1-2数列的极限 (2)

x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).
数列记为 { xn }
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
1,1,1, ,(1)n1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
xn a
(1)n (n 1)2
0
(n
1 1)2
1 n1
任给 0(设1),
要 xn0,
只要1 ,
n1
或n 11,
所以,
取N[11],
则n 当 N时 ,
就有n11,
即 (1)n (n1)2
0
所以 nl im (n(11)n)2 0.
小结 （1）用定义证数列极限存在时, 关键是任 意给定 > 0 寻找 N, 使当 n > N 时，
n
n
若 0q1, 则对任 给 0, (不妨 设 1),
xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], lnq
几何解释:
a 2 a x 1 xN1 x 2 a xN2 x 3 x
当 n N 时 ,所x n 有 都 ( a 的 落 ,a ) 内 ,点 在
只有(至 有多 限 N 个 只 个 )落有 在 . 其外
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 nl im (n(11)n)2 0.
证
有n1, 从有 而 xn1n 1成.立
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立, 那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn
收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意： 1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
2 .不n 等 N 刻 式 n 划 的 了 ;过程
3.N与任意给定的 有正 关 . 数 NN()
N定义 : limxna
n
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n a 有 . 其中 :每一个或任给; 的 :至少有一个或存 . 在
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意： 1.从几何上看，数列可以看作一个动点 在数轴上的运动．
x3 x1 x2 x4 xn
2.从函数的角度看，数列是整标函数
xnf(n). nN
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
n
n
a2
a2
n( n2 a2 n) n
任给 0,
要 xn1,
只要a2 ,
n
或 n a2 ,
所以, 取N [a2 ],
则n 当 N时 ,
就有n a2 ,
即 n2 a2 1
n
所以 limn2a2 1. n n
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 若q0, 则 lim qnlim 00;
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
A 1,A 2,A 3, ,A n, S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
|xna|成立
（2）为了找到上述 N ，常常先将 | xna|
适当放大为 |xna|(n )
再令 (n), 并从中能方便的解出 n(),
此时取 N[()]即,可
（3）有时为了方便，在不妨碍 可以任意小的前提 下，可事先设 小于某个正数。
例2 证明 limn2a21. n n
证
xn a
n2 a2 1 n2 a2 n
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
可以小于任意给定的小正数。
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 无论它多么小，只n 要 N ( [1 ])时 ,
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
“无限接近”的含义：只要
n
足够大，
xn
1
1 n