钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度和挠度验算

f S M l 2 S l 2
EI
5.2.1 截面弯曲刚度的概念及定义
f
f S M l 2 S l 2
EI
M EI M M EI
EI
截面抗弯刚度EI 体现了截面抵抗弯曲变形的能力，同时也反映 了截面弯矩与曲率之间的物理关系。
对于弹性均质材料截面，EI为常数，M- 关系为直线。
3 ftd
8t m te
τm随ft的增加而增加，近似取ft / τm为一常数
lm
K
d
te
❖粘结滑移理论推出的 lm与钢筋直径d及有效配筋率
ρte＝As／Ate有关。
❖无滑移理论认为保护层
厚度c是影响构件表面裂缝 宽度的主要因素。
❖综合理论既考虑c的影响，
也考虑d及ρte的影响。
lm K2c K1 d
（4）短期刚度Bs
ck
中和轴
c
cm ck
cm cm
Bs
Mk
M k h0
sm cm
sm
sk
Mk
Ash0 Es
sk
sm sk
Sm cm cck
sm
cm
c
(
' f
Mk
0 )bh02Ec
cm
Mk
bh02 Ec
sm
Mk
Ash0 Es
Bs
Mk
M k h0
sm cm
cm
M
Mu
EcI0
My
Ⅲ
Ⅱ
Mcr
Bs
Ⅰ
由于混凝土开裂、弹塑性应力-应变关系和钢筋屈服等影响，
钢筋混凝土适筋梁的M- 关系不再是直线，而是随弯矩增大，截
面曲率呈曲线变化。梁的截面刚度不但随弯矩变化，而且随荷载 持续作用的时间变化，梁的截面刚度不能用常量EI表示。
M
Mu
My
Msk
EcI0
Ⅲ Ⅱ
Mcr
Bs
Es
lcr
平均裂缝宽度wm
wm smlm cmlm
wm
c
s sk
Es
lm
裂缝宽度主要取决于裂缝截面钢筋应力σsk
lm和ψ也是重要参数。
钢筋应力不均匀系数
sm sk s sm s sk
钢筋应力不均匀系数 是反映裂缝间混凝土参加受拉工作 程度的影响系数。 越小，裂缝之间的混凝土协助钢筋抗拉的
Ⅰ
短期弯矩Mk一般处于第Ⅱ阶段。
既然梁的截面刚度不能用常量EI表示，则通常采用Bs表示钢筋混 凝土梁在标准组合作用下截面的抗弯刚度，简称短期刚度；
用B表示荷载效应的标准组合并考虑荷载效应长期作用影响的截面 刚度。
根据短期刚度和截面刚度求梁挠度f
材料力学
f S M l2 EI
f M
EI
对于弹性均质材料，截面
1.1 0.65 ftk s sk te
在短期弯矩Mk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数、 和 中， 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。
受弯构件的截面刚度B
在长期荷载作用下，由于混凝土的徐变，会使梁的挠度随时间 增长。此外，钢筋与混凝土间粘结滑移徐变、混凝土收缩等也 会导致梁的挠度增大。根据长期试验观测结果，长期挠度与短
te
根据试验资料统计分析，《规范》给出的平均裂缝间距lm的 半理论半经验计算公式为:
lm
(1.9c
0.08
deq
te
)
——轴心受拉构件＝1.1，受弯和偏心受压构件＝1.0，偏心 受拉构件＝1.05；
c——最外层纵向受拉钢筋外边缘到受拉区底边的距离（mm）， 当c<20，取c＝20；当c>65，取c＝65；
钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度验算
轴心受拉构件为例
★开裂前，应变均匀分布。
★在构件最薄弱截面位置出现 第一条（批）裂缝。
★裂缝出现瞬间，裂缝处混凝土应 力为零，钢筋拉应力突增。
开裂前
开裂后
dx
N
lt
N
lt
sc ss
sc+dsc ss-dss
ss
t
ss-dss
★由于钢筋与混凝土之间存在粘结，
裂缝间混凝土中拉应力sc增加。
★当裂缝间距有足够的长度 l 时，裂
缝间混凝土拉应力sc增大到ft，将
出现新的裂缝。
足够的长度 l为粘结应力作用长度，也称传递长度。 当裂缝间距>2l时，还有足够的传递长度，随着外荷载增加，还 可以出现新的裂缝； 当裂缝间距<2l时，没有足够的传递长度，不可能出现新的裂缝。
★由于混凝土材料的不均匀性，裂缝的出现、分布和开展具有很 大的离散性，因此裂缝间距和宽度也是不均匀的。但大量的试 验统计资料分析表明，裂缝间距lm和宽度的平均值wm具有一定 规律性，是钢筋与混凝土之间粘结受力机理的反映。
裂缝宽度验算公式 wmax wlim
max：荷载效应标准组合并考虑长期荷载作用的最大裂缝宽度； lim：最大裂缝宽度限值。
wmax wlim
不满足要求？
wmax
cr
s sk
Es
(1.9c 0.08 deq )
te
★影响裂缝宽度的主要因素是钢筋应力，不宜采用高强钢筋。 钢筋直径、外形、砼保护层厚度及配筋率也是较重要的因素。 砼强度对裂缝宽度无显著影响。
2、受压区边缘混凝土平均应变综合系数
根据试验实测受压边缘混凝土的压应变，可以得到系数 的试 验值。在短期弯矩Mk=（0.5~0.7）Mu范围，系数 的变化很小，
仅与配筋率有关。《规范》根据试验结果分析给出，
E 0.2 6 E
1 3.5 f
f
(bf b)hf bh0
受压翼缘加强系数
3、钢筋应变不均匀系数
★采用细而密、变形钢筋，使裂缝间距及裂缝宽度减小。
★有效配筋率越大，表面裂缝宽度越小；
★解决荷载裂缝问题的最有效方法是采用预应力钢筋砼。
5.2 钢筋混凝土受弯构件的挠度验算
f
均布：f
5 ql4 384 EI
5 48
Ml2 EI
集中：f 1 Pl 3 1 Ml 2 48 EI 12 EI
2、出现裂缝的构件
M EcI0
My Ms
Mcr
Bs
M
Mcr
EcI0 0.85EcI0
短期弯矩Mk一般处于第Ⅱ阶段，刚度计算需要研究构件带裂缝 时的工作情况。该阶段裂缝基本等间距分布，钢筋和混凝土的
应变分布具有以下特征：
（1）几何关系(纯弯区段分析)
ck
c
cm ck
cm cm
中和轴
平均曲率
sm cm
★ 规范采用平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ裂缝宽度wm乘以扩大系数的方法确定最大裂缝 宽度wmax。
平均裂缝间距lm
s s1 As s s2 As ft Ate
s s1 As s s2 As ft Ate
s s1As s s2 As t m u l
t m u l ft Ate
l ft Ate
t mu
s sk
w l m
c
m
cr ttlc
Es
cr——构件的受力特征系数，
wmax
cr
s sk
Es
(1.9c
0.08 deq
te
)
轴心受拉构件 cr＝2.7
偏心受拉
cr＝2.4
受弯、偏心受压构件 cr＝2.1
最大裂缝宽度wmax
wmax
cr
s sk
Es
(1.9c 0.08 deq )
te
Mk
bh02 Ec
Bs
1
Ash02 Es
1
bh03 Ec
E
Es Ec
As
bh0
Bs
Es As h02
E
参数、 和
1、开裂截面的内力臂系数
试验和理论分析表明，在短期弯矩Mk=（0.5~0.7）Mu范围，
裂缝截面的相对受压区高度 变化很小，内力臂的变化也不大。 对常用的混凝土强度和配筋情况， 值在0.83~0.93之间波动。 《规范》为简化计算，取=0.87。
deq——受拉区纵向受拉钢筋的等效直径（mm）；
deq
ni d i2
ni idi
ni——受拉区第i种纵向受拉钢筋的根数； di——受拉区第i种纵向受拉钢筋的公称直径；
i ——纵向受拉钢筋相对粘结特征系数，对变形钢筋， ＝1；对光面钢筋＝0.7。
平均裂缝宽度wm
在一个裂缝区段(平均裂缝间距 lm)内，钢筋与砼伸长之差是裂 缝开展宽度ω。
作用越强。
1.1 0.65 ftk s sk te
sk分布图
裂缝截面处钢筋应力ssk 轴心受拉构件
受弯构件
s sk
Nk As
s sk
Mk 0.87 Ash0
最大裂缝宽度wmax
❖砼质量不均匀，裂缝间距有疏有密，宽度有大有小。 t
❖荷载长期作用下裂缝宽度有所增长。 tl ❖用最大宽度衡量是否超过允许值。
对直接承受重复荷载作
用的构件，取 =1.0。
te为以有效受拉混凝土截面面积
计算的受拉钢筋配筋率。
Ate为有效受拉混凝土截面面积，对
受弯构件取
Ate 0.5bh (bf b)hf
Bs
Es Ash02
E
E 0.2 6 E
1 3.5 f
Bs
1.15
Es Ash02 0.2
6E
1 3.5 f
l为粘结应力的传递长度
l ft Ate
t mu
τm——l范围内纵向受拉钢筋与砼的平均粘结应力；
u——纵向受拉钢筋截面总周长，u=nπd，n和d为钢筋的 根数和直径。 Ate——有效受拉砼截面面积
l ft Ate
t mu
ρte＝As／Ate ， d =4As／u
l ftd
4t m te
lm 1.5l
抗弯刚度为EI （常数）， M- 关系为直线。
《规范》
EI
f S M l2 BS
BS或B
f S M l2 B
短期刚度Bs
1、混凝土不出现裂缝 ❖ 实测挠度比计算（用B=EI0代入）大，表示抗弯刚度比EI0小； ❖ 在未开裂前的I阶段，由于混凝土受拉区已经进入塑性，因此， 实际抗弯刚度比EI0小； ❖ BS=0.85EI0 ❖ 应用于混凝土未开裂的预应力混凝土结构
h0
sk
sm sk
Sm
sm
Bs
Mk
M k h0
sm cm
（2）物理关系 （3）平衡关系
sk
s sk
Es
，
ck
s ck
Ec'
s ck Ec
Mk
C
h0
s
ck
(
' f
0 )h0b h0
M k Ts h0 s sk As h0
s ck
(
' f
Mk
0 )bh02
s sk
Mk
As h0
wm smlm cmlm
εsm、εcm——分别为裂缝间钢筋及砼的平均应变； lm——裂缝间距。
平均裂缝宽度wm
wm smlm cmlm
sm
(1
cm sm
)lm
引入受拉钢筋应变不均匀系数 ψ=εsm/εsk
sk分布图
sm
sk
s sk
Es
c
(1
cm ) sm
0.85
wm
c
s sk
sm sk s sm s sk
钢筋应力不均匀系数 是反映裂缝间混凝土参加受拉工作 程度的影响系数。 越小，裂缝之间的混凝土协助钢筋抗拉的
作用越强。
1.1 0.65 ftk s sk te
sk分布图
1.1 0.65 ftk s sk te
s sk
Mk
As h0
te
As Ate
当 <0.2时，取 =0.2； 当 >1.0时，取 =1.0；
期挠度的比值q 可按下式计算:
q 2.0 0.4
f q S Mq l2 S (Mk Mq) l2
Bs
Bs
f S Mk l2 B
截面刚度
B
Mk
Mk
(q 1)M q
Bs
最小刚度原则及挠度计算
◆ 由于弯矩沿梁长的变化的，抗弯 刚度沿梁长也是变化的。但按变 刚度梁来计算挠度变形很麻烦。
◆ 《规范》为简化起见，取同号弯 矩区段的最大弯矩截面处的最小 刚度Bmin，按等刚度梁来计算。
◆ 这样挠度的简化计算结果比按 变刚度梁的理论值略偏大。
◆ 但挠度计算仅考虑弯曲变形的 影响，实际上还存在一些剪切变 形，因此按最小刚度Bmin计算的 结果与实测结果的误差很小。
“最小刚度原则”
wmax tt lm
最大裂缝宽度wmax
wmax tt lm
t ——荷载短期效应裂缝扩大系数； 轴心受拉和偏心受拉构件t＝1.9 受弯和偏心受压构件t＝1.66
tl ——荷载长期效应裂缝扩大系数， tl ＝1.5；
最大裂缝宽度wmax
wmax ttl wm
lm
(1.9c
0.08
deq
te
)