matlab求解数学及物理问题
高等数学问题的MATLAB解法
第5章 高等数学问题的MATLAB解法
图 5-3 摆线的绘制
第5章 高等数学问题的MATLAB解法
5.1.3 曲线族的绘制 【例5-1-3】 三次曲线的方程为y=ax3+cx，试探讨参数a和c
对其图形的影响。 解: ◆ 建模 因为函数比较简单， 因此可以直接写入绘图语句中，用循环
语句来改变参数。注意坐标的设定方法，以得到适于观察的图形。 给出的程序不是唯一的，例如也可用fplot函数等。读者可自行探 索其他编法。
xvalues=w*exp(-4*tvalues).*sin(w*tvalues + pi/3);
第5章 高等数学问题的MATLAB解法
◆ 程序运行结果 运行这两种程序都得到图5-1所示的曲线。为了节省篇幅，我 们没有显示y的数据。以后的各例中还将省略绘图时的标注语句。 从本例看，第二种方法似乎更麻烦一些，但它具备模块化的特点。 当程序中要反复多次调用此函数，而且输入不同的自变量时，利 用函数文件可大大简化编程。我们应该掌握这种方法。两次应用 diff函数或用diff(y，2)可以求y的二次导数，读者可自行实践。
【例5-1-4】 极限的定义和判别。 解: ◆ 建模 对于函数y=f(x)，当任意给定一个正数ε时，有一个对应的正数
δ 0＜|xc-x|<δ
时, |A-f(x)|＜ε
其中，A是f(x)在x→xc时的极限，如果找不到这样的δ，A就不是 它的极限。只考虑左极限时，因为xc-x必为正数，所以可去掉绝 对值符号。
ezplot(′(1-cos(x))./x./sin(x)′) grid on 运行程序得出图5-5。从图上可见，此函数在x0=±π处有间断 点。在间断点左右，函数f(x)分别趋向于±∞。现在尝试用数组方 法计算以下三个特征点的值，令 x1=［-pi，0，pi］ y1=(1-cos(x1))./x1./sin(x1) 得到警告: Warning: Divide by zero及 y1=1.0e+015 *［5.1984， NaN， 5.1984］
matlab 解方程组
matlab 解方程组Matlab是一种常用的数学计算工具，可以解决大量复杂的计算问题。
它可以帮助解决各种抽象科学问题，特别是解方程组，解决了大量复杂的计算问题。
解方程组是数学中最基础的概念之一，广泛应用于物理、统计学、经济学等领域。
由于方程的形式复杂，手动解方程组工作量巨大，极容易出现错误，这时候就需要用Matlab来求解方程组。
Matlab中提供了各种函数来求解方程组，如fsolve函数、symsolve函数等，可以帮助我们解决实际问题。
fsolve函数可以解求非线性方程组，它需要给定初始猜测值，并求解多元非线性方程组；而symsolve函数可以用来解复杂的符号方程组，直接可以得出其解析解而无需使用初始猜测值。
此外，Matlab还提供了特殊的函数ddesol, ddesd, ddensd等，可以解决时滞系统的方程组。
具体来讲，ddesol函数可以解决一阶时滞系统的方程组；而ddesd和ddensd函数则可以解决二阶时滞系统的方程组。
下面来看如何使用Matlab来求解一般的非线性方程组。
假如要求解一个三元非线性方程组：x^2 + y^2 + z^2 = 152x + y - z = 4x + y^2 - z = -2首先需要定义给定的方程，可以采用如下的Matlab代码：f1 = @(x,y,z)x^2 + y^2 + z^2 - 15;f2 = @(x,y,z)2*x+ y - z - 4;f3 = @(x,y,z)x + y^2 - z + 2;接下来就可以用fsolve函数来求解方程组：X0 = [0, 0, 0];X = fsolve(@(x) [f1(x(1),x(2),x(3)), f2(x(1),x(2),x(3)), f3(x(1),x(2),x(3))],X0)得到结果X = [2.406, 0.1322, 1.909]，从而得到了三元方程组的解。
Matlab还提供了许多其他的函数用来求解不同形式的方程组，有特定的用途。
如何使用Matlab解决数学问题
如何使用Matlab解决数学问题使用Matlab解决数学问题引言:数学作为一门基础学科，广泛应用于各个学科领域。
而Matlab作为一款数学软件，拥有强大的计算能力和丰富的函数库，成为了数学问题解决的得力工具。
本文将介绍如何使用Matlab解决数学问题，并通过实例来展示其强大的功能和灵活性。
一、Matlab的基本使用方法1. 安装和启动Matlab首先，我们需要从官方网站下载并安装Matlab软件。
安装完成后，打开软件即可启动Matlab的工作环境。
2. 变量和运算符在Matlab中，变量可以用来存储数据。
我们可以通过赋值运算符“=”将数值赋给一个变量。
例如，可以使用“a=5”将数值5赋给变量a。
Matlab支持常见的运算符，如加、减、乘、除等，可以通过在命令行输入相应的表达式进行计算。
3. Matirx和向量的操作Matlab中，Matrix和向量（Vector）是常用的数据结构。
我们可以使用方括号将数值组成的矩阵或向量输入Matlab，比如“A=[1 2; 3 4]”可以创建一个2x2的矩阵。
4. 函数和脚本Matlab提供了丰富的内置函数和函数库，可以通过函数来解决各种数学问题。
同时，我们还可以自己编写函数和脚本。
函数用于封装一段可复用的代码，而脚本则是按照特定的顺序执行一系列的命令。
二、解决线性代数问题1. 线性方程组求解Matlab提供了“solve”函数用于求解线性方程组。
例如，我们可以使用“solve([2*x + y = 1, x + 3*y = 1], [x, y])”来求解方程组2x + y = 1和x + 3y = 1的解。
2. 矩阵运算Matlab提供了丰富的矩阵运算函数，如矩阵的加法、乘法、转置等。
通过这些函数，我们可以快速进行矩阵运算，解决线性代数问题。
三、解决数值计算问题1. 数值积分对于某些无法解析求解的积分问题，Matlab可以通过数值积分方法求得近似解。
Matlab提供了“integral”函数用于数值积分，我们只需要给出被积函数和积分区间即可。
Matlab求解理论力学问题系列(二)典型机构的运动分析
—血內 sin(pi — «3^2 sin 巾 一QiS sin 0 = 0 ]
恋91 COS0 +COS02 + 如30 COS0 = 0
〉(5) j
由于0,0,02已在前面求出，因此得到关于內,02 的一组线性方程组。类似X=inv(A)*B可解出角速 度，从而可以获得角速度随时间或随6变化的关系 (图 5)。
步骤(4)：类似一元函数的泰勒展开式，= f(xo) + f'(xo){x — X0) + o(x — ®0)> 多兀函数为
fi(x) = f,(x*) + J(x*)dx + o(dx)
1 Matlab中非线性方程的求解及动画演示
案例1：如图1,已知四连杆机构ABCD, AB 杆长为如，BC杆长为a2, CD杆长为a3, AD距离 为cm。若AB杆以匀角速度5转动，初始d0 = Oo 求BC和CD杆的角度、角速度变化规律。
编程计算得到角度的变化关系后，可以算出任 意时刻各较的位置，以及BC杆上不同点的运动轨 迹(图3)：很明显B点轨迹是圆，C点轨迹是圆的 一部分(AB杆大范围运动时，CD杆只在小范围运 动)，而在BC杆上不同的点轨迹就很复杂了。
各较点的位置并连接起来，就得到了四连杆机构在 某一时刻的图象，延迟一定的时间后再画出下一时 刻的图象，就形成了动画。本问题中动画的源代码 见图4,其中plot函数表示画线段；hl是句柄，定义
ai COS & + Q2 COS 01 + Q3 COS(P2 — «4 = 0 1 ⑴
ai sin 9 + 恋 sin 休 + sin 0 = 0
J
方程(1)是关于转角0和02的非线性方程组，通 常没有解析解，下面给出一般的处理方法。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
适合用matlab解决的经典物理例题
适合用Matlab解决的经典物理例题在物理学领域，经典物理例题一直是学习和研究的重要内容。
而Matlab作为一种强大的数学软件，非常适合解决各种物理问题。
本文将从力学、电磁学和热力学等多个方面，选取一些经典的物理例题，通过Matlab进行分析和求解，展示Matlab在解决物理问题时的强大用途。
1. 简谐振动问题简谐振动是物理学中一个重要的模型，涉及到弹簧振子、单摆等问题。
通过Matlab可以很方便地求解简谐振动的运动规律。
对于弹簧振子的运动方程，可以通过Matlab进行数值模拟，得到振动的周期、频率、位移等参数，从而更好地理解简谐振动的特性。
2. 电场问题在电磁学中，电场是一个重要的研究对象。
通过Matlab可以很容易地分析不同形状的电荷分布所产生的电场分布。
可以通过Matlab计算出点电荷、均匀带电细棒等情况下的电场分布，并绘制出电场线图，直观地展现电场的分布规律。
这样的分析对于理解电场的性质和相互作用具有重要意义。
3. 热传导问题热传导是热力学研究的一个重要方面，涉及到导热方程的求解和热量分布的分析。
通过Matlab可以对不同材料和形状的热传导问题进行数值模拟和求解。
可以通过Matlab计算出棒状材料中的温度分布随时间的演化，从而得到材料的热传导性能。
这样的分析对于工程实践中的热设计和材料选型具有重要指导意义。
4. 万有引力问题在力学中，万有引力是一个经典的例题，涉及到行星轨道、卫星运动等问题。
通过Matlab可以很方便地进行万有引力场下的物体运动模拟。
可以通过Matlab计算地球和月球的引力作用下的月球轨道，从而揭示天体运动的规律和特性。
这样的模拟对于探索宇宙中天体运动规律具有重要帮助。
总结回顾：通过以上例题的分析，我们不仅了解了Matlab在经典物理例题中的应用，也可以发现Matlab在解决物理问题时的便捷和高效。
当然，实际物理问题可能具有更多的复杂性和多样性，需要结合理论分析和实验数据进行综合研究。
Matlab中常用的数学函数介绍与应用
Matlab中常用的数学函数介绍与应用引言：Matlab是一种强大的数学计算工具，它提供了丰富的函数库，可以方便地进行各种数学运算和数据分析。
本文将介绍一些常用的Matlab数学函数，并讨论它们的具体应用场景和用法。
一、线性代数函数1.1 dot函数dot函数用于计算两个向量的点积。
在向量计算中，点积可以帮助我们判断两个向量之间的夹角以及它们的相似程度。
例如，我们可以使用dot函数来计算两个特征向量之间的相似性，从而实现图像分类或者特征匹配。
具体用法：C = dot(A,B)，其中A和B是两个向量。
计算结果将存储在变量C 中。
1.2 inv函数inv函数用于计算一个矩阵的逆矩阵。
在线性代数中，逆矩阵对于求解线性方程组、求解最小二乘问题以及确定矩阵的特征值等具有重要作用。
通过使用inv函数，我们可以方便地求解这些问题。
具体用法：B = inv(A)，其中A是输入的矩阵，B是其逆矩阵。
1.3 eig函数eig函数用于计算一个矩阵的特征值和特征向量。
在许多数学和物理问题中，特征值和特征向量都具有重要的意义。
例如，在图像压缩和图像处理中，特征值分解可以帮助我们找到最佳的基向量，从而实现更好的图像压缩效果。
具体用法：[V,D] = eig(A)，其中A是输入的矩阵，V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵。
二、微积分函数2.1 diff函数diff函数用于计算一个函数的导数。
在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率，具有重要的应用价值。
通过使用diff函数，我们可以方便地计算函数的导数，从而求解一些最优化问题、优化算法以及信号处理等领域的相关问题。
具体用法：Y = diff(X)，其中X是输入的函数，Y是其导数。
2.2 int函数int函数用于计算一个函数的不定积分。
在微积分中，不定积分表示函数在某一区间上的面积或体积，对于求解曲线下面积、计算变量间的相关性以及估计概率密度分布等问题非常有用。
通过使用int函数，我们可以轻松地计算函数的不定积分。
matlab在数学建模中的运用
matlab在数学建模中的运用
Matlab广泛应用于数学建模中，因为它具有处理数学问题的强大功能和丰富的工具集。
以下是Matlab在数学建模中的一些常见应用：
1.解微分方程：Matlab提供了各种数值求解器和工具，可以解决各种常微分方程和偏微分方程，这对于动力学系统、控制系统和其他物理现象的建模与仿真非常有用。
2.优化问题：Matlab包括了丰富的优化工具箱，可用于解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划、整数规划等。
3.统计分析：Matlab提供了丰富的统计工具箱，可用于数据分析、拟合曲线、确定概率分布、执行假设检验等。
4.数值模拟：Matlab具有强大的数值计算能力，可用于模拟各种数学模型，例如物理系统、金融模型、生态系统等。
5.图形可视化：Matlab提供了丰富的绘图功能，可用于可视化数学模型的结果和解决方案，以及制作各种类型的图表和图形。
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>> t=1.8./cos(a);y=360*tan(a)-15.876./cos((a).^2);
>> plot(a,y,a,y1,'r',a,t,'b'),grid
4
x 10 3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
图 1 方程 360 tan( ) 4.9 3.324 / cos2 160 在区间 [0, 2 ] 上的曲线图
200
155
100
150
145
0 140
-100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
135 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5
图 2 在[0，1]区间上用图形放大法求解的效果图
图形法得到的结果简洁、直观，且易于理解。
atan((1/970*(208-6*1191^(1/2))^(3/2)-147/388*(208-6*1191^(1/2))^(1/2))/(9/3880*(208-6*119 1^(1/2))^(3/2)-468/485*(208-6*1191^(1/2))^(1/2)))-pi
仔细分析一下可以看出，该解太复杂！计算结果根本不能用。下面我们用迭代法来求
具体求法有两种方法：a) 图解法；b) 解析法
a) 图解法 利用消元法，消去参变量 t，得到
360 tan( ) 4.9 3.324 / cos2 160
（3）
这是一个非线性方程，在区间[0, 2 ] 上，利用 Matlab 软件画出曲线图形 1 如下
>> a=0:0.1:2*pi;y1=160;
atan((1/970*(208+6*1191^(1/2))^(3/2)-147/388*(208+6*1191^(1/2))^(1/2))/(9/3880*(208+6*11 91^(1/2))^(3/2)-468/485*(208+6*1191^(1/2))^(1/2)))+pi
atan((-1/970*(208-6*1191^(1/2))^(3/2)+147/388*(208-6*1191^(1/2))^(1/2))/(-9/3880*(208-6*1 191^(1/2))^(3/2)+468/485*(208-6*1191^(1/2))^(1/2)))
(3)
cos
y
v0t
sin(
)
1 2
gt
2
(4)
由（3）解得
t 10
cos
ln
1
x cos
2000
代入（4）得到
2000 tan
ln
1
36 cos
200
490
cos2
ln
2
1
36 cos 200
160
利用 Matlab 命令来求此方程的根。先建立 M-file: diedai.m
？问题：为什么使用迭代法只得到一个解？原因很简单，因为目标坐标是（360，160），
它位于第一象限，那么炮弹的发射角度 一定在 0 ~ 2 之间。
进一步思考： 如果要考虑水平方向的阻力且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数是 0.1，结果又 如何？
与第一个模型进行比较，主要区别在于水平方向上，炮弹的运动不在是匀速直线运动
t=
2*(208+6*1191^(1/2))^(1/2) -2*(208+6*1191^(1/2))^(1/2) 2*(208-6*1191^(1/2))^(1/2) -2*(208-6*1191^(1/2))^(1/2)
x=
atan((-1/970*(208+6*1191^(1/2))^(3/2)+147/388*(208+6*1191^(1/2))^(1/2))/(-9/3880*(208+6* 1191^(1/2))^(3/2)+468/485*(208+6*1191^(1/2))^(1/2)))
MATLAB
————应用篇
HaiNan University
一、 炮弹发射的角度问题
将炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为 200 米/秒，问要击中水平距离 360 米，垂 直距离 160 米的目标，当忽略空气阻力时发射角应为多少？
进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数 是 0.1，结果又如何？
由图形知道，根据微积分学中的介值定理，在 0 ~ 2 之间，方程（3）有两个解：一个
介于 0~1 之间，利用图形放大法，可找出方程（3）的该近似根大约为 0.46 ，如下图 2；
另一个介于 3~4 之间，大约为 3.6。（该图形略）
600
185Biblioteka 180 500175400
170
165 300
160
分析： 首先建立坐标系，如下图
y
(360, 160)
O
x
第一种情况：忽略空气阻力 根据抛物运动的规律，在水平方向上，炮弹是匀速直线运动。在 t 时刻下，运动方程
是：
tv0 cos( ) x0
(1)
在垂直方向上，在 t 时刻的运动方程是：
v0
sin( )t
1 2
gt 2
y0
(2)
其中参数 v0 200m / s ； (x0, y0 ) (360,160) 。需要确定 ?,t ?
解，为此，将原方程 360 tan( ) 4.9 3.24 / cos2 160 变形为
tan1 0.4444 0.0441/ cos2
编程如下：
>> x=0;
>> for k=1:20
x=atan(0.444+0.0441/(cos(x))^2);
end
>> x
x=
0.4629
b) 解析法 非线性方程组模型为：
tv0 cos( ) x0
(1)
v0t
sin( )
1 2
gt 2
y0
(2)
其中参数 v0 200m / s ； (x0, y0 ) (360,160) 。
在 Matlab 软件中，只需输入：（注： x ）
>> [t,x]=solve('t*200*cos(x)=360','200*sin(x)*t+1/2*10*t^2=160')
了，而是变速运动。水平方向上，炮弹的运动表示为
dv 0.1vcos() dt
初始条件： v0 200m / s
解此微分方程得到
v 200exp(0.1t cos( )) ，即
dx 200 exp(0.1t cos( )) 初始条件： x(0) 0
dt
积分得到
x 2000 (1 exp(0.1t cos( )))