第二章：基本定理

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第二章 基本定理
二、关于解的存在唯一性定理的几点说明：
2.关于解的存在唯一性定理中Lipschitz条件的验证.
3.Lipschitz条件（右端函数连续）是保证解的存在唯一 性的充分条件，而不是必要条件.
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4.关于一阶线性微分方程解的存在唯一性.
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7. 两个著名的不等式及其证明:
(1) Bellman不等式： 若y ( x)是[a, b]上的非负函数， ，k 0 y ( x) k y ( x) e
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x
x0
Hale Waihona Puke y (t )dt , x [a, b], 则：
是很小的。甚至出现随着f（x，y）定义域的增大，我 们能肯定的解的存在区间反而越来越小的情况。
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第二章 基本定理
引例：对于下面微分方程的Cauchy问题：
dy x2 y 2 , dx y (0) 0.
分别考虑右端函数在下面两个区域：
R1 {( x, y) 1 x 1, 1 y 1}
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MLn n1 n ( x) ( x) h . (n 1)!
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二、关于解的存在唯一性定理的几点说明：
1.关于Cauchy问题（1）解的存在范围，即h的几何解释.
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b h min a， ），M max f ( x, y ) （ ( x , y )R M
第二章 基本定理
第一讲 常微分方程的几何解释
通过对第一章知识的回顾与复习我们学习到了许多
求解一阶常微分方程的方法，它们主要是初等积分法。
于是我们由此产生了很多新的问题：
1. 是不是所有的一阶微分方程都可解呢？
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dy Riccati方程： = p(x ) 2 + q(x ) + r(x ), y y dx
5. 对一个Cauchy问题如果一定的区间里存在
唯一的解，那么这个解是否依赖于初始条件呢？
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一、线素与线素场
ì dy ï ï = f(x ,y ), ï Cauchy问题： í dx ï ï y(x ) = y ï 0 0 ï î
线 素：经过点（x，y)斜率为f（x，y）的单位线段。
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1 ( x)在I 2上的一个延展解（延拓解）。
反之，若不存在满足上述条件的解2 ( x)，则称
1 ( x)，x I1是一个饱和解（不可延展解）。
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第二章 基本定理
二、解的延拓定理
定义2：若某一区域D内中的任一点（x0，y0），都存在
以该点为中心的闭矩形R,使得对Cauchy问题（1）的右 端函数f（x，y）对变量y满足Lipschitz条件，则称函 数f（x，y）在区域D内满足局部Lipschitz条件.
n
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5.上述极限函数是积分方程的唯一解。
Theorem 5：若 x）也是积分方程（2）定义在 （ x0 x x0 h上的一个连续解，则 x） x）， （ （ 也就是说（x）是积分方程（2）的唯一解。
附注：Picard 逼近函数序列的误差估计式：
线素场的线素相切。
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** 上述定理说明Cauchy问题的积分曲线在其上每一点都与
线素场的线素相切，也即是积分曲线总是“顺着”线素场的 方向进行的曲线。
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三. Cauchy问题解的存在性定理： Peano定理：如果f（x，y）在区间G上连续，则
Cauchy问题存在定义在点x0某一领域中的解。
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一、解的存在唯一性定理：
如果函数f ( x, y)在R上连续且关于y满足Lipschitz条件， 则Cauchy问题（1）在区间 x x0 h上存在唯一的解。 b 其中：h min a， ），M max f ( x, y) . （ ( x , y )R M
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第三讲 解的延展（延拓）
问题的提出：考虑一阶显式微分方程的Cauchy问题：
dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0
Cauchy问题的解在区间
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(1)
根据前面微分方程解的存在唯一性定理，我们只能确定
x x0 h, h max f ( x, y) ( x , y )R 上存在，而这个区间对一个具体的Cauchy问题来说经常
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作业：P78 T3.
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第二讲 解的存在唯一性定理
考虑一阶显式微分方程的Cauchy问题： dy f ( x, y ), dx ( x0 ) y0
其中f ( x, y)是在矩形R： - x0 a, y - y0 b上的连续函数。 x
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线素场：某区域内所有线素的集合就构成了线素场.
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dy y dy x 例１： 试讨论微分方程 和 的线素场. dx x dx y
二. 线素场与积分曲线的关系： 定理：曲线L是Cauchy问题的积分曲线的充要条件是： 在L上任一点，L的切线方向与Cauchy问题所确定的线 素场在该点的切线方向重合；也就是说L在每点均与
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1. 上述定理说明Cauchy问题（1）和积分方程（2)同解。
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第二章 基本定理
2. 构造Picard逐步逼近函数序列
如果我们构造如下函数序列（Picard逐步逼近函数序列): 0 ( x) y0 , x f n ( x) y0 x0 （s，n 1 ( s )）ds. 则有如下定理2：
Theorem 2：对于所有的自然数n，上述序列中的函数
（x）在x0 x x0 h有定义、连续且满足不等式： n
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（x）-y0 b. n
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3. 构造的Picard逐步逼近函数序列是一致收敛的。
Theorem 3：上述定义的Picard逼近函数序列{（x） } n 在x0 x x0 h上是一致收敛的.
附注：当x0 x x0 h时， MLn1 n n ( x) n-1 ( x) h. n!
记: lim n ( x) ( x).
n
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4.Picard逐步逼近函数序列的极限函数是积分方程的解。
Theorem 4：由于上述定义的Picard逼近函数序列 {n ( x)}在x0 x x0 h上是一致收敛的，并且： lim （x） x），则（x）是积分方程（2）的解。 （ n
MLn n1 其误差估计： n ( x) ( x) h . (n 1)!
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dy 例1：方程 x 2 y 2定义在矩形区域R：-1 x 1, dx -1 y 1上，试利用Picard逐次逼近法确定经过（0，） 0 的解的存在区间，并求此区间上与真正解的误差不超 过0.05的近似解的表达式.
k x x0
, x [a, b].
练习：试利用Bellman不等式证明前面的定理5.
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第二章 基本定理
(2) Gronwall不等式： 若f (t ), g (t )都是[a,b]上的连续非负函数， k为非负常数，若f (t ) k f ( s ) g ( s )ds,
a t
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F ( x0 , y0，y0 ') 0, y '
则Cauchy问题（3）在 内存在唯一的解。
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x - x0 h
（h为足够小的正数）
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6. Picard逐次逼近法及其应用——求近似解。
0 ( x) y0 , x f n ( x) y0 x0 （s，n 1 ( s )）ds.
以向x增大（减小）的一方向延拓来说，如果y x) （
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只能延拓到区间x0 x m m x x0）上, 则当x m时， （ （x，（x))趋于区域D的边界。
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推论：如果D为无界区域，在上面延拓定理的条件下， dy 方程 f ( x, y )的通过点（x0 , y0）的解y x)可以延 （ dx 拓以向x增大（减小）的一方向来说，有以下两种情况： （）解y x)可以延拓到区间[ x0 , )(或(, x0 ])； 1 （ （2）解y x)只可以延拓到区间[ x0 , m） (m, x0 ])，（其 （ (或 中m为有限数），则当x m时，或者y x)无界， （
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R2 {( x, y) 2 x 2, 2 y 2} 上解的存在区间。
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一、延展解、不可延展解的定义
定义1： 若y 1 ( x)是初值问题（）在区间 1 I1 R上的一个解，若初值问题（）在另外一 1 区间I 2 R( I 2 I1 )上存在解y 2 ( x)满足： x I1时，1 ( x) 2 ( x)，则称y 1 ( x)这个 解是可延展（延拓）的，同时称y 2 ( x)是