2010天津市高等数学竞赛真题答案经管类

津 2010.05.
考试时间：150分钟
二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）
1．设函数
()
()
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
-
=
.
x
,x
x
,
x
,
x
x
x
f
g
cos
1
其中
()x g
是有界函数，则
()x f
在0
=
x点处
（）。

（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；
（C）连续但不可导；（D）可导。

2．设函数()x f
连续，则
()=
-
⎰x t
t
x
f
t
x0
2
2
3d
d
d
（）。

（A）
()()
⎰+
2
2
3
d
x
x
f
x
u
u
f
x
；（B）
()0
3f
x；
（C）
()2
3x
f
x；（D）
()
⎰20d
x
u
u
f
x。

3．下列命题：
⑴设
a
u
n
n
=
∞
→
lim
，
b
v
n
n
=
∞
→
lim
，且b
a>，则必有)
,2,1
n(
=
>
n
n
v
u。

⑵设
)
,2,1
n(
=
>
n
n
v
u
，且
a
u
n
n
=
∞
→
lim
，
b
v
n
n
=
∞
→
lim
，则必有b
a>。

⑶设
)
,2,1
n(
=
≤
≤
n
n
n
v
x
u
，且
()0
lim=
-
∞
→
n
n
n
v
u
，则n
n
x
∞
→
lim
必存在。

正确的个数为（）。

（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。

4．设周期函数()x f
可导，周期为3，
()1
1=
f且
()()
1
2
1
1
lim
1
-
=
-
-
→x
x
f
f
x，则曲线
()x f
y=在
点
()
()4
4,f处的切线方程为（）。

（A）
3=
-
-y
x；（B）0
5
2=
-
-y
x；
（C）
2
2=
-
-y
x；（D）0
9
2=
-
+y
x。

5．设函数
()()x f
-x
f=，若在区间()
+∞
,0内()0<
'x
f，()0>
''x
f，则()x f在区间()0,∞
-
内（）。

（A）
()0>
'x
f，()0<
''x
f；（B）()0>
'x
f，()0>
''x
f；()0<
'x
f()0>
''x
f()0<
'x
f()0<
''x
f
三、计算
⎥⎦
⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→61
231e 2lim n n n n n n 。

（本题7分）
四、设
()
x
x
x
f
+
-
=
1
1
arctan
，求
()()0
5
f。

（本题6分）
六、设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有
()()
⎰⎰
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞
+10
2
1
2d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。

（本题7分）
七、设121-≥a ，
,,,n ,a a n n 321121
=+=
+ ，证明：
n
n a ∞
→lim 存在并求其值。

（本题8分）
八、设()x f
是区间
[]2+
a,a上的函数，且()1≤
x
f
，
()1≤
''x
f
，证明：
()2≤
'x
f
，
[]2+
∈a,a
x。

（本题7分）
十、设区域
(){
}2020≤≤≤≤=y ,x x,y D ，函数()x,y f 在区域D
上连续且
()⎰⎰=D
y x x,y f 0
d d ，
()⎰⎰=D
y x x,y f x 1
d d y ，证明：存在
()D ∈ηξ, ，使
()1
d d 1≥-⎰⎰D
y x xy ξ,ηf
十一、证明：64d 211032πx x x ≤+-≤⎰ 。

（本题7分）
十二、20世纪初意大利经济学家基尼(Gini coefficient)根据洛伦茨曲线提出判断社会分配平等程度的指标。

建立坐标系如图，很明显y = x 这条直线表示收入分配完全平等，
称为绝对平等线；折线OPM 表示收入分配极端不平等，全
部收入集中在一个人手中，称为绝对不平等线；介于二线之间
的实际收入分配曲线就是洛伦茨曲线。

洛伦茨曲线与绝对平等线OM 越接近，收入分配越平等；洛伦茨曲线与绝对不平等线OPM 越接近，收入分配越不平等。

1． 请你建立一个数学模型，用以判断社会分配公平程度，并将社会分配公平程度进行量化。

2． 假设2008年某国家的洛伦茨曲线可用如下函数表示：
()()1000387008670009102≤≤-+=x ,.x .x .x f ，
根据你所建立的模型讨论这个国家2008年的收入分配是否合理。

（本题7分）。