【专题复习】最新部编本高中数学 课时分层作业6 椭圆及其标准方程 新人教A版选修1-1
高中数学人教A版选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课时分层练习题含答案解析
3.1.1 椭圆及其标准方程基础练习一、单选题1．已知P 是椭圆2212516x y +=上的一个点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若13PF =，则2PF 等于（ ） A ．10 B ．7 C ．5 D ．22．以()11,0F -，()21,0F 为焦点，且经过点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．2214x y +=3．已知椭圆143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于M ，N 两点，若1F MN△的周长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．84．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆上一点，若12||||6PF PF +=，则12PF F △的周长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．已知椭圆C ：21y x k+=的一个焦点为（0，-2），则k 的值为（ ）A ．5B ．3C ．9D ．25标准方程是（ ）A ．221168x y +=B ．221168y x +=C ．2212416x y +=D ．221249x y +=7．已知椭圆C ：()2210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D ．22197x y +=【答案】A8．已知点12,F F分别是椭圆1259x y+=的左､右焦点,点P在此椭圆上,1260F PF∠=,则12PF F∆的面积等于A B．C．D．60及三角形面积公式即可求解【详解】椭圆225x+9．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线22:1x yCm n+=描述正确的是（）A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线C．曲线C的椭圆D．曲线C可表示为渐近线方程是y=的双曲线A ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为4B ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为6C ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为6D ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为8 【答案】BD【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.【详解】因为两定点()0,2，()0,2-的距离为46<，所以选项A 不符合椭圆定义，选项B 符合椭圆定义；因为两定点()3,0，()3,0-的距离为68<，所以选项C 不符合椭圆定义，选项D 符合，11．在曲线()22:10,0C Ax By A B +=>>中，（ ）A ．当AB >时，则曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆 B ．当A B ≠时，则曲线C 为椭圆 C ．曲线C 关于直线y x =对称D ．当A B ≠时，则曲线C 的焦距为【答案】ABD12．若椭圆221254x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一焦点2F 的距离为______．【详解】 又PF 13．过椭圆142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的2ABF 的周长是______．【答案】8，利用椭圆的定义可得出2ABF 的周长由题意可知，2ABF 的周长为12BF BF +14．椭圆22115x y m ++=的焦距为4，则m ＝______．1715．已知方程164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______；16．椭圆194x y +=的短轴长为______．17．椭圆123x y +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为_____.19．已知椭圆22110036x y+=上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离．20．已知椭圆的两个焦点分别为1和2，再添加什么条件，可使得这个椭圆的方程为221 259x y+=？(1)22110064x y +=； (2)221916x y +=；(3)2222x y +=．49-，求点A 的轨迹方程．．用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点1折叠到点，连接1，标记出1OP 与折痕1l 的交点1M （如图），若不断在圆周上取新的点2P ，3P ，…进行折叠并得到标记点2M ，3M ，…，则点1M ，2M ，3M ，…形成的轨迹是什么？并说明理由．24．已知定点1、2和动点．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M 的轨迹及其方程． 条件①：1212MF MF += 条件②：128MF MF +=(2)()1220MF MF a a +=>，求：动点M 的轨迹及其方程．一、单选题1．椭圆22110064x y+=的焦点为1F，2F，椭圆上的点P满足1260F PF∠=︒，则点P到x轴的距离为（）A B C D．64 312PF F S=2．已知1F 、2F 是椭圆2:1163x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则12PF PF ⋅（ ）A ．有最大值，为16B ．有最小值，为16C ．有最大值，为4D ．有最小值，为43．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得122F PF π∠=B ．12cos F PF ∠的最小值为725-C ．12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925根据120D D F F ⋅<得，结合余弦定理与基本不等式求解判断进而计算面积判断选项，由于()(124,3,4,3F F D D =--=-，1216D D F F ⋅=-12F PF S=对于D 4．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．记点N 的运动轨迹为1C ，点M 的运动轨迹为2C ．若1O N D N ==，3MN =，过2C 上的点P 向1C 作切线，则切线长的最大值为______．依题意，2MD DN =，且1DN ON ==，)()00,2x y x t y -=-，且()0220x t x y ⎧-⎪⎨+⎪⎩5．如图，1，2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为_______．在1PF Q 中，6．与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且过点()3,2-的椭圆方程为______．【答案】2211510x y +=【分析】结合已知条件求出c ，然后利用7．已知直线y =与椭圆在第一象限内交于M 点，又MF 2⊥x 轴，F 2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F 1，若122MF MF ⋅=，求椭圆的标准方程．，进而由122MF MF ⋅=求得.⎝又因为122MF MF ⋅=，所以122,MF MF c ⎛⋅=- ⎝()2,2M ，1F 矩形的最大面积．9．已知P 是椭圆221259x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点．(1)若1290F PF ∠=︒，求12PF F 的面积； (2)求12PF PF ⋅的最大值． 12Rt F PF 中，11002PF -⋅12F PF 的面积为(1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 上是否存在点M 使12MF MF ⊥?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．11．已知椭圆1C 与椭圆2:1305x y C +=具有共同的焦点1F ，2F ，点P 在椭圆1C 上，12PF PF ⊥，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆1C 过点()；②椭圆1C 的短轴长为10；③椭圆1C 的离心率为2．(1)求椭圆1C 的标准方程； (2)求12PF F △的面积．12PF F S=12．已知椭圆()2210x y a b a b +=>>的长轴长为4，右焦点到直线4x =的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y x =M ，N 两点，椭圆上存在点P ，使得()()0OP OM ON λλ=+>，求实数λ的值.所以(0,OM =-，87ON ⎛= ⎝又()83,7OP OM ON λλ⎛=+= ⎝8363,77P λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，13．已知P 点坐标为(0,2)-，点,A B 分别为椭圆22:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右顶点，ABP △是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.所以0OM ON ⋅>，即12121x x y y x +=)(2122k x x k +-。
19-20人教A版数学选修1-1(导学案课时分层作业)：第2章 2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．下列说法中正确的是()A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C[结合椭圆的定义可知选项C满足椭圆的定义，故选C.]2．已知椭圆x2m＋y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()A．10B．5C．15 D．25D[由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.x2100＋y236＝1 B.y2400＋x2336＝1C.y2100＋x236＝1 D.y220＋x212＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为y2100＋x236＝1.](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. ②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎨⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． [解] 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.12F2的直线与C交于A，B两点．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1(2)已知椭圆x24＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．[思路点拨](1)椭圆定义列方程求a，b余弦定理(2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF1|，|PF2|的方程→联立求解|PF1|→求三角形的面积(1)B(2)335[(2)由x24＋y23＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．2．已知椭圆的方程为x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10B．20C．241 D．441D[∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，∴a2－25＝42，∴a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝441.故选D.]与椭圆有关的轨迹问题1．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？如何求其方程？提示：线段PD的中点M的轨迹是椭圆．设M(x，y)，易知P(x,2y)，所以x2＋4y2＝4，即x24＋y2＝1.2．如图所示，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，则点Q的轨迹是什么？提示：连接AQ(图略)，易知|AQ|＝|PQ|，又|BQ|＋|PQ|＝|BP|＝6，∴|QA|＋|QB|＝6>|AB|＝4，∴点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．【例3】(1)已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．[思路点拨](1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．(1)x2＋y22＝1[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又x204＋y208＝1.所以(2x)24＋(2y)28＝1，即x2＋y22＝1.](2)[解]由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，如图．由题设有|MQ1|＝1＋r，|MQ2|＝9－r，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法,用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.(2)相关点法,有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.3．如图，设点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－34，求点M的轨迹方程．[解]设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－2,0)，所以直线AM的斜率k AM＝yx＋2(x≠－2)；同理，直线BM的斜率k BM＝yx－2(x≠2)．由已知得yx＋2×yx－2＝－34(x≠±2)，化简，得点M的轨迹方程为x24＋y23＝1(x≠±2)．1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．1．判断正误(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆．( ) (3)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B[椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.48 [由题意知⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 ② ①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]4．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( ) A ．(5,0)，(－5,0) B ．(0,5)，(0，－5) C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144，c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 2＋y 225＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．5 B ．3 C ．5或3D ．8C [由题意可知m －4＝1或4－m ＝1，即m ＝3或5.]4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3[依题意，有⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|P A |，求动点P 的轨迹方程．[解] 因为|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4， 所以|PO 1|＋|P A |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0)D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)A [因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．]2．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.]3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．4 [如图所示．|ON |＝12|MF 2|＝12(2×5－|MF 1|)＝4.] 4．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(图略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1， 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， 所以|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F2A|＝2|F2B|＝2m，在△F1F2B中，由余弦定理得(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos 2π3，所以m＝2(a2－c2)2a＋c.在△F1F2A中，同理可得m＝a2－c2 2a－c，所以2(a2－c2)2a＋c＝a2－c22a－c，解得2a＝3c，可得m＝5c8，|AB|＝3m＝15c8＝152，c＝4.由ca＝23，得a＝6，b2＝20，所以椭圆C的方程为x236＋y220＝1.21/21。
新教材高中数学第三章椭圆及其标准方程课后篇巩固提升含解析新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知方程x 2k -4+y 210-k=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+∞)k-4>10-k>0,解得7<k<10.2.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为( ) A.x 24+y 22=1B.y 24+x 22=1 C.y 216+x 24=1 D.x 216+y 24=1方法1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D .(方法2)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{16m =1,4n =1,解得{m =116,n =14,故选D .3.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P 35,-4和Q -45,3,则此椭圆的标准方程是( )A.y 225+x 2=1B.x 225+y 2=1C.x 225+y 2=1或y 225+x 2=1D.以上都不对mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),则{925m +16n =1,1625m +9n =1,解得{m =1,n =125, ∴椭圆的标准方程为y 225+x 2=1.故选A .4.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为() A.10 B.12C.16D.20由椭圆x 225+y29=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B的周长=4a=20.故选D.5.(多选题)椭圆x2m +y28=1的焦距为4,则m的值可以是()A.12B.10C.6D.42c=4,则c=2,当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.6.一个椭圆的焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为()A.x28+y26=1 B.x216+y26=1C.x28+y24=1 D.x216+y24=1|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,∴a=2c.设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0),则{a=2c,a2=b2+c2,4a2+3b2=1,解得a=2√2,c=√2,b2=6.故椭圆的方程为x 28+y26=1.7.过点(√3,-√5),且与椭圆y225+x29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.椭圆y 225+x29=1的焦点为(0,±4),设椭圆方程为y 2a2+2b2=1(a>b>0),则有a2-b2=16, ①再代入点(√3,-√5),得5 a2+3b2=1, ②由①②解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为y 220+x24=1.x24=18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是.(填轨迹的名称)|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1(其中a>b>0).连接MO(图略),当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|), 当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3√2);(2)经过两点(2,-√2),(-1,√142).方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y 2a2+x2b2=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a=√(4-0)2+(3√2+2)2+√(4-0)2+(3√2-2)2=12, 所以a=6.又c=2,所以b=√a2-c2=4√2.所以椭圆的标准方程为y 236+x232=1.(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y 2a2+x2b2=1(a>b>0).由题意得{18a2+16b2=1,a2=b2+4,解得{a2=36,b2=32.所以椭圆的标准方程为y 236+x232=1.(2)(方法1)若椭圆的焦点在x 轴上, 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).由已知条件得{4a 2+2b 2=1,1a 2+144b 2=1,解得{1a 2=18,1b 2=14.所以所求椭圆的标准方程为x 28+y 24=1.同理可得,焦点在y 轴上的椭圆不存在. 综上,所求椭圆的标准方程为x 28+y 24=1.(方法2)设椭圆的一般方程为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B ). 将两点(2,-√2),(-1,√142)代入, 得{4A +2B =1,A +144B =1,解得{A =18,B =14, 所以所求椭圆的标准方程为x 28+y 24=1.关键能力提升练10.F 1是椭圆x 29+y 25=1的左焦点,P 是椭圆上的动点,A (1,1)为定点,则|PA|+|PF 1|的最小值是( ) A.9-√2B.6-√2C.3+√2D.6+√2,设点F 2为椭圆的右焦点,连接F 2A 并延长交椭圆于点P',连接P'F 1,PF 2.∵|PF 1|+|PF 2|=2a=6, ∴|PF 1|=6-|PF 2|,∴|PA|+|PF 1|=|PA|+6-|PF 2| =6+(|PA|-|PF 2|).根据三角形两边之差小于第三边,当点P 位于P'时,|PA|-|PF 2|最小,其值为-|AF 2|=-√2,此时|PA|+|PF 1|的最小值为6-√2.11.若点F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.2B.3C.6D.8,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),设y 02=3(1-x 024),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02 =x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,而x 0∈(-2,2),所以当x 0=2时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为6.12.(2020辽宁凌源联合校高二上期中)已知△ABC 的两个顶点分别为A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,则点C 的轨迹方程为( ) A.x 225+y 29=1(y ≠0) B.y 225+x 29=1(y ≠0) C.x 216+y 29=1(y ≠0)D.y 216+x 29=1(y ≠0)|CA|+|CB|=10>8,∴点C 的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆,设其标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b 2=9.又A ,B ,C 三点不共线,∴点C 不在x 轴上,∴点C 的轨迹方程为x 225+y 29=1(y ≠0).故选A .13.如图,已知F (-5,0)为椭圆C 的左焦点,P 为椭圆C 上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C 的方程为( ) A.x 236+y 216=1B.x 240+y 215=1C.x 249+y 224=1 D.x 245+y 220=1c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO ,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF', ∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF ⊥PF', 在Rt △PFF'中,由勾股定理, 得|PF'|=√|FF '|2-|PF |2=√102-62=8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14, 从而a=7,a 2=49, 于是b 2=a 2-c 2=49-52=24, ∴椭圆C 的方程为x 249+y 224=1.14.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为( ) A .x 245+y 236=1 B .x 236+y 227=1C .x 227+y 218=1D .x 218+y 29=1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵A ,B 在椭圆上,∴{x 12a 2+y 12b 2=1, ①x 22a 2+y 22b 2=1.② ①-②,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即b 2a 2=-(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2).∵AB 的中点为(1,-1), ∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2. 而y 1-y 2x 1-x 2=k AB =0-(-1)3-1=12,∴b 2a 2=12.又a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9.∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1.故选D .15.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A (-3,0),B (3,0),点P 为一动点,且|PA|+|PB|=2a (a ≥0),则下列说法正确的是( )A.当a=2时,点P 的轨迹不存在B.当a=4时,点P 的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P 的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P 的轨迹是以AB 为直径的圆16.(多选题)已知F 1,F 2为椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点,M 为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是( )A.|MF 2|的最大值大于3B.|MF 1|·|MF 2|的最大值为4C.∠F 1MF 2最大为60°D.若动直线l 垂直于y 轴,且交椭圆于A ,B 两点,P 为l 上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P 的轨迹方程为x 22+2y 23=1或x 26+2y 29=1a 2=4,b 2=3,∴c 2=1,因此F 1(-1,0),F 2(1,0).对于A,|MF 2|max =a+c=3,故A 错误; 对于B,|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|22=4,当且仅当|MF 1|=|MF 2|时,等号成立,故B 正确;对于C,当点M 为短轴的端点时,∠F 1MF 2最大,取M (0,√3),则tan ∠F 1MF 22=√33,∴∠F 1MF 22=30°, ∴∠F 1MF 2最大为60°,故C 正确; 对于D,设P (x ,y ),A (x 1,y ),B (-x 1,y ), ∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x 1|·|x+x 1|=2,∴|x 2-x 12|=2,即x 2=x 12+2或x 2=x 12-2,又由题意知x 124+y 23=1, ∴x 2-24+y 23=1或x 2+24+y 23=1,化简得x 26+2y 29=1或x 22+2y 23=1,故D 正确.故选BCD .17.已知椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中, cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12.故∠F 1PF 2=120°.120°18.(2020山东烟台检测)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,12|PF 1||PF 2|=9,∴(|PF 1|+|PF 2|)2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2, ∴36=4(a 2-c 2)=4b 2,∴b=3.19.动圆C 与定圆C 1:(x+3)2+y 2=32内切,与定圆C 2:(x-3)2+y 2=8外切,点A 的坐标为0,92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程E ;(2)若轨迹E 上的两点P ,Q 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =5AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|PQ|的值.如图,设动圆C 的半径为R.由题意得,定圆C 1的半径为4√2,定圆C 2的半径为2√2,则|CC 1|=4√2-R , ① |CC 2|=2√2+R ,②①+②,得|CC 1|+|CC 2|=6√2>6=|C 1C 2|.由椭圆的定义知点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,2a 为6√2的椭圆的一部分(在C 1的内部),其轨迹方程为x 218+y 29=1(x<2).(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1,y 1-92,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2,y 2-92.由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得,x 1,y 1-92=5x 2,y 2-92,所以x 1=5x 2,y 1=5y 2-92×5+92=5y 2-18,由P ,Q 是轨迹E 上的两点,得{x 2218+y 229=1(x 2<2),25x 2218+(5y 2-18)29=1(x 2<2),解得{x 2=0,y 2=3,所以x 1=0,y 1=-3.所以P (0,-3),Q (0,3),|PQ|=6.学科素养创新练20.(2020河南郑州一中月考)已知椭圆x 29+y 25=1的右焦点为F ,P 是椭圆上一点,点A (0,2√3),当△APF的周长最大时,△APF 的面积为( ) A.114B.11√34C.214D.21√34由椭圆方程x 29+y 25=1,得a=3,b=√5,c=√a 2-b 2=2.设椭圆的左焦点为F',则△APF 的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|,当且仅当A ,P ,F'三点共线,且P 在AF'的延长线上时,等号成立.∵A (0,2√3),F'(-2,0),∴直线AF'的方程为x-2+2√3=1,即√3x-y+2√3=0.由{√3x -y +2√3=0,x 29+y 25=1,得32y 2-20√3y-75=0.∴点P 的纵坐标为-5√38. ∴当△APF 的周长最大时,该三角形的面积为12|FF'|·|y A -y P |=2×|2√3+5√38|=21√34.21.如图所示,△ABC 的底边BC=12,其他两边AB 和AC 上中线的和为30,求此三角形重心G 的轨迹方程,并求顶点A 的轨迹方程.BC 边所在直线为x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B (6,0),C (-6,0),CE ,BD 为AB ,AC 边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=20>12.∵B ,C 是两个定点,G 点到B ,C 的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G 点的轨迹是椭圆,B ,C 是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b 2=a 2-c 2=102-62=64,故G 点的轨迹方程为x 2100+y 264=1(x ≠±10).设G (x',y'),A (x ,y ),则有x '2100+y '264=1.由重心坐标公式知{x '=x3,y '=y3,故A 点轨迹方程为(x 3) 2100+(y 3) 264=1,即x 2900+y 2576=1(x ≠±30).。
高中数学第二章2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析新人教A版选修195
由椭圆的定义得 | PF1| ＋ | PF2| ＝ 4 3， 即 48＝| PF1| 2＋ | PF2| 2＋ 2| PF1| · | PF2|. ② 由①②得 | PF1| · | PF2| ＝ 4.
1 ∴ SV F1 PF2 ＝ 2| PF1| · | PF2| · sin 60°＝ 3. [类题通法 ] (1)椭圆的定义具有双向作用， 即若 | MF1| ＋| MF2| ＝2a(2a＞| F1F2|) ，则点 M 的轨迹是椭 圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2 构成的△ PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭 圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． [活学活用 ]
提示： 25＋ 9 ＝ 1.
[导入新知 ]
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
若 | F1F2| ＝2c， | MF1| ＋ | MF2| ＝ 2a(a＞ c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及 a， b， c 的
关系见下表：
标准方程
焦点在 x 轴上 x2 y2 a2＋ b2＝ 1(a＞b＞ 0)
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.
25 9 (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，
y2 x2 所以设它的标准方程为 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)． 因为椭圆经过点 (0,2)和 (1,0)，
所以
40 a2＋ b2＝ 1，
01 a2＋ b2＝ 1，
a2＝ 4， ?
b2＝ 1.
y2 故所求椭圆的标准方程为 4 ＋x2＝ 1. [类题通法 ]
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
高中数学 2.2.2.2椭圆方程及性质的应用课时作业 新人
椭圆方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于( )A.4B.2C.1D.4【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.2.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.3.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交,故选A.4.(2014·杭州高二检测)已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则的值为( )A. B. C. D.2【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得==,=-1 ①因为A,B在椭圆上,所以m+n=1,m+n=1,两式相减可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0 ②所以=-,即-1=-,所以-1=-·,=.5.(2014·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则k AB·k OM的值为( )A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,所以k AB·k OM=·===e2-1.6.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解题指南】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+ a2= a2b2①,b2+ a2= a2b2②,由①-②得b2(-)+ a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.【变式训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A. B. C. D.-【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k==.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天水高二检测)过点M(1,1)作一直线与椭圆+=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得4+9=9×4,4+9=9×4,两式相减,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,由中点坐标公式得=1,=1,所以k==-,所以所求直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=08.(2014·德州高二检测)如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.【解析】因为|OF2|=c,所以=c2=,所以c=2.又因为P点在椭圆上,且P(1,),所以+=1,所以+=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=2.答案:29.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,解得|AF|=6.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.故离心率e===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1, ①a+b=1. ②②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=k AB=-1,=k OC=,则b= a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,所以|x2-x1|=2. 又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==.因为|AB|=2,所以=1. ①设C(x,y),则x==,y=1-x=.因为OC的斜率为,所以=.代入①,得a=,b=.所以椭圆方程为+y2=1.11.(2014·德阳高二检测)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求·的值.【解题指南】(1)由e=,及椭圆C过点M(,1)建立方程组,即可确定椭圆C的方程.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),讨论l的斜率不存在时l:x=±,此时·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与圆相切得3m2-8k2-8=0,再将l代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得.【解析】(1)因为e=,又椭圆C过点M(,1),所以解得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=±,则x1=x2=±,y1=-y2,所以·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由于l与圆相切得:=,所以3m2-8k2-8=0.将l的方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2==0,综上,·=0.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·成都高二检测)直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由x-2y+2=0,令y=0,得F1(-2,0).令x=0,得B(0,1),即c=2,b=1,所以a=,所以e===.2.(2014·北京高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选C.3.(2013·大纲版全国卷)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是,那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B.C. D.【解题指南】将P(x0,y0)代入到+=1中,得到x0与y0之间的关系,利用·为定值求解的取值范围.【解析】选B.设P(x0,y0),则+=1,=,=,·===-,故=-.因为∈[-2,-1],所以∈.4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为( )A.2B.-2C.D.-【解析】选D.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则+=1, ①+=1, ②①-②得=-(y1+y2)(y1-y2),所以=-=-.因为k1=,k2=,所以k1=-.所以k1·k2=-.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=,从而A(0,-2),B.所以|AB|===.又O到AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=××=.答案:6.(2014·广州高二检测)已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为.【解析】依题意知P位于椭圆C的内部(异于原点O),因此有|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a,即2≤|PF1|+|PF2|<2,故范围为[2,2).答案:[2,2)三、解答题(每小题12分,共24分)7.圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),C2离心率为.若C1与C2相交于A,B 两点,且线段AB恰好为圆C1的直径.求直线AB的方程和椭圆C2的方程.【解析】由e=得a2=2c2=2b2.所以椭圆C2的方程为+=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆心(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.又+=1,+=1,相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.从而=-1,所以直线方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.代入椭圆方程,得3x2-12x+18-2b2=0.因为直线AB与椭圆相交,所以Δ>0,即b2>0.由|AB|=|x1-x2|===2,所以b2=8,a2=16,所以椭圆方程为+=1.8.(2013·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出Q点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆Q外可求△PP′Q的面积S的最大值以及圆的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=,得b2==8,从而a2==16,故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x ++8=(x-2x0)2-+8(x∈).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S =|2y1||x1-x0| =×2|x0|==.当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP| ==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.- 11 -。
部编版2020学年高中数学第二章2.1.1椭圆及其标准方程课时达标训练含解析新人教A版选修93
2.1.1 椭圆及其标准方程
课时达标训练
1.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|
等于( )
A.4
B.5
C.8
D.10
【解析】选D.由椭圆+=1,得a=5,
所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.
2.已知椭圆中a=,c=,则该椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.因为a=,c=,所以b2=()2-()2=4,而由于焦点不确定,所以D 选项正确.
3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.
所以椭圆方程为+=1.
4.椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为________.
【解析】椭圆的标准方程为+=1,
所以a2=16,b2=9,c2=7,且焦点在x轴上,
所以焦点坐标为(-,0),(,0).
答案:(-,0),(,0)
5.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上.
(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.
【解析】(1)椭圆的标准方程为+=1.
(2)由b2=a2-c2,得b2=25-4=21.
故椭圆的标准方程为+=1.。
【人教版】2018-2020学年高中数学 课时分层作业6 椭圆的标准方程 苏教版选修1-1
课时分层作业(六) 椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．圆x 225＋y 216＝1上一点M 到一个焦点的距离为4，则M 到另一个焦点的距离为________.【导学号：95902082】【解析】 设椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，不妨令MF 1＝4，由MF 1＋MF 2＝2a ＝10，得MF 2＝10－MF 1＝10－4＝6. 【答案】 62．若a ＝6，b ＝35，则椭圆的标准方程是________．【解析】 椭圆的焦点在x 轴上时，方程为x 236＋y 235＝1，在y 轴上时，方程为y 236＋x 235＝1.【答案】x 236＋y 235＝1或y 236＋x 235＝13．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项．该椭圆的方程是________.【导学号：95902083】【解析】 ∵PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×4＝8，∴2a ＝8，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12，∴椭圆方程是x 216＋y 212＝1.【答案】x 216＋y 212＝1 4．过(－3,2)点且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．【解析】 与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆可设为x 29－k ＋y 24－k ＝1且k ＜4，将(－3,2)代入得：k ＝－6.【答案】x 215＋y 210＝1 5．把椭圆x 216＋y 29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13，则所得曲线方程为________.【导学号：95902084】【解析】 原方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1.【答案】 x 2＋y 2＝16．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是________．【解析】 椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0 7．方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．【解析】 将方程化为x 22m ＋y21－m＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m >0，1－m >0，2m >1－m ，解之得13<m <1.【答案】 13<m <18．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为________.【导学号：95902085】【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22且PF 1＋PF 2＝2a .又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧PF 21＋PF 22＝64 ①PF 1＋PF 2＝10 ②②2－①，得2PF 1·PF 2＝102－64，∴PF 1·PF 2＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 【答案】 9 二、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.10．已知椭圆8x 281＋y236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程.【导学号：95902086】【解】 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.[能力提升练]1．在平面直角坐标xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B 的值为__________．【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10，所以A (－4，0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点．因为点B 在椭圆上，所以|BA |＋|BC |＝2a ＝10，所以sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54.【答案】 542．已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ ＝PF 2，那么动点Q 的轨迹是________.【导学号：95902087】【解析】 如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF 1＋PF 2＝2a 为常数．又因为PQ ＝PF 2，所以PF 1＋PQ ＝2a ，即QF 1＝2a 为常数．即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆．故Q 的轨迹为圆．【答案】 圆3．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．【解析】 如图所示， F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6，由AF 1＋AF 2＝6，得AF 21＋AF 22＋2AF 1·AF 2＝36.又在△AF 1F 2中，AF 21＋AF 22－F 1F 22＝2AF 1·AF 2cos 45°，所以36－2AF 1·AF 2－8＝2AF 1·AF 2， 所以AF 1·AF 2＝282＋2＝14(2－2)，所以S △AF 1F 2＝12AF 1·AF 2 sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)．【答案】 7(2－1)4．已知点P (6,8)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.试求(1)椭圆的方程． (2)求sin∠PF 1F 2的值.【导学号：95902088】【解】 (1)因为PF 1→·PF 2→＝0，所以－(c ＋6)(c －6)＋64＝0，所以c ＝10， 所以F 1(－10,0)，F 2(10,0)，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝＋2＋82＋－2＋82＝125，所以a ＝65，b 2＝80.所以椭圆方程为x 2180＋y 280＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12F 1F 2·y P ＝80，所以PF 1·PF 2＝160，又PF 1＋PF 2＝125，所以PF 2＝45，所以sin∠PF 1F 2＝PF 2F 1F 2＝4520＝55.。
【高中数学】3.1.1 椭圆及其标准方程(分层练习)高二数学新教材配套练习(人教A版选择性必修
3.1.1 椭圆及其标准方程基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知点M 是平面α内的动点，F 1，F 2是平面α内的两个定点，则“点M 到点F 1，F 2的距离之和为定值”是“点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 的值为( )A ．9B ．4C ．3D ．23．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则∶F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．16．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．7．已知经过椭圆x 225＋y 216＝1右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，F 1为左焦点，则∶ABF 1的周长为________．8．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.能 力 练综合应用 核心素养9．(多选题)下列说法中错误的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 10．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∶F 1PF 2＝________.若∶F 1PF 2＝90°，则∶F 1PF 2的面积是________．12．已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∶F 1PF 2＝30°，则∶F 1PF 2的面积是________．13．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________．14．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∶F 1PF 2的大小为________．15．已知椭圆M 与椭圆N ：x 216＋y 212＝1有相同的焦点，且椭圆M 过点⎝⎛⎭⎫－1，255.则椭圆M 的标准方程为______．16.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，∶POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.17．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．【参考答案】1. C [若点M 到点F 1，F 2的距离之和恰好为F 1，F 2两点之间的距离，则点M 的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a ，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]2. C 解析 由题意可知25－m 2＝16，解得m ＝3(舍去负值)．3. D 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝9，0＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝9，故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 4. B 解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．5.B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∶|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∶|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知∶F 1PF 2是直角三角形，故∶F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]6.x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7. 20 解析 ∶ABF 1的周长＝|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ＝20. 8.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋2＋22＋32＋2－22＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.9. ABD [A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410＞|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选ABD.] 10. B 解析 当方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．11. 120° 2 [由题得a 2＝9，b 2＝2，∶a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∶c ＝7，∶|F 1F 2|＝27.∶|PF 1|＝4，∶|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.∶cos∶F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22×|PF 1|×|PF 2|＝错误!＝－错误!，又0＜∶F 1PF 2＜180°，∶∶F 1PF 2＝120°.又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(27)2＝28，配方得(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝28， ∶36－2|PF 1||PF 2|＝28，即|PF 1||PF 2|＝4，∶S∶F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝2.]12. 8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2，∶c ＝a 2－b 2＝1，∶|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在∶F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∶F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°，即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∶|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∶S∶F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin∶F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.]13. y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.14. 60° 解析 由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝27，∶(|PF 1|＋|PF 2|)2＝64， ∶|PF 1|·|PF 2|＝12，∶|PF 1|2＋|PF 2|2＝40， 在∶F 1PF 2中，cos∶F 1PF 2＝40－282×12＝12， ∶∶F 1PF 2∶(0°，180°)，∶∶F 1PF 2＝60°.15. x 25＋y 2＝1 解析 由题意，知椭圆N 的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，1a 2＋45b 2＝1，化简并整理得5b 4＋11b 2－16＝0， 故b 2＝1或b 2＝－165(舍)，a 2＝5，故椭圆M 的标准方程为x 25＋y 2＝1. 16. 23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1∶PF 2， 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1， 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]17. 解两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，∶|MO1|＋|MO2|＝10.而|O1O2|＝6<10，故由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∶b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业椭圆及其标准方程含解析新人教A版选修_
课时作业8 椭圆及其标准方程[根底稳固]一、选择题1．曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，那么“4≤k ＜5”是“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆〞的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点的椭圆是( ) A.x 216＋y 225＝1 B.x 230＋y 220＝1 C.x 230＋y 221＝1 D.x 221＋y 230＝1 3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，那么△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P 35，－4和Q －45，3，那么此椭圆的方程是( ) A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1 C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对 5．集合P ＝{M ||MF |＋|MG |＝10}，其中F ，G 为定点且|FG |＝8，假设M 到F 的距离为2，N 是MF 的中点，那么N 点到FG 中点O 的距离是( )A ．8B ．4C ．2 D.32二、填空题6．以下命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，那么满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，那么满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④假设点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的和，那么点P 的轨迹为椭圆．7．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程________． 8．椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，那么k 的值为________．三、解答题9．求满足以下条件的椭圆的标准方程．(1)a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上；(2)焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12；(3)经过两点A (0,2)和B 12， 3. 10．圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．[能力提升]11．椭圆C ：x 29＋y 25＝1，点A (1,1)，那么点A 与椭圆C 的位置关系是( ) A ．点在椭圆上 B ．点在椭圆内C ．点在椭圆外D ．无法判断 12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．假设|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，那么椭圆E 的方程为____________________．13．如下图，F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点． (1)假设椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？(2)过焦点F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长．14．两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|.(1)求点P 的轨迹方程；(2)假设∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．。
2020高中数学 课时分层作业6 椭圆及其标准方程 新人教A版选修1-1
课时分层作业(六) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144.c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 225＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )【导学号：97792056】A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线B [|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【导学号：97792057】x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．(x ＋1)2＋y 2＝16 [如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)． 又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.] 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4， ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴324＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程.【导学号：97792058】[解] 因为|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4， 所以|PO 1|＋|PA |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.] 2.如图213，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图213x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________.【导学号：97792059】k ＝132 [易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.] 4．如图214所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.图21423 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝2 3 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图215所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．图215[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得 |F 1B |＋|F 2B | ＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ， 在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝a 2－c 22a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以a 2－c 22a ＋c ＝a 2－c 22a －c，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4.由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。
高中数学课时跟踪检测六椭圆及其标准方程含解析新人教A版选修1_1
课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D ．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为43．3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1 B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1 D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝3． ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23．∴b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1． ∴m －4＝1，m ＝5．当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1， ∴m ＝3． 答案：3或57．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16．所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3． 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25． ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．答案：x 225＋y 29＝19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，得32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C 与椭圆x 2＋37y 2＝37的焦点F 1，F 2相同，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫572，－6． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P ∈C ，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)因为椭圆x 237＋y 2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－36＝1(a 2>36)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫572，－6的坐标代入整理得4a 4－463a 2＋6 300＝0，解得a 2＝100或a 2＝634(舍去)，所以椭圆C 的标准方程为x 2100＋y 264＝1． (2)因为P 为椭圆C 上任一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 由(1)知c ＝6，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12，所以由余弦定理得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|，所以122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|． 所以122＝202－3|PF 1||PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝32×83＝2563．S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433． 所以△F 1PF 2的面积为6433．层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C ．2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1·PF 2＝0， ∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ．又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9．3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1．因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0．又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2． 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132．答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________．解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12．答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12． 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2．由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4．在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a ．依题意有b 2a＝3，得b 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．8． 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA ．由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |．又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5．又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．故点M的轨迹方程为x 2254＋y2214＝1．。
课时分层作业6 椭圆的标准方程
课时分层作业(六)椭圆的标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知点P为椭圆x249＋y224＝1上一点，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2为直角，则PF1·PF2＝________.[解析]由∠F1PF2为直角得PF21＋PF22＝F1F22.由椭圆方程得a2＝49，b2＝24，所以2PF1·PF2＝(PF1＋PF2)2－(PF21＋PF22)＝(2a)2－(2c)2＝4(a2－c2)＝4b2，所以PF1·PF2＝2b2＝2×24＝48.[答案]482．椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值为________．[解析]∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，∴m＝3或5.[答案]3或53．设F1，F2是椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．[解析]易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝41，因为弦AB过点F1，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a ＝441.[答案]4414．若方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________.【导学号：71392060】[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0， 解得0<m <1.[答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21，故△PF 1F 2是直角三角形．[答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－5)且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.【导学号：71392061】[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝ (3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [答案] y 220＋x 24＝1 8．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34.[答案] ±34二、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值． [解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ，根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2.又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2，∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值.【导学号：71392062】[解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎨⎧ k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k ＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17. 故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[解析] 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10.∴A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点．∵点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，∴sin A ＋sin C sin B ＝2R sin A ＋2R sin C 2R sin B＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54(R 为△ABC 外接圆的半径)．[答案] 542．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．[解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n ＝1，所以要使方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值.【导学号：71392063】[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)， 得a 2＝25，b 2＝m 2，所以m 2＝25－9＝16.因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)， 得a 2＝m 2，b 2＝25，所以m 2＝25＋9＝34.因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.。
椭圆及其标准方程同步作业2022-2022学年高二上学期数学人教A版(
椭圆及其标准方程同步作业2022-2022学年高二上学期数学人教A版(二十椭圆及其标准方程(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法中正确的说法是()A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是()A.+某2=1B.+y2=1或某2+=1C.+y2=1D.以上都不对3.若曲线a某2+by2=1为焦点在某轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2>b2B.<C.0<a<bD.0<b<a4.椭圆5某2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=()A.-1B.1C.D.-二、填空题(每小题5分,共10分)5.椭圆某2+ky2=1的焦距为,则k=.6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在某轴上,椭圆与某轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.三、解答题(每小题10分,共20分)7.设P是圆某2+y2=25上的动点,点D是P在某轴上的投影,M为PD 上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.8.已知点P(6,8)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若·=0.试求(1)椭圆的方程.(2)in∠PF1F2的值.(15分钟·30分)1.(5分)椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为()A.8B.2C.4D.2.(5分)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于某轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=13.(5分)已知F是椭圆5某2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.4.(5分)在平面直角坐标系某Oy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=.5.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆C的方程.1.已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:某=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则=()A.B.2C.D.3【加练·固】已知圆E:(某+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF 的垂直平分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为.2.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.二十椭圆及其标准方程(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法中正确的说法是()A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆【解析】选AC.当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,D错误.2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是()A.+某2=1B.+y2=1或某2+=1C.+y2=1D.以上都不对【解析】选A.设椭圆方程为A某2+By2=1(A>0,B>0),由题意得解得所以此椭圆的标准方程为+某2=1.3.若曲线a某2+by2=1为焦点在某轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2>b2B.<C.0<a<bD.0<b<a【解析】选C.由题意,曲线a某2+by2=1可化为+=1.因为曲线a某2+by2=1为焦点在某轴上的椭圆,所以>>0,所以b>a>0.4.椭圆5某2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=()A.-1B.1C.D.-【解析】选B.由5某2+ky2=5得,某2+=1.因为焦点为(0,2),所以a2=,b2=1,所以c2=a2-b2=-1=4,所以k=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.椭圆某2+ky2=1的焦距为,则k=.【解析】椭圆某2+ky2=1转换为标准形式+=1,当焦点在某轴上时,c2=1-,即2c=2=,解得k=2,当焦点在y轴上时,c2=-1,即2c=2,解得k=.答案:2或6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在某轴上,椭圆与某轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)7.设P是圆某2+y2=25上的动点,点D是P在某轴上的投影,M为PD 上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解析】设点M的坐标是(某,y),P的坐标是(某P,yP),因为点D是P在某轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以某P=某,且yP=y.因为P在圆某2+y2=25上,所以某2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.8.已知点P(6,8)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若·=0.试求(1)椭圆的方程.(2)in∠PF1F2的值.【解析】(1)因为·=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=+=12,所以a=6,b2=80.所以椭圆方程为+=1.(2)如图所示,过点P作PM⊥某轴,垂足为M,则|PM|=8,|F1M|=10+6=16,所以|PF1|===8,所以in∠PF1F2===.(15分钟·30分)1.(5分)椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为()A.8B.2C.4D.【解析】选C.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8,由于N为MF1的中点,所以ON为△F1MF2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.2.(5分)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于某轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),令某=c,则y=±,由|AB|=3,得=3,①,又a2-b2=c2=1,②联立①②得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为+=1.3.(5分)已知F是椭圆5某2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.【解析】椭圆方程化为+=1,设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.答案:6+6-4.(5分)在平面直角坐标系某Oy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=.【解析】由题意知,A,C为椭圆的两焦点,则|AC|=8,|AB|+|BC|=10.所以===.答案:5.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆C的方程.【解析】因为点E在椭圆C上,所以2a=|EF1|+|EF2|=+=6,即a=3.在Rt△EF1F2中,|F1F2|===2,所以椭圆C的半焦距c=.所以b2=a2-c2=9-5=4,所以椭圆C的方程为+=1.1.已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:某=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则=()A.B.2C.D.3【解析】选C.设A(2,y0),B(某1,y1),=(1,y0),=(某1-1,y1),由=3,即(1,y0)=3(某1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以==.【加练·固】已知圆E:(某+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF 的垂直平分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为.【解析】连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|,所以Q的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,所以b=,所以点Q 的轨迹方程为+=1.答案:+=12.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(某0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得某0=,y0=-.又+=1,所以+=1,化简得λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,因为点C异于B点,所以λ=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1的周长最大,最大值为8.。
高中数学课时达标训练六新人教A版选修120
课时达标训练（六）[即时达标对点练]题组1 椭圆的标准方程1．已知方程 x 2k －4＋y 210－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 3．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________．4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．题组2 与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 214＝1 C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1 6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B＝________． 9．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标．[能力提升综合练]1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 248＝1 4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 5．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为 3 的正三角形，则b 2的值是________．6．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点． (1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．答 案即时达标对点练 1. 解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.2. 解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D. 3. 解析：椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1， ∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．答案：(－7，0)，(7，0)4. 解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12， b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1. 答案：y 216＋x 24＝1 5. 解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0. ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1. ①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1.6. 解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4.但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 7. 解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝1 8. 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54. 答案：549. 解：(1)由题意知，2c ＝4，c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，即2a ＝8，∴a ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23， ∴|y 0|＝3，y 0＝± 3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23， ∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．能力提升综合练1. 解析：选D ∵a ＋9a ≥2a ·9a ＝6， 当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆． 2. 解析：选A 如图所示，由定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，又由PF 1⊥F 1F 2，可设点P 的坐标为(－3，y 0)，代入x 24＋y 2＝1，得|y 0|＝12，即|PF 1|＝12，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝32. 3. 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 4. 解析：选B ∵，∴PF 1⊥PF 2. ∴点P 为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c ＝8－4＝2. ∵b ＝2，∴点P 为该椭圆y 轴的两个端点．5. 解析：∵|OF 2|＝c ，∴由已知得3c 24＝3， ∴c 2＝4，c ＝2.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△POF 2为正三角形，∴|x 0|＝1，|y 0|＝3，代入椭圆方程得1a 2＋3b 2＝1. ∵a 2＝b 2＋4，∴b 2＋3(b 2＋4)＝b 2(b 2＋4)，即b 4＝12，∴b 2＝2 3.答案：2 36. 解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4. 答案：47. 解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.即F 1(－5，0)，F 2(5，0)．则2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.故所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 8. 解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43. 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33. (2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0. 又y 2＝1－x 24， 所以34x 2<2，解得－263<x <263. 所以点P 横坐标的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.。
2025新教材高中数学第3章习题课椭圆的综合问题及应用分层作业pptx课件新人教A版选择性必修第一册
=
即椭圆 C
2
,∴c=
2
2,∴b2=a2-c2=2,
2
的方程为
4
2
+ =1.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(2)设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2),
将 y= 2x+n 代入椭圆 C 的方程,整理得 5x2+4 2nx+2n2-4=0,
∴的取值范围是
2
,1
2
.故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
>
2
,
2
10.(多选题)设 A,B 是椭圆
2
C: 4
2
+ =1
长轴的两个顶点,若 C 上存在点 P 满
足∠APB=120°,则 k 的取值可以是( AD )
4
A.
3
B.2
C.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
kPA=
,kPB= ,所以 kPA·kPB=
0 +5
0 -5
0 +5
9(2
-25)
0
9
25
=
=- ,故 D 错误.
2
0 -25
+
2
02
2 9( 0 -25)
∵P(3,2)为AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4.
∵点A,B都在椭圆上,
∴412 + 912 =144,422 + 922 =144.两式相减得 4(x1-x2)(x1+x2)
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课时分层作业(六) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144.c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 225＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )【导学号：97792056】A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线B [|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【导学号：97792057】x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．(x ＋1)2＋y 2＝16 [如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)． 又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.] 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4， ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴324＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程.【导学号：97792058】[解] 因为|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4， 所以|PO 1|＋|PA |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.] 2.如图213，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图213x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________.【导学号：97792059】k ＝132 [易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.] 4．如图214所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.图21423 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝2 3 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图215所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．图215[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得 |F 1B |＋|F 2B | ＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ， 在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝a 2－c 22a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以a 2－c 22a ＋c ＝a 2－c 22a －c，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4.由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。