【状元之路】2013-2014学年高中数学 第一章 解三角形单元测评(含解析) 新人教版必修5
单元测评(四)-高考状元之路
单元测评（四）测试内容：三角函数、三角恒等变换、解三角形测试时间：120分钟试卷满分：150分 第1卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知角a 的终边过点),30sin 6,8(o m P --且,54cos -=α则m 的值为( ) 21.-A 21.B 23.-c 23.D答案：B2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是,22cm 则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案：C3．已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为,π则该函数图像 ( )A ．关于直线4π=x 对称 B ．关于点)0,3(π对称C ．关于点)0,4(π对称 D ．关于直线3π=x 对称答案：B4．要得到函数x y 2cos =的图像，只需将函数=y )32(π-⋅x c 的图像( )A ．向右平移⋅6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移⋅3π个单位 D ．向左平移6π个单位答案：D5．若,2cos 2sin 32+=a 则实数a 的取值范围是 ( ))21,0(⋅A )1,21(⋅B )21,1(--⋅c )0,21(-⋅D答案：A6．函数]),0[)(62sin(3ππ∈--=x x y 的单词递增区间是 ( )]125,0.[πA ]32,6.[ππB ]1211,6.[ππC ]1211,32.[ππD答案：B7．已知,52)tan(,21tan -=-=βαα那么)2tan(βα-的值是 ( ) 121.-A 121.B 223.c 183.D答案；B8．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期为π，且当]2,0[π∈x 时，,sin )(x x f =则)35(πf 的值为 ( ) 21.-A 21.B 23.-c 23.D答案：D9．已知,41)4cos()4cos(=-+θπθπ则θθ44cos sin +的值等于 ( )43.A 65.B 85.c 23.D 答案：C10．已知βα、为锐角，且,1010sin ,55sin ==βα则=+βα ( ) 43.π-A 434ππ或⋅B 43.πc 4π⋅D答案：D11．在△ABC 中，c b a cca B 、、（22cos2+=分别为角A 、B 、C 的对边），则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形答案：B12．已知函数x x x f cos sin )(-=且)(),(2)(//x f x f x f =是)(x f 的导函数，则=-+xx x2sin cos sin 122 ( )519.-A 519.B 311.c 311.-D 答案：A第Ⅱ卷（非选择共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．若4π是函数,(cos 2sin )(2R a x a x x f ∈+=且为常数）的零点，则)(x f 的最小正周期是 答案：π14．在△ABC 中，==++B A B A B A cos sin .tan tan 33tan tan ,43则△ABC 的形状为 答案：正三角形15．若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位后，与函数)6tan(πω+=x y 的图像重合，则m 的最小值为 答案：2116．给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为21的扇形面积为;21②若βα、为锐角，,31tan ,21)tan(==+ββα 则;42πβα=+③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且,sin sin B A <则<BC ;AC ④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且,0222<-+c b a 则△ABC 是钝角三角形． 其中真命题的序号是答案：②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(10分)已知,31tan ,55sin -=-=βα且⋅-∈)0,2(πβα、 (1)求βα+的值； (2)求)4cos()4sin(2βπαπ++-的值．18.（12分）已知βα、为锐角，向量.(cos ),sin ,(cos βαα==b a ⋅-=)21,21(),sin c β19．(12分)已知函数+=x mAS x f ω()( -<<->>)22,0,0)(πϕπωϕA 个周期的图像如图所示．(1)求函数)(x f 的表达式； (2)若,2524)3()(=-+πααf f 且α为△ABC 的一个内角，求ααcos sin +的值．20. (12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -=(1)求B cos 的值．(2)若,22,2==⋅b 求a 和c ．21．（12分）已知△ABC 是半径为R 的圆的内接三角形，且.sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-(1)求角C ；(2)试求△ABC 面积S 的最大值，22．(12分)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数]4,0[),0,0(sin ∈>>=x A x A y ωω的图像，且图像的最高点为);32,3(s 赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定.120=∠MNP (1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题同步测试(含解析)新人教A版必修
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《解三角形的实际应用举例—距离问题》同步测试一、课前练习：1、为测一河两岸相对两电线杆BA,间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB）测得∠=50°，则BACBA,间的距离应为（）A．15︒tan米D．15︒50cot米5050cos米 C．15︒sin米 B．15︒502、已知有长为100米的斜坡AB，它的坡角是45°，现把它改成坡角是30°的斜坡AD，则DB的长是__________米。
3、如图，某船向东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离（结果不取近似值）二、课堂练习：1.一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．214海里 C．7海里D．14海里7海里B．22．我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为3. 隔河可看到两目标BC,两点，并测得A,，但不能到达，在岸边选取相距3km的D∠30ADC,︒=ADB，（D∠45=∠45=BCD，︒∠75︒ACB，︒=,,在BCA,同一平面内)，求两目标BA,之间的距离。
高一数学解三角形单元测试及答案
解三角形本章测试一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
1. 在ABC ∆中，2,2,6a b B π===，则A =（ ）.A4π .B 3π.C 34π .D 344ππ或2.在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为（ ）.A 030 .B 045 .C 0120 .D 01503. 已知ABC ∆中，::114A B C =：：，则::a b c 等于（ ）.A 1:1:3 .B 2:2:3 .C 1:1:2 .D 1:1:44. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若02,1,29a b B ===，则此三角形解的情况是（ ）.A 无解 .B 有一解 .C 有两解 .D 有无数解 5. 在ABC ∆中，00090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <6. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西075、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）.A62海里/时 .B 346/时 .C 1722海里/时 .D 2海里/时 7. 已知ABC ∆的面积为S ，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224(),4S a b c bc =--=，则=S （ ）.A 2 .B 4 .C3 .D 238. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos 4C =，cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 3 .B 22 .C 4 .D 69. 在ABC ∆中，已知222222sin sin a A b Ba cb bc a =+-+-，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形；B.等腰三角形；C.等腰或直角三角形；D.等边三角形10. ABC ∆中，060A ∠=,若332ABC S ∆=,且2sin 3sin B C =,则ABC ∆周长为（ ）.A 57+ .B 12 .C 107+ .D 527+11. 在锐角ABC ∆中， ()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取值范围是（ ）.A 3,6（）.B 3,5（） .C ,6]（5 .D [5,6] 12. ABC ∆的内角，，的对边分别为，，，已知2511cos cos cos 2442C a A c B =-+， 且2b =，则a 的最小值为（ ）.A65 .B 75.C 9625 .D 11225二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014年高中数学 第一章 解三角形测试卷A 新人教A版必修5
第一章 解三角形检测题A本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.时间：120分钟，分数：150分.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在ABC △，已知11,20,130a b A ===︒，则此三角形（ ） A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定2. ABC △中，已知2()()a c a c b bc +-=+，则A =（ ）A. 030B. 060C.0120D.01503. ABC △中，已知5,60,ABC b A S ==︒=△a =（ ）A ．4B ．16C ．21D 4.在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5. 在ABC △中，A 、B 、C 为三角形的内角，60B =︒，b ac =，则A 的值为（ ） A. 045 B.030 C.090 D.0606. 已知A 、B 为锐角三角形的两内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D 四．7.已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（ ）A. 045 B.030 C.090 D.01358．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b c =B =（ ）A. π6B. 5π6C.5π6或π6D.π39． 在ABC △中，若223coscos 222C A a c b +=，那么,,a b c 的关系是（ ） A ．a b c += B ．2a c b += C ．2b c a +=D ．a b c == 10．圆内接四边形ABCD 中，3,4,5,6,AB BC CD AD ====则cos A =（ ）A ．16 B ．112 C ．119 D ．12111．在△ABC 中，sin b a C =，cos c a B =，则△ABC 一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ） A ．400米 B ．500米 C ．800米 D ． 700米第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，最大边和最小边边长是方程2327320x x -+=的两实根，则BC 边长等于______。
高二年数学第一章《解三角形》测试卷(教师版)
2013-2014晋江南侨中学高二年数学文科第一学期周末测试卷2 班级 姓名 座位号 成绩一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．在ABC ∆中，45A =,60B =,10a =,则b =（ ）A.52B.102C.1063 D.56【答案】D2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【解题关键点】由正弦定理得，Bb A a sin sin =，∴ sin B ＝23sin =a A b ， ∴ ∠B ＝60°或∠B ＝120°．【答案】D 3．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2【解题关键点】由正弦定理得，Cc B b A a sin sin sin ==， ∴ sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1， ∴ A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．【答案】A【结束】4．以下四个数中是数列{n (n ＋1)}中的一项的是 （ ）A.17B.32C.39D.380【答案】D5．下面对数列的理解有四种:①数列可以看成一个定义在(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函数;②数列的项数是无限的;③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;④数列的通项公式是唯一的.其中说法正确的序号是( )A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④【答案】C6．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC ∆的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若a =，2A B =，则cos B =（ ）A.B.C.D.【答案】B8．不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解【答案】B9．已知等差数列}{n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是（ ）A 、15B 、30C 、31D 、64【答案】A10．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A.3 B.23 C.23或3 D.3 【答案】C11．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A.6B.3-C.12-D.6-【答案】D12．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．135<<xB ．13＜x ＜5C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜5 【答案】A二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = 【答案】9 14．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝________ 【答案】715．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =2b =，ABC ∆的面积S=3，则C =【答案】30或15016．在ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形形状是_______. 【答案】直角三角形17.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
【状元之路】2013-2014学年高中数学 第一章 基本初等函数Ⅱ（含解析） 新人教B版必修4
单元测评 基本初等函数(Ⅱ)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．半径为π cm，圆心角为π3的角所对的弧长是( ) A.π3 cm B.π23 cm C.2π3cm D.2π23cm解析：l ＝α·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B.答案：B2．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A 的值是( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：因为cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，所以cos A ＝12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝12，则sin α＝( )A.55 B ．－55C ．±55D ．－255解析：由题意知tan α＝sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＝－55. 答案：B4．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一条对称轴是直线x ＝－5π12；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22；③若α，β均是第一象限的角，且α＞β，则sin α＞sin β. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，所以x ＝－5π12不是f (x )的一条对称轴，①错误；由f (x )＝min{sin x ，cos x }的图像可得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，②正确；当α＝390°，β＝60°时，满足α＞β，但sin α＜sin β，③错误．故选B.答案：B5．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )解析：由题意，y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位为y ＝cos(x＋1)，利用特殊点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，0，知选A. 答案：A6．将函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2解析：函数f (x )向右平移π4得到函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，因为此时函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，所以sin ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0，即ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ωπ2＝k π，所以ω＝2k ，k ∈Z ，所以ω的最小值为2，选D. 答案：D7．在[0,2π]上满足sin x ≥32的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：由图像知在[0,2π]上，若sin x ≥32，则π3≤x ≤2π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.故选C.答案：C8．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则f (x )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：作出函数y ＝4sin(2x ＋1)与函数y ＝x 的图像，如图，观察图像可知，两个函数有三个交点，故选D.答案：D9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B.32C ．－32D.12解析：因为f (x )的最小正周期是π，且f (x )是偶 函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3解析：由图像可知，此正切函数的周期等于2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2.从题图中知，图像过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图像过定点(0,1)，可得A ＝1. 综上可知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝__________.解析：由周期公式得T ＝2π2＝π.答案：π12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一部分图像如图所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则此函数的解析式为__________．解析：由图像知，A ＝2，b ＝2，T 4＝5π12－π6＝π4，由T ＝2πω得ω＝2，根据2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋213．函数y ＝cos 2x ＋3sin x ＋1(x ∈R )的最大值为__________，最小值为__________． 解析：y ＝1－sin 2x ＋3sin x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋114，所以函数的最大值为114，最小值为1－3.答案：1141－ 314．化简：1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°＝__________. 解析：1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°＝sin10°－cos10°2cos10°－sin10°＝1.答案：1三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求sin α＋π－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin －α＋cos π＋α的值．解：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝45，所以cos α＝35，故tan α＝43.(6分)(2)sin α＋π－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin －α＋cos π＋α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α ＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.(12分)16．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值．解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2分)由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.∴4π3＋φ＝2k π－π2，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z . 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(6分)(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3.(8分)∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.(12分)17．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0＜x ＜π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和． 解： (1)显然A ＝2，又图像过点(0,1)，所以f (0)＝1，即sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6； 由图像结合“五点法”可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0对应函数y ＝sin x 图像上的点(2π，0)，所以ω·11π12＋π6＝2π，得ω＝2.(4分) 故所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (6分)(2)如图所示，在同一坐标系中作出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈(0，π))和y ＝m (m ∈R )的图像．(8分)由图可知，当－2＜m ＜1或1＜m ＜2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．所以m 的取值范围为－2＜m ＜1或1＜m ＜2. (10分)当－2＜m ＜1时，两根的和为4π3；当1＜m ＜2时，两根的和为π3.(13分) 18．(13分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求cos2α.解：(1)依据周期公式可得周期T ＝2π3.(4分)(2)由题设可知A ＝4且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ＝1，则φ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )．(8分)因为0＜φ＜π，所以φ＝π4. 即f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(10分) (3)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α＝125，所以cos2α＝35.(13分)。
高中数学第一章解三角形检测题及答案
学习必备 欢迎下载第一章解三角形则A , C 两地的距离为（aAcos — 2 bBcos2 c Ccos2等于（\3 : 2，贝U sin A : sin B : sin C =(C . 1 : 2 :5. 如果△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于厶A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则 （ ）.A. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是锐角三角形B. A A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是钝角三角形C. A A 1B 1C 1是钝角三角形，△ A 2B 2C 2是锐角三角形D. A A 1B 1C 1是锐角三角形，△ A 2B 2C 2是钝角三角形6. 在△ ABC 中，a = 2叮'3 , b = 2^2，/ B = 45 ° 则/ A 为（）.、选择题1.已知A ，B 两地的距离为10 km , B ，C 两地的距离为20 km , 现测得/ ABC = 120 °A . 10 km10.3 kmC . 10 5 km10 一 7 kmA •等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形3•三角形三边长为a ,b ,c ,且满足关系式(a + b + c)( a + b — c) = 3ab ,则c 边的对角A .15 °45 ° C . 60°120 °4.在△ ABC 中，三个内角/ A ,ZB ，/C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2 .在△ ABC 中，若 ，则△ABC 是（ A . 30。
或 150B . 60 °C . 60。
或 120D . 30 °10.根据下列条件解三角形： ①/ B = 30° a = 14, b = 7;②/ B = 60° a = 10, b = 9.那 么，下面判断正确的是（）.C .①有两解，②只有一解.D.①只有一解，②有两解.二、填空题11.在△ ABC 中，a , b 分别是/ A 和/ B 所对的边，若 a = 3 , b = 1, / B = 30 °则/ A 最大，/ C 最小，且/ A = 2/ C , a + c = 2b ,求此三角形三边之比为根，则 A 为（）.A .锐角 B .直角 C . 钝角D . 不存在& 在厶ABC 中， AB = 3, BC =、13 ,AC = 4,则边AC 上的高为( ) . A .3、2 B . 33C .3 D .3、、32229.在厶ABC 中， 333a +b —c 2 —c ,sin A • sin B = 3，则△ ABC .宀曰 / 定是（)a +b — c4A . 等边三角形B.等腰三角形C .直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形7.在厶ABC 中, A .①只有一解，②也只有一解.B .①有两解，②也有两解. 15 .在△ ABC 中,=2 : 5 : 6.若△ ABC 的面积为 B , / C 的对边分别为 a , b , c,且满足 sin A : sin B : sin C 匹39，则△ ABC 的周长为4关于x 的方程(1 + x 2)sin A + 2xsin B + (1 - x 2) sin C = 0有两个不等的实三角形. 14.A ABC 中，a + b = 10,16 .在△ ABC 中,三、解答题17.在△ ABC 中，已知/ A = 30° a, b分别为/ A，/ B的对边，且a= 4=二\解此三角形.18•如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°建筑物的高CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角-学习必备欢迎下载19.在△ ABC 中，/ A，/ B，/ C 的对边分别为a, b, c,若bcos C= (2a —c) cos B, (I )求/ B的大小;(n )若b = .../7 , a+ c = 4,求厶ABC 的面积.20•在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,求证：c sin( A - B) sin C、选择题1. D解析：AC 2 = AB 2+ BC 2— 2AB • BCcos Z ABC =102+ 202— 2X 10X 20cos 120 °=700.■I ----AC = 10 . 7 . 2. B解析：由a =b =c 及正弦定理，得 sin A = sin B = sinC ，由2倍角 A cos — B cos—C cos — A B C 2 2 2cos — 2 cos 2 cos — 2的正弦公式得 sin A = sin — = sin —，/ A =Z B =Z C . 2 2 23. C解析：由(a + b + c)( a + b — c) = 3ab , 得 a ? + b ?— c ?= ab .2ab故 C = 60°. 4. D解析：由正弦定理可得 a : b : c = sin A : sin B : sin C = 1 : . 3 : 2. 5. D解析：△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于 0,则厶A 1B 1C 1是锐角三角形.nsin A 2= cosA = sin( — — A|)」sin B 2= cos B = sir(——比), sin C 2= cosC = sin( — — C 1)2那么，A 2+ —2+ C 2 = ―― — ( A 1 + —1 + G)=—，与 A 2 + —2 + C 2= n 矛盾.2 2 所以△ A 2B 2C 2是钝角三角形. 6. C2®： 3 ；•参考答案cos C = 2 2b 「c . n .A 2 = --- A|2得」B Q =」一B 1 ,2C 2=- — C 12若厶A 2B 2C 2不是钝角三角形，由解析：由L，得sin A=asinB = ____________ 2 = 3,sin A sin B b 2/2 2 而b v a,•••有两解，即/ A = 60°或/ A = 120°.7. A解析：由方程可得(sin A —sin C) x2+ 2xsin B+ sin A + sin C= 0.•/方程有两个不等的实根，2 2 2•4sin B —4( sin A—sin C) > 0.由正弦定理一「= 一匚=—J，代入不等式中得b2—a2+ c2> 0, sin A sin B sinC再由余弦定理，有2ac cos A= b2+ c2—a2> 0.•0vZ A v90°.& B解析：■—r—由余弦定理得cos A= 1，从而sin A = 3，则AC边上的高BD = 3"2 2 29. A解析：3丄 3 3由 a + b c= c2二a3+ b3—c3= (a + b —c) c2= a3+ b3—c2(a + b) = 0= a + b—c(a+ b)( a2+ b2—ab —c2) = 0.a +b > 0,2 2 2二a2+ b2—c2—ab= 0. (1)由余弦定理(1)式可化为2 2 2 2a +b —(a + b —2abcos C) —ab = 0,1得cos C = —, Z C= 60°.2a b c asi n60 bsin60由正弦疋理= = ，得sin A= , sin B =si nA sinB sin 60” c c •sin A・sin B=西呼上=3,c2 4•卑=1, ab= c2. 将ab= c2代入(1)式得，a2+ b2—2ab= 0,即(a —b) 2= 0, a = b. c △ ABC是等边三角形.10. D解析：由正弦定理得sin A=asir|B，①中sin A= 1,②中sin A =葺.分析后可知① b 9有一解，/ A = 90°②有两解，/ A可为锐角或钝角.二、填空题11. 60 或120 °解析：由正弦定理=—计算可得sin A = _3，/ A = 60°或120°sin A sin B 212. 等腰.解析：由已知得2sin Bsin C = 1 + cos A = 1—cos(B+ C),即2sin Bsin C= 1 —( cos Bcos C —sin Bsin C),••• cos(B —C) = 1,得/ B =Z C,•••此三角形是等腰三角形.13. i 21 或.61 .1 J3解：T S= — absin C ,• sin C= —，于是/ C= 60°或/ C = 120°.2 2又c2= a2+ b2—2abcos C,当/C = 60°时，c2= a2+ b2—ab, c = .21 ;当/C = 120°时，c2= a2+ b2+ ab, c= V61 .• c的长度为,21或61 .14. 10+ 5 3 .解析：由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,然后运用函数思想加以处理.•/ 2X2—3x—2 = 0,--X1 2, x? —.2又cos C是方程2x2—3x— 2 = 0的一个根，cos C =—1.2由余弦定理可得c = a + b? —2ab • ( —) = (a + b) —ab,2则 c 2= 100-a(10 — a) = (a -5)2+ 75, 当a = 5时，c 最小，且c = 175 = 5, 此时 a + b + c = 5+ 5 + 5 /3 = 10+ 5 “.； 3 , △ ABC 周长的最小值为 10+ 5 3 . 15. 13.解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 2 : 5 : 6,可得 a : b : c = 2 : 5 设a = 2k , b = 5k , c = 6k (k > 0)，由余弦定理可得ma 2+b 2-c 24k 2+36k 2 —25k 2 5 cos B ===-, 2ab2[2k)( 6k)8sin B = , 1— cos 2 B = —39 .8 1由面积公式S AABC = ac sin B ,得2 -• (2k ) • (6k ) •』=, 2 84.k = 1,A ABC 的周长为 2k + 5k + 6k = 13k = 13.:6,于是可 本题也可由三角形面积I(海伦公式)得13k (13k— 2k)(13k— 5k)(13k— 6k)2 2 2 23 .、39 4f --- f -- 3,39 2 3 \ 39即 k = —4 4k = 1.a +b +c = 13k = 13. 16. 6 : 5 : 4.解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用.由正弦定理得 ？= 泄=色岛 =2cos C ,即cos C = 2 , c si nC sinC 2c由余弦定理 cos C =a 2 +b 2 —c 22ab(a + c)( a — c)+ b 22aba + c = 2b ,2b( a — c)+ bcos C =a + c 2a + c2 a — c)+ -22ab 2 a-c)+ 也2 2a 2a2c整理得 2a 2— 5ac + 3c 2 = 0.解得a = c 或a = - c. 23 A = 2/C ,「. a = c 不成立，a = c 23 c c a c 25^ 2 2 43 5a :b :c = c : c : c = 6 : 5 : 4. 2 4故此三角形三边之比为 6 : 5 : 4.三、解答题17. b = 4^3 , c = 8,/ C = 90 ° / B = 60。
【数学】《高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(2)》检测(人教版必修5)
高中数学（必修5） 第一章：解三角形测试（二）班级：_［基础训练B 组］一、选择题：A . 103 B . 10 .3 -11、 在厶ABC 中, a = 3, b =、7 ,那么B 等于（ 2、 A . 30 °在厶ABC 中, B . 45°a = 10, B=60 ° ,C=45° C . 60°,则c 等于(D . 120° )3、 在厶ABC中, a = 2 川'3,b = 2 2 , B =45°,贝U A 等于 ( )A . 30°B . 60°C .30 °或 120 °D . 30° 或150 ° 4、 在厶AB C 中, a = 12, 1 b = 13, C = 60°, 此三角形的解的 情况是（ ）A. 无解B . 一解 .二解 D . 不能确定 5、 在厶 ABC 中,已知a 2 2 2 =b c bc ,则角A 为（ )A . JIB . JI C2 - D . .二或 2二36 3336、 在厶 AB C中, 若 acosA = bcosB ，则△ ABC 的形状是（)C •等腰直角三角形 a ,则a 的范围是（D .等腰或直角三角形）姓名成绩:高中数学（必修5） 第一章：解三角形测试（二）C . 2<xv?&3D .2vx 兰里3 310、在厶 ABC 中，周长为 7.5cm,且 si nA : si nB: si nC = 4:5:6,下列结论：① a ：b ：C=4：5：6② a : b : c = 2 : 一 5 : . 6 ③ a = 2cm, b = 2.5cm,^ 3cm ④ A:B:C = 4:5:6 其中成立的个数是( )A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11、在厶 ABC 中，AB =*3,AC =1, / A = 30°，则△ ABC 面积为 ()A .等腰三角形B .直角三角形已知锐角三角形的边长分别为 1 , 3,7、8、 9、 A . 8,10 在厶ABC 中，已知A .直角三角形 △ ABC 中，已知B .8,.10C ..8,10 D .2sin AcosB = sinC ,那么△ ABCB .等腰三角形r 曰疋是 C .等腰直角三角形10,8（ ）D .正三角形60°,如果△ ABC 两组解，则x 的取值范围（）A . 2B . 4C . 或32D . 4 或 2 12、已知△ ABC 的面积为 3 且 b = 2,c = 3，则/ A 等于（ ) 2A . 30°B . 30° 或 150°C . 60°D . 60° 或 120°13、已知△ ABC 的三边长 a = 3,b = 5, c = 6 , 则厶ABC 的面积为 ( )A . .14B . 2、14C . 15D . 2,15 则 14、 某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空 地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元， 购买这种草皮至少要（ ） A . 450a 元 B . 225a 元 C . 150a 元 D . 300a 元 15、 甲船在岛B 的正南方A 处，AB = 10千米，甲船以每小 时4千米的速度向正北航行，同时乙船自 B 出发以每小时 方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（150 15 A .旦分钟 B . 15分钟 7A 处测得正前下方地面目标 这时飞机与地面目标的水平距离 6千米的速度向北偏东 60°的 ） C . 21.5分钟 分钟 7 16、飞机沿水平方向飞行，在10000米，到达B 处，此时测得目标 C 的俯角为75°, 为（ ） D . 2.15分钟 C 得俯角为30°，向前飞行 A . 5000 米 B . 50002 米 C . 4000 米 D . 4000 .2 米 17、在厶ABC 中, 1 A . 64a =si n10 ° ,b =si n50 ° , / C = 70° 1 1 B . C .— 32 16 ,那么△ ABC 的面积为（ 1 D .- 8 18、 若厶ABC 的周长等于20，面积是10. 3 , A = 60。
【状元之路】高中数学 第一章 解三角形单元测评(含解析) 新人教版必修5
单元测评 解三角形(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，B ＝30°，则A ＝( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．60°或120°解析：由a sin A ＝b sin B 知sin A ＝32，又a ＞b ，∴A ＝60°或120°.答案：D2．在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解D ．解的个数不确定解析：由A ＝130°，而a ＜b ，可知无解． 答案：A3．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于( ) A ．30° B ．60°或120° C ．60°D ．120° 解析：由余弦定理可得a ＝3，根据正弦定理有a sin A ＝c sin C ，故sin C ＝32，故C ＝60°或120°.若C ＝60°，则B ＝90°＞C ，而b ＜c ，不满足大边对大角，故C ＝120°.答案：D4．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为( ) A ．2 3 B. 3 C ．23或4 3D.3或2 3解析：如图，AD ＝AB ·sin B ＝3＜2，故△ABC 有两解：S △ABC ＝12BC ·AD ＝3，S △ABC ′＝12BC ′·AD ＝2 3.答案：D5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．3∶4∶5B ．2∶6∶(3＋1)C ．1∶3∶2D ．22∶23∶(3＋2) 解析：∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5， ∴A ＝45°，B ＝60°，C ＝75°.∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶6∶(3＋1)． 答案：B6．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则该三角形为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：∵b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，∴sin(A －B )＝0， ∴A －B ＝0或A －B ＝π(舍去)，∴A ＝B . ∴三角形ABC 为等腰三角形． 答案：C7．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则角A 的对边长为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ， 即b 2＋c 2＋2bc ＝400＋a 2－40a ， ∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ，①又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .②又S △ABC ＝12bc ·sin A ＝103，∴bc ＝40.③ 由①②③可知a ＝7. 答案：C8．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：四边形面积可分为求△ABD 与△BCD 两部分的和，由余弦定理BD ＝23，S △BCD ＝12BC ·CD sin120°＝3，∠ABD ＝120°－30°＝90°，∴S △ABD ＝12AB ·BD ＝4 3.∴S 四边形ABCD ＝3＋43＝5 3. 答案：B9．△ABC 中，若a cos B ＝bcos A ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：由a cos A ＝b cos B ，得sin A cos A ＝sin B cos B ， sin2A ＝sin2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 答案：D10．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km解析：由题意∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， AB sin75°＝BCsin30°，∴BC ＝10sin75°＝10(6－2)．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在等腰三角形ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是__________． 解析：由正弦定理得BC ∶AC ＝sin A ∶sin B ＝1∶2， 又∵BC ＝10，∴AC ＝20. ∴AB ＝AC ＝20，∴△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 答案：5012．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．解析：在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC ＝2，再由余弦定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴AB ＝2. 答案：213．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ＝__________.解析：设乙船的速度是v 海里/小时，t 小时后甲船在C 处追上乙船(如图)，则由题意得甲船的速度是3v 海里/小时，在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝3vt ，BC ＝vt ，∠ABC ＝120°，由正弦定理知BCsin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝vt ×sin120°3vt＝12. 又0°＜∠BAC ＜90°，所以∠BAC ＝30°，θ＝60°－∠BAC ＝30°. 答案：30°14．(2012·宁波高一检测)有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清，具体如下：在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知角B ＝45°，a ＝3，__________.求角A .若已知正确答案为A ＝60°，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．解析：在△ABC 中，若已知B ＝45°，a ＝3，A ＝60°，则C ＝180°－45°－60°＝75°.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝3×sin75°sin60°＝3×6＋2432＝6＋22， 所以已知条件可填AB ＝6＋22，另外，若填C ＝75°，则未使用所有条件，若填AC 的长度，求出A ＝60°或120°，不合题意．答案：C ＝6＋22三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 解：(1)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.(4分)由于0＜A ＜π，故A ＝π3.(6分)(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，所以B ＝π2.(8分)因为D 为BC 中点，所以BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72.(12分) 16．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，sin B ＝33.(1)求cos B 的值； (2)若2c ＝b ＋2，求边长b . 解：(1)∵sin B ＝33＜32＝sin A ， ∴B ＜A ，(4分) ∴B 为锐角，∴cos B ＝63.(6分) (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝32×63＋12×33＝32＋36. 由正弦定理得b sin B ＝csin C，(8分) 又c ＝b2＋1，故b33＝b2＋132＋36，解得b ＝63.(12分) 17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .解：(1)∵3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， ∴3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1， ∴3cos(B ＋C )＝－1，(4分)∴cos(π－A )＝－13，∴cos A ＝13.(6分)(2)由(1)得sin A ＝223，由面积公式12bc sin A ＝22可得bc ＝6，①根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－912＝13，则b 2＋c 2＝13， ②10分①②两式联立可得b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2. (12分)18．(14分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m ＞0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.而m ＞0，于是m ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(2分)由正弦函数的单调性及周期性可得x 满足 2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(6分)(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sinB ＝26sin A sin B .(8分)由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9， 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0， 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，(12分)故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.(14分)。
人教版高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)2
人教版高三第一章解三角形单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．ABC V 中，若2cos c a B =，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．锐角三角形【来源】2013-2014学年山西省广灵县第一中学高一下学期期末考试数学试卷（带解析) 【答案】B2．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15o ，与灯塔S 相距20 mile n ，随后货轮按北偏西30o 的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A ．mile /n hB ．mile /n hC ．mile /n hD ．mile /n h【来源】2016-2017学年河北馆陶县一中高二上期中数学试卷（带解析) 【答案】B3．在ABC ∆中，若22tan tan A a B b=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形【来源】2017-2018学年滕州市第三中学高二数学必修五第一章:解三角形测验题 【答案】B4．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且222a b c ab +-==则ABC V 的面积为( )A ．B ．34C D ．32【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题 【答案】B5．若ABC ∆的内角,,A B C 满足643sinA sinB sinC ==，则cos B =（ ）A B ．34C D ．1116【来源】河南省平顶山市郏县第一高级中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题 【答案】D6．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ）A ．B CD 【来源】河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题 【答案】B7．在ABC ∆中，,43C BC π∠==，点D 在边AC 上，,AD DB DE AB =⊥，E 为垂足．若DE =cos A =( )A B C ．4D 【来源】浙江省嘉兴市2018年高一下数学期末复习卷三 【答案】C8．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2a b =，2A B =，则cos B =( )A ．B C D【来源】2008年四川高考文科数学7 【答案】B9．△ABC 中，B =45∘，C =60°，c =1，则最短边的边长等于（ ） A ．√63B ．√62C ．12D ．√32【来源】2011-2012学年四川省雅安中学高一下学期3月月考理科数学试卷（带解析) 【答案】A10．已知ABC ∆中，sin :sin :sin :(1):2A B C k k k =+，则k 的取值范围是( ) A ．(2,)+∞B ．(,0)-∞C ．1(,0)2-D ．1(,)2+∞【来源】2017-2018学年人教A 版高中数学必修五：单元评估验收(一) 【答案】D11．在ABC △中，若::A B C =1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝（ ）A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶2D ．21【来源】2011-2012学年山西省山大附中高一下学期期末考试数学试题（带解析) 【答案】C12．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A ．a =8,b =16,A =30∘,有两解B ．b =18,c =20,B =60∘,有一解C ．a =5,c =2,A =90∘,无解D ．a =30,b =25,A =150∘,有一解【来源】2016届湖北省孝感高中高三9月调考文科数学试卷（带解析) 【答案】D13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长.若cosA +sinA −2cosB+sinB =0，则a+b c的值是（ ）.A ．1B ．√2C ．√3D ．2【来源】2016届安徽省六安一中高三下学期综合训练一理科数学试卷（带解析) 【答案】B14．ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足22(a b)c 4+-=，且C 60=o ，则ab 的值为( )A ．43B ．8-C ．1D ．23【来源】2017-2018学年滕州市第三中学高二数学必修五第一章:解三角形测验题【答案】A15．在△ABC 中，已知a ，b ，A ＝30°，则c 等于( )A ．BC ．D ．以上都不对【来源】2017-2018学年人教A 版高中数学必修五：单元评估验收(一) 【答案】C16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，7c =，60C =︒，则b = （ ） A ．5B ．8C ．5或-8D ．-5或8【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ] 【答案】B 17．在△ABC 中，1cos 1cos A aB b-=-，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【来源】甘肃省武威市第十八中学2017-2018学年高一人教版高中数学必修五单元测试：第一章解三角形 【答案】A18．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则△ABC( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题 【答案】C19．在△ABCsin aA =，则cosB ＝( )A ．12-B ．12C ．D 【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题 【答案】B20．在△ABC 中，若A ＝3π，b ＝2acos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A ．B C ．6D ．8【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题 【答案】B21．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( )A ．B ．23C D 【来源】2017-2018学年高中数学苏教版必修五：第一章 章末过关检测卷 【答案】A22． 在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( ) A ．12 B ．212C ．28D ．【来源】山东省济南第一中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题 【答案】D二、填空题23．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.若2,a b ==sin cos B B +=，则角A 的大小为____________________.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷)文科数学全解全析 【答案】6π24．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________. 【来源】2010年辽宁省本溪县高级中学高二上学期10月月考理科数学卷 【答案】25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝___.【来源】第1章章末检测-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修5) 【答案】72526．在△ABC 中，A ＝3π，a ，b ＝4，则满足条件的△ABC 有_____个. 【来源】第1章章末检测-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修5) 【答案】027．在矩形ABCD 中,AB =2，BC =1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为__________． 【来源】2012届安徽省舒城中学高三第一学期期中考试理科数学 【答案】9228．在△ABC 中，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋sin aA的值为________．【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题【答案】29．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题 【答案】704330．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BDCD的值为____．【来源】2017-2018学年高中数学人教A 版必修5单元测试题 第1章 解三角形 【答案】631．在四边形ABCD 中,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1),且BA ⃑⃑⃑⃑⃑|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+BC ⃑⃑⃑⃑⃑|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,则四边形ABCD 的面积为 ．【来源】2015高考数学（理)一轮配套特训：4-3平面向量的数量积及应用（带解析) 【答案】√332．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则a bb c a c+++＝________．【来源】甘肃省武威市第十八中学2017-2018学年高一人教版高中数学必修五单元测试：第一章解三角形【答案】1三、解答题33．在锐角ABC ∆2sin c A =. （1）求角C 的值；（2）若c =ABC S ∆=，求+a b 的值. 【来源】新疆奎屯市第一高级中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学（文)试题【答案】（1）3π；（2）5．34．在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，EC =2EA =，23ADC ∠=π，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．【来源】2 三角形中的几何计算【答案】（1）7； （2）. 35．如图，A B C D 、、、都在同一个与水平面垂直的平面内，B D 、为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，0.1 AC km ＝.试探究图中B D 、间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B D 、的距离(计算结果精确到0.01 km 2.449≈≈)．【来源】2011-2012学年广东省梅州市曾宪梓中学高一下学期期中数学试卷（带解析) 【答案】0.33km ．36．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105o 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120o 方向的2B 处，此时两船相距【来源】2013-2014学年福建省莆田第八中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析)【答案】37．如图，在ΔOAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =x ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ .（1）若BP⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求x ，y 的值； （2）若BP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4，|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为60°时，求OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值. 【来源】2014-2015学年山东省滕州市第五中学高一上学期期末考试数学试卷（带解析) 【答案】（1）x =y =12;（2）−3. 38．()2cos(2)sin 3f x x x π=++（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，若11cos ,()324c B f ==-，且C 为锐角，求sin A【来源】数学模拟试题【答案】（Ⅰ）函数f(x)的最大值为132+,最小正周期.（Ⅱ）39．在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2△ABC 的面积．【来源】模块综合检测（A)-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修5)40．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且sin 22A ＝2c bc -. (1)试判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值.【来源】河南省某重点高中2017-2018学年上学期高二期中考试数学（文)试题【答案】(1)详见解析(2) 4A π=时，L 最大且最大值为141．已知函数f (x )x －1cos 22x +－12，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.【来源】第1章章末检测-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修5)【答案】（1）函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝π.（2）a ＝1，b ＝242．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ，则角B 的大小为________． 【来源】高中数学人教A 版必修5 第一章 1.1.2 余弦定理（2) 【答案】B ＝150°43．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，求b. 【来源】模块综合检测（B)-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修5)【答案】44．C 位于A 城的南偏西20°的位置，B 位于A 城的南偏东40°的位置，有一人距C 为31千米的B 处正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？【来源】模块综合检测（B)-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（苏教版必修5)【答案】15千米.45．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，5c =，3cos 5B =. （1）求b 的值； （2）求sinC 的值.【来源】正余弦定理 滚动习题（三) [ 范围 1 ]【答案】（1； （2. 46．已知在△ABC 中,内角A,B,C 对边的边长分别是a,b,c,且c=2,3C π=(1)若△ABC 的面积等于3,求a,b; (2)若sin(A+C)=2sinA,求△ABC 的面积. 【来源】不等式 模块结业测评（一)【答案】（1）2a b ==；（2）347．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝3π，a ＋b ＝λc(其中λ>1)．(1)若λ△ABC 为直角三角形；(2)若AC u u u r ·BC uuu r ＝98λ2，且c ＝3，求λ的值．【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题 【答案】（1）见解析；（2）248．已知a,b,c 分别是△ABC 内角A ，B ，C sin cos A a C =试卷第11页，总11页 ⑴求C 的值⑵若2,c a b ==△ABC 的面积.【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题【答案】（1）6π；（249．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．【来源】2018-2019学年人教A 版高中数学必修5第一章解三角形单元综合测试题【答案】北偏西45°方向50．已知椭圆的两焦点为()10,1F -、()20,1F ，离心率为12. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在椭圆上，且121PF PF -=，求12cos F PF ∠的值【来源】广东省广州市第二中学2017-2018学年度第一学期人教A 版高中数学选修2-1模块测试题 【答案】（1）24y +23x =1. （2）35.。
高三数学第一章解三角形专项练习(带解析)
高三数学第一章解三角形专项练习（带解析）解三角形的重点在于熟练运用公式，以下是查字典数学网整理的第一章解三角形专项练习，期望对大伙儿有关心。
一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，tanA=tanB=tanC，A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范畴是()A.152，+B.(10，+)C.(0,10)D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403，c=403sinC.4.在△ABC中，a=2bcosC，则那个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，sin(B+C)=2sin Bcos C，sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，sin(B-C)=0，B=C.5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于()A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k (k0)，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为，则那个三角形的三边之积为()A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13，sinC=223，12absinC=43，b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60=1sinB，sinB=12，故B=30或150.由ab，得AB，B=30，故C=90，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则a sinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，asinA=bsinB=csinC=2R=2，asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+si nB+sinC=________，c=________.答案12 6解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=126312sinC=183，sinC=12，csinC=asinA=12，c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，因此左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.因此等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判定△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanAa2sinBcosB=b2sinAcosA4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosAsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=A=B或A+B=2.△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()A.45B.60C.75D.90答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120，sinCsinA=sin120-AsinA=sin120cosA-cos120sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，tanA=1，A=45，C=75.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=4，cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.因此sinA=sin(-B-C)=sin34-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，因此S△ABC=12acsinB=12210745=87.1.在△ABC中，有以下结论：(1)A+B+C=(2)sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C;(3)A+B2+C2=我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
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单元测评 解三角形(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，B ＝30°，则A ＝( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．60°或120°解析：由a sin A ＝b sin B 知sin A ＝32，又a ＞b ，∴A ＝60°或120°.答案：D2．在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解D ．解的个数不确定解析：由A ＝130°，而a ＜b ，可知无解． 答案：A3．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于( ) A ．30° B ．60°或120° C ．60°D ．120° 解析：由余弦定理可得a ＝3，根据正弦定理有a sin A ＝c sin C ，故sin C ＝32，故C ＝60°或120°.若C ＝60°，则B ＝90°＞C ，而b ＜c ，不满足大边对大角，故C ＝120°.答案：D4．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为( ) A ．2 3 B. 3 C ．23或4 3D.3或2 3解析：如图，AD ＝AB ·sin B ＝3＜2，故△ABC 有两解：S △ABC ＝12BC ·AD ＝3，S △ABC ′＝12BC ′·AD ＝2 3.答案：D5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．3∶4∶5 B ．2∶6∶(3＋1) C ．1∶3∶2D ．22∶23∶(3＋2) 解析：∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5， ∴A ＝45°，B ＝60°，C ＝75°.∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶6∶(3＋1)． 答案：B6．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则该三角形为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：∵b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ，∴sin B cos A ＝sin A cos B ，∴sin(A －B )＝0， ∴A －B ＝0或A －B ＝π(舍去)，∴A ＝B . ∴三角形ABC 为等腰三角形． 答案：C7．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则角A 的对边长为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ， 即b 2＋c 2＋2bc ＝400＋a 2－40a ， ∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ，①又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .②又S △ABC ＝12bc ·sin A ＝103，∴bc ＝40.③ 由①②③可知a ＝7. 答案：C8．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：四边形面积可分为求△ABD 与△BCD 两部分的和，由余弦定理BD ＝23，S △BCD ＝12BC ·CD sin120°＝3，∠ABD ＝120°－30°＝90°，∴S △ABD ＝12AB ·BD ＝4 3.∴S 四边形ABCD ＝3＋43＝5 3. 答案：B9．△ABC 中，若a cos B ＝bcos A ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：由a cos A ＝b cos B ，得sin A cos A ＝sin B cos B ， sin2A ＝sin2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°. ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 答案：D10．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km解析：由题意∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， AB sin75°＝BCsin30°，∴BC ＝10sin75°＝10(6－2)．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在等腰三角形ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是__________． 解析：由正弦定理得BC ∶AC ＝sin A ∶sin B ＝1∶2， 又∵BC ＝10，∴AC ＝20. ∴AB ＝AC ＝20，∴△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 答案：5012．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．解析：在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC ＝2，再由余弦定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴AB ＝2. 答案：213．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ＝__________.解析：设乙船的速度是v 海里/小时，t 小时后甲船在C 处追上乙船(如图)，则由题意得甲船的速度是3v 海里/小时，在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝3vt ，BC ＝vt ，∠ABC ＝120°，由正弦定理知BCsin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝vt ×sin120°3vt＝12. 又0°＜∠BAC ＜90°，所以∠BAC ＝30°，θ＝60°－∠BAC ＝30°. 答案：30°14．(2012·宁波高一检测)有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清，具体如下：在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知角B ＝45°，a ＝3，__________.求角A .若已知正确答案为A ＝60°，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．解析：在△ABC 中，若已知B ＝45°，a ＝3，A ＝60°，则C ＝180°－45°－60°＝75°.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝3×sin75°sin60°＝3×6＋2432＝6＋22， 所以已知条件可填AB ＝6＋22，另外，若填C ＝75°，则未使用所有条件，若填AC 的长度，求出A ＝60°或120°，不合题意．答案：C ＝6＋22三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 解：(1)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.(4分)由于0＜A ＜π，故A ＝π3.(6分)(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，所以B ＝π2.(8分)因为D 为BC 中点，所以BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72.(12分) 16．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，sin B ＝33.(1)求cos B 的值； (2)若2c ＝b ＋2，求边长b . 解：(1)∵sin B ＝33＜32＝sin A ， ∴B ＜A ，(4分) ∴B 为锐角，∴cos B ＝63.(6分) (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝32×63＋12×33＝32＋36. 由正弦定理得b sin B ＝csin C，(8分) 又c ＝b2＋1，故b33＝b2＋132＋36，解得b ＝63.(12分) 17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .解：(1)∵3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， ∴3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1， ∴3cos(B ＋C )＝－1，(4分)∴cos(π－A )＝－13，∴cos A ＝13.(6分)(2)由(1)得sin A ＝223，由面积公式12bc sin A ＝22可得bc ＝6，①根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－912＝13，则b 2＋c 2＝13， ②10分①②两式联立可得b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2. (12分)18．(14分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m ＞0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.而m ＞0，于是m ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(2分)由正弦函数的单调性及周期性可得x 满足 2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(6分)(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sinB ＝26sin A sin B .(8分)由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9， 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0， 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，(12分)故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.(14分)。