线性代数 2-2 第2章2讲-矩阵的运算(1)
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
线性代数第二章课件2-2
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
18
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
19
2
b1
k 1
s
s
s
(cij )
a2k bk1
a2k bk 2 a2k bkn
k 1
k 1
k 1
s
s
s
amk bk1 amk bk2 amk bkn m n
k 1
k 1
k 1
12
2. 矩阵乘法不满足下面两条性质
(1) 矩阵乘法不满足消去律。
例 A 1 1 B 1 1
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
29
AX B
30
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
线性变换
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 amn xn
可表示为：
并把此乘积记作 C AB .
8
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
线性代数--2-2-矩阵的运算
一、矩阵的加法
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
aij
,
am1 am1 amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
二、数与矩阵的乘法
§2.2
矩 阵 的 运 算
• 一、矩阵的加法 • 二、矩阵的数乘 • 三、矩阵的乘法 • 四、其它运算 • 复习小结
程学汉
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
一、矩阵的加法
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 练习： 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
三、矩阵与矩阵的乘法
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3
0
0
k
Ak
0
0
32 3
3 32 0 3
线性代数第二章第一节-矩阵的概念
矩阵的基本性质
01
02
03
04
矩阵的加法
两个矩阵相加时，对应位置的 元素相加。
矩阵的数乘
一个数与一个矩阵相乘时，该 数与矩阵的每个元素相乘。
矩阵的乘法
两个矩阵相乘时，必须满足左 矩阵的列数等于右矩阵的行数 。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩 阵，记作A^T。
性质
逆矩阵是唯一的；如果A可逆，则A的逆矩阵也唯一；如果A和B都可 逆，则(A+B)-1=A-1+B-1；如果A可逆，k为非零常数，则kA1=(k-1)-1KA。
行列式的定义与性质
定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)，即由n个 数a1,a2,...,an组成的n阶方阵A的行列式是 a1*a2*...*an。
规则
矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
例子
考虑两个矩阵$A=begin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5 & 6 7 & 8 end{bmatrix}$，则$A+B=begin{bmatrix}6 & 8 10 & 12 end{bmatrix}$。
特殊类型的矩阵
01
02
03
04
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其 他元素都为零的矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的元素都为零的 矩阵。
下三角矩阵
主对角线以上的元素都为零的 矩阵。
线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算
p
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘法模型之：A2 2 B2 2
23 2 1 -9 15 -197
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
例设 例 设
A A0 0
1 1
0
0 1 , 1 ,
这一步很关键 也很巧妙!
计算 A2, A3, An (n>3). 计算 A2, A3, An (n>3).
解 设
A = E + B,
0 1 0 其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 , 0 0 0
设 设 2 5 3 2 2 5 3 2 9 5 1 0 , B 4 5 , C 9 5 . A A 1 0 , B 4 5 , C 4 3. 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之：A2 2 24 2 2 B2 AB
2 4
4 16 1 2 3 6 8 1 -9 15 -197 0 4 2 4 2 -4 BA 5 -13 -7 0 3 6 1 2
清 空
32 , 16 0 . 0
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
线性代数第二章 矩阵代数 S2矩阵的代数运算
(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性 运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定 理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
吉林大学《线性代数》线性代数06课xm2-2第二章
ABCD ( AB)(CD) A(BC)D ACBD ( A B)( A B) AA AB BA BB ( A B)( A B) AA BA AB BB (3A 4B)( A 2B) 3AA 4BA 6AB 8BB
A
1
3
2 1
0
1
1 3
AT
2
1
0 1
转置的性质
(i) ( AT )T A (ii) ( A B)T AT BT
(iii) ( A)T AT
(iv) ( AB)T BT AT
( AB)T BT AT
3 4 5
1
2
1 2
1 2
3 3Biblioteka 4 45 5 9 18
12 24
1 3 1
| 10A | 1000 | A |
第二章 第二节
矩阵的运算
矩阵的加法
❖ 定义2：两个 m n 矩阵A,B
A (aij )
B (bij )
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1 bm1 am2 bm2 L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn bmn
加法运算规律
cos k
sin
sin
cos
cos k cos sin k cos
sin cos
k k
sin sin
cos k sin sin k cos
sin
k
sin
cos
k
cos
cos(k sin(k
线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵,记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L,简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===,,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素就是实数的矩阵称为实矩阵,元素就是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵:方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作:A n 。
行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。
相等矩阵:AB 同型,且对应元素相等。
记作:A ＝B 零矩阵:元素都就是零的矩阵(不同型的零矩阵不同) 对角阵:不在主对角线上的元素都就是零。
单位阵:主对角线上元素都就是1,其它元素都就是0,记作:E n (不引起混淆时,也可表示为E )(课本P29—P31)注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式就是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅就是一个数表,它的行数与列数可以不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的与记作A B +,规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵就是同型矩阵时,才能进行加法运算。
(课本P33) 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+;()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记,A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
线性代数 2-2矩阵的加、乘运算
a1 x a0是x的k次多
k 1
项式，Ａ是n阶矩阵，则
f ( A) ak A ak 1 A
称为矩阵Ａ的k次多项式
Байду номын сангаас
a1 A a0 In .
若 f ( x ), g( x ) 为多项式， Ａ，Ｂ皆为n阶矩阵，则
f ( A) g( A) g( A) f ( A).
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 , x xn
b1 b2 b bm
则线性方程组可以表示为矩阵形式
Ax b .
2.2.5
a1n a 2 n . amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法
•
• • • • •
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6
矩阵的加法 数与矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法 几种特殊类型的矩阵 方阵乘积的行列式 方阵的幂和方阵的多项式
2.2.1 矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
B 1.定义 设 A a ij 是一个m s 矩阵， bij 是一个
2.2.3 矩阵与矩阵相乘
s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中 s cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
线性代数：2.2 矩阵的运算
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。
3.矩阵乘法不满足消去律，
例 设 A 12 42
2
2
2.2.5 方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A; 2 kA kn A;
3 AB A B; AB BA .
证明: a11 a1n
例 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明 设C 1 ( A AT ),
2
则CT 1
A AT
T
1
( AT
A)
C,
所以C为对称阵.
2
2
设B 1 ( A AT ), 则BT 1
2
2
A AT
T 1 (AT A) B,
2
所以B为反对称阵.
A 1 (A AT ) 1 (A AT ) C B, 命题得证.
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
A 2 0 1, 1 3 2
1 7 1 B 4 2 3 ,
线性代数第二章矩阵及其运算
线性代数第二章矩阵及其运算$1.矩阵定义1 由m*n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。
为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。
以数. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵 . 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。
如果那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
注意不同型的零矩阵是不同的。
矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。
例1工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中。
例2一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。
例3n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式表示一个从变量给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。
反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。
在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。
这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）又如线性变换对应n阶方阵这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。
对角阵也记作$2.矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设有两个m*n矩阵A=(a_{ij})和B={b_{ij}},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
线性代数(行列式新)
b b ba
将第 2,3,,n 列都加到第一列上,得
a n 1 b b b b
a n 1 b a b b
D a n 1 b b a b
a n 1 b b b a
-28-
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba
1b bb
ri r1 a (n 1)b
-2-
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
例如：
a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
an2 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
a21 a23 a2n
M12
a31
a33
a3n
an1 an3 ann n1
A12 (1)12 M12
-26-
推论5 由 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵 A11 A21 An1
A
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
伴随矩阵——研究可逆矩阵
-27-
例6 解
a bbb
ba bb计算 n 阶行源自式 D b b a ba11 a1k p11
设为 D1
p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
b11 b1n q11
0
设为 D2
q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn
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1
3 0
2 4
1
3 0
13
0
51，BA
1 2 4
1
3 0
1 2
0 1
1
3 0
8 4
1 3 0
3 6 . 12
注 当AB不是方阵时，AB 、BA 不是同型矩阵.
10
二、线性变换与矩阵乘法(1)
例2
求矩阵
A
1 1
11，B
2
2
11，C
2 1
33，D
1 2
11，
计算 AB 、BA、AC、AD.
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第二讲 矩阵的运算(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
一、矩阵的线性运算
定义2.2—矩阵的相等
设A (aij )mn , B (bij )mn 是两个同型矩阵， 规定A B aij bij , (i 1, 2,, m, j 1, 2,, n). 即完全一样的两个矩阵才相等.
bmn
即将两个矩阵的对应元素相加.
4
一、矩阵的线性运算 注 只有两个矩阵同型才能进行加法运算.
负矩阵 记 A (aij ，) 称 A为A 的负矩阵. 矩阵的减法 A B A (B)
性质2.1—矩阵加法运算规律
(1) 交换律 (2) 结合律
A B B A； (A B) C A (B C).
(3) ( A B) A B； (4) A n A
6
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
二、线性变换与矩阵乘法(1)
设变量x1 、x2与变量y1 、y2 、y3 关系
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3
x2
a21 y1
a22 y2
a23 y3
变量y1 、y2 、y3与变量z1 、z2 关系
y1 b11z1 b12 z2
y2
b21z1
b22 z2
y3
b31z1
b32 z2
则变量x1 、x2与变量z1 、z2 关系应为
x1 x2
(a11b11 a12b21 a13b31)z1 (a11b12 a12b22 a13b32 )z2 (a21b11 a22b21 a23b31)z1 (a21b12 a22b22 a23b32 )z2
定义2.5—矩阵的乘法
设A (aij )是一个m s矩阵，B (bij )是一个s n矩阵，那么规定矩阵
A与B的乘积是一个m n矩阵C (cij )，其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1, 2,, m ; k 1
j 1, 2,, n)，
A
a11
a21
a12 a21
a13 a21
，
b11 B b21
b31
b12
b22
，
b31
C
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
8
二、线性变换与矩阵乘法(1)
例3
设f (x) x2 3x 1, A 1
1
0
求f ( A).
0 1 1
2 0 1 2 0 1 4 1 3
解
A2 1
1
0
1
1
0
3
1
1
0 1 1 0 1 1 1 2 1
4 1 3 6 0 3 1 0 0
f
( A)
A2
3A
E
3
1
1
3
3
0
0
1
0
1 2 1 0 3 3 0 0 1
记为C AB.
注 (1) Cmn Ams Bsn 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.
(2) A、B为方阵，且A B时，A B A A A2.
9
二、线性变换与矩阵乘法(1)
1 1
例1
设矩阵
A
1 2
0 1
3 0
,
B 2 4
3
，求
AB
及
BA.
0
解
AB
1 2
0 1
1 1 0
0
1
1
1 1 1
12
3
一、矩阵的线性运算
定义2.3—矩阵的加法
设A (aij )mn , B (bij )mn 是两个同型矩阵，那么矩阵 A 与B 的和记作A B ，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
a12 b12 a22 b22
a1n b1n
a2n
b2n
am1
bm1
am2 bm2
amn
解
AB
1 1
1 2
1
2
1 1
0 0
00，
2
BA
2
1 1 1 1
1 3
1
3
33，
1 AC 1
1 2 1 1
3 3 3 300，AD1 11 1 1 2
1
1
3 3
0 0
注 (1) 矩阵乘法一般不满足交换律； (2) AC AD不能保证C D.
11
二、线性变换与矩阵乘法(1)
2 0 1
5
一、矩阵的线性运算
定义2.4—矩阵的数乘运算
数与矩阵A 的乘积记为 A，规定为
a11 a12 a1n
A
A
a21
a22
a2n
am1
am 2
amn
即数乘矩阵就是用数乘以矩阵的每一个元素.
性质2.5—数乘运算满足的运算规律
(1) () A ( A)；
(2) ( ) A A A；