(学生)专题：基本不等式
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
高考专题练习： 基本不等式
1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值是2a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏常见误区|(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；(2)忽视等号成立的条件．1．若x<0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2解析：选D．因为x<0，所以－x>0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.2．若x≥2，则x＋4x＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.【答案】(1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223 B ．23 C ．33D ．233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B ．方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy ＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B ．方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B ． 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b 的最小值为( )A ．23B ．1C ．43D ．32解析：选C ．由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b a ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C ．3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析：选D ．由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y·x ＋3yx －1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B．【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A．最小长度为8 B．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B ．设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B ．基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．76 B ．712 C ．712＋33D ．76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4，所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33，当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C ． 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C ．2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173， 所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab ＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D ．3 3解析：选B ．因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋cd ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B ．[A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ．因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B ．方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B ．方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B ．方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B ．3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( ) A ．12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D ．f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C ．因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D ．32解析：选A ．y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A ．6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( )A ．12B ．1C ． 2D ．2解析：选A ．方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x ≤12x ×1x＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y 的最大值为12，故选A ．方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A ． 7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b2＝8a ＋b，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45. 方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B ．由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9解析：选C ．因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋yx ＋1＋x ＋1y )≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C ．13．若a ＋b ≠0，则a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2的最小值为________．解析：a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2≥（a ＋b ）22＋1（a ＋b ）2≥212＝2，当且仅当a＝b ＝2－34时，a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2取得最小值 2. 答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)， 所以2021年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△P AB ，△P AC 和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是( )A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3解析：选D ．因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x1－x＋1≥21－x x ·x1－x＋1＝3，当且仅当x 1－x ＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z的最小值为3.故选D ． 16．(2021·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx ，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3.答案：7＋4 3。
专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。
2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用
x2
x
b
,则
x
2
x
b
≥1,由b>0得b≤x-x2,
即b≤
(
x
x
2
)
max
,∵x-x2=-
x
1 2
2
+
1 4
,x∈
1 4
,
3 4
,∴x=
1 2
时,(x-x2)max=
1 4
,则b≤
1 4
.
故0<b≤ 1 .
4
答案
0<b≤
1 4
例3
已知函数f(x)=x2,g(x)=
1 2
x
-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实
2.几个重要不等式
1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
4.双变量的恒成立与存在性问题 1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2 ,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max. 2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min. 3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max. 4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min. 5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2 ∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则abba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则abb a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值.6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +,,0a b c >()423a abc bc +++=-2a b c++当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max1y =。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之阿布丰王创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1（22、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形（1（2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”5、经常使用结论（1当且仅那时=”）（2当且仅那时=”）（3当且仅那=”）（4（5）若,则6、柯西不等式 （1）若,则（2则有：（3两组实数,则有题型一：利用基本不等式证明不等式1、,2,求证3、已知,求证：45、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y（4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值；变式14(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.202<<x ,y x x =-()63的最年夜值；变式40<<x ,)28(x x y -=的最年夜值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值；（提示：平方,利用基本不等式） 数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1最小值；法一： 法二：变式1：已知,求变式2最小值；变式3：已求.变式4：值；变式5： （1）值；（2）若且,求变式6：使得题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：2、示：换元法）变式：题型七：基本不等式的综合应用1小值2、（2009天津）已知,求变式1：（2010求关值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知,那时像恒过定点,若点在直线,3、已知,,求变式1：变式2：（2010山东）已知值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知年夜值；4、（2013年山东（理））取得最年夜值时值为（）（）A（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数,满足题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012且,最小值；2、已知且,4）（提示：分离参数,换元法）变式：已若,题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若,则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式则有：5,。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
拔高学习----不等式之第3讲：基本不等式及应用 (学生版)
第3讲 基本不等式及应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()2.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2＋b2＞2abB.a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥23.若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.54.(2015·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.45.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值；(3)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值.【训练1】(1)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为________.(2)设x＞－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值为________.考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________.考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.【训练3】 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.53.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤184.已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.4B.3C.2D.15.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 7.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.8.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A.0B.1C.94 D.312.(2015·江西五校联考)已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22 B.2 2 C. 2 D.213.(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.14.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.。
高考数学一轮专题复习——基本不等式(学生版)
专题：基本不等式的应用 （ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的 序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式一. 基本不等式①公式：a bab ( a 0,b 0) ，常用 a b 2 ab 2②升级版：a2b2 a b2ab a,b R 22选择次序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型 1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意 a, b 范围为正数。
二定：指的是 ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b典型例题：例 1 .求y x1( x 0) 的值域2x剖析： x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像办理）解： y ( x 1 )Q x 0x 02xx1 2 ( x) ( 1)22x2xx1获得 y ( , 2]22x例 2 .求y1的值域2x ( x 3)x31解： y2x（“添项”，可经过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）x 312(x 3) 6x31Q x 3 x 3 02( x 3) 2 2x3y 2 2 6 ，即y 2 26,例 3.求y sin x2(0 x ) 的值域sin x剖析： sinx 的范围是 (0,1) ，不可以用基本不等式，当 y 取到最小值时， sin x 的值是 2 ，但 2 不在范围内解：令 t sin x， t(0,1)2y t是对钩函数，利用图像可知：t在 (0,1)上是单减函数，因此 t 21代入获得）3，（注： 3 是将 tty (3, )注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x有没有在范围内，假如不在，就不可以用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
例 4． 求 yx 22x 1( x 2) 的值域x2剖析：先换元，令 t x 2 , t 0 ，此中 x t 2(t 2)22(t 2) 1 t 2 6t 11 解： ytt6ttQ tt12 t1 6 8y [8, )tt总 之 ： 形 如 ycx 2dxf0,c 0) 的 函 数 ， 一 般 可 通 过 换 元 法 等 价 变 形 化 为ax b (aytpt 的取值范围；( p 为常数 ) 型函数，要注意 t【失误与防备】1． 使用基本不等式求最值，其失误的真实原由是对其前提 “一正、二定、三相等 ”的忽略． 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．2 ．在运用重要不等式时，要特别注意 “拆 ”“拼 ”“凑 ”等技巧，使其知足重要不等式中“正 ”“定 ”“等 ”的条件．3．连续使用公式时取 等号的条件很严格 ，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．【题型 2】 条件是 a b 或 ab 为定值，求最值（值域） （简）例 5．若 x0, y 0 且 xy 18 ，则 xy 的最大值是 ________．分析：因为 x0, y 0 ，则 x y 2 xy ，因此 2 xy 18 ，则 xy 的最大值为 81例 6． 已知 x, y 为正实数，且知足4x 3 y 12 ，则 xy 的最大值为 ________．4x 3 yx 3分析： Q 4x3y2 4x 3y ∴ 4 3xy 12 ，2 时， xyxy 3 当且仅当3 y 12即4x y2获得最大值 3 .例 7． 已知 m 0, n0 ，且 mn 81，则 m n 的最小值为 ________．分析： Q m0,n 0 ，m n2 mn 18 ，当且仅当 m n 9 时，等号建立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】条件是 ab 或 11为定值，求最值（范围） （难）a b方法：将 1整体代入已知x 0, y 0 且 x y 1 ，则11 例 8.x的最小值是 ________________y分析： Q x y 11 1 ( x y)(1 1) 2y x 2 2y x4x yxyx yx y因此最小值是4例 9. 已知 a0,b 0 ， a b 2 ，则 y1 4a 的最小值是 ________．b分析： Q ab2 a b12则 1 4 (1 4)( a b) 1 b 2a2 5 b 2a 52 b 2a9 a b a b22 2a b2 2a b 22a b2因此最小值是92例 10.已知 x0, y 0，且12 1, 求 x 2 y 的最小值是 ____________xy分析：Q12 1, xy则 x 2 y (12)( x 2 y) 12 y 2x45 2 2 y 2 x9x yxyx y进而最小值为 9【题型4】已知a b 与 ab 关系式，求取值范围例11.若正数a, b知足ab a b 3 ，求ab 及 a b 的取值范围．分析：把 ab 与 a b 当作两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求 ab 的范围① Q ab a b3（需要消去a baabb ：①孤立条件的 3 ，a b ②a b 2 ab ③将a b 替代）②a b 2 ab③ab 3 2 ab （消 a b 结束，下边把ab 当作整体，换元，求ab 范围）令 t ab (t 0) ，则ab 3 2 ab 变为 t 232t解得 t 3 或 t 1 （舍去），进而 ab9⑵求 a b 的范围（需要消去 ab ：①孤立条件的 ab ② ab (a b)2③将 ab 替代）2a b2Q ab a b 3，, ab2a b2a b（消 ab 结束，下边把a b 当作整体，换元，求 a b 范围）32令 t a b (t0)t 2则有t3， 4t12 t 2， t 24t 12 0 ，获得 t 6 或 t 2 （舍去）2获得 a b6。
基本不等式培优专题(学生版)
目录基本不等式培优专题培优点一常规配凑法02培优点二“1”的代换02 培优点三换元法03 培优点四和、积、平方和三量减元04 培优点五轮换对称与万能K 法05 培优点六消元法（必要构造函数求导）05 培优点七不等式算两次06 培优点八齐次化06 培优点九待定与技巧性强的配凑07 培优点十多元变量的不等式最值问题08 培优点十一不等式综合应用091 a +1ab 培优点一 常规配凑法基本不等式培优专题1．（2018 届温州 9 月模拟） 已知 2a+ 4b= 2 （ a ， b Î R ），则a + 2b 的最大值为y 22. 已知实数x ， y 满足x 2+= 1 ，则x 16的最大值是3．（2018 春湖州期末）已知不等式(x + my)( 1 + 1 ) ³ 9 对任意正实数x ， y 恒成立，则正实数m x y的最小值是 （）A. 2B. 4C. 6D. 84．（2017 浙江模拟）已知a ， b Î R ，且a ¹1 ，则 a + b +- b 的最小值是5．（2018 江苏一模）已知a > 0 ， b > 0 ，且 2 + 3 = ，则ab 的最小值是a b6．（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知a > b > 0 ， a + b = 1，则 4 + 1的最小值等于a –b 2b7．（2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考）已知实数 a > 0 ，b > 0 ， 1+ a +1 1 b +1= 1，则a + 2b 的最小值是 （ ）A. 3B. 2C. 3D. 28．（2019 届温州 5 月模拟 13）已知正数 a ，b 满足a + b = 1，则 b + 1的最小值等于 ，a b此时a =9．（2018 浙江期中）若正数a ， b 满足 2a +1= 1，则 2+ b 的最小值为 （）b aA. 4B. 8C. 8D. 9培优点二 “1”的代换2 + y 22 22 2232 2210．（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足x > y > 0 ，且 x + y = 2 ，则4+1的最小值是.x + 3y x – y11.（18 届金华十校高一下期末）记max{x , y , z } 表示x ， y ， z 中的最大数，若a > 0 ， b > 0 ，则max{a, b , 1 + 3} 的最小值为（）a bA .B . C. 2D. 312. 已知a, b 为正实数，且a + b = 2 ，则 a 2 + 2 + b 2– 2 的最小值为a b + 113. 已知正实数a, b 满足1+2 = 1 ，则ab 的最大值为(2a + b) b (2b + a)a（补充题）已知x, y > 0 ，则 6xy x 2+ 9y 2 + 2xyx 2 + y 2的最大值是14.（2019 届超级全能生 2 月）已知正数 x , y 满足x + y = 1，则 1 + 1 的最小值是（）1 + x 1 +2 yA. 33B. 7C. 3 +D. 62865515．（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知log 2 (a – 2) + log 2 (b –1) Š1 ，则 2a + b 取到最小值时ab = （）A ．3B ．4C ．6D ．916．（2018 温州期中）已知实数x, y 满足 2x > y > 0 ，且1+ 1=1， 2x – y x + 2 y则x + y 的最小值为 （）A ．3 + 2 3 5 B ．4 + 2 3 5C ．2 + 43 5D ．3 +4 3 517．（2018 杭州期末）若正数a,b 满足a + b = 1，则 a +a + 1bb + 1的最大值是 18．（2017 湖州期末）若正实数x, y 满足 2x + y = 2 ，则 4x 2 +y 的最小值是y + 1 2x + 219．（2018 河北区二模） 若正数a, b 满足 1 + 1 = 1, 1 + 9的最小值为a ba – 1b – 1（）A.1B. 6C. 9D.16培优点三换元法20．（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟） 已知实数 x, y 满足 xy – 3 = x + y ，且 x > 1 则 y(x + 8)的最小值是 （）A.33B.26C.25D.2121. 若正数x, y 满足 1 + 1 = 1，则 4x + 9 y的最小值为x y x – 1 y – 122. （2018 届嘉兴期末）已知实数 x , 满足 4x+ 9y= 1 ，则 2x+1+ 3y+1 的取值范围是23.（2018 上海二模）若实数 x , 满足 4x + 4y = 2x +1 + 2y +1 ，则S = 2x+ 2y的取值范围是24. (2019 届台州 4 月模拟)设实数a ,b 满足a + b = 4 ，则ab 的最大值为 ；(a 2 + 1)(b 2 + 1) 的最小值为25.（2019 届镇海中学考前练习 14）已知 x > 0, y > 0, xy ( x + y ) = 4 ，则xy 的最大值为 ，2x + y 的最小值为26.（2018 春• 台州期末）已知a , b c R , a + b = 2 ，则1 + a 2+ 11b 2 + 1的最大值为（ ）A. 1B.6 5C.2 + 1 2D. 227.（2016 宁波期末 14）若正数x , y 满足 x 2+ 4 y 2+ x + 2 y = 1 ，则xy 的最大值为28.（2018 届诸暨市期中）已知实数x , y 满足 x + 4 y= 1 – 2 ，则2xy的最大值为（）y x xy x + 2 y –1A. 2 33B.3 2C.2 3 3 + 1 D. 3 + 1 229. (2018 台州一模) 非负实数 x 、 y 满足 x 2+ 4y 2+ 4xy + 4x 2 y 2= 32, 则 x + 2y 的最小值 , 7(x + 2 y ) + 2xy 的最大值yxy + 130.（2018 春南京）若x 、y c (0,+œ), x ++ xy = 4. 则的取值范围2x y + 2xy + 1731.（2017 武进区模拟）已知正实数x 、 y 满足xy + 2x + 3y = 42, 则xy + 5x + 4y 的最小值为2 2 培优点四和、积、平方和三量减元2 2 3332．（2017 宁波期末）若正实数a, b 满足(2a + b)2= 1+ 6ab ，则ab 2a + b + 1的最大值为33．（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数x, y 满足 x2+ xy + 4y 2 = 1，则x + 2 y 的最大值为34．（2016 暨阳联谊）已知正实数x, y 满足 2x + y = 2 ，则x + 的最小值为35.已知正实数a, b 满足9a 2+ b 2= 1 ，则ab3a + b的最大值为 36. 已知实数a,b, c 满足a + b + c = 0,a 2 + b 2 + c 2 = 1 ，则a 的最大值为37.（2018 届杭二高三下开学）若9x 2+ 4 y 2+ 6xy = 1, x , y c R ，则9x + 6y 的最大值为38．（2016 十二校联考 13） 若存在正实数 y ，使得xy y – x = 15x + 4 y，则实数x 的最大值 为且a + 2b = 3 ，则 1a+ 2的最小值是，b1 + 2a 2b 2的最小值是2ab 40．（2019 届金华一中 5 月模拟 9） 已知正实数a ，b 满足． a + b = 1，则a 2+ b +的a + b2最大值是（）A.2B.1+C.1+D.1+41．（2017 西湖区校级模拟）已知正实数a, b 满足a2– b + 4 Š 0 ,则u =2a + 3b （ ）a + b14 A. 有最大值为5B. 有最小值为14 5C. 没有最小值D.有最大值为 3培优点五 轮换对称与万能K 法培优点六 消元法（必要构造函数求导）x 2 + y 2 3 222 2 2 2 y 2x 42．（2018 湖州期末）已知a, b 都为正实数，且1 + 1= 3 ，则ab 的最小值是 ，a b1+ bab的最大值是43．设 a > b > 0 ,那么a 2+1b(a – b)的最小值为 （）A. 2B. 3C. 4D. 52944.设a > 2b > 0 ，则(a – b ) +b (a – 2b )的最小值为45.（2017 天津）若a , b c R ， a b > 0 ，则a 4 + 4b 4 + 1ab的最小值为{1 ⎞2 {1 ⎞246. 若x, y 是正数，则| x + | ⎞ ⎞ + |y + | ⎞ ⎞的最小值是47. 已知a ,b, c c (0,+œ) ，则(a2+ b 2+ c 2 )2+ 5 2bc + ac的最小值为48．（2018 天津一模）已知a > b > 0 ，则 2a + 3 + a + b 2 a – b的最小值为 49.（2016 台州期末）已知正实数a , b ，满足a 2 – b + 4 Š 0 ，则u =2a + 3b（）a + b14 A. 有最大值为5 14B. 有最小值为5 C. ，没有最小值 D.有最大值为 350.已知a > 0,b > 0, c > 0 且a + b = 2 ，则 a c+ b c – c + ab 25 c – 2的最小值是51．（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式x2– 2 y 2 Š cx( y – x) 对满足 x > y > 0 的任意实数x, y 恒成立，则实数c 的最大值为52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x > 0, y > 0, x + 2 y = 3，则x 2+ 3y xy的最小值为（ ）A.3 – 2B.2 + 1C. –1D. +1培优点八 齐次化培优点七 不等式算两次2x53．（2018·浙江模拟）已知a > 0, b > 0 ，则 6ab9b 2 + a 2+ 2ab b 2 + a 2的最大值为，若 4x 2 – xy + y 2 = 25 则3x 2 + y 2 的取值范围是54.(2016 新高考研究联盟二模)实数x , y 满足x 2 – 2xy + 2 y 2 = 2 ，则x 2 + 2 y 2 的最小值是55.(2016 大联考)若正数x , y , z 满足3x + 4 y + 5z = 6 ，则1+ 4 y + 2z的最小值为2 y + z x + z56.(2016 杭二最后一卷)若正数x , y 满足 1 + 1= 1，则x 2 – 10xy + y 2 的最小值为x y57.（2016 宁波二模）已知正数x ， y 满足xy Š 1 ，则M = 1 1 + x + 1 1 + 2 y的最小值为 58.（2016 浙江模拟）已知实数a ， b ， c 满足 1 a 2 + 1b 2 +c 2 = 1 ，则a b + 2bc + 2c a 的取值范4 4围是 （）A. (–œ, 4]B.[–4, 4]C.[–2, 4]D.[–1, 4]59. 已知x ， y ， z c(0,+œ) 且x 2 + y 2 + z 2 = 1 ，则3xy + yz 的最大值为60．（2016 大联考）设 x, y, z, wc R ，且满足 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1,则 P = xy + 2yz + zw 的最大值是61．（2017 学年杭二高三第 3 次月考）已知T = min{(+ y )2, (+ y )2, (+ )2}，且x + y + z = 2 ，则T 的最大值是（）A. 8362. 已知a,b, cc R +,则B. 8C. 43a 2 +b 2 +c 2 的最小值是ab + 2bcD. 2363. 已知a,b, c c R ，且a 2+ b 2+ c 2= 4 ，则 5ab +2bc 的最大值是64. 已知a,b, c c R ，且a 2+ b 2+ c 2= 4 ，则ac + bc 的最大值是；又若a + b + c = 0 ，则c 的最大值是培优点九 待定与技巧性强的配凑7x z za 2+ c 25 5 ⎞ |5 ⎞ 35⎞ + =65．（2019 届浙江名校新高考研究联盟 9 题）已知正实数a, b, c, d 满足a + b = 1, c + d = 1 ，则1 + 1的最小值是 （ ）abc dA.10B. 9C. 4{ xy + 2z = 1D. 3 66．（2019 届杭四仿真考）已知实数 x ，y ，z为；此时 z =满足 {x 2 + y 2 + z 2= 5，则xyz 的最小值67.（2019 届慈溪中学 5 月模拟）若正实数a ,b, c 满足a (a + b + c ) = bc 则为a b + c的最大值 68.（17 浙江期末）已知 a ,b, c c R 且a + b + c = 0 , a > b > c ,则b的取值范围是（ ）{{ 1 1 ⎞ {A. |– ,B. |– , |C. (– 2, 2)D. |– 2, 5 |⎞ 5 5 ⎞⎞ 5 5 ⎞⎞ ⎞69.（2018浦江县模拟）已知实数a , b, c 满足a 2+ b 2+ c 2= 1 ，则a b + c 的最小值为 （）A.-2B. – 3 2C.-1D. – 1270.（2016秋湖州期末）已知实数a , b, c 满足a 2 + 2b 2 + 3c 2= 1 ，则a + 2b 的最大值是（ ） A. B.2C. D.371.（2019江苏一模）若正实数a ,b, c 满足a b = a + 2b, a bc = a + 2b + c ，则c 的最大值为72.（2018 秋辽宁期末）设a 、b 、c 是正实数满足a + b Š c ，则 b+a的最小值为a b + c1 1 1 173.（2017 秋苏州期末）已知正实数a ,b,c 满足 1， + =1，则c 的取值范围是a b a+ b c74:（2019 届浙江名校协作体高三下开学考 17）若正数a ,b ,c 满足a 2 + b 2 + c 2 – a b – bc = 1 ，则 c 的最大值是75.（2018 届衢州二中 5 月模拟 12）已知非负实数a, b, c 满足a + b + c = 1，则(c – a)(c – b) 的取值范围为76.（2018 届上虞 5 月模拟 16）若实数x, y, z 满足 x + 2 y + 3z = 1， x 2+ 4 y 2 + 9z 2 = 1，则z的最小值是培优点十 多元变量的不等式最值问题234 11 4 1 177.（2018 春衢州期末）已知 x, y > 0 ，若 x + 4y + 6 = + ，则 x y 4 + 1 的最小值是（）x yA. 6B. 7C. 8D. 978．（2018 嘉兴模拟）已知 x + y =+ + 8(x, y > 0) ,则x + y 的最小值为（）x yA. 5B.9C.4 + 2D.1079．（2018 越城区校级）已知x, y > 0, 且x + y + + 1 =19 ，则 3 – 7的最小值是x 2y4x 16 y80．（2016 台州期末）已知实数a,b, cc(0,1) ，设 2 + a 1 1 – b ， 2 + b 1 1 – c ， 2 + c 1 1 – a 这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.5B. 3 + 2C. 3 – 2D.不存在81.（2019 乐山模拟）已知实数 x , y 满足x > 1, y > 0 ，且 x + 4 y +1+ 1= 11 ，则 1 + 的 x – 1 y x –1 y最大值为82．（2019 乐山模拟）已知 x,y 为正实数,且满足(xy – 1)2 = (3y + 2)( y – 2) ,则x + 1的最大值y 为83.（2019 届镇海中学最后一卷）已知x , y > 0 ，且 8x 2+ 1 = 1，则x + y 的最小值y9培优点十一 不等式综合应用32622。
第03讲 基本不等式 (精讲+精练)(学生版)
第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②叫做正数a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y+=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>；（2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A B C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()+∞B ．(-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。
专题：基本不等式常见题型归纳
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b2)2)，当且仅当a＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x yxy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43，当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b 时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+214x －12≥21212，当且仅当54x 2=214x ，即x 4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
专题：基本不定式
专题四：基本不等式例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+≤-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,∵+=1, ∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y＞9,∴y-9＞0. ∴≥2=6.当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2=18，即=4.又a+b=10，∴或例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+ (0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.变式训练1已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.解：∵x＜,∴4x-5＜0.y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x＜时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求最值.解：y=（2x-3）++=-（）+，∵当x＜时，3-2x＞0，∴≥=4，当且仅当，即x=-时取等号.于是y≤-4+=，故函数有最大值.例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤，即S≤.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9-y)y= (6-y)y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.∴S≤［］2=.当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=.∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米,则宽为米(0＜x≤16,0＜≤16),∴12.5≤x≤16.于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.=800(x+)+16 000≥800×2+16 000=44 800,当且仅当x= (x＞0),即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800.下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324()］=800×＜0,∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+.∵n+≥2,当且仅当n=,即n=时取等号.但考虑到n∈N*,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。
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专题：基本不等式
—、知识要点：
1. 基本不等式（均值不等式）： _______________________
2. 几个重要的不等式：
a 2+
b 2^ ______ （a, Z?GR ）；彳+£$_（“，b 同号）.
a~\~b a+b a 2+b 2
ab_ （一^-应，/?eR ）； （-y-）2_—一（a, Z?GR ）.
技巧1：凑系数、拆项、添项
例1 （1）已知OVx<|,求函数y=x （l-3x ）的最大值； （2）求函数y=x+丄的值域.
x
练习：1. （2011-fi 庆）若函数；（力=卄士（Q2）在尸“处取最小值，贝lja=（）
A. 1+辺
B. 1+羽
C. 3
D. 4
2.已知0<\<1,则A （3-3A ）取得最大值时x 的值为
（）
4
B.1
c.|
4
4
3・求f （x ）=3+lgx+——的最小值（0<x<l ）o
~ Igx 3 8
4.当x<-时，求函数戶x+ ----------- 的最大值.
2 2%-
3 技巧二：利用“1”的代换
1 9
例2. C 知x>0,y>0,且一+ —= 1,求x+y 的最小值。
x y 解:••• x > 0, y > 0 , - + —= 1 f •
x y
I 4
练习：5. （2011隹庆高考）已知6/>0, b>0, a+b=2.则〉=方+乙的最小值是（）
(x+y) mm
B ・4
c.|
D. 5
1 9
x+y= 一 + — (x +
y)>2 lx y)
=12
6.（2012-杭州模拟）若正实数d, b满足a+b=l,贝％）
A.^+|有最大值4
B. ab有最小值扌
C.&+书有最大值迈
D. cr+b1有最小值芈
技巧三：分离系数（分母看作整体，分子向分母看齐）
例3.求>■=工+7"+1°（x>-1）的值域。
X+1
x?—4r +1
练习：7.已知A>0,贝ij y= ----------- ----- 的最小值为 ________ •
人
8.函数）匸甘Q1）的最小值是（）
A. 2羽+ 2
B. 2^3-2
C. 2审
D. 2
例4.若实数x、y满足Y+/+xy= 1,则x+y的最大值是_______________ .
练习：9.若正实数x, y满足2x + y+6 = xy,则xy的最小值是______________ .
10.已知8, b为正实数，2Z>+aZ>+a=30,求函数y=寺的最小值.
应用二：利用均值不等式证明不等式
例6:已知a、b、ce/?+ ,且a+b+c = l。
求证：（十一"（十一1注―1卜8
分析:不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个"2"连乘，
yl-l = —= —，可由此变形入手。
a a a a
应用三：均值定理在比较大小中的应用
例8 :若a>h>\,P = JlgalgA e = l（lg« + lg/7）,/? = lg（上学），则P, Q, R的大小关系是____ .
三•巩固练习
1.已知加>0, n>0,且zz?n=81,则m+n的最小值为（）
已知等比数列伽｝的各项均为正数，公比qHl,设P=*（logoM5 + logo.5a7）, Q = log0.5空尹，则P 与0的大小关系是（）
2 3
6. （2012-福州模拟）设⑺满足2« + 3/? = 6, a>0, b>0,贝才的最小值为（）
7. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,
X
则平均仓储时间为§天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产 品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）
A. 60 件
B. 80 件
C. 100 件
D. 120 件
8. _________________________________________________________ 已知x, y 为正实数，且满足4x+3y=12，则q 的最大值为 _______________________ .
2. A. 3・ A. 4. A. 18 B. 36 C. 81 D. 243
在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是
4
y=—x —;
B ・ y=lg x-\-
去 C.尸时+古
已知/(A )=X +~2(A <0),则沧)有()
最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为一4 D. D. y=x-2x+3
最小值为一4
设⑺b 是实数，且a+b=3,则2a +2b 的最小值是（
B. 4^/2
C. 2& A. 6
D. 8
5. A. P2Q
B. P<Q D. P>Q
25
A •
8
B -3
11
D. 4。