1.2数列的极限讲解

时，能使
xn A 成立，则当 n N1 时( N1 N ) xn A 也成立。
几何解释:
a
x 2 x1
x N 1
来自百度文库
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn 都落在 (a - , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
定义1
按自然数 1 , 2 , 3 , …. 编号依次排列的一列数 x 1 , x 2 , … , xn , ….
(1)
称为 无穷数列, 简称 数列. 其中的每个数称为数列
的项， xn 称为通项（一般项）. 数列 (1) 记为 {x n } 例如
2, 4,8,
1 1 1 , , , 2 4 8
, 2n ,
1 , n, 2
;
;
{2n }
{ 1 } n 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1) n 1 }
n ( 1) n 1 { } n
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
问 题 2
判断下列命题的正确性:
① 数列{an}的极限是A,则A一定是该数列 中的一项; ②任何一个无穷数列必存在极限; ③数列 (1) 的极限存在,且偶数项的
n
极限为1,奇数项的极限为-1.
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n
证
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
高等数学
主讲：谭宏
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了.
数值? 如果是,如何确定? 通过上面的图象可知:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于 xn 1 = ( 1)
n 1
1 1 n n
给定
1 1 1 , , 由 n 100 100
只要 n 100时, 有 x n 1
注： 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在
数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
。
x3
x1
x 2 x4
xn
。 2 数列是整标函数 xn f (n).
数列的极限
(1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的
问 题 1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n
1 1 1 1 1 1 2 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n n 1 1 1 1 1 (1) 3 1, , , , , ,......, ,..... 0 2 3 4 5 6 n n 1 1 1 (1) 4 0,1,0, ,0, ,0,..., ,..... 0 2 3 n
总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 xn , 不等式
| xn A | 都成立, 那末就称常数 A 是数列 xn 的极限，
或者称数列 x n 收敛于 A , 记为
lim xn A
n
或 xn A (n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1、是任意给定的正数，着 意味着具有两重性：
1 , 100
1 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 , 1000 1000
1 给定 , 10000
只要 n 10000时, 有 x n 1
1 , 10000
1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时,
有 x n 1 成立.
定义2 如果对于任意给定的正数 （不论它多么小），
a. 任意性. 即 可以任意选取，因为只有这样，不等式
xn A 才能刻画 xn无限接近A
b.相对固定性. 一经选取就相对固定下来，这样我们才 2、一般说来N与
.
有关，记为 N N ( ) 3、对给定的 ，对应的N不是唯一的. 当 n N
.
可根据


， 找N ，否则无法进行 .
...... ......
第n天剩下的杖
Xn 1 2n
X1
1 2n
……
0
著名诗人李白的《送孟浩然之广陵》：
故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽， 唯见长江天际流．
“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋 向于0的动态意境，更有诗情画意．如果说，“一尺之 棰”的例子是离散的无穷小量，那么 “孤帆”的例子则 是连续的无穷小量．
“极”、“限”二字，古以有之．引申到生活中， 把不可逾越的数值称为极限。但在数学中，“极限” 却有更深刻的含义。
1、割圆术 “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”
—— 刘徽
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 ...... ......
R
n 1 正 6 2 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,..., An ,...
S（圆的面积）
一 尺 之 棰 日 取 其 半 万 世 不 竭
《 庄 子 天 下 篇 》 引 用 过 一 句 话
· :
战 国 时 代 哲 学 家 庄 周 著 的
.
2、截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天剩下的杖
第二天剩下的杖
1 2 1 X1 2 2 X1
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或 n , n
1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n