固体物理第二章4
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S xx S S yx S zx S xy S yy S zy S xz S yz S zz
应变张量是个对称二级张量，只有6个独立的元。
如果把双下标按下列对应关系换成单下标
xx 1, yy 2, zz 3, yz , zy 4, zx , xz 5, xy , yx 6
y
Tx Txxi Tyx j Tzx k Ty Txyi Tyy j Tzy k Tz Txzi Tyz j Tzz k
x
Tz Sz
y
此处 i, j = x, y, z
第一下标i表示应力的方向，第 二下标j表示应力所作用的面的法
用简化下标时：
11 22,22 11,33 33, 23 13,31 32,12 21
1 2,2 1,3 3 4 5,5 4,6 6
于是弹性模量中21个独立分量的下标，将发生如下变换：
11 12 13 14 15 16 22 21 23 25 24 22 23 24 25 26 11 13 15 14 33 34 35 36 33 35 34 44 45 46 55 54 55 56 44 66
s c
四、弹性模量的对称性
1
通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证
明， cλ μ 具有交换脚标的对称性，即： cλ μ
＝
c
μ λ
因此，矩阵（C）为一对称矩阵，只有21个独立元素。
c11 c12 C c 16
c12 c22 c26
张量的9个分量写为 T , T , T ;T21 , T22 , T23 ;T31 , T32 , T33 11 12 13
用矩阵表示
T11 T T21 T31
T12 T22 T32
T13 T23 T33
一、应力张量
1、应力定义：固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。 弹性恢复力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平 衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生—个趋向于使其恢复 到平衡位置的力。 一个物体处于受力状态，一般有两种情况： * 物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻 体力，例如重力； * 另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形 变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作
可以写成矩阵的形式
T c S
或统一表示为：
T1 c11 T2 c 21 T c 3 31 T4 c 41 T5 c51 T c 6 61
c12 c 22 c32 c 42 c52 c62
Txx x x Txx x yz
三式相加，可得作用在体积元Δ xΔ yΔ z上的力的x分量为：
Txx ( x )
Txx Txy Txz xyz y z x
作用在单位体积上的力的x分量为：
z
Txx ( x x )
y
x
作用在体积元上的应力
Txx Txy Txz Tx x y z
同理，可得作用在单位体积上的力的 y、z 分量：
Txy Txz Txx Tx x y z T yx T yy T yz Ty (2) x y z Tzy Tzx Tzz Tz x y z
面的切向，代表切应力。
应力张量矩阵表达式
晶体中某点(x.y.z)的应力状态 对应9个应力分量用矩阵表示，即
y
Tyy Tzy Tyz
Tzz Txz
Txx Tn T yx Tzx
Txy T yy Tzy
Txz T yz Tzz
Txy
Txx
Tzx
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在静力平衡条件下，内应力
被写成一个六元纵列矩阵。
S S1
S2
S3
S4
S5
S6
t
三、胡克定律、晶体弹性模量
胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其 数学表达式为：
T1 T 2 T3 T4 T5 T6
c11 s1 c12 s2 c16 s6 c21 s1 c22 s2 c26 s6 c31 s1 c32 s2 c36 s6 c41 s1 c42 s2 c46 s6 c51 s1 c52 s2 c56 s6 c61 s1 c62 s2 c66 s6
计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：
线段在长度方向上的相对伸长
（或缩短）量称为正应变， PA的正应变为：
u x dx u x ux x S xx l i m x 0 x u x x
PB线段的正应变
S yy
u y y
坐标轴间夹角的变化：
从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:
26 16 36 56 46 66
11 12 13 14 15 16 22 21 23 25 24 22 23 24 25 26 11 13 15 14 33 34 35 36 33 35 34 44 45 46 55 54 55 56 44 66
z
作用在物体上的总力矩等于零。
物理意义：当不存在体积转矩时， 在相互垂直的面上，垂直于该二 面交线的切应力相等。
作用在立方体上的应力张量元
Tyz Tzy , Tzx Txz , Txy Tyx
即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。 常用符号Th代表应力分量：
T1 Txx , T2 T yy , T3 Tzz , T4 T yz , T5 Tzx , T6 Txy (1)
T c S ( 1,2, 6)
1
6
系数cλ μ 称为晶体的弹性模量。我们也可以把晶体的应变和应力的 关系写成如下形式：
S sT ( 1,2, 6)
1
6
系数Sλ μ 称为弹性系数，从上面两式可以看出，弹性模量张量和弹
性系数张量是互逆的，即：
xx 1, yy 2, zz 3, yz , zy 4, zx , xz 5, xy , yx 6
以三个4度轴为坐标轴，先绕z轴转90度，则坐标将按以下方式变换：
x y, y x , z z
或简写为：
1 2,2 1,3 3
于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：
Tzy Tyz
Tzz
Tyy Txy
Tyx
向。
例如作用在垂直于X轴的单位面 积上沿X方向的应力是Txx 。这类应 力是垂直于表面的，称为正应力， 代表张力或压力; 作用在垂直于X轴的单位面 积上沿Y方向的应力是Tyx 。这类
z
Tzx Txz
Txx
x
作用在立方体上的应力张量元
应力是沿着表面的，即平行于表
11 22,22 11,33 33, 23 13,31 32,12 21
y
x
注意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后
两个下标分别具有对称性，因此我们通常采用以下方法简化下标来 代替双下标，对应关系如下：
11 1 22 2 33 3
23,32 4 31,13 5 12,21 6
并规定： 2 S 2 S S u y uz yz zy 4 z y
2 S zx 2 S xz S 5 2 S xy 2 S yx
u z u x x z u y u x S6 y x
则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常
PA转过的角度为
u y uy dx u y u y x lim x 0 x x
PB转过的角度为
ux y
定义：PA与PB线段的偏转角之和为
切应变
1 1 u y u x S xy S yx ( ) x y 2 2
用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面
积之比就称为应力。 即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的 力。
应力定义：
z
lim
S 0
Tn Tn S
T y S y
Tx S x
直角坐标系中，（x,y,z）点，以
x,y,z为外法线的面积元上的应力 分别为
n
Tn Sn
位置所产生的内应力也随方向不同。
显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。
张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单
位基矢量为
e1 , e2 , e3
一般张量可写为
Tij ei e j ( i , j 1,2,3)
ij
ei e j 称为并矢，作为张量的9个基。
c16 c26 c66
c11 c12 C c 16
c12 c22 c26
c16 c26 c66
如果晶体具有对称性，独立元素的数目还要减少。 对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元； 而对称性最大的立方晶系，如果将坐标轴取作立方体轴，矩阵只 有三个不为零的矩阵元。 下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。
同理，对于yz和xz平面，可求得
S zz
uz , z uz 1 u y z y 2 , u x 1 uz 2 x z
S yz S zy S zx S xz
由以上可知，某一点的应变有9个分量，用矩阵表示，则为
T1 T Tn 6 T5
T6 T2 T4
T5 T4 T3
Txx ( x )
作用在单位体积元上的力与应力张
量元的关系 如图所示，沿x方向力的分量
z
Txx ( x x )
y
x
有三个：
作用在体积元上的应力
Txx x yz x Txy Txy y y Txy y zx y zx y Txz Txz z z Txz z xy z xy z
二、应变张量
当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变:
介质间发生的相对位移，称之为应变。
质点位移表示
u ux i uy j uz k
如图，在固体中取xy平面，P为任 一点，PA＝Δ x，PB＝ Δ y，PA平行x 轴，PB平行于y轴，由于形变，P，A， B三点分别移到
P, A, B
§2.8
应力、应变、胡克定律
固体的弹性性质：
固体的范性性质：
假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒 子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏 移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；--------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡
c13 c 23 c33 c 43 c53 c63
c14 c 24 c34 c 44 c54 c64
c15 c 25 c35 c 45 c55 c65
c16 S1 c 26 S 2 c36 S 3 (3) c 46 S 4 c56 S 5 c66 S 6
应变张量是个对称二级张量，只有6个独立的元。
如果把双下标按下列对应关系换成单下标
xx 1, yy 2, zz 3, yz , zy 4, zx , xz 5, xy , yx 6
y
Tx Txxi Tyx j Tzx k Ty Txyi Tyy j Tzy k Tz Txzi Tyz j Tzz k
x
Tz Sz
y
此处 i, j = x, y, z
第一下标i表示应力的方向，第 二下标j表示应力所作用的面的法
用简化下标时：
11 22,22 11,33 33, 23 13,31 32,12 21
1 2,2 1,3 3 4 5,5 4,6 6
于是弹性模量中21个独立分量的下标，将发生如下变换：
11 12 13 14 15 16 22 21 23 25 24 22 23 24 25 26 11 13 15 14 33 34 35 36 33 35 34 44 45 46 55 54 55 56 44 66
s c
四、弹性模量的对称性
1
通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证
明， cλ μ 具有交换脚标的对称性，即： cλ μ
＝
c
μ λ
因此，矩阵（C）为一对称矩阵，只有21个独立元素。
c11 c12 C c 16
c12 c22 c26
张量的9个分量写为 T , T , T ;T21 , T22 , T23 ;T31 , T32 , T33 11 12 13
用矩阵表示
T11 T T21 T31
T12 T22 T32
T13 T23 T33
一、应力张量
1、应力定义：固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。 弹性恢复力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平 衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生—个趋向于使其恢复 到平衡位置的力。 一个物体处于受力状态，一般有两种情况： * 物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻 体力，例如重力； * 另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形 变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作
可以写成矩阵的形式
T c S
或统一表示为：
T1 c11 T2 c 21 T c 3 31 T4 c 41 T5 c51 T c 6 61
c12 c 22 c32 c 42 c52 c62
Txx x x Txx x yz
三式相加，可得作用在体积元Δ xΔ yΔ z上的力的x分量为：
Txx ( x )
Txx Txy Txz xyz y z x
作用在单位体积上的力的x分量为：
z
Txx ( x x )
y
x
作用在体积元上的应力
Txx Txy Txz Tx x y z
同理，可得作用在单位体积上的力的 y、z 分量：
Txy Txz Txx Tx x y z T yx T yy T yz Ty (2) x y z Tzy Tzx Tzz Tz x y z
面的切向，代表切应力。
应力张量矩阵表达式
晶体中某点(x.y.z)的应力状态 对应9个应力分量用矩阵表示，即
y
Tyy Tzy Tyz
Tzz Txz
Txx Tn T yx Tzx
Txy T yy Tzy
Txz T yz Tzz
Txy
Txx
Tzx
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在静力平衡条件下，内应力
被写成一个六元纵列矩阵。
S S1
S2
S3
S4
S5
S6
t
三、胡克定律、晶体弹性模量
胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其 数学表达式为：
T1 T 2 T3 T4 T5 T6
c11 s1 c12 s2 c16 s6 c21 s1 c22 s2 c26 s6 c31 s1 c32 s2 c36 s6 c41 s1 c42 s2 c46 s6 c51 s1 c52 s2 c56 s6 c61 s1 c62 s2 c66 s6
计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：
线段在长度方向上的相对伸长
（或缩短）量称为正应变， PA的正应变为：
u x dx u x ux x S xx l i m x 0 x u x x
PB线段的正应变
S yy
u y y
坐标轴间夹角的变化：
从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:
26 16 36 56 46 66
11 12 13 14 15 16 22 21 23 25 24 22 23 24 25 26 11 13 15 14 33 34 35 36 33 35 34 44 45 46 55 54 55 56 44 66
z
作用在物体上的总力矩等于零。
物理意义：当不存在体积转矩时， 在相互垂直的面上，垂直于该二 面交线的切应力相等。
作用在立方体上的应力张量元
Tyz Tzy , Tzx Txz , Txy Tyx
即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。 常用符号Th代表应力分量：
T1 Txx , T2 T yy , T3 Tzz , T4 T yz , T5 Tzx , T6 Txy (1)
T c S ( 1,2, 6)
1
6
系数cλ μ 称为晶体的弹性模量。我们也可以把晶体的应变和应力的 关系写成如下形式：
S sT ( 1,2, 6)
1
6
系数Sλ μ 称为弹性系数，从上面两式可以看出，弹性模量张量和弹
性系数张量是互逆的，即：
xx 1, yy 2, zz 3, yz , zy 4, zx , xz 5, xy , yx 6
以三个4度轴为坐标轴，先绕z轴转90度，则坐标将按以下方式变换：
x y, y x , z z
或简写为：
1 2,2 1,3 3
于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：
Tzy Tyz
Tzz
Tyy Txy
Tyx
向。
例如作用在垂直于X轴的单位面 积上沿X方向的应力是Txx 。这类应 力是垂直于表面的，称为正应力， 代表张力或压力; 作用在垂直于X轴的单位面 积上沿Y方向的应力是Tyx 。这类
z
Tzx Txz
Txx
x
作用在立方体上的应力张量元
应力是沿着表面的，即平行于表
11 22,22 11,33 33, 23 13,31 32,12 21
y
x
注意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后
两个下标分别具有对称性，因此我们通常采用以下方法简化下标来 代替双下标，对应关系如下：
11 1 22 2 33 3
23,32 4 31,13 5 12,21 6
并规定： 2 S 2 S S u y uz yz zy 4 z y
2 S zx 2 S xz S 5 2 S xy 2 S yx
u z u x x z u y u x S6 y x
则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常
PA转过的角度为
u y uy dx u y u y x lim x 0 x x
PB转过的角度为
ux y
定义：PA与PB线段的偏转角之和为
切应变
1 1 u y u x S xy S yx ( ) x y 2 2
用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面
积之比就称为应力。 即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的 力。
应力定义：
z
lim
S 0
Tn Tn S
T y S y
Tx S x
直角坐标系中，（x,y,z）点，以
x,y,z为外法线的面积元上的应力 分别为
n
Tn Sn
位置所产生的内应力也随方向不同。
显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。
张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单
位基矢量为
e1 , e2 , e3
一般张量可写为
Tij ei e j ( i , j 1,2,3)
ij
ei e j 称为并矢，作为张量的9个基。
c16 c26 c66
c11 c12 C c 16
c12 c22 c26
c16 c26 c66
如果晶体具有对称性，独立元素的数目还要减少。 对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元； 而对称性最大的立方晶系，如果将坐标轴取作立方体轴，矩阵只 有三个不为零的矩阵元。 下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。
同理，对于yz和xz平面，可求得
S zz
uz , z uz 1 u y z y 2 , u x 1 uz 2 x z
S yz S zy S zx S xz
由以上可知，某一点的应变有9个分量，用矩阵表示，则为
T1 T Tn 6 T5
T6 T2 T4
T5 T4 T3
Txx ( x )
作用在单位体积元上的力与应力张
量元的关系 如图所示，沿x方向力的分量
z
Txx ( x x )
y
x
有三个：
作用在体积元上的应力
Txx x yz x Txy Txy y y Txy y zx y zx y Txz Txz z z Txz z xy z xy z
二、应变张量
当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变:
介质间发生的相对位移，称之为应变。
质点位移表示
u ux i uy j uz k
如图，在固体中取xy平面，P为任 一点，PA＝Δ x，PB＝ Δ y，PA平行x 轴，PB平行于y轴，由于形变，P，A， B三点分别移到
P, A, B
§2.8
应力、应变、胡克定律
固体的弹性性质：
固体的范性性质：
假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒 子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏 移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；--------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡
c13 c 23 c33 c 43 c53 c63
c14 c 24 c34 c 44 c54 c64
c15 c 25 c35 c 45 c55 c65
c16 S1 c 26 S 2 c36 S 3 (3) c 46 S 4 c56 S 5 c66 S 6