D1_2数列的极限
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例4. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时, 有 2
1 a1 x a n 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
1 ) 内, 因此该数列发散 . , a 长度为 1 的开区间 ( a 1 2 2
n
b 从而 xn a 2
取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a x b b aa bb x x a b b a a 3 3b a b a n nn 2 2 2 2 2 22 矛盾, 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一 .
k
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
k
lim x 2 k 1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
An S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :
若数列
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作 lim xn a 或 xn a (n )
a x a n 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (n N ) 几何解释 : 即 xn U ( a , ) ) ( (n N ) x x
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
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2. 收敛数列一定有界. 证: 设
取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取 则有
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
a
N 1
N 2
a
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
*********************
xN
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
π n
r
无限逼近 S . (刘徽割圆术)
当 n 无限增大时,
数学语言描述: 0 , 正整数 N , 当 n > N 时, 总有
例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
q n1 0
故
n
lim q n1 0
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列具有保号性. 若 且
( 0)
有
( 0)
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
(用反证法证明)
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( 0) .
xn (1) n1 趋势不定
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来自百度文库
散
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
(1) n 1 0 故 lim xn lim x 0 也可由 2 n n n ( n 1) ( n 1) 2 说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N 1 1 不一定取最小的 N . 1] 故也可取 N [
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(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
例4. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时, 有 2
1 a1 x a n 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
1 ) 内, 因此该数列发散 . , a 长度为 1 的开区间 ( a 1 2 2
n
b 从而 xn a 2
取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a x b b aa bb x x a b b a a 3 3b a b a n nn 2 2 2 2 2 22 矛盾, 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一 .
k
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
k
lim x 2 k 1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
An S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :
若数列
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作 lim xn a 或 xn a (n )
a x a n 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (n N ) 几何解释 : 即 xn U ( a , ) ) ( (n N ) x x
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
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2. 收敛数列一定有界. 证: 设
取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取 则有
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
a
N 1
N 2
a
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
*********************
xN
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
π n
r
无限逼近 S . (刘徽割圆术)
当 n 无限增大时,
数学语言描述: 0 , 正整数 N , 当 n > N 时, 总有
例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
q n1 0
故
n
lim q n1 0
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列具有保号性. 若 且
( 0)
有
( 0)
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
(用反证法证明)
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( 0) .
xn (1) n1 趋势不定
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散
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
(1) n 1 0 故 lim xn lim x 0 也可由 2 n n n ( n 1) ( n 1) 2 说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N 1 1 不一定取最小的 N . 1] 故也可取 N [
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(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有