1.2数列的极限讲解
1.2数列的极限
证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数 n,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
a 2
a 2
0.
推论2：设 lim n
xn
A, lim n
yn
B
且存在正整数
N，当
n N 时，有 xn yn，则
A B.
1.2.3 数列极限存在的准则
（1）夹逼准则
定理4： 设数列 {xn}, {yn}, {zn}, 满足
1） 存在正整数 N， 当n N时， 有 yn xn zn
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
问题1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限
11, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......,1 ,.....
23456
n
0
2 1, 1 , 1 ,
23
1 , 1 , 1 ,......, 456
1 ,..... n
0
3 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, (1)n ,..... 0
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于
xn
1
=
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 由 1 1 , 100 n 100
只要 n 100时,
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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1.2 数列的极限
2. (收敛数列的有界性). 若数列 收敛，则该数列一定有界.
即, M 0, 使 xn M ( n 1, 2 , ) . 逆
否
若数列 无界，则该数列发散.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. (收敛数列的保号性).
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
敛
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n ) 发
xn (1)n1 趋势不定 散
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定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
lim
n
xn
极限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
发散数列可能存在收敛子列.
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
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作业 P47 1
Thanks for your attention!
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
N
[
1
]
也可由
xn 0
1 (n1)2
取N
1
1
N 与 有关, 但不唯一.
大一高数课件—§1.1、1.2 数列极限
A , 所以
,
0 , 正整数
K1
当 k K 1时 , x 2 k A
又 lim x 2 k 1 A , 所以 , 对以上 正整数 K 2
k
当 k K 2时 , x 2k 1 A .
取 N max{ 2 K 1 , 2 K 2 1 }, 当 n N 时由以上知
xn A ,
1 n
0 lni mxnyn
2)xn
2n,
yn
1 n
2 lni mxnyn
福 州 大 学 2020/4/21
5
(c)
若
{
x
n
}
是任意数列，而
lim
n
yn
0
问
lni mxnyn 0？
不一定
1)xn
1, 2n
yn
1 n
2)xn
2n,
yn
1 n
0 lni mxnyn 2 lni mxnyn
(d) 若
11
,
42 2
P5为
12P5
为1
4
11, 1 82
,
1 22
213
,L
,
Pn
为
限1 P 位n 为1 2 置坐12标21 2 为 14 2 1318L nllniimm(1[121 ([)11n 12214((2 )n1 n 1122 (122)当)n12121n)]n 1
时
2 3]
1 2
,
P
n的极 1 6
不一定
问 lnim（xn yn) 是否存在？
0 1 ) x n( 1 )n ,yn( 1 )n 1 lni m （xnyn)
2)xn( 1 )n,yn( 1 )n lni m（xnyn) 不存在，
极限
1.2 极限的概念 1.2.1 数列的极限 一、数列的极限 1、数列的定义定义:按自然数 ,3,2,1编号依次排列的一列数 ,,,,21n x x x ，称为无穷数列，简称数列。
其中的每个数称为数列的项，n x 称为通项(一般项)，记为}{n x 。
例如： ;,21,,81,41,21 n }21{n ;,2,,8,4,2 n }2{n;,)1(,,1,1,11+--n })1{(1--n ;,)1(,,34,21,21 n n n --+ })1({1nn n --+,333,,33,3++++2、数列的极限问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？【注意】三、例题选讲例1 ,131211n，，，，→ 0例2 ,)1(1 , 54 45 32 ,23 0nn-+，，，，→1例3 1，－1，1，－1，…，(－1)n +1，…分析：正负交错，n 无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1） ,21,212121032n，，，， 分析：021lim =∞→n n （2） 1，3，5，…，2n －1，…分析：随n 增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2函数的极限一、当x →∞时，函数f(x)的极限例1 .21)(时的变化趋势当观察函数∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x.0)(,,21)(→∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x f x x f x 时当函数例2 已知函数xx f 1)(=(x < 0)，试由函数的图象，判断x 趋向负无穷大时函数y 的变化趋势。
因为，x →+∞和x →-∞可以写为x →∞ 01lim=∞→x 所以 定理1思考：已知函数y=arctanx,试讨论当x →∞时，y=arctanx 否有极限，为什么？ 分析：不存在所以因为arctanx lim .arctanx lim arctanx lim ∞→-∞→+∞→≠x x x例4已知函数y=sin x,判断当x →∞时，y=sin x 是否有极限，为什么？分析：由图可见，x →+∞时，y →某一固定常数 A ，x →-∞时，y →某一固定常数 A不存在因此均不存在和所以sinx lim ,sinx lim sinx lim +∞→+∞→+∞→x x x课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：二、当x →x 0时，函数f(x)的极限 1、当x →x 0时，函数f(x)的极限注意：（１）定义中“x →x 0”表示x 从小于x 0和大于x 0的两个方向趋近于x 0； （2）定义考虑的是x →x 0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x 0处f(x)的情况 .（3 ） 由极限的定义1．9容易得到以下两个结论：例1考察下列函数，写出当2→x 时函数的极限，并作图验证。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
1.2数列的极限
( 极限为零的数列 称为无穷小 . )
0 , 设 M yn , 则 yn . M 由于 lim yn 0 ,
对于正数 , N , 当 n N 时 , yn 0 成立 , M M 从而 xn yn 0 M yn 成立 . 所以 lim xn yn 0 .
n
n
例题 . 对于数列{ xn } , 若 x2 k a , (k ) ,
x2 k 1 a , ( k ) , 证明: xn a , ( n ) .
证 . 0 , N1 , 当 k N1 时 , x2k a 成立 ; N 2 , 当 k 题 : 数列 xn ( 1)n1 有界 , 它收敛吗 ? (稍后回答 )
3. (子列同极限).
从数列: x1 , x2 , x3 , , xn , 中, 任意取出一部分 : xn , xn , , xn ,
1 2 k
(1)
( 2)
这里 n1 , n2 , 是自然数且 n1 n2 n3 nk
称数列 ( 2) 是数列 (1) 的子列 .
定理3: 如果数列 { xn } 以 a 为极限 , 则 { xn } 的任一子列
也以 a 为极限 . ( P 30)
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
lim x 2 k 1
k
1). 0, 2). N , 3). 当 n N 时, 4). xn a 成立 .
注意:
xn a 利用数列极限定义验证: lim n
1.2数列的极限0
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n )
两者
否 之间
定 的距
xn (1)n1 趋势不定
离
思考1
再研究：自变量n无限增大时，因变量 无限接近
于某个确定的常数a，如何寻求精确的数学语言来
描述这个现象？
例如,
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
|
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
为通项(一般项) .
研究：自变量n无限增大时，因变量 是否无限接
近于某个确定的常数a?（配合数轴，画点图；或画
散点图）
例如, 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
高等数学上册 1.2 数列的极限
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高数§1.2 数列的极限
按极限的定义, 对于 e = b a >0, 存在充分大的正整数 N, 2 使当n>N时, 同时有 |xn a|< e = b a 及|xn b|< e = b a , 2 2 a x x xn nb ba 及及 nb ba,a , 因此同时有 x n 2 2 2 2
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
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数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正 数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xna |<e 都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为 lim xn = a 或 xn a (n).
二、数列的定义 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项(通项). •数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
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正 6 边形的面积 A1 正 12 边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
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n
注：
② N与e 的关系:
高等数学课程讲解_1.2数列的极限
复习1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；2. 数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A ；再作内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-⨯n 边形的面积记为()n A n N ∈．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：，，，，，， n A A A A 321 它们构成一列有次序的数．当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n 无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明．一、 数列极限的定义1. 数列的概念定义1 如果函数f 的定义域f D =N ={1，2，3，…}，则函数f 的值域f （N ）={f （n ）｜n ∈N }中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f （1），f （2），…，f （n ），…．通常数列也写成x 1，x 2，…，x n ，…，并简记为{x n }，其中数列中的每个数称为一项，而x n =f （n ）称为一般项或通项．对于一个数列，我们感兴趣的是当n 无限增大时，x n 的变化趋势．以下几个均为数列：1，12，23，…，1n n-，... （1） 2，4，6，...，2n ， (2)1，0，1，…，11+(1)n n--，… （3） 1，12-，13，…，1(1)n n--，... （4） 2，2，2，...，2， (5)2. 数列的极限当n 无限增大时，若数列的项x n 能与某个常数a 无限地接近，则称此数列收敛，常数a“x n …，x n ，x 时， 即)，若数列{x n }不收敛，则称该数列发散．注 定义中的正整数N 与ε有关，一般说来，N 将随ε减小而增大，这样的N 也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则比这个N 大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N 均表示正整数．此外，由邻域的定义可知， (,)n x U a ε∈等价于｜x n -a ｜＜ε．“数列{x n }的极限a ”的几何解释：将常数a 及数列x 1,x 2,x 3,…,x n ,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(a -ε, a +ε)，如图1-33所示．图1-33因不等式 |x n -a |<ε 与不等式 a -ε<x n <a +ε 等价，所以当n >N 时，所有的点x n 都落在开区间(a -ε, a +ε)内，而只有有限个点（至多只有N 个点）在这区间以外．为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“∀”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“∃”表示“存在”；符号“m ax {X }”表示数集X 中的最大数；符号“min{X }”表示数集X 中的最小数．例1 证明 1lim =0．． 1n ＜ 1. 唯一性定理1 若数列收敛，则其极限唯一．证 假设数列{x n }收敛，但极限不唯一：lim n n x →∞=a ，lim n n x →∞=b ，且a ≠b ，不妨设a ＜b ，由极限定义，取ε=2b a -，则∃N 1＞0，当n ＞N 1时，｜x n -a ｜＜2b a -，即 32a b -＜x n ＜2a b +, （6）∃N 2＞0，当n ＞N 2时，｜x n -b ｜＜2b a -,即 2a b +＜x n ＜32b a -, (7) 取N =m ax {N 1,N 2},则当n ＞N 时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾．该矛盾证明了收敛数列{x n }的极限必唯一．2. 有界性定义3 设有数列{x n }，若∃M ∈R ，M ＞0，使对一切n =1，2，…，有｜x n ｜≤M ，则称数列{x n }是有界的，否则称它是无界的． ∈R ，{(ε＜…，． 推论 设有数列{x n }，∃N ＞0，当n ＞N 时，0n x ≥(或0n x ≤)，若lim n n x →∞=a ，则必有a ≥0( 或a ≤0 )．推论中，若x n ＞0(或x n ＜0)，我们只能推出a ≥0(或a ≤0),而不能推出a ＞0（或a ＜0）． 例如1n x n=＞0,但lim n n x →∞=lim n →∞1n =0． 4. 收敛数列与其子列的关系定义4 在数列{x n }中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为{x n }的一个子列．在选出的子列中，记第一项为1n x ，第二项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{x n }的子列可记为{k n x }．k 表示k n x 在子列{k n x }中是第k 项，n k 表示k n x 在原数列{x n }中是第n k 项．显然，对每一个k ，有n k ≥k ；对任意正整数h ，k ，如果h ≥k ，则n h ≥n k ；若n h ≥n k ，则h ≥k由于在子列{k n x }中的下标是k 而不是n k ，因此{k n x }收敛于a 的定义是：∀ε＞0，∃K＞0，当k ＞K 时，有｜k n x -a ｜＜ε．这时，记为lim k n k x →∞=a ．k ＞或2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．。
1.2数列极限及性质
an
1 2n
;
1, 2
1 22 ,
1 , 2n ,
0
16
3.数列的概念
定义 如果按照一定次序, 对每一nN, 对应着一个确定的实数 xn，则得到一个无穷多个数构成的序列
x1, x2, x3, , xn , , 简称数列. 记为{xn}，其中第n项xn称为数列的通项(或一般项).
第一章 极限与连续
1.2 数列极限 1.3 函数的极限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 极限的性质与四则运算 1.6 极限存在准则和两个重要极限 1.7 无穷小的比较 1.8 函数的连续性 1.9 闭区间上连续函数的性质
1
第二节 数列极限
一 数列极限概念 二 收敛数列的性质 三 数列极限存在的条件
记为
如果数列极限不存在（或不收敛）,就说数列是发散的.
19
数列极限（定量描述）:
定义 对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不等式 xn - a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极 限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
n
zn
a
则
lim
n
yn
a
36
例
求
lim
n
n! nn
解：用夹逼定理求解。
xn
n! nn
注意到:
n! 1 2
0
xn
nn
nn
故0
xn
1 n
且 lim 1 0 n n
n -1 n 1 1 nnn
11
1.2 数列极限.ppt
从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
许多物理、几何量需要用极限来求
1.2 数列极限
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
的任意性： 刻画了数列在趋于无穷时与
四、数列极限的性质
1.唯一性:
n
定理1 收敛数列的极限是唯一的.
n
证 设 lim x n a , 又 lim x n b, a b
对于 ba , N 1 , N 2 .使得 2
当n N1时恒有xn a ;
当n N 2时恒有 x n b ;
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
数列极限的几何意义
0, N ,
使得 N 项以后的所有项
x N 1 , x N 2 , x N 3 ,
都落在a点的ε邻域
U(a, )内
2
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
a x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3
x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
1.2数列的极限
●
xn (1)n1 趋势不定
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定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称之发散 .
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
a xn a
收敛数列的任一子数列收敛于同一极限。（证明略）.
说明: 该性质有以下两个推论
● 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 , 则原数列一定发散
● 若数列有一个子列发散，则原数列一定发散 .
例如
发散 !
lim
k
x
2k
1
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
(n N)
即xn U ( a , )
(n N)
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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二、收敛数列的性质
1. （唯一性）收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
1.2数列的极限
用 “ - N”语言证明数列极限为某值就是针对给 定 找 N 的过程，即由不等式| xn- a|< 解 N 的过程。 当 xn 形式较复杂时，由不等式解出 N 会有困难， 此时可采取放大法先化简不等式再求 N． 用放大法解出的 N 通常不是其临界值，但找 N 的 目的是说明其存在，N 的临界值并不重要。因此，用 放大法求 N 不会损失证明的一般性。
如果按照某一法则，有第一个数 x1，第二数 x 2， „，这样依次序排列着，使得对应任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn，那末这列有序的数 x1、 x2、 „、xn 就叫做数列，记作:{ xn}．数列中的每个数叫做数列的 项，第 n 项 xn 叫做数列的一般项。
圆的内接正多边形面积构成一列有序数( 数列 ) A1, A2, A3,„, An,„． 数列中的项 An 虽不是圆面积 A，却有如下特点： 当 n 越大时，An 作为圆面积的 A 近似值就越精确， 但不论 n 取得如何大，只要取定了n，An 终究只是 A 的 具有某种精确度的近似值而非精确值。为求 A 的精确 值只有让 n 无限增大，而当 n → 时，就有 An →A ．
( 2) {(-1)
n -1
}．
为便于观察，逐项写出该数列各项有 n -1 1 ,-1 ,„ ,(-1) ,„， n -1 由此看出，当 n→ 时，xn =(-1) 始终在 1 和 -1 之间交替取值，它不可能趋于一个确定数，故该数列 发散。
数列{ xn}在几何上表示数轴上的一组有序动点列, 下标 n 变化时，数轴上的点 xn 按一定方式运动。 数列收敛性的几何特征为，当 n 充分大时，数列 一般项 xn 所对应的点不断地向某定点 a 靠 近 ， 可以任意赋 值的，用以刻划 xn 和 a 可无限接近这一现象。 的这
1_2数列的极限课件
N
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a (n N ) N 定义P14注，P15例2， 即 xn ( a , ) 几何解释① ② (n N )
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
n
发 散
xn (1) n1
趋势不定
例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
问题的关键是找出N,如何找 由不等式出发找出N
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 问:用定义能否求出极限? n 答:无法求出,只能验证.
例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
为保证N＞0, 必须取0＜ ＜1. ＞1不必考虑
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N ln q
时, 就有
q n1 0
数列有界性定义: 对于数列x n , 如果存在正数M, 使得 一切x n都满足不等式
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时，能使
xn A 成立，则当 n N1 时( N1 N ) xn A 也成立。
几何解释:
a
x 2 x1
x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn 都落在 (a - , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
A1 , A2 , A3 ,..., An ,...
S（圆的面积）
一 尺 之 棰 日 取 其 半 万 世 不 竭
《 庄 子 天 下 篇 》 引 用 过 一 句 话
· :
战 国 时 代 哲 学 家 庄 周 著 的
.
2、截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天剩下的杖
第二天剩下的杖
1 2 1 X1 2 2 X1
问 题 1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n
1 1 1 1 1 1 2 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n n 1 1 1 1 1 (1) 3 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n n 1 1 1 (1) 4 0,1,0, ,0, ,0,..., ,..... 0 2 3 n
a. 任意性. 即 可以任意选取，因为只有这样，不等式
xn A 才能刻画 xn无限接近A
b.相对固定性. 一经选取就相对固定下来，这样我们才 2、一般说来N与
.
有关，记为 N N ( ) 3、对给定的 ，对应的N不是唯一的. 当 n N
.
可根据
， 找N ，否则无法进行 .
...... ......
第n天剩下的杖
Xn 1 2n
X1
1 2n
……
0
著名诗人李白的《送孟浩然之广陵》：
故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽， 唯见长江天际流．
“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋 向于0的动态意境，更有诗情画意．如果说，“一尺之 棰”的例子是离散的无穷小量，那么 “孤帆”的例子则 是连续的无穷小量．
问 题 2
判断下列命题的正确性:
① 数列{an}的极限是A,则A一定是该数列 中的一项; ②任何一个无穷数列必存在极限; ③数列 (1) 的极限存在,且偶数项的
n
极限为1,奇数项的极限为-1.
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n
证
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
“极”、“限”二字，古以有之．引申到生活中， 把不可逾越的数值称为极限。但在数学中，“极限” 却有更深刻的含义。
1、割圆术 “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”
—— 刘徽
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 ...... ......
R
n 1 正 6 2 形的面积 An
总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 xn , 不等式
| xn A | 都成立, 那末就称常数 A 是数列 xn 的极限，
或者称数列 x n 收敛于 A , 记为
lim xn A
n
或 xn A (n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1、是任意给定的正数，着 意味着具有两重性：
1 , n, 2
;
;
{2n }
{ 1 } n 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1) n 1 }
n ( 1) n 1 { } n
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
1 , 100
1 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 , 1000 1000
1 给定 , 10000
只要 n 10000时, 有 x n 1
1 , 10000
1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时,
有 x n 1 成立.
定义2 如果对于任意给定的正数 （不论它多么小），
注： 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在
数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
。
x3
x1
x 2 x4
xn
。 2 数列是整标函数 xn f (n).
数列的极限
(1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的
数值? 如果是,如何确定? 通过上面的图象可知:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于 xn 1 = ( 1)
n
1 1 n n
给定
1 1 1 , , 由 n 100 100
只要 n 100时, 有 x n 1
定义1
按自然数 1 , 2 , 3 , …. 编号依次排列的一列数 x 1 , x 2 , … , xn , ….
(1)
称为 无穷数列, 简称 数列. 其中的每个数称为数列
的项， xn 称为通项（一般项）. 数列 (1) 记为 {x n } 例如
2, 4,8,
1 1 1 , , , 2 4 8
, 2n ,
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或 n , n
1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n
高等数学
主讲：谭宏
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了.