几个重要的特殊数列
费波纳奇数列
费波纳奇数列费波纳奇数列，又称黄金分割数列，是一种非常特殊的数列。
这个数列的每一项都是前两项之和，从而形成了1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……这样的一组数字。
这个数列的特殊之处在于，它的每一项都是前一项和前两项的和，这样的组合关系使得它具有非常神奇的性质。
这个数列的特殊性质之一，便是它的比值趋近于黄金分割比例。
黄金分割比例是一种非常美学的比例，它是指一条线段分成两段时，较长的一段与整条线段的比值等于较短一段与较长一段的比值。
这个比例的数学表达式为（a+b）/a=a/b，其中a和b分别为较长和较短的线段长度。
费波纳奇数列的比值趋近于黄金分割比例，是因为当n趋近于无穷大时，Fn+1/Fn趋近于黄金分割比例1.6180339887……。
除了黄金分割比例，费波纳奇数列还有其他非常有趣的性质。
例如，这个数列中每个数的个位数字都是以5为周期循环的。
更特别的是，它还具有非常神奇的几何性质，被称为“费波那契螺旋”。
这个螺旋是通过在一个正方形内不断绘制正方形来构建的。
每个正方形的边长都是前一个正方形的边长。
当这个螺旋不断绘制下去时，它所构成的线条和形状非常美妙，被认为是一种非常优美的图形。
费波纳奇数列的应用非常广泛。
例如，在金融领域中，费波纳奇数列被用来预测股价和市场走势。
在自然界中，很多的植物和动物都具有费波纳奇数列的特性。
例如，一些植物的叶子排列和一些动物的身体构造都具有这个数列的性质。
费波纳奇数列是一种非常特殊的数列，它具有非常神奇的性质。
这个数列的比值趋近于黄金分割比例，它的每个数的个位数字都是以5为周期循环的，它还具有非常神奇的几何性质。
费波纳奇数列的应用非常广泛，它被用来预测股价和市场走势，在自然界中，很多的植物和动物都具有这个数列的性质。
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
发散数列的经典例子
发散数列的经典例子发散数列，也被称为无穷数列，是指一个由无数个数字组成的数列，其中每个数字都比前一个数字大。
发散数列是数学中的一个重要概念，在数学、物理、化学等领域都有着广泛的应用。
下面就来介绍几个经典的发散数列。
I. 等比数列等比数列是指一个数列中每个数字都是前一个数字乘以一个常数，即a1, a2, a3, …, an, …的公比为r，即a(n+1)=r*an。
如果r>1，那么这个数列就是一个发散数列。
例如，2, 4, 8, 16, 32, … 这个数列的公比为2，无穷项趋于正无穷。
II. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即a(1)=1, a(2)=1, a(n+1)=a(n)+a(n-1)。
这个数列的性质非常特殊，如下：1. 斐波那契数列是递增的；2. 斐波那契数列的比值随着项数的增加越来越接近黄金分割（约1.618）；3. 斐波那契数列是一个发散数列。
III. 调和级数调和级数是指一个数列中，每一项都是其前一项的倒数加1，即1,1+1/2, 1+1/2+1/3, …, 其通项公式为an = 1 + 1/2 + … + 1/n。
显然，调和级数是一个发散数列，但是其发散速度非常缓慢。
例如，调和级数前1000项的和约为7.48，而前100万项的和已经接近21。
IV. 稀疏数列稀疏数列是指一个数列中，每一项都是前一项的平方根，即a(n+1)=sqrt(an)。
这个数列的性质非常有趣，如下：1. 稀疏数列最初的几项增长迅速，但是随着项数的增加越来越慢；2. 稀疏数列是收敛数列，即其无穷项的极限存在，且为1。
V. 射线数列射线数列是指一个数列中，每一项都比前一项多2n个正整数，其中n 为项数减1，即a(1)=1, a(n+1)=a(n)+2n。
这个数列的性质如下：1. 射线数列是一个发散数列；2. 射线数列的无穷项是完全平方数，即a(n)=n^2。
总的来说，发散数列是数学中非常重要却也十分神秘的概念之一，这些经典发散数列不仅有着自己独特的性质和规律，而且在科学和工程中都有着广泛的应用。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
#【数学】【数论】几个特殊的数
#【数学】【数论】⼏个特殊的数素数 ⼤于1且不被其他整数（除了1和其本⾝）整除的整数。
质数定义为在⼤于1的⾃然数中，除了1和它本⾝以外不再有其他因数。
⽰例：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41...回⽂数 “回⽂”是指正读反读都能读通的句⼦，它是古今中外都有的⼀种修辞⽅式和⽂字游戏，如“我为⼈⼈，⼈⼈为我”等。
在数学中也有这样⼀类数字有这样的特征，成为回⽂数（palindrome number）。
设n是⼀任意⾃然数。
若将n的各位数字反向排列所得⾃然数n1与n相等，则称n为⼀回⽂数。
例如，若n=1234321，则称n为⼀回⽂数。
注意： 1.偶数个的数字也有回⽂数124421 2.⼩数没有回⽂数 ⽰例： 1千以内的回⽂数 在⾃然数中，最⼩的回⽂数是0，其次是 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,45 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959 ⼈们迄今未能找到⾃然数(除0和1)的五次⽅，以及更⾼次幂的回⽂数。
于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是⾃然数)形式的回⽂数。
在电⼦计算器的实践中，还发现了⼀桩趣事：任何⼀个⾃然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进⾏下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到⼀个回⽂数。
常数列和常数
常数列和常数常数列和常数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
常数列是一组相同的数按一定规律排列而成的序列，例如1、1、1、1、1...就是一个常数列，其中的数都等于1。
常数是指不变化的值，可以是任意数。
在这篇文章中，我们将介绍常数列和常数，探讨它们的重要性以及它们在实际应用中的作用和意义。
常数列是一种特殊的数列，它们的每一项都相等。
常数列可以表示为a1, a2, a3, ..., an，其中a1=a2=a3=...=an。
例如，1、1、1、1、1...就是一个常数列，其中的每一位都等于1。
常数列在数学中起着重要的作用，它们经常出现在代数学、几何学、微积分和概率论等领域中。
在代数学中，常数列的一些性质很有用。
例如，如果给定一个常数列，它的每一项都等于a，那么它的和就可以表示为n×a，其中n是该常数列的项数。
这种方法可以用来求和一些简单的等差数列，例如1、2、3、4、5...，其中的a=1，n=5，因此和为5×1=5。
在几何学中，常数列可以用来描述等距离的点或线段。
例如，在平面直角坐标系中，如果给定两个点(x1, y1)和(x2, y2)，并且它们之间的距离等于d，那么它们所有可能的组合就可以表示为两个常数列x和y。
常数也是数学中的一个重要概念。
常数是指在运算中保持不变的值。
这些常数可以是整数、小数、自然数或者其他类型的数。
常数在数学中有许多应用，特别是在代数学中。
在代数学中，常数通常被用来表示未知变量或者在方程中使用。
在实际应用中，常数列和常数都有广泛的应用。
它们在物理、工程、经济学、计算机科学等领域中都有重要的作用。
例如，在工程领域中，常数列可以用来描述一些周期性的现象，例如电流、光波等。
在经济学中，常数也有着广泛的应用。
例如，在投资中，常数可以表示每期的投资金额或者每期的收益率。
在计算机科学中，常数列和常数是计算机算法设计中的一项重要技术，它们在算法的分析和设计中都有着重要的作用。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
特殊数列（长期项目）
特殊数列（长期项⽬）前排提醒： L A T E X 可能过多，请耐⼼等待加载斐波那契数列（Fibonacci ）可能不是很特殊，但是确是最为常见的，看名字就知道明显是个叫做斐波那契的⼈发现的，全名 莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）（意⼤利）。
定义： f 0=0,f 1=1,f n =f n −1+f n −2(n ≥2)⽣成函数 F (x )=11−x −x2通项公式： f n =1√5[(1+√52)n −(1−√52)n ]，推导⽅式有很多种，这⾥使⽤最简单的两种特征⽅程法：(都是⾃⼰盲猜的，有误请指正)数列中特征⽅程法本质上就是构造等⽐数列，只不过完全看不出来（瞎猜）f n =f n −1+f n −2⟺f n −f n −1−f n −2=0可以看出 f n 、f n −1、f n −2 形式⼀样，我们可以直接盲猜设其为 f n =aq n （虽然很假但是我想不到其他数列了），则aq n +2−aq n +1−aq n =0⟺aq n (q 2−q −1)=0⟺aq n (q −1+√52)(q −1+√52)=0有 f 1,n =a (1+√52)n ,f 2,n =a (1−√52)n 将特解线性组合得通解 f n =Af 1,n +Bf 2,n将 f 0=0,f 1=1 代⼊：Aa +Ba =0(1)Aa 1+√52+Ba 1−√52=1(2)解(1):a (A +B )=0∵再将两个结论代⼊原数列：\begin{aligned} f_n = \ &Aa(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n+Ba(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n \\ =\ & Aa[(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n] \\ =\ & \dfrac{1}{\sqrt5}\l eft[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \end{aligned}⽣成函数法：f_n 的普通型⽣成函数为 F(x)，则 F(x) = x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...+f_n x^n+...利⽤⽆穷项的特性，显然有 F-Fx=Fx^2+x \iff F=\dfrac{x}{1-x-x^2}然后因式分解、裂项：\begin{aligned} F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2} = \dfrac{x}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)} ,解得 \phi_1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}, \phi_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\\ &=x(\dfrac{a}{1-\p hi_1x}+\dfrac{b}{1-\phi_2x})=x(\dfrac{a+b-x(a\phi_2+b\phi_1)}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)}) \\ \iff &\begin{cases} a+b=1\\a\phi_2+b\phi_1=0\end{cases}, 解得\be gin{cases} a=\dfrac{5+\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5+1}{2}\\ b=\dfrac{5-\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5-1}{2} \end{cases} \\ \iff F(x) &=ax\dfrac{1}{1-\phi_1x}+bx\dfrac{1}{1-\phi_2x} \\ &=ax(1+\phi_1x+\phi_1^2x^2+...+\phi_1^nx^n+...)+bx(1+\phi_2x+\phi_2^2x^2+...+\phi_2^nx^n+...) \\&=\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1+\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^nx^n+...) \\ &-\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1-\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1-\sqr t5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^nx^n+...) \end{aligned}据此，我们很容易看出 f_n = \dfrac{1}{\sqrt5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]很好，这样最简单的通项公式就推导完了⼀些性质：与黄⾦分割⽐的关系：\large \lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{f_{n-1}}{f_{n}} = \dfrac{\sqrt5-1}{2}\rm{Proof:}f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \iff \dfrac{f_n}{f_{n-1}}=1+\dfrac{f_{n-2}}{f_{n-1}}，设极限 \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f_n}{f_{n-1}}存在且为 x 。
几个重要的特殊数列
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在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
数列的认识初中二年级
数列的认识初中二年级数列是数学中的重要概念，它在初中二年级的学习中扮演着至关重要的角色。
通过对数列的认识与理解，学生能够培养逻辑思维、分析问题的能力，并为更高层次的数学学习打下坚实的基础。
本文将介绍数列的定义、常见类型以及解题方法，旨在帮助初中二年级的学生更好地认识和理解数列。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数所组成的集合。
数列中的每个数称为数列的项，用通项公式的形式表示。
通项公式是指根据数列的位置确定每一项的规律，便于进行计算和推导。
二、常见类型的数列1.等差数列等差数列是指数列中相邻的两项之差都相等的数列。
在等差数列中，如果第一项为a，公差为d，则通项公式可以表示为an = a + (n-1)d，其中n表示第n项。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻的两项之比都相等的数列。
在等比数列中，如果第一项为a，公比为r，则通项公式可以表示为an = ar^(n-1)，其中n表示第n项。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为an = an-1 + an-2，其中n表示第n项。
三、解题方法1.等差数列的解题方法对于已知的等差数列，有以下几种常见的解题方法：（1）计算任意一项的值：利用通项公式，根据已知条件可求出数列中任意一项的值。
（2）计算项数和总和：通过已知条件求出数列的项数和总和。
（3）判断是否为等差数列：观察数列，计算相邻两项之差是否相等，若相等则说明为等差数列。
2.等比数列的解题方法对于已知的等比数列，有以下几种常见的解题方法：（1）计算任意一项的值：利用通项公式，根据已知条件可求出数列中任意一项的值。
（2）计算项数和总和：通过已知条件求出数列的项数和总和。
（3）判断是否为等比数列：观察数列，计算相邻两项之比是否相等，若相等则说明为等比数列。
3.斐波那契数列的解题方法对于已知的斐波那契数列，有以下几种常见的解题方法：（1）计算任意一项的值：根据已知的前两项，通过递推公式an = an-1 + an-2可求出数列中任意一项的值。
数列知识点公式归纳总结
数列知识点公式归纳总结数列是数学中常见的概念，它可以通过一定的规律来表示一系列的数值。
在数学学科中，数列的研究与应用非常广泛，无论是在纯数学中的数论、代数，还是在应用数学中的物理、经济学等领域都有数列的应用。
因此，熟练掌握数列的知识点和公式对于提高数学水平以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将针对数列的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用数列的概念。
在总结中，将包括一些常见的数列类型、特殊数列的性质以及数列求和公式等内容，以供读者参考和学习。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之间的差等于一个常数。
在等差数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等差数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
2. 前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
3. 通项公式：对于等差数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之间的比等于一个常数。
在等比数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等比数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
2. 前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
3. 通项公式：对于等比数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。
通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，之后每一项都是前两项的和。
初一数学布谷数
初一数学布谷数布谷数是一种特殊的数列，它的规律十分有趣。
在布谷数列中，每个数都是前两个数的和。
例如，数列的前几个数字依次为1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列中的每个数字都是前两个数字之和。
布谷数列最早是由意大利数学家列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在13世纪发现的。
他发现这个数列可以用来描述理想化的兔子繁殖问题。
假设一对兔子每个月能繁殖一对小兔子，并且新生的小兔子在出生后第二个月就能开始繁殖。
那么，第一个月有一对兔子，第二个月会出现第二对兔子，第三个月会出现第三对兔子，以此类推。
这个问题可以用布谷数列来描述，第n个月的兔子对数就是布谷数列的第n个数字。
布谷数列不仅在生物繁殖问题中有应用，还在数学领域中有广泛的应用。
它在自然界中也有出现，如植物叶子的排列方式、花瓣的数目等都与布谷数列有关。
布谷数列还有一些有趣的性质和特点。
首先，它的增长速度非常快。
随着n的增大，布谷数列的每个数字都会越来越大。
其次，布谷数列中的相邻两个数的比值会越来越接近黄金分割比例（约等于1.618）。
这个比例在古代被认为是最美的比例，因此布谷数列也被称为黄金分割数列。
此外，布谷数列还有一些与二项式展开等数学问题相关的特性。
在计算布谷数列时，我们可以使用递归方法或迭代方法。
递归方法是一种将问题分解为更小规模子问题的方法，通过不断调用自身来求解。
迭代方法则是通过循环计算得到结果。
对于较大的n，迭代方法通常更高效。
除了布谷数列，数学中还有许多有趣的数列和数学问题值得我们探索和研究。
例如，等差数列和等比数列都是常见的数列类型，它们都有自己的特点和规律。
在解决实际问题时，我们可以通过找到数列的规律，进而推导出通用的解决方法。
数学是一门充满魅力的学科，通过学习数学，我们可以培养逻辑思维和问题解决能力。
布谷数列作为数学中的一个有趣的问题，不仅能够激发我们对数学的兴趣，还能让我们从中感受到数学的美妙和深邃。
斐波那契数列的特点有哪些？
斐波那契数列的特点有哪些？斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的特点是每个数都是前两个数的和。
具体来说，数列的前两个数是0和1，后面的数就是前面两个数的和，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，这个数列被称为“斐波那契数列”。
这个数列的特点不仅仅是这些，还有以下几个方面：1.数列中的每个数都是前两个数的和。
这个特点已经在前面提到了。
这个特点是斐波那契数列的最基本的特点，也是最容易理解的特点。
这个特点使得斐波那契数列具有了很多有趣的性质和应用。
2.数列中的每个数都是它前面所有数的和。
这个特点是斐波那契数列的一个比较深奥的性质。
这个性质意味着，如果我们知道了数列中的前n-1个数，就可以求出第n个数。
这个性质在斐波那契数列的应用中非常重要。
3.数列中的每个数都是它后面所有数的差。
这个特点是斐波那契数列的另一个比较深奥的性质。
这个性质意味着，如果我们知道了数列中的后n-1个数，就可以求出第n个数。
这个性质在斐波那契数列的应用中也非常重要。
4.数列中的每个数都是黄金分割数列的一部分。
黄金分割数列是另一个非常特殊的数列，它的特点是每个数都是前一个数的倒数加1。
具体来说，数列的前两个数是0和1，后面的数就是前面一个数的倒数加1，即0，1，1.5，1.6666，1.6，1.625，1.6154，1.619，1.6176，1.6182，……，这个数列被称为“黄金分割数列”。
斐波那契数列中的每个数都是黄金分割数列的一部分。
具体来说，第n个斐波那契数是黄金分割数列中第n+1个数与第n个数的商。
5.数列中的每个数都可以表示成若干个不同的斐波那契数的和。
这个特点是斐波那契数列的一个非常有趣的性质。
具体来说，每个斐波那契数都可以表示成若干个不同的斐波那契数的和。
例如，8可以表示成5+3，13可以表示成8+5，21可以表示成13+8，等等。
这个性质在斐波那契数列的应用中也非常重要。
斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用非常广泛，涉及到数学、计算机科学、自然科学、经济学等多个领域。
数列的概念
5. 数列的分类: (1) 按项数分：有穷数列与无穷数列； (2) 按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常 数列与摆动数列.
探究：是否存在同时满足下列三个条件的数列： （1）是递减数列； （2）是无穷数列； （3）首项为1且每一项都大于0
开心辞典： 观察以下几个数的特点，按照其中的规律说出括号
思考：共同特点：
（1） 都是一列数； (2) 都有一定的顺序 1.数列的概念：一般地，按一定次序排列的一列数叫 作数列。
2. 数列的项:
数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号相关，排在第一位的 数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二
位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的 数成为这个数列的第n项.
巩固练习:1.下列实例能否构成数列 （1）高二（2）班全体同学的身高； ( 2)高二（2）班全体同学的姓名按学号的次序排成一列； （3）高二（2）班全体同学的出生年份按学号的次序排成一列。
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“1，2，3，4， 5，……”是同一数列吗？区别在哪？
金牌数
1988年 汉城
小结：
1、数列概念（注意与函数、集合进行比较) 2、数列通项公式的求法 3、数列的表示方法（列表法、图象法、解析法）。
在练习中细心分析不要马虎，多试验，找规律， 对各种各样的数列试着分析和记忆，培养分析问题、 观察问题、解决问题的能力。
1.1 数列的概念
1.斐波那契数列（又称黄金数列） 1,1,2,3,5,8,13,21，……
2.科学史上的一个真实故事： 3,6,12,24,48,96,192,……
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数
1, 3,
几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。
这个数列的通项公式如何去求？特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x+=2，其根为特征根。
因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为：251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nnn B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
公考机械分组数列
公考机械分组数列摘要：1.公考机械分组数列简介2.公考机械分组数列的性质3.公考机械分组数列的应用4.总结正文：公考机械分组数列是一种特殊的数列，主要出现在我国公务员考试的逻辑填空题中，帮助考生提高解题效率。
它具有以下几个性质：1.公考机械分组数列简介公考机械分组数列通常由三个部分组成：项、分组符号和项数。
例如：“3、5、10、( )”，其中“3”是项，“5”是分组符号，“10”是项数。
项是指数列中的具体数值，分组符号用于分隔数列中的各项，项数则是数列中项的总数。
2.公考机械分组数列的性质公考机械分组数列具有以下性质：(1) 项数列：将分组符号去掉，得到的数列就是项数列。
例如：“3、5、10”，去掉分组符号后得到的是“3、5、10”。
(2) 分组数列：将项去掉，得到的就是分组数列。
例如：“、5、10”，去掉项后得到的是“、5、10”。
(3) 公比：分组数列中的相邻两项之比。
例如：“、5、10”，公比为5/1=5。
(4) 等差：项数列中的相邻两项之差。
例如：“3、5、10”，等差为5-3=2。
3.公考机械分组数列的应用公考机械分组数列在公务员考试的逻辑填空题中有着广泛的应用。
考生可以通过观察和分析数列的性质，快速找到规律，从而提高解题效率。
例如，给出一道逻辑填空题：“9、18、32、( )”，通过观察发现，这是一个公考机械分组数列，项数列是“9、18、32”，分组数列是“、18、32”，公比为18/9=2，等差为18-9=9。
因此，下一个数应该是32+9=41。
4.总结公考机械分组数列是一种特殊的数列，它可以帮助考生在公务员考试的逻辑填空题中快速找到规律，提高解题效率。
数列的特殊性质问题
数列的特殊性质问题数列是数学中的一个重要概念，其作用在各个领域都得到了广泛的应用。
数列中有许多特殊性质问题，这些问题在不同的领域都有重要的应用。
本文将对数列的特殊性质问题进行介绍和解析。
一、等差数列与等比数列等差数列和等比数列是数列中常见的两种类型。
在等差数列中，每个数与它的前一项之间的差是一个常数。
在等比数列中，每个数与它的前一项之间的比是一个常数。
以等差数列为例，设第一项为a1，公差为d，那么它的通项公式如下所示：an = a1 + (n - 1)d （n为数列中的任意一项）对于一个等比数列，假设第一项为a1，公比为q，则它的通项公式为：an = a1 * q^(n-1) （n为数列中的任意一项）等差数列和等比数列具有许多特殊性质，其中最重要的一条是它们都具有有限项和无限项两种情况。
二、等差数列的求和对于一个等差数列来说，它的求和是一个重要的问题。
根据等差数列的通项公式可知，在等差数列中，任意两项之和等于它们的平均数的两倍。
因此，我们可以利用这个性质求出等差数列的和。
对于一个有n项的等差数列来说，它的和为：Sn = （a1 + an）* n / 2这个公式被称为等差数列的求和公式。
三、等比数列的求和等比数列求和是一个比较复杂的问题，因为等比数列中每两项之间的比是常数，并不方便直接求和。
不过，我们可以使用数学技巧来解决这个问题。
假设等比数列的第一项为a1，公比为q，数列的和为S。
那么可以得到以下的式子：S = a1 + a2 + a3 + ... + anq * S = a2 + a3 + ... + an + an+1将两个式子相减可得：S - q * S = a1 - an+1因此，等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)由此可知，对于一个无穷等比数列来说，当公比q小于1时，数列的和将无限趋近于一个有限值；当公比q大于1时，数列的和将无限趋近于正无穷大；当公比q等于1时，数列的和将不存在。
等比数列等差数列知识点归纳总结
等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。
在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。
本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。
一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。
具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。
2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。
等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、平均数问题、等差数列的图像和几何问题等。
二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。
具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的常用术语包括首项、公比、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。
2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。
公比可以是正数、负数或零，但不能为1。
3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。
等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、计算几何问题和金融领域的应用等。
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几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧 洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，个月初时免房里的免子的对数，则有，第可以用表示第个月初就已经个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对；在免房内的免子，共对，于是有。
有现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
：设二阶常系数线性齐次递推式为特征根法），其特征方程为（，其根为特征根。
则其通项公式为），若特征方程有两个不相等的实根（1），其中A、B由初始值确定；（（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为），其中A、（B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出），对应的特征方程为因此对于斐波那契数列，其特征根为：所以可设其通项公式为，，得利用初始条件，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）项和；（1）斐波那契数列的前2）；（（3））；（）；（ 4 （）（5（））；．分群数列2 ：按照一定的规则依顺序用括{}将给定的一个数列我们将如在上述数列中，作为第号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第一组，将组有（个元素，即可得到以组为单位的序列：（），），（），……我们通常称此数列为分群数列。
的分群数列用如下的形式表示：（），{ 一般地，数列}），（），……，其中第1个括号称为第（1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，{}称为这个分群数列的原数列。
如果某一个元素在分群数列的第而数列个群中的第个，则称这个元素为第群中，且从第个元个括号的左端起是第素。
{} 值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。
如对数列分群，还可以得到下面的分群数列：），（个群中有第个元素的分群数列为：（），）…；（），（第），个群中有个元素的分群数列为：（）…等等。
（．周期数列3如果存在一个常数，对于数列{恒，}使得对任意的正整数{有T项起的周期为的周期数列是从第成立，则称数列}。
若，若，则称数列{为纯周期数列}，为}混周期数列，则称数列{T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：（1 ）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；；周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）（ 2）{}，T是数列}{也是数列的周期，则对于任意的（3）如果的周期；{}是数列的任一周期，则必有是数列}{的最小正周期，M4 （）如果T ）；T|M，即（M={分别为（5 （）已知数列}{}满足为常数），，的前，则项的和与积，若；是的自然数，若是某个取定大于1除} （6）设数列{是整数数列，则称数列后的余数，以{即，且，是}{若模数列则称。
的模数列，记作}关于是周期的，是关于模的周期数列。
）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。
（74．阶差数列记为}{－，把它的连续两项与，的差对于一个给定的数列；如果一阶差数列}得到一个新数列，把数列的称为是原数列{{的一阶差数列，}，则称数列的是是数列二阶差数列；{}的，其中阶差数列。
依次类推，可以得到数列阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列如果某一数列的。
其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：则它的一阶等差数列是阶差数列；如果数列是{}阶等差数列，（1）{2）数列 } 是阶等差数列的充要条件是：数列的{}的通项是关于（次多项式；的是关于项之和{}次是阶等差数列，则其前3 （）如果数列多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。
解决问题的基本方法有：； (1)逐差法：其出发点是nn是确项和(2)S待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前n的)，(关于先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即定次数的多项式得fnanfn)(( +1)(3) 裂项相消法：其出发点是－能写成=(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为设数列 1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比如果某一个数列它的一般地说，则称这为二阶等比数列。
的等比数列，1不为而阶差数列是公比不为1阶等差数列不是等比数列，的等比数列，则称这个数。
列为阶等比数列，其中0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。
典例分析，．记例1．的通项公式为数列整除．，使得能被8，求所有的正整数（2005年上海竞赛试题）解：记，可得注意到因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定式可以算出各项除以8，故由(*) 的余数从而6为周期的数列，，……，它是一个以，0,5，7,0，1,3依次是1,3故当且仅当，且每位数字只的各位数字之和为N的个数，例２N．设是下述自然数或4，求证：能取1、3是完全平方数，这里分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。
方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。
且。
其中设，时，4分别1， 3假设，删去，时，则当依次取时，故当，等于（1），作数列且：现用数学归纳法证明下述两式成立：（2））3 （因为）两式成立。
3）（2时（故当．）两式成立，由当时，由（31）（）时，（假设当2）（的定义以及归纳假设，知式、）两式对于一切自然数）（3）两式对于成立。
故（22 这样（）（3）即可知是完全平方数。
2成立。
，由（的递推关系式寻求的递推关系式，从这个递推关系式方法二：由与斐波那契数列的关系。
对求且其中设，。
时，4分别1假设，，删去时，则当3，依次取时，等于，故当所以时，有令，则当，下用数学归纳法证明因为，其中是斐波那契数列：且，当时结论显然；于是时结论成立，设时命题成立。
即当是完全平方数，从而，从上述证明可知，对一切正整数也是完全平方数。
}:中所有能被3或3．将等差数列5{整除的数删去例{剩下的数自小到大排成一个数列后,},的值求.（2006年江西省竞赛试题）当且仅当是3或5的倍3故若是或5的倍数,解 :,由于数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+ )＝(0,60]∪(60,120]∪{}的项15个,(120,180]∪…注意第一个区间段中含有,{}的项8其中属于即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.个, :为,,,,,,, ,{}的项个,个 {}的项,8于是每个区间段中恰有 15而,8×250+6,r≤8.由于2006＝,k∈N,1 且有≤所以 .组有个奇数进行分组：从小到大按第例4．将正奇数集合{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？nn组1991介于其中，而第组的第1个数与最后一个数，解：需要写出第的最后一个数为。
第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1)2+1－，。
由题意知1]+2=2(n－1)2+12(n位，即且1991 解得(n－，故1)2且，从而 32级中。
于第，将，公差为的首项是按第组有个数的例5．设等差数列法则分组如下：，，……，，是第几组的第几个数？并求出试问所在那组的各项的和。
项，=）1－k位于第解：设组，则前（+3…3+6+9+组共有即所以解此方程组得：，－（，所以且因为。
其中个数，是第。
组的第因此，为首项，组是以因为第为公差的等差数列，所以其所有项的和等于，其中。
例６．设奇数数列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的个数分群如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19）， (2)（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？（II）求第个群中的所有的元素之和。
解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群：（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19）， (3)由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第4个元素。
对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数列（2）中的第402个群中的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2个元素。
（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。
）的第3群2）的第若群的元素是数列（为偶数，则，则数列（个元素之和是5）的第群的，34，5个元素，由于数列（3，所以的第数列（2）中的第群的元素之和为；的第）（32则数列（）若为奇数，的第设群的元素是数列，）的第32个元素。
由于数列（个元素之和是，所以群的第1群的5，群的元素之和为中的第2）。
数列（数列7．的个位数字（）， 5：1，9，8，，……，例其中是试证明： 4是的倍数。
，则得数列：，0中为奇或偶数时，分别记为 1证明：数列1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，与1110001001，，，，，，，，，；…且的奇偶性相同。
的定义及前面得到的新数列，由于数列的一些项，可见，为周期的周期数列，即得是以15……，，，而，即在1985到 2000的这……于是16项中，奇数、偶数各有8项，由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，由此命题得证。
，，试证：对于一切例8，．已知所有的项都不是4，的倍数。
知由题设中的递推关系，的奇偶性只有三种情况：证明：方法一：均不是4奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶。
的倍数。
下中的所有项都不是面证明4的倍数。
均为奇数，是假设存在则，的倍数的最小下标，且4为偶数。
所以由于和是，得4的倍数，与所设的矛盾！因此命题得证。
方法二：由于该数列不是周期数列，但模4后得到的数列是周期数列，从开头的几项1，2，7，29，22，23，49，26，－17，……模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，……发现这是一个周期为3的周期数列。