专题04导数及其应用(解析版)

大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（北京卷）

专题04导数及其应用

本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳.

1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1

x+1

+lnx的定义域是____________．

【答案】(0,+∞)

【解析】

由题意得{x>0

x+1≠0，∴x>0

故答案为：(0,+∞)

2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．

【答案】解：根据题意，函数f（x）＝e x+ae﹣x，

若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+ae x＝﹣（e x+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，

函数f（x）＝e x+ae﹣x，导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x

若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，

变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；

故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．

3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3−3x，x≤a −2x，x＞a

．

①若a＝0，则f（x）的最大值为；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．

【答案】解：①若a＝0，则f（x）={x3−3x，x≤0−2x，x＞0

，

则f ′（x ）={3x 2−3，x ≤0

−2，x ＞0

，

当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={

3x 2−3，x ≤a −2，x ＞a

，

令f ′（x ）＝0，则x ＝±1，

若f （x ）无最大值，则{a ≤−1

−2a ＞a 3

−3a

，或{a ＞−1

−2a ＞a 3−3a −2a ＞2， 解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）

4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于−2的切线方程；

（Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y −13=0，（Ⅱ）32. 【解析】

（Ⅰ）因为f (x )=12−x 2，所以f ′(x )=−2x ，

设切点为(x 0,12−x 0)，则−2x 0=−2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y −11=−2(x −1)，即2x +y −13=0. （Ⅱ）显然t ≠0，

因为y =f (x )在点(t,12−t 2)处的切线方程为：y −(12−t 2)=−2t (x −t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t

，

所以S (t )=1

2×(t 2+12)⋅

t 2+122|t|

，

不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )=

t 4+24t 2+144

4t =14(t 3+24t +

144t

)，

所以S ′(t )=1

4(3t 2+24−144

t )=3(t 4+8t 2−48)

4t

=3(t 2−4)(t 2+12)

4t 2

=3(t−2)(t+2)(t 2+12)

4t 2

，

由S ′(t )>0，得t >2，由S ′(t )<0，得0

16×168

=32.

5．【2019年北京理科19】已知函数f （x ）=14

x 3﹣x 2+x ． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）的斜率为l 的切线方程； （Ⅱ）当x ∈[﹣2，4]时，求证：x ﹣6≤f （x ）≤x ；

（Ⅲ）设F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．

【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=3

4x 2−2x +1，

由f ′（x ）＝1得x （x −8

3）＝0， 得x 1=0，x 2=8

3． 又f （0）＝0，f （8

3）=

827

，

∴y ＝x 和y −8

27=x −83， 即y ＝x 和y ＝x −64

27；

（Ⅱ）证明：欲证x ﹣6≤f （x ）≤x ， 只需证﹣6≤f （x ）﹣x ≤0，

令g （x ）＝f （x ）﹣x =1

4x 3−x 2，x ∈[﹣2，4]， 则g ′（x ）=3

4x 2−2x =3

4x(x −8

3)，

可知g ′（x ）在[﹣2，0]为正，在（0，8

3）为负，在[8

3，4]为正， ∴g （x ）在[﹣2，0]递增，在[0，8

3]递减，在[8

3，4]递增，

又g （﹣2）＝﹣6，g （0）＝0，g （8

3）=−64

27＞−6，g （4）＝0， ∴﹣6≤g （x ）≤0， ∴x ﹣6≤f （x ）≤x ；