利用贪婪算法实现多种实际问题

假设某职工的工资为638元，要求统计并输出应发给该职工面值100元、50元、20元、10元、5元、2元、1元的人民币各多少张，使总张数最少。我们该发给他多少张人民币呢？答案可以是638张面值1元的人民币，可以是638/2=319张面值2元的人民币，……无论发给该职工人民币多少张，他拿到的人民币总和都应等于他自己的工资数。要发给该职工638元的工资，并使总张数最少，直觉告诉我们，应先给他6张面值100元的人民币；第7张不能再给100元的，也不能给50元的，否则该职工实际拿到的工资将会超过他应得的工资；显然，第7张应为面值20元的人民币。同理，第8张为面值10元的人民币，第9张为面值5元的人民币，第10张为面值2元的人民币，第11张为面值1元的人民币。该职工共拿到人民币11张，分别为面值100元的6张，面值50元的没有，面值20元、10元、5元、2元和1元的各1张。这样，不但满足了约束条件即100×6+（20+10+5+2+1）×1＝638，而且使该职工拿到的人民币张数最少。把以上操作方法归纳出来就是一种可行的贪婪准则：按面值从大到小的顺序分发人民币，并始终保证职工实际拿到的工资不超过他应得的工资。
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贪婪算法的一般解题步骤:
设计中一类非常重要的问题。每一个最优化问题都包含一组约束条件和一个优化函数，满足约束条件的问题求解方案称为问题的可行解，使优化函数取得最优值的可行解称为问题的最优解。贪婪算法是解决最优化问题的一种基本方法。它采用逐步构造最优解的思想，在问题求解的每一个阶段，都做出一个在一定标准下看上去最优的决策；决策一旦作出，就不可再更改。制定决策的依据称为贪婪准则。使用贪婪算法解决问题，通常需要做好以下几个方面的工作：
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贪婪算法及贪婪算法可解决的问题通常大部分都有如下的特性:
（1）有一个以最优方式来解决的问题。为了构造问题的解决方案,有一个候选的对象的集合：比如不同面值的硬币。
（2）随着算法的进行,将积累起其它两个集合：一个包含已经被考虑过并被选出的候选对象,另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。
（3）有一个函数来检查一个候选对象的集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决方法是否最优。
设A是所要求安排的课程的m个最大相容课程子集，即用A[i][j]存储对最小教室所选择的课程，A[i][m]存储对最大教室所选择的课程。若课程i在集合A[i][x]中(x=1,2,……,m)，则A[i][x]必为true(存入其课程序号)。变量J(x)用以记录最近一次加入到A[i][x]中的课程。已知的各课程的起始时间和结束时存储于数组s和f中，且按结束时间的非减序：f1<=f2<=……<=fn排列。如果未排序，则先按此用O(nlogn)时间排序。其贪婪策略是：先向A[i][1]中安排，安排不下时，安排在A[i][2]中，⋯⋯直到安排在A[i][m]，仍安排不下，只能另做处理。参考程序如下：
1、明确问题的求解目标。
2、分析问题所包含的约束条件。
3、建立优化函数。优化函数通常可以通过综合分析问题的求解目标及约束条件归纳出来。
4、制定贪婪准则。清楚问题的求解目标、所包含的约束条件及优化函数之后，就可以着手制定一个可行的贪婪准则。贪婪准则的制定是用贪婪算法解决最优化问题的关键，它关系到问题能否得到成功解决及解决质量的高低。
源程序要按照写程序的规则来编写。要结构清晰，重点函数的重点变量，重点功能部分要加上清晰的程序注释。
（4）调试分析
包括测试数据，测试输出的结果，时间复杂度分析，和每个模块设计和调试时存在问题的思考（问题是哪些？问题如何解决？），算法的改进设想。
（5）课设总结
总结可以包括：课程设计过程的收获、遇到问题、遇到问题解决问题过程的思考、程序调试能力的思考、对算法设计与分析这门课程的思考、在课程设计过程中对《算法设计与分析》课程的认识等内容。
对于一个给定的问题，往往可能有好几种量度标准。初看起来，这些量度标准似乎都是可取的，但实际上，用其中的大多数量度标准作贪婪处理所得到该量度意义下的最优解并不是问题的最优解，而是次优解。因此，选择能产生问题最优解的最优量度标准是使用贪婪算法的核心。
一般情况下，要选出最优量度标准并不是一件容易的事，但对某问题能选择出最优量度标准后，用贪婪算法求解则特别有效。最优解可以通过一系列局部最优的选择即贪婪选择来达到,根据当前状态做出在当前看来是最好的选择，即局部最优解选择，然后再去解做出这个选择后产生的相应的子问题。每做一次贪婪选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题，最终可得到问题的一个整体最优解。
4．课程设计报告打印稿。
七、推荐参考资料
教 材：
《算法设计与分析》Anany Levitin 著 潘彦译清华大学出版社，2007。
《算法设计与分析》宋 文等编重庆大学出版社，2001。
参考书：[1] 《算法设计与分析》 周培德 电子工业出版社，2000。
[2] 《算法设计与分析》 王晓东 电子工业出版社，2004
（4）给出上面两个算法的证明；
（5）给出上面两个算法的程序。
（6）给出时间复杂度。
四、主要技术路线提示
在用贪婪算法解决资源分配问题、布线问题、0-1背包问题过程中，使用贪婪算法解决问题，通常需要做好以下几个方面的工作：
1、明确问题的求解目标。
2、分析问题所包含的约束条件。
3、建立优化函数。优化函数通常可以通过综合分析问题的求解目标及约束条件归纳出来。
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贪婪算法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。用贪婪法设计算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间，它采用自顶向下,以迭代的方法做出相继的贪心选择,每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题,通过每一步贪心选择,可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。
目前常用的算法设计技术有分治法、回溯法、贪婪法、动态规划算法、分支限界法等。其中分治法、回溯法主要用于设计非数值问题的算法,而贪婪法、动态规划算法、分支限界法则主要用于设计数值最优化问题的算法。贪婪法是一种求最优解问题的最直接的设计技术，它不是对所有问题都能得到整体最优解，但对许多问题可能产生整体最优解。
现有m个资源，如m个多媒体教室。有n个课程的集合E={1,2,……,n}，其中每个课程都要求使用一个资源，而在同一时间内只允许一个课程使用一个资源。每个课程使用某一资源时，为提高利用率，按照资源大小的非递减顺序安排(如果资源大小一样，可省去这个排序工作)。每个课程i都有一个要求使用资源的起始时间si和一个结束时间fi，且si<fi。如果选择了课程i，则它在半开时间区间[si,fi]内占用资源。若区间[si,fi]与区间[sj,fj]不相交，则称课程i与课程j是相容的。也就是说，当si>=fj或sj>=fi时，课程i与课程j相容。
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贪婪算法的基本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标,以尽可能快地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时,算法停止。
该算法存在的问题：1)不能保证求得的最后解是最佳的;2)不能用来求最大或最小解问题;3)只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
3.1
下面介绍争用2个甚至多个资源时的安排：
2．上交程序的说明文件：（保存在.txt中），在说明文档中应该写明上交程序所在的目录，上交程序的主程序文件名，如果需要安装，要有程序的安装使用说明。
3．课程设计报告电子文档：（保存在word文档中，文件名要求按照“学号姓名算法分析课设报告.doc”起名，如文件名为“200300109张三算法分析课设报告.doc”），按照课程设计的具体要求建立的功能模块，每个模块要求按照如下几个内容认真完成：
其中包括：
（1）需求分析：
在该部分中叙述每个模块的功能要求等。
（2）概要设计
在此说明每个部分的算法设计说明（可以是描述算法的流程图），每个程序中使用的存储结构设计说明（如果指定存储结构请写出该存储结构的定义。
（3）详细设计
各个算法实现的源程序，对每个题目要有相应的源程序（可以是一组源程序，每个功能模块采用不同的函数实现）。
《算法设计与分析》课程设计任务书
学院名称：数学与计算机学院专业：信息与计算科学专业年级：2007
一、设计题目
题目十四：利用贪婪算法实现多种实际问题
二、主要内容
给出多种可以用贪婪算法解决的典型问题，并分析、证明、编程。
三、具体要求
（1）贪婪算法的基本思想；
（2）给出背包问题的贪婪算法；
（3）给出有限期计算机作业调度的贪婪算法；
4、制定贪婪准则。
五、进度安排
1、第一周:分析题目的需求，设计抽象数据类型、构思算法、通过类的设计实现抽象数据类型并编写上机程序
2、第二周完成程序开发，进行测试并分析结果，最后撰写课程设计报告
六、完成后应上交的材料
上交的成果的内容必须由以下四个部分组成，缺一不可。
1．上交源程序：学生按照课程设计的具体要求所开发的所有源程序（应该放到一个文件夹中）。
2.
贪婪算法是一种重要的算法设计策略,而且其效率高。贪婪算法并不从整体最优考虑,它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择,即在当前看来最好的选择。希望通过每次所做的贪婪选择导致最终结果是问题的一个最优解。贪婪算法具有良好的爬坡能力，一般情况下该算法都可以较快地求出满足计算精度要求的近似最优解，当算法不能在限定的计算时间内找到满足问题要求的近似最优解时，给出一个可行解及计算误差，作为决策参考。但是随着问题规模和复杂度的不断提升，单一的算法在其收敛性和求解速度等方面已经表现出局限性。即使贪婪算法的效率很高，它也只适用于少量的实例。
贪婪算法是一种改进了的分级处理方法。其核心是根据题意选取一种量度标准。然后将这多个输入排成这种量度标准所要求的顺序，按这种顺序一次输入一个量。如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最佳解加在一起不能产生一个可行解，则不把此输入加到这部分解中。这种能够得到某种量度意义下最优解的分级处理方法称为贪婪算法。
指导教师签名日期年月日
系 主 任审核日期年月日
引言
为了满足人们对大数据量信息处理的渴望,为解决各种实际问题,计算机算法学得到了飞速的发展,线性规划、动态规划、贪婪策略等一系列运筹学模型纷纷运用到计算机算法学中,产生了解决各种现实问题的有效算法。虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许多问题的算法设计方法，可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。
当贪婪算法面对不同的货币系统，或者缺少某种面值的货币，或者某种面值的货币数目有限等情况时，它可能只能找出一个次优解或是根本找不到解。假如给出的面值中没有2元和1元或是限定面值的张数时，贪婪算法就不能解决了。因此要具体问题具体对待，可以将贪婪算法与其他算法结合起来应用，多种算法相结合使用的混合优化策略已经逐渐成为新的研究热点。
（4）还有一个函数检查是否一个候选对象的集合是可行的,也即是否可能往该集合上添加更多的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样,此时不考虑解决方法的最优性。
（5）选择函数可以指出哪一个剩余的候选对象最有希望构成问题的解。
（6）最后,目标函数给出解的值。
为了解决问题,需要寻找一个构成解的候选对象集合,它可以优化目标函数,贪婪算法一步一步的进行。起初,算法选出的候选对象的集合为空。接下来的每一步中,根据选择函数,算法从剩余候选对象中选出最有希望构成解的对象。如果集合中加上该对象后不可行，那么该对象就被丢弃并不再考虑；否则就加到集合里。每一次都扩充集合，并检查该集合是否构成解。如果贪婪算法正确工作，那么找到的第一个解通常是最优的。
Procedure GREEDY-COURSE-SELECTOR1(E,s,f,A)
begin
n←length(E);A←d;
A[1][1]←1; //A中有m个集合，分别用以存放课