圆周运动最高点临界条件
圆周运动中的临界问题
向心力来源： 向心力来源：
光滑水平面内绳子拉小球做匀速圆周运动
F拉=F向
圆周运动中的临界问题 圆周运动中的临界问题
质点在竖直面内的圆周运动的问题是牛顿定 律与机械能守恒的应用加小球通过最高点有 极值限制的综合题 的综合题, 极值限制的综合题,解题的关键在于判断不 同约束条件下的速度临界问题 速度临界问题。 同约束条件下的速度临界问题。
解：船在圆轨道上做匀速圆周运动， 飞船在圆轨道上做匀速圆周运动 T=t/n 运动的周期为 设飞船做圆周运动距地面的高度为h 设飞船做圆周运动距地面的高度为h，质量 为m的飞船受到地球的万有引力提供飞船的 向心力． 向心力．即 而地球表面上质量为mˊ的物体受到的万有引力 而地球表面上质量为mˊ的物体受到的万有引力 mˊ 近似等于物体的重力， 近似等于物体的重力，即
5.2005年lO月12日，我国成功地发射了“神 2005年lO月12日 我国成功地发射了“
舟”六号载人宇宙飞 船，飞船进入轨道运 行若干圈后成功实施变轨进入圆轨道运 经过了近5天的运行后， 行．经过了近5天的运行后，飞船的返回舱 顺利降落在预定地点。 神舟” 顺利降落在预定地点。设“神舟”六号载人 飞船在圆轨道上绕地球运行n 飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间 若地球表面的重力加速度为g 为t，若地球表面的重力加速度为g，地球半 径为R (1)飞船的圆轨道离地面的高度 径为R，求：(1)飞船的圆轨道离地面的高度 (2)飞船在圆轨道上运行的速率 飞船在圆轨道上运行的速率。 (2)飞船在圆轨道上运行的速率。
3.如图所示，滑块在恒定外力F＝2mg的作用 如图所示，滑块在恒定外力F 2mg的作用
下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤 去外力， 去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运 动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半 圆形轨道后又刚好落到原出发点A，求AB 段 与滑块间的动摩擦因数。 与滑块间的动摩擦因数。
圆周运动中的临界问题专题(最新整理)
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界= （可理解为恰好转过Rg 或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg ②能过最高点的条件：v ≥，当v ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．Rg Rg ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最大高gR 310度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A 、一定可以表示为B 、可能为 g v 2203R C 、可能为R D 、可能为R 35【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥gr v 面不能对汽车产生拉力．（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，Rg F N 为支持力．③当v =时，F N ＝0Rg ④当v ＞时，F N 为拉力，F N随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心）Rg典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。
圆周运动中的临界问题
3 rad/s 1.0 rad/s
0.5 rad/s
• 在质量为M的电动机的飞轮上，固定 着一个质量为m的重物，重物到转轴 的距离为r，如图所示，为了使放在地 面上的电动机不会跳起，电动机飞轮 的角速度不能超过( )
A． C．
M m g mr M m g mr
B． D． Mg
mr
M m g mr
m R O
v0 N
M
如图所示，质量为m的物体随水平传送带 一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮， 皮带轮半径为r，要使物体通过终端时， 能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固 定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴 距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静 止。物体与盘面间的动摩擦因数为 /2（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的 夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是 A 5 rad/s B C D
gr
N=0
v2 mg m r
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点速度 应大于等于0 在最高点速度 应大于等于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
3.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径 为R，顶部有一个入口，在的正下方 处 有一个出口，一质量为 m的小球沿切线 方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从 B处飞出，小球射入入口的速度 满足什 么条件? 在运动过程中球对筒的压力 多大？
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
竖直面内圆周运动的临界问题分析
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
训练5：圆周运动中的临界问题(最新整理)
【例题1】 如右图，质量为 0.5kg 的小杯里盛有 1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星” 表演，转动半径为 1m，小杯通过最高点的速度为 4m/s，g 取 10m/s2,求： (1) 在最高点时，绳的拉力？ (2) 在最高点时水对小杯底的压力？ (3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
好脱离球面做平抛运动。
③. 当 v gR 小球已经脱离球面最高点做平抛运动。
如图，小球若通过凹半球的最低点时，速度只要 v>0 即可.
4
物理必修（2）训练 5——圆周运动中的临界问题
【例题3】 汽车质量为1.5 104 kg ，以不变速率通过凸形路面，路面半径为 15m，若汽车安全行驶。
则汽车不脱离最高点的临界速度是多少？若汽车达到临界速度时将做何种运动？水平位移为多 少？
1．竖直平面内圆周运动临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临 界状态，其问题可分为以下两种模型：
（1）绳模型 （注意：绳对小球只能产生拉力）
1
物理必修（2）训练 5——圆周运动中的临界问题
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 T（圆轨道问题可归结为轻绳类，圆轨道问题中只能产生沿半 径方向的支持力 N），如下图
1g A． 2 h
B． gh
ห้องสมุดไป่ตู้
1g C． 2 l
2 l D． g
9. 火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的 是( )
A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损 D.以上三种说法都是错误的
圆周运动不脱轨的临界条件(一)
圆周运动不脱轨的临界条件(一)圆周运动不脱轨的临界条件引言•圆周运动是物体围绕某一点或轴作曲线运动的形式之一，广泛应用于机械、航天等领域。
•为了保证圆周运动的稳定性和安全性，我们需要了解圆周运动不脱轨的临界条件。
什么是圆周运动不脱轨的临界条件？圆周运动不脱轨的临界条件是指在一定条件下，物体进行圆周运动时不会从轨道上脱出的临界条件。
具体来说，当满足以下条件时，圆周运动才能保持稳定，物体不会脱离轨道。
临界条件一：合力向心力等于向心力•合力向心力是物体在圆周运动过程中所受的合力，它的方向指向圆心。
•向心力是物体在圆周运动中受到的真实力，它的方向也指向圆心。
•当合力向心力等于向心力时，物体在圆周运动中所受的合力与向心力平衡，从而保证圆周运动的稳定性。
临界条件二：离心力小于或等于摩擦力•离心力是物体在圆周运动中受到的惯性力，它的方向指向远离圆心的外侧。
•摩擦力是物体与与其接触物体之间发生摩擦产生的力。
•当离心力小于或等于摩擦力时，物体受到的向外的离心力不足以克服摩擦力，从而保持在轨道上，不会脱离圆周运动。
临界条件三：速度不超过临界速度•临界速度是物体进行圆周运动时，速度达到的最大值。
•当速度超过临界速度时，由于离心力增大，合力向心力小于离心力，物体将无法保持在轨道上，从而产生脱轨现象。
•因此，速度不超过临界速度是保证圆周运动不脱轨的关键条件之一。
结论•圆周运动不脱轨的临界条件包括合力向心力等于向心力、离心力小于或等于摩擦力，以及速度不超过临界速度。
•在设计和运用圆周运动时，必须严格遵守这些临界条件，以确保圆周运动的稳定性和安全性。
以上是关于圆周运动不脱轨的临界条件的相关内容。
希望能对读者对此有所帮助。
谢谢阅读！补充说明临界条件一：合力向心力等于向心力•合力向心力与向心力之间的平衡关系是保持圆周运动稳定的基础。
•当合力向心力小于向心力时，物体将受到向外的合力作用，导致脱离轨道。
•当合力向心力大于向心力时，物体将受到向内的合力作用，导致向轨道内侧运动。
高考研究（二）圆周运动及其临界问题
⾼考研究（⼆）圆周运动及其临界问题3.23物理⼀轮复习：⾼考研究（⼆）圆周运动及其临界问题⾼考研究(⼆)圆周运动及其临界问题圆周运动的临界问题，⼀般有两类：⼀类是做圆周运动的物体，在某些特殊位置上，存在着某⼀速度值，⼩于(或⼤于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动，此速度即为临界速度；另⼀类是因为某种原因导致物体的受⼒发⽣变化，其运动状态随之变化，对应物体出现相应的临界状态。
竖直平⾯内的圆周运动——轻绳模型及其临界问题题型简述如图所⽰，轻绳拉着⼩球在竖直平⾯内做圆周运动，或者⼩球在竖直放置的光滑圆弧形轨道内侧运动。
该题型的特点是⼩球到达最⾼点时没有物体⽀撑⼩球，⽽轻绳或轨道对⼩球只能有向下的拉⼒或弹⼒。
⽅法突破⼩球做圆周运动，只要所受合外⼒恰好提供其做圆周运动的向⼼⼒，它便能沿着原轨道继续运动，⽽绳或轨道内侧对⼩球只能有向着圆⼼的拉⼒或弹⼒，最⼩拉⼒为零。
(1)恰能过最⾼点的临界条件：绳⼦或轨道对⼩球没有⼒的作⽤，mg ＝m v 临界2R得v 临界＝Rg 。
(2)能过最⾼点的条件：v ≥v 临界，当v >Rg 时，绳对⼩球产⽣拉⼒，轨道对球产⽣压⼒。
(3)不能过最⾼点的条件：v[例1](2018·抚顺模拟)如图所⽰，竖直环A 半径为r ，固定在⽊板B 上，⽊板B 放在⽔平地⾯上，B 的左右两侧各有⼀挡板固定在地上，B 不能左右运动，在环的最低点静置有⼀⼩球C ，A 、B 、C 的质量均为m 。
现给⼩球⼀⽔平向右的瞬时速度v ，⼩球会在环内侧做圆周运动，为保证⼩球能通过环的最⾼点，且不会使环在竖直⽅向上跳起(不计⼩球与环之间的摩擦阻⼒)，则瞬时速度v 必须满⾜()A ．最⼩值4grB ．最⼤值6grC ．最⼩值3grD ．最⼤值7gr[跟进训练]1.如图所⽰，⽤⼀段轻绳系⼀个质量为m 的⼩球悬挂在天花板下⾯。
将轻绳⽔平拉直后由静⽌释放，当绳与⽔平⽅向夹⾓为α时，⼩球受到的合⼒⼤⼩为()A ．mg 3sin 2α＋1B ．mg 3sin 2α－1C ．mg 2－sin 2αD ．mg 4－3sin 2α竖直平⾯内的圆周运动——轻杆模型及其临界问题题型简述如图所⽰，⼩球固定在轻杆上，在竖直平⾯内做圆周运动，或⼩球在竖直放置的光滑圆管中运动。
圆周运动经典例题
vA
A
例5、如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个
质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度
ω做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的
最大压力和最小压力的数值之差为多少？
【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点 时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时F1>mg。当小铁 块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力 F2），如图所示： 【解析】对铁块，由牛顿第二定律得： 甲：F1-mg=mω2r ① 乙：F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r) ② 由①②两式得： F1±F2=2mω2r. 由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为： 2mω2r. 铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小为： FN=Mg±F2，其中M为电动机的质量. 电动机对地面的最大压力为：F′N=Mg+F1 故：FN′-FN=F1±F2=2mω2r
解：先求出弹力为0 时的速率v0
v mg m r
2
m
v0 rg 2.25m / s
球应受到内壁向上的支持力N1
2 1
A
O m A
(1) v1=1m/s < v0
v m g N1 m r
N1 1.6( N )
球应受到外壁向下的弹力力N2
(2) v2=4m/s &另一端通过光滑小孔吊着质量 m=0.3千克的物体 ，M与圆孔距离为0.2米，并知M和水平面的最大静摩擦 力为 2 牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在 什么范围m会处于静止状态？(g取10米/秒2) M
O r
m
解：当具有最小值时，M有向圆心运动 趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心 方向相反，且等于最大静摩擦力2牛。
专题_竖直平面内的圆周运动详解
(1).当V1＝1m/s时,F1＝？ (2).当V2＝4m/s时,F2＝？ (3).通过最低点时,情况又如何呢? (4).如果和小球相连的是细绳而 不是细杆,情况又如何呢?
V
.
O
例2.一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖 直平面内做圆周运动,如右图所示,水的质量是m＝0.5kg,水 的重心到转轴的距离L＝50cm. (1).若在最高点时水不流出来,求桶的最小速度; (2).若在最高点时水桶的速率V＝3m/s,求水对桶底的压力.
二.小球有支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
V
V
r杆
丙
丁
1.临界条件: 由于轻杆和管壁的支撑作用,小球恰好能到达 最高点的临界速度V临界＝0
2.如图丙所示,小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况:
(1).V＝0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg
(2).0＜V＜ gr 时, 轻杆对小球有竖直向上的支持力FN, 大小随速度的增大而减小,取值范 围:0＜FN＜mg
施力 特点
拉力
v gr v gr v gr
不可 通过
T=0
恰好通过 最高点
拉力
拉力
支持力 N=0
支持力
拉力
支持力
安全过 桥
N=0 恰好离 开桥
离开桥
三.例题
例1.长L＝0.5m、质量可以忽略的杆,其下端固定于O点,上 端连有质量＝2㎏的小球,它绕O点在竖直平面内做匀速圆周 运动.当通过最高点时,如图所示,在下列情况下,求杆受到 的力.(g＝10m/s2)
o B
2.如图所示,一个人用一根长为1m、只能承受46N拉力的绳子拴着 一个质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动.已知圆心O离地 面的高度H＝6m,转动中,小球在最低点时绳子断了,g＝10m/s2,求: (1).绳子断时小球运动的角速度 (2).绳子断后小球落地点与抛出点的水平距离
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
圆周运动临界问题
竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m Rv 临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v<（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当0< vF 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v=F =0（4）当vF 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）【案例剖析】例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）图6-11-1a b图6-11-2 bA ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2v m LD解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L-=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L =，v =以，A 、B 、C 均不正确。
故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B．球过最高点时，最小速度为C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v = F = 0故A 正确。
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结1. 引言：圆周运动是物理学中的一个重要问题，涉及到质点在圆周轨道上运动的临界条件和相关结论。
通过对圆周运动的深入研究和分析，我们可以更好地理解质点运动的性质以及相应的临界条件。
2. 圆周运动的基本定义和参数：圆周运动是指质点沿着固定半径的圆周轨道做匀速运动。
它的参数包括半径r、角速度ω和线速度v等。
圆周运动的关键特征是质点受到向心力的作用，它的大小与质点的质量m、角速度ω和半径r有关，即F = mω²r。
3. 圆周运动的临界条件：圆周运动会出现临界情况，当质点的向心力等于或超过受力的上限时，圆周运动将发生变化。
这个临界条件可以用一个重要的方程来表示：F = mv²/r = mω²r。
当F > mω²r时，质点将脱离圆周轨道，产生离心力；当F = mω²r时，质点保持在圆周轨道上做匀速运动，达到临界情况。
4. 圆周运动的结论总结：通过对圆周运动的分析，我们可以得出以下结论：4.1 向心力是使质点保持在圆周轨道上运动的重要力量，它提供了质点的必要的向心加速度，进而产生了向心力。
4.2 圆周运动的临界条件是质点所受向心力等于或超过受力上限，当向心力小于受力上限时，质点无法保持在圆周轨道上做匀速运动。
4.3 圆周运动的临界条件方程为F = mω²r，其中F是向心力，m是质点的质量，ω是角速度，r是运动半径。
4.4 圆周运动的临界条件可以帮助我们计算或推导质点的角速度、线速度、运动半径等参数，从而更加深入地了解质点运动的性质。
5. 我的个人观点和理解：圆周运动的临界问题是一个非常有趣且重要的物理学问题。
通过对临界条件的研究和理解，我们可以更好地把握物体在圆周轨道上运动时的行为特征，推导出相关的运动参数，并进行定量分析。
这样，我们可以更深入、全面地了解物体运动的规律和特点，为实际问题的解决提供有力支持。
浅谈圆周运动的临界条件3
浅谈圆周运动的临界条件在高中物理的知识构成中，曲线运动是教师教学的重点，也是学生学习中的难点。
而圆周运动作为曲线运动的一个典型代表，又有着它区别其他曲线运动所特有的运动特征和规律。
质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动时，即其轨迹是圆周的运动我们称之为圆周运动。
圆周运动分为速度大小不变的匀速率圆周运动，又称匀速圆周运动，以及速度大小变化的非匀速圆周运动。
但不管是哪种圆周运动其速度方向都是时刻变化的。
做匀速圆周运动的物体所受的合外力指向圆心，且大小恒定方向时刻改变，而对于做非匀速圆周运动的物体受到的合外力是不指向圆心的，但这个合外力的两个分力，一个沿圆周上某点的切线方向，称之为切向力，它只能改变速度大小。
另一个分力沿半径指向圆心，也称之为向心力，它只能改变速度方向。
由此可以理解，做匀速圆周运动的物体所受合外力的切向分力为0。
而当物体做圆周运动的某些物理量发生变化时，这种稳定的圆周运动就要被打破，即它的运动轨迹将不再是一个圆周。
像这种物体从圆周运动向非圆周运动转变的切合点我们称为圆周运动的临界状态。
设质量为m物体做圆周运动的角速度为ω，半径为r，我们暂且称mω2r为物体做圆周运动所需要的向心力。
物体所受的所有力的合力指向圆心的分力我们可以称为外力提供的向心力F向，这里要注意，如果物体做变速圆周运动，其合外力还有个沿切线方向的分力。
当F向= mω2r时，物体就做圆周运动；当F向＞mω2r时，物体就做向心运动；当F向＜mω2r时，物体就做离心运动。
不管是离心运动还是向心运动，它们都不是圆周运动，都打破了原先稳定的圆周运动的状态。
所以圆周运动能否稳定的关键是mω2r是否等于F向。
下面本人就结合具体问题来说明和分析。
1．水平面内的圆周运动例1．如图1所示，在水平转盘上距转轴为r的位置放着一个质量为的小物体m，开始一段时间内物体相对与转盘静止随转盘一起转动，已知转盘与物体之间的动摩擦因数为μ。
问当角速度为多少时，物体开始相对转盘滑动。