(物理化学)第二章 热力学基础概念题1
物理化学第四版 第二章热力学第一定律习题(答案)
p外
(
nRT2 p2
nRT1 ) p1
nCV ,m (T2
T1)
T2 174.8K
U 5.40 kJ, H -9.0 kJ , w 5.40kJ
2020/4/12
14
例3. 试求下列过程的U和H：
A(蒸气) n = 2mol T1 = 400K p1 = 50.663kPa
A(液体) n = 2mol T2 = 350K p2 = 101.325kPa
⑥ 任何绝热过程
W=ΔU
2020/4/12
4
（ⅱ）热量Q的计算：
QV= ∫nCV,mdT= ΔU Qp = ∫nCp,mdT= ΔH
相变热 Qp = ΔH （定温、定压）
ΔvapHm(T) ΔfusHm(T) …
2020/4/12
5
1.试写出实际气体的范德华方程
。
2.封闭系统的热力学第一定律的数学表达式为
= H + nRT =－79 kJ + 2 8.314 400 103 kJ
2020/4/12
=－72.35 kJ
16
例4：求反应CH3COOH(g)
CH4(g)+CO2(g)在
1000K时的标准摩尔反应焓 r H m，已知数据如下表：
物质
CH3COOH(g)
f
H
m
(298K
)
kJ.mol -1
He(g)
n= 4.403mol
T1=273K p1=1.0×106 Pa
V1=0.01m3
(1) Q = 0,可逆
(2) Q = 0 p外= p2
He(e)
n=4.403mol
T2=? P2=1.0×105Pa
物理化学第2章习题精解
第二章 热力学第二定律本章通过卡诺定理引入了熵的概念及克劳修不等式，定义了亥姆霍兹自由能和吉布斯自由能两个辅助热力学函数，导出了封闭系统中热力学基本公式，对应系数和麦克斯韦关系式以及克拉贝龙方程等一系列重要的热力学公式，简要介绍了熵的统计意义和热力学第三定律。
通过本章内容的学习，可以了解S 、A 、G 等热力学函数改变值在各种过程中的计算，以及如何运用它们判别自发变化的方向，学会运用热力学基本原理演绎平衡系统性质的方法，为学习多组分系统和相平衡系统等后续内容奠定良好的基础。
一、基本内容（一）热力学第二定律的经典表述 开尔文（Kelvin ）说法：“不可能从单一热源取出热使之完全变为功，而不引起其他变化”。
此表述也可说成：“第二类永动机不可能造成”。
克劳修斯（Clausius ）说法：“不可能把热从低温物体传到高温物体，而不引起其他变化。
” （二）卡诺（Carnot ）定理工作在两个给定的热源之间的任何热机，其热机效率I η不可能超过卡诺热机的效率R η。
设从高温热源2T 吸热2Q ，对外做功为W ，向低温热源1T 放热1Q ，则1221I R 222Q Q T T W Q Q T ηη+-=-=≤= 由此式可以得到12120Q Q T T +≤ “=”表示可逆，“<”表示不可逆。
即在指定的低温热源和高温热源之间，一切可逆循环的热温商之和等于零，一切不可逆循环的热温商之和小于零。
（三）熵的概念及其统计意义R δd Q S T =或RδQ S T∆=∑ 熵变是可逆过程中的热温商之和。
熵具有统计意义，它是系统微观状态数Ω（或混乱度）的量度，这一关系可由玻耳兹曼公式给出ln S k =Ω 式中k 为玻耳兹曼常量，2311.38110J K k --=⨯⋅。
（四）克劳修斯不等式BAδ0QS T∆-≥∑或δd 0Q S T -≥此式称为克劳修斯不等式，并作为热力学第二定律的数学表达式。
将此式应用于绝热系统（或隔离系统）时得到0S ∆≥或d 0S ≥此式称为熵增加原理。
第五版物理化学第二章习题答案(1)
第二章 热力学第一定律2.1 1mol 理想气体在恒定压力下温度升高1℃，求过程中系统与环境交换的功。
解：理想气体n = 1mol对于理想气体恒压过程,应用式（2.2.3）W =－p amb ΔV =－p(V 2-V 1) =－(nRT 2-nRT 1) =－8.314J2.2 1mol 水蒸气(H 2O,g)在100℃,101.325kPa 下全部凝结成液态水。
求过程的功。
假设：相对于水蒸气的体积，液态水的体积可以忽略不计。
解: n = 1mol恒温恒压相变过程,水蒸气可看作理想气体, 应用式（2.2.3）W =－p amb ΔV =－p(V l -V g ) ≈ pVg = nRT = 3.102kJ2.3 在25℃及恒定压力下，电解1mol 水(H 2O,l)，求过程的体积功。
H 2O(l) ＝ H 2(g) + 1/2O 2(g) 解: n = 1mol恒温恒压化学变化过程, 应用式（2.2.3）W=－p amb ΔV =－(p 2V 2-p 1V 1)≈－p 2V 2 =－n 2RT=－3.718kJ2.4 系统由相同的始态经过不同途径达到相同的末态。
若途径a 的Q a =2.078kJ,Wa=－4.157kJ ；而途径b 的Q b =－0.692kJ 。
求W b .解: 热力学能变只与始末态有关,与具体途径无关,故 ΔU a = ΔU b由热力学第一定律可得 Qa + Wa = Q b + W b ∴ W b = Q a + W a －Q b = －1.387kJ2.5 始态为25℃，200 kPa 的5 mol 某理想气体，经途径a ，b 两不同途径到达相同的末态。
途经a 先经绝热膨胀到 -28.47℃，100 kPa ，步骤的功；再恒容加热到压力200 kPa 的末态，步骤的热。
途径b 为恒压加热过程。
求途径b 的及。
解：先确定系统的始、末态3111061902000001529831485m ...P nRT V =××==32101601000005824431485m ...P nRT V V =××=== kJ .kJ )..(Q W U Δa a 85194225575=+=+=－对于途径b ，其功为kJ .J ..V Δp W b 932706190101602000001－）－（－－===根据热力学第一定律2.6 4mol 某理想气体，温度升高20℃, 求ΔH －ΔU 的值。
物理化学概念题
第二章热力学第一定律四．概念题参考答案1．对于理想气体的热力学能，有下述四种理解：(1) 状态一定，热力学能也一定(2) 对应于某一状态的热力学能是可以直接测定的(3) 对应于某一状态，热力学能只有一个数值，不可能有两个或两个以上的数值(4) 状态改变时，热力学能一定跟着改变，其中都正确的是：( )(A) (1)，(2) (B) (3)，(4)(C) (2)，(4) (D) (1)，(3)答：(D)。
热力学能是状态的单值函数，其绝对值无法测量。
2．有一高压钢筒，打开活塞后气体喷出筒外，当筒内压力与筒外压力相等时关闭活塞，此时筒内温度将( )(A) 不变(B) 升高(C) 降低(D) 无法判定答：(C)。
压缩空气冲出钢筒时，筒内的气体对冲出的气体做功。
由于冲出的速度很快，筒内气体来不及从环境吸热，相当于是个绝热过程，所以筒内气体的温度会下降。
3．有一真空钢筒，将阀门打开时，大气（视为理想气体）冲入瓶内，此时瓶内气体的温度将（）(A) 不变(B) 升高(C) 降低(D) 无法判定答：(B)。
空气冲入钢筒时，外面的气体对冲入钢筒的气体做功。
由于冲入的速度很快，筒内的气体来不及向环境放热，相当于是个绝热过程，所以筒内气体的温度会升高。
4．将1 mol 373 K，标准压力下的水，分别经历：(1) 等温、等压可逆蒸发，(2) 真空蒸发，变成373 K，标准压力下的水气。
这两种过程的功和热的关系为( )(A) W 1< W 2Q 1> Q 2(B) W 1< W 2Q 1< Q 2(C) W 1= W 2Q 1= Q 2(D) W 1> W 2Q 1< Q 2答：(A)。
过程(1)中，系统要对外做功，W 1<0，而过程（2）是真空蒸发，W =0，所以W 1< W 2。
过程(1)中，既要对外做功，又要保持温度不变，再加上相2变所吸的热，所以Q 1> Q 2。
物理化学(第二章)
系统在恒 且非体积功为零的过程中与环境交换的热量 的过程中与环境交换的热量。 系统在恒压，且非体积功为零的过程中与环境交换的热量。
Q= ∆U −W ∆U =Q+W
W = −p环(V −V ) 2 1
= − p 系 (V 2 − V1 )
= − ( p 2V 2 − p1V1 )
U2
Q+W
dU =δQ+δW
第一类永动机 是不可能造成的。 是不可能造成的。 永远在做功，却不消耗能量。 永远在做功，却不消耗能量。
∆U =Q+W = 0
若 <0 则 >0. W , Q
W < 0,
Q= 0
∆ = Q+W U
推论： 、 推论： 1、隔离系统 内能守恒
W = 0 Q= 0
∆ =0 U
4、热和功的分类 、 显热 热 相变热（潜热） 相变热（潜热） 化学反应热 功 非体积功（ ） 非体积功（W’） 体积功
5、体积功的计算 、
dV = Asdl
截面 As
环 境
δW = Fd l
热 源
系统
Q F = p环 As
V=As l l dl
p环
∴δW = p环 Asdl
= p环d( Asl ) = p环dV
x = f ( y, z)
∂x dy+ ∂x dz dx = ∂y ∂z y z
（2）广度性质 ） 摩尔热力学能： 摩尔热力学能： （3）绝对值未知 ） 始态
U Um = n
∆ U
强度性质
末态
U1
U2
《物理化学》第二章热力学第一定律练习题(含答案)
《物理化学》第二章热力学第一定律练习题(含答案)第二章练习1，填入1，根据系统与环境之间的能量和物质交换，系统可分为，，2，强度性质显示了体系的特征，与物质的量无关。
容量属性体现了系统的特征，它与物质的数量有关，具有性别。
3年，热力学平衡态同时达到四种平衡，即，，，4，系统状态改变称为进程常见的过程有、、、和，5.从统计热力学的观点来看，功的微观本质是热的微观本质6，每种气体的真空膨胀功w = 0.7，在绝热钢瓶内的化学反应△ u = 0.8，焓定义为2.真或假:1。
当系统的状态不变时，所有状态函数都有一定的值(√) 2。
当系统的状态改变时，所有状态函数的值也相应地改变。
(χ) 3。
因为=δH和=δU，所以和都是状态函数(χ)4，密闭系统在恒压过程中吸收的热量等于系统的焓(χ)误差只有当封闭系统不做非膨胀功等压过程δH = QP5且状态被给定时，状态函数才有固定值；在状态函数被确定之后，状态也被确定(√) 6。
热力学过程中的W值由具体过程(√)7和1摩尔理想气体从同一初始状态经过不同的循环路径后返回初始状态决定，其热力学能量保持不变(√) 3。
单一主题1。
系统中的以下几组物理量都是状态函数:(C) A，T，P，V，Q B，M，W，P，H C，T，P，V，N，D，T，P，U，W2，对于内能是系统的单值函数的概念，误解是(C)系统A处于某一状态，某一内能B对应于某一状态，内能只能有一个值，不能有两个以上的值c的状态改变，内部能量也必须随着对应于内部能量值的d而改变。
可以有多种状态3以下语句不具有状态函数的特征:(d)当系统A的状态确定后状态函数值也确定时，状态函数值的变化值只由系统C的恒定状态通过循环过程来确定。
状态函数值是常数。
D态函数的可加性为4。
在下面的描述中正确的是(a)A物体的温度越高，它的内能越大，B物体的温度越高，它包含的热量越多。
当系统温度升高时，一定是它吸收了热量。
当系统温度恒定时，解释它既不吸热也不放热。
大学物理化学 第二章 热力学第二定律学习指导及习题解答
3．熵可以合理地指定
Sm$
(0K)
0
，热力学能是否也可以指定
U
$ m
(0K)
0
呢？
答：按能斯特热定理，当温度趋于0K，即绝对零度时，凝聚系统中等温变化过
程的熵变趋于零，即
， 只要满足此式，我们就可以任意
选取物质在0K时的任意摩尔熵值作为参考值，显然 Sm$ (0K) 0 是一种最方便的
选择。但0K时反应的热力学能变化并不等于零，
（2）变温过程
A．等压变温过程 始态 A（p1,V1,T1） 终态 B（p 1,V2,T2）
S
T2
δQ R
T T1
T2 Cp d T T T1
Cp
ln
T2 T1
B．等容变温过程 始态 A（p1,V1,T1） 终态 B（p2,V1,T2）
S
T2
δQ R
T T1
C．绝热过程
T2 CV d T T T1
，所以不
能指定
U
$ m
(0K)
0
。
4．孤立系统从始态不可逆进行至终态S＞0，若从同一始态可逆进行至同
一终态时，则S＝0。这一说法是否正确？
答：不正确。熵是状态函数与变化的途径无关，故只要始态与终态一定S
必有定值，孤立系统中的不可逆过程S＞0，而可逆过程S＝0 是毋庸置疑的，
问题是孤立系统的可逆过程与不可逆过程若从同一始态出发是不可能达到相同
4．熵 （1）熵的定义式
dS δ QR T
或
S SB SA
B δ QR AT
注意，上述过程的热不是任意过程发生时，系统与环境交换的热量，而必须是在
可逆过程中系统与环境交换的热。
（完整版）《物理化学》第二章热力学第一定律练习题（含答案）
（完整版）《物理化学》第⼆章热⼒学第⼀定律练习题（含答案）第⼆章练习题⼀、填空题1、根据体系和环境之间能量和物质的交换情况，可将体系分成、、。
2、强度性质表现体系的特征，与物质的数量⽆关。
容量性质表现体系的特征，与物质的数量有关，具有性。
3、热⼒学平衡状态同时达到四种平衡，分别是、、、。
4、体系状态发⽣变化的称为过程。
常见的过程有、、、、。
5、从统计热⼒学观点看，功的微观本质是，热的微观本质是。
6、⽓体各真空膨胀膨胀功W= 07、在绝热钢瓶中化学反应△U= 08、焓的定义式为。
⼆、判断题（说法对否）：1、当体系的状态⼀定时，所有的状态函数都有⼀定的数值。
（√）2、当体系的状态发⽣变化时，所有的状态函数的数值也随之发⽣变化。
（χ）3．因= ΔH， = ΔU，所以与都是状态函数。
（χ）4、封闭系统在压⼒恒定的过程中吸收的热等于该系统的焓。
（χ）错。
只有封闭系统不做⾮膨胀功等压过程ΔH=Q P5、状态给定后，状态函数就有定值；状态函数确定后，状态也就确定了。
（√）6、热⼒学过程中W的值应由具体过程决定( √ )7、1mol理想⽓体从同⼀始态经过不同的循环途径后回到初始状态，其热⼒学能不变。
( √ )三、单选题1、体系的下列各组物理量中都是状态函数的是（ C ）A 、T、P、V、QB 、m、W、P、HC、T、P、V、n、D、T、P、U、W2、对于内能是体系的单值函数概念，错误理解是（ C ）A体系处于⼀定的状态，具有⼀定的内能B对应于某⼀状态，内能只能有⼀数值不能有两个以上的数值C状态发⽣变化，内能也⼀定跟着变化D对应于⼀个内能值，可以有多个状态3下列叙述中不具有状态函数特征的是（D ）A体系状态确定后，状态函数的值也确定B体系变化时，状态函数的改变值只由体系的始终态决定C经循环过程，状态函数的值不变D状态函数均有加和性4、下列叙述中正确的是（ A ）A物体温度越⾼，说明其内能越⼤B物体温度越⾼，说明其所含热量越多C凡体系温度升⾼，就肯定是它吸收了热D凡体系温度不变，说明它既不吸热也不放热5、下列哪⼀种说法错误（ D ）A焓是定义的⼀种具有能量量纲的热⼒学量B只有在某些特定条件下，焓变△H才与体系吸热相等C焓是状态函数D焓是体系能与环境能进⾏热交换的能量6、热⼒学第⼀定律仅适⽤于什么途径（A）A同⼀过程的任何途径B同⼀过程的可逆途径C同⼀过程的不可逆途径D不同过程的任何途径7. 如图，将CuSO4⽔溶液置于绝热箱中,插⼊两个铜电极，以蓄电池为电源进⾏电解，可以看作封闭系统的是（A）(A) 绝热箱中所有物质； (B) 两个铜电极；(C) 蓄电池和铜电极；(D) CuSO4⽔溶液。
物理化学各章复习题附答案
第一章化学热力学基础1.4 练习题1.4.1 判断题1．可逆的化学反应就是可逆过程。
2．Q和W不是体系的性质，与过程有关，所以Q + W也由过程决定。
3．焓的定义式H = U + pV 是在定压条件下推导出来的，所以只有定压过程才有焓变。
4．焓的增加量DH等于该过程中体系从环境吸收的热量。
5．一个绝热过程Q = 0 ，但体系的DT不一定为零。
6．对于一定量的理想气体，温度一定，热力学能和焓也随之确定。
7．某理想气体从始态经定温和定容两过程达终态，这两过程的Q、W、DU及DH是相等的。
8．任何物质的熵值是不可能为负值和零的。
9．功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功。
10．不可逆过程的熵变是不可求的。
11．某一过程的热效应与温度相除，可以得到该过程的熵变。
12．在孤立体系中，一自发过程由A→B，但体系永远回不到原来状态。
13．绝热过程Q = 0 ，即，所以dS = 0。
14．可以用一过程的熵变与热温熵的大小关系判断其自发性。
15．绝热过程Q = 0 ，而由于DH = Q，因而DH等于零。
16．按Clausius 不等式，热是不可能从低温热源传给高温热源的。
17．在一绝热体系中，水向真空蒸发为水蒸气（以水和水蒸气为体系），该过程W>0，DU>0。
18．体系经过一不可逆循环过程，其DS体>0。
19．对于气态物质，C p－C V = nR。
20．在一绝热体系中有一隔板，两边分别是空气和真空，抽去隔板，空气向真空膨胀，此时Q= 0，所以DS=0。
1.4.2 选择题1．273K, p q时，冰融化为水的过程中，下列关系式正确的有.A．W <0 B. DH = Q P C. DH <0 D. DU<02．体系接受环境作功为160J，热力学能增加了200J，则体系.A．吸收热量40J B ．吸收热量360JC．放出热量40J D ．放出热量360J3.在一绝热箱内，一电阻丝浸入水中，通以电流。
(完整版)物理化学课后答案-热力学第一定律
欢迎共阅第二章热力学第一定律【复习题】【1】判断下列说法是否正确。
（1）状态给定后，状态函数就有一定的值，反之亦然。
（2）状态函数改变后，状态一定改变。
（3）状态改变后，状态函数一定都改变。
（4）因为△ U=Q v, △H =Q p，所以Q v，Q p是特定条件下的状态函数。
（5）恒温过程一定是可逆过程。
（6）汽缸内有一定量的理想气体，反抗一定外压做绝热膨胀，则△H= Q p=0。
（7）根据热力学第一定律，因为能量不能无中生有，所以一个系统若要对外做功，必须从外界吸收热量。
（8）系统从状态Ⅰ变化到状态Ⅱ，若△T=0 ，则Q=0 ，无热量交换。
（9）在等压下，机械搅拌绝热容器中的液体，使其温度上升，则△H = Q p = 0。
（10）理想气体绝热变化过程中，W=△U，即W R=△U=C V△T，W IR=△U=C V△T，所以W R=W IR 。
（11）有一个封闭系统，当始态和终态确定后；（a）若经历一个绝热过程，则功有定值；（b）若经历一个等容过程，则Q 有定值（设不做非膨胀力）；（c）若经历一个等温过程，则热力学能有定值；（d）若经历一个多方过程，则热和功的代数和有定值。
（12）某一化学反应在烧杯中进行，放热Q1，焓变为△ H 1，若安排成可逆电池，使终态和终态都相同，这时放热Q2，焓变为△ H2，则△ H1=△H 2。
【答】（1）正确，因为状态函数是体系的单质函数，体系确定后，体系的一系列状态函数就确定。
相反如果体系的一系列状态函数确定后，体系的状态也就被惟一确定。
（2）正确，根据状态函数的单值性，当体系的某一状态函数改变了，则状态函数必定发生改变。
（3）不正确，因为状态改变后，有些状态函数不一定改变，例如理想气体的等温变化，内能就不变。
（4）不正确，ΔH＝Qp，只说明Qp 等于状态函数H 的变化值ΔH，仅是数值上相等，并不意味着Qp 具有状态函数的性质。
ΔH＝Qp 只能说在恒压而不做非体积功的特定条件下，Qp 的数值等于体系状态函数H 的改变，而不能认为Qp 也是状态函数。
《物理化学》第二章-热力学第一定律练习题(含标准答案)
《物理化学》第二章-热力学第一定律练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第二章练习题一、填空题1、根据体系和环境之间能量和物质的交换情况，可将体系分成、、。
2、强度性质表现体系的特征，与物质的数量无关。
容量性质表现体系的特征，与物质的数量有关，具有性。
3、热力学平衡状态同时达到四种平衡，分别是、、、。
4、体系状态发生变化的称为过程。
常见的过程有、、、、。
5、从统计热力学观点看，功的微观本质是，热的微观本质是。
6、气体各真空膨胀膨胀功W= 07、在绝热钢瓶中化学反应△U= 08、焓的定义式为。
二、判断题（说法对否）：1、当体系的状态一定时，所有的状态函数都有一定的数值。
（√）2、当体系的状态发生变化时，所有的状态函数的数值也随之发生变化。
（χ）3．因= ΔH， = ΔU，所以与都是状态函数。
（χ）4、封闭系统在压力恒定的过程中吸收的热等于该系统的焓。
（χ）错。
只有封闭系统不做非膨胀功等压过程ΔH=Q P5、状态给定后，状态函数就有定值；状态函数确定后，状态也就确定了。
（√）6、热力学过程中W的值应由具体过程决定( √ )7、1mol理想气体从同一始态经过不同的循环途径后回到初始状态，其热力学能不变。
( √ )三、单选题1、体系的下列各组物理量中都是状态函数的是（ C ）A 、T、P、V、QB 、m、W、P、HC、T、P、V、n、D、T、P、U、W2、对于内能是体系的单值函数概念，错误理解是（ C ）A体系处于一定的状态，具有一定的内能B对应于某一状态，内能只能有一数值不能有两个以上的数值C状态发生变化，内能也一定跟着变化D对应于一个内能值，可以有多个状态3下列叙述中不具有状态函数特征的是（D ）A体系状态确定后，状态函数的值也确定B体系变化时，状态函数的改变值只由体系的始终态决定C经循环过程，状态函数的值不变D状态函数均有加和性4、下列叙述中正确的是（ A ）A物体温度越高，说明其内能越大B物体温度越高，说明其所含热量越多C凡体系温度升高，就肯定是它吸收了热D凡体系温度不变，说明它既不吸热也不放热5、下列哪一种说法错误（ D ）A焓是定义的一种具有能量量纲的热力学量B只有在某些特定条件下，焓变△H才与体系吸热相等C焓是状态函数D焓是体系能与环境能进行热交换的能量6、热力学第一定律仅适用于什么途径（A）A同一过程的任何途径B同一过程的可逆途径C同一过程的不可逆途径D不同过程的任何途径7. 如图，将CuSO4水溶液置于绝热箱中,插入两个铜电极，以蓄电池为电源进行电解，可以看作封闭系统的是（A）(A) 绝热箱中所有物质； (B) 两个铜电极；(C) 蓄电池和铜电极；(D) CuSO4水溶液。
物理化学概念题
第二章 热力学基础概念题一、填空题1、一定量的N 2气在恒温下增大压力，则其吉布斯函数 。
（填增大，不变，减小）2、物理量,,,,,,Q W U H V T p 属于状态函数的有 ；属于途径函数的有 ；状态函数中属于强度性质的有 ；属于容量性质的有 。
3、对组成不变的均相封闭系统，TS p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ ；对理想气体TS p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 。
4、在一个温度恒定为100℃，体积恒定的容器中，装有2mol,100kPa 的N 2(g)。
若向其中注入100℃的水0.2mol 并迅速达到平衡。
设水蒸气为理想气体，此过程：（1）()2S H O ∆ ； （2）()2G H O ∆ ；（3）2()A H O ∆ ； （4）()2G N ∆ 。
(填 > 0 ，< 0，＝0或无法确定)5、1摩尔理想气体经恒温膨胀，恒容加热和恒压冷却三步完成一个循环回到始态，此过程吸热20.0kJ 。
则U ∆＝ ，H ∆＝ ，W ＝ 。
6、体积功的通用计算公式是W ＝ ；在可逆过程中，上式成为W ＝ ；在等压过程中，上式成为W ＝ 。
二、选择题1、水在可逆相变过程中：（1）0U ∆=，0H ∆=； （2）0T ∆=，0p ∆=；（3）0U ∆=，0T ∆=； （3）以上均不对。
2、理想气体,p m C 与,V m C 的关系为：（1）,p m C ＝,V m C ；（2）,p m C >,V m C ；（3）,p m C <,V m C ；（4）无法比较。
3、液态水在100℃及101.325Pa 下汽化成水蒸气，则该过程的：（1） △H=0; (2) △S=0; (3) △A=0; (4) △G=0 。
4、理想气体从状态Ⅰ等温自由膨胀到状态Ⅱ，可用那个状态函数的变量来判断过程的自发性： （1）△G ； （2）△U; (3) △S; (4) △H 。
5、公式dG SdT Vdp =-+可适用下述那一过程：（1）在298K, 101.325kP 下水蒸气凝结成水的过程； （2）理想气体膨胀过程；（3）电解水制H 2(g)和O 2(g)的过程;(4) 在一定温度压力下，由()()223N g H g +合成()3NH g 的过程。
物理化学答案——第二章-热力学第二定律
第二章 热力学第二定律 一、基本公式和基本概念 基本公式1. 热力学第二定律的数学表达式----克劳修斯不等式 ()0A B A B QS Tδ→→∆-≥∑2. 熵函数的定义 ()R QdS Tδ=， ln S k =Ω3. 熵变的计算理想气体单纯,,p V T 变化22,1122,1122,,11ln ln ln ln lnln V m p m p m V m T V S C R T V T p S C R T p V p S C C V p ∆=+∆=-∆=+理想气体定温定压混合过程ln i i iS R n x ∆=-∑封闭系统的定压过程21,d T p m T C S n T T∆=⎰封闭系统定容过程 21,d T V m T C S n T T∆=⎰可逆相变 m n H S T∆∆=标准状态下的化学反应 ,()r m Bm B BS S T θθν∆=∑定压下由1T 温度下的化学反应熵变求2T 温度下的熵变 21,21()()d T p m r m r m T C S T S T T T∆∆=∆+⎰4. 亥姆霍兹函数 A U TS ≡-5. 吉布斯函数 G H TS ≡-6. G ∆和A ∆的计算(A ∆的计算原则与G ∆相同，做相应的变换即可)定温过程G H T S ∆=∆-∆组成不变的均相封闭系统的定温过程 21d p p G V p ∆=⎰理想气体定温过程 21ln p G nRT p ∆= 7. 热力学判据熵判据：,()0U V dS ≥亥姆霍兹函数判据：,,'0(d )0T V W A =≤ 吉布斯函数判据：,,'0(d )0T p W G =≤8. 热力学函数之间的关系组成不变，不做非体积功的封闭系统的基本方程d d d d d d d d d d d d U T S p V H T S V pA S T p V G S T V p=-=+=--=-+麦克斯韦关系S VpS T Vp TT p V S T V p S S p V T S V p T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭9. 吉布斯-亥姆霍兹方程2()pG HT T T ∆⎡⎤∂⎢⎥∆=-⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦ 基本概念1. 热力学第二定律在研究化学或物理变化驱动力来源的过程中，人们注意到了热功交换的规律，抓住了事物的共性，提出了具有普遍意义的熵函数。
物理化学II(一)复习参考题 (1)
物理化学II(一)复习参考题第二章热力学第一定律1. 物质的量为n的纯理想气体，若该气体的哪一组物理量确定之后，其它状态函数方有定值。
（D ）(A) p(B) V(C) T,U(D) T, p2. 凝固热在数值上与下列那一种热相等: （D ）(A) 升华热(B) 溶解热(C) 气化热(D) 熔融热3. 有一高压钢筒，打开活塞后气体喷出筒外，当筒内压力与筒外相等时关闭活塞，此时,筒内温度将: （C ）(A) 不变(B) 升高(C) 降低(D) 无法判定4. 373K，p θ下的1 mol水经下列两个不同过程蒸发成373K、p θ下的水汽，(1) 等温等压可逆蒸发；(2) 真空蒸发，这两个过程中功和热的关系为: （A ）(A) W1> W2 Q1> Q2 (B) W1< W2 Q1< Q2(C) W1= W2 Q1= Q2 (D) W1> W2 Q1< Q25. 恒容下，一定量的理想气体，当温度升高时内能将: （B ）(A) 降低(B) 增加(C) 不变(D) 增加或减少不能确定6. 一可逆热机与另一不可逆热机在其他条件都相同时，燃烧等量的燃料，则可逆热机拖动列车运行的速度: （B ）(A) 较快(B) 较慢(C) 一样(D) 不一定7. 始态完全相同(p1,V1,T1)的一个理想气体系统和另一个范德华气体系统，分别进行绝热恒外压(p0)膨胀。
当膨胀相同体积之后, 有（B ）(A) 范德华气体的内能减少量比理想气体多(B) 范德华气体的终态温度比理想气体低(C) 范德华气体所做的功比理想气体少(D) 范德华气体的焓变与理想气体的焓变相等8.△H = Q p，此式适用于下列哪个过程: （B ）(A) 理想气体从1013250 Pa 反抗恒定的101325 Pa 膨胀到101325 Pa(B) 0℃，101325 Pa 下冰融化成水(C) 电解CuSO4水溶液(D) 气体从(298K，101325 Pa) 可逆变化到(373K，10132.5 Pa)9. 在100℃和25℃之间工作的热机，其最大效率为：（D ）(A) 100 % (B) 75 % (C) 25 % (D) 20 %10. 对于封闭体系在指定始、终态间的绝热可逆途径可以有: （A ）(A) 一条(B) 二条(C) 三条(D) 三条以上11. 某理想气体的C p /C v = 1.40，则该气体为几原子分子气体? （B ）(A) 单原子分子气体(B) 双原子分子气体(C) 三原子分子气体(D) 四原子分子气体12. 实际气体绝热，恒外压膨胀时，其温度将（D ）(A) 升高(B) 降低(C) 不变(D) 不确定13. 当以5 mol H2气与4 mol Cl2气混合，最后生成2 mol HCl 气。
物理化学 第二章 热力学第一定律 经典习题及答案
V3 = V2 =
W b = − p外 ΔV = − p3 (V3 − V1 ) = − 200 × 103 (0.10167 − 0.06197) = −7.940kJ
由热力学第一定律
Wa + Qa = Wb + Qb -5.57+25.42= − 7.940 + Qb ∴ Qb = 27.79
= − 2 × 8.314 × 300 × (1 −
2.
∂H ∂p 求证： C p − CV = − + V ∂p T ∂ T V
方法一：和课件中的证明类似
方法二：
∂H ∂U ∂H ∂( H m − pVm C p,m − CV,m = m − m = m − ∂T ∂T p ∂T V ∂T p V ∂H ∂H ∂p = m − m +Vm ∂T V ∂T p ∂T V 令H = H (T , p) ∂H ∂H dH = dT + dp ∂T p ∂p T
2.10 2 mol 某理想气体，
。由始态 100 kPa，50 dm3，先恒容加热使
压力体积增大到 150 dm3，再恒压冷却使体积缩小至 25 dm3。求整个过程的 。 解：过程图示如下 n = 2mol 理想气体 T1 = ? p1 = 100kPa V1 = 0.05m3 n = 2mol 理想气体 恒容 → T2 = ? p2 = 200kPa V2 = 0.05m3 n = 2mol 理想气体 恒压 → T3 = ? p3 = 200kPa V3 = 0.025m3
3.
∂U 已知：理想气体 =0 ∂V T
物理化学《化学热力学基础》习题及答案
物理化学《化学热力学基础》习题及答案 1-2 选择题1、273K ，θp 时，冰融化为水的过程中，下列关系是正确的有（B ）A.0<WB.p Q H =∆C.0<∆HD.0<∆U2、体系接受环境做功为160J ，热力学能增加了200J ，则体系（A ）A.吸收热量40JB.吸收热量360JC.放出热量40JD.放出热量360J3、在一绝热箱内，一电阻丝浸入水中，通以电流。
若以水和电阻丝为体系，其余为环境，则（C ）A.0,0,0>∆=>U W QB.0,0,0>∆==U W QC.0,0,0>∆>=U W QD.0,0,0<∆=<U W Q4、任一体系经一循环过程回到始态，则不一定为零的是（D ）A.G ∆B.S ∆C.U ∆D.Q5、对一理想气体，下列关系式不正确的是（A ）A.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂p T UB.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V H C.0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T p H D.0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T p U 6、当热力学第一定律写成pdV Q dU -=δ时，它适用于（C ）A.理想气体的可逆过程B.封闭体系的任一过程C.封闭体系只做体积功过程D.封闭体系的定压过程7、在一绝热刚壁体系内，发生一化学反应，温度从21T T →，压力由21p p →，则（D ）A.0,0,0>∆>>U W QB.0,0,0<∆<=U W QC.0,0,0>∆>=U W QD.0,0,0=∆==U W Q 8、理想气体定温定压混合过程中，下列体系的性质不正确的是（C ）A.0>∆SB.0=∆HC.0=∆GD.0=∆U9、任意的可逆循环过程，体系的熵变（A ）A.一定为零B.一定大于零C.一定为负D.是温度的函数10、一封闭体系从B A →变化时，经历可逆R 和不可逆IR 途径，则（B ）A.IR R Q Q =B.T Q dS IRδ> C.IR R W W = D.TQ T Q IR R =11、理想气体自由膨胀过程中（D ）A.0,0,0,0=∆>∆>=H U Q WB.0,0,0,0>∆>∆=>H U Q WC.0,0,0,0=∆=∆><H U Q WD.0,0,0,0=∆=∆==H U Q W12、2H 和2O 在绝热定容的体系中生成水，则（D ）A.0,0,0=∆>∆=孤S H QB.0,0,0>∆=>U W QC.0,0,0>∆>∆>孤S U QD.0,0,0>∆==孤S W Q13、理想气体可逆定温压缩过程中，错误的有（A ）A.0=∆体SB.0=∆UC.0<QD.0=∆H14、当理想气体反抗一定外压做绝热膨胀时，则（D ）A.焓总是不变的B.热力学能总是不变的C.焓总是增加的D.热力学能总是减小的15、环境的熵变等于（B 、C ） A.环体T Q δ B.环体T Q δ- C.环环T Q δ D.环环T Q δ-16、在孤立体系中进行的变化，其U ∆和H ∆的值一定是（D ）A.0,0<∆>∆H UB.0,0=∆=∆H UC.0,0<∆<∆H UD.不能确定H U ∆=∆,017、某体系经过不可逆循环后，错误的答案是（A ）A.0=QB.0=∆SC.0=∆UD.0=∆H18、C 6H 6(l)在刚性绝热容器中燃烧，则（D ）A.0,0,0=<∆=∆Q H UB.0,0,0=>∆=∆W H UC.0,0,0==∆≠∆Q H UD.0,0,0=≠∆=∆W H U19 、下列化学势是偏摩尔量的是（ B ） A.Zn V T B n F ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ B.Z n p T B n G ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ C.Z n V S B n U ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ D.Z n p S B n H ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 20、在℃10-，θp ，1mol 过冷的水结成冰时，下述表示正确的是（ C ）A.00,0,0>∆>∆>∆<∆孤环体，S S S GB.00,0,0<∆<∆<∆>∆孤环体，S S S GC.00,0,0>∆>∆<∆<∆孤环体，S S S GD.00,0,0<∆<∆>∆>∆孤环体，S S S G21、下述化学势的公式中，不正确的是（ D ） A.B B Z n p T n Gμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂,, B.m B pS T ,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂μ C.m B TV p ,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂μ D.Z n p T B n U ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 22、在373.15K ，101.325Pa ，)(2l O H μ与)(2g O H μ的关系是（ B ）A.)()(22g O H l O H μμ>B.)()(22g O H l O H μμ=C.)()(22g O H l O H μμ<D.无法确定23、制作膨胀功的封闭体系，pT G ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂的值（ B ） A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.无法确定24、某一过程0=∆G ，应满足的条件是（ D ）A.任意的可逆过程B.定温定压且只做体积中的过程C.定温定容且只做体积功的可逆过程D.定温定压且只做体积功的可逆过程25、1mol 理想气体经一定温可逆膨胀过程，则（ A ）A.F G ∆=∆B.F G ∆>∆C.F G ∆<∆D.无法确定26、纯液体在正常相变点凝固，则下列量减少的是（ A ）A.SB.GC.蒸汽压D.凝固热27、右图中哪一点是稀溶液溶质的标准态的点（ B ）A.a 点B.b 点C.c 点D.d 点28、在θp 下，当过冷水蒸气凝结为同温度的水，在该过程中正、负号无法确定的是（ D ）A.G ∆B.S ∆C.H ∆D.U ∆29、实际气体的化学势表达式为θθμμp f RT T ln)(+=，其中标准态 化学势为（ A ）A.逸度θp f =的实际气体的化学势B.压力θp p =的实际气体的化学势C.压力θp p =的理想气体的化学势D.逸度θp f =的理想气体的化学势30、理想气体的不可逆循环，G ∆( B )A.0<B.0=C.0>D.无法确定31、在βα,两相中含A 、B 两种物质，当达平衡时，正确的是（ B ）A.ααμμB A =B.ααμμA A =C.βαμμB A =D.ββμμB A =32、多组分体系中，物质B 的化学势随压力的变化率，即)(,B Z B Z n T p ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂μ的值（ A ） A.0> B.0< C.0= D.无法确定33、℃10-、标准压力下，1mol 过冷水蒸汽凝集成冰，则体系、环境及总的熵变为（ B ）A.0,0,0<∆<∆<∆univ sur sys S S SB.0,0,0>∆>∆<∆univ sur sys S S SC.0,0,0>∆>∆>∆univ sur sys S S SD.0,0,0<∆>∆<∆univ sur sys S S S34、p-V 图上，1mol 单原子理想气体，由状态A 变到状态B ，。
热力学第一定律物理化学考试题(卷)目
第二章热力学第一定律时间：2013-4-21 来源：匿名此新闻被浏览：2385 次1．热力学第一定律ΔU=Q+W 只适用于(A) 单纯状态变化 (B) 相变化(C) 化学变化 (D) 封闭物系的任何变化答案：D2．关于热和功, 下面的说法中, 不正确的是(A) 功和热只出现于系统状态变化的过程中, 只存在于系统和环境间的界面上(B) 只有在封闭系统发生的过程中, 功和热才有明确的意义(C) 功和热不是能量, 而是能量传递的两种形式, 可称之为被交换的能量(D) 在封闭系统中发生的过程中, 如果内能不变, 则功和热对系统的影响必互相抵消答案：B3．关于焓的性质, 下列说法中正确的是(A) 焓是系统内含的热能, 所以常称它为热焓(B) 焓是能量, 它遵守热力学第一定律(C) 系统的焓值等于内能加体积功(D) 焓的增量只与系统的始末态有关答案：D。
因焓是状态函数。
4．涉及焓的下列说法中正确的是(A) 单质的焓值均等于零(B) 在等温过程中焓变为零(C) 在绝热可逆过程中焓变为零(D) 化学反应中系统的焓变不一定大于内能变化答案：D。
因为焓变ΔH=ΔU+Δ(pV)，可以看出若Δ(pV)＜0则ΔH＜ΔU。
5．下列哪个封闭体系的内能和焓仅是温度的函数(A) 理想溶液 (B) 稀溶液 (C) 所有气体 (D) 理想气体答案：D6．与物质的生成热有关的下列表述中不正确的是(A) 标准状态下单质的生成热都规定为零(B) 化合物的生成热一定不为零(C) 很多物质的生成热都不能用实验直接测量(D) 通常所使用的物质的标准生成热数据实际上都是相对值答案：A。
按规定，标准态下最稳定单质的生成热为零。
7．dU=CvdT及dUm=Cv,mdT适用的条件完整地说应当是(A) 等容过程(B)无化学反应和相变的等容过程(C) 组成不变的均相系统的等容过程(D) 无化学反应和相变且不做非体积功的任何等容过程及无反应和相变而且系统内能只与温度有关的非等容过程答案：D8．下列过程中, 系统内能变化不为零的是(A) 不可逆循环过程 (B) 可逆循环过程(C) 两种理想气体的混合过程(D) 纯液体的真空蒸发过程答案：D。
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第二章 热力学基础概念题
一、填空题
1、一定量的N 2气在恒温下增大压力，则其吉布斯自由能变 。
（填增大，不变，减小）
2、物理量,,,,,,Q W U H V T p 属于状态函数的有 ；属于途径函数的有 ；状态函数中属于强度性质的有 ；属于容量性质的有 。
3、对组成不变的均相封闭系统，T
S p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ ；对理想气体T
S p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 。
4、21
ln V W nRT V =的适用条件是 ； 1TV γ-=常数的适用条件是 ； p H Q ∆=的适用条件是 。
5、1摩尔理想气体经恒温膨胀，恒容加热和恒压冷却三步完成一个循环回到始态，此过程吸热20.0kJ 。
则U ∆＝ ，H ∆＝ ，W ＝ 。
6、体积功的通用计算公式是W ＝ ；在可逆过程中，上式成为W ＝ ；在等压过程中，上式成为W ＝ 。
7、给自行车打气时，把气筒内的空气作为体系，设气筒、橡皮管和轮胎均不导热，则该过程中Q 0，W 0 。
8、273.15K 、101.325kPa 下，固体冰融化为水，其Q 0，W 0， U ∆ 0，H ∆ 0 。
二、选择题
1、水在可逆相变过程中：
（1）0U ∆=，0H ∆=； （2）0T ∆=，0p ∆=；
（3）0U ∆=，0T ∆=； （3）以上均不对。
2、理想气体,p m C 与,V m C 的关系为：
（1）,p m C ＝,V m C ；（2）,p m C >,V m C ；（3）,p m C <,V m C ；（4）无法比较。
3、液态水在100℃及101.325Pa 下汽化成水蒸气，则该过程的：
（1） △H=0; (2) △S=0; (3) △A=0; (4) △G=0 。
4、理想气体从状态Ⅰ等温自由膨胀到状态Ⅱ，可用那个状态函数的变量来判断过程的自发性： （1）△G ； （2）△U; (3) △S; (4) △H 。
5、公式dG SdT Vdp =-+可适用下述那一过程：
（1）在298K, 101.325kP 下水蒸气凝结成水的过程； （2）理想气体膨胀过程；
（3）电解水制H 2(g)和O 2(g)的过程;
(4) 在一定温度压力下，由()()223N g H g +合成()3NH g 的过程。
6、对封闭的单组分均相系统，且'0W =时，T
G p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭的值应是：
（1）<0 ； (2) >0 ； （3）＝0 ； （4）前述三种情况无法判断。
7、理想气体等温自由膨胀过程为：
（1）0Q <； （2）0U ∆<； （3）0W >； （4）0H ∆=。
8、一封闭系统，当状态从A 到B 发生变化时，经历两条任意的不同途径，则下列四式中正确的是：
（1）12Q Q =； （2）12W W =； （3）1122Q W Q W +=+； （4）12U U ∆=∆。
9、反应热公式p r Q H =∆除应满足“封闭系统，不做非体积功”外，还应满足：
（1）21p p ==定值; (2) e p =定值; (3) 外p=p ; (4) 21e p p p ===定值。
三、是非题 （正确地打“√”，错误的打“×”）
1、 理想气体在恒定的外压下绝热膨胀到终态，因为是恒压，所以H Q ∆=，又 因为是绝热，0Q =，故0H ∆=，对吗？ （ ）
2、 气体经不可逆绝热膨胀后，因为Q ＝0，固其熵变等于零。
是不是？（ ）
3、在－10℃，101.325kPa 下过冷的H 2O(l)凝结为冰是一个不可逆过程，故此过程的熵变大于零。
是不是？（ ）
4、热力学第二定律的克劳修斯说法是：热从低温物体传给高温物体是不可能的。
是不是？（ ）
5、绝热过程都是等熵过程。
是不是？（ ）
6、理想气体的熵变公式22,,11ln ln p m V m V p S nC nC V p ⎛⎫⎛⎫∆=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
只适用于可逆过程。
对不对？（ ）
7、在等温等压条件下，0G ∆>的过程一定不能进行。
是不是？（ ）
8、绝热不可逆膨胀过程中0S ∆>，则其相反的过程即绝热不可逆压缩过程中0S ∆<。
是不是？（ ）
9、从始态到终态有一个绝热不可逆过程，可以设想出一个同样始终状态的绝热可逆过程来计算它的熵变。
是不是？（ ）
10、
,V m dU nC dT =这个公式对一定量的理想气体的任何p,V,T 变化过程均适用，对吗？ （ ）
11、因为p H Q ∆=，V U Q ∆=，而焓和热力学能是状态函数，所以,p V Q Q 也是状态函数？（ ）
12、状态函数改变后，状态一定改变（ ）；状态改变后，状态函数一定改变。
（ ）
四、问答题
1、按定义式Q dS T
δ≥
，则系统从A 到B 经可逆与不可逆两个不同途径时，dS(可逆) >dS （不可逆）。
是不是？为什么？
2、系统进行某过程时，若dS=0即为可逆，dS>0即为自发。
这个说法是否正确？为什么？
3、现在有人想利用海洋中不同深度的温度不同，设计一种循环操作的机器，使海水的热力学能转换成有用的机械功。
这是不是违反热力学第二定律？为什么？
五、证明题：试证明封闭系统单相纯物质只有p,V ,T 变化过程的
T V U p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭； 理想气体的0T
U V ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 。
热力学基础概念题答案
一、填空题
1、 减小；
2、U 、H 、V 、T 、p ；Q 、W ；T 、p ；U 、H 、V ；
3、p
V T ∂⎛⎫- ⎪∂⎝⎭ ，
nR p
- 。
4、（1）理想气体恒温可逆，不做非体积功； （2）理想气体绝热可逆，不做非体积功；（3）封闭系统，恒压过程，不做非体积功。
(4)、=0；5、0，0，－20.0kJ ； 6、21V e V p dV -⎰；21
V V pdV -⎰；()21p V V --； 7、＝0，< 0 ；8、> 0, ≈0 >0 =Q 。
二、选择题
1、（2）；
2、（2）；
3、（4）；
4、（3）；
5、（2）；
6、（2）；
7、（4）；
8、（3，4）
9、（4）
三、是非题
1、×；
2、×；
3、×；
4、×；
5、×；
6、×；
7、×；
8、×；
9、×； 10、√；11、×；12 √，×
四、问答题
1、不是。
因为熵是状态函数，其改变量只与始终状态有关，与中间途径无关。
在相同始终态下，过程的熵改变量相等。
2、不正确。
因为没有指明是孤立系统，只有在孤立系统中这个结论才正确。
3、不违反。
海洋深层的温度低于表面，由于相对密度的原因，温度低的水总在海洋的下层，因为不是从单一热源吸热作功，所以不违反热力学第二定律。
五、证明题
证明：由dU=TdS-pdV 可得 ()()//T T U V T S V p ∂∂=∂∂-
将麦克斯韦关系式 ()()//T V S V p T ∂∂=∂∂ 代入上式，即得：
T V
U p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 对于理想气体，p=nRT/V , ()//V p T nR V ∂∂=,代入上式得：
0T
U n R T p p p V V ∂⎛⎫=-=-= ⎪∂⎝⎭ 证毕。