我对人工数和自然数的认识
四年级上册人数学知识点
四年级上册人数学知识点
四年级上册数学需要掌握的知识点有很多，以下是部分内容：
自然数用来表示物体的个数。
一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。
所有自然数都是整数。
最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
像个、十、百、千、万、亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。
像个位、十位、百位、千位、万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位都是数位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数法。
计算器上ON/C是开关及清除屏键，AC是清除键。
算盘上一颗上珠表示5，一颗下珠表示1。
测量土地的面积，通常用公顷或平方千米作单位。
边长是100米的正方形面积是1公顷，边长是1千米的正方形面积是1平方千米。
对数学的学习理解谈谈体会
对数学的学习理解谈谈体会对数学的学习理解谈谈体会精选篇1夏日炎炎，汗流浃背。
带着一份渴望的心情，我走进了小学数学培训课堂。
当前，全国各地都在轰轰烈烈开展课改，那么如何上好每一堂数学课是摆在我们数学老师面前的一个艰巨任务。
教学有法但无定法。
数学是一门艺术，同时数学又****于生活。
怎样使数学课堂开展得丰富多彩，有声有色呢?听了三位老师的讲座我找到了答案。
刘月兰老师的《对小学数学课评价的思考与建议》，她给我们作了精辟的讲解与指导，让我们明白了评课不是为了证明什么，而是一个中肯的分析，她列举了很多案例为我们解答，为我们在在教学中指明了方向，少走弯路早就听说逸夫教育集团的郑献华老师数学深堂教学开展得有声有色，听了他的讲座果然名不虚传，他的《数学课堂需要动静结合》的`观点很有道理，他列举了许多案例为我们讲解了数学课堂中出现的许多突出问题使我终生受益。
听课者掌声雷动，经久不息。
短暂的一天培训结束了，带着一份希望与收获，同时又增添了一份紧迫感与危机感，此刻我深深地体会到自已还有很多不足之处。
在今后的教学中要多向名师方老儿学习，不断提高自己的专业素养和提升课堂教学能力，转变教学观念，为上好每一堂数学课做到未雨绸缪。
对数学的学习理解谈谈体会精选篇2为期五周的小学数学培训结束了，如果要说学习体会的话，那就是学习到了许多教学的方法，解决了一些在教学中的困惑，受到了较大的启发。
学习到的不仅仅是专业知识，同时也是上了一堂很好的人生课，感觉受益匪浅，收获颇丰。
1、要懂得欣赏与爱的艺术。
作为一名教师只有会欣赏孩子、爱孩子，才会赢得孩子们的爱与尊敬，“亲其师才能信其道”。
轻松、活泼的课堂气氛，生动、幽默的讲解，新颖、独特的教学方式。
孩子们那发自内心的笑声，亮晶晶闪烁着求知欲的眼睛，下课后意犹未尽、恋恋不舍的表情，就是对教学最好的评价。
要让孩子们真正的喜欢，真正地想要学习，真正的想要跟随老师进入那奇妙的知识殿堂。
2、营造具有吸引力的学习背景。
(完整版)自然辩证法概论完整版
自然辩证法概论*中西方自然观差异【了解】＊辩证唯物主义自然观是马克思和恩格斯集成了古希腊朴素唯物主义自然观，批判地吸收了法国唯物主义自然观和德国唯心主义自然观中的合理因素，克服了机械唯物主义自然观的固有缺陷,并以19世纪的自然科学成果为基础，形成的关于自然界极其人类的总的观点.论述题1：系统自然观、人工自然观和生态自然观之间的关系系统自然观、人工自然观和生态自然观都是在马克思主义自然观基础上发展而来的。
系统自然观1.概念:以系统科学等为基础,是在概括和总结现代自然科学成果的基础上形成的关于自然界的存在与演化的认识.2.特征：提出了系统的存在和演化思想；强调了自然界的复杂性与简单性、生成性与构成性、线性和非线性的辩证统一.3.*意义:（1）丰富了马克思主义自然观中的物质观、运动观和时空观；(2）促进了马克思主义自然观在认识理论方面的发展；（3）推动了马克思主义自然观在方法论方面的发展;（4）建立起马克思主义自然观、认识论和方法论与历史观和价值观的联系。
人工自然观1.概念：以现代科学技术成果为基础,对人工自然界的存在、创造与发展规律及其与天然自然界的关系进行的概括和总结而形成的关于人类改造自然界的总的观点。
2.特征：注重强调实践的作用和意义,主张人工自然界和天然自然界的和谐统一.3.＊意义：（1)拓展了天然自然观的研究领域，丰富了马克思主义自然观；（2）使马克思主义自然观成为既反映天然自然界又反映人工自然界的科学的自然观。
生态自然观1.概念：是关于人与生态系统辩证关系的总的观点.是在全球生态危机的背景下，依据生态科学和系统科学的成果，对人类和自然界关系进行的概括和总结.2.现实根源问题：人口、资源、环境和生态问题。
3.特征：强调了科学技术与自然及社会之间的全面、协调、可持续发展，强调了人类社会和其他生命体和非生命体的和谐统一。
4.*意义:（1）倡导系统思维方式，发挥人的主体创造性,强化了人与自然界协调发展的生态意识,促进了马克思主义自然观在认识人类与生态系统关系方面的发展；（2）促使人们重新审视和辩证理解“人类中心主义”,确认人的主体地位，推进可持续发展和建设生态文明。
自然数集概念-概述说明以及解释
自然数集概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述自然数集是数学中一个非常基础和重要的概念，它是由0、1、2、3、4、5……组成的无限集合，用符号N表示。
自然数集是最基本的数学对象之一，在数学理论和实际问题中都具有重要的地位和应用价值。
本文将围绕自然数集的定义、性质和应用展开讨论，探究自然数集在数学中的地位和未来的发展前景。
通过深入了解自然数集的相关知识，可以有效提升数学思维能力，增强对数学世界的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，我们将概述自然数集的概念，并介绍本文的结构和目的，为读者提供对后续内容的整体认识。
在正文部分，我们将着重阐述自然数集的定义、性质和应用，帮助读者深入理解自然数集在数学领域中的重要性和应用价值。
在结论部分，我们将对自然数集的重要性进行总结，并探讨自然数集在数学中的地位以及未来发展的展望。
通过对自然数集的全面讨论，希望读者能够对自然数集有更深刻的理解，并认识到其在数学领域中的重要作用和发展潜力。
1.3 目的：本文的目的在于深入探讨自然数集的概念、定义、性质和应用，以全面了解自然数集在数学中的重要性和地位。
通过对自然数集的研究，我们可以更好地理解数学基础知识，为数学学习打下坚实的基础。
同时，也可以探讨自然数集在实际生活和其他学科中的应用，从而更好地认识数学与现实的联系。
最后，本文也旨在展望自然数集未来的发展方向，探讨其在数学领域中可能的新应用和进展，为数学研究提供一定的参考和启发。
通过本文的撰写，希望能够引起对自然数集的关注和思考，进一步推动数学研究的发展。
2.正文2.1 自然数集的定义自然数集是最基本的数学概念之一，它是用来描述自然现象和计数的集合。
自然数集通常用符号N来表示，其中包括0、1、2、3、4……，一直延伸到无穷大。
在数学中，自然数集是非负整数的集合，它是整数集的一个子集。
自然数集的定义可以用归纳法来描述，按照以下步骤来定义自然数集N：1. 0属于自然数集，即0是自然数。
正确认识工数表(生产名词)讲解
2、再如某几种转子组自动装整流子工位产能在2.67s，其他工位都在2.30s以下， 但是整流子也可以进行人工插入，那么在人员、产量上可以这样安排：节拍以 2.3s为主，多加0.5/1人来进行整流子手工装入，填补自动设备的短缺时间。这样 多加1或是0.5人产量却可以提升2000多
5）编成效率
作成：王雷雷
6.19
3
5.97 6.27 5.46 7.46 6.95
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数据区 3.16 3.37
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3.45 1.95 5.79
4.21 2.21 6.23
(2)累积测时法
用电子式秒表本身具有每次按停，则显示当时时间。再按则累计走时的功能。利用这一功能记录作业单 元的时间及工序时间，为累计测时法。
(3)周程测时法 即采用每次去掉一个单元的办法来测量。适用于单元较小及周程较短的作业，此法计算稍麻烦。
(4)连续测时法
当第一单元开始时，按动秒表，在整个过程不使秒表指针归零，任其继续走动。仅当每一单元完毕时， 看指针并记录时间。待全部记录完毕，再将两相邻单元的表面读数时间相减，以求得每单元的时间。
产量（P）
例：A5线每日稼动10.5小时，完成产量15000台，生产线的工序加 工不良率为8%，其生产节拍为：
10.5H×3600 S 15000 P
×95% ×（1-8%）= 2.20 S
也就是说如果我们每人如果用2.20s能生产出1台产品那么我们一天就可 以生产出15000台产品。
让数字说话读后感
让数字说话读后感《让数字说话》是一本非常有意义的书，它以数字的视角讲述了很多我们不曾了解的故事。
通过数字的语言，我们看到了世界的另一面，感受到了数字背后的故事和情感。
读完这本书，我深受启发，对数字有了全新的认识。
首先，书中讲述了数字的历史和发展。
从古代的算筹算盘，到现代的计算机和互联网，数字一直在不断地演变和发展。
它们不仅仅是冰冷的符号，更是人类文明的产物。
通过数字，我们可以了解到人类社会的发展历程，以及科学技术的进步。
数字是人类智慧的结晶，它们记录着人类的历史和文化，传承着人类的智慧和技术。
其次，书中还讲述了数字在各个领域的应用。
从自然科学到社会科学，从经济学到医学，数字都扮演着重要的角色。
它们帮助科学家们进行数据分析和实验，帮助经济学家们进行市场预测和风险评估，帮助医生们进行疾病诊断和治疗。
数字的应用无处不在，它们改变着我们的生活和工作方式，让我们的世界变得更加便利和高效。
最后，书中还讲述了数字的未来。
随着人工智能和大数据技术的发展，数字将会扮演更加重要的角色。
它们将会帮助人类解决更加复杂的问题，推动人类社会迈向更加先进和智能的时代。
数字的未来是无限的，它们将会给我们带来更多的惊喜和改变。
通过阅读《让数字说话》，我对数字有了更深刻的理解。
数字不仅仅是一种工具，更是一种语言，一种文化，一种生活方式。
它们承载着人类的智慧和情感，记录着人类的历史和文化。
数字的世界是丰富多彩的，它们值得我们去深入探索和了解。
总的来说，这本书给我留下了深刻的印象。
它让我重新认识了数字，让我看到了数字的魅力和力量。
我相信，在数字的世界里，我们将会有更多的发现和惊喜，我们将会创造出更加美好的未来。
让我们一起走进数字的世界，感受数字的魅力，创造属于我们自己的奇迹！。
小学数学2022版新课标的心得体会(12篇)
小学数学2022版新课标的心得体会（精选12篇）当我们积累了新的体会时，就十分有必须要写一篇心得体会，这样可以记录我们的思想活动。
那么问题来了，应该如何写心得体会呢？下面是小编整理的小学数学2022版新课标的心得体会（精选6篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
小学数学版新课标的心得体会14月21日，2022版义务教育数学课程标准正式颁布。
标准的主要内容分为课程性质、课程理念、课程目标、课程内容、学业质量、课程实施和附录七部分。
本文主要摘录前三部分课程性质、课程理念、课程目标的重点内容和读后的一点感受。
一、课程性质这部分内容主要回答了两个问题：(1)数学是什么？(2)数学有什么用？对于数学是什么，《课标》开始就给了概括性的定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
这部分内容不长，我直接贴在下面，值得大家仔细读一读。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。
数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。
数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。
数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着越来越重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面，直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展。
随着大数据分析、人工智能的发展，数学研究与应用领域不断拓展。
数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。
数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。
数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能。
义务教育数学课程具有基础性、普及性和发展性。
学生通过数学课程的学习，掌握适应现代生活及进一步学习必备的基础知识和基本技能、基本思想和基本活动经验；激发学习数学的兴趣，养成独立思考的习惯和合作交流的意愿；发展实践能力和创新精神，形成和发展核心素养，增强社会责任感，树立正确的世界观、人生观、价值观。
大数据认识报告
大数据认识报告近年来，随着科技的不断发展和应用的广泛普及，大数据已经成为了我们生活中不可或缺的一部分。
大数据指的是规模庞大、多种数据源和数据类型的集合，通过对这些数据的分析和挖掘，我们能够从中获取有价值的信息。
本报告将从定义、特点、应用和发展趋势四个方面，对大数据进行认识和探讨。
一、定义大数据，顾名思义，就是指数据量非常大的数据集合。
它包括了结构化数据和非结构化数据，可以来自不同的数据源，如社交媒体、云计算、物联网等。
这些数据通常以高速、多样和大容量三个特点来描述，其中高速指的是数据产生和流动的速度很快，多样指的是数据的类型多样化，大容量自然就是指数据量非常大。
二、特点大数据具有以下几个显著特点：第一，数据量庞大。
随着科技的发展，我们每天都会产生大量的数据，仅中国互联网用户一天产生的数据就非常庞大。
第二，数据来源多样。
大数据可以来自各种数据源，如社交媒体、传感器、网络日志等。
第三，数据类型复杂。
大数据不仅包括结构化数据，还包括非结构化数据，如文本、图像、音频等。
第四，数据流动速度快。
随着信息时代的到来，数据的产生和传输速度越来越快，这也使得对数据的处理和分析提出了更高的要求。
最后，数据价值潜力大。
通过对大数据的深入挖掘和分析，我们可以从中获得有价值的信息，为决策提供依据。
三、应用大数据广泛应用于各个领域，如商业、金融、医疗、交通等。
在商业领域，大数据分析可以帮助企业进行市场调研、产品推广等业务活动，从而提升企业竞争力。
在金融领域，大数据可以被用来进行风险评估、欺诈检测等工作，提高金融交易的效率和安全性。
在医疗领域，大数据分析可以帮助医生进行疾病预测和诊断，提供更准确的医疗方案。
在交通领域，大数据可以用来进行交通流量预测和路况优化，提高交通系统的效率。
四、发展趋势随着大数据技术的不断发展，我们可以看到以下几个大数据的发展趋势。
首先，数据获取的途径更加多样化。
除了传统的数据采集方式，如用户填写问卷，近年来，通过智能设备和传感器等手段，我们可以获取更多的数据。
主要是指对于数与数量,数量关系及运算结果的直观感悟
数与数量，在人类社会发展的历史进程中起着举足轻重的作用。
从最原始的计算方式到现代科技发展，数与数量一直伴随着人类文明的演进。
在我们的日常生活中，数与数量扮演着至关重要的角色，无论是在商业活动、科学研究、还是生活中的日常计算都离不开数与数量的运用。
在这些方面，我对数与数量的直观感悟如下：一、数与数量的意义数，是抽象的概念，是用来计量、计数的符号。
数量，是具体的实际存在，是可以被数的事物或现象的集合。
数与数量的关系，就好比是理论与实践的关系，一个是概念，一个是具体存在，两者相辅相成、共同构成了我们对世界的认知。
二、数量关系的运用在日常生活中，我们经常面对各种数量关系的运用，比如在购物时计算价格是否划算、在工作中统计数据分析趋势、在生活中衡量物质的大小等等。
数量关系的运用能够帮助我们更好地认识世界、分析问题、解决困难。
三、数量关系的直观感悟通过对数与数量的认识和运用，我深刻地认识到了它们的重要性。
在日常生活中，数量关系的运用不仅帮助我更好地理解世界，同时也提高了我的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在工作和学习中，我能更加敏锐地捕捉到数量关系的变化和趋势，更快地做出反应和决策。
在与他人交流和合作中，运用数量关系的能力也让我更有说服力和影响力。
数与数量在我们的生活中扮演着至关重要的角色，它们是认知世界、解决问题、促进发展的重要工具。
通过对数与数量的深入理解和运用，我相信我可以在工作和生活中取得更好的成绩，并且为他人带来更多的帮助和影响。
希望我的直观感悟也能够启发更多的人，引起对数与数量的重视和研究，共同推动社会的发展和进步。
数学是一门抽象而美妙的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种世界观和思维方式。
它通过对数与数量的研究和运用，不断地推动着人类社会的发展进步。
数学的应用涵盖了几乎所有的领域，从自然科学到社会科学，从医学到工程学，都离不开数学的支持。
数学在科学研究中扮演着不可替代的角色。
在物理学中，数学通过建立丰富的数学模型，帮助科学家们理解自然界的规律，预测未知的现象。
数的认识：整数和小数
)
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23
填空
1、用简便记法写出下面各数。
3.28585…记作:(
) 0.02929… 记作（ ）
1.2032032…记作（ ）1.203535 …记作（ ）
2、写出. 下面各循环小数的近似值（保留三位小数）
0.54 ≈ （ ） 1.66 … ≈ （ ）
3、在 ○ 里填上“＜”、“＞”或“＝”。
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29
• 判断。 • （1）2.22是循环小数。
（ ×）
• （2）因为0.3=0.30，所以0.3和0.30的计数单位相同。
× （ ）
× • （3）0不是自然数。
（）
× • 在小数里添上零或去掉零小数的大小不变（ ）
× • 整数都比小数大（
）
× • 小数的位数越多小数越大（ ）
× • 自然数是整数，整数也是自然数（ ）
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5.整数大小的比较
比较两个多位数的大小,首先看它们 位数的多少,位数较多的数较大;
如果两个数的位数相同,那么首先 看最高位,最高位上的数较大的,这个数 就大;
如果最高位相同,则左边第二位上 的数较大的,这个数就大……
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6.小数
把整数“1”平均分成10份,100份……这样的一 份或几份分别是十分之几,百分之几……可以用
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填空。
7、最小的自然数是（ 0 ），最小的一位数是（ 0
8、把637000000改写成用“亿”作单位的数是（6.37亿
省略“亿”后面的尾数是6（亿
）。
）。 ），
9、7.85中7表示（七个一），8表示（八个十分之一），5表示
（五个百分之一）。
丘成桐对于数学的见解
丘成桐对于数学的见解尽管现在我们已经进入了数字时代，但是数学并不仅仅是一种工具或是一种计算方法。
丘成桐，作为一位数学家，深深地认识到了这一点。
他对数学的热爱和理解，从他的演讲和著作中得以体现。
对于数学本质的理解在丘成桐看来，数学是一种思维方式，一种逻辑推理的艺术。
数学中最重要的并不是结果本身，而是我们所获得的思维方式和解决问题的方法。
他认为，人们不应该只注重解答问题的答案，而是应该更加注重我们从中所获得的过程。
丘成桐将数学比作一座宝库，它蕴含着无限的智慧和灵感，这也是他一直鼓励年轻人学习数学的原因。
他希望人们从数学的学习中获得无穷的启发和智慧，进而不断开拓人类的思维界限。
对于数学和科学的关系丘成桐在他的演讲中强调，数学和科学的关系是十分密切的。
科学是通过观察和实验来探究世界的本质，而数学则是用精确的数字和逻辑来解释和描述这个世界。
数学的发展也推动着自然科学的发展。
丘成桐在他的著作中提到了“数学与现代科学之间的相互渗透”，他认为这种相互渗透已经到了前所未有的程度。
数学成为了科学领域的基础之一，而科学则为数学的发展提供了无数的应用场景。
丘成桐鼓励大家在学习数学的同时，也应该学习和掌握一些科学知识，以便将数学应用在实际生活中。
对于数学精神的体现数学精神是指数学家们在研究数学时表现出来的一种精神状态，主要包括思辨、创新、开拓、严谨等方面。
丘成桐认为，数学精神的体现是数学研究中最重要的部分。
数学家在探究数学的时候，面对着无数的未知数和难题，在解决它们的过程中，需要思考、探索，甚至是推翻曾有的理论。
这种对于未知的探索精神，为数学家们的创新和发现提供了动力。
在丘成桐看来，这种精神是数学家们的精髓所在，在学习数学也应该注重培养和实践这种精神。
对于数学未来的畅想丘成桐认为，数学在未来会有无限的发展空间。
随着人工智能、大数据和物联网等新技术的出现，数学的应用场景将变得更加广泛。
同时，数学的理论研究也会不断超越人类的认知限制。
五下数知识点总结
五下数知识点总结
一、整数的认识
1、自然数、零和负整数统称为整数。
2、正整数、零和负整数在数轴上的位置。
3、整数的大小比较。
4、整数的运算：加法、减法、乘法、除法。
5、整数的应用。
二、分数的认识
1、分数的概念。
2、分数的表示法。
3、分数在数轴上的位置。
4、分数的大小比较。
5、分数的加法和减法。
6、分数的乘法和除法。
7、分数的应用。
三、小数的认识
1、小数的概念。
2、小数的表示法。
3、小数点的意义。
4、小数的大小比较。
5、小数的加法和减法。
6、小数的乘法和除法。
7、小数的应用。
四、有关图形的认识
1、直线段、封闭曲线和曲线。
2、平行线、相交线、垂直线的关系。
3、三角形、四边形的性质。
4、尺规作图。
5、有关测量的知识。
6、图形的应用。
五、统计与概率的认识
1、统计的基本概念。
2、图形统计。
3、概率的基本概念。
4、简单的概率计算。
以上是五下数学的知识点总结，具体详细内容请参考教科书。
哥德尔定理简介
哥德尔定理简介哥德尔定理是数理逻辑中的一个定理，1931年奥地利逻辑、数学家克尔特.哥德尔(Kurt Godel)发现并证明的，这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。
为理解这个定理及其意义，需要相当的数理逻辑和集合论知识。
要把这些预备知识都在这里整理出来，工作太繁重了，这也就是我一直没敢动手写这篇东西的原因之一。
这里仍然也不打算详细介绍这些东西，只是在必要的时候给些简单的说明，要想更深刻地理解，有兴趣的朋友可以自学相关课程。
哥德尔定理其实是两个定理，其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的，从这一定理的版本众多就可以看出。
如：“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。
”“任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。
”“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”第二不完备性定理是第一定理的一个推论：“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”如果没有相关的知识基础，要理解这个定理真的是比较难。
至于证明就更不容易看懂了。
我偷点懒，跳过这些直接介绍其意义吧。
哥德尔定理是一阶逻辑的定理，在形式逻辑中，数学命题及其证明都是用一种符号语言描述的，在这里我们可以机械地检查每个证明的合法性，于是便可以从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。
上世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义派，希望能通过形式逻辑的方法，构造一个有关数论（自然数）的有限的公理集合，推出所有数论原理（完备性），且无矛盾（相容性），并以此出发构造整个形式主义的数学体系。
而哥德尔第一不完备定理，粉碎了这一设想。
这两个定理实际上表明，这样的公理系统要么不完备，要么有矛盾。
数论的相容性为根茨（G.Gentaen，1909-1945）在1936年使用蕴涵着非演绎逻辑的超限归纳法所证明。
因而，该定理揭示在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。
从3+x中的3谈起——试论数学语言教学的三对关系
１ ・ ６
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ２ 期
从３ ＋ｘ 中的 ３谈起
— —
试论 数 学语 言教 学 的 三对 关 系
周 长 军 （ 德宏教育学院 ６８０） 云南 ７４０
问题．
３ ＋Ｘ 考试 的形 式 ， 中 的 ３是 指 语 文 、 其 数 学 和 外语 ． 细究 其 共性 在 于 它们 都 属 工具 学 科 外， 还在 于它 们都 具有语 言 交流 的共性 ． 数学 作 为语言 的意 义却 由于数 学为 人们认 知 与应用 的 不 同程度 ， 对将 其 归类 于语 言也 就 存 在认 识 与 重 视程度 上 的差异 ． 现 实 的 中学 数 学教 学 实 践 中 ， 们 不 难 发 我 现， 学生 中不 同程 度地 学着 高 中的 内容 ， 了初 忘 中的知识 ， 了后 面 的 ， 忘 了前 面 的 ， 学 基 学 又 数 本 内容 的识 记 的建 构成 了广 大 中学生 发展数 学 思 维 的障碍 ， 而这 一现 象又 带有相 当的普 遍 性． 追 溯 这一 现 象 的根 源 ， 方 面在 于与 自然语 言 一 相 比较 数学 语言 的特 点决定 了数 学语 言 的理解 和识 记有 相 当的难 度 ； 一 方 面在 于教 师对 数 另 学 语 言教学 的重视 程度 及讲 授方 式．
同音 异义 词 （ 多值性 ） ３ （ ）扩 展表 达 的可能性 ． ” 无论 如何 ， 自然语 言相 比较 ， 与 数学 语言是 表达 数学 思 想 的 专 门语 言 ， 有 抽 象 性 、 确 具 准 性、 简约性 和形 式化 等特 点却 是人 们所公 认 的 ， 亦 即数学 的语 言性 是客观 存在 的． 体 而言 ， 具 如 果说 数学 是一 门语 言 （ 以代 数 为例 ） 则 数 字 和 ， 字母 就是 这种 语 言 的 “ 母 ” 表达 式 就 是 这 种 字 ， 语 言的“ ” 关 系式 如等 式 、 等式 就是 这种语 词 ， 不 言 的“ 子” 既 然是 语 言 ， 会有 相 应 的语 法 ， 句 ． 就 代 数 的语 法 就是 各 种符 号演 算 的法 则 和 规定 ． 只有 学 习 、 悉 、 熟 掌握 代 数 这 种 语 言 的语 法 ， 才 能用代 数 这种语 言 进行推 理 、 计算 、 交流 和解决
人教版一年级数学详解认识数的数学与科学技术的关系
人教版一年级数学详解认识数的数学与科学技术的关系一、数学与科学技术的关系数学作为一门科学，与科学技术有着密切的关系。
在人教版一年级数学教材中，我们可以深入认识数的概念，并探讨数学与科学技术之间的关系。
第一部分：数的概念在学习数学的过程中，首先要认识数的概念。
数是用来计数和度量的工具，是人们对事物数量关系的抽象表达。
1. 自然数的认识在人教版一年级数学教材中，我们从最基础的自然数开始认识数。
自然数是指从1开始的无限大的整数序列。
通过学习自然数，孩子们可以更好地理解数的大小关系，以及进行简单的计数和运算。
2. 熟悉整数和分数在数学的发展中，整数和分数的概念也起到了重要的作用。
整数包括正整数、负整数和零，可以用来表示正负关系或表示欠债、负债等概念。
而分数则是表示一个整体被平均分割后的部分，可以用来描述物体的比例关系。
第二部分：数学与科学技术的应用数学不仅仅是一门学科，还是科学技术发展的基础。
在人教版一年级数学教材中，我们将体验到数学在科学技术中的应用。
1. 数学在计算机科学中的应用计算机科学是依赖于数学理论的一门科学，而数学为计算机科学提供了强大的支持。
例如，计算机程序的编写中需要运用到数学中的逻辑关系、算法和数据结构等知识。
同时，数学还可以帮助计算机科学家研究和解决各种复杂的问题。
2. 数学在物理学中的应用物理学是研究物质的本质与运动规律的一门科学，而数学则是物理学研究的重要工具。
物理学中的各种运动定律、力学公式、波动方程等都需要通过数学模型进行描述和计算。
数学为物理学提供了精确的推导和预测能力，使科学家们能够更好地理解和探索自然界的规律。
3. 数学在经济学中的应用经济学是研究人类经济活动和资源配置的一门学科，而数学则在经济学的分析中扮演了重要角色。
经济学家可以通过数学模型来描述市场供求关系、均衡价格等经济现象。
同时，数学的运算和统计方法也使得经济学家能够更好地进行经济数据的分析和预测。
第三部分：数学与科学技术的发展数学与科学技术的关系是相辅相成的，它们的相互促进推动了人类社会的进步和发展。
数学的了解和认识
数学的了解和认识数学的了解和认识艾萨克·牛顿曾经说过：“我可以看得比别人更远，因为我站在巨人的肩膀上。
”正如他所言，数学是一个庞大的体系，历史上有许多杰出的数学家为这个领域的发展做出了巨大的贡献。
对于我们每一个人而言，了解数学的基础知识，认识其在生活中的应用，不仅有助于提高我们的思维能力和解决问题的能力，还可以帮助我们更好地理解这个世界。
基础知识篇数学基础知识的学习和掌握是我们进行高深数学理论研究和实践应用的前提。
数学的基本概念、术语及基本运算是我们学习数学的第一步。
在数学中，最基础的数学概念是数。
数的种类有很多，其中最基础的是自然数，自然数是指从1开始的正整数，如1、2、3、4等等。
而对于负数、分数、小数、整数等等都具有其特殊的性质。
在数学基础中，还涉及到如加减乘除运算、分数化简、解方程等等。
这些基础知识如果没有掌握好，一旦碰到问题就会束手无策。
应用篇数学在生活中扮演着重要的角色，我们可以从生活中发现，数学是用于解决各种问题和计算的一种工具。
对于商人们而言，数学可以帮助计算成本和利润。
在交通领域，运用数学可以制定最佳路线和行驶速度，从而提高交通效率。
在金融领域，人们需要用到数学来计算投资方案、利率、股票市场波动等等。
当然，在现代科技领域，数学的应用更是广泛，如在计算机科学中，数学为软件开发、数据分析、密码学等提供基础。
创新篇在数学领域，越来越多的人通过数学问题、问题的解决、理论公式的推导等等方面，提出了许多独特的数学理论和算法，这些不仅使我们了解到了数学的无穷魅力，同时也在我们眼前展示了数学在未来的无穷潜力。
在数学创新的领域，人们可以通过对数学理论的创新，推动科学技术进步，加快社会的进步和发展。
比如，在大数据时代，人们可以应用更高级的数学算法来进行数据建模、分类和优化，从而更好地应用到现实数据中。
同时，在人工智能领域，数学更是发挥着无可比拟的重要作用，其中数学的优化方法和学习算法都是不可或缺的一部分。
自然数发展历程
自然数发展历程自然数是人类社会发展过程中最早产生的数，是最基本的数。
自然数的发展可以追溯到人类始祖。
在原始社会，人们运用自然数进行简单的计数，如狩猎所得的猎物数量、家畜的头数等。
那时的自然数只是一种简单的表示工具，用来描述或记录某种对象的个数。
随着人类社会的进化，人们对自然界和社会发展的认识逐渐加深，需要更复杂的数进行计量和描述。
于是，人们开始使用自然数进行简单的计算和运算。
最早的数学运算可以在古代埃及的建筑和修建金字塔的过程中得到体现。
埃及人运用自然数进行面积计算、圆周长计算等。
古代巴比伦人则更加深入地研究了自然数。
他们发现了自然数的性质，如素数和完全数，并用表格的形式将这些数分类并记录下来。
巴比伦人还研究了自然数的运算规律，总结出了乘法和除法的原则。
这些成果在后来的数学研究中起到了重要的推动作用。
在古希腊，自然数开始成为一门独立的学科——数论。
数论主要研究自然数的性质和规律，并且提出了许多有关自然数的假设。
例如，哥德巴赫猜想认为任意大于2的偶数都可以分解为两个素数的和。
而费马大定理则声称不存大于2的自然数a、b、c使得a的n次方＋b的n次方＝c的n次方成立。
这些假设激发了许多数学家的兴趣，推动了数论的发展。
到了近代，数论又得到了更深入的研究。
数论与代数和几何的关系逐渐明确，数学家们开始发现自然数的内在规律和普遍特点。
尤其是庞加莱证明了数论能够描述和解释代数和几何中的许多现象，从而使数论成为一个重要而独立的数学分支。
到了20世纪，随着计算机的发展和数学理论的深入研究，自然数的性质和规律被更加深入地探索和发现。
计算机科学家们利用强大的计算能力，验证了许多数论的假设和猜想，使数论成为一个更加完善和强大的数学分支。
如今，自然数的研究仍在不断深入和扩展。
随着人工智能的发展，自然数的运算和推理能力得到了进一步提升，促进了数学的发展。
同时，自然数在现代生活中的应用也越来越广泛，如通信、密码学、密码破译等领域。
u 儿法 数学-概述说明以及解释
u 儿法数学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学，作为一门严谨而又智慧的学科，自古以来一直扮演着重要的角色。
它不仅是科学发展的基石，也是人类思维的重要工具。
数学的广泛应用和深远影响使得它成为了现代社会不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我们将探讨数学的起源与发展，数学在现实生活中的应用，以及数学的重要性和普及性。
通过对这些方面的探究，我们将能够更好地认识数学的价值和必要性，并展望数学的未来。
首先，我们将回顾数学的起源与发展。
数学可以追溯到古代文明，最早的数学发展可以追溯到古埃及、古巴比伦等古代文明。
随着时间的推移，数学逐渐发展为一门独立的学科，并在古希腊时期达到了巅峰。
从欧几里得的几何学到阿基米德的数学原理，这些古代数学成就为后世的数学家提供了宝贵的经验和启发。
而随着现代科学的迅速发展，数学在逻辑、代数、分析等领域取得了巨大的突破，奠定了现代数学的基础。
其次，数学在现实生活中的应用不可忽视。
数学在科学研究、工程设计、金融投资等各个领域都发挥着重要的作用。
在科学研究中，数学是理论推导和数据分析的重要工具，可以帮助科学家们理解自然现象并提出新的假设。
在工程设计中，数学可以提供精确的计算和模拟，帮助工程师们预测和解决问题。
在金融投资领域，数学模型和算法能够帮助投资者做出理性的决策和分析市场走势。
无论是在自然科学、工程技术还是经济金融领域，数学都是一把利剑。
最后，我们要强调数学的重要性和普及性。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式。
通过学习数学，我们可以培养逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力。
数学训练了我们的思维灵活性和抽象思维能力，这对于我们在面对复杂问题时的决策和创新至关重要。
此外，数学是智慧的体现，在解决实际问题时，我们可以通过运用数学的知识和方法，得出更加准确和可靠的结论。
综上所述，数学作为一门科学，具有广泛的应用领域和深远的影响力。
通过研究数学的起源与发展，数学在现实生活中的应用，以及数学的重要性和普及性，我们将能够更好地认识数学的价值和必要性。
数字生命的本质和意义
数字生命的本质和意义【内容提要】数字生命是用计算机媒介来创造的新的生命形式，是具有自然生命特征或行为的人工系统。
数字生命研究是指那些以计算机为媒介，以计算机程序为生命个体的人工生命研究。
数字生命遵循着遗传和进化的规律，从而为深入考察生物的进化现象和复杂生命系统的研究提供了一个实验手段。
数字生命研究为我们深入探讨生命的本质提供了新的思路。
这种研究可以为自然生命生长发育和进化规律的研究提供计算机模型和网络支持环境。
利用这种研究方法，探索人类生殖、遗传、进化的机制，有助于人类的计划生育、优生优育的研究和实施，进而有助于解决物种爆炸、人口爆炸、环境污染等一系列现实问题。
关键词】人工生命/数字生命/数字生命的本质20世纪80年代以来，国际上兴起了一股用非生物媒介创造新的生命形式的研究热潮。
这种新的生命形式就是所谓“人工生命”(artificial life)。
对人工生命概念和人工生命其他问题的探讨逐渐形成了一个独立的研究领域。
这一研究领域的兴起，引出了有关人工智能、生命科学、认知科学、计算机科学、哲学以及伦理学等方面的许多新问题。
这些问题是：人工生命如何定义？人工生命与人工智能的关系如何？人工生命研究包括哪些研究领域？什么是数字生命？数字生命的本质是什么？数字生命研究有何意义？如此等等。
以下我们将对人工生命的一个主要研究领域——数字生命的本质及其发展进行分析，以揭示其理论意义和实际意义。
数字生命的本质是什么呢？数字生命就是人造的生命，而不是由碳水化合物有机形成的自然生命。
它是具有自然生命特征或行为的人工系统。
数字生命研究是用非生物的计算机媒介来创造新的生命形式，是不是把自然界的生命分解成各个单元。
它采用的是一种合成的方法而不是还原的方法。
数字生命的开拓者把地球上的生命仅仅看作是具有特定载体的特定生命形式。
他们认为完全可以用别的物质（例如计算机）作为载体来构造新的生命形式，赋予其生命的特征，使其具有进化、遗传、生殖等功能。
数学奇遇记读后感
数学奇遇记读后感作为普通读者，本人在偶然的情况下看到了一本名为《数学奇遇记》的书籍。
不禁对这本书籍产生了浓厚的兴趣，因此阅读了这本书籍。
在阅读的过程中，个人获得了深刻的体验和感受，对这本书籍的重要性也有了更深层次的认识。
《数学奇遇记》是一本介绍数学的书籍，诠释现代数学理论和应用，寓教于乐、豁然开朗。
这本书籍的第一章从数学发展的历史入手，通过充满艺术和哲学性的描述将数学的奇妙之处展示给了读者。
第二章和第三章分别阐释了常见的几何和代数运算，读者可以循序渐进地学习到数学的基础概念。
第四章介绍了曲线、方程、向量、矩阵和群等数学概念，简述了它们在数学的各个领域中的应用。
第五、六、七章则包括了数学分析、拓扑和微积分的内容，贴近生活，让读者对数学的应用有一个更全面的认知，同时又增强了数学知识的完整性和逻辑性。
个人在阅读这本书的过程中，感受到数学在生活中的应用之广泛，更加深切地感受到数学与自然科学之间的密不可分，也体会到数学在人类文明历史中的重要地位。
这种体验令人难以言表，这本书籍给予我的不仅仅是关于数学知识的学习和掌握，更是提高了我对世界认识、思维方式和创新思考的能力。
重要的是，这本书籍为读者描绘了数学的一面，让读者看到数学不仅仅是基本的运算，而是一个强大的思维工具，是人们创造、发现、探索科学的基石和途径。
数学是科学探索和创新的理论体系，同时也是人类智慧和文化的精髓。
随着时代的发展和社会需求的不断扩大，数学应用领域实现了快速拓展，数学越来越多地关系到人们的生产和生活，成为人们认识世界、改变世界的重要工具。
在今天的世界中，数学已经渗透到了各行各业，是推动高新科技发展和人类文明进步的基础。
除此之外，书中还有一些创新的思考方式和观点。
例如，在书的最后一篇章中，作者提出了未来数学的某些发展趋势和可能的突破口。
其中一个重要的趋势是机器学习与数学融合，将数学与统计和计算机科学结合起来，发展能够实现自主学习、自我进化和自我创新的机器学习算法，为人工智能的发展提供了重要的支持和基础。
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我对自然数和人工数的认识我对自然数和人工数的认识，主要是基于对伽莫夫所著的《从一到无穷大》中自然数和人工数这一章的些许感想。
这一部分主要是对数论的简单介绍，其自然数指的是本身就有的数，例如质数，奇数等等；而人工数是指原来没有的数，数学家们为了解释或解决一些问题而创造出来的新数，例如虚数等。
本篇论文就是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介绍质数，整数和虚数的发展既有趣的故事，因为在某种程度上，他们就是自然数和人工数的代表。
迄今为止，数学还有一个大分支没有找到与其他学科相关联的用处，这就是所谓的“数论”，它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。
首先，我们来探讨质数的问题。
所谓质数，就是不能用两个或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。
而12可以写成2×2×3，所以就不是质数。
那质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。
他是根据反证法：假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用N表示。
现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1。
这写成数学式是：（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。
这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。
但是，十分明显，这个数是不能被到 N 为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。
因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比N还大的质数整除。
而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。
既然知道质数的数目是无限的，那是否有求质数的公式呢？这个问题至今没有解决。
我想正是因为这是数论问题，过于纯粹，所以证明起来需要极为严格，所以也就很难证明。
数论中一个极其富于挑战性的猜想是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。
这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。
尽管有很多人去证明，但最多也只是将他们的结果逼近这个定理，而从来没有一个直接的证明。
1931年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。
他证明了，每个偶数都能表示为不多于300000个质数之和。
“300000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。
他把史尼雷尔曼那个结论改成了“4 个质数之和”。
但是，从维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后的两步大概是最难走的。
并且，在给定的范围质数所能占的百分比有多大，这个有关质数平均分布的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一，就是：从1到任何自然数N之间所含质数的百分比，近似由N的自然对数的倒数所表示。
N越大，这个规律就越精确。
哥德巴赫猜想是数学王冠上的明珠，证明它犹如一艘小船在数论的海洋里航行，无依无靠，你只能通过数与数之间的关系纯粹的推导出，而没有其他能够建模的方法，因为有时候建模可以使问题形象化，通过一个实际问题的载体得出结论，而它不行。
现在我们从质数的讨论拓展开来，有质数延伸到整数，同样的，这也属于自然数范围内的讨论。
既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。
要研究这个问题，先要回溯到古埃及。
古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长之比为3:4:5的三角形中，必定有一个角是直角。
现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。
古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。
公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3和4这两个整数？他证明了还有其他具有同样性质的整数（实际上有无穷多组），并给出了求这些数的一些规则。
这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。
简单说来，求这种三角形的三边就是解方程x^2+y^2=z^2，x，y，z必须是整数。
1621年，费马在巴黎买了一本刁番图所著《算术学》的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。
当费马读这本书的时候，他在书上空白处作一些简短的笔记，并且指出，x^2+y^2=z^2有无穷多组整数解，而形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时，永远没有整数解。
他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。
”费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番图的那本书，里面的笔记也公诸于世了。
那是在三个世纪以前。
从那个时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。
当然，在这方面已有了相当大的发展，一门全新的数学分支——“理想数论”——在这个过程中创建起来了。
欧拉证明了，方程x^3+y^3=z^3和x^4+y^4=z^4不可能有整数解。
狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了，x^5+y^5=z^5也是这样。
依靠其他一些数学家的共同努力，现在已经证明，在n小于269的情况下，费马的这个方程都没有整数解。
不过，对指数n在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。
人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。
这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。
不过，这个幂次一定要在比269大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。
这是我们将质数扩大到整数范围的讨论，从费马大定理这个具体的例子可以看出，数论在证明上极其困难。
像费马大定理这样的需要一般性结论从而严格论证的这是让人无从下手。
在进行了对质数整数这些自然数的讨论后，我们来讨论虚数的特点。
虚数作为一个本身不存在的数，其在数学中所扮演的角色也越来越重要，这样的人工数也越来越实用。
二二得四，三三见九，四四一十六，五五二十五，因此，四的算术平方根为二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。
然而，负数的平方根是什么样呢？-5和-1之类的表式有什么意义吗？如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论，说明这样的式子没有任何意义，这里可以引用12世纪的一位数学家拜斯迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。
因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。
负数没有平方根，因为负数并不是平方数。
”第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。
在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的乘积等于40时，他指出，尽管这个问题没有任何有理解，然而，如果把答案写成5+√-15和5-√-15这样两个怪模怪样的表式，就可以满足要求了。
尽管卡尔丹认为这两个表式没有意义，是虚构的、想像的，但是他毕竟还是把它们写下来了。
既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根——卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”——就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。
在著名瑞士科学家欧拉（Euler）1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。
然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切形如√-1，√-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，因为它们所表示的是负数的平方根。
对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。
它们纯属虚幻。
”但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数的根式中无法避免的东西。
没有它们，简直可以说寸步难行。
不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻像。
而且，正像我们从基数1可得到所有实数一样，我们可以把√-1作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。
√-1通常写作i。
不难看出，√-9=√9*√-1=3i, √-7=√7*√-1=2.646……i，等等。
这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭挡。
此外，实数和虚数还能结合起来，形成单一的表式，例如5 +√-15=5+√15i。
这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表式通常称复数。
虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。
直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释以后，这张面纱才被揭去。
这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚（Robot Argand），法国巴黎人。
按照他们的解释，一个复数，例如 3＋4i，其中3是水平方向的坐标，4是垂直方向的坐标。
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点；而纯虚数则对应于纵轴上的点。
当我们把位于横轴上的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数3i。
因此，一个数乘以i，在几何上相当于逆时针旋转90°。
如果把3i再乘以i，则又须再逆转90°，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了，因为i^2=-1。
“i的平方等于-1”这个说法比“两次旋转90°（都逆时针进行）便变成反向”更容易理解。
这个规则同样适用于复数把3＋4i乘以i，得到（3+4i）i=3i+4i^2=3i-4=-4+3i。
可立即看出，-4+3i正好相当于3+4i这个点绕原点逆时针旋转了90°。
同样的道理，一个数乘上－i就是它绕原点顺时针旋转90°。
依靠-1的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。
由此可见，虚数虽然是人工数，但人们就是利用这个，为解决其他问题而创造出来的数发现和证明了许多，可见虚数的发明和使用，是对数论的极大的补充和拓展。