七年级数学下册《6.1平方根(3)》讲学稿 沪教版
新沪科版七年级数学下册《6章实数6.1平方根、立方根》教案_7
算关系来求完全平 方数的平方根．
4
；
9
（ 3） 因 为
0.6 2 0.36 ，
所 以 0.36 的 平 方 根 是
0.6 ．
问： 通过刚才的学习，我们已经知道负数 没有平方根， 那么根据上题你能说出正数、 0 的平方根是怎样的？
2．性质归纳： （1）负数没有平方根； （2）正数 a 的两个平方根互为相反数，可
0.17．
B组
1．判断下列说法是否正确，正确的在括
1．解 :
号内填入“√ ”，错误的填入 “× ”：（ P2） （1）×，
1；
（1） 1 的平方根是 1；
（）
（2）√；
（2） 0 的平方根是 0；
（）
（3）×， -1 没有平方根；
（3） -1 的平方根是 -1； （ ）
16
44
（4）
等于 或 ； （ ）
要 理解公式
（ ± a ） 2=a 和
（2）
2
9
=________ ，
( 9)2 =_________ ．
（ 2） 92 =9 ， ( 9)2 =9．
因为开平方与平 方互
a 2 =∣ a∣ 超 出
为逆运算，一个正数 9 的 了学生的思维发展
平方根 ( 9) 的平方等于
水平，此处让学生 进一步认识开平方
三、课堂小结
1．平方根和开平方的概念是什么？
2．平方根的性质是什么？
1．已知一个数的平方等 于 a，那么这个数叫做 a 的平方根．求一个数 a 的 平方根的运算叫做开平 方运算． 2．负数没有平方根；正 数 a 的两个平方根可以用
“ ± a ”表示， 0 的平方
根就是 0．
课后作业
七年级数学下册 第6章 6.1 平方根、立方根讲解与例题 (新版)沪科版
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：数的序号 存在情况 原因 (1) 有2个因为是正数，所以有两个平方根(5) 有2个 (3) 无因为是负数，所以没有平方根(4) 无 (2) 有1个 0的平方根是它本身 解：(1)因为2516是正数，所以2516有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值．解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－5a ＋8，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律．规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，猜想：22444333n n +L L 14243123个个＝__________. 解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或3的个数决定，故猜想22444333=5555n n n +L L L 1424312314243个个个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n L 14243个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
沪科版初中数学七年级下第6章6.1平方根教案
§6.1《平方根》一、教材分析1、教材的地位与作用：《平方根》是上海科学技术出版社的第6章第一节的内容。
本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。
本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。
因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
2、教材的处理：立足教材，又不局限于教材，依据学情对教材进行有机整合。
二、教学目标【知识与技能】掌握平方根与算术平方根的概念，能通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
【过程与方法】通过对平方根算术平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。
【情感、态度与价值观】鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
三、教学重、难点重点：平方根与算术平方根的概念和性质。
难点：平方根与算术平方根的区别与联系。
四、教学方法这是一节概念教学课，本节课的基本环节是概念的提出——概念的生成——概念的深化——概念的辨析最后是巩固与提升，各环节环环相扣、层层深入，使学生对概念有了一个清晰、全面、完整的认识。
五、教学过程设计（一）温故知新，引入新课1.比一比，看谁算得快练习1 计算：（1）23 （2）（-3）2 （3）221）（ （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛- （5）20 练习2 填空：（1）9) (2= 41) ( (2)2= 0) ( (3)2= 师生活动：学生分组比赛，教师巡视指导，比一比哪一组算得又快又好。
设计意图：练习1、2，显然是互逆运算，通过计算，让学生熟悉平方的运算，同时为新概念的引入埋下伏笔。
第一个练习应该没问题，第二个练习，学生有可能会漏掉负值，一旦出错，及时纠正。
新沪科版七年级数学下册《6章实数6.1平方根、立方根》教案_1
6.1平方根、立方根学习目标：1、在实际问题中,感受算术平方根存在的意义，理解算术平方根的概念，算术平方根具有双重非负性；2、会用计算器求一个数的算术平方根；利用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律。
学习重点：理解算术平方根的概念学习难点：算术平方根具有双重非负性学习过程：一、学习准备1、阅读课本第2页，由题意得出方程x2=41，那么X= ，这种地砖一块的边长为m2、正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
例如，4的平方根是，叫做4的算术平方根，记作=2，2的平方根是“”，叫做2的算术平方根。
3、（1）16的算术平方根的平方根是什么？5的算术平方根是什么？（2）0的算术平方根是什么？0的算术平方根有几个？（3）2、-5、-6有算术平方根吗？为什么？4、按课本第3页例题2格式求下列各数的算术平方根：（1）625 （2）0. 81；（3）6；（4）2)2(（5）256（6）2)25.0(二、合作探究：1、阅读课本第4页例3利用计算器求算术平方根的方法，利用计算器求下列各式的值。
（1）127（2）635.0（3）17912、利用计算器求下列各数的算术平方根a 20000 200 2 0.02 0.0002通过观察算术平方根，归纳被开方数与算术平方根之间小数点的变化规律3、在a 中，a 表示一个数，a 表示一个数，算术平方根具有练习：若|a-5|+ 2)3(2c b =0，则c b a 的平方根是4、阅读课本第4页例4体会算术平方根在生活中的应用。
三、学习体会：本节课你学到哪些知识？哪些地方是我们要注意的？你还有哪些疑惑？四、自我测试：1、判断下列说法是否正确：①5是25的算术平方根；（）②－6是26的算术平方根；（）③ 0的算术平方根是0；（）④ 0.01是0.1的算术平方根；（）⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根。
（）2、若=2.291，=7.246，那么=（）A ．22.91B ．72.46C ．229.1D ．724.63、下列各式哪些有意义，哪些没有意义？①－3②3③23④234、求下列各数的算术平方根①121 ②2.25 ③3625④（－3）25、求下列各式的值①44.1②16③10081④2)25(思维拓展：a1、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是2、若x2=16，则5-x 的算术平方根是3、若4a+1的平方根是±5，则a2的算术平方根是4、36的平方根等于，算术平方根等于5、若|a-9|+ 41b=0，则b a 的平方根是6、3664的平方根等于，算术平方根是7、322x x y ，求xy 算术平方根是数学小知识——怎样用笔算开平方我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11＇56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如图2所示分别求85264，12.5平方根的过程。
七年级数学下册第6章实数6.1平方根立方根教案新版沪科版
三、讲授新课：
1、平方根概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，也就是说，如果x2=a，那么x 叫做a 的平方根.
巩固反思：
因为10 =，（-10） =，所以100的平方根是。
探索交流： （1） 的平方根是，它们的关系是；
平方根、算术平方根的概念以及符号表示.
教学准备
多媒体PPT
教学过程
一、温故旧知
1.平方： “ ”， 读作a的平方或a的二次方.
2.平方的性质：任何数的平方都是非负数；
3.如果知道一个数的乘方的幂，你能逆向类比，计算出这个数是多少吗？
二、创设情境，引入新课
问题：装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，如果问，当这种地砖一块的边长为0.5m时，它的面积是多少？这可通过乘方求得：0.5 =0.25（m ）.反之，如果问，当这块正方形地砖面积为0.25m 时，它的边长是多少，该怎样算呢？
正数 的正的平方根 叫做 的算术平方根。
0的算术平方根是0，即 =0 。
“± ”表示非负数a的平方根，读作“正负根号a” ；
“ ”表示非负数a的算术平方根
例如9的平方根是：± ＝±3. 9的算术平方根是： =3 .
11的平方根是：± . 11的算术平方根是
3、开平方运算
（1）求一个数的平方根的运算叫做开平方。
教学准备
应用投影仪，投影片。
教学过程
一、温故旧知
1.立方： “ ”， 读作a的立方或a的三次方.
2.立方的性质：正数的立方是正数，零的立方是零，负数的立方是负数.
3.如果知道一个数的立方的幂，你能逆向类比，计算出这个数是多少吗？
【最新沪科版精选】沪科初中数学七下《6.1.1平方根》word教案 (3).doc
《平方根》一、教学目标1.理解一个数平方根和算术平方根的意义；会用根号表示一个数的平方根和算术平方根.2.通过训练，提高学生对概念的明辨能力；通过学习算术平方根，认识数学与生活的密切关系.3.通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.二、教学重点和难点教学重点：平方根和算术平方根的概念及求法．教学难点：平方根与算术平方根联系与区别．三、学前准备学生剪出面积为25cm2的正方形纸片.四、教学过程（一）提问1．要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？2．已知一个数的平方等于100，那么这个数是多少？这些问题的共同特点是：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢？这就是本节内容所要学习的．下面作一个小练习：填空：（1）（）2=9；（2）（）2=0.25；（3）（）2=0.0081．学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正．由练习引出平方根的概念．（二）平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（二次方根）．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．由练习知：是9的平方根；是0.25的平方根；0的平方根是0；由此我们看到+3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：（）2=－4学生思考后，得到结论此题无答案．反问学生为什么？因为正数、0、负数的平方为非负数．由此我们可以得到结论，负数是没有平方根的．下面总结一下平方根的性质（可由学生总结，教师整理）．（三）平方根性质1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2．0有一个平方根，它是0本身．3．负数没有平方根．（四）开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个.（五）平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“－”表示，a的平方根合起来记作a，读作“二次根号下”读a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“a作“正、负根号a”.（六）例题探索例1、将下列各数开平方：100；49；1.69；（剖题：即就是求这些数的平方根）例2、求下列各数的算术平方根：100；49；1.69；（通过这两道例题的学习，让学生明确平方根与算术平方根的区别与联系）。
七年级下册第6章实数6、1平方根立方根6、1、2算术平方根授课课件新版沪科版
总结
知1－讲
必须弄清以下符号的意义：
± a (a≥0)表示非负数a的平方根； a (a≥0)
表示非负数a的算术平方根；把非负数a开平方，
求它的平方根可用± a表示．
知1－练
1 下列说法：①±5是25的平方根；②49的平方
根是－7；③8是16的算术平方根；④－3是9的
一个平方根．其中正确的个数是( )
以x＝2，y＝－1.所以x－y＝2－(－1)＝3.
总结
知3－讲
本题应用性质判断法和方程思想．根据算术 平方根、平方的性质，结合非负数的性质，得到 方程，求出x，y的值，再代入代数式中求值．
知3－练
1 已知 x 12 是－(x－1)2的算术平方根，
求x的值．
2 已知 x y 3 与 x y 1 互为相反数，求 (x－y)2的值．
(4) (-3)2 = 9. 因为(±3)2 = 9, 所以9的平方根是±3, 也就是
(-3)2 的平方根是±3，即 32 3;
(-3)2 的算术平方根是3.
总结
知2－讲
根据平方根与算术平方根的定义及平方与开 平方互为逆运算求一个正数的平方根和算术平方 根．
知2－讲
例3 求下列各数的算术平方根：
A. 5
B．25
C．±25
D．± 5
知识点 2 求算术平方根
知2－讲
(1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0的算术平方根是0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
知2－讲
例2 求下列各数的平方根和算术平方根： (1)1; (2)81; (3) 64 ； (4) (-3)2.
知3－讲
例4 已知有理数x，y满足 x 2 ＋(y＋1)2＝0，则x－y
沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计2)
沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计2）一. 教材分析《平方根》是沪科版数学七年级下册第六章的第一节内容。
本节主要介绍了平方根的概念、性质以及求平方根的方法。
通过学习平方根，为学生进一步学习算术平方根、立方根等概念打下基础。
教材通过丰富的实例和练习，使学生逐步掌握平方根的求法和应用。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数的基本概念，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对实数的理解仍较为模糊，对平方根的概念和求法可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知基础，注重引导学生通过实例发现和总结平方根的性质，提高学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.能够运用平方根的性质解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方根的概念，求一个数的平方根的方法。
2.难点：平方根的性质及其应用。
五. 教学方法1.采用情境教学法，通过生活实例引入平方根的概念。
2.运用启发式教学法，引导学生发现和总结平方根的性质。
3.利用练习法，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
4.采用小组合作学习，培养学生的团队精神和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和练习题。
2.制作课件，展示平方根的概念和性质。
3.准备黑板，用于板书 key points。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入平方根的概念。
例如，讲解一个正方形的面积为4平方米，求其边长。
引导学生思考如何求解这个问题，从而引出平方根的概念。
2.呈现（10分钟）利用课件展示平方根的定义和相关性质。
通过讲解和示例，让学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
同时，引导学生发现平方根的性质，如正数的平方根有两个，零的平方根是零，负数的平方根是虚数等。
3.操练（10分钟）让学生进行一些有关平方根的练习题。
例如，求一个数的平方根，判断一个数的平方根是正数还是负数等。
2023七年级数学下册第6章实数6.1平方根、立方根1平方根教案(新版)沪科版
1.求一个数的平方根
（1）求正数的平方根：先找到一个正数，其平方等于给定的数，这个正数就是给定数的平方根。
例如：求25的平方根，找到一个正数3，其平方是9，所以25的平方根是3。
（2）求负数的平方根：负数的平方根是它的相反数的平方根。
例如：求-25的平方根，先求25的平方根是5，所以-25的平方根是-5。
3.解答题
（1）求12的平方根。
（2）求27的立方根。
4.应用题
（1）小华买了一块正方形的巧克力，边长为4厘米，求这块巧克力的体积。
（2）一个立方体的体积是64立方厘米，求这个立方体的棱长。
检测结束后，我将进行讲解和解析，帮助同学们理解和掌握平方根与立方根的相关知识。希望大家能够通过这次检测，进一步巩固所学内容，提高自己的数学解题能力。
-平方根的性质：正数的平方根有两个，零的平方根是零，负数的平方根不存在
-立方根的性质：正数的立方根有一个，零的立方根是零，负数的立方根有一个
③求平方根与立方根的方法
-求平方根的方法：分解因数法、试错法等
-求立方根的方法：分解因数法、试错法等
板书设计要求简洁明了，突出重点，以便于学生理解和记忆。同时，为了激发学生的学习兴趣和主动性，可以适当增加一些艺术性和趣味性，如使用彩色粉笔、图形符号等。例如，可以用一个正方形和立方体来表示平方根和立方根，用箭头表示从原数指向平方根和立方根的关系。还可以用不同的颜色标出正数、零和负数的平方根和立方根，以便学生更容易区分。
教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方根与立方根》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求一个数的平方根或立方根的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方根与立方根的奥秘。
沪教版数学七年级下册 6.1平方根、立方根
6.1平方根、立方根（1）根据新课标理念，课堂教学规律、课堂教学评价体系，教学反思可以从以下六个方面着手：1、教学内容方面：教材处理的合理性；导入、结课的激励性；深层意义的规律有否揭示与发掘。
2、教学过程方面：教学程序安排的合理性；教学设计的科学性；媒体运用的适切性；反馈评价的准确性。
3、从课堂管理方面进行反思：班级成员涉及面的广泛性；全班同学学习的积极性；学法指导的经常性；处理偶发事件的应变性。
4、时间安排方面：时间分布的合理性；课内时间的可压缩性。
5、学生活动方面：学生活动的能动性；交往状态的合理性；学生心智活动的发展性。
6、目标达成方面：学生知识、技能的落实性；学生学会学习的水平性；教师课内教学监控的有效性。
撰写教后录的切入点1、成功点：主要是指课堂教学中的闪光点。
如课堂上一个恰当的比喻，教学难点的顺利突破，引人入胜的教学方法。
又如一些难忘的教学艺术镜头：新颖精彩的导语，成功的临场发挥，扭转僵局的策略措施2、失败点：主要是指课堂教学中的砸锅点。
如教学目标定位不准，造成的“吃不了”或“吃不饱”之现象；教学引导的度把握不适，造成的“一问三不知”的僵局；教学方法选择不当，造成的低效等。
3、遗漏点：主要是指课堂教学设计中遗漏的一些环节或知识点。
如教学衔接必需的知识点，帮助学生理解课文的背景材料，拓展延伸的内容等。
4、改进点：主要是指课堂教学中经过微调可以追求更高效益的那些点。
如更合理的分配讲与练的时间，更恰当的选择例题，更完美的板书设计，更科学的媒体选用等。
6.1平方根、立方根（2）根据新课标理念，课堂教学规律、课堂教学评价体系，教学反思可以从以下六个方面着手：1、教学内容方面：教材处理的合理性；导入、结课的激励性；深层意义的规律有否揭示与发掘。
2、教学过程方面：教学程序安排的合理性；教学设计的科学性；媒体运用的适切性；反馈评价的准确性。
3、从课堂管理方面进行反思：班级成员涉及面的广泛性；全班同学学习的积极性；学法指导的经常性；处理偶发事件的应变性。
沪科版(2012)初中数学七年级下册 6.1 算术平方根 教案
6.1.1算术平方根教材内容分析：“平方根”这一节内容既是对初中数学运算的一个终结，又是数的范围的最后扩充，并且这节的学习对后续“二次根式”及“一元二次方程的解法”都有深远的影响，它在数学体系中起到至关重要的作用。
而此内容概念容易模糊，很难有深刻的理解和挖掘，所以这一内容既是学生也是教师值得研究的课题。
教学思路：本节课从课本的例子，生活中的常见问题引入思考，平常我们计算正方形的面积是已知边长求面积的计算思路，现提出已知面积求边长的问题，引入逆运算，从实际的生活中引入算术平方根的概念，强调算术平方根的实际意义，了解算术平方根的性质与特点。
教学目标：知识与技能：理解并掌握算术平方根的概念，了解算术平方根的实际意义与数学意义过程与方法：学会用根号表示一个正数的算术平方根，了解算数平方根的性质情感、态度与价值观：体验数学从生活中来，到生活中去，体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学。
教学重点：算术平方根的概念与表示方法教学难点：算术平方根的理解与无理数的估值教学过程：课前热身：观看讲台屏幕，看谁算得快环节一：情景引入学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？今天需探究的问题：已知一个正数的平方，求这个正数的问题探究合作：阅读课本P40 尝试回答以下问题1. 什么是算术平方根？2.算术平方根如何表示？3.是不是所有的数都有算术平方根呢？1、算术平方根的概念：一般地，如果一个______ x 的平方等于 a （即a x 2），那么这个______x 就叫做 a 的____________,记作_________,读作______,a 叫做__________ 正方形的面积/dm21 9 25 36 425 正方形的边长/dm2、表示方法：文字语言：符号语言：3、算术平方根的性质：正数：_______________________________0 ：_______________________________负数：_______________________________算术平方根的特殊性质：______________________,即a ___0,a _____0. 判断1：下列各式是否有意义，为什么？（1）4- ；（2）4- ；（3） 2)3(- ；（4）2101 ．（5）π-14.3 课堂检测：判断2：下列说法是否正确：（1）5是25的算术平方根（2）-6是36的算术平方根（3）0的算术平方根是02.填空（1）9的算术平方根等于__________（2） 1001 的算术平方根等于__________ （3）0.81的算术平方根等于__________（4）算术平方根是它本身的数是________练习1：求下列各数的算术平方根（1） 100 （2） 6449 （3）0.0001思考：被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？被开方数_____，对应的算术平方根也________.环节二：在小学的时候我们学习了四则运算：加、减、乘、除，它们的运算结果都是生活中最常见的____数.上了初中以后，我们引入了负数，与正数和0统称为有理数，并且学习了第五则运算，乘方。
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安徽省合肥市第五十六中学七年级数学下册《6.1平方根（3）》讲学
稿 沪教版
学科：数学 年级：七年级 审核：
内容：七下6.1平方根（3） 课型：新授
学习目标：
1、正确区分算术平方根与平方根的关系；
2、通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。
学习重点：会用计算器求任意正数的算术平方根解决实际生活中问题。
学习难点；算术平方根与平方根的关系的理解。
学习过程：
一、学习准备
1、求下列各数的平方根：
①25 ②81
121 ③ 4 ④(－2)2 2、求下列各数的算术平方根： （1） 0.0081; （2）15²； （3）16 （4）(－5)2
3、平方根与算术平方根的联系与区别
联系：1) 平方根包含算术平方根， 算术平方根 是平方根中的一个；
2) 平方根和算术平方根都只有 被开方数是非负数时 才有
3) 0的 平方根、算术平方根都是0
区别：1）定义不同：
2）表示方法不同
3）个数不同
4）算术平方根 具有双重非负性
①被开方数 a 是非负数，即 a ≥ 0 ②算术平方根本身是非负数，即0≥a 4、2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日
子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，
实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一
宇宙速度1v （米／秒）而小于第二宇宙速度：2v （米／秒）．1v 、
2v 的大小满足gR v gR v 2,2221==.怎样求1v 、2v 呢？（参照课本第5页内容计算）
二、合作探究：
阅读课本第5页例题3计算
1、物体从高度自由落下，物体下落的高度S 与下落的时间t 之间的关系可用公式s=
21gt 2表示，其中g=10米/秒2，若一个物体从180米高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长
时间?分析：由公式s= gt 2中的ｇ，s 的值已知，将g 、s 的值代入公式，可得到关于t 的关系式，通过开平方可以求到t 的值．
解:把S=180米，g=10米/秒2代入公式s= gt 2，得180= ×10t 2， 所以t 2=36，所以t=±6， 因为时间不能为负，所以t=6即物体到达地面的需要的时间为6秒．
2、“欲穷千里目，更上一层楼”。
说的是登的高看得远。
若观测点
的高度为h ，观测者视线能达到的最远距离为hR 2d ≈ ，其中R 是地球半径（通常取6400km ），小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高
度为20M ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该小船离小丽有多
远？
三、学习体会：
本节课你学到哪些知识？哪些地方是我们要注意的？你还有哪些疑惑？
四、自我测试：
1、下列命题中，正确的是( )
A ．绝对值等于它本身的数只有0；
B ．倒数等于它本身的数只有1；
C ．算术平方根等于它本身的数只有1；
D ．相反数等于它本身的数只有0
1、小刚同学的房间地板面积为16米2，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少？ 解：设每块地板砖的边长为x 米，由题意得64•x 2=16，即x 2= =，
所以x=±(负的舍去)，即x= 答：边长为0.5米． 2、勤俭节约是中国人的一种美德，涛涛的爷爷是个能工巧匠，他把两张破损了一部分的桌
面重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为169dm 2．已知他用的两张小桌面也是锯成了
正方形的桌面，其中一张是边长为5dm 的小板子，试问另一张较大的桌面的边长应为多少
dm 才能拼出面积为169dm 2的桌面？
分析：边长为5dm 的正方形板子，其面积为25dm 2，要拼出面积为169dm 2的桌面，还需面积为169−25=144dm 2的正方形桌面，故问题实际上转化为求144的算术平方根，即
=12． 解：设另一张较大的桌面的边长为xdm ，则有x 2+52=159，x 2=169−25=144，而122=144
故144的算术平方根为12，即
=12，即另一张桌面的边长应为12dm ．
思维拓展：
6）一个自然数的算术平方根是m ，则下一个自然数的平方根是 ；
7、如今的时代是知识爆炸的时代，是科技高速发展的时代，中国的航天技术正在飞速发展，宇宙的奥秘正逐步展现在我们面前．有两名宇航员李飞（二十八岁）和刘学（二十五岁）．李飞乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船，作了五年宇宙旅
行后回来（这个五年是指地面上的五年）．这时谁年轻？年轻几岁？（精确到一年） 提示：根据爱因期坦的相对论，当地面
的平方根是2)3()1-能取的最小整数是有意义，那么＋如果a 1a 2
)23） 若5x ＋4的平方根为±3，则x ＝ ； ；＝
，则＝，若＝，则＝若x 7x a 2.1a )425）如果一个非负数的两个平方根分别是3a －2和4－5a 则这个数是 ；
上经过1秒时，宇宙飞船内还只经过2
)(1c v
秒，公式内的c 是指光速（30万千米/秒），v 是指宇宙飞船速度．
地面上经过1秒，飞船内经过 秒，相当于地面上时钟走的速度的五分之一，所以地面上过了五年，宇宙飞船上才过去一年，因此李飞的岁数这时是29岁，而刘学的岁数是30岁，李飞比刘学年轻一岁．。