几个重要的特殊数列

几个重要的特殊数列基础知识

1．斐波那契数列

莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧 洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？

这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，

个月初时免房里的免子的对数，则有，第可以用表示第个月初就已经个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对；在免房内的免子，共对，于是有。有

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

：设二阶常系数线性齐次递推式为特征根法

），其特征方程为（，其根为特征根。

则其通项公式为），若特征方程有两个不相等的实根（1），其中A、B

由初始值确定；（

（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为

），其中A、（B由初始值确定。（这个问题的证明我

们将在后面的讲解中给出）

，对应的特征方程为因此对于斐波那契数列，其特征根为：

所以可设其通项公式为，，

得利用初始条件，解得

所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：

它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）

项和；（1）斐波那契数列的前

2）；（

（3））；（

）；（ 4 （）

（5（））；

．分群数列2 ：按照一定的规则依顺序用括{}将给定的一个数列我们将如在上述数列中，作为第号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第一组，将组有（个元素，即可得到以组为单位的序列：（），），（），……我们通常称此数列为分群数列。

的分群数列用如下的形式表示：（），{ 一般地，数列}

），（），……，其中第1个括号称为第（1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，{}称为这个分群数列的原数列。如果某一个元素在分群数列的第而数列个群中的第个，则称这个元素为第群中，且从第个元个括号的左端起是第素。

{} 值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列分群，还

可以得到下面的分群数列：

），（个群中有第个元素的分群数列为：（），

）…；（

），（第），个群中有个元素的分群数列为：（）…等等。（

．周期数列3

如果存在一个常数，对于数列{恒，}使得对任意的正整数

{有T项起的周期为的周期数列是从第成立，则称数列}。若

，若，则称数列{为纯周期数列}，为}混周期数列，则称数列{T的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质：

（1 ）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

；周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）（ 2）

{}，T是数列}{也是数列的周期，则对于任意的（3）如果的周期；

{}是数列的任一周期，则必有是数列}{的最小正周期，M4 （）如果T ）；T|M，即（M=

{分别为（5 （）已知数列}{}满足为常数），

，的前，则项的和与积，若；

是的自然数，若是某个取定大于1除} （6）设数列{是整数数列，

则称数列后的余数，以{即，且，是}

{若模数列则称。的模数列，记作}关于是周期的，是关于模的周期数列。

）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。（7

4．阶差数列

记为}{－，把它的连续两项与，的差对于一个给定的数列；如果一阶差数列}得到一个新数列，把数列的称为是原数列{

{的一阶差数列，}，则称数列的是是数列二阶差数列；

{}的，其中阶差数列。依次类推，可以得到数列阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列如果某一数列的。

其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。

高阶等差数列具有以下性质：

则它的一阶等差数列是阶差数列；如果数列是{}阶等差数列，（1）

{2）数列 } 是阶等差数列的充要条件是：数列的{}的通项是关于（次多

项式；

的是关于项之和{}次是阶等差数列，则其前3 （）如果数列多项式。

高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。解决问题的基本方法有：

； (1)逐差法：其出发点是

nn是确项和(2)S待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前

n的)，(关于先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即定次数的多项式得

fnanfn)(( +1)(3) 裂项相消法：其出发点是－能写成=

(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的

{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为设数列 1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比

如果某一个数列它的一般地说，则称这为二阶等比数列。的等比数列，1不为而阶差数列是公比不为1阶等差数列不是等比数列，的等比数列，则称这个数

。列为阶等比数列，其中

0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。

典例分析

，．记例1．的通项公式为数列

整除．，使得能被8，求所有的正整数

（2005年上海竞赛试题）

解：记

，可得注意到