《常微分方程》考试大纲
常微分方程复习提纲
常微分方程复习与考试提纲一、复习与分值结构总体分三块，解方程部分，包括第2，4，5章，这部分内容分值在60分左右；理论部分，就是，主要是第三章，第四章，第五章等的解的存在唯一性定理以及解的结构定理20分左右；应用部分20分左右； 其次从试题难度上看70左右的基础题、常规题，20分左右的，具有一定灵活性的问题，10左右难题。
二、知识点解析（一） 解方程部分分一阶、高阶与方程组三部分1、一阶微分方程：解方程的三个思想：可分离变量类型，全微分（恰当）微分方程，参数方程法（1）可分离变量类型及其可化为可分离变量类型的方程的类型，这部分习题主要集中在P42-43，P49-50；a ．齐次方程 ()y y xϕ'=，令 y x μ=即可； b ．111222a x b y c y f a x b y c ⎛⎫++'= ⎪++⎝⎭；c ．一些简单的组合变换，如P43，2（1），（2），（5）等；d ．一阶线性微分方程及其通解公式（含伯努利方程，黎卡提方程），见P44-45，其主要思想是常数变异法，其实质是变量分离；特别提示一阶线性微分方程是目前解决的最为彻底的一类方程，应该好好掌握。
（2）全微分（恰当）微分方程及其可化为全微分微分方程的类型，这部分习题主要集中在P60-61；a ．全微分（恰当）微分方程的定义及其判定的充要条件；b ．要求熟记的一些简单二元函数的全微分，见P54及课堂提供；c ．(,)(,)0M x y dx N x y dy +=分别具有形为()x μ、()y μ、()x y μ+和()x y μ-的充要条件及其推导，见P52；d ．方程变换前的积分因子与方程变换前的积分因子之间的关系，P61，5我给大家提供的第二种解法等；e ．常见用到的结论，如P61，4，5，8，11等；f ．难点问题：P61 2（11），10等。
(3) 参数方程法，主要习题见P70，与P73 1 （10）（19）（20）等；a ．(,),y f x y '=或(,)x f y y '=，可设y p '=（参数），然后求解；b ．(,)0,F x y '=或(,)0F y y '=，视问题而灵活设定。
哈尔滨工程大学常微分方程方程考试大纲
考试科目名称: 常微分方程
考查要点:
一、一阶微分方程的初等解法
1．要求考生熟练应用变量替换求解变量分离方程.
2．要求考生理解线性方程与常数变易法,并用常数变易法求解伯努利方程.
3．要求考生熟练掌握恰当方程的解法,对于非恰当方程,要求会求积分因子,并熟练求出其解.
4.要求考生了解一阶隐方程与参数表示,并会求解一些一阶隐方程.
二、一阶微分方程的解的存在唯一定理
1．要求考生熟练掌握一阶微分方程的解的存在唯一定理,并会利用解的存在唯一定理解决实际问题.
2．要求考生了解解的延拓,解对初值的连续性与可微性定理,以及奇解和包络.
三、高阶微分方程
1．要求考生理解线性微分方程的一般理论,并熟练用常数变易法求解高阶微分方程.
2．要求考生熟练掌握常系数线性微分方程的解法.
四、线性微分方程组
1．要求考生理解线性微分方程组的一般理论,并熟练用常数变易法求解微分方程组.
2.要求考生熟练掌握常系数线性微分方程组的解法.
五非线性微分方程和稳定性
1. 要求考生了解按线性近似微分方程组的稳定性,并会求方程组奇点的类型.
2. 要求考生熟练掌握李雅普诺夫第二方法判断线性微分方程的稳定性.
考试总分：75分考试时间：1.5小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（60分）
证明题（15分）
参考书目：
主要参考书：
1、常微分方程王高雄、周之铭等著，高等教育出版社，1983年。
常微分方程考试大纲
常微分方程考试大纲Ⅰ. 课程性质本课程是高等师范院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的核心基础课，是进一步学习泛函分析、数学物理方程、微分几何的必要准备，本身在工程力学、流体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化工，生物、医学、经济、管理等领域有广泛的应用。
通过本课程的学习，不仅为后续课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。
是数学系数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业的必修课。
Ⅱ. 课程设置目的与要求通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的了解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。
Ⅲ. 课程内容与考核目标第一章 绪论（一）学习目的和要求通过本章的学习，掌握从实际问题建立常微分方程模型的基本过程和常用方法，理解初值条件的实际含义。
掌握微分方程的基本概念，特别是解、通解、初值问题、特解等概念及其关系。
理解一阶常微分方程的积分曲线与方向场之间的关系，并初步了解其中所包含的定性思想。
（二）课程主要内容1．微分方程：某些物理过程的数学模型2．基本概念（1）常微分方程和偏微分方程。
（2）线性和非线性。
（3）解和隐式解。
（4）通解和特解。
（5）积分曲线和方向场。
（三）考核知识点1．微分方程的数学模型。
2．微分方程的基本概念。
（四）考核要求1．微分方程：某些物理过程的数学模型（1）理解：微分方程的数学模型。
2．基本概念（1）理解：微分方程的基本概念。
第二章 一阶微分方程的初等解法（一）学习目的和要求通过本章的学习，掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法。
常微分方程期末复习提纲
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解
dy P(x) y Q(x) dx
(1)
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
dy dc(x) e p(x)dx c(x) p(x)e p(x)dx dx dx
代入(1)得
X x Y y ,
则方程化为
dY a1 X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 ,
0
得解 yx
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
第一章：绪论
一、常微分方程与偏微分方程
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关 系式称为微分方程.
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程.
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称 为偏微分方程.
二、微分方程的阶
定义2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶数称为微分方程的阶数.
方程两边同乘以 1 , 得
( y)
1 dy f (x)dx 0,
( y)
1
( f (x)) 0 ( y)
y
x
是恰当方程.
对一阶线性方程:
dy (P(x) y Q(x))dx 0, 不是恰当方程.
方程两边同乘以e P(x)dx , 得
e
P(
河南理工大学研究生入学考试《常微分方程》考试大纲【模板】
**大学研究生入学考试
《常微分方程》考试大纲
一、本考试科目简介：
常微分方程是研究微分方程求解的基本理论和基本方法的数学学科，是数学、信息及理力专业本科生的专业基础必修课。
通过本课程教学，应使学生掌握一些常见微分方程的求解方法，能够做到将理论知识与实际问题相结合。
二、考试内容及具体要求：
第一章绪论
理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念；掌握常微分方程定义, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题，驻定和非驻定，动力系统的概念。
第二章一阶微分方程的初等解法
掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理解齐次、非齐次概念，熟练掌握线性方程的常数变易法，掌握解恰当方程的积分因子法，理解一阶隐方程和贝努利方程的解法。
第三章一阶微分方程的解的存在定理
掌握Picard逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理，了解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。
第四章高阶微分方程
熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程，掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关系），了解拉普拉斯变换法，理解高阶方程的降阶和幂级数解法。
第五章线性微分方程组
了解存在唯一性定理，线性微分方程组的一般理论，掌握Picard逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数变易公式。
第六章非线性微分方程
掌握零解的几种稳定性概念，会区分在不同条件下的稳定性态，了解稳定性的基本思想，理解其思想方法以及与其他课程之间的关系。
三、参考书目
王高雄等编，《常微分方程》，高等教育出版社。
29789 常微分方程大纲
（四）对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。
2、应掌握各知识点要求达到的层次，并深刻理解各知识点的考核要求。
3、对应考者进行辅导时，应以指定的教材为基础，以考试大纲为依据，不要随意增删内容，避免与考试大纲脱节。
4、辅导时应对应考者进行学习方法的指导。
（二）自学教材
本课程使用教材为：《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室主编，高等教育出版社，2005年。
（三）自学方法的指导
本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
1、学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2、掌握：常系数线性微分方程组的求解方法。
3、熟练掌握：常系数线性齐次微分方程组的解法
第四章 n阶线性微分方程
（一）课程内容
1、n阶线性微分方程的一般理论
2、n阶常系数线性齐次方程的解法
（三）本课程与相关课程的联系
常微分方程应是数学分析和高等代数的后继课程。
二、课程内容与考核目标
第一章 初等积分法
（一）课程内容
1、微分方程和解
2、变量可分离方程
2、掌握：掌握了解一阶微分方程解的存在唯一性定理的条件和结论以及利普希茨条件的检验方法，掌握利用Picard逐步逼近法求所给方程的近似解。
第三章 一阶线性微分方程组
（一）课程内容
1、一阶微分方程组和一阶线性微分方程组的基本概念
2、一阶线性齐次微分方程组的一般理论
（三）考核知识点和考核要求
1、领会：微分方程概念
2、掌握：一阶微分方程的一般解法和各类型方程的转化关系，以及一阶微分方程的应用
贵州大学理学院硕士研究生《常微分方程》考试大纲
贵州大学理学院硕士研究生《常微分方程》考试大纲一、适用范围本考试大纲适用于本学院《数学》一级学科硕士研究生入学考试复试的专业考试。
二、考试内容及要求1. 绪论：常微分方程的基本概念，要求熟练掌握常微分方程的阶数、线性与非线性、通解与特解的基本概念。
2. 一阶常微分方程的初等解法：包括变量分离方程与变量变换，线性微分方程与常数变易法，恰当微分方程与积分因子和一阶隐式微分方程与参数表示四个部分内容。
要求熟练掌握变量分离方程、可化为变量分离方程、线性非齐次微分方程、伯努利方程、恰当微分方程与积分因子以及一阶隐式微分方程的求解方法。
3. 一阶常微分方程的解的存在性定理：包括解的存在唯一性定理与逐步逼近法，解的延拓，解对初值的连续性和可微性和奇解四个部分内容，要求熟练掌握解的存在唯一性定理、逐步逼近法及其应用，充分理解解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理，会判断奇解。
4. 高阶常微分方程：包括线性微分方程的一般理论，常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程，非齐次线性微分方程常数变易法与拉普拉斯变换法，高阶常微分方程的降阶解法和幂级数解法四个部分内容，要求熟练掌握线性微分方程的一般理论、常系数齐次线性微分方程的解法、非齐次线性微分方程的解法，理解高阶微分方程降阶和幂级数解法。
5. 线性微分方程组：包括线性微分方程组的基本概念和一般理论，常系数线性微分方程组的解法与矩阵指数，基解矩阵的计算几个部分内容，要求熟练掌握线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组的解法与矩阵指数、基解矩阵的计算。
三、考试题型结构1、题型比例：填空20%，计算60%，证明20%。
2、试题难易度：基础题约35%，中等题约50%，较难题约15%。
四、考试形式及用时考试形式为闭卷笔试，考试时间为120分钟。
五、参考书目王高雄等，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社，2006年7月。
线性代数与常微分方程考试大纲
《线性代数与常微分方程》考试大纲线性代数部分（50%）本课程主要是使学生掌握多项式、行列式、线性方程组、矩阵基本理论、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等基本概念，熟悉基本内容，掌握各部分之间的联系，对基本理论的内涵有一定的了解。
在学习过程中，应当理论联系实际，避免单一的理论推导，增加学生学习的积极性和兴趣。
学习过程中应重点掌握以下内容：多项式的互素与整除、行列式的计算方法、线性方程组的解法、矩阵的运算与矩阵求逆、二次型的标准化方法、子空间的直和、特征值和特征向量、不变因子和初等因子、标准正交基和正交变换等。
1. 多项式（1）掌握一元多项式的基本概念及其运算。
（2）熟练掌握一元多项式的整除，最大公因子，互素的概念，性质及有关的证明。
（3）掌握不可约多项式的概念，性质，理解因式分解定理的意义，掌握复数域，实数域上的多项式的标准分解式及复数域，实数域上不可约多项式（4）知道艾森斯坦因判别法，会求Q[x]中的多项式的有理根。
2.行列式（1）正确理解行列式的定义和基本性质。
（2）熟练掌握计算行列式的一些常用方法。
（3）正确理解克莱姆法则并能用它解线性方程组。
3.线性方程组（1）掌握线性方程组的有关概念，能熟练地运用消元法解线性方程组。
（2）正确理解向量组的线性相关性，向量组的极大线性无关组和向量组的秩的定义及意义。
（3）深刻理解矩阵秩的定义，掌握初等变换下的矩阵的标准形，会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
（4）正确理解线性方程组有解的条件，并能正确地判定一个线性方程组是否有解及解的个数。
（5）熟练掌握线性方程组解的结构定理。
4. 矩阵(1) 正确理解和掌握有关矩阵的主要概念，熟练和准确地进行矩阵的基本运算。
(2) 会判定一个矩阵是否可逆，会求逆矩阵。
(3) 熟练掌握初等变换与初等矩阵，可逆矩阵与初等矩阵的关系，矩阵在等价意义下的标准形，会运用标准形解决矩阵中的一些问题，特别是关于矩阵秩的问题。
5. 二次型（1）掌握二次型的概念，理解二次型与对称矩阵的关系。
《常微分方程》考试大纲
《常微分方程》考试大纲课程编号：10810094英文课程名称：Ordinary Differential Equation适用专业：应用数学、运筹学与控制一、课程的性质和目的《常微分方程》课程是数学、信息与计算科学专业本科生必修的一门主干课程。
《常微分方程》已成为研究自然现象的强有力工具。
在力学、天文学、物理学及工程技术中，应用微分方程的理论和方法，已经取得了巨大的成就。
《常微分方程》理论知识是理工科学生必备的数学专业基础知识，它在培养数学及信息与计算科学的专门人才的过程中具有重要的课程地位；本课程旨在培养学生的微分方程的基础知识与方法，并为运用微分方程解决相关的实际问题打下坚实的理论基础。
本课程主要任务为：1．教授求解常微分方程的常用方法；2．培养学生关于常微分方程的一般理论；3．培养学生运用常微分方程解决实际问题的能力，为后继课程的学习打下坚实的理论基础。
第一章：绪论1．熟练掌握物理过程的数学建模；2．熟练掌握微分方程的基本概念；第二章：一阶微分方程的初等解法1．熟练掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解；2．熟练掌握线性方程的概念及常数变易法的使用；3．熟练掌握恰当方程的判定，掌握积分因子的计算；4．熟练掌握一阶隐方程的求解及参数表示；第三章：一阶微分方程解的存在定理1．熟悉、理解解的存在唯一性定理的证明与简单应用；2．熟悉、理解解的延拓定理的证明与简单应用；3．理解解对初值的连续性和可微性定理的证明与简单应用；4．熟悉、理解包络和奇解的概念，会求解可莱罗(Clairaut)方程；第四章：高阶微分方程1．熟悉齐次线性方程的解的性质与结构，熟练掌握非齐次线性方程与常数变易法；2．熟练掌握常系数线性方程的解法与应用；包括：常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程、会用比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程；3．熟练掌握一些可降阶的方程的求解；第五章：线性微分方程组1．理解线性微分方程组存在唯一性定理；2．理解线性微分方程组的一般理论；3．理解矩阵指数expA的定义和性质，掌握基解矩阵的计算公式；会应用拉普拉斯变换解线性微分方程组；第六章：非线性微分方程和稳定性1．会分析线性系统与简单的非线性系统的平衡点（奇点）及极限环的稳定性；2．会按线性近似确定微分方程组的稳定性，Lyapunov第二方法；参考书1．《常微分方程》（第三版），王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，高等教育出版社，2007年；2．《常微分方程》[俄] V.I 阿诺尔德著，科学出版社，2001。
常微分方程自学考试大纲
《常微分方程》(B)自学考试大纲课程代码：8488目录一、课程性质与设置目的二、课程内容与考核内容第一章绪论§1.1 常微分方程模型§1.2 基本概念1.2.1 常微分方程基本概念第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1 变量分离方程2.1.2 可化为变量分离方程的类型§2.2 线性方程与常数变易法§2.3 恰当方程与积分因子2.3.1 恰当方程2.3.2 积分因子§2.4 一阶隐方程与参数表示2.4.1 可以解出y（或x）的方程2.4.2 不显含y（或x）的方程第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理3.1.2 近似计算与误差估计§3.2解的延拓第四章高阶微分方程§4.1. 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法§4.2 常系数线性方程的解法4.2.1 复值函数与复值解4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程4.2.3 非齐次线性微分方程，比较系数法§4.3 高阶方程的降阶解法4.3.1 可降阶的一些方程的类型第五章线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理§5.2. 线性微分方程组的一般理论5.2.1 齐次线性微分方程组5.2.2 非齐次线性微分方程组§5.3 常系数线性微分方程组5.3.1 矩阵指数Aexp的定义5.3.2基解矩阵的计算公式三、有关说明和实施要求附录：题型举例一、课程性质与设置目的：常微分方程是数学的一个重要分支，是数学和实际相联系的重要渠道之一，它是和微积分同时产生和发展的。
现代科学技术和数学各分支的发展，为常微分方程提供了众多的数学摸型、研究方法和广阔的应用领域，使得常微分方程的理论日益丰富多彩，富有生命力。
考研数学(二)考试大纲解析(常微分方程)【圣才出品】
第 5 章 常微分方程
一、微分方程
表 5-1 微分方程
微分方程
概念 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之问的关系的方程，称为微分方程．
阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．
设函数 y (x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有
1 / 13
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
如果一个一阶微分方程能写成
g y dy f x dx
的形式，则原方程称为可分离变量的微分方程．
2．解法
设 y x 是方程 g y dy f x dx 的解，代入得
三、一阶线性微分方程 1．一阶线性微分方程
dy P(x) y Q(x) dx
2．齐次线性方程 （1）表达式
（2）通解
dy P(x) y 0 dx
2 / 13
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
y CeP(x)dx (C eC1 ) (C1为常数)
F[x, (x), (x), , (n)(x)] 0
解
则函数 y (x) 就称为微分方程
F(x, y, y, , y(n)) 0
在区间 I 上的解．
通解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相
同，则这样的解称为微分方程的通解．
设微分方程中的未知函数为 y (x) ，则：
方程
y f ( y, y)
令 y p
得
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
西北师范大学《常微分方程(加试)》2020年考研专业课复试大纲
系数线性微分方程的特征根法和简单的非齐次方程的解法。 考试内容
第一节 一阶微分方程组
一阶微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。 第二节 线性微分方程组的一般概念
一阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。 注：第一节与第二节共 2 学时 第三节 线性齐次微分方程组的一般理论 建立线性齐次微分方程组的一般理论，得到通解结构定理，证明 Liouville 公式。 第四节 线性非齐次微分方程组的一般理论 线性非齐次微分方程组的一般理论和常数变易法。 第五节 常系数线性微分方程组的解法 特征根法—理论证明与方法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。 考核要求 准确理解线性微分方程组的一般理论；熟练掌握 Liouville 公式、常数变易法和特征根 法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。
二、 参考书目
1、 东北师范大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年。 2、 叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年（第二版）。 3、 中山大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983 年（第二版）。 4、 国家教育委员会师范教育司，《普通高度师范学校数学教育专业（本科）教育教学基本
全微分方程的解法和积分因子法、分项组合法。 第七节 线素场 欧拉折线
一阶微分方程的几何解释和欧拉折线法。 第八节 一阶隐式微分方程
常微分方程考试大纲
常微分方程考试大纲主要参考书目1．常微分方程教程（第2版），丁同仁，李承治，高等教育出版社，20052《常微分方程》（第3版），王高雄周之铭朱思铭王寿松，高等教育出版社，2006考试内容和考试要求一、绪论考试内容微分方程的一些基本概念（1）常微分方程（2）阶数（3）线性与非线性（4）解隐式解通解特解（5）一阶方程的积分曲线和方向场考试要求1、了解微分方程与客观世界中某些实际问题的关系2、掌握微分方程中线性与非线性、通解与特解等基本概念3、了解一阶方程及其解的几何意义二、一阶微分方程的初等解法考试内容1、变量分离方程，可化为变量分离的方程2、线性方程，贝努利方程3、恰当方程的概念，充要条件，恰当方程的通解。
积分因子的概念及其求法4、一阶隐式方程（四种类型方程）的解法考试要求1、能正确的识别一阶方程的类型2、掌握变量分离方程、齐次方程及可化为变量分离方程的解法。
3、掌握一阶线性方程、贝努利方程的解法4、掌握恰当方程的解法及求积分因子的基本方法（如，μ（x，y）=μ（x），μ（x，y）=μ（y））5、掌握解出y（或x）的一阶隐式方程以及缺少变量y（或x）的一阶隐式方程的解法三、一阶微分方程的存在定理考试内容1、一阶微分方程解的存在唯一性定理求近似解及误差估计2、有界及无界区域中解的延拓定理3、解对初值的连续依赖和可微性定理4、奇解概念、求法及克莱罗方程考试要求1、理解和掌握存在唯一性定理及其证明2、会求方程的近似解并估计其误差3、了解解的延拓定理4、了解解对初值的连续依赖定理和解对初值可微性定理5、理解奇解的概念并会求方程的奇解四、高阶微分方程考试内容1、齐线性方程解的性质和结构2、非齐线性方程通解的结构和常数变易法3、常系数齐线性方程通解的求法，欧拉方程的解法4、用比较系数法求非齐线性方程的一个解5、高阶方程的降阶6、二阶线性方程的幂级数解法考试要求1、掌握齐线性方程解的性质和通解的结构2、熟练地求解常系数线性方程3、会求尤拉方程的通解4、会用降价法求高阶方程的解5、掌握二阶线性方程的幂级数解法五、线性微分方程组考试内容1、一阶线性方程组的存在唯一性定理2、线性方程组的一般理论3、常系数线性方程组的标准基解矩阵4、基解矩阵的计算考试要求1、理解一阶线性方程组的存在唯一性定理2、理解线性方程组解的性质3、掌握线性方程组通解的结构，会用常数变易法求非齐线性方程组的一个解向量4、会求常系数线性方程组的基解矩阵及exp A5、了解常系数线性方程组解向量当t→+∞时的性态试卷结构：全部为计算题。
学生版《常微分方程》课程复习提纲
《常微分方程》课程复习提纲 ( 共8页 )一．计算方面----常微分方程主要可求解类型及解法要点1． 一阶方程（1） 一阶变量可分离方程：)()(y h x g dx dy = ；)(xydx dy ϕ= ；)(222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=ϕ （2） 一阶线性方程：)()(x q y x p dx dy += ；R)n , 0,1(n )()(∈≠+=n y x q y x p dxdy（3） 一阶恰当方程：)y M (0),(),(xNdy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+ 积分因子：))(y M)((0),(),(xN dy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+μμμμ 单变量积分因子：)(1x N N M dx d X Y ϕμμ≡-= ； )(1y MM N dy d YX ϕμμ≡-= 恰当方程解法：分项组合法（又称凑微分法）或者用偏积分法：)(),(),(y dx y x M y x U ϕ+=⎰yy)dx M(x,y)N(x, )(∂∂=⎰一dy y d ϕ（4） 一阶隐方程：),( , ),( )(y y f x y x f y '='=II 型解法：0),( , 0),( )(='='∏y y F y x F∏型解法：2．n 阶线性常系数方程（1） n 阶线性常系数齐次方程：),(a 0i 1111R t R x a dt dxa dt x d a dt x d n n n n n n ∈∈=++++--- 特征方程：0111=++++--n n n n a a a λλλ（2） n 阶线性常系数非齐次方程：),(a )(i 1111R t R t f x a dt dxa dt x d a dt x d n n n n n n ∈∈=++++--- 其特解的求法：a ） 常数变易法：令)()()()()(11*t x t c t x t c t x n n ++=则：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''---)(0)()()()()()(1)1()1(111t f t x t x t x t x t c t c n n n n n b) 待定系数法：t m e t p t f 0)()()(λ=I ，可待定t m k e t q t t x *0)()(λ=，其中0λ是k 重特征根 t n m e t t B t t A t f ] sin )( cos )([)( )(αββ+=∏，可待定tl l k e t t q t t p t t x *] sin )( cos )([)(αββ+=，其中0λ=i βα±是k 重特征根，l=max{m,n} c) 拉斯变换法：)()( 0)(,0)0( )()()()]([)*(*s A s F s B x s A s B s F t x L i ==+=时当3．高阶可降阶方程： 0),,,()()(=n k x xt F ，0),,,()(='n x x x F4．一阶n 维线性常系数方程组（1）．一阶n 维线性常系数齐次方程组：),(a )()()()(ij 111111R t R t x t x a a a a t x t x n nn n n n ∈∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''基解矩阵Ate t =Φ)(求法：a ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t n n e e A λλλλ00e , 001At1则 b ） A 可相似对角化，即存在可逆阵P ，使得：1-Λ=P P A（特：A 具有n 个不等的特征根n λλ ,1） 则：1At0e1-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P e e P t t n λλ( 此种情况下()n t t tp e p e Pen λλ,,11 =∆也是方程的基解矩阵 ，但有可能是复的)c ）A 只有一个n 重特征根λ则：k n k kt EtAt t AtE A k t e ee e)(!10 λλλλ-==∑-=-d ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t D t D s S e e D D A0e , 001At1则 其中： 的阶数为i i k i i n k ktEtt D t tD D nE D k teee ei i i I i i ,)(!10 λλλλ-==∑-=- *e ） A 不可相似对角化，也不属于上述其他类型，这时可用约当标准型法第一步, 对A E -λ作初等变换至对角阵，得约当阵J 第二步，求P 使得PJ AP =，第三步，1-=P Pe Jt Ate（2）．一阶n 维线性常系数非齐次方程组：),(a )()( )()()()(ij 1111111R t R t f t f t x t x a a a a t x t x n n nn n n n ∈∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'' 其特解的求法：常数变异法（特殊自由项可用待定系数法）令)()()()()()()(11*t C t t X t c t X t c t X n n Φ=++=则：)()()()()()()()()()(11111111t f t t f t f t x t x t x t x t c t c n nn n n n --Φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''满足初始条件0)(0*=t X 的特解：⎰⎰--=ΦΦΦ=tt s t A Attt ds s f e e t ds s f s t t X )( 1*)( )( )()()()(⎰⎰--+=ΦΦΦ+Φ=tt s t A At At tt ds s f e C e e t ds s f s t C t t X )( 10)( )( )()()()()(通解## 练习：求解下列方程及方程组。
常微分方程复习提纲
四、应用领域
几乎所有现实生活中每一种变化的现象均 可用一微分方程（ 可用一微分方程（组）师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
五、后续内容（课程） 后续内容（课程）
微分方程定性理论； 微分方程定性理论； 分支理论； 分支理论； 非线性方程和偏微分方程－正真的生活！ 非线性方程和偏微分方程－正真的生活！
2
d y dy x2 + 3 + 2y = e 2 dx dx
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
5、微分方程组的求解（基解矩阵的求法：特征根方法）： 、微分方程组的求解（基解矩阵的求法：特征根方法）：
5 X′ = 0
x1 2 X ，其中 X = x 5 2
六、例题分析
（二）基本概念
• 微分方程的定义及其解的定义（解、通解和特解，以 微分方程的定义及其解的定义（ 通解和特解， 及奇解）； 及奇解）； • 微分方程解的结构（包括非齐次线性微分方程（组） 微分方程解的结构（包括非齐次线性微分方程（ 与齐次线性微分方程（ 与齐次线性微分方程（组）解的结构之间的关系、解 解的结构之间的关系、 空间的维数和高阶线性微分方程与线性微分方程组之 间的等价关系转化等）； 间的等价关系转化等）； • 函数组（向量函数组）的线性相关性； 函数组（向量函数组）的线性相关性； • 微分方程组的奇点、零解稳定性等概念的定义； 微分方程组的奇点、零解稳定性等概念的定义；
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
六、例题分析
（三）主要求解方法
分量变量方法求解微分方程； 分量变量方法求解微分方程； 恰当方程（积分因子）求解微分方程； 恰当方程（积分因子）求解微分方程； 常数变易方法求解微分方程； 常数变易方法求解微分方程； 高阶微分方程求解方法（特征根方法、常数变易方法和 高阶微分方程求解方法（特征根方法、 降阶） 降阶） 线性方程组的求解方法（存在唯一定理、一般理论、 线性方程组的求解方法（存在唯一定理、一般理论、解 的结构、常数变易方法、基解矩阵及其计算） 的结构、常数变易方法、基解矩阵及其计算） 奇点的计算和方程近似解的计算
2013级常微分方程考试大纲
肇庆学院数学与统计学院2013级本科各专业《常微分方程》考试大纲一、考试基本要求《常微分方程》考试大纲适用于肇庆学院数学与统计学院2013级本科各专业的期末考试。
其主要目的是考核学生对《常微分方程》基本内容的理解、掌握程度。
要求学生掌握《常微分方程》的基本理论和基本方法，要求学生具有《常微分方程》基本理论的应用能力和基本计算能力，并熟悉在物理、化学、生物、工程技术和某些社会科学中的应用。
二、考试内容及具体要求第一章基本概念本部分内容主要介绍微分方程及其相关的基本概念，引入一些应用微分方程的实际问题的数学模型。
（1）理解微分方程的有关概念，掌握微分方程的分类；（2）正确理解并熟悉解、通解、特解及相关概念；熟悉初值问题、初始条件；（3）了解解的几何解释；（4）掌握微分方程的一些实际应用背景。
第二章一阶微分方程的初等积分法本部分内容介绍若干能用初等积分法求解的方程类型及求解的一般方法。
本部分内容的重点是变量分离方程、一阶线性方程和恰当方程的解法，难点是变量代换的技巧、常数变易法及积分因子法。
（1）熟悉变量分离方程及分离变量法，熟练掌握变量分离方程及可化为变量分离方程的方程的解法；（2）熟练掌握一阶线性方程的性质及解法，掌握常数变易法，掌握贝努利方程的特征及解法；（3）熟悉恰当方程的特征，熟练掌握可用积分因子求解的方程的特征及解法；（4）熟练掌握几类一阶隐方程的解法；（5）了解Ricaati方程（选修）；（6）能够解决一些相关的应用问题。
第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理本部分内容主要是：一阶方程初值问题解的存在唯一性定理及其证明（Picard逐步逼近法）；解的近似计算；解的延拓，解对初值的连续依赖性、可微性；包络和奇解的概念及求法，克莱洛方程。
（1）熟练掌握解的存在唯一性定理，掌握其证明方法；了解用Picard逐步逼近法求方程近似解的方法；（2）理解解的延拓及延拓定理（证明不作要求）；（3）了解解对初值的连续依赖性和可微性的意义，了解解对初值的连续性、可微性定理（证明不作要求）（选修）；（4）了解包络和奇解的概念，了解求包络和奇解的方法；了解克莱洛方程及其解法（选修）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常微分方程》考试大纲
课程名称：常微分方程
一、考试的总体要求
本门课程主要考察学生对常微分方程的基本概念、基本原理以及基本解法的掌握程度。
并且要求学生能够对上述基本知识进行灵活运用，具有较强的分析问题、建立模型、解决问题的能力。
二、考试的内容及比例
1、绪论(5〜10%):
(1)掌握微分方程的基本概念。
(2)了解利用物理基本概念建立简单微分方程模型。
2、一阶微分方程的初等解法( 10 〜 30%):
(1)掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解、线性方程的概念及常
数变易法的使用、恰当方程的判定以及积分因子的计算；
(2)理解一阶隐方程的求解及参数表示。
3、一阶微分方程解的存在定理( 10 〜 20%):
(1)掌握解的存在唯一性的证明方法，唯一性定理条件和结论。
(2)熟练运用解的存在唯一性定理计算解的存在区间。
(3)理解包络和奇解的概念，会求解克莱罗 (Clairaut) 方程。
(4)了解解的延拓以及解对初值问题的连续与可微性。
4、高阶微分方程( 15 〜 30%):
(1)掌握齐次线性方程的解的性质与结构、非齐次线性方程与常数变易法。
(2)熟练运用各种常系数线性微分方程的解法。
包括:常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程。
(3)理解比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程。
(4)了解一些可降阶的方程的求解。
5、线性微分方程组( 15 〜 30%):
(1)掌握矩阵指数 expA 的定义和性质、基解矩阵的计算公式。
(2)熟练运用常数变易法求解线性微分方程组。
(3)理解线性微分方程组存在唯一性定理以及拉普拉斯变换解线性微分方程组。
6非线性微分方程和稳定性(5〜15%):
(1)掌握线性系统平衡点(奇点)类型的判断方法。
(2)熟练运用按线性近似确定微分方程组的稳定性的方法。
(3)理解 Lyapunov 第二方法。