18.4 相似多边形 同步练习(含答案)
北师大版九年级数学《相似多边形》典型例题(含答案)
《相似多边形》典型例题例题1在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角 的大小．例题2所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题3 所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题4 已知下图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示．例题5图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．例题6下面给出的两个四边形是相似的，请写出它们的对应角和对应边．例题7 已知图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和βα∠∠、的度数．例题8 在如图所示的相似四边形中，求未知边x 、y 的长度和角α的大小．参考答案例题1 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==， ∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．例题2 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题3 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题4 解答 HEDA GH CD FG BC EF AB === 例题5 解答 不相似．︒=︒-︒-︒-︒=∠587295135360D ，而︒=︒-︒-︒-︒=∠715995135360E ，不可能有“对应角相等”．例题6 解答 F A ∠→∠ E B ∠→∠ H C ∠→∠ G D ∠→∠FE AB → EH BC → HG CD → GF DA →例题7 分析 解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质． 解答 由于对应边成比例，所以232.38.45.442====z y x ． 所以3,6,3===z y x ．由于对应角相等，所以 ︒=∠-︒=∠=∠118180A D α，︒='∠-︒='∠=∠70180C B β．例题8 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==，∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．。
人教版九年级数学下册 相似多边形及位似同步练习题(含答案)
相似多边形及位似一. 选择题1. 下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2. 下列说法错误的是（）.A. 位似图形一定是相似图形.B. 相似图形不一定是位似图形.C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3. 下列说法正确的是（）A. 分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC 放大后的图形.B. 两位似图形的面积之比等于相似比.C. 位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D. 位似图形的周长之比等于相似比的平方.4. 平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A. 将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B. 将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C. 将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D. 将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=C. AB=D. BC≈0.618AB7. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. B. C. D. 2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为______.9. 已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出___个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_______.13. 如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC 的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15. 如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN 是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_____________ ；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定_____________（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是．（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．）17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4 ．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC= , AB=AC≈0.618AB．故选D．7. 【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即，解得, ,（负值舍去），经检验是原方程的解．故选B．二、填空题8. 【答案】50cm.9. 【答案】2个；全等.10. 【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11. 【答案】；【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.12. 【答案】；【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据矩形相似，对应边的比相等得到：即：，则b2=∴∴13. 【答案】.【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：，故答案为：.14. 【答案】；【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×=.三．解答题15. 【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16. 【答案与解析】问题一：（1）不相似.因为两个梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，因而这两个梯形一定不相似；（2）相似性无法确定．问题二：（1）不相似；（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，∴，即解得：PQ=4．∵又∵AP+PB=6，∴AP=2（3）存在.如果梯形APQD∽梯形PBCQ，则,，∵AD=a，BC=b，∴PQ=，∴17. 【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF= S矩形ABCO= ×4 ×4=；（2）存在．∵OE=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC=∴8h=4×4 ，解得h=2 ，∴当点E到AC的距离为2 +2时，△ACE的面积有最大值，当点E到AC的距离为2 -2时，△ACE的面积有最小值，S最大=S最小=。
2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】
2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册4.3 相似多边形同步课堂检测题考试总分： 110 分考试时间：90 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列图形中，不相似的是（）A.任意两个等腰直角三角形B.任意两个等边三角形C.任意两个正方形D.任意两个菱形2.如果两个相似多边形面积的比为，则它们的相似比为（）A. B. C. D.3.如果多边形多边形，且，则等于（）A. B. C. D.4.下列判断正确的是（）A.任意两个等腰直角三角形相似B.任意两个直角三角形相似C.任意两个等腰三角形相似D.菱形都相似5.下列图形不是形状相同的图形是（）A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案C.某人的侧身照片和正面像D.一棵树与它倒影在水中的像6.有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（）A. B. C. D.7.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）A. B. C. D.8.将的三边都扩大为原来的倍，得，则为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定9.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）A. B. C. D.10.下列图形一定相似的是（）A.两个矩形B.两个等腰梯形C.有一个内角相等的两个菱形D.对应边成比例的两个四边形二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一正方形的边长为，将它缩小为原来的，得到的新正方形面积为________．12.在如图所示方格纸中，已知是由经相似变换所得的像，那么的每条边都扩大到原来的________倍．1 / 513.如图，已知矩形矩形，，则的长为________．14.两个相似多边形面积之比为，周长只差为．则这两个相似多边形的周长分别是________．15.如图，、、分别是、、的中点，则四边形与四边形________（填“是”或“不是”）位似图形．16.小明买了一个倍的放大镜，他在纸上画了一个度的角，用这个放大镜看所画的角是________度．17.一个四边形的四边长分别是、、、，另一个和它相似的四边形的最小边长为，那么后一个四边形的周长为________．18.给形状相同且对应边的比为的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌需用漆________听．19.下图中，形状相同的图形有哪些________．20.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】三、解答题（共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）21.已知两个相似多边形的对应边的比为，且面积的和为，求这两个多边形的面积分别是多少．22.将有一个锐角为的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值．23.小王在一块一边靠墙，长为米，宽为米的矩形小花园周围栽种了一种花作修饰，如图所示，这块花园的边框宽为厘米，内外边框所圈的两个矩形相似吗？为什么？24.下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？正三角形与正三角形；正方形与正方形．25.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？3 / 5答案1.D2.D3.C4.A5.C6.C7.A8.A9.C10.C11.12.13.14.，15.是16.17.18.19.和，和，和，和20.21.这两个多边形的面积分别是和．22.解：假设有一个直角，其中，，斜边，直角边，．现在将直角放大为，使，，．∵ ，∴ ，∴∴放大前后对应斜边的比值，对应直角边的比值，．23.解：不相似．理由：∵内边框内缘所围成的矩形的长米，宽米，∴长与宽的比为：，原矩形的长与宽之比∵，2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册_43_相似多边形_同步课堂检测题【含答案】∴内外边框所围成的两个矩形不相似．24.解：正与正的形状相同．它们的对应角相等，都是．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等．正方形与正方形的形状相同．它们的对应角相等，都是．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．25.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，∴ ，，∴，，∴ ，，∴ ．5 / 5。
2022年北师大版九上《相似多边形》同步练习(附答案)
4相似多边形一、请你填一填〔1〕假设△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =4，BC =5，AC =6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________.〔2〕两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________.〔3〕如图4—8—1，在ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =21AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，那么△BEG 与△CFG 的面积之比是________.图4—8—1〔4〕把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 二、认真选一选〔1〕如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，那么原矩形长与宽的比为〔 〕∶1B.3∶1C.2∶∶1图4—8—2 图4—8—3〔2〕如图4—8—3，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1、S 2，那么21S S的值为〔 〕A.21 B.41 C.31 D.32 〔3〕如图4—8—4，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，假设S △CAD =3S △ABD ，那么AB∶AC等于〔〕图4—8—4∶∶∶3 D. 1∶2〔4〕顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是〔〕∶∶∶2∶2三、灵机一动某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.四、用数学眼光看世界如图4—8—5，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？图4—8—5参考答案一、〔1〕2∶5 37.5 〔2〕75 〔3〕1∶16 〔4〕22二、〔1〕C 〔2〕C 〔3〕C 〔4〕D三、解：设这块矩形绿地的面积为S ，在甲、乙两张规划图上的面积分别为S 1、S 2那么S S 1=〔2001〕2，S S 2=〔5001〕2 ∴S 1=40000S ，S 2=250000S∴S 1∶S 2=40000S ∶250000S =41∶251=25∶4即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为25∶4四、解：设这个正方形材料的边长为x cm ，那么△P AN 的边PN 上的高为〔8－x 〕 cm∵由得：△APN ∽△ABC∴BC PN =ADx-8，即12x =88x -解得：x答：这个正方形材料的边长为4.8 cm. 4 相似多边形一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( ) ∶∶4 ∶3 ∶22.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )倍倍 倍倍3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，那么以下结论正确的选项是( )A. BC DE =21B. BC DE =31C. 的周长的周长ABC ADE ∆∆=21D. ABC ADE S S ∆∆=314.如图1，ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，那么S △CBF 等于( )图1A.12 cm 2B.24 cm 2C. 54 cm 2D.15 cm 25.以下说法中正确的选项是( ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等二、填空题6.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，那么△A′B′C′的周长为________.7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.8.假设两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，那么较小的三角形的周长为________.9.在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形BCFE，那么AD∶AB=________，相似比是________，面积比是________.10.，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，那么△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.图2三、解答题11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，假设S△DCE∶S△DCB=1∶3，求S△DCE∶S△ABD.图313.：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.参考答案一、二、6.36 cm7.72 cm28.15 cm9.2∶2 2∶1 2∶110.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4三、千米千米∶613.40 2014.略。
相似多边形的性质同步练习(含答案)
相似多边形的性质(典型题汇总)一、选择题1．如图1所示，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，则下列结论中，正确的是（）A．DE BC=12B．DEBC=13C．ADEABC∆∆周长周长=12D．ADEABCSS∆∆=13图1 图2 图32．△ABC三边长分别为2，6，6，△A′B′C′的两边长分别为13 ABC•∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为（）A2 B．22C633．两相似四边形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个四边形周长分别是（ •）A．8cm和12cm B．9cm和11cm C．7cm和13cm D．4cm和16cm4．如图2所示，已知∠1=∠B，则下列各式正确的是（）A．AD：BC=AE：EB B．DE：BC=AD：AC C．AD·AC=AE·AB D．AC·AE=AD·AB 5．如图3，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离为3m，则点P到AB的距离是（）A．56m B．67m C．65m D．103m二、填空题6．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则S△ADE：S四边形DEBC=_____．7．用一个3倍的放大镜照一个多边形，则放大后的面积是原来的______倍．8．如图4所示，在△ABC与△DBE中，AB BC ACBD BE DE===53，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，•则△ABC的周长为______．图4 图5 9．如图5，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABC：S△DBE=______．三、解答题10．如图所示，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C的高，且```` AB A B AD A D=，∠C=∠C′，求证：AD·B′E′=A′D′·BE．11．如图所示，设AB BC CAAD DE EA==，求证：∠1=∠2．12．在△ABC中，如图所示，AB=AC，BD为腰上的高，求证：CD·CA=12BC2．参考答案一、1．B 点拨：因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，又因为AD DB =12，所以可知AD AB =13，所以DE BC =13． 2．A 点拨：因为△ABC ∽△A ′B ′C′，所以可知三条边对应成比例，又通过观察知1=所以可知6与另一条边的比也是：1，． 3．A 点拨；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，•周长比等于相似比可求得，此题也可采用排除法，因为题中告诉两个三角形面积比为4：9，所以周长比为2：3，可看备选答案中，哪一个符合2：3．4．C 点拨：因为∠1=∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ABC ，所以有AD AEAB AC=，即AD ·AC=AE ·AB ．5．C 点拨：因为AB ∥CD ，所以△PAB ∽△PCD ．设点P 到AB 的距离为x ，•根据相似三角形对应高的比等于相似比，得3x =25，所以x=65（m ），故选C ．二、6．1：3 点拨：因为△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，面积比为1：4，•所以在△ABC 中减去△ADE ，余下的四边形面积是△ADE 面积的3倍． 7．9 点拨：因为放大比例是3：1，所以面积比就应该是9：1．8．25cm 点拨：因为这两个三角形的三边对应成比例，所以这两个三角形相似，•所以周长比等于相似比等于5：3，又因为周长相差10cm ，所以可以求得△ABC 的周长． 9．9：16 点拨：2269()()816ABC DBE S AB S DB ∆∆===． 三、10．证明：因为∠ADB=∠A ′D ′B ′=90°，````AB A B AD A D =， 所以△ABD ∽△A ′B ′D ′，所以∠ABD=∠A ′B ′D ′． 又因为∠C=∠C ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′．所以``AB A B =````AD BEA DB E =，即AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE ． 点拨：AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE 化成比例式为````AD BEA DB E =，因为AD ，A ′D ′，BE ，B ′E•′是△ABC 与△A ′B ′C ′的高．根据相似三角形对应高的比等于相似比，•所以可以想办法证得△ABC ∽△A ′B ′C ′．11．错解：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ． 所以∠BAC=∠DAE ．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD•∽△ACE ．所以∠1=∠2． 正确解法：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠α+∠3=∠β+∠3，所以∠α=∠β．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD ∽△ACE ．所以∠1=∠2． 点拨：在证△ABD ∽△ACE 时，漏掉条件∠α=∠β，事实上，已证∠BAC=∠DAE ，•只需等式两边都减去∠3即可，但由于存在潜在假设∠BAC=∠DAE 必然得∠α=∠β，•致使判定△ABD ∽△ACE 的理由不充分．12．证明：如图所示，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，因为AB=AC ，所以EC=12BC ，∠AEC=90°． 又因为BD 是腰上的高，所以∠BDA=90°，所以∠AEC=∠BDA ． 又因为∠C=∠C ，所以△AEC ∽△BDC ． 所以EC AC CD BC =，所以CA ·CD=CE ·CB=12BC ·BC=12BC 2．点拨：从结论CD ·CA=12BC 2有CD ·CA=12BC ·BC ，由此想到作底边上的高AE ，有EC=12BC ，则结论化为CD ·CA=CE ·CB ，进而只需证△AEC ∽△BDC 即可．相似多边形的性质一、七彩题1．（一题多解）如图，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求S△EFD：S△ABC．2．（巧题妙解题）如图所示，把△ABC平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于______．二、知识交叉题3．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，AC=63，求BC和BD的长．4．（当堂交叉题）如图，Y ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF的周长的比，如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．三、实际应用题5．△ABC是一块锐角三角形的余料，如图所示，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？四、经典中考题6．（2007，青岛，3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为_____cm．(第6题) (第7题) (第8题) 7．（2007，常州，3分）如图，已知DE∥BC，AD=6，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，•则∠ADE=_____°，DE=____，ADEABCSS∆∆=_____．8．（2008，河南，3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H 在DC边上，且GH=12DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为______．五、课标新型题9．（规律探究题）如图所示，点E是四边形ABCD•的对角线BD•上一点，•且∠ABC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比？并证明你的猜想．10．（阅读理解题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．11.如图，E，F分别为Y ABCD的对角线DB上的三等分点，连接AE并延长交DC于P，•连接PF并延长交AB于Q．通过观察，猜测AQ，BQ之间的关系，并说明为什么？参考答案一、1．解法一：因为D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，所以DE EF DF AC BA BC ===12，所以△EFD ∽△ABC ，所以S △EFD ：S △ABC =1：4．解法二：因为D ，E 分别是AB 和BC 的中点，所以DE ∥AC ， 所以∠BDE=∠A ，∠BED=∠C ，所以△BDE ∽△BAC ． 所以2()BDE ABC S BD S AB ∆∆==（12）2=14． 同理，2()ADF ABC S AD S AB ∆∆==（12）2=14，2()CEF ABC S CE S BC ∆∆==（12）2=14， 即S △BDE =S △ADF =S △CEF =14S △ABC ． 所以S △EFD =S △ABC -（S △BDE +S △ADF +S △CEF ）=14S △ABC ，即S △EFD ：S △ABC =1：4． 2-1 点拨：因为△A ′B ′C ′是△ABC 沿AB 边平移得到的， 所以A ′C ′∥AC ，•△ABC 与阴影三角形相似， 所以（`A B AB ）2=12，因为， 所以A ′B=1，故AA ′-1，•本题的巧妙之处在运用平移的性质得到两个三角形相似．二、3．解：因为CD 是Rt △ABC 中斜边上的高，所以△ACD ∽△CBD ∽△ABC ，•因为∠A=30°，所以∠DCB=30°．又因为CD=12设BD=x ，则BC=2x ，在Rt △BCD 中，BC 2-BD 2=CD 2， 所以4x 2-x 2=27，x=3，所以BC=6，BD=3． 4．解：因为AE ：EB=1：2，所以AE AB =13，即AE CD =13． 又因为AB ∥DC ，所以△AEF ∽△CDF ． 故C △AEF ：C △CDF =1：3，S △AEF ：S △CDF =1：9． 故当S △AEF =6cm 2时，S △CDF =6×9=54（cm 2）．三、5．解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC上，△ABC的高AD与PN相交于点E．设正方形的边长为xmm．因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以AE PN AD BC=．因此有8080120x x-=，解之得x=48．答：加工成的正方形零件的边长为48mm．四、6．16 点拨：由题意可知，AB∥CD，△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得453620CD=，解得CD=16（cm）．7．50；6.6；49点拨：相似三角形对应角相等，对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．35 点拨：连EF，则GH//12EF，S矩形EFCD=6×10=60．设EH交FG于O，则△EFO∽△HGO•相似比为2：1，两三角形EF与GH边上的高h1：h2=2：1，h1+h2=6，故h1=4，h2=2，S△EFO=12EH·h1=12×10×4=20，S△GOH=12GH·h=12×5×2=5，故S阴影=S矩形EFCD-S△EFO -S△GOH =60-25=36．此题综合考查矩形性质，•相似三角形相似比，求阴影部分面积．五、9．（1）证明：因为∠BAC=∠DAE．所以∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，即∠EAB=∠DAC．又因为∠AEB=∠2+∠DAE，∠ADC=∠2+∠BDC，∠DAE=∠BDC，所以∠AEB=∠ADC，•所以△AEB∽△ADC，所以BE AEDC AD=，即BE·AD=CD·AE．（2）解：BCDE等于ACAD．因为△AEB∽△ADC，所以AD AEAC AB=．又因为∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．所以BCDE=ACAD．点拨：学会仔细观察图形，从图形中提取解读思路．10．解：（1）在题图①中作CN⊥AB于点N，交GF于点M．因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．因为12×5CN=12×3×4，所以CN=125．因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B．所以△CGF∽△CAB，所以CM GF CN AB=．设正方形的边长为x，则125125x-=5x，解得x=6037．所以正方形的边长为60 37．（2）同（1），125125x-=25x，解得x=6049．（3）同（1），125125x-=35x，解得x=6061．（4）同（1），125125x-=5nx，解得x=602512n+．点拨：根据相似三角形的性质（相等关系）列方程求解，是解答此类问题的一般方法．11.解：猜测：AQ=3BQ．Y ABCD中，DC∥AB，所以△PDF∽△QBF，DP DFBQ BF=，因为E，F分别为BD的三等分点，所以DPBQ=2，•同理ABPD=2，所以ABBQ=4，所以AQBQ=3，即AQ=3BQ．11。
北京课改版数学九年级上册18.4《相似多边形》说课稿
北京课改版数学九年级上册18.4《相似多边形》说课稿一. 教材分析北京课改版数学九年级上册18.4《相似多边形》是本册教材中的一个重要内容。
本节课的主要内容是引导学生探究相似多边形的性质和判定方法。
在学生已经掌握了多边形的基本概念和性质的基础上，通过探究相似多边形，进一步深化学生对图形变换的理解，培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对多边形的基本概念和性质有所了解。
但是，对于相似多边形的性质和判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握。
此外，学生可能对图形的变换有一定的了解，但如何运用这些知识来解决实际问题，还需要进一步的引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握相似多边形的性质和判定方法，能够运用这些知识来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似多边形的性质和判定方法。
2.教学难点：如何运用相似多边形的性质和判定方法来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、操作、猜想、验证等方法，引导学生主动探究相似多边形的性质和判定方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示相似多边形的实例，引导学生直观地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实例，让学生观察和思考，引出相似多边形的概念。
2.探究：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究相似多边形的性质和判定方法。
3.讲解：根据学生的探究结果，进行总结和讲解，让学生明确相似多边形的性质和判定方法。
4.练习：设计一些练习题，让学生运用所学的知识来解决问题，巩固所学内容。
5.拓展：引导学生思考相似多边形在实际中的应用，培养学生的解决问题的能力。
七. 说板书设计板书设计如下：1.对应边成比例2.对应角相等3.两组对应边成比例，且对应角相等4.两边成比例，夹角相等八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和拓展活动的表现来进行。
2022年北师大版数学《相似多边形》配套精品练习(附答案)
4.3 相似多边形一、填空题1．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．2．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．3．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．二、选择题4．在下面的图形中，形状相似的一组是( )5．下列图形一定是相似图形的是( )A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形6．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种三、解答题7．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD ＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．8．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．9．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．10．如下图甲所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ．如图乙所示，线段EF ＝10，在EF 上取一点M ，分别以EM ，MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ，设MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?答案:1．对应角相等，对应边的比相等． 2．对应边的比，全等，⋅k1 3．对应角相等，对应边的比相等． 4．C 5．B 6．C7．(1)k ＝2∶3；(2)A ＇B ＇＝9，BC ＝8；(3)3∶2． 8．⋅==750,730AE AD 9．相似． 10．25=x 时，S 的最大值为⋅225《第1章 特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分） 1．下列判定正确的是( )A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C ．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形2．下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．147．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )A．30°B．45°C．22.5° D．135°9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( )A．30°B．22.5° C．15°D．45°10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．611．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C． D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为__________，面积为__________．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为__________．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=__________．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是__________．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE 的长．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．北师大新版九年级上册《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列判定正确的是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】多边形．【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B正确；C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．2．下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形【考点】矩形的判定．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．故选：A．【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选B．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )A．30°B．45°C．22.5° D．135°【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得对角线AC平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以∠FAB为直角的．【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质．9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( )A．30°B．22.5° C．15°D．45°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，故选B．【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，在RT△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．解得：x==5.8（cm）．故选C．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．12．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C． D．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选：A．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm，面积为50cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO==5，∴BD=2BO=10（cm），=×AC×BD=×10×10 =50（cm2）；则S菱形ABCD故答案为：10cm，50cm2．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故答案为：2．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=．【考点】矩形的性质．【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【解答】解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OD，由勾股定理得：AC=13，∴OA=OD=6.5，∵S△ADC=×12×5=×13×DM，∴DM=，∵S AOD=S△APO+S△DPO，∴AO×PE+OD×PF=×AO×DM，∴PE+PF=DM=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是3．【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．【专题】探究型．【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′===3，故PE﹢PC的最小值是3．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC，ED=AF∴四边形AEDF是平行四边形∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形．【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．【考点】正方形的判定．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质可得DE=DF；（2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE是矩形，再由条件DF=DE可得四边形EDFA是正方形．【解答】解：（1）连接AD，∵AB=AC，D是的BC边的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；（2）添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四边形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四边形EDFA是正方形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分，∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=AD，BD=2DO，AB=AD，∴AD=2，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1，答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，则BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P（x，x），∴2x2=（﹣1）2，解得x=2﹣或﹣2+，∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。
相似多边形的性质同步练习(含答案)
相似多边形的性质(典型题汇总)一、选择题1．如图1所示，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，则下列结论中，正确的是（）A．DE BC=12B．DEBC=13C．ADEABC∆∆周长周长=12D．ADEABCSS∆∆=13图1 图2 图32．△ABC三边长分别为2，6，6，△A′B′C′的两边长分别为13 ABC•∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为（）A2 B．22C633．两相似四边形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个四边形周长分别是（ •）A．8cm和12cm B．9cm和11cm C．7cm和13cm D．4cm和16cm4．如图2所示，已知∠1=∠B，则下列各式正确的是（）A．AD：BC=AE：EB B．DE：BC=AD：AC C．AD·AC=AE·AB D．AC·AE=AD·AB 5．如图3，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离为3m，则点P到AB的距离是（）A．56m B．67m C．65m D．103m二、填空题6．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则S△ADE：S四边形DEBC=_____．7．用一个3倍的放大镜照一个多边形，则放大后的面积是原来的______倍．8．如图4所示，在△ABC与△DBE中，AB BC ACBD BE DE===53，且△ABC和△BDE周长之差为10cm，•则△ABC的周长为______．图4 图5 9．如图5，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABC：S△DBE=______．三、解答题10．如图所示，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C的高，且```` AB A B AD A D=，∠C=∠C′，求证：AD·B′E′=A′D′·BE．11．如图所示，设AB BC CAAD DE EA==，求证：∠1=∠2．12．在△ABC中，如图所示，AB=AC，BD为腰上的高，求证：CD·CA=12BC2．参考答案一、1．B 点拨：因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，又因为AD DB =12，所以可知AD AB =13，所以DE BC =13． 2．A 点拨：因为△ABC ∽△A ′B ′C′，所以可知三条边对应成比例，又通过观察知1=所以可知6与另一条边的比也是：1，． 3．A 点拨；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，•周长比等于相似比可求得，此题也可采用排除法，因为题中告诉两个三角形面积比为4：9，所以周长比为2：3，可看备选答案中，哪一个符合2：3．4．C 点拨：因为∠1=∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ABC ，所以有AD AEAB AC=，即AD ·AC=AE ·AB ．5．C 点拨：因为AB ∥CD ，所以△PAB ∽△PCD ．设点P 到AB 的距离为x ，•根据相似三角形对应高的比等于相似比，得3x =25，所以x=65（m ），故选C ．二、6．1：3 点拨：因为△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，面积比为1：4，•所以在△ABC 中减去△ADE ，余下的四边形面积是△ADE 面积的3倍． 7．9 点拨：因为放大比例是3：1，所以面积比就应该是9：1．8．25cm 点拨：因为这两个三角形的三边对应成比例，所以这两个三角形相似，•所以周长比等于相似比等于5：3，又因为周长相差10cm ，所以可以求得△ABC 的周长． 9．9：16 点拨：2269()()816ABC DBE S AB S DB ∆∆===． 三、10．证明：因为∠ADB=∠A ′D ′B ′=90°，````AB A B AD A D =， 所以△ABD ∽△A ′B ′D ′，所以∠ABD=∠A ′B ′D ′． 又因为∠C=∠C ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′．所以``AB A B =````AD BEA DB E =，即AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE ． 点拨：AD ·B ′E ′=A ′D ′·BE 化成比例式为````AD BEA DB E =，因为AD ，A ′D ′，BE ，B ′E•′是△ABC 与△A ′B ′C ′的高．根据相似三角形对应高的比等于相似比，•所以可以想办法证得△ABC ∽△A ′B ′C ′．11．错解：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ． 所以∠BAC=∠DAE ．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD•∽△ACE ．所以∠1=∠2． 正确解法：因为AB BC CAAD DE EA==，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠α+∠3=∠β+∠3，所以∠α=∠β．又因为AB CAAD EA=，•所以△ABD ∽△ACE ．所以∠1=∠2． 点拨：在证△ABD ∽△ACE 时，漏掉条件∠α=∠β，事实上，已证∠BAC=∠DAE ，•只需等式两边都减去∠3即可，但由于存在潜在假设∠BAC=∠DAE 必然得∠α=∠β，•致使判定△ABD ∽△ACE 的理由不充分．12．证明：如图所示，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，因为AB=AC ，所以EC=12BC ，∠AEC=90°． 又因为BD 是腰上的高，所以∠BDA=90°，所以∠AEC=∠BDA ． 又因为∠C=∠C ，所以△AEC ∽△BDC ． 所以EC AC CD BC =，所以CA ·CD=CE ·CB=12BC ·BC=12BC 2．点拨：从结论CD ·CA=12BC 2有CD ·CA=12BC ·BC ，由此想到作底边上的高AE ，有EC=12BC ，则结论化为CD ·CA=CE ·CB ，进而只需证△AEC ∽△BDC 即可．相似多边形的性质一、七彩题1．（一题多解）如图，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求S△EFD：S△ABC．2．（巧题妙解题）如图所示，把△ABC平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于______．二、知识交叉题3．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，AC=63，求BC和BD的长．4．（当堂交叉题）如图，Y ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF的周长的比，如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．三、实际应用题5．△ABC是一块锐角三角形的余料，如图所示，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？四、经典中考题6．（2007，青岛，3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为_____cm．(第6题) (第7题) (第8题) 7．（2007，常州，3分）如图，已知DE∥BC，AD=6，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，•则∠ADE=_____°，DE=____，ADEABCSS∆∆=_____．8．（2008，河南，3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H 在DC边上，且GH=12DC．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为______．五、课标新型题9．（规律探究题）如图所示，点E是四边形ABCD•的对角线BD•上一点，•且∠ABC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比？并证明你的猜想．10．（阅读理解题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．11.如图，E，F分别为Y ABCD的对角线DB上的三等分点，连接AE并延长交DC于P，•连接PF并延长交AB于Q．通过观察，猜测AQ，BQ之间的关系，并说明为什么？参考答案一、1．解法一：因为D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，所以DE EF DF AC BA BC ===12，所以△EFD ∽△ABC ，所以S △EFD ：S △ABC =1：4．解法二：因为D ，E 分别是AB 和BC 的中点，所以DE ∥AC ， 所以∠BDE=∠A ，∠BED=∠C ，所以△BDE ∽△BAC ． 所以2()BDE ABC S BD S AB ∆∆==（12）2=14． 同理，2()ADF ABC S AD S AB ∆∆==（12）2=14，2()CEF ABC S CE S BC ∆∆==（12）2=14， 即S △BDE =S △ADF =S △CEF =14S △ABC ． 所以S △EFD =S △ABC -（S △BDE +S △ADF +S △CEF ）=14S △ABC ，即S △EFD ：S △ABC =1：4． 2-1 点拨：因为△A ′B ′C ′是△ABC 沿AB 边平移得到的， 所以A ′C ′∥AC ，•△ABC 与阴影三角形相似， 所以（`A B AB ）2=12，因为， 所以A ′B=1，故AA ′-1，•本题的巧妙之处在运用平移的性质得到两个三角形相似．二、3．解：因为CD 是Rt △ABC 中斜边上的高，所以△ACD ∽△CBD ∽△ABC ，•因为∠A=30°，所以∠DCB=30°．又因为CD=12设BD=x ，则BC=2x ，在Rt △BCD 中，BC 2-BD 2=CD 2， 所以4x 2-x 2=27，x=3，所以BC=6，BD=3． 4．解：因为AE ：EB=1：2，所以AE AB =13，即AE CD =13． 又因为AB ∥DC ，所以△AEF ∽△CDF ． 故C △AEF ：C △CDF =1：3，S △AEF ：S △CDF =1：9． 故当S △AEF =6cm 2时，S △CDF =6×9=54（cm 2）．三、5．解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC上，△ABC的高AD与PN相交于点E．设正方形的边长为xmm．因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以AE PN AD BC=．因此有8080120x x-=，解之得x=48．答：加工成的正方形零件的边长为48mm．四、6．16 点拨：由题意可知，AB∥CD，△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得453620CD=，解得CD=16（cm）．7．50；6.6；49点拨：相似三角形对应角相等，对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．35 点拨：连EF，则GH//12EF，S矩形EFCD=6×10=60．设EH交FG于O，则△EFO∽△HGO•相似比为2：1，两三角形EF与GH边上的高h1：h2=2：1，h1+h2=6，故h1=4，h2=2，S△EFO=12EH·h1=12×10×4=20，S△GOH=12GH·h=12×5×2=5，故S阴影=S矩形EFCD-S△EFO -S△GOH =60-25=36．此题综合考查矩形性质，•相似三角形相似比，求阴影部分面积．五、9．（1）证明：因为∠BAC=∠DAE．所以∠BAC+∠1=∠DAE+∠1，即∠EAB=∠DAC．又因为∠AEB=∠2+∠DAE，∠ADC=∠2+∠BDC，∠DAE=∠BDC，所以∠AEB=∠ADC，•所以△AEB∽△ADC，所以BE AEDC AD=，即BE·AD=CD·AE．（2）解：BCDE等于ACAD．因为△AEB∽△ADC，所以AD AEAC AB=．又因为∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB．所以BCDE=ACAD．点拨：学会仔细观察图形，从图形中提取解读思路．10．解：（1）在题图①中作CN⊥AB于点N，交GF于点M．因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．因为12×5CN=12×3×4，所以CN=125．因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B．所以△CGF∽△CAB，所以CM GF CN AB=．设正方形的边长为x，则125125x-=5x，解得x=6037．所以正方形的边长为60 37．（2）同（1），125125x-=25x，解得x=6049．（3）同（1），125125x-=35x，解得x=6061．（4）同（1），125125x-=5nx，解得x=602512n+．点拨：根据相似三角形的性质（相等关系）列方程求解，是解答此类问题的一般方法．11.解：猜测：AQ=3BQ．Y ABCD中，DC∥AB，所以△PDF∽△QBF，DP DFBQ BF=，因为E，F分别为BD的三等分点，所以DPBQ=2，•同理ABPD=2，所以ABBQ=4，所以AQBQ=3，即AQ=3BQ．11。
最新2019-2020年度北师大版九年级数学上册《相似多边形》同步练习及答案解析-精品试题
北师大版九年级数学上册3.3相似多边形同步练习一、选择题1.用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（）A．△ABC放大后，是原来的2倍B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍C．△ABC放大后，周长是原来的2倍D．△ABC放大后，面积是原来的4倍答案：A解析：解答：∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．故本题选A．分析：用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．2.我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（）A．960平方千米B．960平方米C．960平方分米D．960平方厘米答案：D解析：解答：16万平方千米平方厘米，=⨯9609.610设画在地图上的面积约为x平方厘米，则162x⨯=：（：万），9.61011000解得x=960．则画在地图上的面积约为960平方厘米．故选D．分析：相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．3.如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=（ ）A ．2：1B ．2：1C ．3：3D ．3：2答案：B解析：解答：∵矩形纸片对折，折痕为EF ， ∴1122AF AB a ==， ∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似， ∴AB AD AD AF =，即12a b b a =， ∴22a b=（）， ∴2a b=． 故选B ． 分析：根据折叠性质得到1122AF AB a ==，再根据相似多边形的性质得到AB AD AD AF =，即12a b b a =，然后利用比例的性质计算即可． 4.两个相似多边形的一组对分别是3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和是278cm ，那么较大的多边形的面积是（ ）A ．44.8B ．42C ．52D ．54答案：D解析：解答：设较大多边形与较小多边形的面积分别是m ，n ．则2344.59n m ==（）． 因而49n m =． 根据面积之和是78cm2．得到4789m m +=． 解得：254m cm =．故选D ．分析：根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．5.两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（ ）A ．1：3B ．1：9C ．1：3D ．2：3答案：A解析：解答：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，∴两个相似多边形的边长之比是1：3，∴它们的周长之比为1：3．故选A ．分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方和相似多边形的周长之比等于相似比得出即可．6.如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：解答：由题意得，A 中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C ，D 中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B 中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B 中矩形不是相似多边形 故选B ．分析：此题考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．7.某块面积为24000m 的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为2250cm ，这块草坪某条边的长度是40m ，则它在设计图纸上的长度是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．10cmD ．40cm答案：C解析：解答：设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm ，224000m 40000000m =，40m=4000cm ， 根据题意得：2400000004000250x=（）， 解得：x=10，即这块草坪在设计图纸上的长度是10cm ．故选C ．分析：首先设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm ，根据题意可得这两个图形相似，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可列方程2400000004000250x=（），解此方程即可求得答案，注意统一单位．8.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（ ）A ．18B ．12C ．24答案：A解析：解答：设这个多边形的最长边是x，则26=，6x解得x=18．故选A．分析：根据题意找出最短边与最长边，然后根据相似多边形对应边成比例列式计算即可．9.若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1答案：B解析：解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为112=：．4故选：B．分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．10.如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25B．1：5C．1：2.5D．15：答案：D解析：解答：∵两个相似多边形面积的比为1：5，：．∴它们的相似比为15故选：D．分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．11.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变答案：D解析：解答：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．分析：根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．12.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．分析：利用相似图形的性质分别判断得出即可．13.如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为（）A．16：9B．4：3C．2：3D．256：81解析：解答：根据题意得：164．93故选：B．分析：根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．14.下列判断正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似答案：B解析：解答：A、所有的直角三角形只有直角相等，所以不一定都相似，故本选项错误；B、所有的等腰直角三角形都相似正确，故本选项正确；C、所有的菱形只有对应边成比例，对应角不一定相等，所以，不一定相似，故本选项错误；D、所有的矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误．故选B．分析：根据对应边成比例，对应角相等的图形叫做相似图形对各选项分析判断后利用排除法求解．15.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转答案：A解析：解答：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．分析：根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．二、填空题16.若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是_____．答案：5：2解析：解答：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，∴这两个多边形的周长比是5：2．故答案为：5：2．分析：根据相似多边形的周长的比等于相似比解答即可．17.图中的两个四边形相似，则x y +=______，a=______．答案：63|85°解析：解答：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18486x y ==：：：，解得x=36，y=27，则362763x y +=+=． 360778311585a =︒-︒+︒+︒=︒（）．故答案为63；85°．分析：根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例即可求解．18.若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于______．答案：4：5解析：解答：∵两个相似多边形面积的比为16：25，∴两个相似多边形周长的比等于4：5，∴这两个相似多边形周长的比是4：5．故答案为：4：5．分析：直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．19.如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为______2cm ．答案：8解析：解答：设留下的矩形的宽为x ，∵留下的矩形与原矩形相似， ∴ 4 48x ＝， x=2，∴留下的矩形的面积为：2248cm ⨯=（）故答案为：8．分析：本题需先设留下的矩形的宽为x ，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积．20.如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若四边形AEFB 与四边形ABCD 相似，AB=4，则AD 的长度为______．答案：42解析：解答：设AE=x ，则AD=2x ，∵四边形ABCD 与矩四边形ABFE 是相似的， ∴AE AB AB AD＝， ∴222AB x =， ∴24AB x ==， ∴22x =， ∴42AD =， 故答案为：42．分析：首先设AE=x ，则AD=2x ，进而利用四边形ABCD 与四边形ABFE 是相似的，则AE AB AB AD＝，进而求出即可三、解答题21.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度．答案：解答：∵四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，360837811881β∠=︒-︒+︒+︒=︒（），EH AD HG DC =：：， ∴242118EH =， ∴EH=28（cm ）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm ．解析：分析：观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH 的长度．22.两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和是278cm ，则这两个五边形面积各是多少2cm ？答案：解答：设较小五边形与较大五边形的面积分别是2cm x ，2cm y ． 则2344.59x y ==（），因而49x y =． 根据面积之和是278cm ，得到4789y y +=， 解得：54y =， 则454249x =⨯=．即较小五边形与较大五边形的面积分别是224cm ，254cm ．解析：分析：根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．23.把一个长方形（如图）划分成两个全等的长方形．若要使每一个小长方形与原长方形相似，问原长方形应满足什么条件？答案：解答：设AE=ED=a ，AB=b ，∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴2a b b a=， ∴222b a =，∵a，b 均为正数，∴2b a =， ∴2222AD a a AB b a===， ∴原长方形的长与宽之比为21：．解析：分析：设AE=ED=a ，AB=b ，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知2a b b a =，再由a ，b 均为正数可知2b a =，故2222AD a a AB b a===，由此即可得出结论． 24.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知2AD ＝ ，求AB 的长．答案：解答：∵2AD ＝， ∴22MD NC ==，∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似， ∴NC MN AB AD =，即222AB AB =， ∴AB=1． 解析：分析：先根据2AD ＝求出MD 的长，再根据矩形DMNC 与矩形ABCD 相似得出矩形对应边的比例式，求出AB 的长即可．25.我们通常用到的一种复印纸，整张称为1A 纸，对折一分为二裁开成为2A 纸，再一分为二成为3A 纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）． 答案：1.414解析：解答：设1A 纸的长为a ，宽为b ，2A 纸的长为b ，宽为2a ， 由1A 、2A 纸的长与宽对应比成比例，得 12a b b a =， 故2 1.4141a b =≈． 故答案为：1.414．分析：分别设1A 纸的长为a ，宽为b ，2A 纸的长为b ，宽为2a ，再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出a b 的值即可．。
数学八年级下北师大版相似多边形同步练习
数学八年级下北师大版相似多边形同步练习Modified by JEEP on December 26th, 2020.相似多边形 同步练习本课导学点击要点________相等、________成比例的两个多边形叫做相似多边形．学习策略解答本节习题应把握以下几方面：（1）了解相似多边形的含义；（2）进一步发展归纳、类比、反思、交流等方面的能力；（3）解题过程中注意对应关系．中考展望本节知识在中考中主要考查相似多边形的含义，多为选择题、填空题．随堂测评基础巩固一、训练平台（第1～5小题各6分，第6小题10分，共40分）1．两个多边形相似的条件是（ ）A ．对应角相等B ．对应边相等C ．对应角相等，对应边相等D ．对应角相等，对应边成比例2．下列图形是相似多边形的是（ ）A ．所有的平行四边形；B ．所有的矩形C ．所有的菱形；D ．所有的正方形3．找出两类永远相似的图形_________、_________．4．在四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，•∠D=∠D ′，且2''''''''3AB BC CD DA A B B C C D D A ====，则四边形________∽四边形________，且它们的相似比是________．5．有一个角为120°的菱形与有一个角为________的菱形相似．6．把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．能力升级二、提高训练（第1～3小题各6分，第4小题10分，共28分）1．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似 C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；D．有一个角对应相等的两个菱形相似2．下列说法中正确的是（）A．相似形一定是全等形 B．不全等的图形不是相似形C．全等形一定是相似形 D．不相似的图形可能是全等形3．如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙丙乙甲1.511.52.5324．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的x，y，z的长和∠α，∠β的度数．三、探索发现（每小题12分，共24分）1．相片框（如图所示）中，内外两个矩形是否相似2．暑假时，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹笑鱼”，个个都长得非常相似，现在根据大小有两种不同的价格，如图所示，鱼长10cm的每条100日元，鱼长18cm的每条150日元，康子不知道买哪条更好些，你看怎么办四、拓展创新（共8分）如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，•它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b），设S甲，S乙分别表示两个正方体的表面积，则2226()6S a aS b b==甲乙，又设V甲，V乙分别表示这两个正方体的体积，则333()V a aV b b==甲乙，下列几何体中，一定属于相似体的是（）A．两个球体 B．两个圆柱体 C．两个圆锥体 D．两个长方体中考演练（中考预测题）把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（）A．2：1 B．4：1 C2：1 D．32：1答案：本课导学各角对应各边对应随堂测评一、1．D 2．D 3．正方形等边三角形4．ABCD A′B′C′D′ 2：35．•60°或120° 65）：2二、1．D 2．C 3．B4．x=3，y=3，z=6，∠α=70°，∠β=120°．三、1．不相似． 2．买18cm长的鱼更合算．四、A ※C。
相似多边形的性质练习题(含答案)
相似多边形的性质练习题（含答案）题目一已知多边形ABCD与多边形EFGH是相似多边形，且已知各个角度的度数如下：∠A = 60°，∠B = 80°，∠C = 100°，∠D = 120°。
如果∠E = 40°，求∠F，∠G和∠H的度数。
解答由于多边形ABCD与多边形EFGH是相似多边形，对应角度相等，因此∠A = ∠E，∠B = ∠F，∠C = ∠G，∠D = ∠H。
已知∠A = 60°，∠E = 40°，代入可得：∠B = ∠F = 60°∠C = ∠G = 80°∠D = ∠H = 100°所以∠F的度数为60°，∠G的度数为80°，∠H的度数为100°。
题目二已知多边形PQRS与多边形UVWX是相似多边形，且已知各边的长度比如下：PQ:UV = 3:4，QR:VW = 2:3，RS:WX = 5:7。
如果PQ = 6 cm，求UV，VW和WX的长度。
解答由于多边形PQRS与多边形UVWX是相似多边形，对应边长的比相等，根据已知条件可得：PQ:UV = 3:4QR:VW = 2:3RS:WX = 5:7已知PQ = 6 cm，代入可得：UV = (PQ * 4) / 3 = (6 * 4) / 3 = 8 cmVW = (QR * 3) / 2 = (QR * 3) / 2 = 9 cmWX = (RS * 7) / 5 = (RS * 7) / 5 = 2.8 cm所以UV的长度为8 cm，VW的长度为9 cm，WX的长度为2.8 cm。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》相似多边形同步练习及答案 (2)
4.3 相似多边形（典型题汇总）1． 两个相似多边形一组对应边分别为3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．32 B ．23 C ．94 D ． 49 2． 在矩形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形EFCB ，那么它们的相似比为（ ） A ．2 B ．22 C ．2 D ．213． 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．104． 如果多边形ABCDEF ∽多边形A `B `C `D `E `F `，且∠A ＝68o ，则∠A `等于（ ） A ．22 o B ．112 o C ．68 o D ．54o 5． 相似多边形对应边之比叫做______.6． 两个相似多边形的最长边分别为10cm 和20cm ，其中一个多边形的最短边为5cm ，则另一个多边形的最短边为______.7． 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝60，CD ＝15，E ，F 分别为AD ，BC 上一点，且EF ∥AB ，若梯形DEFC ∽梯形EABF ，那么EF ＝______.8． E ,F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，AB ＝1，求矩形ABCD 的面积。
9．梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为AB，CD上一点，且梯形AEFD∽梯形EBCF，若AD＝4，BC＝9。
试求AE：EB的值。
10.对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相似多边形吗？试分别举例说明。
11.在长为10，宽为8的矩形ABCD中，点E在长AD上，F在AB上，若所得到的矩形EFCD∽矩形ABCD，试问AE之长是多少？请说明理由。
参考答案1.A2.A3.B4.C5.相似比6.10cm 或2.5cm7.30 8．由ABAEAD AB =，故,2,22==AD AE 故S 矩形ABCD ＝2 9．由BC EF EF AD =，故EF ＝6，所以3264===EF AD EB AE 。
相似多边形 同步练习(含答案)
4．4 相似多边形一、目标导航1．各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；2．相似多边形对应边的比叫做相似比；3．相似多边形的对应边成比例，对应角相等．二、基础过关1．两个矩形一定相似．( )2．两个正方形一定相似．( )3．任意两个菱形都相似．( )4．有一个角相等的两个菱形相似．( )5．边数不同的多边形一定不相似．( )三、能力提升6．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______．7．下面图形是相似形的为 ( )A．所有矩形B．所有正方形C．所有菱形D．所有平行四边形8．下列说法正确的是( )A．所有的三角形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似9．下列四组图形中必相似的是( )A．有一组邻边相等的两个平行四边形B．有一个角相等的两个等腰梯形C．对角线互相垂直的两个矩形D．对角线互相垂直且相等的两个四边形．10．下列说法正确的是( )A．对应边成比例的多边形都相似B．四个角对应相等的梯形都相似C．有一个角相等的两个菱形相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似11．四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为( )A．5:6 B．6:5 C．5:6或6:5 D．8:1512．若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ．13．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ．14．矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB =4，BC =2，EF =2，FG =1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”)15．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG =1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”)16．把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ．17．如图，图（1）是一个正六边形ABCDEF ，使线段BC 、FE 的长增加相等的数，得图（2），将图（1）中的点A 、D 分别向两边拉长相等的量，得图（3）．那么图（1）与图（2）相似吗？图（1）与图（3）相似吗？图（2）与图（3）呢？为什么？18．如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似，∠A ′=65°，A ′B ′=6 cm ， AB =8 cm ， AD =5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A ′D ′， B ′C ′的长．19．如图，矩形ABCD 与矩形EDCF 相似，且CD = 1．求:BC ·CF 的值．F ED C B A20．如图，在□ABCD 中，AB //EF ，若AB = 1，AD = 2，AE =21AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由．21．一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为多少?四、聚沙成塔如图， □ABCD 中，EF //AD ，设AB =a ，BC =b ，若□AEFD ，□EBCF 都与□ABCD 相似，试确定a 与b 之间的关系．F E D CB A F E D CB A参考答案1．×2．√3．×4．√5．√6．①④⑤；7．B ；8．B ；9．C ；10．C ；11．A ；12．27；13．66；14．一定；15．不一定；16．2；17．都不相似，不符合相似定义；18．各角的度数依次为650，650，1150；1150．B 'C '=A 'D '=415cm ；19．BC ·CF =1；20．相似；21．2；22．b 2=2a 2．。
2019届中考数学复习《相似多边形》专题复习训练(有答案)
2019届初三中考数学复习 相似多边形 专题复习训练1．如图是相似多边形的是( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．①④2．若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ．增加了(1＋10%)D ．没有改变3. 若五边形ABCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，且五边形ABCDE 与五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比k 1＝5，则五边形A 1B 1C 1D 1E 1与五边形ABCDE 的相似比k 2为( ) A ．5 B ．15C ．6D ．14. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )5. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对6. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 7. 下列说法正确的是( ) A ．所有的等腰三角形都相似B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似C ．所有的正方形都相似D ．四条边对应成比例的两个四边形相似8. 如图所示，点E 、F 分别为▱ABCD 的边AD 、BC 的中点，且▱ABFE 相似于▱ADCB ，则AB ∶BC 等于( )A ．1∶4B ．4∶1C ．2∶1D ．1∶ 29. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝1，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连接AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为____．10. 已知：如图是两个形状相同的四边形，则α＝ ，a ＝ cm.11．已知四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD ，其相似比k ＝23，若A′B′＝24，则AB ＝________．12. 已知两个五边形相似，一个五边形各边长分别为1、2、3、4、5，另一个五边形最大的边长是8，则这个五边形最短的边长是 .13. 下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有(填序号)．14. 在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛的宽AB＝20米，长AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．15. 如图所示，一块长为2米，宽为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？16. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比k.17. 某机械厂承接一批焊接矩形钢板业务，已知这种矩形钢板在图纸上(比例尺为1∶400)的长和宽分别为3cm和2cm.此机械厂所用原料是边长为4m的正方形钢板，那么焊接一块这样的矩形钢板，至少要用几块边长为4m的正方形钢板才行？18. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是OA、OB、OC、OD的中点，试判断四边形ABCD与A′B′C′D′是否相似，并说明理由．参考答案：1---8 CDBBA DCD9. 5n22n －110. 87° 2.5 11. 3612. 8513. ①③④ 14. 解：由题意得2020＋2y ＝3030＋2x，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)．解得x y ＝32.∴小路的宽x 与y 的比值为32时，能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似．15. 解：不相似，由条件知，AB EF ＝2＋0.22＝1110，BC MF ＝1＋0.21＝65，所以AB EF ≠BCMF.所以两个矩形不相似． 16. 解：(1)∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴DM AB ＝DCAD，设AD ＝x ，则DM＝12x ，∴12x 4＝4x ，∴x 2＝32，∴x 1＝42或x 2＝－42(负值舍去)，∴AD＝4 2.(2)k ＝DM AB ＝224＝22.17. 解：设要焊接的矩形钢板的长为xcm ，宽为ycm ，则3x ＝2y ＝1400，解得x ＝1200(cm)，y ＝800(cm)．故这种钢板的面积为1200×800＝960000(cm 2)＝96(m 2)，96÷(4×4)＝6.所以焊接一块这样的矩形钢板，至少要用6块边长为4m 的正方形钢板才行．18. 解：相似．其理由是：由三角形中位线定理可知A′B′AB ＝A′D′AD ＝D′C′DC ＝B′C′BC ＝12，∠B′A′D′＝∠BAD ，∠A′D′C′＝∠ADC ，∠D′C′B′＝∠DCB，∠A′B′C′＝∠ABC，∴四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.。
相似多边形同步练习(含答案)
4.4 相似多边形典型题练习一、选择题1.关于相似多边形的下列叙述正确的是( )A.对应边相等的多边形叫做相似多边形;B.多边形的边数不同时也可以相似C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形2.下列说法正确的是( )A.两个等腰三角形相似;B.两个等腰梯形相似C.两个直角三角形相似;D.两个等腰直角三角形相似3.下列说法不正确的是( )A.两个正方形相似;B.两个等边三角形相似;C.两个菱形相似D.两个坐标相同的正多边形相似4.关于相似多边形的叙述不正确的是( )A.相似多边形对应边的比叫做相似比B.边数不相同的多边形肯定不相似C.相似多边形的对应角肯定相等D.两个多边形不相似,它们肯定没有相等的角5.将一张矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB•与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比是( ):26.已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,且AB=2,BC=3,AB=4,则B1C1=( )A.6B.15C.5D.8 3二、填空题:1.对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做________________,相似多边形_____________叫做相似比.2.对应角相等的多边形_________(一定或不一定)是相似多边形.3.对应边成比例的多边形_________(一定或不一定)是相似多边形.4.把一张长为10的矩形纸片对折,所得到的矩形与原矩形相似,则原矩形的宽为___________.5.已知六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,且AB=3,BC=4,BC=6,则它们的相似比等于___.6.已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∠A=120°,∠B=60°,∠C=55°,则∠D1=_____.三、计算题:1.各角对应相等的多边形一定相似吗?举例说明.2.如图的两个菱形相似吗?为什么?120︒5DCBA 3D 1C 1B 1A 160︒3.如图的两个矩形相似吗?为什么?6124D 1C 1B 1A 18DCBA四、满足什么条件的两个菱形一定相似?满足什么条件的两个矩形一定相似?满足什么条件的两个四边形一定相似? 五、一块长30米,宽20米的矩形草坪的四周修了宽度相同的步行路,•已知路宽1米,则小路围成的矩形与原草坪矩形相似吗?为什么?六、边数相同的正多边形相似吗?为什么?七、根据相似多边形的定义,易证等边三角形、正方形、正五边形相似,由它们的相似,你能得到什么结论?答案:一、1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A二、1.相似多边形;对应边的比 2.不一定 3.不一定 4.52 5.236.125º三、1.不一定,例如,两个矩形2.相似,因为对应角相等,对应边成比例3.相似,因为对应角相等,都等于90°;对应边成比例四、有一对对应角相等;对应边成比例;对应角相等,对应边成比例五、不相似,因为对应边不成比例六、相似,因为边数相同的正多边形的每一个角都相等,每一条边都相等,•所以它们的对应角相等,对应边成比例,因此相似.七、边数相同的正多边形相似.4.4 相似多边形同步练习班级：_______ 姓名：_______一、请你填一填（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______.（2）已知三个数1，2，3，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________（填写一个即可）.（3）相同时刻的物高与影长成比例，如果有一根电线杆在地面上的影长是50米，同时高为1.5米的标竿的影长为2.5米，那么这根电线杆的高为________米.（4）在一张比例尺为1∶50000的地图上，量得A、B两地的图上距离为2.5 厘米，那么A、B两地的实际距离是________米.二、如图，图（1）是一个正六边形ABCDEF，使线段BC、FE的长增加相等的数，得图（2），将图（1）中的点A、D分别向两边拉长相等的量，得图（3）.那么图（1）与图（2）相似吗？图（1）与图（3）相似吗？图（2）与图（3）呢？为什么？三、解答题（1）如图4—4—1与2—4—2,等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似,∠A′=65°,A′B′=6 cm, AB=8 cm, AD=5 cm,试求梯形ABCD的各角的度数与A′D′、B′C′的长.图4—4—1 图4—4—2（2）如图4—4—3，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？图4—4—3参考答案一、（1）①④⑤ （2）23或23或332（填写一个即可） （3）30 （4）1250米二、图（1）与图（2）不相似，图（1）与图（3）不相似，图（2）与图（3）也不相似.理由略 三、（1）解：∵等腰梯形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，∠A ′=65°∴∠A =65°,∠B =65°∠D=∠C=180°－65°=115°又AD D A AB B A ''='', ∴586D A ''=, ∴A ′D ′=415cm ∴B ′C ′=A ′D ′=415cm （2）解：①两个圆相似②这两个圆的半径分别为50米，60米所以它们的半径之比为5∶6，周长之比为（2π×50）∶（2π×60）即为5∶6，所以这两个圆的半径之比等于周长之比.。
九年级数学上册18.4相似多边形同步练习北京课改版
18.4相似多边形一、夯实基础1．两个矩形一定相似．( ）2．两个正方形一定相似．( ）3．任意两个菱形都相似．( ）4．有一个角相等的两个菱形相似． ( )5．边数不同的多边形一定不相似． ( ）二、能力提升6．下列四组图形中必相似的是( )A．有一组邻边相等的两个平行四边形B．有一个角相等的两个等腰梯形C．对角线互相垂直的两个矩形D．对角线互相垂直且相等的两个四边形．7．下列说法正确的是（ )A．对应边成比例的多边形都相似B．四个角对应相等的梯形都相似C．有一个角相等的两个菱形相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似8．四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2：3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5：4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为（）A． 5:6 B． 6：5 C． 5：6或6：5 D． 8：159．若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ,且AB=12，MN=6,AE=7，则MQ= ．三、课外拓展10。
如图，将一张长、宽之比为2的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．（1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗?(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？（3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？四、中考链接11．（2014 太原)两个正六边形的周长分别为30cm，36cm，则它们的相似比为．12.（2015广州）下列两个图形一定相似的是．Ａ．三角形与四边形Ｂ．两个正五边形Ｃ．两个六边形Ｄ．两个四边形参考答案一、夯实基础1．× 2．√ 3．× 4．√ 5．√二、提升能力6．C ； 7．C ； 8．A ； 9．27； 三、课外扩展 10. 解：（1)矩形ABCD 、BCFE 、AEML 、GMFH 、LGPN 长与宽的比不改变．设纸的宽为a ,长为2a ，则BC =a ,BE =22a AE =22a ，ME =2a MF =2a ，HF =42a LG =42a ，LN =4a ∴BEBC =a ∶22a =2 ME AE = 22a ∶2a =2 2a HF MF =∶242=a 42=LN LG a ∶4a =2 所以五个矩形的长与宽的比不改变．(2）在这些矩形中有成比例的线段．（3）这些大小不同的矩形都相似．四、中考链接11．5:612．B尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北京课改版九年级数学上册第18章 相似形 18.4 相似多边形 同步练习
北京课改版九年级上册第18章相似形18. 4相似多边形同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1. 如图所示，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是 ( ) A.x y ＝1 B.x y ＝a bC.x y ＝baD ．以上答案都不对2. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边为 ( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．123. 两个边数相同的多边形相似应具备的条件是( ) A ．对应角相等 B ．对应边相等C ．对应角相等，对应边相等D ．对应角相等，对应边成比例4. 下列四组图形中，一定相似的是 ( ) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形 D ．正五边形与正五边形5. 下列命题中，是真命题的为 ( ) A ．锐角三角形都相似 B ．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似D．等边三角形都相似6. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她裁剪出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )7. 六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( )A．BC＝2HIB．∠E＝2∠KC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL8. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a，b应满足的条件是()A．a＝2b B．a＝22bC．a＝2b D．a＝4b9. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于( )A.22 B. 2C. 0.618D.210. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF等于( ).A．15 B．20 C．25 D．30二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，在两个相似四边形中，根据已知的数据，图中x＝______，y＝____，α＝______度．12. 如图所示，矩形草坪长20 m，宽10 m，沿草坪四周有1 m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形__________(填“相似”或“不相似”)．13．一张比例尺为1∶250的图纸上，一块多边形区域的周长是54 cm，面积是280 cm2，则该区域的实际周长是________，实际面积是________．14. 在一张由复印机印出来的纸上，一个多边形的一条边长由原来的1 cm变成了4 cm，那么这次复印的放缩比例是________，这个多边形的面积是原来的_______倍．15. 两个五边形相似，一组对应边长分别是3 cm和4.5 cm，若它们的面积之和是78 cm2，则较大的五边形的面积是________．16. 两个相似多边形的最长边分别为35 cm和14 cm，它们的周长的差为60 cm，则这两个多边形的周长分别为____________．17. 已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝______．18. 如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积为a，则▱ABCD的面积为________．(用含a的代数式表示)三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图所示的两个相似四边形中，求未知边x，y的长度和角α的大小．20. (6分) 已知相似的两个矩形中，一个矩形的长和面积分别为4和12，另一个矩形的宽为6，求这两个矩形面积的比．21. (6分)如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝2，求矩形ABCD的面积.22．(6分) 如图所示，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面为1 m，若灯泡距离地面3 m，求地面上阴影部分的面积.23. (6分) 公园里有块草坪，其平面图如图所示，∠A＝90°，其比例尺为1∶2 000，根据图中标注的数据(单位：cm)，求该草坪的实际周长和面积．24. (8分) 如图，M是四边形ABCD的对角线AC上的点，ME∥CD，MF∥BC，MC∶MA＝1∶3.(1)求证：四边形AFME∽四边形ABCD；(2)求四边形AFME与四边形ABCD的面积比．25. (8分) 课本中，把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸，请思考解决下列问题：(1)将一张标准纸片ABCD(AB＜BC)对开，如图①所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：第一步：沿过A 点的直线折叠，使B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE(如图②甲)；第二步：沿过D 点的直线折叠，使C 点落在AD 边上的点N 处，折痕为DG(如图②乙)，此时E 点恰好落在AE 边上的点M 处；第三步：沿直线DM 折叠(如图②丙)，此时G 点恰好与N 点重合．请你探究：矩形纸片ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由．(3)不难发现，将一张标准纸如图③一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2 012次对开后所得标准纸的周长．参考答案1-5 BBDDD 6-10 DACAD 11. 30，125，6512. 不相似13. 135cm ，1750cm 2 14. 1∶4，16 15. 54cm 216. 100cm ，40cm 17.5＋1218. 12a19. 解：∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， ∴184＝y 6＝x7，解得x ＝31.5，y ＝27. a ＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°20. 解： 因为一个矩形的长和面积分别为4和12，则这个矩形的宽为3. 设另一个矩形的长为x ，根据相似多边形对应边的比相等有x 4＝63，解得x ＝8，所以另一个矩形的面积为6×8＝48.则它们的面积的比为1248＝14.21. 解：∵E ，F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，∵矩形ABCD ∽矩形EABF ，∴EA AB ＝ABBC， 即AB 2＝EA·BC ＝12BC 2，又∵AB ＝2，∴BC ＝22，∴矩形ABCD 的面积＝AB·BC ＝2×22＝4 2.22. 解：根据题意和题图可作出如答图所示的图形，DE ，BC 分别是桌面及在地面上形成阴影的直径，根据题意，知DE ＝1.2 m ，FG ＝1 m ，AG ＝3 m. ∴AF ＝AG －FG ＝3－1＝2 (m)． ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AF AG ，即1.2BC ＝23， ∴BC ＝1.8(m)，∴桌面在地面上形成阴影部分的面积为 π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝ π·⎝⎛⎭⎫1.822＝0.81 π(m 2)23. 解：连结BD ，由已知条件可得△ABD 和△BDC 是直角三角形，面积之和是0.0036 m 2，四边形ABCD 周长是0.32 m ， ∵(12000)2＝0.0036S，∴S ＝1.44×104(m 2)． ∵12000＝0.32C，∴C ＝640(m)． 故该草坪的实际周长为640 m ，实际面积为1.44×104 m 2. 24. 解：(1)证明：∵ME ∥CD ，∴△AME ∽△ACD ， ∴AM AC ＝ME CD ＝AEAD，∠AME ＝∠ACD ，∠AEM ＝∠D. 同理可证△AMF ∽△ACB ，∴AM AC ＝MF BC ＝AFAB ，∠AMF ＝∠ACB ，∠AFM ＝∠B ，∴AF AB ＝MF BC ＝ME CD ＝AEAD，∠AFM ＝∠B ，∠FME ＝∠BCD ，∠AEM ＝∠D ，∠FAE ＝∠BAD ，∴四边形AFME ∽四边形ABCD.25. 解：(1)证明：∵矩形纸片ABCD 是标准纸，∴BCAB ＝ 2.由对开的含义知AF ＝12BC ，∴AB AF ＝AB 12BC ＝2·AB BC ＝22＝2，∴矩形纸片ABEF 也是标准纸．(2)是标准纸．理由如下：设AB ＝CD ＝a ，由图形折叠可知DN ＝CD ＝DG ＝a ，DG ⊥EM ，∵由图形折叠可知△ABE ≌△AFE ，∴∠DAE ＝12∠BAD ＝45°，∴△ADG 是等腰直角三角形．∴在Rt △ADG 中，AD ＝AG 2＋DG 2＝2a ， ∴AD AB ＝2a a＝2， ∴矩形纸片ABCD 是一张标准纸．(3)第5次对开后所得的标准纸的周长为2＋24，第2012次对开后所得的标准纸的周长为1＋221005.。
2019学年度九年级数学上册 18.4 相似多边形同步课堂检测 北京课改版
18.4相似多边形考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（）A. B. C. D.2.一个矩形宽为（宽长），剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长是（）A. B. C. D.3.下列说法错误的是（）A.两个等边三角形一定相似B.两个正方形一定相似C.两个矩形一定相似D.两个全等三角形一定相似4.如图是一些镜框，边缘等宽，其内外两个图形一定相似的有（）A.个B.个C.个D.个5.下列说法：①放大（或缩小）的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的；其中正确的说法有（）A.个B.个C.个D.个6.在下面的图形中，形状相似的一组是（）A.任意两个等腰三角形B.任意两个矩形C.任意两个等边三角形D.任意两个菱形7.已知两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（）A. B. C. D.8.有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（）A. B. C. D.9.下列图形不是形状相同的图形是（）A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案C.某人的侧身照片和正面像D.一棵树与它倒影在水中的像精品试卷10.在长，宽的矩形中，截去一个矩形后，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为．A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.沿一张矩形纸较长两边的中点对折后，再对折一次，使两次的折痕平行．如果这两次对折后得到的矩形与原来的矩形纸相似，那么原来矩形纸的长与宽的比为________．12.在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的变成，则这次复印出来的图案的面积是________．13.将直角三角形的三条边都同时扩大倍（为正整数），得到的新三角形为________三角形．14.若如图所示的两个四边形相似，则________．15.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的变成了，这次复印的放缩比例是________．16.两个相似多边形的面积比是，则它们周长比是________．17.将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画________个，你的理由是________．18.如图，、、分别是、、的中点，则四边形与四边形________（填“是”或“不是”）位似图形．19.一个四边形的边长分别是、、、，另一个与它相似的四边形最小边长为，则第二个四边形的周长是________．20.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．三、解答题（共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）21.如图，在矩形中，点、分别是、上一点，若矩形与矩形相似，且，，求的长．22.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？23.如图所示，将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）24.如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．精品试卷25.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．探究：如图甲，已知中，你能把分割成个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…依次规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．①若的面积为，当为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当时，请写出一个反映，，之间关系的等式．（不必证明）答案1.C2.D3.C4.A5.D6.C7.A8.C9.C10.D11.12.13.直角14.15.16.17.无数多边形的形状发生了变化18.是19.20.21.．22.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，∴，，∴，，∴，，∴．23.解：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可以按如下方法分割：24.不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形．25.解：如图：割线就是所求的线段．理由：∵，，∴．①经阶分割所得的小三角形的个数为，∴．精品试卷当时，，当时，，当时，，∴当时，．②．。
2019-2020学年度数学九年级上册第十八章 相似形18.4 相似多边形北京课改版课后练习四十四
2019-2020学年度数学九年级上册第十八章相似形18.4 相似多边形北京课改版课后练习四十四第1题【单选题】下列说法不一定正确的是( )A、所有的等边三角形都相似B、有一个角是100°的等腰三角形相似C、所有的正方形都相似D、所有的矩形都相似【答案】：【解析】：第2题【单选题】用一个5倍的放大镜去观察一个三角形，对此，四位同学有如下说法：甲说：三角形的每个内角都扩大到原来的5倍；乙说：三角形的每条边都扩大到原来的5倍；丙说：三角形的面积扩大到原来的5倍；丁说：三角形的周长都扩大到原来的5倍．上述说法中正确的是( ).A、甲和乙B、乙和丙C、丙和丁D、乙和丁【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列四组图形中，不是相似图形的是( ) A、B、C、D、【答案】：【解析】：第4题【单选题】下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的个数有( )A、4个B、3个C、2个D、1个【答案】：【解析】：第5题【单选题】下列说法正确的是( )A、菱形都相似B、正六边形都相似C、矩形都相似D、一个内角为80°的等腰三角形都相似【答案】：【解析】：第6题【单选题】如图，把其中的一个小正方形看作基本图形，这个图形中不含的变换是( )A、相似（相似比不为1）B、平移C、对称D、旋转【答案】：【解析】：第7题【单选题】某块面积为的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是( )A、4cmB、5cmC、10cmD、40cm【答案】：【解析】：第8题【单选题】下列说法正确的是( )A、所有的等腰三角形都相似B、有一对锐角相等的两个三角形相似C、相似三角形都是全等的D、所有的等边三角形都相似【答案】：【解析】：第9题【单选题】下列四组图形中，一定相似的是( )A、正方形与矩形B、正方形与菱形C、菱形与菱形D、正五边形与正五边形【答案】：【解析】：第10题【单选题】下列说法正确的是( )A、两个矩形一定相似B、两个菱形一定相似C、两个等腰三角形一定相似D、两个等边三角形一定相似【答案】：【解析】：第11题【填空题】某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为______cm．【答案】：【解析】：第12题【填空题】在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm^2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是______cm^2 ．【答案】：【解析】：第13题【填空题】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD 上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=有误S△FGH；④AG+DF=FG．其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上）【答案】：【解析】：第14题【填空题】将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是______【答案】：【解析】：第15题【解答题】已知一矩形长20cm，宽为10cm，另一与它相似的矩形的一边长为10cm，求另一边长．【答案】：【解析】：。
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18.4 相似多边形
基础能力训练
◆相似多边形
1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.
再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论为_______.
2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长为15,则它的最短边长为________.
3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为________.
4.下列多边形中一定相似的为( )
A.两个矩形
B.两个菱形
C.两个正方形
D.两个平行四边形
5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.三个矩形都不相似
6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.
7.矩形ABCD的长与宽之比为3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也为3：2,这两个矩形相似吗?说说你的理由.
◆相似三角形
8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为_______,A′C′=_______,BC=_______.
9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE∥BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.
10.如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜后由A点发出的光线经平面镜BD反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )
A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
12.△ABC 的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别为1和5,如果△ABC～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( ) A.2
2 B.2 C.2 D.22 13.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.
14.已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?为什么?
综合创新训练
◆创新应用
15.如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
(2)求BP：PQ：QR.
◆开放探索
16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E、F分别是AB、CD上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M、N分别从C、F两点同时出发沿CB、FE均以2 cm/s的速度分别向B、E运动.猜想当M、N运动多长时间时,矩形CFNM与矩形AEFD相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.
参考答案
1答案：相似边数相同的正多边形都相似
2答案：3 解析：1
515x =,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别为AD 、
BC 的中点,由已知条件可得：x y y x
=2,即,222x y =∴2
x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2.
4答案：C
5答案：B 解析：∵都为矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.
6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴
BC
EF EF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .
∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.
7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长为3a,宽为2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长为3b,宽为2b,因此两矩形的对应边之比均为a:b,即对应边成比例.又因为矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似.
8答案：8：5 532 415 9答案：2 解析：△ADE~△ABC,△DOE~△COB.
10答案：B 解析：Rt △ABP~Rt △CDP,所以
DP
BP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m.
11答案：C
12答案：B 解析：设第三边长为x,则x 251012==,得2=x .
13答案：解析：设△ABC 的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因为△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,
2
12613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因为BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A ′C′×B′C′=21×24×10=120. 14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0, 则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′).
∴∠C=∠C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′， ∴'
'22B''k k k k A AB ==，'''''k k C B BC C A AC ==，∴''''''C B BC C A AC B A AB ==， ∴△ABC ～△A'B'C'.
15答案：解析：(1)△BCP ～△BER ，△PCQ ～△PAB ，△PCQ ～△RDQ ，△PAB ～△RDQ.
(2)因为四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，所以BC=AD=CE ，AC ∥DE ，所以PB=PR ，2
1=RE PC ，又因为PC ∥DR ，易得△PCQ ～△RDQ ，因为点R 是DE 的中点，所以DR=RE ，所以
21===RE PC DR PC QR PQ ，所以QR=2PQ.
又因为BP=PR=PQ+QR=3PQ ，所以BP ：PQ ：QR=3：1：2.
16答案：解析：①当M 、N 运动2
1s ，矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.。