教案高一数学人教版必修二 2.3.4平面与平面垂直的性质

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人教版高中数学必修二2.3.4 平面与平面垂直性质教案

平面与平面垂直的性质教学设计(一)知识与技能让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题. (二)过程与方法1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理; 2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用. (三)情感、态度与价值观1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培养学生逻辑推理能力; 2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想;3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性.(一)教学重点平面与平面垂直性质定理 (二)教学难点平面与平面垂直性质定理应用 (三)教学模式,学生自主探究（一）情境创设、引入课题复习回顾两个平面互相垂直定义、判定定理.生活感知教室里就有许多平面与平面垂直的例子.问题1 黑板所在面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 直观感知在黑板面内画地面垂线板书课题平面与平面垂直的性质（二）合作探究、形成知识(1)合作探究,证明定理抽象概括实际问题化归为数学模型动手操作小组合作例1 如图,已知平面α⊥平面β,CD αβ=, 直线,AB AB CD α⊂⊥于点B ,求证:AB ⊥β. 展示操作几何画板演示学生思路,CD B =β.则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直黑板地面βBDACα符号描述 ,,CD AB AB AB CD αβαββα⊥=⎫⇒⊥⎬⊂⊥⎭图形描述(2)小题竞答,夯实基础想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由:①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( ) ②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( )③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( ) 展示操作由几何画板展示命题3的示意图.强调条件由此我们也认识到,性质定理的成立,必须具备哪几个条件? 习惯引导我们在学习定义、法则或定理时,要紧扣其关键词.变式引入现在我们把问题3的条件改变一下,看看又有什么样的结论?(3)类比迁移,发展思维问题2 面α⊥面β,过一个平面α内任意一点P 作平面β的垂线a ,则直线a 与面α具有板书推论两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. （三）小试牛刀、应用巩固过渡引入性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗? 问题展示例2 如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线a ,a βα⊥⊄,试判断直线a 与平面α的位置关系. 逻辑推理 l β=,所以所以//a b 所以//a α. βBDACααalβαalβ变式练习改变条件,结论如何?如图,已知平面α⊥平面β,且l αβ=,直线//a α,且a l ⊥,试判断直线a 与平面β的位置关系.学生交流小组合作b γ=,由又因为a l ⊥,所以⊥β,且l αβ=,所以a β⊥,即直线a 与平面激发学习兴趣! 课后延展作业意图 (四)归纳总结、提升认识1、我们主要学习了:性质定理2、我们还了解了: 转化思想线线垂直↔线面垂直↔面面垂直(五)布置作业、板书设计教材P 73页A 组练习第5题,CD AB CDαβ=⎫⎬⊥符号描述。

高一数学教学课件人教A版必修二平面与平面垂直的性质

二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上的圆周角是
直角、勾股定理的逆定理……
2.利用平移：a⊥b,b∥ca⊥c；
3.利用线面垂直定义：a⊥α,bαa⊥b；
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）；
……
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2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面垂直。

a

a a
探究
A1 A
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面面垂直的性质
D1
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α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
规律小结
一、怎样证线线平行：
1.利用平面几何中的定理：三角形（或
梯形）的中位线与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、…… 2.利用公理4； 3.利用线面平行的性质定理； 4.利用面面平行的性质定理； 5.利用线面垂直的性质定理；
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例 , a , a , 判断a与位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
b l a β l b b 又a a // b a // b bl
在γ内过A点作直线 a ⊥n，在γ内过A点作直线 b⊥m，
l β α
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a γ
m b A
n

高中数学人教版必修2 2.3.2 平面与平面垂直的判定教案(系列四)

平面与平面垂直的判定【教学目标】1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.【重点难点】教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.【课时安排】1课时【教学过程】复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB ,∠A ′O ′B ′都是二面角αlβ的平面角. ③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB ⊥β，AB ∩β=B ，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB⊂α,知AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.应用示例例1如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC⊂α,∴PA⊥BC.∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC.∵BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.变式训练如图8，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD =CD =BD ,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA =OB =OC . ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD . ∴OD ⊂平面ABD . ∴平面ABD ⊥平面ABC .（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC , ∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD . 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD . ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC ⊥平面ABD . ∴OC ⊥OE .∴△COE 为直角三角形. 设BC =a ，则CE =a 23，OE =a 21，∴cos ∠OEC =33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE =10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB ,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG =60°,由此,得EG =EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m .变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB =45°. 求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB . ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO =45°. 设CD =a ,则CE =a 22,∵CO ⊥OE ，OC =OE ， ∴CO =a 21.∵CO ⊥DO ,∴sin ∠CDO =21=CD CO . ∴∠CDO =30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O ,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E ,连接AE ,则∠CEO 为二面角α-AB -β的平面角.这一过程要求学生熟记. 拓展提升如图11，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图11（1）求证：EN ∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.(1)证明：∵AD ∥BC ,BC ⊂面PBC ,AD ⊄面PBC , ∴AD ∥面PBC .又面ADN ∩面PBC =MN , ∴AD ∥MN .∴MN ∥BC . ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC . 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN ∥DM .∴EN ∥面PDC .（2）证明：连接PE 、BE ,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD =60°, ∴BE ⊥AD .又∵PE ⊥AD ,∴AD ⊥面PBE .∴AD ⊥PB . 又∵PA =AB 且N 为PB 的中点, ∴AN ⊥PB .∴PB ⊥面ADMN . ∴平面PBC ⊥平面ADMN .（3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥PF . ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt △AEB 中，BE =3，AE =1，AB =2,∴EF =23. 又∵PE =3,∴tan ∠PFE =233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组1、2、3.。

高中数学必修二教案：2.3.4 平面与平面垂直的性质

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD中，底面ABCD是边长为a为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

高中数学两平面垂直教案

高中数学两平面垂直教案
教学内容：高中数学
教学目标：
1. 理解两平面垂直概念；
2. 掌握两平面垂直的判定方法；
3. 能够应用两平面垂直的性质解决实际问题。

教学重点和难点：
重点：两平面垂直的判定方法；
难点：应用两平面垂直性质解决实际问题。

教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学投影仪；
3. 教具：黑板、粉笔、尺子、直角三角尺。

教学流程：
一、引入
通过一个实际问题引入两平面垂直概念，引导学生思考两平面垂直的条件。

二、讲解
1. 通过示意图和几何常识解释两平面垂直的定义；
2. 分别介绍两平面垂直的判定方法：法向量垂直法和两平面交线平行法。

三、练习
1. 给学生几道简单的题目，让他们应用两平面垂直的判定方法来判断两平面是否垂直；
2. 给学生提供应用题，让他们应用两平面垂直性质解决实际问题。

四、拓展
引导学生思考两平面垂直概念在现实生活中的应用，并提出相关问题进行讨论。

五、总结
对本节课所学内容进行总结，强调两平面垂直的重要性和应用价值。

六、作业
布置相关练习题目，巩固学生对两平面垂直概念的理解和掌握。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够清楚地理解两平面垂直的概念、掌握两平面垂直的判定方法，并能够灵活应用这些知识解决实际问题。

在教学中，可以通过更多的实例和练习来加深学生的理解，并引导他们思考两平面垂直的应用场景，以提高他们的综合能力。

人教版高一数学《2.3.4平面与平面垂直的性质》课件

2.长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，平面A1ADD1内的直线A1A 与平面ABCD垂直吗?
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面的位置关系。
解:在内作垂直于与交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥ 平面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，

人教版高一数学教案-直线与平面垂直性质及应用

教案（2）如图，已知直线a ，b 和平面α. 如果a ⊥α， b ⊥α，那么直线a 与b 一定平行吗？直观观察，这两个问题中的直线都是相互平行.不失一般性，我们以问题（2）为例加以证明. 由于无法把两条直线a ，b 归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”. 证明：如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O .显然点O 不在直线a 上，所以点O 与直线a 可以确定一个平面，在该平面内过点O 做直线//b a '，则直线b 与b ' 是相交于点O 的两条不同直线，所以直线 b 与 b ' 可以确定一个平面β. 设αβ=c ，则点O 在直线c 上. 因为a ⊥α，b ⊥α，所以a ⊥c ，b ⊥c.又因为//b a '，所以 b c '⊥.这样在平面 β 内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b '与c 垂直，这显然不可能.所以假设不成立，因此b // a . 证明完毕.上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立.反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”. 它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法会收到更好的效果.同学们，你们还有不同的证明方法吗？让我们看一看，从另一个角度如何证明：方法2 如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O ，显然点O 不在直线a 上，所以点O 与直线a 可以确定一个平面β，在β内过点O 做直线//b a '，则b α'⊥，因为b ⊥α，且直线b '与b 相交于点O ，这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾. 所以假设不成立，因此b // a. 证明完毕. 通过问题（2）的证明，同学们，你能否总结一下，垂直于同一个平面的两条直线，具有怎样的位置关系呢？直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 同学们，你能用图形语言和符号语言，表示定理的内容吗？图形表示和符号表示： //.a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直，判定这两条直线互相平行. 它揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.巩固练习（一）：1、直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面.2、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角（B）一个角为0°，一个角为90°（C）两个角均为0°（D）两个角均为90°3、如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，且EF=12PD，G，H分别为PC，DC中点. 求证：FG//平面ABCD.请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.思考：在aα⊥的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？证明：因为直线b在平面α外，所以假设b与α相交.若b⊥α ，因a⊥α，由线面垂直性质定理，则有a // b，这与已知a ⊥b 矛盾；若b 与α不垂直，设b A α= 取直线b 上一点P ，作PO ⊥α ，垂足为O ．连接AO ，则有PO //a ，且PO ⊥AO ．又因为a ⊥b ，所以PO 垂直b ，显然不成立. 综上，假设不成立，所以b // α.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若b ⊄α ，且b ⊥a ，则b //α. 这样我们又得到一个判断直线与平面平行的方法.如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论呢？证明：在平面α内任取两条相交直线m ，n .⊥α//β，⊥m //β，n //β. 由线面平行性质，⊥在平面β内存在两条相交直线m n ''，，分别与m ，n 平行.⊥a ⊥α，⊥a ⊥m 且a ⊥n .⊥a m a n ''⊥⊥，.又 m n ''，是平面β内两条相交直线， ⊥a ⊥β.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若β//α ，则a ⊥β.这样我们又得到一个判断直线与平面垂直的方法.上述两个问题，不仅呈现出线面垂直的性质，而且还体现了，“平行”与“垂直”之间可以进行相互转化，同学们要认真思考，可以尝试着提出更多的问题，发现更多的结论.例题：如图，直线 l 平行于平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等.分析：要证明直线l 上各点到平面α的距离都相等，只需证明直线l 上任意两个点，到平面α的距离相等，具体证明如下：证明：过直线l 上任意两点A ，B 分别作平面α的垂线AA 1，BB 1，垂足分别为A 1，B 1.11,AA BB αα⊥⊥，11//AA BB ∴，于是直线AA 1，BB 1确定一个平面. 设直线AA 1，BB 1确定的平面为11,A B ββα=11//,//l l A B α∴ ，所以四边形AA 1B 1B 是矩形. 11AA BB ∴= 由A ，B 是直线l 上任取的两点，可知直线l 上各点到平面α的距离相等.当一条直线与一个平面平行时，直线上所有点到平面的距离都相等，此时，我们把这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.当两个平面平行时，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.随堂检测：如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC=CC 1=1.（1）直线A 1B 1到平面ABCD 的距离为多少？（2）直线A 1A 到平面BCC 1B 1的距离为多少？（3）直线CC 1到平面BDD 1B 1的距离为多少？（4）若E 为A 1B 1中点，判断直线A 1C 与平面BEC 1是否平行，若平行，求出直线A 1C 到平面BEC 1的距离；若不平行，请说明理由. 通过这几个题目，我们不难看出，在研究直线到平面的距离时，一般都转化成求点到平面的距离. 同学们在解题时要有这种转化意识. 同学们请想一想，前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离. 例题推导棱台的体积公式: 1().3V h S S S S ''=++棱台其中S '，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 是高. 棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积. 具体过程如下：如图，延长棱台各侧棱交于点P ，得到截得棱台的棱锥.过点P 作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN//AD1.证明直线与直线平行，常用的几种方法：（1）平行公理；（2）线面平行性质定理；（3）线面垂直性质定理；（4）面面平行性质定理；5、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α ，垂足为A，EB⊥ β ，直线a β ，a⊥AB. 求证：a//l.小结：作业1如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点，求证：DF//平面ABC.作业2我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直问题，接下来你还想研究什么问题？怎样去研究呢？【课后作业参考答案】证明：取AB中点G，连接FG，CG.∵F是EB的中点，∴FG//AE，且FG=12 EA.∵EA和DC都垂直于平面ABC，由线面垂直性质定理∴EA//DC，且EA=2DC.∴FG//DC，且FG=DC.∴四边形CDFG为平行四边形.∴DF//CG.又∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF//平面ABC.。

高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1）求证：ABC PA 平面⊥（2）当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。

高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》

高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》事业的成功，往往在于再坚持一下的努力之中，盲目急躁是不足取的。

下面是XX小编为您推荐高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》。

1 教材结构与内容简析：1.1 本节内容在全书及章节的地位；两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系，特别是已学习了直线和平面垂直判定定理，二面角的平面角，这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

1.2 数学思想方法分析：1.2.1 从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，降维思想。

1.2.2 在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。

2 教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：2.1 基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变式，能利用它们解决相关的问题。

2.2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

2.3 创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。

2.4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。

3 教学重点、难点、关键：重点：判定定理的证明及变式探索难点：判定定理的变式。

关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。

4 教材处理：建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。

高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案

高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。

一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。

其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。

本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形;（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2-新人教A版高中必修2数学教案

2. 平面与平面垂直的性质【教学目标】（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

难点：运用性质定理解决实际问题。

【教学过程】(一) 复习提问1.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.2.面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(二)引入新课已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！（三）探求新知已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β(让学生思考怎样证明)分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE又∵AB⊥a, BE∩a = B,∴AB ⊥β面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β=a, AB ⊂α, AB⊥a 于 B ，则 AB ⊥β师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。

这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。

同学们在学习中要认真理解和体会。

（四）拓展应用例 1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a ⊥β, a ⊄α,试判断直线a 与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)解：在α内作垂直于α 、β交线AB 的直线b ，∵ α⊥β∴b ⊥β∵ a ⊥β∴ a ∥b ,又∵a ⊄α ∴ a ∥α课堂练习：73P 练习第1、2题73P A 组第1题（四）当堂检测1.如图，长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，判断下面结论的正误。

人教新课标版数学高一必修2讲义直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点) 3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P 70的内容，完成下列问题．文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( ) (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题．文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF 与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直D[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．][小组合作型]线面垂直性质定理的应用如图2-3-31所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N 是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.图2-3-31求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．【精彩点拨】(1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AM，ON＝12AB.【自主解答】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. (2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊12DC綊12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．[再练一题]1．如图2-3-32，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.图2-3-32【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a ∥l .面面垂直性质定理的应用如图2-3-33所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .图2-3-33(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .【精彩点拨】 (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形―→BG ⊥AD ―――――――→面PAD ⊥底面ABCDBG ⊥平面PAD(2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可．【自主解答】 (1)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，由已知∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵G 是AD 的中点， ∴BG ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．[再练一题]2．如图2-3-34，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图2-3-34【证明】∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]垂直关系的综合应用探究1如图2-3-35，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC ＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？图2-3-35【提示】取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【提示】①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图2-3-36，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD；图2-3-36(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理．【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[再练一题]3．如图2-3-37，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.图2-3-37【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．【答案】 D2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.【答案】 A3．如图2-3-38，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE ＝________.图2-3-38【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.【答案】134．如图2-3-39，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________.图2-3-39【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.【答案】45°5．如图2-3-40，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.图2-3-40【证明】在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。

人教版高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)

高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版直线与平面垂直的判定姓名：单位：《直线与平面垂直的判定（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；② 通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线）、纸（表平面）等.六、教学过程：验证跨栏的支架与地面是否垂直，七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.八、教学反思：本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以学生的发展为本”，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传《直线与平面垂直（第一课时）》教学设计授数学知识，而且要在教学过程中时刻体现思想性，从而在提高学生在知识水平的同时，提高他们的素质，丰富他们的精神世界.点评这堂课给人的感觉是充满青春的朝气，一气呵成，如沐春风。

直线、平面与平面垂直的性质

2、3.3直线与平面垂直的性质§2、3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。

3、情态与价值通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学重点、难点两个性质定理的证明。

三、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。

（2）用具：长方体模型。

四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

（自然进入课题内容）（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。

如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？A1D1Ca b αC1B1D图 2.3-4 图2.3-5 2、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。

（三）应用巩固例子：课本P.74例4做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。

（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。

高一数学直线与平面垂直的性质

l
a b a b
l
b
l
a
思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
a b
c
α
O
思考4:如果直线a，b都垂直于平面 α ，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？
思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？
定理垂直于同一个平面的两条直线平行
思考6:上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理.用符号语言可表述为： a , b a // b .该定理有什么功能作用？
C
例2 如图，已知 a b , b , a . 求证： a // .
β
b
l
A
a
α
B
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1） MN CD ; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
l
b α β a
思考4:设l为直线，α 、β 为平面，若l⊥α ，l⊥β ，则平面α 、β 的位置关系如何？为什么？
l α
β
理论迁移
例1 如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， a , a AB , 求证：a // l .
β B α l A a
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考1:设a，b为直线，α 为平面，若a⊥α ，b//a，则b与α 的位置关系如何？为什么？
a
b
α
思考2:设a，b为直线，α 为平面，若a⊥α ，b//α ，则a与b的位置关系如何？为什么？
b
l
aαຫໍສະໝຸດ 思考3:设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，α //β ，则l与β 的位置关系如何？为什么？