18.4 相似多边形 同步练习(含答案)

18.4 相似多边形

基础能力训练

◆相似多边形

1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.

再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论为_______.

2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长为15,则它的最短边长为________.

3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为________.

4.下列多边形中一定相似的为( )

A.两个矩形

B.两个菱形

C.两个正方形

D.两个平行四边形

5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )

A.甲和乙

B.甲和丙

C.乙和丙

D.三个矩形都不相似

6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.

7.矩形ABCD的长与宽之比为3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也为3：2,这两个矩形相似吗?说说你的理由.

◆相似三角形

8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为_______,A′C′=_______,BC=_______.

9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE∥BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.

10.如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜后由A点发出的光线经平面镜BD反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )

A.6 m

B.8 m

C.18 m

D.24 m

11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

12.△ABC 的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别为1和5,如果△ABC～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( ) A.2

2 B.2 C.2 D.22 13.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.

14.已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?为什么?

综合创新训练

◆创新应用

15.如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；

(2)求BP：PQ：QR.

◆开放探索

16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E、F分别是AB、CD上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M、N分别从C、F两点同时出发沿CB、FE均以2 cm/s的速度分别向B、E运动.猜想当M、N运动多长时间时,矩形CFNM与矩形AEFD相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.

参考答案

1答案：相似边数相同的正多边形都相似

2答案：3 解析：1

515x =,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别为AD 、

BC 的中点,由已知条件可得：x y y x

=2,即,222x y =∴2

x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2.

4答案：C

5答案：B 解析：∵都为矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.

6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴

BC

EF EF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .

∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.

7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长为3a,宽为2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长为3b,宽为2b,因此两矩形的对应边之比均为a:b,即对应边成比例.又因为矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似.

8答案：8：5 532 415 9答案：2 解析：△ADE~△ABC,△DOE~△COB.

10答案：B 解析：Rt △ABP~Rt △CDP,所以

DP

BP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m.

11答案：C

12答案：B 解析：设第三边长为x,则x 251012==,得2=x .

13答案：解析：设△ABC 的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因为△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,

2

12613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因为BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A ′C′×B′C′=21×24×10=120. 14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0, 则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′).

∴∠C=∠C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′， ∴'

'22B''k k k k A AB ==，'''''k k C B BC C A AC ==，∴''''''C B BC C A AC B A AB ==， ∴△ABC ～△A'B'C'.

15答案：解析：(1)△BCP ～△BER ，△PCQ ～△PAB ，△PCQ ～△RDQ ，△PAB ～△RDQ.

(2)因为四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，所以BC=AD=CE ，AC ∥DE ，所以PB=PR ，2

1=RE PC ，又因为PC ∥DR ，易得△PCQ ～△RDQ ，因为点R 是DE 的中点，所以DR=RE ，所以

21===RE PC DR PC QR PQ ，所以QR=2PQ.

又因为BP=PR=PQ+QR=3PQ ，所以BP ：PQ ：QR=3：1：2.

16答案：解析：①当M 、N 运动2

1s ，矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.