常系数齐次线性微分方程组.

合集下载

常系数齐次线性微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。

4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程解读

1 , 2 ,L, n
均为实根
方程 ( ) 的通解可表示为
x c1e 1t c2 e 2t cn e nt
②若特征方程有复根因方程的系数是实常数。复根将成对共轭出现设
1 a ib 是方程的一个特征根
2 a ib 也是一个特征根则方程 ( ) 有两个复值解
e e
(a i b ) t (a i b ) t
e (cos bt i sin bt )
ea t (cos bt i sin bt )
at
对应两个实值解
e cos bt , e sin bt
at
at
例1 解
求方程 x 2 x 3x 0
第一步：求特征根
的通解。
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解定义如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
dnx d n 1 x a1 (t ) n 1 n dt dt dx an 1 (t ) an (t ) x f (t ) dt ()
三、变系数齐次线性方程
欧拉(Euler) 方程
n n 1 d x d x dx n n 1 t a1t an1t an x f (t ) n n 1 dt dt dt
其中 a1 , a2 ,..., an 为常数。
引入自变量代换
t eu , u ln t
类似方法进行下去，可得

4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程

x
(n)
a1 x
( n 1)

an1 x an x 0
1、复值函数定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解定义如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程

常系数高阶齐次线性微分方程

总结词
通过幂级数展开来求解高阶线性微分方程的一种方法。
VS
详细描述
幂级数法的基本思想是将未知函数表示为一个幂级数，然后利用微分方程的性质，将原方程转化为一个递推关系式，求解这个递推关系式可以得到幂级数的系数，从而得到原方程的解。这种方法适用于具有特定形式的未知函数的高阶线性微分方程。
积分因子法
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在量子力学中用于描述粒子的波函数随时间的变化。例如，在求解氢原子能级问题时，需要用到此类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁波等时，常系数高阶齐次线性微分方程可以用来描述波的传播和演化。
热传导问题
在求解热传导问题时，常系数高阶齐次线性微分方程可以用来描述温度随时间和空间的变化。
在工程问题中的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述系统的动态特性。例如，在航空航天、化工等领域中，此类方程被广泛应用于各种控制系统的建模和仿真。
信号处理
在信号处理中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述信号的滤波、预测和补偿等过程。例如，在通信、雷达和图像处理等领域中，此类方程被广泛应用于信号处理算法的设计和实现。
02 方程的解法
特征方程法
总结词
通过解特征方程来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
特征方程法的基本思想是将高阶线性微分方程转化为多个一阶线性微分方程来求解。首先，我们对方程进行整理，得到一个关于未知函数和其导数的多项式方程，然后令其为0，得到一个关于未知函数的多项式方程，即特征方程。求解特征方程，可以得到一组根，对应于原方程的一组解。

关于常系数齐次线性微分方程组的解法研究

＝．Ｙ茸＝Ｉ
ｔ‘一ｅｅ＋１
Ｙ（Ｄ（一１２ … ，一１，ｋ＋ｊ＇，）
ａ２一 — —广
’
ｄｙｅ，．
＝＾．
代入的表达式得：
１一￡２ｅｅ＋一２ｔ一ｅ＋１ｅ
ｅＡ＝ｔ
ｌｌ
。
．
ＹｋｌＹｋ２
【ａ，・ｅ。０
解之得
“ ０
。ｌ一
ｄ
●＿＿一
ｚ
● Leabharlann 出：１
●
：
ｅ＝１，。
＾
＾
丑对每一个ｋ一１２ … ，有ｐ，，５郡
一ｅ＋２ ‘ ２ ‘ ｅ一
— — — 一 ’
●＿一
岁１ｄ岁１
ｄｔ
：
●
ｌ
１
于是有
ｅｒ— ｒ￡，ｅ（）ｒ＝／（）ｅ￡，。一ｒＯ，（）
：
●
ｓ
即得方程组
ｒｆｅａｔ２。＋ “ｌｔ＋ａｏ，ｅ一２２＋ａ１ａｔ，
于是
ｙｋｌ
由此解出
—
０Ｏ
一￡‘ ｅｅ＋ ‘ — ｔｅ
ｔｅｔ＋ｅｅ
ｔ
Ｃｂｔｎ
，
Ｙ（１ｋ）一（ ‘ ｌ＋＾），Ｇｕ】ｔｅ
以下说明如何利用循环公式求方程组的通解．
先来推导循环公式 Ⅲ ．于方程对
于是其中

常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法

Y
C1e1xT1
C2e2xT2

Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)

c2 e 2 x

c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内容
一阶常系数线性齐次方程组的解法高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x

常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程是研究微分方程的一个重要类别。

它是指形如dy/dx=f(x)或者F(x,y,yy...,y^(n))=0，其中f(x)和F(x,y,yy...,y^(n))是x的多项式函数，或者更一般地说，是某个定义域内的可积函数。

研究常系数齐次线性微分方程的方法有很多，包括拉格朗日求解法、拉普拉斯变换、幂级数解法等．首先，我们来讨论拉格朗日求解法。

拉格朗日求解法是针对常系数齐次线性微分方程的一种可行的解法，它将常系数齐次线性微分方程转换为一个特殊方程组，每个方程组的近似解就是线性微分方程的普遍解，也就是解析解。

解析解可以提供常系数线性微分方程的有界性、有效性及其它特性的结论。

其次，我们来讨论拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一种有助于求解常系数齐次线性微分方程的方法，可以将常系数齐次线性微分方程转换为一个独立于空间变量x的时间变量t的线性系统。

拉普拉斯变换可以大大简化此类方程的求解，而且还可以利用其它线性系统的技术来求解相关方程，例如，矩阵求解法及线性系统的坐标变换。

最后，我们来讨论幂级数解法。

幂级数解法是求解常系数齐次线性微分方程的另一种可行的方法，它将方程的解表示为一个无穷级数式，形如y= a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+…+a_nx^n。

一般来说，幂级数解法主要利用线性求解法来求解微分方程，其关键步骤是求解微分方程的两边均为幂级数的特殊情况，即称之为“特殊幂级数”。

以上是常系数齐次线性微分方程的相关知识介绍，从以上的分析可以看出，常系数齐次线性微分方程是一个相当复杂的问题，涉及到很多的理论和数学技术，解决它的方法有很多种，需要结合具体的问题进行深入的研究。

总结起来，常系数齐次线性微分方程是一个重要的研究对象，其研究方法有很多，主要包括拉格朗日求解法、拉普拉斯变换和幂级数解法等。

不论是从理论上还是从实际应用角度来考虑，都必须深入了解这个重要的问题，以此为基础在推进相关研究的发展，从而使得更多的研究者能够从中受益。

常微分方程33线性常系数齐次方程

2! 4!
3! 5!
cos t i sin t ei t cos t i sin t
cos t 1 (ei t ei t )
2
sin t 1 (ei t ei t )
2i
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i 的共轭. 性质1: et et
设特征方程有k 重根 1 ,则有 F (1) F ' (1) F (k1) (1) 0, F k (1) 0
（1）若 1 0 则特征方程有因子k，因此，
an an1 ank1 0
则特征方程有形式：n a1n1 ankk 0
则方程相应地有两个复值解：
e(i )t et (cos t i sin t) e(i )t et (cos t i sin t)
由定理3.12知它们的实部和虚部也是方程的解，
故方程的两个实值解为：et cos t, et sin t
14
2 特征根有重根
因此有解 et , e2t ,te2t . 方程通解为：
x(t) c1et c2e2t c3te2t . 其中 c1, c2, c3 为任意常数.
19
例2：求 d 4 x x 0 的通解. dt 4
解：特征方程 4 1 0 故特征根为1 1, 2 1, 3 i, 4 i
nent

nn1ent
1
11
e(1 2 n )t 1

1n 1
2

n2 1
n

nn1

(
1 jin
i

j

常系数齐次线形微分方程

常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程中的一类，其特点是方程中的系数是常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数的最高阶导数项与其它项之间是线形关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理学中有广泛应用，如振动、波动、热传导等。
THANKS
感谢观看
要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较为复杂，需要使用递推关系和数学归纳法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法，将非齐次方程转化为齐次方程，再利用已知的齐次方程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等领域有广泛应用，如振动问题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对方程进行积分，得到一个关于未知函数的积分式。最后通过求解代数方程，得到未知函数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述

常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法

常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组（LCCDE）是一类与定常差分方程组（LDE）类似的微分方程组，区别在于其中的系数是常数。

例如，LCCDE可以被表述为：
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。

矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法，它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。

更具体地说，矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组，采用矩阵乘法来求解此方程组，并将答案代入原微分方程组中，从而求得特解。

例如，考虑以下LCCDE：
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组：
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数，可以根据上面的LCCDE逐步求得。

然后，我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是右端项向量。

矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解，然后将解代入原LCCDE，就可以求得特解。

二阶常系数齐次线性微分方程解读

t
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
2 解：所给方程的特征方程为 r 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
x
习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
2
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
2பைடு நூலகம்
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解为
例2 求解初值问题
d s ds 2 s0 2 dt dt
2
s t 0 4 ,
ds 2 dt t 0
解: 特征方程 r 2 r 1 0 , 特征根为 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
2
s (C1 C2 t ) e 由初始条件得 C1 4, C 2 2
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方程的通解. 特征根通解实根
y C1e
r1 x
C 2e
r2 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e x y e (C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x

常系数齐次线性微分方程组

dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et

关于解三阶常系数线性齐次微分方程组

．
ｊ
ａ１２ａ１３
ｊ（）ｔ１ “ Ｊ２）（
ａ２２１１＋ａ３３ａ２２ａｌ．１３＋口３３（２／ａｌ３ａ
一
｝２＋ａ２ｌ３一ｔ２ｌ２一盘３３２３ｌ３３２￣３２｝２ａａ盘１口
】２ａｌ３
．— —一 — — 工 — ．；ｏ－言 ’ ．Ｐｒ，．
ｌｊＪ
一Ｊ，＿五一片一
关于解三阶常系数线性齐次微分方程组
麦麦提明・阿不都克里木，阿米娜・沙比尔
摘要本文给出了三阶常系数线性齐次微分方程组化成与之等价的三阶常系数线性齐次
ｌ
ｌＪ
—
Ｊ
ｊ。
・。
Ｌ
ｊ
＾——— ｝ＪＪ－ —■片
Ｉ
ｌ
山
ＩＩｋ－
．卉。亏Ｏ矗ＬＪ
ｌ ‘ 山ｊＩ — ＝； — 上 —一
—
．广
ｊ
Ｏ
Ｊ
片ｌ
３５．一；ｒ
ｊ心ｊｊｆ；．
ａ１３
ｊ
Ｊ３
≠ ０
ａ３３
０
Ｊ邕
。（）。 — 一４３１叶 — ＿ｌ —
ｔＩ
Ｉｖ０・１ａ
ｕ二
．
ｕ二．
．
Ｌ，１５＝
‘
— —
Ｊ
ｊ — 山
Ｊ
‘ 哼上
微分方程的充分必要条件，并获得的三阶常系数线性齐次微分方程组的一种解法．

第四讲常系数线性齐次微分方程

考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,

常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解

常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解常系数齐次线性微分方程组(ODEs)具有广泛的应用，它描述了一个系统的变化，其基本格式为：ay + by + cy = 0其中，a，b，c是定值。

求解ODEs的方法有固定点定理、积分因子和特征值定理等，其中，基解矩阵是一种基本概念，它们可以帮助我们更容易地求解ODEs。

基解矩阵是一个特定矩阵，它由解ODEs的特征解组成。

特征解是ODEs的根，它们代表着ODEs的解/极限解等。

特征解可以写成： xi(t) = e^rt其中，r是ODEs的特征值，它对应着特征方程的根。

基本基解矩阵由基解向量组成，它们可以写成：X = [x1, x2, x3, ..., xn]其中，x1,x2, ...,xn是ODEs的解向量，它们对应着ODEs的基解。

为了求解ODEs，我们还需要确定一个初值。

这个初值可以写成： X(0) = [x1(0), x2(0), ..., xn(0)]其中，x1(0),x2(0), ...,xn(0)是ODEs的初值向量，它们代表着ODEs的初值状态。

求解ODEs的基解矩阵的基本原理是：利用基解向量组成的基解矩阵，可以将ODEs的求解变为一个线性代数问题，而这个线性代数问题可以用行列式解决。

假设我们要求解ODEs：ay + by + cy = 0称ε为ODEs的特征根，则可写出：ε1= r1,2 = r2,3 = r3其中，r1,r2,r3是ODEs的根，它们组成了特征多项式的特征根。

此时，基解矩阵可以写成：X = [e^r1*t, e^r2*t, e^r3*t]此时，ODEs的初值可以写成：X(0) = [x1(0), x2(0), x3(0)]现在，将基解矩阵和初值向量带入ODEs：ay + by + cy = 0我们可以得出：xe^(r1*t) + ye^(r2*t) + ze^(r3*t) = x1(0)其中，x、y、z是ODEs的未知参数，它们可以用行列式求解。

高阶线性、常系数齐次微分方程.

给出k 项: e r x (c1 c2 x ck x k 1 )
x k 1 e [( c c x c x ) cos x 1 2 k 2k项 : (d1 d 2 x d k x k 1 ) sin x ]
k 重实根 r
一对 k 重复根 r1, 2 i
y y x 2 的通解为:
y c1 sin x c2 cos x x 2 2 .
小结 : 求解 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
先求 y P( x ) y Q( x ) y 0 的通解 Y c1 y1 c2 y2 ,
(5)
分三种情况讨论:
r1 , r2 为两个不相同的实根 , r x r x y1 1 2 则 y1 e , y2 e 都是 (1) 的解 , 且 y e ( r1 r2 ) x 常数 . 2
所以, y c1e
r x
1
1). p 2 4q 0 ,
c2e
r x
2
是齐次方程(1) 的通解 .
( 证明略 )
y 2 是 y P( x) y Q( x) y f 2 ( x) 的一个特解,
定理 2 ~ 4 都可以推广到n 阶线性方程上去.
例. 设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 , C2 是任意常数, 则该方程的通解是 ( D ).
是 (1)的通解.
3). p 4q 0 ,
2
p r(1) 的一个解 y1 e
,
y1 e 1
r x
r x
1