最新高中数学考前归纳总结导数中的探索性问题复习进程

2
x
4x 3 b
0 有两个不等实根且无零根
,
( 4) 2 4(b 3) 0
所以 ,
,
b3 0
所以 , 存在实数 b 使得函数 g( x) bx 的图像与函数 f (x) 的图象恰有 3 个交
点, b 7且 b 3.
（ 2）探索函数的零点个数问题
例 2. 已知函数 f ( x) 1 ax 2 2x, g( x) ln x ，是否存在正实数 a ，使得函数 2
x 分别满足：
f (x) kx b 和 g (x) kx b ，则称直线 l : y kx b 为 f ( x) 和 g( x) 的“隔离直线” ．
已
知 h(x) x2 ， ( x) 2eln x （其中 e 为自然对数的底数） ．
(1) 求 F ( x) h( x) (x) 的极值；
(2) 函数 h(x) 和 ( x) 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，
1)
1 e2
1， f e 1
e2 3，且 e2 3
1 e2
1,
∴x
1 [ e
1,e 1] 时 , f
x max
∵不等式 m f x
m2 2m
e2 3。 e2 恒成立 ,
m2 2m e2
∴
m f ( x)min
m2 2m e2 e2 3
即
m0
f ( x)max ，
m2 2m 3 0 m0
1m3 1
m0 ∵ m 是整数，∴ m ∴存在整数 m ，使不等式 m f x
请说明理由．
解： (1) F ( x) h( x) (x) x2 2eln x ( x 0) ，
F ( x) 2x 2e 2( x x
e)(x e)
．
x 当 x e 时， F ( x) 0 ．
当 0 x e 时， F ( x) 0 ，此时函数 F ( x) 递减； 当 x e 时， F (x) 0 ，此时函数 F (x) 递增；
3
且 f (1) 6, f (4) 12, 所以 , f (x)max f (1) 6
(2)
设 F ( x) f ( x) g(x) x3 4x2 3x bx , 由题意可得 F (x) 有三个零点 ,
又由于 0 是 F (x) 的一个零点 , 所以 , 只要再有两个零点且都不相同即可 ;
因此 , 方程
∴当 x e 时， F ( x) 取极小值，其极小值为 0 ．
(2)
由（ 1）可知函数 h(x) 和 ( x) 的图象在 x e 处有公共点，
则 G (x)
2e 2e
2 e( e
x)
，
x
x
当 x e 时， G (x) 0 ．
当 0 x e 时， G ( x) 0 ，此时函数 G (x) 递增；
当 x e 时， G ( x) 0 ，此时函数 G ( x) 递减；
m0
1。 m2 2m
e2 恒成立。
2. 已知定义在 R 上的二次函数 R(x) ax2 bx c 满足 2 R( x ) 2 R ( x) 0 ，且 R( x) 的
最小值为 0，函数 h( x) 1nx ，又函数 f ( x) h(x) R( x) 。
（I ）求 f ( x) 的单调区间；
当 x (1,e) 时, H ( x) 0 ， H ( x) 是增函数 .
为满足题意，只需 H ( x) 在 ( 1 , e) 内有两个不相等的零点 , 故 e
1 H( ) 0
e H (x)min H (1) 0 , H (e) 0
1a
解得
e2 e 2e 1
(3) 探索函数图象的位置关系问题 例 3. 若存在实常数 k 和 b ，使得函数 f (x) 和 g( x) 对其定义域上的任意实数
的图象恰有 3 个交点？若存在，请求出实数 b 的取值范围；若不存在，试说
明
理由。
解: （ 1）因为 x
1 是 f ( x) 的极值点 , 所以 ,
f '(
1 )
0, a
4, 由f ' ( x)
0
3
3
得: x
1 3, , 在区间 [1,4] 上 , f ( x) 在 (1,3) 单调减在 (3,4) 单调增 ,
(1) 求函数 f ( x) 的单调区间；
(2)
当x
1 [
1,e
1] 时 , 是否存在整数
m ，使不等式 m
e
成立？若存在，求整数 m 的值；若不存在，请说明理由。
f (x)
m2 2m e2 恒
解： (1) 由 1 x 0 得函数 f ( x) 的定义域为 ( 1, ) ，
f' x
2x 2
2
2x x 2
。
x1 x1
由 f ' x 0 得 x 0；由 f ' x 0 得 1 x 0 ，
∴函数 f (x) 的递增区间是 0, ；递减区间是 1,0 。
1
(2)
由 (1) 知 , f ( x) 在 [ 1,0] 上递减 , 在 0, e 1 上递增。
e
∴ f (x)min f (0) 0
又∵ f ( 1 e
设 H ( x) ax2 (1 2a) x lnx (x 0) ，
1 2ax2 (1 2a) x 1 (2 ax 1)(x 1)
H (x) 2ax (1 2a)
x
x
x
令 H ( x) 当x
0 ，因为 a 为正数，解得 x 1或 x
1
（舍）
2a
1 ( ,1) 时 , H (x) 0 , H ( x) 是减函数； e
∴当 x e 时， G ( x) 取极大值，其极大值为 0 ．
从而 G( x) 2eln x 2 ex e 0 ，即 ( x) 2 ex e(x 0) 恒成立．
∴函数 h(x)百度文库和 (x) 存在唯一的隔离直线 y 2 ex e ．
二、针对性练习
1. 设函数 f (x) x2 2x 2ln(1 x) .
导数中的探索性问题
一、常见基本题型： (1) 探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，
例 1、 已知函数 f (x) x3 ax2 3x ,
(1) 若 x
1 是 f (x) 的极值点，求 f (x) 在 [1,a] 上的最大值；
3
（ 2）在（ 1）的条件下，是否存在实数 b ，使得函数 g( x) bx 的图像与函数 f ( x)
g (x) (x)
x
f ( x)
2a
1
在
区间
1 (
,e
)内 有
两个不
同的
零点？
若存在
，请
求出
e
a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
ln x
解： ( x)
(ax 2) 2a 1 ，
x
因 (x) 在区间 ( 1 , e) 内有两个不同的零点 , 所以 ( x) 0 ， e
即方程 ax2 (1 2a)x lnx 0 在区间 (1 ,e) 内有两个不同的实根 e