现代控制理论-稳定性的判定
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0 0
结论： 系统在
X e1
处是不稳定的。
1 [ 3 ]、在 X e 2 处线性化得 X e2 1 0 A 1 1 0
特征值为 1， j 2
结论。
得不出系统稳定否的
要应用李雅普诺夫第二
法（直接法）进行讨论
电气工程学院
系统的有界输入输出(BIBO)稳定
电气工程学院
例：系统的状态空间表 达式为，判断渐进稳定 性和 BIBO 稳定性。 1 X 0 1 1 X u , y 2 2 0 1X
解：
[1] 、系统是渐进稳定的。
[ 2 ] 、系统是 BIBO 稳定的。
电气工程学院
作业： 1、 已 知 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 为 1 X 0 1 1 X u, 0 0 y 2 1 X
参见 自动控制原理 下 吴麒 P.242 现代控制理论 刘豹 P.147
教材 p.505 附录1；5.二次型和向量范数
作业： 判Hale Waihona Puke Baidu下面二次型函数的符号性质 V ( x ) x1 3 x 2 11 x 3 2 x1 x2 x 2 x 3 2 x1 x 3
2 2 2
电气工程学院
成立，则称 X e 为系统的平衡状态。
电气工程学院
需要说明的是，任意一 个平衡状态 X e ，都可以通过坐标变换
将其变换到坐标原点 X e 0 以下对系统稳定性 的讨论 都在系统的状态空间原 点处。
电气工程学院
二、稳定性的定义 1、稳定
已知系统在自由运动时 齐次状态方程的一般形 式为 X f ( X , t )
不稳定
电气工程学院
3、非线性系统的稳定性 (1)、系统的状态方程
X f (X ,t)
X e 为其平衡状态，
f ( X , t )为和 X 的同维矢量函数，对 X 具有连 续的一阶偏导数。
要讨论系统在 X e 处的稳定性，要将非线 性系统线性化。将非
可得 线性函数在 X e的邻域内泰勒级数展开 。 f X ( X X e ) （X ） T X f1 f 1 f1 x n x1 x 2 f f 2 f 2 2 f 而 x n x1 x 2 T X f f n f n Xe 0 n x1 x 2 x n n n
系统平衡状态 X e 0
X e 0，在状态空间的原点。
(1) 若由于扰动使系统的平 衡状态遭到破坏。在 t t 0 时刻产生 初始状态 X ( t 0 ) X 0。在 t t 0 后，系统的运动状态 X (t ) 将随时间变化。
如果，对应于无论多么 小的 0 的园域或球域 S ( ), 总存在 一个 0 的园域或球域 S ( ) ，在初始状态 X 0不超过 S ( ) 的条件下
电气工程学院
例：系统的状态空间表 达式为 试分析系统的状态稳定 性。
解：
1 X 0
0 x 1
1 u , y 1 1
0 X
由A 阵的特征方程 det I A ( 1)( 1) 0
可得特征根
1 1， 2 1。
或虽然 V ( X )半负定，但对任意初始 状 态 X ( t 0 ) 0 来说，除去
V X X e 0外，对 X 0， ( X ) 不恒为 0 。此时 X e是渐进稳定的。
判 断 系 统 的 渐 进 稳 定 性 ， B IB O 稳 定 性 。
2、 非 线 性 系 统
x1 2 x1 2 x1 x 2 x2 x2
2
用李雅普诺夫第一法判 断，系统在平衡点的稳 定性。
电气工程学院
李亚普诺夫第二法（直接法）
1. 概述
能量观点 能量函数 电容中储能
电气工程学院
Section 5 P.513 9-4
李雅普诺夫稳定性定义→ 李雅普诺夫第一方法（间接法） → 系统的有界输入输出(BIBO)稳定→ 李亚普诺夫第二法（直接法） → 李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→
电气工程学院
李雅普诺夫稳定性定义
一、系统状态的运动及 平衡状态
1、研究系统的稳定性指 系统处于平衡状态下， 受到扰动后系统 自由运动的性质。系统 稳定性的定义有很多， 最重要的是由俄国
电气工程学院
5、不稳定
对于一个无论多么小的 实数 0 ，存在一个 0，由 S ( ) 出发的状态轨迹有一个 轨线超越 S ( ) ，则称这种系统 不稳定
x2
S( ) S( )
x0
x1
xe
不稳定的平衡状态及其状态轨线
电气工程学院
三、二次型函数的定号 性和塞尔维斯特（ sylvester ）准则
令
雅克比 Jacobian 矩阵
A
f X
T X Xe
X X X e , 可得线性化的方程
X AX
电气工程学院
( 2 )、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A 的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统的稳定性和 （X ）无关。
反之，若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 有公因子，此时，D ( s ) sI A 。
结论： ( s )的极点只是特征值的一 部分，即使是 BIBO 稳定 G
的，它不见的是渐进稳 定的。
可见， BIBO 稳定不包含渐进稳定， 而渐进稳定包含 BIBO 稳定。 渐进稳定比 BIBO 稳定定义要严格，只有 渐进稳定的系统，才能 说 系统是真正稳定的。一 个 BIBO 稳定的系统可能不能正 常工作，因 为其内部状态可能不稳 定。
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平
衡状态 X e是不稳定的。
[ 3 ]、若 A 的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态 X e的稳定性取决于高阶导 数项 （ X ），而不能用
A 的特征值符号确定。
例：系统状态方程为
x1 x1 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 2
当 t t 0后， ( t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为 X
稳定系统。
电气工程学院
( 2 )、
即 如果存在
X 0 X e ( , t 0 ) 或 S
X (t ) X e
欧几里德范数
1 2
或 S ( )
结论：系统是稳定的。
2
式中； X ( t ) X e x 1 x 1 e ) ( x 2 x 2 e ) ( x x ) 2 ( n ne x2 S( )
[ 3 ] V ( X ) 称李雅普诺夫函数
已知系统
X f (X )
若能找到一个正定的 V ( X )
而
V (X )
是负定的，则系统是渐 进稳定的。
电气工程学院
[ 4] 需注意问题 应用李雅普诺夫第二法 的关键问题是 V ( X )的寻找。
任何标量函数只要满足 李雅普诺夫稳定性判断 的假设 , 均可作为李雅普诺夫函 数。
B
Cadj ( sI A ) B det( sI A )
[1]、 G ( s )为不可约的，即 N ( s )和 D ( s )无公因子
电气工程学院
[ 2 ]、若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 无公因子，有
D ( s ) sI A 。
G 结论： ( s )的极点和系统的 A 特征值完全相同。系统 若 BIBO 稳定，它也是渐进稳定 的。
R( s )
G( S )
C( s )
（1）、不可避免的，一个 系统不光研究状态的稳 定性，系统有输入 输出，同时要研究系统 的输入输出稳定性。
（2）、以前的分析可以知 道，当系统的 G ( s )的极点都具有负的实部 时，定义系统稳定。这 种稳定的系统对于一个 有界的输入，
r ( t ) k1 ; 必然产生一个有界的输 出，c ( t ) k 2 。
（3）、 V ( X )沿状态轨迹方向计算的 时间导数
dV ( X ) V (X ) 分别满足下列条件 dt
[1] 若 V ( X )半负定，则平衡状态 X e 为李雅普诺夫意义下的 稳定。 [ 2 ] 若 V ( X ) 负定， 此时 X e是渐进稳定的。
若当 X 时， V ( X ) ，则系统为大范围渐进 稳定的。
1 2 Cu
2
[1] 思路 :
电感中储能
1 2
Li
2
[ 2 ] 系统的复杂性和多样性 ，使得一个具体的系统 的能量 函数不好直观的找出。李雅普诺夫定义了一个 正定的标量函数
V ( X ) ，作为虚 构的广义能量函数。 然后，根据 V ( X ) 的符号特征
来判断系统 的稳定性。
V (X )
V (X )
试分析系统在平衡状态 的稳定性。
解：[1]、找出系统的平衡状态
0 Xe 1 0
X e2
1 1
[ 2 ]、在 X e 1处进行讨论，将非线性 方程线性化
电气工程学院
0 Xe 1 0
1 A 0
0 1
其特征值为 1 1， 2 1。
x2
S( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
电气工程学院
4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。
讨论： 按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
2
S( )
x0
x1
xe
稳定的 平衡状态及其 状态轨线
电气工程学院
2、一致稳定
实数 和 有关，也和 t 0 有关。若 与 t 0 无关，称平衡状 态 X e 一 致 稳 定
电气工程学院
3、渐进稳定 当t无限增长，若存在 lim X ( t ) X e 0
t
即系统回到原来的平衡 状态 X e 则称系统是 渐进稳定
@
@ @
李雅普诺夫函数的寻找 主要靠试探。 也有一些定理 , 帮助寻找李雅普诺夫函 数。
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2
李雅普诺夫稳定判据
平衡状态 X e 0
已知 系统的状态方程为 X f ( X )
如果存在一个标量函数 V ( X )
有 f (Xe) 0
满足
（1）、 V ( X )对所有 X 都具有连续的一阶偏导数。 （2）、 V ( X )是正定的，X 0， V ( X ) 0， X 0， V ( X ) 0
定义为系统的有界输入 输出稳定或称 BIBO 稳定。
BIBO 稳定的充要条件是
G ( s )的 所 有 极 点 都 在 s 平 面 的 左 半 平 面 。
( 3 )、BIBO 稳定和渐进稳定的关系 由于 G ( s )
N (s) D( s) C ( sI A )
1
det( sI A ) sI A
李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以
按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
2、第一方法（间接法） 内容 （1）、对于线性系统；已知
X AX , A 非奇异，则 X e 0
为其平衡点。
( 2 )、内容 [1]、 A 的特征根全部具有负的实部，系统是渐进稳定 的。 [ 2 ]、 A 中有一个实部为正的特 征根，实际系统不稳定 [ 3 ]、线性系统渐进稳定， 则一定是大范围渐进稳 定的。
学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程；
X f (X ,t)
3、平衡状态 X e
若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有
X f (Xe ,t) 0
其解为
X (t; X 0 ; t0 )
结论： 系统在
X e1
处是不稳定的。
1 [ 3 ]、在 X e 2 处线性化得 X e2 1 0 A 1 1 0
特征值为 1， j 2
结论。
得不出系统稳定否的
要应用李雅普诺夫第二
法（直接法）进行讨论
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系统的有界输入输出(BIBO)稳定
电气工程学院
例：系统的状态空间表 达式为，判断渐进稳定 性和 BIBO 稳定性。 1 X 0 1 1 X u , y 2 2 0 1X
解：
[1] 、系统是渐进稳定的。
[ 2 ] 、系统是 BIBO 稳定的。
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作业： 1、 已 知 系 统 的 状 态 空 间 表 达 式 为 1 X 0 1 1 X u, 0 0 y 2 1 X
参见 自动控制原理 下 吴麒 P.242 现代控制理论 刘豹 P.147
教材 p.505 附录1；5.二次型和向量范数
作业： 判Hale Waihona Puke Baidu下面二次型函数的符号性质 V ( x ) x1 3 x 2 11 x 3 2 x1 x2 x 2 x 3 2 x1 x 3
2 2 2
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成立，则称 X e 为系统的平衡状态。
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需要说明的是，任意一 个平衡状态 X e ，都可以通过坐标变换
将其变换到坐标原点 X e 0 以下对系统稳定性 的讨论 都在系统的状态空间原 点处。
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二、稳定性的定义 1、稳定
已知系统在自由运动时 齐次状态方程的一般形 式为 X f ( X , t )
不稳定
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3、非线性系统的稳定性 (1)、系统的状态方程
X f (X ,t)
X e 为其平衡状态，
f ( X , t )为和 X 的同维矢量函数，对 X 具有连 续的一阶偏导数。
要讨论系统在 X e 处的稳定性，要将非线 性系统线性化。将非
可得 线性函数在 X e的邻域内泰勒级数展开 。 f X ( X X e ) （X ） T X f1 f 1 f1 x n x1 x 2 f f 2 f 2 2 f 而 x n x1 x 2 T X f f n f n Xe 0 n x1 x 2 x n n n
系统平衡状态 X e 0
X e 0，在状态空间的原点。
(1) 若由于扰动使系统的平 衡状态遭到破坏。在 t t 0 时刻产生 初始状态 X ( t 0 ) X 0。在 t t 0 后，系统的运动状态 X (t ) 将随时间变化。
如果，对应于无论多么 小的 0 的园域或球域 S ( ), 总存在 一个 0 的园域或球域 S ( ) ，在初始状态 X 0不超过 S ( ) 的条件下
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例：系统的状态空间表 达式为 试分析系统的状态稳定 性。
解：
1 X 0
0 x 1
1 u , y 1 1
0 X
由A 阵的特征方程 det I A ( 1)( 1) 0
可得特征根
1 1， 2 1。
或虽然 V ( X )半负定，但对任意初始 状 态 X ( t 0 ) 0 来说，除去
V X X e 0外，对 X 0， ( X ) 不恒为 0 。此时 X e是渐进稳定的。
判 断 系 统 的 渐 进 稳 定 性 ， B IB O 稳 定 性 。
2、 非 线 性 系 统
x1 2 x1 2 x1 x 2 x2 x2
2
用李雅普诺夫第一法判 断，系统在平衡点的稳 定性。
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李亚普诺夫第二法（直接法）
1. 概述
能量观点 能量函数 电容中储能
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Section 5 P.513 9-4
李雅普诺夫稳定性定义→ 李雅普诺夫第一方法（间接法） → 系统的有界输入输出(BIBO)稳定→ 李亚普诺夫第二法（直接法） → 李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→
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李雅普诺夫稳定性定义
一、系统状态的运动及 平衡状态
1、研究系统的稳定性指 系统处于平衡状态下， 受到扰动后系统 自由运动的性质。系统 稳定性的定义有很多， 最重要的是由俄国
电气工程学院
5、不稳定
对于一个无论多么小的 实数 0 ，存在一个 0，由 S ( ) 出发的状态轨迹有一个 轨线超越 S ( ) ，则称这种系统 不稳定
x2
S( ) S( )
x0
x1
xe
不稳定的平衡状态及其状态轨线
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三、二次型函数的定号 性和塞尔维斯特（ sylvester ）准则
令
雅克比 Jacobian 矩阵
A
f X
T X Xe
X X X e , 可得线性化的方程
X AX
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( 2 )、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A 的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统的稳定性和 （X ）无关。
反之，若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 有公因子，此时，D ( s ) sI A 。
结论： ( s )的极点只是特征值的一 部分，即使是 BIBO 稳定 G
的，它不见的是渐进稳 定的。
可见， BIBO 稳定不包含渐进稳定， 而渐进稳定包含 BIBO 稳定。 渐进稳定比 BIBO 稳定定义要严格，只有 渐进稳定的系统，才能 说 系统是真正稳定的。一 个 BIBO 稳定的系统可能不能正 常工作，因 为其内部状态可能不稳 定。
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平
衡状态 X e是不稳定的。
[ 3 ]、若 A 的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态 X e的稳定性取决于高阶导 数项 （ X ），而不能用
A 的特征值符号确定。
例：系统状态方程为
x1 x1 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 2
当 t t 0后， ( t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为 X
稳定系统。
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( 2 )、
即 如果存在
X 0 X e ( , t 0 ) 或 S
X (t ) X e
欧几里德范数
1 2
或 S ( )
结论：系统是稳定的。
2
式中； X ( t ) X e x 1 x 1 e ) ( x 2 x 2 e ) ( x x ) 2 ( n ne x2 S( )
[ 3 ] V ( X ) 称李雅普诺夫函数
已知系统
X f (X )
若能找到一个正定的 V ( X )
而
V (X )
是负定的，则系统是渐 进稳定的。
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[ 4] 需注意问题 应用李雅普诺夫第二法 的关键问题是 V ( X )的寻找。
任何标量函数只要满足 李雅普诺夫稳定性判断 的假设 , 均可作为李雅普诺夫函 数。
B
Cadj ( sI A ) B det( sI A )
[1]、 G ( s )为不可约的，即 N ( s )和 D ( s )无公因子
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[ 2 ]、若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 无公因子，有
D ( s ) sI A 。
G 结论： ( s )的极点和系统的 A 特征值完全相同。系统 若 BIBO 稳定，它也是渐进稳定 的。
R( s )
G( S )
C( s )
（1）、不可避免的，一个 系统不光研究状态的稳 定性，系统有输入 输出，同时要研究系统 的输入输出稳定性。
（2）、以前的分析可以知 道，当系统的 G ( s )的极点都具有负的实部 时，定义系统稳定。这 种稳定的系统对于一个 有界的输入，
r ( t ) k1 ; 必然产生一个有界的输 出，c ( t ) k 2 。
（3）、 V ( X )沿状态轨迹方向计算的 时间导数
dV ( X ) V (X ) 分别满足下列条件 dt
[1] 若 V ( X )半负定，则平衡状态 X e 为李雅普诺夫意义下的 稳定。 [ 2 ] 若 V ( X ) 负定， 此时 X e是渐进稳定的。
若当 X 时， V ( X ) ，则系统为大范围渐进 稳定的。
1 2 Cu
2
[1] 思路 :
电感中储能
1 2
Li
2
[ 2 ] 系统的复杂性和多样性 ，使得一个具体的系统 的能量 函数不好直观的找出。李雅普诺夫定义了一个 正定的标量函数
V ( X ) ，作为虚 构的广义能量函数。 然后，根据 V ( X ) 的符号特征
来判断系统 的稳定性。
V (X )
V (X )
试分析系统在平衡状态 的稳定性。
解：[1]、找出系统的平衡状态
0 Xe 1 0
X e2
1 1
[ 2 ]、在 X e 1处进行讨论，将非线性 方程线性化
电气工程学院
0 Xe 1 0
1 A 0
0 1
其特征值为 1 1， 2 1。
x2
S( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
电气工程学院
4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。
讨论： 按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
2
S( )
x0
x1
xe
稳定的 平衡状态及其 状态轨线
电气工程学院
2、一致稳定
实数 和 有关，也和 t 0 有关。若 与 t 0 无关，称平衡状 态 X e 一 致 稳 定
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3、渐进稳定 当t无限增长，若存在 lim X ( t ) X e 0
t
即系统回到原来的平衡 状态 X e 则称系统是 渐进稳定
@
@ @
李雅普诺夫函数的寻找 主要靠试探。 也有一些定理 , 帮助寻找李雅普诺夫函 数。
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2
李雅普诺夫稳定判据
平衡状态 X e 0
已知 系统的状态方程为 X f ( X )
如果存在一个标量函数 V ( X )
有 f (Xe) 0
满足
（1）、 V ( X )对所有 X 都具有连续的一阶偏导数。 （2）、 V ( X )是正定的，X 0， V ( X ) 0， X 0， V ( X ) 0
定义为系统的有界输入 输出稳定或称 BIBO 稳定。
BIBO 稳定的充要条件是
G ( s )的 所 有 极 点 都 在 s 平 面 的 左 半 平 面 。
( 3 )、BIBO 稳定和渐进稳定的关系 由于 G ( s )
N (s) D( s) C ( sI A )
1
det( sI A ) sI A
李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以
按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
2、第一方法（间接法） 内容 （1）、对于线性系统；已知
X AX , A 非奇异，则 X e 0
为其平衡点。
( 2 )、内容 [1]、 A 的特征根全部具有负的实部，系统是渐进稳定 的。 [ 2 ]、 A 中有一个实部为正的特 征根，实际系统不稳定 [ 3 ]、线性系统渐进稳定， 则一定是大范围渐进稳 定的。
学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程；
X f (X ,t)
3、平衡状态 X e
若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有
X f (Xe ,t) 0
其解为
X (t; X 0 ; t0 )