全国大联考2020届高三第一次大联考数学(文)试题
2019-2020年高三上学期12月第一次联考数学文试题含答案
在上递增，对任意，都有 --9 分 综上，的最小值为 ----------------------------------------------------------------10 分
的家长中，持“支持” “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持
保留
不支持
30 岁以下
800
450
200
30 岁以上（含 30 岁） 100
150
300
在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取
5 个人看成一个总体， 从这 5 个人中任
意选取 2 人，则至少有 1 人在 30 岁以下的概率为
2019-2020年高三上学期 12 月第一次联考数学文试题 含答案
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果， 每题填对得 4 分，
则的单调增区间 2 k
4 ,2k 3
, k Z --------------------------6 分 3
（2）的解析式是 -----------------------------------9 分
-------------------------------------------------------------------------11 分 零点为 --------------------------------------------------------14 分
B．非充分非必要条件 D．必要非充分条件
（）
三．解答题 (本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .
2020秋高三上学期第一次联考数学(文)试题(可编辑)+答案详解+评分标准 (4)
2020届高三上学期第一次联考数学(文)试题本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{1,0,1,2},{|0}A B x x =-=≤，则A B =IA. {1,2}B. {1,0}-C. {0,1,2}D. {1}-2. 函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是A. 2πB.2π C.3πD. π3. 已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u rA ． 12BC BA -+u u u ru uu r B ． 12BC BA --u u u r u u u r C ． 12BC BA -u u u r u u u r D ． 12BC BA +u u u r u u u r4. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；则当0x <时，()f x 等于A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x +5. 已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为A. 4B. 3C. 2D. 16. 若cos()2πα+=cos2α=A ． 23-B ． 13-C ． 13D ．237. 已知向量,a b r r 的夹角为60︒，||1,||2a b ==r r ，则|2|a b -=rrA. 2B.C.D. 18. 将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变; 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. 12x π=B. 4x π=C. 524x π=D. 24x π=-9. 若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象 可以是 A. B. C.D.10. 在ABC ∆中，4,2,90,AB AC BAC ==∠=︒ D 、E 分别为AB 、BC 中点，则AE CD =u u u r u u u rgA. 4B. 3C. 2D. 611. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1352213()(*)n n S a a a a n N -=++++∈L L ， 1238a a a =，则8S =A. 510B. 255C. 127D. 654012. 设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]m n D ⊆，使()f x 在[,]m n 上的值域为[,]km kn （k R ∈且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，给出下列结论： ①1()f x x=是“1倍函数”；②2()f x x =是“2倍函数”；③ ()x f x e =是“3倍函 数”. 其中正确的是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省2020届高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
江西省2020届高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题 1．设集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据交集的定义，即可求出结果。
【详解】，故选C 。
【点睛】本题主要考查交集的运算。
2．命题“”的否定是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】按规则写出存在性命题的否定即可. 【详解】 命题“”的否定为“”，故选C. 【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.3．已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.()2,+∞ B.[)2,+∞C.(),1-∞-D.(],1-∞-【答案】B【解析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解. 【详解】已知{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆，所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题. 4．下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若，则”的否命题B.命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C.命题“若x ＝1，则”的否命题D.命题“已知，若，则a ＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题； 根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 5．已知函数()222f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A.[)4,+∞ B.(],4-∞C.(),4-∞-D.(],4-∞-【答案】D【解析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数()222f x x ax =++的二次项系数为正数，对称轴为直线x a =-，其对称轴左侧的图像是下降的，∴4a -≥，故4a ≤-， 因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.6．函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】取特殊值排除选项得到答案. 【详解】排除BD排除C故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.7．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A ．等于12.5B ．12.5到12.6之间C ．等于12.6D ．大于12.6【答案】D【解析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．若tan 2α=，则22sin 3sin cos cos 1αααα+=+（ ） A.53B.54C.52D.2【答案】A【解析】已知正切值，观察所求式子，采取弦化切思想，分子分母同除以2cos α即可求解. 【详解】∵tan 2α=，则22222sin 3sin cos sin 3sin cos cos 12cos sin ααααααααα++=++22tan 3tan 5tan 23ααα+==+.选A. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的关系，弦化切的思想，属于中档题. 9．三个数0.23，30.2，0.2log 3的大小顺序是（ ） A.0.230.230.2log 3<<B.0.230.23log 30.2<<C.0.230.2log 330.2<<D.30.20.2log 30.23<<【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1的大小即可. 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.231>，300.21<<，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.10．对于实数x ，y ，若p ：4x ≠或1y ≠，q ：5x y +≠，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取特殊值6x =，1y =-,可知p ¿q ，利用逆否命题与原命题等价，可确定q ⇒p ,即可得出结论. 【详解】取6x =，1y =-，满足条件p ,此时5x y +=，即p ¿q ，故p 是q 的不充分条件，q ：5x y +≠⇒p ：4x ≠或1y ≠等价于4x =且15y x y =⇒+=，易知成立，所以p 是q 的必要条件. 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.11．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则sin sin A C=（ ）A. B.40C.6D.3【答案】A【解析】利用正弦定理，化角为边可得2224a b c -=，利用余弦定理化角为边可得224124c c bc -=-，得到a c 、关系，再根据正弦定理求解即可. 【详解】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2221cos 42b c a A bc +--==，∴224124c c bc -=-，∴3124c b =，∴3462b c =⨯=，6b c =，∵2224a b c -=，∴a =，sin sin AC=故选A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，边角互化的思想，属于中档题.12．已知函数()22,0511,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为[]15,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.[)2,0-C.[]2,1--D.{}2-【答案】B【解析】分段研究，当05x ≤≤时,可得()151f x -≤≤，所以只需0a x ≤<时，114x⎛⎫- ⎪⎝⎭取值为[]15,1-的子集即可. 【详解】当05x ≤≤时，()()22211f x x x x =-+=--+，所以()151f x -≤≤；当0a x ≤<时，()114x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递增函数，所以()1104af x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭， 因为()f x 的值域为[]15,1-，所以111540aa ⎧⎛⎫-≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩，故20a -≤<，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.二、填空题 13．函数3()ln 4f x x =的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】求出导函数'()f x ，然后在定义域内解不等式'()0f x <得减区间．【详解】33'()44f x x x =-=，由3'()04f x x=<，又0x >得904x <<．∴减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或9(0,]4． 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间． 14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 【答案】10x y --=【解析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 15．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 【答案】()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位,根据图象变换规律，得到()12f x π+，写出解析式即可.【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向左平移12π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题主要考查了函数图象的平移变换，属于中档题. 16．以下说法中正确的是______.①函数()1f x x=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减；②函数131x y +=+的图象过定点()1,2-；③若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则()()0f m f n ⋅<；④方程3log 124x =的解是19x =. 【答案】②④ 【解析】①()1f x x=在定义域上无单调性，错误；②利用指数函数恒过定点性质可求其正确；③举反例可分析出结论错误；④利用指数、对数的性质求解方程，结论正确. 【详解】说法①：函数()1f x x=在(),0-∞、()0,∞+每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：11>-，而()()11f f >-，不具有单调递减的性质； 说法②：当1x =-时，2y =，所以函数()111x y a a +=+>的图象过定点()1,2-是正确的；说法③：如果()f m ，()f n 中也存在一个为零时，就不符合()()0f m f n ⋅<，故本说法不正确； 说法④：33log l 23og 12log 491222xx x x -==-⇒⇒=⇒=，故本说法④正确. 综上，本题的答案为②④. 【点睛】本题主要考查了函数单调性，零点，定点问题，属于中档题.三、解答题17．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤.【解析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定p ，q 一真一假，结合（1），再化简命题q ,即可求出m 的取值范围. 【详解】对于p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min210x x m -+-≤，而()2min212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；（1）若p 为真，则13m ≤≤；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p ，q 一真一假.若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或23m <≤. 【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题. 18．已知函数()()212cos cos f x x x x x R =--∈.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间. 【答案】（1）2；（2）π，,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）利用降幂公式及二倍角公式，两角和正弦公式的逆用化简，代入求值即可（2）根据正弦型函数的周期、单调性求出周期，递减区间即可. 【详解】（1）()212cos cos f x x x x =--cos 222sin 26x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭.则242sin 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为()2sin 26f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，()f x 的单调递减区间是,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，属于中档题. 19．已知函数()xf x e =.（1）若()24f a =，求实数a 的值； （2）设函数()()2xg x e kxk R =-∈，若()g x 在()0,∞+上没有零点，求k 的取值范围.【答案】（1）ln 2a =；（2）24e k <. 【解析】（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，求()()20xe h x x x=>的值域即可得到k 的范围.【详解】（1）因为()224af a e ==，即：2a e =，所以ln 2a =.（2）由题意可知，()2xg x e kx =-，函数()g x 在()0,∞+上没有零点等价于方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，设()()20xe h x x x =>，则()()()32'0x e x h x x x-=>， ∴()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()h x 在2x =上取得极小值，也是最小值，∴()()224e h x h ≥=，∴24e k <. 【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题. 20．设函数()()1x f x ae x =+（其中 2.71828e =⋅⋅⋅），()22g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e -，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()()21x f x e x =+，()242g x x x =++；（2）32t -≤≤-. 【解析】（1）两函数在0x =处有相同的切线可知()()''00f g =，()()002f a g ===，联立求解即可（2）利用导数可求出()f x 的唯一极小值，也就是最小值()222f e -=-，转化为[]2,1t t -∈+即可求t 范围. 【详解】（1）()()'2x f x ae x =+，()'2g x x b =+，由题意，两函数在0x =处有相同的切线，∴()'02f a =，()'0g b =，∴2a b =，()()002f a g ===，∴2a =，4b =，∴()()21x f x e x =+，()242g x x x =++.（2）由（1）得()()'22x f x e x =+.当2x >-时，则()'0f x >，所以()f x 在()2,-+∞上单调递增，当2x <-时，则()'0f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，而函数()()2min 22f x f e=-=-，∴[]2,1t t -∈+， 即32t -≤≤-.故实数t 的取值范围是32t -≤≤-.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2212sin 2ac B a c =+-，且2b = （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）4π；（2）18. 【解析】（1）由2b =2212sin 2ac B a c =+-等式右边可化为余弦定理形式，根据sin cos B B =求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出ac 的最大值，即可求出三角面积的最大值.【详解】（1）由2212sin 2ac B a c =+-得：2222sin 2cos ac B a c b ac B =+-=， 即：sin cos B B =.∴tan 1B =，又()0,B π∈，∴4B π=.（2）由(2222cos 2b a c ac B ac =+-≥-，当且仅当a c =等号成立.得：24ac +≤. ()max 11sin 248ABC S ac B ac ∆==≤. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.22．已知函数()221f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1. （1）求a 的值；（2）若存在0x 使得不等式()333xx x f k <⋅在[]1,1x ∈-成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()0,∞+.【解析】（1）二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出a （2）分离参数可得2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可.【详解】（1）()()221f x x a a =-+-.当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；当23a ≤≤时，()()2min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意； 当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得32a =，不符合题意. 综上所述，1a =.（2）因为()2332313333xx x x x x x f k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭， 令13x t =，则221k t t >-+. 因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故不等式221k t t >-+在1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解. 记()()22211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.。
全国大联考2020届1月联考文科数学试卷(A)
13. 6
14. 3x − y −11 = 0
15. 12
三、解答题：共 70 分．
9 10 11 12
B
B
D
C
16. 1 2
17.（本题满分 12 分） 解：（1）设数列{ an} 的公比为 q .
若 q = 1，则 S3 = 3a1 = 6 14 ，与题意不符.
若q
1，则
S3
=
2(1 − q3 ) 1− q
关系如下表：
AQI 指数 0-50
51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300
空气质量
优
良
轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
下图是某市 8 月 1 日 - 20 日 AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是
准考证号
只
卷
试 姓名
此 班级
文科数学试卷·第 1 页（共 6 页）
20·LK1A·YG1
考试结束前禁止外传
秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 1 月 2 日 15:00~17:00]
全国大联考 2020 届 1 月联考
文科数学试卷（A） 参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
D
C
A
B
A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
+
2)
=
0
解得个数为
A．1
B．2
C．3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2020届高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
【答案】D 【解析】根据复合命题真假关系可判断 A；含全称量词命题的否定，条件不改变；根据
辅助角公式，可得 sin 2x cos 2x 的最大值，进而可判断；由直线与圆的位置关系，结
合点到直线距离公式即可判断 D. 【详解】
差数列an 的通项公式，即可求得 a12 的值.
【详解】
设公差为 d
，依题意
a1
4d 2
a1
d
a1
6d
，
8a1 28d 52
解得 a1 10 ， d 1 ，
所以 a12 a1 11d 1，
对于 A：“命题 p q 为真命题”，则 p, q 至少有一个为真；而“命题 p q 为真命题”，则 p, q 都为真，A 错； 对于 B：命题“ x 0 ， x ln x 0 ”的否定“ x0 0 ， x0 ln x0 0 ”，B 错；
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对于 C： sin 2x cos 2x 2 ，C 错； 2
2020 届高三第一次联考数学（文）试题
一、单选题
1．若复数 z 满足 1 i z 1 i （ i 是虚数单位），则 z （ ）
A． 2
B．1
C． 3
D． 2
【答案】B
【解析】将表达式变形，结合复数的除法运算及复数模的定义即可求解.
【详解】
将表达式化简可得 z 1 i ， 1i
由复数除法运算化简可得
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故选：A. 【点睛】 本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.
7．公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a5 是 a2 与 a7 的等比中项，且
2020届大教育全国名校联盟高三质量检测第一次联考文科数学试题(解析版)
大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考文科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A. {}1,2 B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//b α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要次数为4次. 故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A. 30B. 312C. 152D. 62【答案】B 【解析】 【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：11121142162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩， 因此552(12)312S -==.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 6.函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；L L第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A. {}1,2,3 B. {}6,7,8C. {}1,2,3,4,5D. {}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】 【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9.若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A. b c a >> B. c a b >>C. a b c >>D. c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)0,1D. (]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A.12B.45C.38D.34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. y x =C. =±y xD. )1=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设22,AB AF m BF ==∴==，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：122BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(4(41b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)1=±y x .故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知i r ，j r 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+r r r a i j ，b j =r r ，则a r 与b r的夹角为__________.【答案】45︒ 【解析】【分析】首先求出a r 与b r 的数量积，然后直接根据a r 与b r的夹角公式求解即可. 【详解】由题知=+r r r a i j ，b j =r r，有()1a b i j j ⋅=+⋅=r r r r r，所以cos ,2a b a b a b ⋅===r rr r r r ，所以cos ,45a b =︒r r.故答案为：45︒.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数()()(sin 0,02)f x x ωϕωϕπ=+>≤<满足：①()f x 是偶函数；②()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.则同时满足①②的ω，ϕ的一组值可以分别是__________. 【答案】32，π2【解析】 【分析】根据()f x 是偶函数和()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可求出满足条件的ω和ϕ. 【详解】由()f x 是偶函数及0πϕ≤<2，可取π2ϕ=， 则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，得πππ32k ω⨯=+，k Z ∈，即332k ω=+，k Z ∈，可取32ω=.故ω，ϕ的一组值可以分别是32，π2. 故答案为：32，π2. 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 【答案】12【解析】 【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,a c 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ， 因为地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R , 可得423a c R Ra c R R +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得105,33a R c R ==， 所以椭圆的离心率为5131023R c e a R ===. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,a c 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若P A 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π【解析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C V V ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB所以球的表面积为254π5π2⎛= ⎝⎭.35π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2A Cb A Bc ++=. （1）求B ； （2）若ABCV 38，求b .【答案】（1）π3B =；（2）134b = 【解析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin2A Cb A Bc ++=，再通过二倍角公式即可求出B Ð； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2B bC c =， 结合正弦定理，得sin cos 2BB =， 由π022B <<及二倍角公式，得1sin 22B =， 即π26B =，故π3B =；（2）由题设，得1sin 2ac B =4ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()22812b b =--， 解得134b =. 【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率； （2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i xx y ====∑∑.【答案】（1）35；（2）ˆ0.640 1.520y x =+；（3）利润约为111.2万元.【解析】 【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y 和养殖量x 的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润. 【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份， 则5个月份任意选取3个月份的基本事件有()2,3,4，()2,3,5，()2,3,6，()2,4,5，()2,4,6，()2,5,6，()3,4,5，()3,4,6，()3,5,6，()4,5,6，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为63105P ==； （2）7x =，6y =，2379.587643.5ˆ0.6404608768b-⨯⨯==≈-⨯， ˆ60.6407 1.520a=-⨯=， 故ˆ0.640 1.520yx =+； （3）当15x =千只，ˆ0.64015 1.52011.12y =⨯+=（十万元）111.2=（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】 【分析】（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可；（2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积. 【详解】（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，1AB AB A =I ，所以BC ⊥平面11A B BA ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11BCC B I 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO = 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形，所以1111123348333A BCCB V OA BC B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =. （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)21y x =±-【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设直线m 的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N 坐标，然后设直线n 的方程求出点M 的坐标，最后利用O 、M 、N 、F 四点共圆即可求出直线m 的方程. 【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线F 的方程为24y x =；（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +，因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--，由()11x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=u u u u r u u u r ，解得t =，所以直线m的方程为)1y x =-. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题. 21.已知函数2()126ln af x x a x x=+--存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，且()()1226f x f x e <-+，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数） 【答案】（1）4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()e,+∞. 【解析】 【分析】（1）首先对函数()f x 求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a 的取值范围； （2）首先求出()()12f x f x +的值，再根据()()1226f x f x e <-+求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为是()0,∞+，()222262622a a x ax af x x x x -+'=+-=， 若()f x 有两个极值点，则方程22620x ax a -+=一定有两个不等的正根， 设为1x 和2x ，且12x x <，所以2121236160300a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩解得49>a ，此时()()()1222x x x x f x x--'=， 当10x x <<时，()0f x '>， 当12x x x <<时，()0f x '<， 当2x x >时，()0f x '>，故1x 是极大值点，2x 是极小值点， 故实数a 的取值范围是4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）由（1）知，123x x a +=，12x x a =， 则()()1211221222126ln 126ln a af x f x x a x x a x x x +=+--++--， ()()121212122226ln a x x x x a x x x x +=++--，232236ln 26ln a aa a a a a a⋅=+⨯--=-， 由()()1226e f x f x +<-，得26ln 26e a a -<-，即ln e a a >， 令()4ln 9g a a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，考虑到()e elne e g ==， 所以ln e a a >可化()()e g a g >，而()411ln 1ln1ln 09eg a a '=+>+>+=， 所以()g a 在4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，由()()e g a g >，得e a >， 故实数a 的取值范围是()e,+∞.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为221122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +--=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ-=， 故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然直线l 与曲线C 相交的两点中， 必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭（2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则OMN V 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题. 23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c+≥+++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案； 法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论． 【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号），所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤， 故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数， 所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦1422⎡≥+=⎣故不等式11222a b b c+≥+++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。
全国大联考2020届高三4月联考数学(文)试题
在直线
l
:
y
=
1 的上方,
所以
g ( x) min
=
g (n)
=
e n
n
1,解得
n
e.
所以 n 的取值集合为 A = 1, 2.
（3）对 x1x2 (0, +),
f
( x1 ) − g ( x2 )
的最小值等价于 g ( x) min
−
f
(x) max
=
e n
n
−
1, ne
当 n = 1时,
所以 OAOB = x1x2 + y1y2 0 ,
( ) 又 x1x2 + y1 y2 = 1 + k 2 y1 y2 − k ( y1 + y2 ) + 1
( ) =
1+ k2
−3 4+ k2
−
2k 2 4+ k2
+1
=
−3
−
3k
2
− 2k 2 4+ k2
+
4
+
k2
=
1 − 4k2 4+ k2
0,
故所求的椭圆方程为 x2 + y2 = 1。 4
（2）设
A
(
x1
,
y1
)
,
B
(
x2
,
y2
)
,由
1 3
x1
1 e
,
得
y1
+
y2
=
2k k2 +
4
,3 k2 +4
,
( ) = (2k )2 +12 4 + k2 = 16k2 + 48 0 ,
2020届高三年级联考数学试卷及答案
2020届高三年级联考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上1．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的 （ ） A ．充分条件，但不是必要条件； B ．必要条件，但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件2．已知)2,1(=a ，)1,(x b =，且2+与-2平行，则=x （ ） A ．1； B ．2； C ．21； D ．313．函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ）A ．周期为π2的奇函数；B ．周期为π2的偶函数；C ．周期为π的奇函数；D ．周期为π的偶函数4．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ） A ．―1； B ．2； C ．21； D ．―1或2 5．若}{n a 是各项为正的等比数列,且公比1≠q ,则)(41a a +与)(32a a +的大小关系是 （ ） A ．3241a a a a +>+； B ．3241a a a a +<+； C ．3241a a a a +=+； D ．不确定6．设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x M ，}112|{≥-=x x N ，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤<x x ； D ．2|{<x x7．若21cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ，则θcos 的值等于 （ ）A ．53；B ．53-；C ．54；D ．5-8．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09<S ，则1S ，2S ，3S ，…，n S 中最小的是 （ ）A ．4S ；B ．5S ；C ．6S ；D ．S9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上 （ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且)(<x f10．在△ABC 中，︒>∠90C ，下列关系式中正确的是 （ ） A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<；B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+；D ．A C B A sin sin sin cos cos +<<+2020届 高 三 联 考数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，则1(2)f-将函数x x y cos sin +=的图象按向量),(k h （其中，2π<h ）平移后与1cos 2+=x y 的图象重合,则向量坐标=h ,=k13．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是14．设函数()sin()f x x ωϕ=+ )22,0(πϕπω<<->，给出下列四个论断：①它的周期为π；②在区间(,0)6π-上是增函数；③它的图象关于点(,0)3π成中心对称；④它的图象关于直线12x π=对称请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：①②⇒③④）三 解答题：（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53, 求cosA 的值16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式17 （本小题满分14分）已知函数：，θθθθ,3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2R x x x x x f ∈-++++=（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）3πθ=当时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x +-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式;（II ）求证：+∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数;（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式； （3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<< ,且，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+2020届高三联合考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ）6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11． 3- 12 ,4π-=k 113． 1[,1)2⋃ 14． ①④⇒②③或 ①③⇒②④三 解答题：（共6小题，共74分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53, 求cosA 的值解：∵ cosB ＝21, ∴sinB ＝23, 又sinC ＝53, cosC ＝±54, …………4分若cosC ＝－54, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝53, sinB ＝23, 于是： sin(π－C)< sinB ……（5分） ∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾, ∴ cosC ≠－54, …………7分 cosC ＝54,…………8分 π=++C B A Θ故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10433-, …………12分 （说明：本题如果没有去掉cosC ＝54-，扣3分）16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式16 解：⋅⋅⋅=,2,1,}{ n S n a n n 项和为前设数列 依题意得：+∈+=N n , 22n n a S …………2分2211+=∴++n n a S)(2111n n n n n a a S S a -=-=∴+++ （n=1,2,…）…………5分 ++∈=∴N n ,21n n a a …………8分故数列{}n a 是等比数列 …………10分2 N n , 221-=∴∈+=+a a S n n ，又Θ+-∈-=⨯-=N n a n n n ,2221…………12分17 （本小题满分14分）已知函数：)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合17． 解：（Ⅰ）1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f ] ………………2分)2cos(3)2sin(θθ+++=x x ……（4分）= ))32sin(2)(()62cos(2πθπθ++=-+x x f x 或……………6分 2 ,2max min =-=y y ………………8分（Ⅱ）由y =得：及3)62cos(2πθπθ=-+x 2162cos ,162cos 2,1)(≥+∴≥+⇒≥）（）（ππx x x f ……………………12分Z k k x k ∈+≤+≤-⇒,326232πππππ},124|{Z k k x k x x ∈+≤≤-∴ππππ的集合是所求…………14分18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数18．解：（Ⅰ）当时，1=a 1)(≤x f 111≤+-⇒x x ,化为012≤+-x ……（3分） ,01>+⇒x 1->x 即：故，满足（Ⅰ）条件的集合为{}1->x x ……（5分）（Ⅱ）在区间),0(+∞上任取21,x x ，则1111)()(112212---+-=-x ax x ax x f x f ……（7分）)1)(1())(1(1212++-+=x x x x a ……（8分）因12x x >故012>-x x ，又在),0(+∞上012>+x ,011>+x ……（10分） ∴只有当01<+a 时，即1-<a 时才总有0)()(12<-x f x f , ……（12分）∴当1-<a 时,)(x f 在),0(+∞上是单调减函数 (14分)说明：本题若令0)()(12<-x f x f 求出1-<a ，没有考虑a 的充分性扣2分 19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：+∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列19 解：（Ⅰ）由于y ＝214x +- ∵点An(n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +) ∴11+-n a = f(n a )= 214n a +- , 并且0>n a ……（2分）21141n n a a +=∴+ ， ),1(411221N n n a a nn ∈≥=-∴+ ∴数列{21n a }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4 ……（4分） ∴21na =1+4（n —1） ， ∴3412-=n a n ∵ 0>n a ，∴341-=n a n ……（5分）（II ）+∈-=N n n a n ，341Θ 23414341423422--+=-++>-=n n n n n a n ……（8分） +∈++=-+>-∑=∴N n n n n n S n ,1142)114(21341 ……（10分） （Ⅲ）由341-=n a n ， 381622121--+=++n n a T a T n n n n得：)14)(34()14()341+-++=-+n n T n T n n n （ 134141+-=+⇒+n T n T n n ……（12分）=n c 令34-n T n ，如果11=c ，此时11=b +∈=⨯-+=∴N n n n c n ，1)1(1 ……（13分）+∈-=-=N n n n n n T n ,34)34(2则：+∈-=⇒N n n b n ,89，此时，数列{n b }是等差数列 ……（14分）20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数 ；（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式；（3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<<且,，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+ 20 证明：（1）任取x 1 x 2∈R,则2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] =2[a(221x x +)2 + b 221x x ++c] －[a x 12+bx 1+c] － [a x 22+bx 2+c] =2a [(x 1+x 2)2－2(x 12+x 22)]= －2a (x 1－x 2)2 ……（2分）Θa<0 ∴2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] ≥ 0 ∴)2()()([212121x x f x f x f +≤+ ∴由定义得 y = f(x)是R 上的凸函数 ……（4分）（2）Θ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 39)3(24)2()1(解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+-=+-=)3()2(3)1(3)3(23)2(4)1(25)3(21)2()1(21f f f c f f f b f f f a ……（5分） Θ|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|Θ|f(1)| ≤1，|f(2)| ≤2,|f(3)| ≤3∴|f(4)| ≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| ≤16 ……（6分）Θa<0时f(x)= ax 2+bx+c 开口向下，∴当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-==-=3)3(2)2(1)1(f f f 时取等号，代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=12154c b a∴f(x)= －4x 2+15x －12 ……（8分）（3）Θ p q m n R ∈且p<m<n<q不妨设m = p+i, 其中i *∈NΘp+q = m+n ∴m －p = q －n = i由定义知，任意x 1 x 2∈R,有f(x 1)+f(x 2)≤ 2f(221x x +) ……（9分） 取x 1 = p x 2 = p+2则有f(p)+f(p+2) ≤ 2f(p+1) 变形得f(p) －f(p+1) ≤ f(p+1) － f(p+2)同理有 f(p+1) －f(p+2) ≤ f(p+2) － f(p+3) f(p+2) －f(p+3) ≤ f(p+3) －f(p+4)f(p+4) －f(p+5) ≤ f(p+5) － f(p+6) … …f(p+k-2) － f(p+k －1) ≤ f(p+k －1) －f(p+k) 累加求和得：f(p)－f(p+k －1) ≤ f(p+1) －f(p+k)即f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ……（11分）递推i次得f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ≤f(p+2)+f(p+k－2) ≤…≤f(p+i)+f(p+k－i) ∴f(p)+ f(p+k)≤f(p+i)+f(p+k－i)令p+k = q,得f(p)+f(q) ≤f(p+i) + f(q－i)Θm－p = q－n = i∴f(p)+f(q) ≤f(m)+f(n) ……（14分）。
全国大联考2020-2021学年高三第一次大联考数学试题含解析《含高考16套》
全国大联考2020-2021学年高三第一次大联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>2．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．965．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-6．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A ．3224+ B ．3424+ C ．3226+ D ．3426+ 7．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．二项式52x x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1609．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3211．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒12．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ） A 5B ．2C 5D ．102二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020秋高三上学期第一次联考数学(文)试题(可编辑)+答案详解+评分标准 (2)
2020届高三上学期第一次联考数学(文)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 1,2,3,4},B {x 3}x ==<{，则A B =IA.1,2,3}{B.1,2}{C.1x 3}x ≤<{D.1x 3}x <<{2.已知复数z 满足(1)z i -=，则z =A. 1+B.1C.iD.－i3.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为A. 30B. 40C.50D. 80 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.已知a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则A.a∥α，a⊥b，则b⊥αB.a⊥α，a⊥b，则b∥αC.a ⊂α，b ⊂α，a∥β，b ∥β，则α∥βD.a I b ＝A ，a∥α，b ∥α，a∥β，b ∥β，则α∥β6.数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为 A.110 B.15 C. 310 D. 257.已知双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为A.8.要得到函数ysin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度9.已知实数x 、y 满足200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A.[－4，2]B. [－4，0]C. [－2，－4] D[－2，4]10.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x xf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 11.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12C.1D.212.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂直分别为C 、D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学试卷3
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学试卷创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合[0,5]U =,2{|230,}A x x x x N =--<∈，B=0,11,3)(3,5)⋃⋃（）（,则()U A C B ⋂=( )A.{0，1，2)B.{-1,0，1,2,3}C. {0，1}D.{2} 2.已知z=2(1)23i i ++(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知函数2()2sin ()4f x x π=+，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. x =4π-是()f x 一条对称轴C. ()f x 的最小正周期为2πD. (4π-,0)是()f x 的一条对称轴4.已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0xe a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A.(2e ,+∞)B.[2e ,+∞)C.(-∞,e )D.(-∞, e ] 5.执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为（ ） A ．3 B.4 C.5 D.66.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．157.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ） A.3πB.154πC.334πC.6π8.已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z =2222x y x y +++的取值范围是（ ）A ．[8,23]B ．[8,25]C ．[6,23]D ．[6,25] 9.已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所 示，若将()f x 的图像上所有点向右平移12π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调增区间为（ ） A ．[,]36k k ππππ-+,k Z ∈B ．2[+,]63k k ππππ+,k Z ∈ C ．[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈D ．7[,]1212k k ππππ--,k Z ∈ 10.已知过抛物线2163y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点,已知CB =3BF ,则线段AB 的中点M 到准线的距离为( )A ．83B ．3C ．163D ． 6 11. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率5，则该双曲线的一条渐近线被圆C ：22230x y x +--=截得的弦长为（ ） A ．455B ．855C ．3D ．212. 设点P 在曲线ln y x =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，点R 在直线y x =上，则||||PR RQ +的最小值为（ ）A ．2(1)2e -B ．2(1)e - C ．22D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b 满足|a |=1,|2|a b -=23，a 在b 方向的投影为12，则(+2)b a b •=.14.如图所示，在△DEF 中，M 是在线段DF 上，DE =3，DM =EM =2，sin F ∠=35,则边EF 的长为.15.已知直线110l ax y ++=：（ ）0a >与直线2:(4)20l x b y +-+=（ ）0b >垂直，则22a b +的最小值为.16.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足()3(2)f x f x =+，当)2,0[∈x 时，1122+101()log 24x x f x xx -⎧≤≤⎪=⎨<<⎪⎩，，1，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*∈N n a n ，且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本大题满分12分）在数列{n a }中，1a =1,点（n a ，1n a +）在函数32y x =+图象上.（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求数列{n na }的前n 项和n T .18. （本大题满分12分）为了迎接12月16日至12月18日在浙江乌镇召开的第二届国际互联网大会乌镇峰会，组委会对报名参服务的1500名加志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得得到成绩如下：57，63，65,68,72,77,78,78，79,80,83,85，88,90,95.（Ⅰ）作出抽取15人的测试成绩的茎叶图，根据茎叶图估计志愿者的测试成绩分布情况，写出统计结论，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩在90分以上（包含90分）的人数；（Ⅱ）从抽取的15名志愿者成绩在80分以上（包含80分）志愿者中，随机选3名志愿者参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率.19. （本大题满分12分）在如图所示三棱锥D —ABC 中，AD DC ⊥，，，∠BAC =45°，平面平面，,E F 分别在,BD BC ，且2DE EB =，2BC BF =．（Ⅰ）求证：BC ⊥AD ；（Ⅱ）求平面AEF 将三棱锥D ABC -分成两部分的体积之比． 20. （本大题满分12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>左右焦点，过1F 的直线交椭圆于,C D 两点，△2CDF 的周长为8，椭圆的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆E 交于,A B 且OA OB ⊥，求证原点O 到直线l 的距离为定值．21. （本大题满分12分）已知函数2()(21)(1)ln f x a x ax a x =+--+-，其中a R ∈ .（Ⅰ）当a =1时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）选修4—1几何证明选讲如图所示，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，AE EC BE DE ⨯=⨯.（Ⅰ）求证：A 、B 、C 、D 四点共圆;（Ⅱ）过D 作四边形ABCD 外接圆的切线交BC 的延长线于F ，BD CF DF BC ⨯=⨯,求证：DC 平分BDF ∠.23. （本题满分10分）选修4—4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 和及坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为123x ty t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线C ：24sin 20ρρθ-+=．（Ⅰ）将直线l 的方程化为普通方程，将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线交于,A B ，求||AB ． 24. （本题满分10分）选修4—1不等式选讲已知函数()22f x x a x =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在实数x 使()2+3f x x ≥-成立，求a 的取值范围.创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校。
上海市2020〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准
上海市2020年〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【命题意图】本题主要考查函数的定义域、集合的运算.容易题. 【答案】C【解析】由已知得1{|}2B x x =>-，所以}2,1,0{=B A ，选C.2. 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、向量的模.容易题. 【答案】B【解析】由已知得)2,5()5,3()3,2(--=--=-=AB AC BC ， 所以||BC =29)2()5(22=-+-，故选B.3. 【命题意图】本题主要考查复数运算.容易题. 【答案】D【解析】因为i i z 31)3(-=-，所以i iiz --=-=-3313，所以i z +=6，选D. 4.【命题意图】本题主要考查对立事件的概率.中等题. 【答案】D【解析】小红、小芳、小英、小丽四个同学相互发短信共有8134=种情况，小红给小英发短信只有一种情况，所以小红不给小英发短信的概率是81808111=-.选D. 5.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的性质.中等题.【答案】B【解析】 因为抛物线cy x 22=的准线方程为2-=y ，所以22=c ，即4=c ， 因为31=e ，所以413a =，所以12=a .所以128161442=-=b ，所以椭圆的标准方程为112814422=+y x ，选B.6. 【命题意图】本题主要考查平面图形的折叠、扇形的弧长公式、圆锥的体积公式.中等题. 【答案】D【解析】 因为32120π=弧度，所以扇形的弧长为ππ2332=⨯=l ， 所以折成圆锥后底面周长为π2，底面半径1=r ，圆锥的高221322=-=h ，所以圆锥的体积ππ322221312=⋅⋅⋅=V ，选D.7.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等知识，考查运算求解能力.中等题. 【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯+=⨯+.8)4(2),2233(825661111d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧-==421d a ， 所以74)4()120(220-=-⨯-+=a ，选C.8.【命题意图】本题主要考查程序框图、当型循环结构.容易题.【答案】B【解析】由程序框图知，当0=m ，执行0412y =+=，220=+=m ；当2=m ，执行24117y =+=，422=+=m ； 当4=m ，执行441257256y =+=>， 故判断框中应填2≤m .选B.9.【命题意图】本题主要考查根据)sin()(ϕω+=x A x f 的图象求解析式、)sin()(ϕω+=x A x f 的性质.考查考生的数形结合思想与运算求解能力.【答案】D【解析】由图知，2=A ，99421ππ-=T ，所以23T π=，故A 错误； 因为点)0,9(π在函数)(x f 的图象上，所以0)93sin(2=+⨯ϕπ，因为2||πϕ<，所以3πϕ-=，所以)33sin(2)(π-=x x f .所以函数)(x f 是非奇非偶的函数.故B 错误； 由)Z (233∈+=-k k x πππ得)Z (183∈-=k k x ππ， 所以函数)(x f 的图象不关于直线3π=x 对称.故C 错误；由)Z (223322∈+≤-≤-k k x k πππππ，即)Z (185321832∈+≤≤-k k x k ππππ， 令0=k ，则18518ππ≤≤-x ， 因为]185,18[]4,0[πππ-⊆，所以选项D 正确.10.【命题意图】本题主要考查分段函数、给定函数的值求参数的值.中等题.【答案】D【解析】由已知得⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 或⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a由⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 可知a 无解；由⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a 得8=a ，所以11110)0()8(01=+==--f a f ，故选D.11.【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、球体的体积.中等题. 【答案】B【解析】由三视图知，原几何体是一个球体与一个正方体组合而成，其中球的直径等于正方体的棱长4， 所以原几何体的体积为33432246433ππ⋅+=+.选B.12．【命题意图】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的零点.中等题. 【答案】D【解析】设6)(=m f ，则由6]log )([2=-x x f f 可得m x x f =-2log )(， 整理可得m x x f +=2log )(，则6log )(2=+=m m m f ，解得4=m ， 所以4log )(2+=x x f ，所以2ln 1)(x x f ='， 则方程4)()(='-x f x f 可化为42ln 14log 2=-+x x ，即02ln 1log 2=-x x ， 设2ln 1log )(2x x x g -=，由02ln 1)1(<-=g ，02ln 211)2(>-=g ，02ln 313log )3(2>-=g ， ⋅⋅⋅且)(x g 是增函数，可得)(x g 在)2,1(上存在零点，即方程4)()(='-x f x f 的解在区间)2,1(上， 所以1=a .故选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.【命题意图】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式.中等题.【答案】100【解析】因为等比数列}{n a 满足5211-⋅=++n n m S ，所以n n n n n n m m m S S a 2)52(52111⋅=-⋅--⋅=-=+++，所以12-⋅=n n m a ， 因为404=a ，所以4023=⋅m ，所以5=m ， 所以=+53a a 10025251513=⋅+⋅--．14.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义，通过切线经过点)1,0(求参数a 的值.中等题.【答案】1-【解析】因为11)(2++=x ax x f ，所以2222)1(12)1(1)1(2)(+-+=+--+='x ax ax x ax x ax x f ， 所以413)1(-='a f ，21)1(+=a f ，所以函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为)1(41321--=+-x a a y ， 因为点)1,0(在切线)1(41321--=+-x a a y 上， 所以)10(413211--=+-a a ，解得1-=a . 15.【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.中等题. 【答案】5【解析】作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤.4,2,y x x y x y 表示的平面区域，得到如图的阴影△OAB（包括边界），易求得)34,38(A ，)2,2(B ，平移直线012=+-y x 可得当目标函数12+-=y x z 在点A 处取得最大值，所以5134382max =+-⨯=z .16.【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、性质、函数的最值.较难题. 【答案】3 【解析】因为)0(14222>=-b by x ，所以2=a ，由双曲线的定义得4||||21=-PF PF ，所以16||||2||||212221=⋅-+PF PF PF PF ，因为双曲线在第一象限一点P 满足||21||21F F OP =，所以21PF PF ⊥， 所以222214||||c PF PF =+， 所以82||||221-=⋅c PF PF ， 所以P y c PF PF ⋅⋅=⋅221||||2121， 所以cc y P 4-=，因为]2,1(∈e ，所以]2,1(2∈c ，即]4,2(∈c ， 因为函数xx y 4-=在),0(+∞上是增函数， 所以3444)(max =-=P y .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查三角恒等变换，考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、三角形的面积公式及正弦定理.中等题. 【答案】（Ⅰ）2π，)Z )(0,164(∈+k k ππ；（Ⅱ）4c =. 【解析】（Ⅰ）()f x =21sin 2cos 2sin 22x x x +-，)4x π=-，（3分）所以函数()f x 的最小正周期为242ππ==T .由)(44Z ∈=-k k x ππ,解得)(164Z ∈+=k k x ππ， 所以函数()f x 的对称中心为)Z )(0,164(∈+k k ππ.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f )4x π=-，因为()42B f =，所以())4242B f B π=-=，所以sin()14B π-=，（8分）因为ππ<<B 2，所以34B π=.因为A C sin 2sin =，所以a c 2=，（10分） 因为422221=⋅⋅⋅=∆a a S ABC ， 所以22=a ， 所以4c =.（12分） 18.（本小题满分12分）【解题探究】本题主要考查空间中的线、面关系，四棱锥的体积.考查空间想象能力.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）3332. 【解析】（Ⅰ）因为在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，AB DC //，DC AE =， 所以四边形AECD 是矩形，因为AE AD =，所以四边形AECD 是正方形，（3分） 所以AD EC //，因为⊂AD 平面MAD ，⊄EC 平面MAD ， 所以//EC 平面MAD . （6分）（Ⅱ）由图知三棱锥AMC B -的体积等于三棱锥ABC M -的体积.因为△MDC 是等边三角形，平面⊥MDC平面ABCD，4=DC ，所以三棱锥ABC M -底面ABC 上的高为32423=⨯，（8分） 因为四边形AECD 是边长为4的正方形， 所以AB CE ⊥，4=CE ， 又因为8=AB ，所以164821=⨯⨯=∆ABC S ，（10分） 所以三棱锥ABC M -的体积为=V 3332321631=⨯⨯， 即三棱锥AMC B -的体积为=V 3332321631=⨯⨯.（12分） 19.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查线性回归方程求法及应用.考查运用数学知识解决实际问题的能力.中等题.【答案】（Ⅰ）y^13221.2x =+（Ⅱ）312.2kg . 【解析】（Ⅰ）由所给数据看出，每天需求量与年份之间是近似直线上升．为此对数据预处理如下：3-=x m 257-=y n 0=m ，2.3=n ，（3分）∧b 131013005210)1()2(2.3052921910)11()1()21()2(222222==⨯-+++-+-⨯⨯-⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=，（6分）a ^＝-nb ^m ⋅2.30132.3=⨯-=.由上述计算结果知，所求回归直线方程为y ^=-2572.3)3(13+-x ， 即y^13221.2x =+.（10分） （Ⅱ）由（Ⅰ）y ^13221.2x =+，预测星期日的大米需求量为137221.2312.2⨯+=(kg)．（12分）20. （本小题满分12分）已知圆)0(:222>=+r r y x C 经过点)3,1(．【命题意图】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系.较难题. 【答案】（Ⅰ）422=+y x ；（Ⅱ）02=+-y x .【解析】（Ⅰ）由圆222:r y x C =+，再由点)3,1(在圆C 上，得4)3(1222=+=r ，所以圆C 的方程为422=+y x .（3分）（Ⅱ）假设直线l 存在，设),(11y x A ，),(22y x B ， ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(1+=-x k y ，联立⎩⎨⎧=++=-4)1(122y x x k y ，消去y 得032)1(2)1(222=-+++++k k x k k x k ，由韦达定理得222112221)1(2k k k k k x x +-+-=++-=+，222211421132k k k k k x x +-+=+-+=， 所以3142)1())(1(222121221-++=+++++=kk k x x k k x x k y y ，（6分） 因为0=•， 所以02121=+y y x x ， 所以03142142122=-++++-+kk k k ，解得1=k ， 所以直线l 的方程为11+=-x y ，即02=+-y x .（8分）②若直线l 的斜率不存在， 因为直线l 经过点)1,1(-， 所以直线l 的方程为1-=x ， 此时)3,1(-A ，)3,1(--B ， 而2)3,1()3,1(-=--•-=•， 不满足0=•.综上可知，存在直线:l 02=+-y x 满足条件.（12分） 21. （本小题满分12分）设R ∈a ,函数()ln f x x ax =-.【命题意图】本题主要考查用导数法求函数的单调性与极值，函数的零点以及不等式的证明.考查分析转化能力、分类讨论思想.较难题. 【解析】（Ⅰ）由已知得∈x ()0,+∞，()11axf x a xx-'=-=， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值；（2分） ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=，在区间)1,0(a上，()0f x '>，函数()f x 是增函数， 在区间),1(+∞a上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a aa=-=--.（4分） 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值； ②当0a >时，函数()f x 的递增区间为)1,0(a，递减区间是),1(+∞a， 函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--.（6分） （Ⅱ）因为0)(=e f ，所以102-=，解得a =所以()lnf x x x =， 又323()022e f e =->，5225()022e f e =-<， 所以3522()()0f e f e ⋅<，（9分）由（Ⅰ）函数()f x 在),2(+∞e 递减，故函数()f x 在区间),(2523e e 有唯一零点，因此322x e >.（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。