最新年中考数学一轮复习课件《圆 》(各版本通用)
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初三数学圆的复习课件_一轮复习
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
关于等积式的证明
• 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB， 弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PD P
经验： •证明等积式，通常利 用相似； •找角相等，要有找同 弧或等弧所对的圆周角 的意识；
知识体系
圆
基本性质
直线与圆的 点与圆的 正多边形 位置关系 位置关系 和圆
概 对 圆周角与 念 称 圆心角的
性 关系 垂 圆心角、
切切 切切 位 线线 线线 置 的的 长的 分 性判 定作 类 质定 理图
判 定
关 系
有 关
定计
理算
径 弧、弦之
定 间的关系
弧长、扇形面积和圆锥
理 定理
的侧面积相关计算
圆的有关性质
A
E
C
O
D
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，
你能得到什么结论？
E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
n°弧
C
一般地，n°的圆心角
对着n°的弧。
D
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
数学中考一轮复习专题21圆课件
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），
故选：A．
知识点1：与圆有关的概念
典型例题
【例2】（3分）（202X•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一
个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯
22
设半径OA=OE=r， ∵ED=1，∴OD=r-1， 则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2， 解得：r=13， ∴木材直径为26寸． 故答案为：26．
知识点2：与圆有关的角
知识点梳理
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．
用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材
的直径是
寸．
知识点1：与圆有关的概念
典型例题
【解答】解：由题意可知OE⊥AB， ∵OE为⊙O半径， ∴ AD BD 1 AB 1 尺=5寸，
知识点梳理
知识点1：与圆有关的概念
4. 直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍． 5. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6. 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“ ” 表示，以A，B为端点的弧记作“AB ”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ． 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两 个字母表示）． 7. 等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧． 8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
中考数学第1轮复习第6章 第24讲 与圆有关的位置关系课件
A．5 B．7 C．8 D．10
9
5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
10
5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
36
∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
37
4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
38
证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
33
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
34
证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
35
在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
29
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.
9
5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
10
5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
36
∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
37
4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
38
证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
33
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
34
证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
35
在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
29
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.
中考数学一轮复习 第六章 圆 第一节 圆的有关概念及性质课件
2021/12/8
第二十九页，共三十一页。
7．(2017·遵义)如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，AB＝4，点M是OA 的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°， 则弦CD的长为_____1_4 _．
2021/12/8
第三十页，共三十一页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。1．圆：平面上到定点的距离等于(děngyú)定长的所有点组成的图形。中有一
叫页，共三十一页。
考点(kǎo diǎn)一 圆心角、弧、弦之间的关系 (5年0考)
例1(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是
的中点，∠A＝50°，则
AB
∠BOC＝( )
A．40° B．45°
C．50° D．60°
2021/12/8
第十三页，共三十一页。
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第三页，共三十一页。
等弧只存在(cúnzài)同圆或等圆中，大小不等圆中不存在(cúnzài)等弧 ．
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第四页，共三十一页。
(5)圆心角：顶点在___圆__心__(的yuá角nxī叫n) 做(jiàozuò)圆心角．
(6)圆周角：顶点在______圆_，上 两边分别与圆还有另一个 交点．像这样的角，叫做圆周角．
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第五页，共三十一页。
知识点二 圆的有关(yǒuguān)性质
1．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _过__直__径__(的zh直íjìng) 线，有_无__数__(_w_ús条hù对) 称轴．
(2)圆是中心对称图形，对称中心为______圆．心
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B．5 cm
C．6 cm D．7cm
第6章第20讲圆的基本性质-中考数学一轮考点复习课件(共6张)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝ 140°
．
重难点 圆中的线段最值问题
【例1】如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两 个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB的面积的最大值 是 4 2．
1．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝ 2 ，D是线段BC上的一
(2)推论：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等，
那么它所对应的其余各组量都分别 相等
2．圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半 ．
(2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；
②半圆(或直径)所对的圆周角是 90°
，90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
A．235
B．136
C．265
D．166
圆内接四边形
︵
10. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且AB为50°，则∠E＋∠C＝ 1⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边 形，则∠OAD＋∠OCD＝ 60° ．
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练案·限时提分作业
2．如图，在平面直角坐标系中，点A(5，0)，点B(－5，0)，点C(3，－4)，点D为
第一象限上的一个动点，且OD＝5.①∠ACB＝ 90° ；
②若∠AOD＝50°，则∠ACD＝ 25°
．
①定点定长存在共圆；②定线段同侧角度相同存在共圆；③定线段同侧角度有2倍 关系存在共圆；④定线段异侧角度互补存在共圆．
A．57° B．52° C．38° D．26°
︵︵ 6. 如图，AD是⊙O的直径，AB＝CD，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是 (B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
中考数学一轮复习 第六章 圆 第1节 圆的基本概念及性质课件
1.圆内接四边形的对角⑯ 互补,如(hù图②，
bǔ)
圆内
∠A+∠BCD=⑰
180°,∠B+∠D=180°
接四 边形
2.圆内接四边形的任意一个角的外角(wài 等 jiǎo)
于它的⑱内对角
，如图②，∠DCE=∠A
12/9/2021
第八页，共十三页。
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(fǎnhuí)
重难点突破
利用圆周角定理及其推论(tuīlùn)求角度
12/9/2021
第十二页，共十三页。
内容 总结 (nèiróng)
第六章 圆。弧、弦、圆心角之间的关系。1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角④。2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所 对的圆心角相等。垂径定理定理及其推论。（5）CD是直径.只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三。2. 同圆的半
定理(dìnglǐ)：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角
等于它所对的圆心角的③ 一半.
圆周
角定
理(dìnglǐ) 及其
1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
④ 相等; 2. 在同圆或等圆中，相等(xiāngděng)的圆周角所对的
推论 推论
圆心角相等(xiāngděng)
12/9/2021
第十一页，共十三页。
练习 3 (liànxí) 已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接 AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是( )
A. 75°B B. 65° C. 60° D. 50°
【解析(jiě xī)】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB ＝90°，又∠BAD＝25°，∴∠B＝65°， ∴∠C＝65°.
第27讲 与圆有关的位置关系(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
【说明】掌Байду номын сангаас已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长
初三复习专题课件圆复习
例题二：圆周角定理的证明
总结词
圆周角定理是圆的基本性质之一，它描述了圆上任意两个弧所对应的圆周角之间的关系 。
详细描述
首先，我们需要理解圆周角定理的内容，即“在同圆或等圆中，相等的弧所对应的圆周 角相等”。然后，我们可以通过一些例题来加深对圆周角定理的理解和应用。例如，我 们可以考虑如何利用圆周角定理来求解与圆相关的几何问题，如求圆的面积、求圆上任
圆是一种特殊的几何 图形，它由一条曲线 和圆心、半径等几何 元素组成
圆的性质
01
02
03
圆的对称性
圆是一个轴对称图形，任 何一条直径所在的直线都 是圆的对称轴
圆的旋转不变性
以圆心为固定点，圆在旋 转时形状和大小保持不变
圆的离心率
圆的离心率等于0，意味 着圆是一种特殊的椭圆
圆中的特殊点
01
02
03
04
CATALOGUE
圆的易错知识点
易错点一：概念不清
圆的基本概念：圆心、 半径、直径、弧、弦等
。
01
圆的方程：圆的标准方 程、一般方程和参数方
程。
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的性质：圆心角与弧 长、圆周角与弦长等。
05
圆的定义：平面上所有 与给定点（圆心）距离 等于给定正数（半径）
的点的集合。
02
圆与直线、圆与圆的位 置关系等。
圆与坐标系
圆与坐标系的关系
在坐标系中，可以通过给定圆的方程 来描述一个圆的位置和大小。同时， 也可以通过给定点的坐标来描述一个 点在圆上的位置。
圆与坐标系的应用
在解题中，可以利用圆与坐标系的性 质，如圆的方程、点到圆心的距离等 ，来解决一些综合题。同时，也可以 利用坐标系中的对称性来简化一些问 题。
中考大一轮数学复习课时32圆的关概念与性质PPT课件
答案：17 cm或7 cm
1
2
3
12
中考大一轮复习讲义◆ 数学
13
谢 谢！
2
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3
11Biblioteka 中考大一轮复习讲义◆ 数学
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易错知识辨析 1. 本节的有关圆心角、圆周角关系的各个结论是在一定前提条件下成立的，如果 没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，在应用时推出的结论也是错误的． 2. 利用垂径定理进行证明或计算时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直 角三角形求解．由于圆中一条弦所对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系 有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解． 易错题跟踪 已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB，CD之间的距 离．
典例分析 2 (2013·广东佛山)半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
解析 如图，过点 O 作 OC⊥弦 AB 于点 C，连接 OB，在直角三角形 OCB 中，OB＝3，BC＝12AB＝2，
所以 OC＝ OB2－BC2＝ 5，故选 C.
( C)
A. 当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形 B. 当△APC 是等腰三角形时，PO⊥AC
1 C. 当 PO⊥AC 时，∠ACP＝30° D. 当∠ACP＝30°时，△BPC 是直角三角形
3. (2014·广东珠海)如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠AOD 等于( C )
A. 2 B. 1
C. 2 D. 2 2
2. (2014·山西)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接 OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C 的度数为( B )
初三数学最新课件-圆(复习) 精品
本节课作业: P课本130页1.2.3题,131页4.5
从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等. 圆心与这一点的连线平分两切线的夹角.
三角形的内切圆是与这个三角形三边都相切 的圆,它的圆心是这个三角形三个内角平分线 的交点.即三角形的内心.
两圆相交时,圆 心连线垂直公 共弦,需要作辅 助线时,可连结 公共弦.
圆与圆的位置关系
两圆相外切或内切 时,两圆心的连线一 定过切点.此时的图 形是轴对称图形.
结归纳总:
本节主要对本章知识有一个回顾性认识, 掌握圆的基本性质,与圆有关的位置关系. 圆与正多边形及与圆有关的计算.
本节重点与难点:
1:垂径定理 2:弦,弧,弦心距, 3:同弧所对的圆周 圆心角的关系, 角与圆心角的关系
4:切线的性质 5:圆与圆的位
与判定
置关系
6:圆涉及到的正多边 形,弧长,扇形面积及 圆锥侧面积和全面积
圆周角
1:同弧所对圆周角相等,都等于圆心角的一半. 2:直径或半圆所对的圆周角是直角 3:三角形一边中线等于这边长的一半,这个 三角形是直角三角形. 4:在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
点和圆的位置关系:
1:利用点到圆心距离来判断点和圆的位置关系: (1)d＞r点在圆外 (2)d=r点在圆上 (3)d＜r点在圆内
相离
外离
(d＞R+r)
内含
d＜R-r(R＞r)
相交
R-r＜d＜R+r(R≥r)
相切
外切 d=R+r 内切
d=R-r(R＞r)
弧长公式: 扇形面积:
l nR
180
S扇形
Байду номын сангаас
nR2
360
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备考基础
归类探究
练出高分
推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_______ 直 角； (2)90°的圆周角所对的弦是________ 直径 ； (3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等 的圆周角所对的弧_________ 相等 ． 8．圆内接四边形 圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆
D．∠B＋∠C
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2．[2014· 台州]从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判
断圆弧为半圆的是
( B )
3．[2015· 杭州]圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则 ∠C＝ A．20° C．70° B．30° D．110° ( D )
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4．[2015· 长沙]如图29－2，AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10， OD⊥BC于点D，则OD的长为 ________ ． 4 图29－2
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[考点管理] 一、必知8 知识点 1．圆的有关概念 定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一
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图29－4
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归类探究
练出高分
2．分类讨论 在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和 劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于 弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在同侧 还是异侧等．此类问题是中考的热点考题．
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的_________ ． 弧 推论：(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧；
(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 【智慧锦囊】 用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心
距，构造直角三角形求解．
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6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
斜边的中点 外部 ． ______________ ，钝角三角形的外心在三角形的________
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4．圆的对称性 中心 对称图形，圆还 圆既是一个轴对称图形又是一个_________ 具有旋转不变性． 5．垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
练出高分
三、必明3
易错点
1．弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线；
2．直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径． 3．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同
圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转
化方法．如果没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，在应 用时推出的结论是错误的．
周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做
圆的半径 ． ________ 圆心 ，线段OP叫做_____________ 定长 的点的集合． 圆的集合定义：圆是到定点的距离等于______
圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做_______ 弦 ；经
过圆心的弦叫做_________ 直径 ；圆上任意两点间的部分叫做 _________ ；大于半圆的弧叫做_________ 弧 优弧 ；小于半圆的弧叫 劣弧 ；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 做_________ 半圆 弧，每一条弧都叫做__________ ．
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2．点和圆的位置关系
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么： (1)点在圆外⇔________ d>r ； (2)点在圆上⇔ ________ d＝r ； (3)点在圆内⇔ ________. d<r 3．确定圆的条件 一 个 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定_______ 圆．
上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边
形的外接圆． 性质：圆内接四边形的对角互补．
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二、必会2
方法
1．添加辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图 29－3； (2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图29－4.
图29－3
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类型之一 点与圆的位置关系 如图29－5，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是 AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆 心，半径长为2的圆，那么下列判断正确 的是 ( C ) A．点P，M均在圆A内 B．点P，M均在圆A外 C．点P在圆A内，点M在圆A外 D．点P在圆A外，点M在圆A内
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第九单元
圆
第29课时 圆的有关性质
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Hale Waihona Puke 归类探究练出高分[小题热身]
1．[2014· 温州]如图 29－1，已知点 A，B，C 在⊙O ︵ 上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是 (
A
)
A．2∠C
B．4∠B
图29－1
C．4∠A
三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫圆的内 接三角形．
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练出高分
【智慧锦囊】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的 直角三角形 内部 ，直角三角形的外心是____________ 外心在三角形的________
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图29－5
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【解析】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ AC2＋BC2＝5， ∵CP，CM 分别是 AB 上的高和中线， 1 1 1 ∴AM＝ AB＝2.5， AB·CP＝ AC·BC， 2 2 2 12 ∴CP＝ ， 5 ∴AP＝ AC2－CP2＝1.8， ∵AP＝1.8<2，AM＝2.5>2，
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等 ，所对的弦_________ 相等 ； ________ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余 各对量都相等． 7．圆周角 圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角； 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数 一半 ． 的_________
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推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_______ 直 角； (2)90°的圆周角所对的弦是________ 直径 ； (3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等 的圆周角所对的弧_________ 相等 ． 8．圆内接四边形 圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆
D．∠B＋∠C
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2．[2014· 台州]从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判
断圆弧为半圆的是
( B )
3．[2015· 杭州]圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则 ∠C＝ A．20° C．70° B．30° D．110° ( D )
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4．[2015· 长沙]如图29－2，AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10， OD⊥BC于点D，则OD的长为 ________ ． 4 图29－2
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[考点管理] 一、必知8 知识点 1．圆的有关概念 定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一
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图29－4
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2．分类讨论 在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和 劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于 弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在同侧 还是异侧等．此类问题是中考的热点考题．
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的_________ ． 弧 推论：(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧；
(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 【智慧锦囊】 用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心
距，构造直角三角形求解．
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6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
斜边的中点 外部 ． ______________ ，钝角三角形的外心在三角形的________
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4．圆的对称性 中心 对称图形，圆还 圆既是一个轴对称图形又是一个_________ 具有旋转不变性． 5．垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
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三、必明3
易错点
1．弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线；
2．直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径． 3．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同
圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转
化方法．如果没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，在应 用时推出的结论是错误的．
周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做
圆的半径 ． ________ 圆心 ，线段OP叫做_____________ 定长 的点的集合． 圆的集合定义：圆是到定点的距离等于______
圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做_______ 弦 ；经
过圆心的弦叫做_________ 直径 ；圆上任意两点间的部分叫做 _________ ；大于半圆的弧叫做_________ 弧 优弧 ；小于半圆的弧叫 劣弧 ；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 做_________ 半圆 弧，每一条弧都叫做__________ ．
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2．点和圆的位置关系
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么： (1)点在圆外⇔________ d>r ； (2)点在圆上⇔ ________ d＝r ； (3)点在圆内⇔ ________. d<r 3．确定圆的条件 一 个 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定_______ 圆．
上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边
形的外接圆． 性质：圆内接四边形的对角互补．
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二、必会2
方法
1．添加辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图 29－3； (2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图29－4.
图29－3
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类型之一 点与圆的位置关系 如图29－5，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是 AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆 心，半径长为2的圆，那么下列判断正确 的是 ( C ) A．点P，M均在圆A内 B．点P，M均在圆A外 C．点P在圆A内，点M在圆A外 D．点P在圆A外，点M在圆A内
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第九单元
圆
第29课时 圆的有关性质
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Hale Waihona Puke 归类探究练出高分[小题热身]
1．[2014· 温州]如图 29－1，已知点 A，B，C 在⊙O ︵ 上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是 (
A
)
A．2∠C
B．4∠B
图29－1
C．4∠A
三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫圆的内 接三角形．
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三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的 直角三角形 内部 ，直角三角形的外心是____________ 外心在三角形的________
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【解析】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ AC2＋BC2＝5， ∵CP，CM 分别是 AB 上的高和中线， 1 1 1 ∴AM＝ AB＝2.5， AB·CP＝ AC·BC， 2 2 2 12 ∴CP＝ ， 5 ∴AP＝ AC2－CP2＝1.8， ∵AP＝1.8<2，AM＝2.5>2，
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等 ，所对的弦_________ 相等 ； ________ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余 各对量都相等． 7．圆周角 圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角； 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数 一半 ． 的_________