +的值：（2）设AB 的中点为M ，点(1,0)N −，若14MN OM =，求QAB 的面积。

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圆的方程
1.(2009·重庆高考)
( )
A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：由题意知圆心为(0,2)，
则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
答案：A
2．(2009·辽宁高考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．
∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2
， 解得a ＝1，r ＝ 2.
∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案：B
3．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为________．
解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0的圆心(－a 2－12
，－a )，
所以－a 2－12
＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1， 当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3. 答案：3
4.若圆x 2＋(y －1)2＝10恒成立，则实数m 的取
值范围是________．
解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方． ∴⎩⎨⎧ 1＋m ≥0，
|1＋m |2≥1. ∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.
答案：m ≥－1＋ 2
5．若实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则y x
的最大值为________． 解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x
的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．
设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k
2＝3，得k ＝±3， 结合图形可得(y x )max ＝3，(y x
)min ＝－ 3. 答案： 3
6.(2009·上海高考)点 ( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，
则20x ＋20y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0
＝2y ＋2， 代入20x ＋20y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A
7．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －3)2＝m 2＋4的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方
程是
( )
A ．x 2＋y 2＝4(x ≠0)
B ．(x －3)2＋y 2＝4(x ≠0)
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝5(x ≠0)
D ．x 2＋y 2＝5(x ≠0)
解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，
则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，
∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，
故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．
答案：D
8.以双曲线y 2－x 2
3
＝1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝2
C ．(x －2)2＋y 2＝2
D ．x 2＋(y －2)2＝4
解析：双曲线的右焦点的坐标为(0,2)，离心率e ＝2.
∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.
答案：D
9．(2010·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.
解析：OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，〈OA ，OB 〉＝120°，
则x 1x 2＋y 1y 2＝OA ·OB ＝|OA |·|OB ―→|cos120°
＝2×(－12
)＝－1. 答案：－1
10．已知以点C (t ，2t
)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0， 由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t
，
令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，
令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t
)， ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t
|＝4(定值)． (2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，
∴k OC ＝12，∴2t t ＝12
，解得t ＝2或t ＝－2， 而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，
∴D ＝－4，E ＝－2，
∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
11．(2010·青岛二检)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r
2a ＋b －2＝0，
解得：a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)由题知，四边形P AMB 的面积为
S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12
|BM ||PB |. 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，
所以S ＝2|P A |，
而|P A |＝
|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S ＝2|PM |2－4.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42
＝3，
所以四边形P AMB面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.。

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