2020届河北省高三上学期第一次大联考数学(理)试题(解析版)

A．若“ ”为假命题，则“ ”为假命题
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】C
【解析】由 且 的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判断B；由命题和其逆否命题等价即可判断C；由特称命题的否定为全称命题，可判断D．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
，取 的中点为 ，分别连接 ， ，显然 ，所以线段 为球 的直径，故 ，
延长 ，过点 作 垂直于 的延长线于点 ,
， ,
，
连接 ， 即为球心 到平面 的距离，显然 ，
所以球心 到平面 的距离为1．
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三棱锥外接球球心位置的确定以及二面角平面角的确定，考查逻辑思维能力，属于高考常考题型.
【详解】
设 为边 的中点，并设角 所对应的边分别为 ，则 ，
故 ，所以 ，从而角 为钝角.
所以 为钝角三角形．
故选：C.
【点睛】
本题考查判断三角形的形状，考查逻辑思维能力，属于中档题.
12．过双曲线 （ ）右焦点 的直线交两渐近线于 、 两点，若 ， 为坐标原点，且 内切圆半径为 ，则该双曲线的离心率为（）
【详解】
因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，
又 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故 ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查分段函数求值以及奇偶性的问题，当 时， 是奇函数，可以得到 ，属于常考题.
14．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则 的展开式中常数项为__________；
【答案】
【解析】函数 在 处的切线的斜率为 ，直线 的斜率为 ，依题得 ，故 ，再利用二项式定理计算结果即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，属于基础题.
6．已知直线 经过椭圆 （ ）的右焦点 ，且与椭圆在第一象限的交点为 ，与 轴的交点为 ， 是椭圆的左焦点，且 ，则椭圆的方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由直线过椭圆的右焦点，求出 ，再由直线 与椭圆 在第一象限的交点为 ，与 轴交于点 ，推导出 ，由此能求出椭圆的方程．
（1）若 为线段 的中点，求直线 的方程；
（2）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 ．
【解析】（1）设 ， ，利用“点差法”确定 的值，从而求出直线的方程；
（2）求出直线 的方程，利用韦达定理以及 探究直线过哪个定点.
【详解】
（1）设 ， ，则 ①， ②．
由 得四边形 为正方形，由焦点到渐近线
的距离为b得 ，又 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，得 . .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的性质，考查逻辑思维能力，正确作出图形是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．已知函数 是奇函数，且 ，则 ________；
【答案】
【解析】先由 为奇函数，得出 ，求出 的值；再由 得出 的值，从而得出 的值.
20．近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．猪生长Leabharlann 三个阶段阶段幼年期
2020届河北省高三上学期第一次大联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 和集合 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别求出集合 与集合 ，再求 即可.
【详解】
由已知 ， ，则 ，
故选：D .
【点睛】
本题考查交集及其运算，属于基础题.
2．已知 ，复数 ， ，若 为纯虚数，则实数 的值为（）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】先根据复数的乘法计算 ，再由 为纯虚数，得出结果.
【详解】
由 ，由 为纯虚数，
则 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算及纯虚数的概念，属于基础题.
3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为 人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取 人，则抽取的高二学生人数为（）
即 ，解得 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ，设 ，
则 ，
∴
．
【点睛】
本题考查数列等比数列通项公式以及裂项相消法求和，裂项相消法适用于：如果一个数列的通项公式是分母为两项相乘的分式，即考虑用裂项相消法求和，属于高考常考题型.
18．如图，四棱锥 中， ， ， ， 为正三角形，且 .
（1）证明：直线 平面 ；
则 ， ， ， ，则 ，设 ，
由 ， ，可得 ，解得 ， ，
即 ，
所以 ，又由（1）可知， 是平面 的一个法向量，
∴ ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的判定以及用向量法求线面角，考查逻辑思维能力和空间想象能力，属于高考常考题型.
19．已知抛物线 ，过点 分别作斜率为 ， 的抛物线的动弦 、 ，设 、 分别为线段 、 的中点．
【详解】
因为 ，所以要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象向左平移 个单位．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数图象平移变换，解决三角函数图象平移和伸缩变换的有两种思路：1、先平移后伸缩；2、先伸缩后平移，属于常考题.
8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）
【详解】
在 中由余弦定理可得 ，
所以
，其中 ， ，
当 取得最大值 时， ，∴ ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
16．如图，已知三棱锥 的四个顶点 、 、 、 都在球 的表面上， 是正三角形， 是等腰直角三角形， ，若二面角 的余弦值为 ，则球 到平面 的距离为________．
要使函数恰有一个极值点和一个零点，结合正弦函数的图象可知， 且 ，
所以 的取值范围是： .
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和转化思想，属于常考题.
11．已知 为 的外心，若 ，则 为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】C
【解析】因为点 为 的外心，故点 为 三边垂直平分线的交点，因此可取 的中点为点 ，根据平面向量的知识，将 转化为 ，得到三边的数量关系，再根据余弦定理的推论判断 ，从而判断出三角形的形状.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据等高条形图，利用分层抽样原理求出应抽取的人数即可.
【详解】
根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为 ，由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为 人，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等高条形图、分层抽样，属于基础题.
4．等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 ，则 （）
①－②，得 ．
又因为 是线段 的中点，所以
所以， ．
又直线 过 ，所以直线 的方程为 ；
（2）依题设 ，直线 的方程为 ，即 ，
亦即 ，代入抛物线方程并化简得 ．
所以，
于是， ， ．
同理， ， ．
易知 ，所以直线 的斜率 ．
故直线 的方程为 ，
即 ．此时直线过定点 ．
故直线 恒过定点 ．
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.
【答案】1
【解析】取 的中点 ，连接 ， ， 即为二面角 的平面角，在 中，由余弦定理求得 ，可以得出 ，分别连接 ， ，确定球心 的位置，连接 ，可知 面 ，在 中计算 的长度即可.
【详解】
取 的中点 ，分别连接 ， ，
故 , ， 即为二面角 的平面角，
是正三角形， 是等腰直角三角形， ，
， ，
二面角 的余弦值为 ，即 ，
【详解】
（1） ，且 ， ，
又 为正三角形，所以 ，
又 ， ，所以 ，又 ， // ，
， ，所以 平面 .
（2）设点 到平面 的距离为 ，则 ，依题可得 ，以 为原点，直线 、 分别为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标和向量 ，由（1）可知 平面 ，故向量 是平面 的一个法向量，则向量 与向量 所成的角或其补角与直线 与平面 所成的角互余.
【详解】
由题意知， .由题意知 ，即 .
，其常数项为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查导数的几何意义和二项式定理，属于基础题.
15．在 中，角 所对的边为 ，若 ，则当 取最大值时， __________；
【答案】
【解析】由余弦定理得 ，结合条件 ，将式子 通分化简得 ，再由辅助角公式得出 ，当 时， 取得最大值，从而求出结果.
成长期
成年期
重量（Kg）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意画出图形，设内切圆圆心为 ，过点 分别作 于 ， 于 ，结合图形可得四边形 为正方形,根据点到直线的距离可得 ，再根据 ，得 ，即可求出 ，再根据 ，即可求出.
【详解】
因为 ，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为 ，则 在 平分线 上，