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【考点：反比例函数综合与相似三角形基础模型】数学半月测：详解版

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反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)(解析版)-初中数学

反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)(解析版)-初中数学

反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)考点归纳【模型1：定值矩形与定值三角形】【模型2：平行线之间的定值三角形】【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【模型4：“喇叭三角形”】【模型5：中点模型】【模型6：比例模型】【模型7：相等模型】考点精讲【模型1：定值矩形与定值三角形】【方法点拨】1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是()A.12B.9C.6D.3【答案】C【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S =k ，据此解答即可．【详解】解：∵点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，∴矩形AOBP 的面积=6 =6．故选：C ．2.如图，点A 是反比例函数y =-4x <0 的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为()A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，再根据反比例函数y =kxk ≠0 系数k 的几何意义得到S 矩形AHOD =-4 =4，所以有S 平行四边形ABCD =4．【详解】解：作AH ⊥OB 于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥OB ，∴S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，∵点A 是反比例函数y =-4xx <0 的图象上的一点，∴S 矩形AHOD =-4 =4，∴S 平行四边形ABCD =4．故选：B ．3.如图，A 、B 是反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，若正方形OCAD 的面积为6，则矩形OEBF 的面积为．【答案】6【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数k 的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积S 的关系即S =k ，进行解答即可．【详解】解：∵S 正方形OCAD =OD ⋅OC =x A ⋅y A =k =6，∴S 长方形OCAD =OE ⋅OF =x B ⋅y B =k =6．故答案为：6．4.如图是反比例函数y =-4x在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA 的面积为．【答案】4【分析】根据矩形的面积公式S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：设点B a ,b ，∵四边形BCOA 是矩形，∴AB =a ，BC =b ，∴S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，∵点B 在反比例函数y =-4x在图象上，∴a ⋅b =-4，∴a ⋅b =4，∴S 矩形BCOA =ab =4；故答案为4．【模型2：平行线之间的定值三角形】【方法点拨】5.如图，是反比例函数y =5x 和y =-9x在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，则△AOB 的面积是()A.7B.14C.18D.28【答案】A【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．【详解】解：∵x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ．B ，∴AB ⊥y 轴，∵点A 、B 在反比例函数y =5x 和y =-9x 的x 轴上方的图象上，∴S △AOB =S △COB +S △AOC =12(5+9)=7，故选：A ．6.已知反比例函数y =-6x x <0 与y =2xx >0 的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M ，N 两点．若点A 是x 轴上的任意一点，连接MA ，NA ，则S △AMN 等于．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，连接MO ,NO ，根据MN ∥x 轴可得，S △AMN =S △OMN ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接MO ,NO ，∵MN ∥x 轴∴S △AMN =S △OMN =S △POM +S △PON =-62+22=4故答案为：4．7.如图，在函数y =2x x >0 的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y =-8xx <0 的图象于点B ，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积是．【答案】5【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．【详解】解：如图，∵点A 在函数y =2xx >0 的图象上，∴S △AOC =12×2=1，又∵点B 在反比例函数y =-8xx <0 的图象上，∴S △BOC =12×8=4，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =1+4=5，故答案为：5．8.如图，B 、C 两点分别在函数y =5x (x >0)和y =-1x(x <0)的图象上，线段BC ⊥y 轴，点A 在x 轴上，则△ABC 的面积为．【答案】3【分析】设B m ,n ，则mn =5，结合BC ⊥y 轴，得到C -1n ,n ，计算BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为1BC ·y B =1m +1×n 计算即可．本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】设B m ,n ，根据题意，得mn =5，∵BC ⊥y 轴，∴C -1n ,n ，∴BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为12BC ·y B =12m +1n ×n =12mn +1 =3，故答案为：3．【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【方法点拨】9.如图，点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，且AB ∥x 轴，点C ．D 在x 轴上，若四边形ABCD 为长方形，则它的面积为．【答案】2【分析】此题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先延长BA 交y 轴于点E ，易得四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，又由点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，即可得S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，继而求得答案．【详解】解：延长BA 交y 轴于点E ，∵四边形ABCD 为矩形，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，∴AE ⊥y 轴，∴四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，∵点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，∴S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，∴S 矩形ABCD =S 矩形BCOE -S 矩形ADOE =3-1=2．故答案为：2．10.如图，点A 、B 分别是反比例函数y =3xx >0 的图象上两点，分别过点A 、B 向坐标轴作垂线，四边形ACEG 的面积记作S 1，四边形BFDG 的面积记作S 2，则S 1S 2(填>、<或=)．【答案】=【分析】本题考查了反比例系数k 的几何意义，在反比例函数y =kx图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k 的几何意义可知S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，得出S 1=3-m ，S 2=3-m ，即可得出答案．【详解】解：∵A ，B 两点在反比例函数y =3xx >0 的图像上，∴S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，∴S 1=3-m ，S 2=3-m ，∴S 1=S 2．故答案为：=．11.如图，平行于x 轴的直线l 与函数y =6x (x >0)和y =2x(x >0)的图象分别相交于A ,B 两点，分别连接AO 、BO ，则△ABO 的面积为．【答案】2【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k 的几何意义，设l 交y 轴于点M ，根据反比例函数k 的几何意义，得出S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，即可求解．【详解】解：如图，设l 交y 轴于点M ，∵S △AOM =3，S △BOM =1，则S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，故答案为：2．12.如图，点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，且AB ∥x 轴，则△ABO 的面积是．【答案】1【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长BA 交y 轴于C ，则AB ⊥y 轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得S △AOC =12，S △BOC =32，则S △AOB =S △BOC -S △AOC =1．【详解】解：如图所示，延长BA 交y 轴于C ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，∴S △AOC =12，S △BOC =32，∴S △AOB =S △BOC -S △AOC =1，故答案为：1．【模型4：“喇叭三角形”】【方法点拨】13.如图，点A ，B ，在反比例函数y =4x的图象上，连接OA ，OB ，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，图中两块阴影部分面积分别为S 1、S 2；若S 1=1，则AMBN=．【答案】2【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k |是解答此题的关键．利用k 的几何意义求出△OAM 、△OBN 的面积，然后求出△OCM 的面积，利用相似三角形的性质得到S △OCM S △OBN =OM ON 2即可求解．【详解】解：设OB 交AM 于点C ，∵分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∴S △OAM =S △OBN =2，∴S △OCM =S △OAM -S 1=2-1=1，又∵AM ∥BN ，∴△OCM ∽△OBN ，∴S △OCM S △OBN =OM ON2=12，∴OM ON=22，又∵OM ⋅AM =ON ⋅BN ，∴AM BN =ON OM =2．故答案为：214.如图是一个反比例函数(x >0)的图象，点A (2，4)在图象上，AC ⊥x 轴于C ，当点A 运动到图象上的点B (4，2)处，BD ⊥x 轴于D ，△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为()A.1B.2C.34D.13【答案】A【解答】解：如图所示：∵点A (2，4)，点B (4，2)，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴点C 的坐标为(2，0)，点D 的坐标为(4，0)，AC ∥BD ，∴△OCE ∽△ODB ，∴OC OD =CE DB ，即24=CE 2解得CE =1，∴S △OCE OC ⋅CE 2=2×12=1，即△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为1．故选：A ．15.如图，过反比例函数y =9x(x >0)的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得()A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.大小关系不能确定【答案】B 【解答】解：由于A 、B 均在反比例函数y =9x 的图象上，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1=92；S 2=92．故S 1=S 2．故选：B ．16.如图，在第一象限内，点P (2，3)，M (a ，2)是双曲线y =k x (k ≠0)上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为()A.32B.43C.2D.83【答案】B 【解答】解：把P (2，3)，M (a ，2)代入y =k x得k =2×3=2a ，解得k =6，a =3，设直线OM 的解析式为y =mx ，把M (3，2)代入得3m =2，解得m =23，所以直线OM 的解析式为y =23x ，当x =2时，y =23×2=43，所以C 点坐标为(2，43)，所以△OAC 的面积=12×2×43=43．故选：B ．【方法点拨】条件：A /B 两点分别位y =k x上不同两点，延长AB 交x 轴与点F ，B 位AF 的中点结论：①▲ACF ~▲BDF ，且相似比为BF AF =12。

初中数学反比例函数基础测试题含答案

初中数学反比例函数基础测试题含答案

初中数学反比例函数基础测试题含答案一、选择题1．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x上一点，k 的值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】C【解析】【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．2．如图，点A 在双曲线4y x =上，点B 在双曲线(0)k y k x=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．【详解】过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵AB ∥x 轴，∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，∵AB=2AC ，∴BC=3AC ，∵点A 在双曲线4y x=上， ∴ACOD S 矩形=4，同理BCOE S k =矩形，∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12，∴k=12，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．3．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y ＝x+1D ．1y x = 【答案】D【解析】【分析】需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的函数．【详解】解：A 、y ＝x 2是二次函数，开口向上，对称轴是y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，错误； B 、y ＝x 是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而增大，错误；C 、y ＝x+1是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而减小，错误；D 、1y x=是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，正确； 故选D ．【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．4．如图直线y ＝mx 与双曲线y=k x交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．5．给出下列函数：①y＝﹣3x+2：②y＝3x；③y＝﹣5x：④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；②y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；③y＝﹣5x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；故选：B．【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．6．在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x =<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当4233b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．没有【答案】D【解析】【分析】根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.【详解】∵()20y x x =<，过整点（-1，-2），（-2，-1），当b=43-时，如图：区域W 内没有整点，当b=23-时，区域W 内没有整点，∴4233b-≤≤-时图形W增大过程中，图形内没有整点，故选：D.【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.7．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr=270180lπ⋅⋅，整理得l=43r（r＞0），然后根据正比例函数图象求解．【详解】解：根据题意得2πr=270180lπ⋅⋅，所以l=43r（r＞0），即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选A．【点睛】本题考查圆锥的计算；函数的图象．8．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >【答案】B【解析】【分析】 根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线k y x=上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，则k 的值为:（ ）A ．6-B ．4-C ．3-D ．12-【答案】A【解析】【分析】 过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明,DCF ABO ∆≅∆利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ．【详解】解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，则,CF DF ⊥ABDC QY ，,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC =CDF BAO ∴∠=∠，90,DFC BOA ∠=∠=︒Q,DCF ABO ∴∆≅∆,,CF BO DF AO ∴== 设(,),k C m m由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,3)k D m m ++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，11()322BD BE DE CA h h BE ∴+=⨯⨯， ,,BD BE h h AC BD ==Q3DE AC BE ∴+=，4,DE BD BE BE ∴++=2,DB BE ∴=(1,3),(1,0),0,E k D m B x m++=Q ∴ 由中点坐标公式知：110,2m ++= 2m ∴=- ，(1,)1k D m m ++Q ， 3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=-故选A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．10．下列函数：①y=-x ；②y=2x ；③1y x=-；④y=x 2 ． 当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【答案】B【解析】【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．【详解】一次函数y ＝－x 中k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y ＝2x 中，k ＝2，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；∵反比例函数1y x＝中，k ＝－1＜0，∴当x ＜0时函数的图像在第二象限，此时y 随x 的增大而增大，故本选项错误； ∵二次函数y ＝x 2，中a ＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．11．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．6D ．﹣6【答案】A【解析】【分析】 △ABC 的面积＝12•AB•y A ，先设A 、B 两点坐标（其y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．【详解】 解：设：A 、B 点的坐标分别是A （1k m ，m ）、B （2k m ，m ）， 则：△ABC 的面积＝12•AB•y A ＝12•（1k m ﹣2k m ）•m ＝6， 则k 1﹣k 2＝12．故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．12．如图，过反比例函数()0k y x x=>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ∆=，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号.【详解】解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆== 又因图象过第一象限, 122AOB S k ∆==，解得4k = 故选C【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义.13．反比例函数k y x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】 根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，∴k>3，∵点（3，2）在反比例函数图象上方， ∴3k <2，即k<6， ∴3<k<6，故选：B.【点睛】 本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.14．已知反比例函数k y x=的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ∆的面积为3，则6k=-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案.【详解】 ∵反比例函数k y x=的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0，∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ，①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，∴S △AOC =1OC?AC 2=11x ?y k =322=， ∴6k =-，故①正确；②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=，∴()121212120k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D.【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.15．若A （-3，y 1）、B （-1，y 2）、C （1，y 3）三点都在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ． y 1＞y 2＞y 3B ． y 3＞y 1＞y 2C ． y 3＞y 2＞y 1D ． y 2＞y 1＞y 3 【答案】B【解析】【分析】反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y 随x 的增大而减小，而A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上的点，可得y 2＜y 1＜0，C （1，y 3）在第一象限双曲线上的点y 3＞0，于是对y 1、y 2、y 3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上，∴y 2＜y 1＜0，∵C （1，y 3）在第一象限双曲线上，∴y 3＞0，∴y 3＞y 1＞y 2，故选：B ．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．16．反比例函数21k y x+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a 的取值范围（ ）A ．1a <-B ．1a >C ．11a -<<D ．这样的a 值不存在【答案】C【解析】【分析】由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解．【详解】210k +>Q ，∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，11a a -<+Q ，12y y <，∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，10a ∴-<且10a +>，11a ∴-<<，故选C ．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比例函数的图象有两个分支．17．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．6【答案】B【解析】【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ），在mn y x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDE S =V ，∴111,12222m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =∴4k =故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．18．已知反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限，该交点横坐标为1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，则一次函数b c y x a a=+的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意得b ＜0，a+c ＜0，240b ac =>，可得a ＜0，c ＜0，进而即可判断一次函数b c y x a a=+的图象所经过的象限． 【详解】 ∵反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限，即b ＜0，∵该交点横坐标为1，∴y=a+c ＜0，∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点， ∴240b ac -=，即：240b ac =>，∴a ＜0，c ＜0，∴0b a>，0c a >， ∴b c y x a a=+的图象过一、二、三象限． 故选B ．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．19．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数k yx =在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若4AB=，2CEBE=，34ADOA=，则线段BC的长度为（）A．1 B．32C．2 D．23【答案】B【解析】【分析】设OA为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D和点E 的坐标(用a表示)，代入反比例函数可求得a的值，进而得出BC长.【详解】设OA=4a根据2CEBE=，34ADOA=得：AD=3a，CE=2a，BE=a∴D(4a，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得；3444kaakaa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12∴BC=AD=32故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D、E的坐标，然后代入解析式求解.20．若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2C．m＞2 D．m＜2【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+2＜0，解得m＜-2．故选B．。

部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)

部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)

部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。

知道反比例函数的图象是双曲线，。

会分象限利用增减性。

能用待定系数法确定函数解析式。

会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。

?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)

三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

九年级数学下册《第二十六章反比例函数》单元测试卷附答案解析-人教版

九年级数学下册《第二十六章反比例函数》单元测试卷附答案解析-人教版

九年级数学下册《第二十六章反比例函数》单元测试卷附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如果反比例函数的图象经过点P （﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（ ） A ．y ＝3xB ．y ＝﹣3xC ．y ＝13xD ．y ＝﹣13x2．若反比例函数2y x=的图像经过(),n n ，则n 的值是（ ）A ．2±B ．CD ．3．如图，点A 在x 轴正半轴上，B （5，4）．四边形AOCB 为平行四边形，反比例函数y =8x的图象经过点C和AB 边的中点D ，则点D 的坐标为（ ）A ．（2，4）B ．（4，2）C ．（83，3）D ．（3，83）4．对于反比例函数4y x=，下列说法错误的是（ ） A ．它的图象与坐标轴永远不相交 B ．它的图象绕原点旋转180°能和本身重合 C ．它的图象关于直线y x =±对称D ．它的图象与直线y x =-有两个交点5．如图是同一直角坐标系中函数12y x =和22y x=的图象．观察图象可得不等式22x x >的解集为（ ）A ．11x -<<B ．1x <-或1x >C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >6．如图，在平面直角坐标系中直线y mx =（0m ≠，m 为常数）与双曲线ky x=（0k ≠，k 为常数）交于点A ，B ，若()1,A a -和(),3B b -，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM ，则ABM ∆的面积是（ ）A ．2B ．1m -C ．3D ．67．如图，在平面直角坐标系中函数()0ky x x=>的图象经过点P 、Q 、R ，分别过这个三个点作x 轴、y 轴的平行线，阴影部分图形的面积从左到右依次为若OE ED DC ==，1310S S +=则k 的值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24二、填空题8．平面直角坐标系xOy 中已知点(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n 是函数(0)ky k x =≠图象上的三点.若2ABC S =△，则k 的值为___________．9．如图，△AOB 中AO ＝AB ，OB 在x 轴上C ，D 分别为AB ，OB 的中点，连接CD ，E 为CD 上任意一点，连接AE ，OE ，反比例函数y k x＝（x ＞0）的图象经过点A ．若△AOE 的面积为2，则k 的值是___．10．在平面直角坐标系xOy 中过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”．已知直线y ＝﹣2x ＋k 1与y 轴交于点A ，与反比例函数y 2k x＝的图象交于点P （52-，m ），且点P 是“和谐点”，则△OAP 的面积为___．11．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有－1，2，3，4四个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k ，不放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b ，两次抽取完毕后，则直线y kx =与反比例函数by x=的图象经过的象限相同的概率为______． 12．如图，点()2,A m ，B 分别在双曲线()60y x x =>和()0ky x x=>上，AB x ∥轴，作AC x ⊥轴于点C ，交OB 于点D ．若2OD BD =，则k 的值是______．13．如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝﹣6x（x ＜0）和y＝8x（x ＞0）的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为__．14．一定质量的二氧化碳，其密度()3kg /m ρ=是体积()3m V 的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式___________，当33m V =时，则ρ=_______3kg /m ．三、解答题15．如图1，反比例函数()0my x x=>的图象过点()4,3M ．(1)求反比例函数my x=的表达式，判断点()2,8在不在该函数图象上，并说明理由； (2)反比例函数()16my x x=≤≤的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______； (3)如图2，直线:8l y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点P 是直线l 下方反比例函数my x=图象上一个动点，过点P 分别作PC x ∥轴交直线l 于点C ，作PD y ∥轴交直线l 于点D ，请判断AC BD ⋅的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值． 16．阅读下列材料定义运算min ,a b ，当a b ≥时，则min ,a b b =；当a b <时，则min ,a b a =．例如：min 1,31-=-与min 1,22--=-．完成下列任务(1)①()0min 3,2-= _________；②min 4--=_________ (2)如图，已知反比例函数1ky x=和一次函数22y x b =-+的图像交于A 、B 两点．当20x -<<时，则()()2min,213kx b x x x x-+=+--．求这两个函数的解析式． 17．在如图平面直角坐标系中矩形OABC 的顶点B 的坐标为（4，2），OA 、OC 分别落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线．将△OAB 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到△ODE ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点F ，交AB 于点G ．（1）求k 的值和点G 的坐标；（2）连接FG ，则图中是否存在与△BFG 相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；（3）在线段OA 上存在这样的点P ，使得△PFG 是等腰三角形．请直接写出点P 的坐标．18．我们不妨约定：在平面直角坐标系中若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x n =（n 为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”．(1)在下列关于x 的函数中是“()X n 函数”的是________（填序号）； ①6y x=，②4y x =，③225y x x =-- (2)若关于x 的函数y x h =-（h 为常数）是“()3X 函数”，与my x=（m 为常数，0m >）相交于A （A x ，A y ）、B （B x ，B y ）两点，A 在B 的左边，5B A x x -=，求m 的值；(3)若关于x 的“()X n 函数”24y ax bx =++（a ，b 为常数）经过点（1-，1），且1n =，当1t x t -≤≤时，则函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且1212y y -=，求t 的值． 19．如图，在平面直角坐标系中四边形ABCD 为正方形，已知点A (0，﹣6)、D (﹣3，﹣7)，点B 、C 在第三象限内．(1)求点B 的坐标；(2)在y 轴上是否存在一点P ，使ABP 是AB 为腰的等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD 沿y 轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B 、D 两点的对应点B '、D 正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．参考答案与解析1．【答案】A【分析】根据点P 的坐标，利用待定系数法即可得．【详解】解：设这个反比例函数的表达式为(0)ky k x =≠ 由题意，将点(3,1)P --代入得：3(1)3k =-⨯-= 则这个反比例函数的表达式为3y x =故选：A ．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 2．【答案】B【分析】将(),n n 代入解析式中即可求出n 的值. 【详解】解：将(),n n 代入2y x =中得2n n=解得：n =故选B.【点睛】此题考查的是根据点所在的图像求点的坐标，将点的坐标代入解析式求点的坐标是解决此题的关键.3．【答案】B【分析】作CE ⊥OA 于E ，依据反比例函数系数k 的几何意义求得OE ，即可求得C 的坐标，从而求得点A 坐标，再根据中点坐标公式即可求得D 的坐标． 【详解】解：作CE ⊥OA 于E ，如图∵B（5，4），四边形AOCB为平行四边形∴CE=4∵反比例函数y=8x的图象经过点C∴S△COE=12OE•CE=12×8∵CE=4∴OE=2∴C（2，4），OA=BC=5-2=3 ∴A（3，0）∵点D是AB的中点∴点D的坐标为（3+50+422，），即D（4，2）故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义等，求得点C和点A的坐标是解题的关键．4．【答案】D【分析】当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A.∵反比例函数4yx=中4＞0，∴此函数图象在一、三象限，故本选项正确；B.∵反比例函数4yx=的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确；C.反比例函数的图象可知，图象关于直线y x=±对称，故本选项正确；D.∵反比例函数4yx=的图象位于第一、三象限，直线y x=-经过第二、四象限，所以直线y x=-与双曲线4yx=无交点，故本选项错误；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 5．D【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】解：∵22x x> ∴12y y >由图象可知，函数12y x=和22y x =分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为11x x ==-， 由图象可以看出当10x -<<或1x >时，则函数12y x=在22y x =上方，即12y y >故选：D ．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键． 6．【答案】C【分析】根据直线y mx =与双曲线k y x =都经过点A ，得出1a mk a =-⎧⎪⎨=⎪⎩-，进而得到k m =，再由直线y mx =与双曲线k y x =都经过点B ，得到33k b bm ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，进而得到2b m k =，进而求出b 的值，得到点A 的坐标，即可得到答案．【详解】由题，直线y mx =与双曲线ky x=都经过点A ∴1a m k a =-⎧⎪⎨=⎪⎩- ，得：k m =直线y mx =与双曲线ky x=都经过点B 33bm k b -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，得：2b m k = 21b ∴=0b >1b ∴=13B ∴-（，）将点B 代入y mx =，得：3m -=3y x ∴=-13A ∴-（，）111313322ABM S ∆∴=⨯⨯+⨯⨯=故选：C【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图像问题，根据两者的交点结合解析式求出点的坐标是解题关键．7．【答案】B【分析】设未知数，表示出点P 、Q 、R 的坐标，进而表示S 1、S 2、S 3，由S 1+S 3＝10列方程求解即可． 【详解】解：设OE ＝ED ＝DC ＝a ∵函数ykx =（x ＞0）的图象经过点P 、Q 、R∴点P （3k a ，3a ），Q （2k a ，2a ），R （ka ，a ）∴OF 3k a =，OG 2k a =，OA k a =∴S 1＝OF •CD 3k a =⨯a 3k =S 3＝AG •OE ＝（2k k a a -）×a 2k =又∵S 1+S 3＝10 ∴32k k +=10 解得k ＝12 故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，用坐标表示线段的长是解决问题的关键． 8．【答案】34##0.75 【分析】由点A 、B 、C 的坐标可知260k m =>，m ＝n ，点B 、C 关于原点对称，求出直线BC 的解析式，不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，根据2ABC S =△列式求出2m ，进而可得k 的值． 【详解】解：∵点(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n 是函数(0)ky k x=≠图象上的三点 ∴260k m => 6k mn = ∴m ＝n∴(3,2)B m m (3,2)C m m -- ∴点B 、C 关于原点对称∴设直线BC 的解析式为()0y kx k =≠ 代入(3,2)B m m 得：23m mk = 解得：23k =∴直线BC 的解析式为23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D 把x ＝m 代入23y x =得：23y m =∴D （m ，23m ）∴AD ＝216633m m m -=∴()11633223ABCSm m m =⨯⋅+= ∴218m =∴2136684k m ==⨯=而当m ＜0时，则同样可得34k =故答案为：34【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．9．【答案】4【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE＝S△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k．【详解】解：如图：连接AD△AOB中AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点∴AD⊥OB，AO∥CD∴S△AOE＝S△AOD＝2∴k＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．10．【答案】254或754【分析】先根据“和谐点”的定义求出m的值，进而可求出点A的坐标，根据三角形的面积可求出△OAP的面积．【详解】解：∵点P（52-，m）是“和谐点”∴5+2|m|52=|m|，解得m＝±10当m＝10时，则P（52-，10）把点P的坐标代入一次函数和反比例的解析式得：k1＝5，k2＝﹣25∴A（0，5）∴S△OAP15255224=⨯⨯=．当m ＝﹣10时，则P （52-，﹣10）∴k 1＝﹣15，k 2＝25 ∴A （0，﹣15） ∴S △OAP 12=⨯1557524⨯=． 故答案为：254或754． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键． 11．【答案】12【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，直线y kx =与反比例函数by x=的图象经过的象限相同的结果有6个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图：∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k ，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b ，共有12个数组∴直线y kx =与反比例函数by x=的图象经过的象限相同的数组有（2，3），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，3），共有6组∴k ，b 直线y kx =与反比例函数b y x=的图象经过的象限相同的概率为61122=．故答案为：12【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率及一次函数与反比例函数的性质，熟练掌握利用列表法或树状图列出所有等可能的结果以及一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 12．【答案】9【分析】先求解A 的坐标，再表示B 的坐标，再证明,ABD COD ∽利用相似三角形的性质列方程求解即可．【详解】解： 点()2,A m ，B 分别在双曲线()60y x x =>和()0ky x x=>上，AB x ∥轴 63,,3,23kmB2,3,AAC x ⊥轴2,0,CAB x ∥轴,ABD COD ∽,ABBDOC OD而2OD BD = 213,22k 解得：9,k = 故答案为：9【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“反比例函数的图像与性质”是解本题的关键． 13．【答案】7【分析】连接OA ，OB ，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB 面积等于三角形ACB 面积，再利用反比例函数k 的几何意义求出三角形AOP 面积与三角形BOP 面积，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接OA ，OB∵△AOB 与△ACB 同底等高 ∴S △AOB ＝S △ACB ∵AB ∥x 轴∴AB ⊥y 轴∵A 、B 分别在反比例函数y ＝﹣6x （x ＜0）和y ＝8x （x ＞0）的图象上∴S △AOP ＝3，S △BOP ＝4∴S △ABC ＝S △AOB ＝S △AOP ＋S △BOP ＝3＋4＝7． 故答案为：7．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数y =kx的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k |，且保持不变．也考查了三角形的面积． 14．【答案】10V ρ=103【分析】由函数图像信息可得反比例函数过点(5,2)，根据待定系数法求解析式；将3V =代入即可求得ρ． 【详解】反比例函数过点(5,2) 设反比例函数解析式为kVρ= 则10k =∴反比例函数解析式为10Vρ=当3V =时，则103ρ= 故答案为：10V ρ=103【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，根据解析式求函数值，从图像获取信息是解题的关键．15．【答案】(1)不在，理由见解析 (2)20 (3)不变化，24【分析】对于（1），利用待定系数法求出函数关系式，再代入判断即可；对于（2），设点E 的横坐标和点F 的横坐标，再分别表示出点E ，F ，G ，H 的坐标，进而得出线段的长度，再根据平行四边形面积公式得出答案；对于（3），设点P 的横坐标为t ，分别表示点C ，点D 的坐标，再根据两点之间的距离公式得出AC 和BD 的长，进而得出答案．（1）将点()4,3M 代入m y x =得34m= 12m =∴12y x=；当2x =时，则6y = ∵68≠∴点()2,8不在函数图象上；（2）设点E 的横坐标是1，点F 的横坐标是6，点G ，H 分别对应点E ，F ，如图所示.图形扫过的面积即为平行四边形EFHG 的面积．令12y x=中1x =，则12y = 所以(112)E ， -1,12G （）令12y x=中6x =，则2y = 所以(62)F ，，(4,2)H ． 因为EG FH ∥，且EM FH = 所以四边形EGHF 为平行四边形所以=()2(122)20E F S EG y y ⋅-=⨯-=． 故答案为：20；（3）不变化，理由如下：因为直线l ：8y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 所以点A （8，0），B （0，8）． 设点P 的横坐标是t 所以12(,)P t t．因为PC x ∥轴交直线l 于点C ，PD y ∥轴交直线l 于点D 所以1212(8,)C tt-+ (,8)D t t -+所以AC =BD =即24AC BD ⋅=⋅=所以AC BD ⋅为定值，为24.．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，求平行四边形面积等，掌握数形结合思想是解题的关键．16．【答案】(1)①1；②4- (2)12y x=- 223y x =--【分析】（1）根据材料中的定义进行计算，即可求出答案； （2）由函数图像可知当20x -<<时，则2kx bx ，则min ,22k x b x b x-+=-+，结合已知可得()()2213x b x x x -+=+--，即可求出b ，得到一次函数解析式，求出点A 的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式． （1）解：根据题意∵min ,a b ，当a b ≥时，则min ,a b b =；当a b <时，则min ,a b a = ∴①()0min 3,21-=；∵4-∴②min 44-=-； 故答案为：①1；②4-；（2）解：由函数图像可知当20x -<<时，则2k x bx∴min,22kx b x b x-+=-+ 又∵()()2min,213kx b x x x x-+=+-- ∴()()2213x b x x x -+=+-- ∴3b =-∴一次函数223y x =-- 当x ＝－2时21y = ∴A （－2，1） 将A （－2，1）代入1ky x=得212k =-⨯=-∴反比例函数12y x=-．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，零次幂，反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是掌握题意，正确的运用数形结合的思想求解．17．【答案】（1）k ＝2，点G 的坐标为（4，12）；（2）△COF ∽△BFG ；△AOB ∽△BFG ；△ODE ∽△BFG ；△CBO ∽△BFG ，证明详见解析；（3）点P 的坐标为（40）或（158，00）． 【分析】（1）证明△COF ∽△AOB ，则CF OCAB OA=，求得：点F 的坐标为（1，2），即可求解； （2）△COF ∽△BFG ；△AOB ∽△BFG ；△ODE ∽△BFG ；△CBO ∽△BFG ．证△OAB ∽△BFG ：43AO BF = 24332AB BG ==即可求解．（3）分GF ＝PF 、PF ＝PG 、GF ＝PG 三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形OABC 为矩形，点B 的坐标为（4，2） ∴∠OCB ＝∠OAB ＝∠ABC ＝90°，OC ＝AB ＝2，OA ＝BC ＝4 ∵△ODE 是△OAB 旋转得到的，即：△ODE ≌△OAB ∴∠COF ＝∠AOB ，∴△COF ∽△AOB ∴CF OC AB OA =，∴2CF ＝24，∴CF ＝1∴点F 的坐标为（1，2） ∵y ＝kx（x ＞0）的图象经过点F∴2＝1k ，得k ＝2 ∵点G 在AB 上 ∴点G 的横坐标为4对于y ＝2x ，当x ＝4，得y ＝12∴点G 的坐标为（4，12）；（2）△COF ∽△BFG ；△AOB ∽△BFG ；△ODE ∽△BFG ；△CBO ∽△BFG ． 下面对△OAB ∽△BFG 进行证明： ∵点G 的坐标为（4，12），∴AG ＝12 ∵BC ＝OA ＝4，CF ＝1，AB ＝2∴BF＝BC﹣CF＝3BG＝AB﹣AG＝32．∴43AOBF=24332ABBG==∴AO AB BF BG=∵∠OAB＝∠FBG＝90°∴△OAB∽△FBG．（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，12）则FG2＝9+94＝454，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+14当GF＝PF时，则即454＝（m﹣1）2+4，解得：m；当PF＝PG时，则同理可得：m＝158；当GF＝PG时，则同理可得：m＝4综上，点P的坐标为（40）或（158，00）．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到旋转的性质、三角形相似、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．18．【答案】(1)②③( 2)4 (3)t＝2或t＝1【分析】（1）根据定义分析判断即可；（2）作出图形，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点，由xB﹣xA＝5，设CN＝x，则MC＝5﹣x，则B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），根据轴对称的性质以及反比例函数的性质可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，继而求得x的值，即可求得B的坐标，根据反比例函数的意义即可求得m的值；（3）根据题意以及二次函数的性质，待定系数求二次函数解析式，进而分类讨论，根据121 2y y-=，即可求得t的值．（1）解：根据定义，函数关于直线x n=（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形①6yx=的图象是中心对称图象，不符合题意；②4y x=，③225y x x=--的图象是轴对称图形，符合题意故答案为：②③（2）∵y＝|x-h|是“X（3）”函数∴h＝3如图，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点∴C（3，0），D（0，﹣3）∴∠BCN＝∠OCD＝45°由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°∴AM＝CM，BN＝CN∵xB﹣xA＝5∴MN＝5设CN＝x，则MC＝5﹣x∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x）∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0∴x＝1∴B（4，1）∴m＝4；（3）由题意得4112a bba-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得12 ab=-⎧⎨=⎩∴此“X（n）函数”为y＝﹣x2+2x+4①当t＜1时x＝t时，则y1＝﹣t2+2t+4x＝t﹣1时，则y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4y1﹣y2＝（﹣t2+2t+4）﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝﹣2t+3＝12∴t＝54（舍）；②当t﹣1≥1，即t≥2时x＝t﹣1时，则y1＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4x＝t时，则y2＝﹣t2+2t+4y1-y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4﹣（﹣t2+2t+4）＝2t﹣3＝12∴t＝74（舍）；③当1≤t＜32时x＝1时，则y1＝5x＝t﹣1时，则y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4y1﹣y2＝5﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝t2﹣4t+4＝12∴t＝2±，又因为1≤t＜3 2∴t＝2-④32≤t＜2时x＝1时，则y1＝5x＝t时，则y2＝﹣t2十2t+4y1﹣y2＝5﹣（﹣t2+2t+4）＝t2﹣4t+4＝12∴t＝1，又因为32≤t＜2∴t＝1综上所述：t＝2-t＝1【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，根据新定义以及轴对称的性质求解是解题的关键．19．【答案】(1)B (-1，-3)(2)存在，(06-，或(06-，或()00，(3)6y x =-【分析】（1）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，证明ADF BAE ≅得出BE 与OE 的长度便可求得B 点坐标；（2）先求出AB 的值，再根据题意可得分类讨论，分为当AB =AP 时有两种情况和当AB =BP 时有一种情况进行求解即可；（3）先设向上平移了m 表示B '和D 的坐标，再根据B 、D 两点的对应点B '、D 正好落在某反比例函数的图象上得B '和D 点的横、纵坐标的积相等，列出关于m 的方程即可求解．（1）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，如下图则90AFD AEB ∠=∠=︒∵点A (0，-6)，D (-3，-7)∴DF =3，AF =1∵四边形ABCD 是正方形∴AB =AD 90BAD ∠=︒∴90DAF BAE DAF ADF ∠+∠=∠+∠=︒∴ADF BAE =∠∠∵ADF BAE F EAD BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF BAE ≅∴DF =AE =3，AF =BE =1∴OE=OA-AE=6-3=3∴B(-1，-3)．（2）存在3种情况由（1）得ADF BAE≅且在Rt AFD中AB=AD①当AB=AP时的等腰三角形，如图则AP∵A为(0，-6)∴P点的坐标为(0，)；②当AB=AP时，则如下图则AP∵A 为(0，-6)∴P 点的坐标为(0，)；③当AB =BP 时，则如下图则BP ，且过B 作BE ⊥AP 于点E∵AB BP BE AP =⊥，∴3PE AE ==∴P 点在原点上则P 为(0，0)．综上所述点P 的坐标为(06-，或(06-，或()00，． （3）设向上平移了m 可得B '为(-1，-3+m )，D 为(-3，-7+m ) 反比例函数关系式为k y x=()0k ≠ ∴()()1337k m m =-⨯-+=-⨯-+解得m =9∴k =()13166m -⨯-+=-⨯=- ∴反比例函数解析式为：6y x=- 【点睛】此题是反比例函数与正方形结合的综合体，主要考查了反比例函数的性质、待定系数法、全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，解决本题的关键是证明全等三角形和分类讨论．。

反比例函数和相似三角形综合题(教师版)

反比例函数和相似三角形综合题(教师版)

反比例函数和相似三角形综合题1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n与k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD 的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S=10．△OBN（1）求双曲线的解析式．=，求点H的坐标．（2）已知点H是双曲线上一动点，若S△HON（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．一．解答题（共9小题）1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n与k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；（2）由一次函数解析式可先求得B点坐标，从而可求得AB的长，则可求得C 点坐标，利用平移即可求得D点坐标；（3）在y=中，当y＞﹣2时可求得对应的x的值，结合图象即可求得x的取值范围．【解答】解：（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得n=×4﹣3=3，∴A（4，3），∵A点在反比例函数图象上，∴k=3×4=12；（2）在y=x﹣3中，令y=0可得x=2，∴B（2，0），∵A（4，3），∴AB==，∵四边形ABCD为菱形，且点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，∴BC=AB=，∴点C由点B向右平移个单位得到，∴点D由点A向右平移个单位得到，∴D（4+，3）；（3）由（1）可知反比例函数解析式为y=，令y=﹣2可得x=﹣6，结合图象可知当y＞﹣2时，x的取值范围为x＜﹣6或x＞0．2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．【分析】（1）把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得k1x+b﹣≥0时，自变量x的取值范围；（3）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，由C'和D的坐标可得，直线C'D为y=x﹣，进而得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；如图，作DE⊥x轴于E∵OA=2∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，，解得k1=﹣，b=﹣，∴y=﹣x﹣；（2）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．（3）由，解得或，∴C（﹣4，），作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为y=x﹣，令x=0，则y=﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，﹣）．3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA=OB=4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y=x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．（2）观察图象可知：＞kx+b时x的取值范围0＜x＜4．（3）如图所示，∵点C（0，1），B（4，0）∴BC==，PC=，∴以BC、PC为边构造菱形，当四边形BCPD为菱形时，∴PB垂直且平分CD，∵PB⊥x轴，P（4，2），∴点D（8，1）．把点D（8，1）代入y=，得左边=右边，∴点D在反比例函数图象上．，∵BC≠PB，∴以BC、PB为边不可能构造菱形，同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．综上所述，点D（8，1）．4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2=0，∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴x D=1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t=2t﹣4，∴t=4，∴k=4；（2）∵由（1）知k=4，∴反比例函数的解析式为y=，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则=0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则=，解得x=﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP=BQ，且AP∥BQ；∴，解得x=﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；（3）的值不发生改变，理由：如图4，连NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT=NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，在△BFN与△BHN中，，∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°．∴MN=HT，∴．5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S=10．△OBN（1）求双曲线的解析式．=，求点H的坐标．（2）已知点H是双曲线上一动点，若S△HON（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．【分析】（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．由S=•OB•NG，可得×4×NG=10，△NOB推出NG=5，推出N（﹣1，5），由此即可解决问题；（2）如图2中，作NM⊥x轴于M，HE⊥x轴于E．设H（m，﹣）．首先证明S△OHN=S梯形NMHE，由此构建方程即可解决问题；（3）首先证明OG垂直平分BC，推出P、Q关于直线OG对称，由点P在y=﹣上，推出点Q也在y=﹣上，又点Q在直线y=﹣6上，可得Q（，﹣6），由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．∵直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B（4，0），C（0，4），=•OB•NG，∵S△NOB∴×4×NG=10，∴NG=5，∴N（﹣1，5），∵反比例函数y=经过点N（﹣1，5），∴k=﹣5，（2）如图2中，作NM ⊥x 轴于M ，HE ⊥x 轴于E ．设H （m ，﹣）．∵S △HEO =S △NMO ，又∵S 四边形HEON =S △HNO +S △HEO =S △NMO +S 梯形MNHE ，∴S △OHN =S 梯形NMHE ， ∴•（5﹣）•|m +1|=，当m ＜﹣1时，整理得3m 2+8m ﹣3=0，解得m=﹣3或（舍弃），当0＞m ＞﹣1时，整理得3m 2﹣8m ﹣3=0，解得m=﹣或3（舍弃）．综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣3，）或（﹣，15）；（3）如图3中，∴∠GPQ=∠GQP，∵BC∥PQ，∴∠GCB=∠GPQ，∠GBC=GQP，∴∠GCB=∠GBC，∴GC=GB，∵OC=OB，∴OG垂直平分BC，∴P、Q关于直线OG对称，∵点P在y=﹣上，∴点Q也在y=﹣上，又∵点Q在直线y=﹣6上，∴Q（，﹣6），设直线PQ的解析式为y=﹣x+b，∴﹣6=﹣+b，∴b=﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣．6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案；②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出==，求出即可．【解答】（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中，∴△APB≌△APD（SAS）；（2）解：①∵△APB≌△APD，∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，∵在△DFP和△BEP中，，∴△DFP≌△BEP（ASA），∴PF=PE，DF=BE，∵四边形ABCD是菱形，∴GD∥AB，∴=，∵DF：FA=1：2，∴=，=，∴=，∵=，即=，∴y=x；②当x=6时，y=×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵==，∴=，解得：FG=5，故线段FG的长为5．7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE ∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】（1）答：△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．∵BN平分∠ABE，∠EBN=∠ABN．∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．∴△BMN是等腰直角三角形；（2）答：△MFN∽△BDC．证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM=AC．∵AC=BD，∴FM=BD，即．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC，即，∴．∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°．∵FM∥AC，∴∠ACB=∠FMB．∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD．∴△MFN∽△BDC．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD ≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA ∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=AB=，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．【解答】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．。

相似三角形的应用-2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)

相似三角形的应用-2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)

考点15 相似三角形的应用【命题趋势】相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。

出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。

【中考考查重点】一、相似三角形在实际生活中的应用二、位似图形三、相似三角形与函数综合考向一：相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在实际生活中的应用：（一）建模思想：建立相似三角形的模型（二）常见题目类型：1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度【同步练习】1．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）A．1米B．2米C．3米D．4米【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP＝8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE 长．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴＝，即＝，解得AP＝8，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴＝，即＝，解得ED＝2，故选：B．2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米B．3米C．米D．米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．【解答】解：设木竿PQ长为xm，依题意得＝，解得x＝1.6，答：木竿PQ长度为1.6m，故答案为：1.6m．4．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．（3）利用配方法求出最大值即可．【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DG＝（80﹣x）（m）；（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，∵﹣＜0，∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．考向二：位似图形位似图形满足的条件：①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）【同步练习】1．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．AE：AD是相似比B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．两个三角形是位似图形【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．【解答】解：A、当BC∥ED时，△AED∽△ACB，AE：AC是相似比，本选项说法不正确，符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、两个三角形是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；故选：A．2．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△ADE的周长比为2：1，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1【分析】利用位似的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△ADE，位似比等于相似比，∵△ABC和△ADE的周长比为2：1，∴△ABC和△ADE的相似比为2：1，∴△ABC和△ADE的位似比是2：1．故选：D．3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（）A．D点B．E点C．D点或G点D．D点或F点【分析】作射线AO，根据位似变换的概念判断即可．【解答】解：作射线AO，由图可知，点D和点G都在射线AO上，且＝，＝，则点A的对应点为D点或G点，故选：C．4．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．【分析】（1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题；（2）利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，构造相似比为的相似三角形，则点E即为所求；（2）如图，∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，∴△CDE即为所求．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B （1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．（1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；（2）分别写出点B1、C1的坐标．【分析】（1）（2）利用点A和点A1的坐标特征确定位似比为2，然后把点B、C的横纵坐标都乘以2得到点B1、C1的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；（2）点B1的坐标为（2，6），点C1的坐标为（8，2）．考向三：相似三角形与函数综合【方法提炼】【同步练习】1．（2021•无棣县二模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E 时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型，再利用函数的性质求解后续问题在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．2．（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P 为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）①根据函数的定义判断即可．②设BP＝xcm，CE＝ycm．利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出y的最大值即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP，EC．②设BP＝xcm，CE＝ycm．∵△ABP∽△PCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，∵﹣＜0，∴x＝m时，y有最大值，∵点E在线段CD上，CD＝2cm，∴≤2，∴m≤4，∴0＜m≤4．1．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．2．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．3．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．【解答】解：A、＝，B、＝，C、＝，D、＝，∵＝＝≠，∴B选项不符合标准，故选：B．4．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则△A′B′C′面积为（）A．B．6C．4D．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：根据题意知，△ABC∽△A′B′C′，∵，∴△ABC的面积：△A′B′C′面积＝9：4．又∵△ABC的面积为9，∴△A′B′C′面积为4．故选：C．5．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′＝2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．2：3B．4：3C．2：9D．4：9【分析】根据题意求出OA：OA′＝2：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝2：5，∴OA：OA′＝2：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝2：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为2：3，故选：A．6．小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为10m，则这棵树的高为m．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：设这棵树的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，则可列比例为：，解得：x＝8．故答案为：8．7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝4.5，答：实像CD的高度为4.5cm，故答案为：4.5．8．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可．【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴AG∥DH，∴△CDH∽△CAG，∴＝，即，∴AG＝14米，∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），∴旗杆AB的高度为17.5米．9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2，则这个矩形的长、宽各是多少？【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可．【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形，∴MN∥PQ，即PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC；（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∵PN：PQ＝1：2，∴PQ为长，PN为宽，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，∴＝，解得x＝，2x＝．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长mm，宽为mm．10．（2022•禅城区校级模拟）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，（1）图②中y与x的函数关系式为；（2）求证：△CDE∽△ADF；（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式．（2）利用两边成比例夹角相等证明△CDE∽△ADF即可．（3）分三种情况：①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，②若DE＝EG，如图①，作EH ∥CD，交AD于H，③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，分别列方程计算可得结论．【解答】（1）解：设y＝kx+b，由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4，代入得：，，∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．（2）证明：∵BE＝x，BC＝2∴CE＝2﹣x，∴＝＝，＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠DAF＝90°，∴△CDE∽△ADF，∴∠ADF＝∠CDE．（3）解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DGE＝∠GEB，∴∠DEG＝∠BEG，在△DEF和△BEF中，，∴△DEF≌△BEF（AAS），∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，x＝．②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，∵AD∥BC，EH∥CD，∴四边形CDHE是平行四边形，∴∠C＝90°，∴四边形CDHE是矩形，∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，∴HG＝DH＝2﹣x，∴AG＝2x﹣2，∵EH∥CD，DC∥AB，∴EH∥AF，∴△EHG∽△F AG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝（舍），经检验x＝是分式方程的解，∴x＝．③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DEC，∴∠GED＝∠DEC，∵∠C＝∠EDF＝90°，∴△CDE∽△DFE，∴＝，∵△CDE∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∴2﹣x＝，∴x＝．综上，x＝或或．1.（2021·浙江绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB＝2（m），故选：A．2.（2021·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．【解答】解：如图，点G（4，2）即为所求的位似中心．故答案是：（4，2）．3.（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．4.（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．5.（2021·浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．【分析】（1）①设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），得出AE＝OF，AE∥OF，由平行四边形的判定可得出结论；②过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，证明△AEO∽△BDO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P 的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，证明△AEO∽△GHP，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．1．（2021•温州模拟）如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（）A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m【分析】首先根据正六边形的面积可得正六边形的边长，进而可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：设正六边形的边长是xm，则x•x••6＝，解得x＝1.5，如图，依题意知DF＝FE＝0.5米，FG＝0.75米，CG＝0.75米，∵DE∥BC，∴△F AE∽△GAC，∴，即＝，解得：AF＝1.5，∴AG＝1.5+0.75＝2.25（m），答：吊灯距地面的高度为2.25m．故选：A．2．（2021•临海市一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC＝20m，MP＝2.5m，则楼高AB为（）A．15m B．16m C．18m D．20m【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵，即，∴楼高＝16米．故选：B．3．（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1B．点P2C．点P3D．点P4【分析】延长CA、DB交于点P 1，根据位似中心的概念得到答案．【解答】解：延长CA、DB交于点P1，则点P1为位似中心，故选：A．4．（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（）A．B．C．或D．或【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．【解答】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，而B的坐标为（﹣1，1），∴B'的坐标为（﹣，）或（，﹣）．故选：C．5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），∴OA＝1，OD＝3，即＝，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴＝＝，故选：B．6．（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝米．【分析】延长CG交FH于M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：如图，延长CG交FH于M，∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，∴△GFM∽△CDM，∴，设FM为a米，则a＝（a+2）×，解得：a＝，设BD＝x米，AB＝y米，同理可得，△CMD∽△AMB，∴，，可得，，整理得：，解得：，经检验是分式方程组的解，∴AB＝5米．故答案为：5．7．（2022•鹿城区校级一模）如图，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形，请分别在图1和图2中按要求作图．（1）在图1中以O为位似中心，作格点三角形△A1B1C1，使其与△ABC位似比为1：2．（2）在图2中作格点线段BM⊥AC．【分析】（1）连接OA，OB，OC，取OA，OB，OC的中点A1，B1，C1，连接A1B1，B1C1，C1A1即可；（2）利用数形结合的思想作出线段BM即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，线段BM即为所求．8．（2021•永嘉县校级模拟）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求；（1）等腰三角形ABC的面积S△ABC；（2）正方形DEFG的边长．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝BC＝30（cm），根据勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面积公式即可得到结论；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，根据三角形的面积公式得到BM＝48（cm），根据正方形的性质得到FG∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，∴BH＝BC＝30（cm），∴AH＝＝＝40（cm），∴S△ABC＝BC•AH＝60×40＝1200（cm2）；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，则S△ABC＝AC•BM＝1200，∵AC＝50cm，∴BM＝48（cm），∵四边形DEFG是正方形，∴FG∥DE，∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，∴＝，∴，∴FG＝，∴正方形DEFG的边长为．9．（2021•海曙区模拟）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：＝，解得：AC＝2（m），答：滑梯的高AC为2m；（2）∵tan∠ABC＝＝＝＜tan30°＝，∴∠ABC＜30°，∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．10．（2021•婺城区校级模拟）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D 不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ＝y，推出PC＝y，在Rt△PHB 中，BH＝x，PH＝x，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE与△BCP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠PCB＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCP＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．。

人教版九年级数学下册第07讲反比例函数与相似阶段复习教案讲义及练习

人教版九年级数学下册第07讲反比例函数与相似阶段复习教案讲义及练习

反比例函数和相似阶段复习2、相似【教学建议】“反比例函数”从具有反比例关系的实例出发，从函数的角度加以刻画，引导学生认识反比例函数；类比已学函数的经验展开反比例函数图像与性质的研究，最后建立反比例函数模型解决实际问题.“相似”由生活实例认识相似图形，再重点研究相似三角形的判定、性质及其实际应用，最后研究特殊的相似即位似的特征，强调从特殊（全等）到一般（相似）的方法.【知识导图】反比例函数的定义反比例函数■ ■ 图像与性质反比例函数的应用[I教学过程.一、复习1.反比例函数的图像与性质2.反比例函数与一次函数的综合应用3.相似三角形的性质和判定4.相似三角形的应用Q二、知识讲解(1)反比例函数k1.定义：一般地，如果两个变量x,y的关系式可以表示成y=x(k为常数且k=0),那么称y是x的反比例函数.k ( k为常数且k:0)2.图像：反比例函数y=x 的图像是关于原点对称的双曲线，当k>0时，图像位于第一，三象限；当k<0时，图像位于第二，四象限，画反比例函数图像的三个步骤是：列表，描点，连线.3.性质：当k>0时，变量x.y同号，双曲线位于第一，三象限，在每个分支上，y随x的增大而解小.当k<0时，变量x,y异号，双曲线位于第二，四象限，在每个分支上，y随x的增大而增大.4.k的几何意义：过反比例函数图形上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于k.5.应用：解决生活中存在的反比例函数的问题^⑵相似1.图形的相似：(1)相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形(2)相似多边形：边数相同，角分别相等，边成比例(3)相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例(4)相似比：① 把相似多边形的对应边的比例叫做多边形的相似比② 相似比是1:1的相似图形是全等形2.三角形相似的判定方法：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似^(2)三边成比例的两个三角形相似(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似^(4)两角分别相等的两个三角形相似3.相似三角形及相似多边形的性质：(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比(2)相似三角形及相似多边形的周长比等于相似比(3)相似三角形及相似多边形的面积比等于相似比的平方4.相似三角形的应用：(1)在测量河宽，物高及零件的内径等方面都有重要的应用.(2)同一时刻的物体的高度与它的影长的比都相等5.位似：(1)位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个叫做位似图形，这个点叫做位似中心^(2)位似变换：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k,那么与原上的点(x,y)对应的位似图形上的点坐标为( kx,ky)或(-kx,-ky)三、例题精析类型一反比例函数例题1已知如图，过反比例函数y=£ (x>0)的图象上一点A作AB,x轴于点B,连接AQ若S；A AOB=2,则k的值为？y*k【解析】解：,一点A是反比例函数y=H图象上一点，且AB，x轴于点B,世S AAOB=2 |k|=2 ,解得：k= ± 4.• • •反比例函数在第一象限有图象,1. k=4.【总结与反思】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值.例题222 2【解析】解：函数丫=父十1是反比例y=£的图象向左移动一个单位，[2 \2\即函数y=乂44是图象是反比例y=H的图象双曲线向左移动一个单位.故选C2 2.【总结与反思】函数丫="工是反比例v=£的图象向左移动一个单位，根据反比例函数的图象特点判断即可.此题是反比例函数的图象，主要考查了反比例函数的图象是双曲线，掌握函数图象的平移是解本题的关键类型二相似例题3如图，P是RSABC斜边AB上任意一点（A, B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与RtAABC相似，这样的直线可以作【解析】解：过点P可彳PE// BC或P曰AC,可得相似三角形;过点P 还可作PE± AB,可得：/ EPA=Z C=90° , Z A=Z A,. AP&△ ACB;所以共有3条.四、课堂运用基础A. X l>X2>X3B. X l>X3>X2C. X3>X l>X2D. X2>X3>X l3.在如图所示的相似四边形中，未知边X =4.已知a： b： c=2： 3： 4,且2a+3b-2c=10,求a, b, c 的值.答案与解析1.【答案】A.【解析】解：A 由函数y=K 的图象可知k>0与y=kx+3的图象k>0一致，故A 选项正确;B>因为y=kx+3的图象交y 轴于正半轴，故 B 选项错误； C 因为y=kx+3的图象交y 轴于正半轴，故 C 选项错误；D 由函数y=k 的图象可知 卜>0与丫=卜*+3的图象k<0矛盾，故D 选项错误.故选：A. 支 2.【答案】B.【解析】解：二.一次函数 y=ax+卷的图象过一、二、四象限，••.a<0,• ・ a - 1 v 0,・♦•反比例函数y=反二L 图象位于第二、四象限，其大致图象如图所示：4.【答案】a=4, b=6, c=8.【解析】解：设 a=2k, b=3k, c=4k, 又 「 2a+3b- 2c=10, •.4k+9k — 8k=10,5k=10, 解得k=2. a=4, b=6, c=8 .巩固1 .复印纸的型号有 A o 、A i 、A 2、A 3、A 4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到3.【答案】27.【解析】解：根据题意18 A - = --解得x=27. 根据图象知，Xi>X3>X2；故选：B.的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为（）A. 2: 1B.e：1C. V3： 1D. 3: 1k2.函数丫尸工和y2=kx- k在同一坐标系中的图象大致是（）23.已知点A在双曲线y=—£上，点B在直线y=x-4上，且A, B两点关于y轴对称，设点A 的坐标为（m, n）,则马+旦的值是.n m4.如图，已知函数y寺（x>0）的图象经过点A、B,点A的坐标为（1,2）,过点A作AC //y轴，AC=1 （点C位于点A的下方），过点C作CD// x轴，与函数的图象交于点D,过点B作B已CD垂足E在线段CD上，连接OC OD（1）求^ OC曲面积;（2）当BE二AC时，求CE的长.答案与解析1.【答案】B.【解析】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a,•.•得到的矩形都和原来的矩形相似，..且=匕，则b2=2a2，这些型号的复印纸的长宽之比为V2：1,故选：B.2.【答案】解：当kv 0时，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限；当k>0时，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限.故选D.【解析】根据反比例函数的性质和一次函数的性质，分k>0和k<0两种情况讨论, 同一符号时，两函数图象能共存于同一坐标系的为正确答案.3.【答案】-10.【解析】解：: A, B两点关于y轴对称，点A的坐标为(m, n),• . B ( - m, n).I 9•・•点A在双曲线y=」■上，xmn=- 2.丁点B在直线y=x-4上,n= — m- 4.2-2nn JC-4)=CnHn)故答案为：-10.] 1 d 14.【答案】（1）SaQE*XlXl=*; （2） CE二—L4.jg" Z Z 3 J【解析】解；（1） y上（x>0）的图象经过点A （1, 2）,•. AC// y 轴,AC=1,•••点C的坐标为（1, 1） .. CD// x轴，点D在函数图象上,•••点D的坐标为（2, 1）.,■S AOCD）.父1/⑵,・"春纪,BE*•.BEX CD点B的纵坐标=2-L3，由反比例函数y=点B的横坐标x=2 -^―=—, 2 \3\一4 一，点B的横坐标是—,纵坐标是拔高k1.如图，在平面直角坐标系中，点P (1, 4)、Q (m, n)在函数y==(x>0)的图象上, 当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A, B;过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C D. QD交PA于点E,随着m的增大，四边形ACQE的面积(A.减小B.增大C.先减小后增大D.先增大后减小2.有这样一个问题：探究函数y」7+x的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数y=^-p+x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数y=——+x的自变量x的取值范围是；(2)下表是y与x的几组对应值.求的值;(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是( 2, 3),结合函数的图象，写出该函数的其它性质 (一条即可)：.I K L・■ ■ ■4_ * * 寸• 2-I i i j L J t■ 1 1 jhr7 -3 -2 -1。

相似三角形几何模型-X型图(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

相似三角形几何模型-X型图(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题4.34 相似三角形几何模型-X 型图（知识讲解） 0//A AOBO AB A B DC B CO DO CD ∆⇔==模型一：平行X 字型如图一，在中，D 、C 分别是AO 、BO 延长线上的点，AO BO AB AOB A D DO CO DC∆∠=∠⇔==模型二：非平行X 字型（也称为反X 字型）如图二，在中，DC 分别为AOBO 延长线上的点，AE BF ED FC ⇔=模型三：双（多）X 字型如图三，AD//BC ，AB 、CD 相交于点O ，过点O 的线段EF 交AD 、BC 于E 、F图一 图二 图三类型一、平行X 字型（也称为8字型）1．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，DC 与BE 相交于点O ，且2DO =，6BO DC ==，3OE =．求证：DOE COB △∽△．【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可．解：2DO =，6DC =，624OC CD DO ∴=-=-=，2142OD OC ∴==，3162OE OB ==， OD OE OC OB∴=， DOE BOC ∠=∠，DOE COB ∴∆∆∽．【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．举一反三【变式1】如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?【答案】∠AFD∠∠EFB，∠ABC∠∠ADE；理由见分析.【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．解：∠AFD∠∠EFB，∠ABC∠∠ADE．理由如下：∠∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB∠∠AFD∠∠EFB，∠∠B＝∠D．∠∠1＝∠2，∠12＝，∠+∠∠+∠EAF EAF∠∠BAC＝∠DAE，∠∠ABC∠∠ADE．【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形．【变式2】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．（1）证明∠MPD∠∠NPE．（2）当∠MPD与∠NPE全等时，直接写出点P的位置．（3）当∠NPE是等腰三角形时，求α的值．【答案】（1）见分析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°【分析】(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等得到MP ＝NP ，即点P 是MN 的中点；(3)需要分类讨论：PN ＝PE 、PE ＝NE 、PN ＝NE ，再根据三角形内角和计算即可．(1)证明：∠a∥b ，∠∠MPD ∠∠NPE ．(2)∠a∥b ，∠∠MDP ＝∠NEP ，∠当∠MPD 与∠NPE 全等时， MP ＝NP ，即点P 是MN 的中点；(3)∠a∥b ，∠∠1＝∠PNE ＝70°，∠若PN ＝PE 时，∠∠PNE ＝∠PEN ＝70°．∠a ＝180°﹣∠PNE ﹣∠PEN ＝180°﹣70°﹣70°＝40°．∠∠a ＝40°；∠若EP ＝EN 时，则a ＝∠PNE ＝70°；∠若NP ＝NE 时，则∠PEN ＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE ＝110°，∠α＝∠PEN ═55°；综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．类型二、非平行X 字型（也称为反8字型）2．在∠DP PB CP PA ⋅=⋅，∠BAP CDP ∠=∠，∠DP AB CD PB ⋅=⋅这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形ABCD 的两条对角线交于P 点，若 （填序号）求证：ABP DCP △△．【答案】∠，证明见分析或∠，证明见分析．【分析】若选择条件∠，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；若选择条件∠，可利用两角相等的两个三角形相似．解：选择条件∠的证明为：∠DP PB CP PA ⋅=⋅， ∠=PA PB DP CP， 又∠APB DPC ∠=∠，∠ABP DCP ∽△△；选择条件∠的证明为：∠APB DPC ∠=∠，BAP CDP ∠=∠∠ABP DCP ∽△△．【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．举一反三【变式1】如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析 (2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．(1)证明：∠EF 垂直平分CD ，∠90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()EDF ECF SSS ≅，∠12∠=∠，∠90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∠233490∠+∠=∠+∠=︒，∠421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∠OCE OFD ．(2)解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，EG EF ∴=， CD 是边AB 上的中线，∠AD BD =，在ADG 和BDF 中，65DG DF AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ADG BDF SAS ≅△△，∠24AG BF ==，7B ∠=∠，∠AG BC ，∠18090EAG ACB ∠=︒-∠=︒，∠25EG =，∠25EF =．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式2】如图，AC ，BD 相交于的点O ，且∠ABO ＝∠C ．求证：∠AOB ∠∠DOC ．【分析】利用对顶角相等得到∠AOB =∠COD ，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．证明：∠AC ，BD 相交于的点O ，∠∠AOB ＝∠DOC ，又∠∠ABO ＝∠C ，∠∠AOB ∠∠DOC ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．类型三、A、X字型综合3．如图，在∠ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD 于点N，ON＝1．(1)求证：∠DMN∠∠BCN；(2)求BD的长；(3)若∠DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．【答案】(1)见分析(2) 6 (3) 5【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∠∠BCN；（2）由△DMN∠∠BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（3）根据△MND∠∠CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解．（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∥BC，∠∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∠∠DMN∠∠BCN；（2）解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD=BC，OB=OD＝12BD，∠∠DMN∠∠BCN，∠DM DN BC BN，∠M为AD中点，∠AD=2DM，∠BC=2DM，∠BN=2DN，设OB=OD=x，∠BD=2x，∠BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，∠x+1=2（x-1），解得：x=3，∠BD=2x=6，∠BD的长为6；（3）解：∠∠MND∠∠CNB，∠DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，∠∠DCN的面积为2，∠S∠MND=12S∠CND=1，S∠BNC=2S∠CND=4，∠S∠ABD=S∠BCD=S∠BCN+S∠CND=4+2=6，∠S四边形ABNM=S∠ABD-S∠MND=6-1=5，∠四边形ABNM的面积为5．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键．举一反三【变式1】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF∠EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：∠AEF∠∠DCE；(2)∠AEF与∠ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设ABkBC=，是否存在这样的k值，使得∠AEF与∠BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见分析(2)相似，证明见分析(3)存在，k【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt∠AEF∠Rt∠DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE 垂直平分FG，∠CGF是等腰三角形，据此即可证得∠AEF与∠ECF相似；(3)假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝13ka，BF＝23ka，再由∠AEF∠∠DCE，即可求得k值．（1）证明：∠EF∠EC，∠∠FEC＝90°，∠∠AEF＋∠DEC＝90°，∠∠AEF＋∠AFE＝90°，∠∠DEC＝∠AFE，又∠∠A＝∠EDC＝90°，∠∠AEF∠∠DCE；（2）解：∠AEF∠∠ECF．理由：∠E为AD的中点，∠AE＝DE，∠∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∠∠AEF∠∠DEG(ASA)，∠EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∠EF∠CE，∠CE垂直平分FG，∠∠CGF是等腰三角形．∠∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∠∠A＝∠FEC＝90°，∠∠AEF∠∠ECF；（3）解：存在k∠AEF与∠BFC相似．理由：假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB ＝ka，∠∠AEF∠∠BCF，∠12AFAE BF BC ， ∠AF ＝13ka ，BF ＝23ka ， ∠∠AEF ∠∠DCE ， ∠AE AF DC DE =，即113212ka a ka a =，解得，k =．∠存在k 使得∠AEF 与∠BFC 相似． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．【变式2】如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ∠DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：∠BGC ∠∠DGF ；(2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；(3)若点G 是DC 中点，求GF CE的值．【答案】(1) 见分析 (2) 见分析(3)GF CE =【分析】 （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到∠BGC ∠∠DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出∠BGC ∠∠DEC ，进而根据第一问结论可得∠BGC ∠∠DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GF CE的值． （1）证明：∠四边形ABCD 是正方形∠90BCD ADC ∠=∠=︒∠BF DE ⊥∠90GFD ∠=︒∠BCD GFD ∠=∠，又∠BGC DGF ∠=∠，∠∠BGC∠∠DCF ．（2）证明：由（1）知∠BGC ∠∠DGF ， ∠BG BC DG DF=， ∠DG BC DF BG ⋅=⋅∠四边形ABCD 是正方形，∠AB BC =∠DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知∠BCC ∠∠DGF ，∠FDG CBG ∠=∠，在∠BGC 与∠DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠∠∠BGC∠∠DEC （ASA ）∠CG EC =∠G 是CD 中点∠CG DG =∠::GF CE CF DC =∠∠BGC∠∠DGF∠::GF DG CG BG =在Rt∠BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∠CG BG =∠GF CE =【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．【变式3】已知：如图，两个DAB 和EBC 中，DA DB =，EB EC =，ADB BEC ∠=∠，且点A 、B 、C 在一条直线上．联结AE 、ED ，AE 与BD 交于点F ．(1) 求证：DF AB BF BC=； (2) 如果2BE BF BD =⋅，求证：DF BE =．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证DAB DBA EBC ECB ∠=∠=∠=∠，从而证得AD BE ，BD CE ∥，再利用平行线分线段成比例即可得出结论．（2）证明EBF DBE △△∽，得DEB BFE ∠=∠，继而利用DAF BDE ≌△△，即可得出结论．(1)证明：DA DB =，EB EC =，DAB DBA ∴∠=∠，EBC ECB ∠=∠，ADB BEC ∠=∠，DAB DBA EBC ECB ∴∠=∠=∠=∠，AD BE ∴∥，BD CE ∥，DF AF BF EF ∴=，AF AB EF BC =， DF AB BF BC∴=． (2)证明：2BE BF BD =⋅，BE BD BF BE∴=， EBF DBE ∠=∠，EBF DBE ∴△△∽，DEB BFE ∴∠=∠，AFD BFE ∠=∠，AFD DEB ∴∠=∠，AD BE ，ADF DBE ∴∠=∠又AD BD =，DAF BDE ∴≌△△，DF BE ∴=．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．。

相似三角形”A“字模型(含详细答案解析)~经典

相似三角形”A“字模型(含详细答案解析)~经典

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t=秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．时，△CPQ与△CBA相似．．图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，相似三角形全章节教案和练习比例线段一，线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。

当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。

需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。

当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。

相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。

比的前项为a，后项为b。

比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。

比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。

其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。

例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。

5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。

注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。

初三相似三角形的基本模型

初三相似三角形的基本模型

初三相似三角形的基本模型相似三角形在数学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在相似三角形的证明中，常见的基本模型是AA、辅助线构造成比例线段和面积法。

AA模型AA模型指的是两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，如果三角形DEF的两个角分别等于三角形ABC的两个角，那么我们就可以得出这两个三角形相似的结论。

辅助线构造成比例线段在相似三角形的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论。

常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。

例如，对于图中的问题，我们可以通过做平行线CE∥AD 来得到证明。

这种方法利用了“A”型图的基本模型。

面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题。

常用的面积法基本模型包括“山字”型。

“田字”型和“燕尾”型等。

在题型方面，与三角形有关的相似问题是常见的。

例如，对于图中的问题，我们需要证明角ADE等于角B，可以通过使用AA模型来得出结论。

在三角形ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，以BC为边在A点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．解：首先，我们需要构造双垂直辅助线，如图所示：由于△ABD为等腰直角三角形，所以AD=BD=AB=3，又由于BC=5，所以BD=5-3=2，根据勾股定理可得CD=√(BC²-BD²)=√(5²-2²)=√21．因此，线段CD的长为√21．例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC。

根据折叠可知XXX⊥CP。

由∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠XXX°可得∠2=∠CNM。

浙教版数学九年级上册 第4章 相似三角形 知识点汇总 及例题讲解

浙教版数学九年级上册 第4章 相似三角形 知识点汇总 及例题讲解

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩比例的性质平行线分线段成比例成比例线段平行线分线段成比例定理相似三角形定义相似三角形的基本判定相似三角形判定相似三角形性质位似一、比例的性质1．a cad bc b d=⇔=，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理)； 3．a c a bb dcd =⇔=(或d c b a =)(更比定理)；4．a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理)； 5．ac a b cd b d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c d b d a b c d++=⇔=--(合分比定理)； 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、 黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，相似三角形知识精讲知识网络图0.382BC AB AB =≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．AAB C D E FFEDC B A A BE F F ECBA2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

部编数学九年级下册专题06相似三角形(热考题型)解析版含答案

部编数学九年级下册专题06相似三角形(热考题型)解析版含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题05 相似三角形判定、性质及其模型【思维导图】◎考点题型1 相似三角形的判定-定义法三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．例．（2022·全国·九年级课时练习）在ABC V 与'A B V ’'C 中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断'''ABC A B C V :V 的共有（ ）组．①AB BC A B B C =¢¢¢¢； ②BC AC B C A C =¢¢¢¢； ③'A A Ð=Ð；④'C C Ð=Ð．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可．【详解】解：能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的有①②或②④或③④，共3组，故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点P 在ABC V 的边AC 上，若要判定ABP ACB V V ∽，则下列添加的条件不正确的是（ ）A ．ABP C Ð=ÐB ．APB ABCÐ=ÐC ．::AP AB AB AC=D ．::AB BP AC AB =【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断即可求解．【详解】解：根据题意得：∠A=∠A ，A 、若ABP C Ð=Ð，可利用AA 证得ABP ACB V V ∽，故本选项不符合题意；B 、若APB ABC Ð=Ð，可利用AA 证得ABP ACB V V ∽，故本选项不符合题意；C 、若::AP AB AB AC =，可利用SAS 证得ABP ACB V V ∽，故本选项不符合题意；D 、若::AB BP AC AB =，无法证得ABP ACB V V ∽，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）将两个完全相同的等腰直角△ABC 与△AFG 按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（ ）A ．△AEC 与△ADBB ．△ABE 与△DAEC ．△ABC 与△ADED ．△AEC 与△ADC【答案】B 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．【详解】解：A ．根据已知条件无法证明△AEC 与△ADB ，故选项不符合题意；B ．∵△ABC 与△AFG 都为等腰直角三角形，∴∠DAE ＝∠B ＝45°，∵∠AEB ＝∠DEA ，∴△ABE ∽△DAE ；故选项符合题意；C ．根据已知条件无法证明△ABC 与△ADE ，故选项不符合题意；D ．根据已知条件无法证明△AEC 与△ADC ，故选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．变式3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，P 、Q 分别为AB 、AC 边上的点，且满足AP AQ AC AB=．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ ，则PQ //BC ．淇淇说：AQP ABC V V ∽．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）A ．嘉嘉正确，淇淇错误B ．嘉嘉错误，淇淇正确C ．两人都正确D ．两人都错误◎考点题型2 相似三角形的判定-平行法平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．例．（2021·河北保定·九年级期末）如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A ．ED DF EA AB =B ．DE EF BC FB =C ．BC BF DE BE =D ．BF BC BE AE=变式1．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，联结DE ，那么下列条件中不能判断△ADE 和△ABC 相似的是（ ）A ．DE ∥BCB ．∠AED ＝∠BC ．AE AB AD AC =D ．AE AC DE BC =【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是变式2．（2021·四川宜宾·九年级期中）如图，AB CD ∥，AE FD ∥，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中的相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】D 【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△BFH 、△BAG 、△CEG 、△CDH 任意两个三角形都相似．【详解】解：∵AB CD ∥，AE FD ∥，∴△BFH ∽△BAG ，△BAG ∽△CEG ，△BFH ∽△CEG ，△BFH ∽△CDH ，△CEG ∽△CDH ，△CDH ∽△BAG .∴相似三角形共有6对.故选C.【点睛】本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，以及n 个图形任意两个都相似，共有几对相似的计算方法.变式3．（2021·北京大兴·九年级期中）下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ）A ．∠A =∠D ，∠B =∠FB ．BC AC EF DF =且∠B =∠D C ．AB BC AC DE EF DF ==D ．AB AC DE DF=且∠A =∠D（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．◎考点题型3 判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例．（2019·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习）下列条件中能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的是（ ）A ．∠A ＝∠B ，∠A ′＝∠BB ．∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠CC ．∠A ＝∠A ′，AB BC A B B C =¢¢¢¢D ．∠A ＝∠A ′，AB ＝AC ，A ′B ′＝A ′C ′变式1．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断ADE V ∽ACB △的是（ ）．A ．ADE C Ð=ÐB ．AED B Ð=ÐC ．AE DE AB BC =D ．AD AE AC AB=变式2．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室九年级期末）如图，△ABC 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，CE 与BD 交于点F ，则图中相似三角形有几对（ ）A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可．【详解】解：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AEC =∠ADB =90°，∠BEF =∠CDF =90°，∵∠A =∠A ，∠EFB =∠DFC ，∴△AEC ∽△ADB ，△BEF ∽△CDF ，∵∠EBF =∠ABD ，∠BEF =∠ADB =90°，∴△BEF ∽△BDA ∽△CEA ∽△CDF ，∴共有6对相似三角形，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在ACB △中，90,ACB AF Ð=°是BAC Ð的平分线，过点F 作FE AF ^，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．CDF EBFV V ∽B ．ADF ABF V V ∽C ．ADF CFD V V ∽D ．ACF AFEV V ∽【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法AA 解题．【详解】解：EF AF^Q 90AFE \Ð=°90ACB AFE \Ð=Ð=°AF Q 是BAC Ð的平分线，CAF FAE\Ð=Ð()ACF AFE AA \V :V 故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎考点题型4判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例．（2022·河北保定·九年级期末）如图，DAB CAE Ð=Ð，请你再添加一个条件，使得ADE ABC D D ∽．则下列选项不成立的是（ ）A ．D BÐ=ÐB ．E C Ð=ÐC ．AD AE AB AC =D ．AD DE AB BC=【答案】D 【分析】先根据DAB CAE Ð=Ð，可得DAE BAC Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可．变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 的两条不等长对角线AC ，BD 相交于点O ，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若::1:2OA OC OB OD ==，则（ ）A ．甲、丙相似，乙、丁相似B ．甲、丙相似，乙、丁不相似C ．甲、丙不相似，乙、丁相似D ．甲、丙不相似，乙、丁不相似【答案】B 【分析】根据已知及相似三角形判定定理，对四个三角形的关系进行分析，从而得到最后答案．【详解】在OAB V 和OCD V 中，::OA OC OB OD =，又AOB COD Ð=Ð，∴OAB OCD ∽△△，即甲丙相似；无法证明OAD OBC V V ∽，即乙丁不相似．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．变式2．（2021·河北承德·九年级期末）如图，在ABC V 中，D 为AB 上一点，若2AC AD AB =×，则（ ）A ．ADC V ～CBDV B ．BDC V ～BCA V C ．ADC V ～ACB △D ．无法判断【答案】C变式3．（2020·广西贺州·九年级阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD AB ^，垂足为D ，8AD =，2DB =，则CB 的长为（ ）A ．B ．4C ．12D ．16故选：A【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，利用平方根的含义解方程，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．◎考点题型5 判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似例．（2020·安徽·九年级阶段练习）如图，已知ABC V 与BDE V 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．BEF DAF∽△△B ．BCD DAF ∽△△C ．ADF ABD V V ∽D ．BDF BAD∽△△【答案】C 【分析】结合题意，运用相似三角形的判定定理逐项分析即可【详解】∵ABC V 与BDE V 都是等边三角形，∴∠A=∠E=60°，又∵∠EFB=∠AFD ，∴∠FBE=∠FDA ，∴BEF DAF ∽△△，A 选项正确；∵∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBD-∠FBD=∠ABC-∠FBD ，∴∠DBC=∠FBE ，∴∠DBC=∠FDA ，又∵∠A=∠C=60°，∴BCD DAF ∽△△，B 选项正确；对于C 选项，条件不明确，无法证明一定相似，故错误；∵∠DBF=∠ABD ，∠FDB=∠A=60°，∴BDF BAD ∽△△，D 选项正确．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．变式1．（2020·浙江·滨兰实验学校九年级阶段练习）如图，四边形ABGH ，四边形BCFG ，四边形CDEF 都是正方形，图中与DFG D 相似的三角形为（ ）A ．DFHV B ．DGH V C ．DEG △D ．DEH△变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的周长之比为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】A∵点D ，E 分别为变式3．（2021·浙江杭州·九年级阶段练习）如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE =BE ，则有（ ）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．◎考点题型6 相似三角形基本图形--8字型有一组隐含的等角(对顶角)，此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等(AB、CD不平行，∠A＝∠C) (AB∥CD)例．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE．交AC于O，交AD于F．求证：2BO OE OF=g．例相等是解决本题的关键．变式1．（2021·重庆·九年级期末）如图AD 与CE 交于B ，且AB CB BD BE=．（1）求证：ABC V ∽DBE V ．（2）若8AC =，6BC =，9CE =，求DE 的长．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，BC 2=BF•BA ，CF 与DE 相交于点G ．（1）求证：DF•AB=BC•DG ；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由BC 2=BF•BA ，∠ABC=∠CBF 可判断△BAC ∽△BCF ，再由DE ∥BC 可判断BCF DGF V V ∽，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．变式3．（2013·云南德宏·中考真题）如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN 是35mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9m ，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2m 的景物，拍摄点离景物有4m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？∵D MN CL AB L =，◎考点题型7 相似三角形基本图形--A 字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，∠DAF ＋∠BAD ＝∠DAF ＋∠EAF )，此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例例．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．变式1．（2021·江苏·九年级）在ABC V 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S ==V V ，求21S S 的取值范围．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键．变式2．（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）V中，90Rt ABCBC=，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动Ð=°，20cmCAC=，15cm点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?V的面积为S，求S关于t的函数关系式．（2）若CPQV相似?（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC变式3．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AF AE FE EC=．（1）求证：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝△ADE∽△AEB．◎考点题型8 相似三角形基本图形--母子型有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)例．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．变式1．（2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C 的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角变式2．（2021·安徽合肥·九年级期中）ABC V 中，90ABC Ð=°，BD AC ^，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ^于点H ．（1）求证：ADE CDB V V ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．变式3．（2021·安徽滁州·九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且AB ADAC CE=，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．◎考点题型9 相似三角形基本图形--K字型如图①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似例．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．变式1．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B Ð=Ð=Ð=°时，求证：AD BC AP BP ×=×．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC V 中，AB =45B Ð=°，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD Ð=°，若CE =CD 的长．变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝ ；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝ （用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．Ð=oACB90Q，\Ð+Ð=oA ABC90V中，CF在Rt CEF根据勾股定理得，V中，CF在Rt CEF根据勾股定理得，CE(2[25\++CE CE在Rt CEF V 中，2CF AE =根据勾股定理得，2CE +()22[25]CE CE \+-=变式3．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC Ð=Ð=Ð=°．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC Ð=Ð=Ð．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC V 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A Ð=Ð，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．◎考点题型10 相似基本模型（手拉手型）基础模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.例．（2021·全国·九年级专题练习）在Rt ABC V 和Rt DEF △中，30ABC EDF Ð=Ð=°，90BAC DEC Ð=Ð=°，BC 与DF 在同一条直线上，点C 与点F 重合，2AC =，如图为将CED V 绕点C 顺时针旋转30°后的图形，连接BD ，AE ，若12EF AC =，求BDC V 和AEC △的面积．∵AC=2，1EF=AC 2，∴EC=1，变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知点E 在ABC V 内，ABC EBD a Ð=Ð=，60ACB EDB Ð=Ð=°，150AEB Ð=°，90BEC Ð=°．（1）当60a =°时，求证：BD =；（2）当90a =°时，求BD AE 的值．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是变式2．（2022·河南周口·九年级期末）观察猜想V中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边(1)如图1，在等边ABCÐ的数量关系是______．AMNV，连接CN，则ABCÐ与ACN(2)类比探究V中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结如图2，在等边ABC论还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图3，在等腰ABC V 中，BA BC =，点M 是边BC 上任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等腰AMN V ，使顶角AMN ABC Ð=Ð．连按CN ．试探究ABC Ð与ACN Ð的数量关系，并说明理由．变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，ABC V 为等边三角形，D 为AC 边上一点，连接BD ，M 为BD 的中点，连接AM ．(1)如图1，若AB ＝，∠ABD ＝45°，求AMD V 的面积；(2)如图2，过点M 作MN AM ^与AC 交于点E ，与BC 的延长线交于点N ，求证：AD ＝CN ；(3)如图3，在（2）的条件下，将ABM V 沿AM 翻折得'AB M V ，连接B'N ，当B'N 取得最小值时，直接写出BN DEMN-的值．(2)如解图2，过点A作AG^∵△ABC为等边三角形，∴BG=GC，∵BM=DM，(3)取AC的中点Q，连接∵将△ABM沿AM翻折得Ð=Ð，AB ∴BAM MAB¢【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系．◎考点题型11 相似基本模型（一线三等角型）基础模型：如图1，∠B=∠C=∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角）如图2，∠B=∠C=∠ADE 推出△ABD ∽△DCE （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC.例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在ABC V 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C Ð=Ð=Ð．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC Ð=°=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE V 是等腰三角形，求此时BD 的长．）。

2024年中考数学复习(全国版)重难点09 相似三角形8种模型(解析版)

2024年中考数学复习(全国版)重难点09 相似三角形8种模型(解析版)

∴△ 퐶퐴 ∽△ 퐶 ，
∴ ∠퐶퐴 = ∠퐶 ，
∵ ∠퐶퐴 = ∠퐶퐵 ，
∴ ∠퐶 퐵 = ∠퐶퐵 ，
∴ 퐵퐶 = 퐶，
∴ 퐶 = 퐶퐵， ∴ ∠퐵 퐶 = ∠퐵퐴 ，
∴ 퐶//퐴 ，
∴
푃퐶 퐶
=
푃 퐴
=
2� �
=
2，
∴ 푃퐶 = 2퐶 = 4 2，
∵ ∠푃퐶퐵 = ∠푃퐴 ，∠퐶푃퐵 = ∠퐴푃 ，
．
【答案】2 【分析】过 D 作 垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交 BC 于 G 点，先利用解直角三角形求出퐶 的长， 其次利用△ 퐶 ∽△ 퐶퐵 ，求出퐶 的长，得出퐵 的长，最后利用△ 퐵 ∽△ 퐵퐴 ，求出퐵 的长， 最后得出答案． 【详解】解：如图：过 D 作 垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交퐵퐶于 G 点，
∴퐴
= 퐴�，即
퐴 �+
�
=
� 퐴
∴2
2+
�
=
� 2
解得 � = 5 − 1 或 � =− 5 − 1 < 0（不符题意，舍去）
则퐵 = � = 5 − 1
故答案为：2， 5 − 1． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质 等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆 O 经过点 C,D．AC 与 BD 相
BC=DC，证明
OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到퐶푃퐶
=
푃 퐴
=
2，则푃퐶
=
2퐶
= 4 2，然后证

反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数

反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数

例题精讲考点1反比例函数与全等三角形综合问题【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，∵点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴CO＝EO＝1，∴∠CEO＝45°，CE＝，∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB（AAS），∴AO＝CD，OC＝BD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠CAO＝22.5°，∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，∴CE＝AE＝，∴AO＝1+＝CD，∴DO＝，∴点B坐标为（，﹣1），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣1×＝﹣，变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝30°，点A的坐标为（﹣3，0），将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D 恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为（）A．B．﹣2C．4D．﹣4解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E．由对称可知CD＝BC，易证△DCE≌△BCO（AAS），∴CE＝CO，DE＝OB，∵∠BAC＝30°，OA＝3∴OC＝OA＝，∠OCB＝30°，∴OB＝OC＝1，∴DE＝OB＝1，CE＝OC＝，OE＝2，|k|＝DE•OE＝1×2＝2，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣2，故选：B．【变1-2】．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足_______(填等量关系）解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y＝的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．又∵AC⊥BC，AC＝BC，∴CO⊥AB，CO＝AB＝OA，∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，AE＝CF，∵点C（m，n），∴CF＝﹣m，cF＝n，∴OE＝﹣m，AE＝n，∴A（﹣m，n），∵点A是反比例函数y＝图象上，∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，考点2反比例函数与相似三角形综合问题【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（）A．B．C．D．12解：过点M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴＝（）2＝，＝4，∵S△ADM＝9，∴S△BOM∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴＝＝＝，∴OH＝OB，＝×S△OBM＝，∴S△MOH∵＝，∴k＝，故选：B．变式训练【变2-1】．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，＝，则k的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．则∠BDO＝∠ACO＝90°，则∠BOD+∠OBD＝90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2＝（）2＝，＝×4＝2，又∵S△AOC＝，∴S△OBD∴k＝﹣．故选：B．【变2-2】．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延＝8，则k等于长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC （）A．8B．16C．24D．28解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．＝8，即BC×OE＝2×8＝16＝BO×AB＝|k|．又∵S△BEC又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于16．故选：B．【变2-3】．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（）A．18B．20C．22D．21解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，∵OA＝AB，AF⊥OB，∴OF＝FB＝OB，∵BC⊥OB，∴AF∥BC，∴△ADE∽△BDC，，∴BC＝2EF，设OF＝a，则OB＝2a，∴A（a，），C（2a，），∴AF＝，BC＝，∴AF＝2BC＝4EF，AE＝AF﹣EF＝3EF，∵△ADE∽△BDC，∴，∴＝（）2＝，∵△BCD的面积为2，＝，∴S△ADE∴＝，∵＝，∴EC＝OE，∴＝，∴＝，＝，∴S△AOE∵＝＝，∴＝＝，＝S△AOE＝×＝10，∴S△AOF∴|k|＝10，∵k＞0，∴k＝20．故选：B．1．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，且△ABC的面积为3，则k等于（）A．4B．2C．3D．1解：连接BC，过点C作CM⊥OB于M，∵OC＝CA，即＝，∴＝＝，又∵△ABC的面积为3，＝，∴S△OBC又∵CM∥AB，∴＝＝，∴＝＝，＝S△OBC＝＝|k|，∴S△OMC∵k＞0，∴k＝1，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．3．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为（）A．B．C．D．解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，＝×|1|＝，S△BOD＝×|﹣5|＝，∴S△AOC∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，而∠ACO＝∠BDO，∴△AOC∽△OBD，∴＝（）2＝＝，∴＝，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，故选：B．4．如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（）A．12B．6+C．6+2D．6+2解：如图，过点D作DE⊥AO于E，∵点D是BO的中点，∴AD＝BD＝DO＝3，∴BO＝6，∵DE⊥AO，AB⊥AO，∴AB∥DE，∴，∴AB＝2DE，AO＝2EO，＝DE×EO＝，∵S△DEO＝AB×AO＝2，∴S△ABO∵AB2+AO2＝OB2＝36，∴（AB+AO）2＝36+8，∴AB+AO＝2，∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，故选：D．5．如图，长方形ABCD的顶点A、B均在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对角线DB的延长线交x轴于点E，连接AE，已知S△ABE＝1，则k的值是（）A．1B．C．2D．4解：延长DC与x轴交于点F，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC∥OE，∴△ABD∽△OBE，∴＝，即：AD•OB＝AB•OE，＝1＝AB•OE，又∵S△ABE∴AD•OB＝AB•OE＝2＝BC•OB，＝BC•OB＝2＝|k|，即：S矩形OBCF∴k＝2或k＝﹣2（舍去），故选：C．6．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为3．解：设点P（m，m+2），∵OP＝，∴＝，解得m1＝1，m2＝﹣3（不合题意舍去），∴点P（1，3），∴3＝，解得k＝3．故答案为：3．7．已知一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为y＝．解：∵一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，4），过C作CD⊥x轴于D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴＝＝，∴CD＝6，AD＝3，∴OD＝1，∴C（1，6），设反比例函数的解析式为y＝，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为2．解：设A（t，），∵点A与点B关于直线y＝x对称，∴B（，t），∵AB＝4，∴（t﹣）2+（﹣t）2＝42，即t﹣＝2或t﹣＝﹣2，解方程t﹣＝﹣2，得t＝﹣﹣2（由于点A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣+2，经检验，t＝﹣+2，符合题意，∴A（﹣+2，+2），B（+2，﹣+2），∵C为AB的中点，∴C（2，2），∴OC＝＝2．故答案为2．9．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9．解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO∴△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k＝12．解：如图，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，＝S矩形OADF＝2S△OEG＝k，则S△OBC又∵EG∥BC，∴△OEG∽△OBC，∴＝（）2＝2，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴k＝12．故答案为12．12．如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为1．解：作BH⊥x轴，垂足为H，AM⊥y轴，垂足为M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，则BH＝，代入反比例函数y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM•OM＝m，∴m＝1．故答案为1．13．如图，线段OA与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y ＝（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为．解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．∴BE∥CF∥AM，∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，设点B的坐标为（a，b），∴OE＝a，BE＝b，∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，∴CF＝AM＝b，∴C（a，b），∴OF＝a，∴FM＝OM﹣OF＝a，∴DF＝FM＝a，∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．∵△BCD的面积为3，∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，∴△ABD的面积＝12．∴△BOD的面积＝×△ABD的面积＝6．∴•OD•BE＝a×b＝6．解得k＝ab＝．故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连接BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为2．解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故答案为：2．15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）＝6，则k＝的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC．解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C （m ，），则OM ＝m ，CM ＝，∵OE ∥CM ，AE ＝CE ，∴＝＝1，∴AO ＝m ，∵DN ∥CM ，CD ＝2BD ，∴＝＝＝，∴DN ＝，∴D 的纵坐标为，∴＝，∴x ＝3m ，即ON ＝3m ，∴MN ＝2m ，∴BN ＝m ，∴AB ＝5m ，∵S △ABC ＝6，∴5m •＝6，∴k ＝．故答案为：．16．如图，A 为反比例函数（其中x ＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，OB ＝4．连接OA ，AB ，且OA ＝AB ＝2．过点B 作BC ⊥OB ，交反比例函数（其中x ＞0）的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，∴k＝2×6＝12．∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴，故答案为．17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为．解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴＝（）2，∵A点在双曲线y＝，＝，＝×4＝2，＝，∴S△AOM∴＝（）2，＝，∴S△ODN∵D点在双曲线y＝（k＜0）上，∴|k|＝，∴k＝﹣9，∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，＝+＝，∴S△OEF故答案为．18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝8．解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，∴OD2＝CD•DA，设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，解得：mn＝8＝k，故答案为8．19．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴＝2，于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE 则k的值是4．解：（解法一）过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．又∵BC⊥AC，∴DA⊥AC．∵CD平行于x轴，∴∠ACD＝∠CEO．∵CO⊥OE，DA⊥AC，∴∠ECO＝∠D．设点D的坐标为（m，）（m＞0），则CD＝m，OC＝DF＝．在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m•cos∠D．在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．S△BCE＝CE•BC＝•m•cos∠D＝k＝2，解得：k＝4；（解法二）设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD＝m，OC＝n，∵CD∥x轴，∴∠ACD＝∠OEC．∵四边形ABCD为平行四边形，BC⊥AC，∴DA⊥AC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠COE＝90°，∴△COE∽△DAC，∴＝，即＝，∴mn＝BC•CE．＝BC•CE＝2，∵S△BCE＝4．∴mn＝2S△BCE∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝mn＝4．故答案为：4．20．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，A（2，），C（4，），∵AH∥BC，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．21．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，交于点E，若BO＝CE，则k的值为．解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，∵AC＝BD＝，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴CE＝DE＝CD＝，∵BO＝CE，∴BO＝，在Rt△BOD中，由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，即，解得k＝或k＝﹣（舍去），故答案为：．22．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD＝＝2，∠ABC＝2∠OBC，∴点D（0，2），设点C（m，0），∵点N为CD的中点，∴点，∵反比例函数的图像经过点N，∴，解得：，即点，∴，∴，，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴，∵AE⊥BC，∴，∴．故答案为：．23．如图，平面坐标系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且双曲线y＝＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代数式表示．也过E、F两点，记S△CEF解：过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示：∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，∴CM∥FG，MC＝FG，∴△BME∽△BGF，∴＝＝＝，设点C的坐标为（a，b），则E（，b），F（a，），∴S1＝×（a﹣）•（b﹣）＝ab；S2＝a•b﹣•﹣•﹣ab＝ab．∴＝．24．如图，在平面直角坐标系中，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，PA、QB分别垂直x轴于点A、B，PC、QD分别垂直y轴于点C、D．设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n，△PCD的面积为S1，△QAB的面积为S2．（1）当m＝2，n＝3时，求S1、S2的值；（2）当△PCD与△QAB全等时，若m＝3，直接写出n的值．解：（1）∵当m＝2时，y＝＝6，∴P（2，6）．∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，∴PC＝OA＝2，PA＝OC＝6．∵当m＝3时，x＝＝4，∴Q（4，3）．∵QB⊥x轴，QD⊥y轴，∴DQ＝OB＝4，QB＝OA＝3，∴CD＝OC﹣OD＝3，AB＝OB﹣OA＝2，∴S1＝CD•CP＝×3×2＝3，S2＝AB•QB＝×2×3＝3．（2）∵m＝3，∴P（3，4），∴PC＝OA＝3，当△PCD≌△QBA时，∵QB＝PC＝3，∴n＝3；当△PCD≌△ABQ时，∵PC＝OA＝3，∴AB＝PC＝3，∴OB＝OA+AB＝3+3＝6．∵点Q在反比例函数y＝的图象上，∴y＝＝2，∴n＝2．综上所述，n＝2或3．25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．26．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k ＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k＝2×2＝4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即＝，∴B′F＝，∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．27．如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC ＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）求k；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝1×2＝2；（2）证明：∵点A的横坐标为a，∴点A的纵坐标为，∵AC＝BD，∴B（﹣a，﹣），∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBF，∠ACF＝∠BDF，∵AC＝BD，∴△ACF≌△BDF（ASA），∴CF＝DF，∴m＝﹣，∴am＝﹣2；（3）解：∵∠CED＝90°，CF＝DF，∴CD＝2EF，∴＝2，由（2）知，＝﹣m，∴﹣4m＝2，解得m＝1或﹣，当m＝1时，a＝﹣2（舍去），当m＝﹣时，a＝，∴A（，）．28．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，＝2S△AOE＝1；∴S△BOE（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴S△POE∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．。

27.2.2 相似三角形的性质及其运用(知识解读+达标检测)(学生版)2025学年九年级数学下册

27.2.2 相似三角形的性质及其运用(知识解读+达标检测)(学生版)2025学年九年级数学下册

27.2.2 相似三角形的性质及其运用【考点1 利用相似三角形的性质求解】【考点2 利用相似求坐标】【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】【考点4 相似三角形的判定与性质综合】【考点5 相似三角形--动点问题】【考点6 相似三角形的综合问题】知识点1 相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ¢¢¢¢¢¢¢××××==¢¢¢¢¢¢¢¢¢××△△ABC D a bcpqh 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.知识点3 射影定理射影定理：如图，Rt △ABC ，∠C ＝90º，CD ⊥AB 则，1．CD 2＝AD ·BD2．BC 2＝BD ·AB AC 2＝AD ·AB很容易推出：AD BDACBC =22． AC ·BC ＝AB ·CD ．BC 2＋AC 2＝AB 2．222111CDAC BC =+． AC ＋BC ＜AB ＋CD ．用图中小写字母a 、b 、c 、p 、q 、h （常称为勾股六线段）表达以上关系：① h 2＝pq ；② a 2＝pc ；③ b 2＝qc ；④ q pba =22；⑤ ab ＝ch ；⑥ a 2＋b 2＝c 2 ；⑦222111h b a =+；⑧ a ＋b ＜c ＋h ；⑨ c ＝p ＋q ．利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a 、b 、c 、p 、q 、h 这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。

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可得△AH O与△BF O全等， ∴OF
= AH
，BF
= HO
，
∵OH ∴BF
= 3 = 3
，AH
= 1
，
，OF
= 1
，
> y
∴B(1, 3) ， 此时0 < x < 1 时y
1 2
；
1
将B点坐标代入反比例函数解析式得：y
=
3 x1
，
将A，B两点坐标代入直线AB解析式，并求得解析式为：
y
2
=
1 2
AP PB = PC PD
的关系为（ ）．
A.
AP PB
= 2
PC PD
B.
2
AP PB
=
PC PD
C.
AP PB
= 3
PC PD
D.
AP PB
=
PC PD
答 案 解 析
D ∵BN //M A， ∴
AP PB = PM PN
．
∵N D//M C ，
PC PM
∴
PC PD
=
PM PN
．
AP PB = PC PD
7. （10分）如图，在△AOB中，C 是AB的中点，反比例函数y = 积为6，则k的值为（ ）．
k x
（k > 0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△AOB面
A.
2
B.
4
C.
8
D.
16
答 案 解 析
B 分别过点A、C 作OB的垂线，垂足分别为M 、N ，如图， ∵C 是AB的中点，C N //AM ， ∴C N 为△AOB的中位线， ∴设M N 又∵ OM ∴OM ∴面积为
．
三角形 全等三角形 全等三角形的判定 相似三角形 相似三角形的性质 相似三角形的判定 锐角 三角函数 解直角三角形 四边形 矩形 矩形的性质
D.
4 : 1
答 案 解 析
AE HC
=
1 5
，
3 1
∵E是AB的中点，可得 ∴DF
HD AE : F A = H D : AE = 3 : 1 =
，
．
考 点
三角形 相似三角形 比例的性质 比例线段 平行线分线段成比例
2. （10分）如图，在△AP M 的边AP 上任取两点B和C ，过点B作AM 的平行线交P M 于点N ，过点N 作M C 的平行线交AP 于 点D，则
6. （10分）如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB = AC 且两条直角边AB、AC 分别平行于x轴、y轴，若双曲线y =
k x
= 2
，直角顶点A 在直线y = x上，其中A 点的横坐标为1，
（k ≠ 0）与△ABC 有交点，则k的取值范围是（ ）．
A.
1 < k < 2
B.
1 ⩽ k ⩽ 3
∵点A在反比例函数y = ∴
3 5 a × 4 5 a = 12 25 a
2
48 x
= 48
，
解得：a = 10 ，或a = −10 （舍去）． ∴AM
= 8
，OM
= 6
．
∵四边形OAC B是菱形， ∴OA = OB = 10 ，BC //OA， ∴∠F BN
= ∠AOB
．
= b
在Rt△BN F 中，BF ∴F N
A.
1 : 1
B. B
1 : 2
C.
1 : 3
D.
1 : 4
答 案 解 析
利用AD//BC 及条件，可知 所以 又
AD CJ BJ ED BC CJ = = 3 2 BJ − C J CJ AD BC = ED − EA CJ
ED CJ
= 5 2
EI IJ
= 4
，
EA CJ
=
EH HJ
=
3 2
，
= 4 − BJ ED
9 5
D.
12 5
答 案 解 析
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB = BC ∵∠AEC
= AC = 5
，∠B = ∠C ， ，
= 60
∘
，
= ∠AED + ∠DEC
∠AEC = ∠B + ∠BAE
∴∠AED + ∠DEC ∴∠DEC ∴
BE CD = ∠BAE
= ∠B + ∠BAE
∘
，
又∵∠AED = ∠B = 60 ， ， ∴△ABE ∽ △EC D ，
C.
1 ⩽ k ⩽ 4
D.
1 ⩽ k < 4
答 案 解 析
C 易得A(1 , 1) ，B(3 , 1) ，C (1 , 3)， 当双曲线y = 当双曲线y = ∴1 ⩽ k ⩽ 4 ．
k x k x
过点A时，k = 1 ， 过点B和C 中点时，
考 点
函数 反比例函数 反比例函数系数k的几何意义 反比例函数与几何
九年级数学秋季半月测（十月）学生版
选择题（10道）
1. （10分）已知：在平行四边形ABC D中，E为AB中点，G是对角线AC 上一点，且AG : GC ，则DF
: FA =
= 1 : 5
，EG的延长线交AD于A
（ ）．
A.
2 : 1
B. B
C D//AB ⇒ AG GC =
3 : 1
C.
1 : 2
㘞Ї形AM N F
− S△OF N
t㘞Ї形AM N F
(AM + F N ) ⋅ M N − − 4(√61 − 5) [8 + 3 − − − − × (√61 + 1) × (√61 − 1)
=
− − ] × (√61 − 1)
=
．
考 点
函数 反比例函数 反比例函数与一次函数 反比例函数与几何 三角形 锐角三角函数 解直角三角 形 四边形 菱形 菱形的性质
3 2
=
，①
= 3 2 ⋅ 4 = 6
，所以
BJ CJ
=
⋅
ED CJ
，
=
BJ CJ =
− 1 = 6 − 1 = 5 AD CJ 5 2 1 5 1 2
，② ．
由式①，②可得 考 点
=
⋅
=
三角形 相似三角形 平行线分线段成比例
4. （10分）如图，在平面直角坐标系中，A(−3, 1)，以点O为直角顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y 的图象经过点B，设直线AB的解析式为y
2
1
=
k1 x
在第一象限内
= k2 x + b
，当y
1
> y2
时，x的取值范围是（ ）．
A.
−5 < x < 1
B.
0 < x < 1
或x <
− 5
C.
−6 < x < 1
D.
0 < x < 1
或x <
− 6
答 案 解 析
D 作AH ⊥x于H ，BF 垂直x轴于F ，
− ∵A(−3, 1)，∴用勾股定理求出AO = √− 10 ， − ∵△AOB是等腰直角三角形，∴BO = √− 10 ，
通过“中间比”相等，得 考 点
．
三角形 相似三角形 平行线分线段成比例
3. （10分）如图，ABC D是梯形，AD//BC ，一条直线与DA的延长线、AB、BD、AC 、C D和BC 的延长线依次交于点E、
F
、G、H 、I 和J ，且EF
= F G = GH = H I = I J
，求AD : BC 的值为（ ）．
= NB = a
，C N
= b
，AM
= 2b
，
⋅ AM = ON ⋅ C N
， ，
= a
，
⋅ 3a ⋅ 2b = 3ab = 6
1 2
∴ab = 2 ， ∴k = a ⋅ 2b = 2ab = 4 ． 考 点 函数 反比例函数 反比例函数与几何 三角形
8. （10分）如图，双曲线y = −
OA
8 x
，sin ∠F BN
4 5 b
=
4 5
，∠BN F
= 90
∘
， ，
= BF ⋅ sin ∠F BN = 3 5
，BN ．
− − − − − − − − − − 3 2 2 = √BF − FN = b 5
∴点F 的坐标为(10 +
b,
4 5
b)
48
∵点B在反比例函数y = ∴(10 +
3 5 b) × 4 b = 48 5 − − 5√61 − 25
=
= 2√ 3
，点E、F 分别是线段AB，AD上的点，连接C E，C F ，
．
A.
2√ 2
B. C
4√ 3 2
C.
4√ 3 3
D.
4√ 2 3
答 案 解 析
如图，F G⊥AC 于点G． 在△BC E和△GC F 中，
⎧ ⎪ ∠F GC = ∠EBC = 90 ⎨ ⎩ ⎪ ∠AC F = ∠BC E CE = CF
交于点E，
∴AO ⋅ N O = AB ⋅ AM ， ∴△ABM 和△AON 的面积相等为2， ∵M G//AB， ∴ ∴
GM AB S△AEM S△ABE = EM BE = 1 4 = 1 2 = 1 4 SABCO = 1 4 1 2 = 3 2 × 8 = 2 = 1 4
，
，
∴S△ ∵S△
AEM
= AB EC = 5
， ，
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