1—1代数式的恒等变换方法与技巧

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代数式的基本性质及常见运算方法

代数式的基本性质及常见运算方法首先，我们来了解一下什么是代数式。

代数式是由数字、字母、加、减、乘、除、括号等符号组成的式子，它们可以表示出各种运算过程中不确定的数或量。

代数式是代数学中的基本概念，是进行代数运算和解决代数问题的必备工具。

1. 代数式的基本性质1.1 代数式的结构性质代数式是由数字、字母和运算符号等符号组成，是一个形式化的东西。

代数式的基本组成部分是项和系数。

如下所示，这个代数式可以分解为两个项，每个项都有自己的系数和变量。

3x + 5y代数式的结构性质通常表现为代数式的平衡和对称性。

平衡是指代数式两侧的表达式相等，如下所示：3x + 5y = 2x + 7y对称性是指代数式两侧的表达式可以交换位置而不改变式子的结果，如下所示：3x + 5y = 5y + 3x1.2 代数式的运算性质代数式在进行运算时具备以下性质：（1）加、乘的交换律a +b = b + aa ×b = b × a（2）加、乘的结合律（a + b）+ c = a +（b + c）（a × b）× c = a ×（b × c）（3）分配律a ×（b + c） = ab + ac（4）加法的逆元a +（-a） = 0（5）乘法的逆元a ×（1/a） = 12. 代数式的常见运算方法2.1 合并同类项合并同类项是将代数式中相同的变量和指数的项合并为一个项，从而简化代数式。

合并同类项的方法是先把同类项提取出来，再把它们相加或相减。

例如：3x + 2y + 5x - 4y =（3x + 5x）+（2y - 4y）= 8x - 2y2.2 因式分解因式分解是把代数式分解成若干个因数的积的形式，从而求出代数式的根或因子。

例如：x² - 5x + 6 = （x - 2）（x - 3）2.3 提取公因式提取公因式是将代数式中所有项的公因子提取出来，从而得到代数式的最简式。

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用例1 、已知ab=1，求221111ba +++的值 [解] 把ab=1代入，得221111b a +++ =22b ab aba ab ab +++ =b a a b a b +++=1例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理练习：1111,1=++++++++=c ca cb bc b a ab a abc 证明：若二、配方法例1、若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b aa b +之值。

[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩⎨⎧-=-=.1,1b a当a=1，b=1时，b aa b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b aa b +=1+1=2 例1 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例 2 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a ＝b ，c=d ．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例4 已知|a|+|b|=|ab|+1，求a+b 之值 [解] ∵|a|+|b|=|ab|+1∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 (|a|-1)(|b|-1)=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0 当a=-1，b=-1时，a+b=-2[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。

代数式的恒等变换

代数式的恒等变换方法与技巧例：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。

由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。

这样可避免增根和遣根的出现。

解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。

这时，原方程有惟一实根x =。

一、分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。

分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立：（a=；（b1=；（c2=。

解：(0)m m =≥ 记方程左边为f(x)，则()f x =1|1|1|112xx≥==≤≤由此可知，当m=时，原方程的解集为1[,1]2；当m∈时，解集为∅；当)m∈+∞m=，解得21(2)4x m=+。

即当)m∈+∞时，原方程的解集为21{(2)}4m+。

例2：在复数范围内解方程组2225553,3,3.x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：考虑数列*,n n nna x y z n=++∈N。

不难证明此数列满足递推式321()()n n n na x y z a xy yz zx a xyza+++=++-+++，其中1253,3a a a===。

利用基本恒等式，得2121()32xy yz zx a a++=-=，312311[()]33xyz a a a xy yz zx a=--++=，∴{}na的递推式化为*3213133,3n n n na a a a a n+++=-+⋅∈N由此得432313543323113349,33102733a a a a a a a a a a a a=-+⋅=---+⋅=-由53a=，得310273a-=，∴33a=。

浅谈代数式恒等变形的常用方法

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浅谈代数式恒等变形的常用方法
作者：白祥福
来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第03期
【摘要】代数式的恒等变形是初等数学重要知识点之一，是解决其它问题—函数及方程
的重要前提和手段。

其中也包含着数学观点和思维方法。

学习掌握、灵活运用代数式的恒等变形，能提高运算能力和逻辑思维能力。

【关键词】代数式；恒等变形；公式法；拼凑法；代换法
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0011-02
两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。

把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等
变形。

为了完成代数式的证明、求值及化简等问题，我们常要对某些代数式（或解析式）进行恒等变形。

要较好地掌握代数式的恒等变形，首先要掌握代数式的相关公式、性质，并能灵活应用；其次要搞清楚该代数式变形的目的、方向和方法；第三是储备较丰富的解题实践经验。

代数式恒等变形的具体手段和技巧较多，一般有配方、因式分解、换元、设参、拆项与合并等。

下面结合例题从大的方面浅谈代数式的恒等变形的常用方法。

1 公式變形法
例1 若比较，
的大小。

分析：对于参数分为和两种情况讨论，分别去掉绝对值符号后再比较大小是可以的，但这种方法不简洁。

注意到，再结合一些公式的灵活变形，则可进行下列变化：
因为，所以可见
由此得证：。

评注：平方差公式大家很熟悉，但其在此题的变形目的、方向上作用不够。

而由其变形公式。

恒等变形知识点总结

恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。

在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。

首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。

2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。

3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。

4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。

这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。

在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。

接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。

1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。

例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。

通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。

2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。

例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。

通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。

例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。

通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。

代数变形常用的技巧

代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。

恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。

中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。

这些知识都是代数中的最基础的知识。

有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。

而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

代数式变形与技巧讲稿

A 、1B 、2C 、3D 、4代数式变形与技巧（一）徳阳二中邓正健如果两个代数式对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么这两个代数式恒等。

把一个代数式换成和它恒等的代数式，称为代数式的恒等变形（或恒等变换）。

整式、分式、根式的运算及因式分解等都是恒等变形。

代数式的恒等变形广泛应用于计算.化简.求值、证明、解方程之中，是数学中非常重要的变形（运算）的方式。

能否将代数式进行适当、巧妙的变形，使问题获解，也是衡量学生数学能力的标志之一。

因此，掌握恒等变形无论是对参加数学竞赛，还是进一步学好数学, 提高运算能力，都必将起到积极的促进作用。

代数式的变形方法灵活多变，技巧性强，即要求学生牢固掌握代数式运算的基本法则，又要注意学习代数式恒等变形的方法和技巧。

下面将通过具体实例介绍一些代数式常用的变形方法和技巧。

一、利用因式分解进行代数式的变形因式分解本身就是恒等变形的一种形式。

常用的方法除提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法之外，还有添（拆）项法、配方法、换元法、待定系数法等。

山于后面还要专门探索代换法、配方法、待定系数法在代数式的变形中的使用，所以这里不再展开。

例 1、计算:1991X 19921992-1992X 19911991 解：1991X 19921992-1992 X 19911991 =1991X1992X10001-1992X1991X10001分析：此题主要考察因式分解与约分的内容，已知条件首先要化成与所求式相关的X 2 + 4 = 11的形式，然后将所求式的分子与分母同时变形，直到化成只含 X 2+4=H 时为止，再把X 2+-L=H 代入即可。

解：Vx-- = 3, •"+丄=11x H (x 2+ l) + (x 2+l) _ (x 2+l)(x 8 + l) x 6(x 4 +1) + (x 4 +1) _ (x 4 + l)(x 6 + 1)x(x + —)^x 4(x 4 + —) (2 +r 广一2x x — __________ 疋 “LX H—V + —)X —)X + r -1)对对对例3、满足等式：还+曲-丁2003兀- j2OO3y + 丁2003貯=2003的正整数对（如刃的个数是（）o分析：等式左边虽然很复杂，但通过观察分析知，它是仮、"的代数式，因而可例2、当兀一丄=3时,x X 104-X 8+X 2+l x ,0 + x 6+x 4 + l严+/+宀 1 严+.{+F+l代入得,原式=「7 =丄11x(11-1) 110考虑用因式分解方法来解。

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。

字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。

对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。

定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。

两个代数式恒等的概念是相对的。

同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。

因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。

定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。

代数式的变形，可能引起定义域的变化。

如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。

由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。

这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。

由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。

例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。

由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。

这样可避免增根和遣根的出现。

恒等变换的使用方法

恒等变换的使用方法
恒等变换是一种常用的研究方法，通过恒等变换，可以将问题中的解析式化为有利于解决这个问题的某种特定形式。

常见的恒等变换有以下几种方法：
1. 因式分解法：在解题过程中，对某步骤出现的整式进行因式分解，以促使问题得到解决。

2. 降次与升次：主要将三角函数中的项的指数降低或者升高，从而使得解题过程简化。

运用这一方法进行恒等变换时，要学会巧妙地运用正弦、余弦、正切函数的二倍角公式及其变形。

3. 化弦法：主要是利用正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六种三角函数之间的关系进行恒等变换。

以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。

数学代数式变形技巧课件

数学代数式变形技巧课件数学中的代数式变形是指通过合理的变换规则将一个代数式转化为另一个等价的代数式，常用于解方程、证明等问题的推导过程中。

掌握代数式变形技巧，可以帮助我们更好地理解数学概念，简化计算过程，提高解题效率。

本课件将介绍一些常见的代数式变形技巧，并配有示例演示，旨在帮助学生掌握这些技巧，提升数学能力。

一、因式分解与合并因式分解和合并是代数式变形中常见且重要的技巧，它们可以将一个复杂的代数式简化为更简洁的形式。

1. 因式分解因式分解是将一个代数式拆分为多个乘积的形式，常用于简化计算、解方程等过程。

示例1：分解二次三项式对于形如ax² + bx + c的二次三项式，我们可以通过因式分解将其分解为两个一次项的乘积形式。

例如，对于2x² + 7x + 3，我们可以通过因式分解得到(2x + 1)(x + 3)。

示例2：分解完全平方差对于形如a² - b²的完全平方差，我们可以通过因式分解将其分解为两个一次项的乘积形式。

例如，对于x² - 9，我们可以通过因式分解得到(x + 3)(x - 3)。

2. 因式合并因式合并是将多个项合并为一个因式的过程，常用于简化计算、提取公因式等。

示例1：合并同类项对于形如3x + 4x + 2的代数式，我们可以将其中的同类项合并得到7x + 2。

示例2：提取公因式对于形如3x² - 6x的代数式，我们可以提取公因式得到3x(x - 2)。

二、化简与拓展化简与拓展是代数式变形中的重要技巧，它们可以帮助我们更好地理解代数式的性质，简化计算过程。

1. 化简代数式化简代数式是通过运用代数性质和运算规则，将一个复杂的代数式简化为更简单的形式。

示例1：化简分式对于形如(x² - 4)/(x + 2)的代数式，我们可以通过因式分解和约分的方法，将其化简为(x - 2)。

示例2：化简根式对于形如√(x² + 4x + 4)的代数式，我们可以通过完全平方公式，将其化简为(x + 2)。

代数式的恒等式与方程的解法

代数式的恒等式与方程的解法代数是数学中的一个重要分支，它研究各种代数结构及其运算规则。

在代数中，恒等式和方程是两个重要的概念。

恒等式是指两个代数式在任意给定的数值下都有相等的结果，而方程则是将一或多个未知数和一个或多个已知数之间的关系用代数式表示，并寻找使之成立的未知数值。

一、恒等式的概念及解法在代数中，恒等式是一种关系式，它对于任意给定的数值都成立。

恒等式的解法通常是将等式两边进行变形化简，直至推导出相等的结果。

例如，对于恒等式x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)，我们可以将其展开变形为x^2 - y^2 = x^2 - xy + xy - y^2，然后合并同类项得到0 = 0，这说明恒等式对于任意的x和y都成立。

另一个例子是恒等式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，我们可以将其展开变形为a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2，这样两边是相等的，所以恒等式成立。

二、方程的概念及解法方程是一种包含一个或多个未知数的等式，我们需要找到使之成立的未知数值，这些值称为方程的解。

解方程的基本思想是利用数学运算的性质，通过等式的变形和化简来求得未知数的值。

首先，我们可以通过合并同类项、移项和因式分解等方法将方程转化为简化形式。

例如，对于方程2x + 5 = 9，我们可以先将等式两边都减去5，得到2x = 4，然后再除以2，最终解得x = 2。

同样地，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x - 2) = 0，这样我们可以得到两个解：x = 2和x = -2。

对于一些复杂的方程，我们可能需要运用更高级的解法。

例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)来求解。

其中，根的个数和判别式D = b^2 - 4ac的正负性有关。

代数式与恒等变形

第5讲爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手 1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+.13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题：？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ …… )]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n 在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+= 读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α 本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解．解设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+ 则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc - 由①+②+③，得 )2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x 题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且x z z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx 解由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值，题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证：由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解由已知，得.,22z a y a x a a y -=-=两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-= 即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。

第1讲：整式的恒等变形

第一讲整式的恒等变形【专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。

代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。

通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。

整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。

整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。

其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：（1）3223333)(b ab b a a b a ±+±=±（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++（3）))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a ΛΛ下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：一、运用运算性质和法则➢ 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11整除3x-7y+12z 。

➢ 例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y 的值。

➢ 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19，求d-b 的值。

二、灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。

➢ 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++ΛΛ➢ 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9的倍数。

初一数学代数式的基本运算规律与技巧总结

初一数学代数式的基本运算规律与技巧总结在初一数学学习中，代数式作为重要的内容之一，是建立起数学基础的关键。

掌握代数式的基本运算规律与技巧，不仅可以帮助我们解决各种数学问题，还可以培养我们的逻辑思维和推理能力。

本文将对初一数学代数式的基本运算规律与技巧进行总结，以帮助广大初一学生更好地掌握这些知识。

一、基本概念在学习代数式之前，我们首先需要了解一些基本概念。

代数式由数字、字母和运算符号组成，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算。

例如，2x^2 + 3xy - 4表示了一个代数式，其中2x^2、3xy和-4就是代数式的各个项。

二、合并同类项的规律在进行代数式的运算时，我们常常需要合并同类项。

所谓同类项，是指具有相同的字母和字母指数的代数式。

例如，2x^2和3x^2就是同类项，可以进行合并。

合并同类项的规律如下：1. 同类项的系数相加。

例如，2x^2 + 3x^2 = 5x^2。

2. 保留同类项的字母和字母指数。

例如，2x^2 + 3x^2 = 5x^2。

3. 没有同类项的项保持不变。

例如，2x^2 + 3xy - 4不可以合并，保持不变。

通过合并同类项，我们可以简化代数式，使其更加简洁和易于计算。

三、代数式的加法与减法规律在初一数学中，我们要掌握代数式的加法与减法规律。

具体规律如下：1. 加法的规律：两个代数式相加时，只需将各个项按照字母和字母指数进行对应相加即可。

例如，(2x^2 + 3xy) + (4x^2 - 2xy) = 6x^2 + xy。

2. 减法的规律：两个代数式相减时，先将被减数取相反数，再按照加法规律进行运算。

例如，(2x^2 + 3xy) - (4x^2 - 2xy) = 2x^2 + 3xy - 4x^2 + 2xy = -2x^2 + 5xy。

通过掌握代数式的加法与减法规律，我们可以对各种代数式进行有效的计算与变形。

四、代数式的乘法规律代数式的乘法是初一数学学习中的重点内容之一。

高考数学中的代数式的变形技巧与方法

高考数学中的代数式的变形技巧与方法代数式作为高考数学中的一项重要考点，需要考生在备战高考的过程中，熟练掌握各种代数式的变形方法与技巧。

在这篇文章中，我们将针对高考数学中的代数式的变形技巧与方法进行探讨，帮助考生更好地应对高考数学中的各类代数式题目。

一、代数式的化简在高考数学中，代数式的化简是考试中最常出现的代数式应用之一。

为了方便计算，我们常常需要通过代数式的化简，将其简化为更易于计算的形式。

1、合并同类项合并同类项是指将代数式中同一变量指数相同的项合并为一项。

例如，将2x+3x，合并为5x。

在高考数学中，合并同类项是代数式化简中最基本的一种方法，考生需熟练掌握。

2、提取公因数提取公因数是指将代数式中的公因数提取出来，化简成一个乘积形式。

例如，在式子4x + 6y中，4和6都是2的倍数，因此可以提取出公因数2，化简为2(2x + 3y)。

3、分配律分配律是指将括号中的项，分别与外面的项相乘，然后再将结果相加。

例如，在式子3(2x + 4y)中，根据分配律，可以将3与2x 和4y相乘，得到6x和12y，再将结果相加，得到6x + 12y。

二、代数式的变形代数式的变形是指将代数式中的一部分变形，使其更容易进行计算。

在高考数学中，代数式的变形是比较难的一个知识点，需要考生扎实的代数基础和丰富的解题经验。

1、平方公式平方公式是代数式变形中非常重要的一种方法。

平方公式分为二次平方公式和三次平方公式两种。

二次平方公式：(x + y)² = x² + 2xy + y²(x - y)² = x² - 2xy + y²三次平方公式：(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³对于这种类型的问题，考生需要对平方公式进行反复推导和计算，才能完全掌握平方公式的变形方法和技巧。

2024高考数学代数式的变换与运算

2024高考数学代数式的变换与运算代数式在数学中具有重要的地位，它是数学中的一种基本形式，能够描述数与字母间的关系。

在2024年的高考数学中，代数式的变换与运算是一个重要的考点。

本文将对2024高考数学代数式的变换方法和运算规则进行详细介绍，旨在帮助考生系统地掌握相关知识，提高解题能力。

一、代数式的变换方法1. 提公因式法提公因式法是将一个代数式中的公因式提取出来，从而将代数式分解为公因式和其他部分的乘积形式。

通过提公因式法可以简化代数式，便于进行后续的运算和计算。

例如，对于代数式2a + 4ab，我们可以提取公因式2a，得到2a(1 +2b)。

2. 合并同类项法合并同类项法是将一个代数式中相同指数的字母项合并为一个项，从而简化代数式。

合并同类项法主要通过加法和减法进行操作。

例如，对于代数式3x + 2y - x - y，我们可以合并同类项，得到2x + y。

3. 去括号法去括号法是将一个代数式中的括号去掉，从而简化代数式。

去括号法需要按照分配律进行操作。

例如，对于代数式2(x + 3)，我们可以去括号，得到2x + 6。

4. 化简法化简法是将一个复杂的代数式简化为更简单的形式，从而便于进行后续的计算和运算。

例如，对于代数式2x + 3x - x，我们可以化简为4x。

二、代数式的运算规则1. 加法和减法代数式的加法和减法规则与数的加法和减法规则相似。

对于代数式的加法，只需将相同的字母项相加；对于代数式的减法，只需将减数取相反数再进行加法运算。

例如，对于代数式2a + 3b - 4a + 2b，我们可以将相同的字母项进行加法运算，得到-2a + 5b。

2. 乘法代数式的乘法规则需要注意字母间的相乘次序，一般按照自左向右的顺序进行计算。

对于同一字母的乘法，其指数相加。

例如，对于代数式2ab * 3a^2b，我们可以按照乘法规则进行计算，得到6a^3b^2。

3. 除法代数式的除法规则需要注意字母间的相除次序，与乘法相反，一般按照自右向左的顺序进行计算。