《定积分》教学设计与反思
定积分概念的课程设计
定积分概念的课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握定积分的概念及其应用。
具体来说，知识目标包括：了解定积分的定义、性质和计算方法；理解定积分在实际问题中的应用。
技能目标则要求学生能够运用定积分解决简单的问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲物体的质心等。
情感态度价值观目标则是培养学生的数学思维能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括定积分的定义、性质和计算方法。
首先，引导学生回顾不定积分的基本概念，为学生引入定积分做铺垫。
然后，详细讲解定积分的定义，通过实例让学生理解定积分的概念。
接着，介绍定积分的性质，如线性性质、保号性等，并通过例题让学生掌握这些性质的应用。
最后，讲解定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等，并通过练习让学生熟练运用这些方法。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
首先，运用讲授法，清晰、系统地讲解定积分的概念、性质和计算方法。
其次，采用讨论法，引导学生分组讨论定积分在实际问题中的应用，激发学生的思考。
此外，还将运用案例分析法，通过分析具体案例，让学生更好地理解定积分的应用。
最后，适时进行实验法，让学生在实验中感受定积分的作用，提高他们的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：教材、参考书、多媒体资料、实验设备。
教材和参考书将作为主要教学资源，为学生提供系统的理论知识。
多媒体资料则用于辅助教学，以图片、动画等形式展示定积分的概念和应用，增强学生的学习兴趣。
实验设备则用于进行实验教学，让学生在实践中掌握定积分的方法。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。
平时表现主要考察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以鼓励学生积极思考和提问。
作业则包括定积分的计算练习和应用问题，以此检验学生对知识的掌握程度。
高中数学_定积分与微积分基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
定积分与微积分基本定理复习（课堂导学案）班级：；姓名：；学习小组组；号课前准备·明确目标【目标导引】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。
2. 学生能够利用定积分相关知识解决实际应用问题，会用微积分基本定理解决相关问题。
3. 通过小组合作的形式提升学生分析解决问题的能力。
自主学习·求知探究知识梳理教与学感悟1．定积分中，a，b分别叫做积分下限与积分上叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x∫421 x dA.176 B.143 C.136 D.116∫101－x2d＝1x，直线＋52所围成的封闭图形的面积为⎭⎫＋1x2π⎰sin2x2d(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4 C.163D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误． 2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.本节学习感悟：定积分与微积分基本定理（教案设计部分）设计人： 审核：吕厚杰【教学目标】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。
高中数学_定积分在几何中的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《定积分在几何中的简单应用》教学设计教学过程教（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算dxx⎰--2224２．计算⎰-22sinππdxx【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdxx0sin=⎰-ππdxx【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积图1 图2【学生活动】回忆并口答图1的答案；引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。
【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.【课件展示】图1 选择X为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y为积分变量，曲边梯形面积为【问题探究】念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题yxππxyNMOabA BCD)(1yfx=)(2yfx=xyNMO a bAB CD)(1xfy=)(2xfy=dxxfdxxfs baba⎰⎰-=)()(21dyyg ba⎰)(1=s dyyg ba⎰)(2－学过程【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路【学生活动】思考、探究、讨论【展示结论】【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
【例题实践】例１．计算由曲线2xy=与xy=2所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。
通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
完成了一般理论和具体问题Aa b曲边梯形（三条直边，一条曲边）a b XAy曲边形面积 A=A1-A2a b1a b XAy教学过程教解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xyxy得到交点横坐标为=x及1=x∴ss=曲边梯形OABC s-曲边梯形OABDdxx⎰=10dxx⎰-102131233132xx-=313132=-=【例题实践】例２．计算由4-=xy与xy22=所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.问题：表示不出定积分.探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？4．计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xyxy得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dyyS【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。
(完整版)定积分教案
《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。
第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页=i 1。
则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。
数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作：⎰=badxx f J )(其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dxx f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。
定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 nb x T i =∆, 取.=.由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数211)(x x f +=在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。
作业：课后1. 2.（1）（2）第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰b adxx f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而与积分变量所用的符号无关。
高中数学定积分教案
高中数学定积分教案【篇一：《定积分》教学设计与反思】《定积分》教学设计与反思学习目标2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．一、自主学习：1．定积分的定义：，2．定积分记号：思想与步骤几何意义．3．用微积分基本定理求定积分二、新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
探究问题1：变速直线运动中位置函数s(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为s(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的位移记为，则一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移 =另一方面：通过位移函数s（t）在的图像看这段位移还可以表示为探究问题2：位移函数s(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为上述两个方面中所得的位移可表达为上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。
例1．计算下列定积分：新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：若求新知3：用定积分求平面图形的面积1、计算函数在区间的积分2、计算函数在区间的积分3、求与在区间围成的图形的面积通过此题的计算你发现了什么？教学反思本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。
《定积分的简单应用》教学反思
《定积分的简单应用》教学反思《定积分的简单应用》教学反思《定积分的简单应用》教学反思王利本节课内容是选修2-2中第四章最后一个小节，要求学生在充分认识导数与定积分的概念的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而进一步体会到导数与积分的工具性作用，认识到数学知识的实用价值。
新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。
学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。
围绕这个宗旨，我在课堂内容的`编排和教学课件的制作上作了一定的思考。
在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。
同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。
在课件制作方面，考虑到多媒体直观形象的特点，让其承担起引导思考与解释的重任。
我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。
因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。
当然这节课还有一些不足之处，课堂容量过大，学生板演的次数过多，导致了出现了拖堂的遗憾。
课件的制作也达不到美观的要求，不能更好的发挥其应有的作用。
在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。
定积分教案
定积分概念与性质一、教学目标分析1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3.理解变上限定积分定义的函数。
二、学情/学习者特征分析本节主要给学生介绍有关定积分的概念与性质，因为之前学生对定积分有一定的涉及，故积极调动学生的探索与思维能力，使其充分掌握定积分的概念与性质，做到在以后的应运中轻松自如。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。
2.本节主要内容1.定积分的概念。
2.定积分的性质及定积分中值定理。
3.重点难点分析教学重点：定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的有关知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解定积分的概念与性质。
五、教学策略在课堂中尽量避免死板的教学方法，使课堂气氛活跃化，通过实际问题的引人让学生了解定积分的概念，并通过举例讲解使其性质浮现再加以引导理解。
六、教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i ii x f A 10)(lim ξλ. 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ. 当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆n i i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x . 三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有 ⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b c c a dx x f dx x f )()(.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教案标题：定积分的概念教案教案目标：1. 理解定积分的概念及其在数学中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够运用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的概念介绍；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的应用。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾不定积分的概念和计算方法，以便为定积分的引入做铺垫。
主体活动：2. 介绍定积分的概念和意义，并与不定积分进行对比，强调二者的区别和联系。
3. 解释定积分的计算方法，包括Riemann和Newton-Leibniz公式等，通过实例演示如何进行定积分的计算。
4. 引导学生思考定积分的应用领域，如面积计算、物理学中的速度、加速度计算等，并结合实际问题进行案例分析和讨论。
5. 练习定积分的计算方法和应用，提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
总结活动：6. 总结定积分的概念、计算方法和应用，强调定积分在数学中的重要性，并鼓励学生在今后的学习中继续深入探究。
教学资源：1. 教科书或教学课件；2. 白板、彩色粉笔/马克笔；3. 实例演示材料；4. 练习题。
评估方法：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和对概念的理解程度；2. 学生完成的练习题和解答过程；3. 学生参与案例分析和讨论的贡献。
拓展活动：1. 鼓励学生自主学习和探究更多与定积分相关的概念和应用；2. 提供相关参考资料和学习资源，供学生进一步学习和研究。
注意事项：1. 确保教学内容和步骤的连贯性和逻辑性；2. 根据学生的学习进度和理解程度，灵活调整教学节奏；3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
定积分计算的课程设计
定积分计算的课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握定积分的定义，理解其几何意义和物理意义；2. 使学生能够运用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，并掌握基本的积分技巧；3. 培养学生运用定积分解决实际问题，如求解平面图形面积、旋转体体积等。
技能目标：1. 培养学生熟练运用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算的能力；2. 提高学生运用定积分解决实际问题的能力，培养其数学建模思维；3. 培养学生运用数学软件（如MATLAB）进行定积分计算的能力，提高其运用现代技术手段解决问题的技能。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对数学学科的兴趣，使其体会数学在自然科学和工程技术等领域的重要作用；2. 培养学生严谨、细致的学术态度，增强其克服困难的信心和决心；3. 引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识在现实生活中的广泛应用和价值。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程将目标分解为以下具体学习成果：1. 学生能够准确描述定积分的定义，并解释其几何和物理意义；2. 学生能够熟练运用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，并掌握基本的积分技巧；3. 学生能够运用定积分解决实际问题，如求解平面图形面积、旋转体体积等，并能够运用数学软件进行计算；4. 学生能够通过本课程的学习，提高数学素养，增强解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 定积分的定义与性质：回顾定积分的概念，强调其几何意义和物理意义；讲解定积分的基本性质，如线性性、保号性等。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的推导过程，讲解其应用条件，并通过例题使学生熟练掌握该公式。
3. 基本积分技巧：教授常用的积分技巧，如换元积分、分部积分等，并通过典型例题进行分析和讲解。
4. 定积分的应用：讲解定积分在几何、物理等领域的应用，如求解平面图形面积、旋转体体积、质心、曲线长度等。
5. 数值积分方法：介绍数值积分的概念，如梯形法、辛普森法等，并引导学生运用数学软件进行计算。
定积分综合教案
其中 积－被积式．
说明：（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时）记为 ，而不是 ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割： 等分区间 ；②近似代替：取点 ；③求和： ；④取极限：
性质3 （定积分的线性性质）；
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
(1) ；(2) ；
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
（二）、方法点拨：
1．求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分．
2．求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v=
（三）、例题探究
例1．给出以下命题：（1）若 ，则f(x)>0；（2） ;
（3）应用微积分基本定理，有 ,则F(x)=lnx；
（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则 ；
第五课时 第四章 定积分小结与复习
一、学习目标：
1．理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；
2．体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；
3．掌握定积分的计算方法；4．利用定积分的几何意义会解决问题．
二、学法指导：
1．重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
定积分的概念教案
定积分的概念教学目标：知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。
能力目标：1、理解定积分概念中归纳思维的运用；2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。
素质目标：提升分析与解决问题的能力教学重点和难点：教学重点 ：定积分的概念和思想教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想教学方法：1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。
2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。
3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。
4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。
教学过程：一、引入新课我们已经学过规则平面图形的面积：三角形 四边形 梯形 圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？ 二、讲解新课实例1曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.曲边梯形面积的确定步骤：推 广 为 yO M P Q N B x CAA 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： Oxy y = f (x )(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间[]21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 );,,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-(2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积i A ∆的近似值为i i i x f A ∆≈∆)(ξ (n i ,,2,1 =);(3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值i ni i n n x f x f x f x f ∆=∆++∆+∆∑=)()()()(12211ξξξξ ;(4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i ni x ∆=≤≤1max λ 趋于零,则和式ini ix f ∆∑=)(1ξ的极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 ini ix f A ∆=∑=→1)(limξλ实例2 路程问题解决变速运动的路程的基本思路：把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）取极限路程的精确值2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。
1.5定积分的概念 教学设计 教案
教学准备
1. 教学目标
（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质
（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。
（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.
2. 教学重点/难点
【教学重点】：
理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质
【教学难点】：
对定积分概念形成过程的理解
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
1.5.3定积分的概念
教学过程
课堂小结
定积分的定义，计算定积分的“四步曲”，定积分的几何意义，定积分的性质。
积分和定积分的教学设计方案
教学内容
02
积分的概念和性质
积分的定义：积分是定积 分、不定积分、二重积分、 三重积分、曲线积分、曲 面积分的总称，是微积分
基本概念之一。
积分的几何意义：定积分 的值等于曲线下的面积。
积分的性质：可加性、可 减性、可乘性、可除性、 保序性、绝对值不等式性
质等。
积分的物理意义：在物理 中，积分可以用来计算曲 线下的面积，从而求出物
Hale Waihona Puke 学生能够理解 积分和定积分 的几何意义和 物理意义
学生能够运用 积分和定积分 解决实际问题
学生能够通过 比较不同积分 方法的优缺点， 选择合适的积 分方法
0
0
0
0
1
2
3
4
情感态度与价值观目标
培养学生对数学的兴趣和热爱，增强数学学习的自信心。 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。 引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。 培养学生的合作精神和团队意识，提高学生的社会适应能力。
用
案例选择：选择具有 代表性的案例，如积 分计算、定积分的应
用等
案例总结：总结案例 中的知识点和解题思 路，帮助学生加深理
解
教学步骤
04
导入新课
回顾旧知：复习积分和 定积分的概念和性质
创设情境：通过实际问 题或数学问题引出新课
内容
引导探究：引导学生 思考如何求解定积分，
并逐步推导公式
归纳总结：总结定积 分的计算方法和步骤，
作业评估
作业完成情况：评估学生对课堂内容的掌握程度 作业质量：评估学生的解题思路和表达能力 作业反思：引导学生对所学内容进行总结和反思 作业反馈：及时给予学生指导和建议，提高学习效果
定积分的概念的教学设计
《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。
我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。
1．2教学内容分析1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。
这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。
1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。
主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。
通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。
2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。
作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。
我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。
3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义．5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点：2．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n -∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式nS 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
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《定积分》教学设计与反思
学习目标
1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分．
2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．
教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．
教学难点：了解微积分基本定理的含义．
一、自主学习：
1．定积分的定义：，
2．定积分记号：
思想与步骤
几何意义．
3．用微积分基本定理求定积分
二、新知探究
新知1：微积分基本定理：
背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的位移记为，则
一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移=
另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为
探究问题2：
位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为
上述两个方面中所得的位移可表达为
上面的过程给了我们启示
上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。
例1．计算下列定积分：
新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：
若求
新知3：用定积分求平面图形的面积
1、计算函数在区间的积分
2、计算函数在区间的积分
3、求与在区间围成的图形的面积
通过此题的计算你发现了什么？
教学反思
本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。
从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。
在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下：
1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。
根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。
本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。
并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。
2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力
《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。
同时，例题的教学注重让学生自主学习，合作探究，充分发挥了学生的学习主动性，也培养了学生的创新能力。
3、创设民主氛围，鼓励解决问题策略的多样化。
民主、自由、开放的学习氛围是学生主动参与、敢于发表自己独特见解的前提条件。
学生卸下了包袱、教师思维的束缚，大胆设想、讨论，从实际效果来看，不同的学生就有不同的思考方式和解决方法，使学生的个性学习发挥的淋漓尽致。
更培养了学生自己收集已有知识，解决实际问题的能力。
因此，我觉得在教学中应对学生多一份“放手”的信任，少一点“关爱”的指导，大胆地让学生在学习的海浪中自由搏击，让学生自己寻找问题解决的策略、学习的方法，有头脑、有个性、有能力的学生才能应运而生。
败笔之处：
1、有些题目说的太快，部分学生没有跟上，没有让不会的学生先说出存在的问题。
2、没有掌握好时间，整节课前松后紧。
3、没有很好的发挥组内合作探究作用。
4、指导太多，有些地方没有大胆的交给学生。
5、没有充分调动了学生的积极性。
课堂气氛有些沉闷。