奥数精选超级难题10道(附详细答案)

计算器高尔夫与估算有关的游戏

这是与估算有关的游戏，虽然要花些时间做事前准备，但从中获得的乐趣一定能使你觉得十分值得。

玩这个游戏需要一些卡片，每张卡片代表高尔夫球场上的一个洞。卡片上有一道题目，必须估算出合乎条件范围的数字。题目的难易应恰到好处，大约要做几次估算才能得出够准确的答案都应预作安排。实际估算的次数就等于在这个洞所得到的杆数。虽然有可能一杆进洞，但概率很小，除非问题太简单。上面是一张卡片的例子，以下是彼得和苏珊玩游戏时留下的记录：

彼得：

B洞56.7＜b2＜57.7

4杆

苏珊：

B洞56.7＜b2＜57.7

3杆

从两人的第一次估算可以看出，他们都是由九九乘法表的72＝49与82＝64判断b必定是在7和8之间，因此两人第一次的估计值都是

因此在

他们都发现b就在这两次估算的估计值之间，于是彼得在下次估算时，选择这两次估算的中间值；苏珊则注意到7.52比7.72更接近b，因此，她下一杆就进洞了。

彼得用前两次估算的中间值的做法，使他能很平稳地得分，但是苏珊的深思熟虑却使她赢了这一洞！

下面是几个其他的例子。

当一组卡片都准备好了之后，你就有了各种情况的“球场”。

答案与分析：

这个游戏的关键在于设计出一套适当的题目卡。设计时，必须先了解参与游戏者的程度，这样才能使题目难易适中。

然而，由于可以使用计算器，因此即使是程度有相当差异的人也可以一起玩，只要像玩高尔夫球一样，程度好的人先让几杆就可以了。

要想制作出许多套不同的题目卡，的确是个大工程，但是在一张纸上设计一个九洞的球场应该不会太困难。

最好是能让玩的人记录自己的估算过程。分组比赛也是玩这个游戏的另一种方式。

双胞胎的秘密

49要乘上多少才能得到4949？

38要乘上多少才能得到383838？

请找出4个质数，它们与一个二位数ab相乘所得的乘积为ababab。研究一下，一个二位数ab与73×101×137的乘积会是多少。

答案与分析：

49× 101＝4949

38×10 101＝383838

10 101=3×7×13×37

因此任何二位数ab乘以3，再乘以7，再乘以13，再乘以37，都会得到ababab。

73×101×137＝1 010101

因此ab乘上这些数字之后，会得到abababab。

魔数的性质

写下任意三位数abc，重复数字使之成为六位数abcabc。

将这个数除以13，余数忽略不计。

将所得的商除以7，余数忽略不计。

最后再除以11。

你注意到什么了吗？请解释这个现象。

答案与分析：

任何具有abcabc形式的六位数，都相当于1 000×abc＋1×abc，也就是1 001×abc。由于1 001＝13×7×11，因此不会有余数

显示器上错误的数字

某个计算器显示屏的电路出了毛病，所以每次应该显示x数字，出现的却是y数字。除此之外，这个计算器的功能都还正常。使用这个计算器做运算，结果如下：

5672+7747＝12975

279×767＝87717

这些数字都是在显示屏上看到的。

请问哪一个数字是错误的？它应该是哪一个数字？

答案与分析：

在那两道算式中，只有0和3没有出现。从第一道算式的个位数判断，可能3被7所取代，经过验算得知事实的确如此。

原来的算式应该是：

5 632+7 343＝12975

239×367＝87713

分数的演绎与传奇

在一种简化的飞镖靶盘上只有两个区域(见图)：

内圈11分，外圈4分。

比赛的人轮流投掷飞镖，并累积计算各人的总分，先达到预定分数的人赢。

当凯蒂和海伦在玩这个游戏时，她们发现不论怎么玩就是无法达到某些分数，如21分。于是她们坐下来，拿出纸和笔，研究到底有哪些分数是无法达到的。结果她们发现，只要超过某个分数之后，任何分数都可以达到。因此她们约定将来再玩时，所设定的目标分数一定要够大才行。

请找出无法达到的总分。

如果改变内圈与外圈的分数，对于目标分数的形式会有何影响？

如果内圈是m分，外圈是n分，你能找出计算无法达到的最大总分是多少的公式吗？

答案与分析：

在11分以内，只有4的倍数可能达到。11和12当然也可能。如果13是可能的，它必须等于先前可能达到的分数加4或加11，但是13-4=9，13-11＝2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。同理，14是不可能的，但15是可能的，因为15-4＝11。继续依同样的方式推算，可以证明29是不可能达到的，但之后的

30＝2× (11)＋2×④

31＝＋5×④

32＝8×④

33＝3×)

有4个连续可能达到的分数，因此之后的4个连续分数也必定是可能达到的，因为：

34＝30＋4 35＝31＋4 36＝32＋4

37＝33＋4

故以归纳法推论，任何大于29的分数都可以达到。

不可能达到的分数如下：

1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18，

21，22，25，29

一般来说，要是m与n除了1以外没有公因数，则不可能达到的最大分数是

mn-m-n

然而，如果m与n有一个公因数d，那么就只有d的倍数才可能达到，因此无法找到一个最大的不可达到的目标分数。证明上面的公式已超出本书的范围，但是以下述的方式分析题目中的例子，也可以使我们了解为什么这个结果可能是对的。

先只考虑4，所有4的倍数都是可达到的。接着要证明的就是加上11的倍数，并超过某一数目之后，任何分数都是可达到的。

由于

11＝2×4＋3

22＝5×4＋2

33＝8×4＋1

故11的前三个倍数与4的倍数分别相差3、2、1，因此可以把它们写成如下的形式：

4n＋3 4n＋2 4n＋1

所以33以上的所有分数都是可能达到的。略加思考之后，我们又知道不可能达到的最大分数应该比33少4，它的形式应该是

(4-1)×11-4

如以通式表示，则：

(n-1)m-n＝nm-m-n

八旬老人的真实年龄

有位八十多岁的退休数学老师，整天拿着他十几岁的曾孙女送给他的计算器玩。他发现自己年龄的两个数字的立方差，刚好等于曾孙女年龄的平方。他们两人各是多少岁？

分析与解答

83-73＝512-343＝169＝132

这位退休的数学老师87岁，他的曾孙女13岁。