常系数齐次线性微分方程组.

t ni 1
rni 1 )
的线性无关的解，其中r0为（A i E ) ni r 0的非零解 r1＝（A i E )r0， r2＝（A i E )r1， rni 1＝（A i E )rni 2，
常系数线性方程组
例3
常系数线性方程组
（4）若实系数线性齐次方程组（2）有 复值解 x (t ) u (t ) iv (t ) 则其实部 u (t )和虚部 v (t ) 都是（2）的解. 证明 因为 x (t ) u (t ) iv (t ) 是方程组（2） 的解，所以有
(t ) [e1t r1 , e2t r2 ,
, ent rn ], t
是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵.
dx Ax (2) dt
从而方程组（2）的基本解组归结为求A的n个线性无关的特征向量。
常系数线性方程组
证明: 由上面讨论知,每一个向量函数
e rj ,
2
所以＝－2(二重），＝4
常系数线性方程组
3 3 3 1 1 1 对于＝－2，A 2 E 3 3 3 0 0 0 6 6 6 0 0 0 r2 1 0 所以r1 r2 r3，分别取 ＝ 及 ，得 r3 0 1 1 －1 1 r1＝ 1 ，r2＝ 0 ，对于＝4，可以求得r3＝ 1 0 1 2 1 －1 1 所以通解为x(t)=c1e 2t 1 c2e 2t 0 c3e 4t 1 0 1 2
常系数线性方程组
(3)i 为A的ni 重特征值，对应的线性无关特征向量少于ni 个，则用定理3.2可找到ni 个线性无关的解。
定理3.2 设i 为A的ni 重特征值，则方程组（2）有ni 个形如
2 t t x (t ) eit (r0 r1 r2 1! 2!
!
ni 1
jt
j 1, 2,
,n
都是（2)的解,因此矩阵
(t ) [e1t r1 , e2t r2 ,
是(2)的解矩阵,
, ent rn ]
由于r1 , r2 ,
所以
, rn线性无关, , rn ]
det (0) det[r1 , r2 ,
故(t )是(2)的基解矩阵.
常系数线性方程组
( E A)r 0, (4)
结论
方程(4)有非零解的充要条件是: det( E A) 0,
dx Ax , dt
(2)
微分方程组(2)有非零解 (t ) et r的充要条件是 是矩阵A的特征根, r 是与对应的特征向量.
常系数线性方程组
2 基解矩阵的计算方法
如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量 定理3.1 r1 , r2 , , rn ; 它们相应的特征值为1 , 2 , , n (不必 互不相同), 那么矩阵
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
3e c1 0 c2 et c3
t
2 2 3 t t c1 1 c2 1 e c3 0 e ; 1 2 1
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
常系数线性方程组
1 基解矩阵与A的特征值和特征向量的关系 易知（2）有形如
(t ) e r , r 0,
将(3)代入(2)得
t
(3)
的解, 其中常数和向量r 是待定的.
e r Ae r ,
因e 0, 上式变为
t
t
t
( E A)r 0, (4)
常系数线性方程组
常系数线性方程组
(2)矩阵A有ni重特征值i时，若对应的线性无关的特征向量有ni个， 则也可找到A的n个线性无关特征值。
1 3 3 dx 例2 求齐次线性微分方程组 3 5 3 x的通解。 dt 6 6 4
解：先求特征值 1 A E 3 6 3 5 6 3 3 4 2 (4 ) 0
Hale Waihona Puke Baidu
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
因此特征根为 1 0, 2 1, 3 1; 它们相的特征向量为
2 2 3 r1 1 , r2 1 , r3 0 ; 1 2 1
常系数线性方程组
故基解矩阵为
2 2e (t ) 1 et 1 2et