高数2数列极限

5
3n2 2n 1
lim
n
5n3
3n
2
= 0，
3n3 2n 1
lim
n
5n2
3n
2
= .
一般，若 a0, b0 都非0，则
lim a0nk ak n b0n L bL
a0 , b0
0， ，
kL
k<L k>L
例6. 求 lim n( n2 100 n). n
解：有理化.
lim n ( n2 100 n) lim ( 100 n )
要使| xn a | < , 只须 |q | n < 即可.
一、数列极限的运算法则
定理１. 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且
lim
n
xn
a,
则
lim
n
xn
b.
(1)
lim (
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
a
b.
(2)
lim (
n
xn
yn
)
lim
n
xn
lim n
yn
a b.
数列极限
Future Learning
第一节 数列的极限
一、数列的极限
设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的
函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，
x1, x2,…xn, …, 称为一个数列. xn称为数列的 第n项，也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f (xn)
看数列1.
xn
1
则称a是数列{xn}当n无 限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,
记作
lim
n
xn
a
, 或,
xn a(n )
( lim n
xn
a
, 或,
xn a(n ))
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的极限不存在, 或称{xn}是发散的.
几何意义: 由于| xna |< a <xn< a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn以a为极限, 就是对任何以a为心, 以任意小的正数 为半径的 邻域,总能找到一个N, 从第 N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只有有限项落在U(a, )外部.看图.
ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式 (有理函数).
对这种以n为自变量的有理函数的 极限问题(n时), 可将分子，分母 同除以分母的最高次幂n2.
lim
n
3n2 5n2
2n 3n
1 2
lim
3
2 n
1 n2
,
n
5
3 n
2 n2
由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，
故 原式 3.
1 n
xn x4 x3 x2
wenku.baidu.com1 54 3 43 2
x1 x
2
从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对 应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向 于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?
定义: 设{xn}是一个数列, a是一个常数,
若 >0, 正整数N, 使得当n>N时, 都有|xna|<,
x1
x2
( xN+5
a-
a
xN+1 ) xN
a+
x3
x
例1. 设q是满足 |q |<1的常数, 证明 lim qn 0. n
证. 若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 < |q |<1. 现在, xn = qn, a = 0.
> 0. (要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < )
因 | xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,
(3) 设 C 为常数，有 (4) 当 b0 时，有
lim
n
Cxn
C
lim
n
xn
C a.
lim
xn
lim
n
xn
a.
y n n
lim
n
yn
b
例１. 求
lim
n
3n2 5n2
2n 3n
1 2
.
解: 一般, 称形为 f (x) = a0xk+a1xk1+ +ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式. 其中k为非负整数，
n
n n2 100 n
lim 100 = 50.
n
1
100 n2
1