第五章 数字滤波器的基本结构

H ( z ) = ∑ h(n) z − n = ∏ (α 0 k + α1k z −1 )∏ ( β 0 k + β1k z −1 + β 2 k z −2 )
n=0 k =0 k =0 N −1 N1 N2
级联型结构的特点
级联型结构每一个一阶因子控制一个实数零点 每一个二阶因子控制一对共轭零点。 每一个二阶因子控制一对共轭零点。 调整零点位置比直接型方便。 调整零点位置比直接型方便。但是它所需要的系 数比直接型多，因而需要的乘法器多。 数比直接型多，因而需要的乘法器多。
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直接Ⅱ 直接Ⅱ型结构
Y ( z) H ( z) = = X ( z)
bk z − k ∑ 1 − ∑ ak z − k
k =1 k =0 N
M
软件实现时可以节省 存储单元， 存储单元，硬件实现 时可以节省寄存器。 时可以节省寄存器。 需N个延时单元 N≥M,
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直接型的共同特点： 直接型的共同特点：
典范型结构： 典范型结构：
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将H(z)因式分解： H(z)因式分解： 因式分解
( 2 − 0.379z )( 4 −1.24z H ( z) =
−1
−1
+ 5.264z
−2
)
1 −2 1 −1 −1 1− z 1− z + z 2 4
=
8(1− 0.19z−1 )(1− 0.31z−1 +1.32z−2 ) 1 −2 1 −1 −1 1− z 1− z + z 2 4
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例：设IIR数字滤波器差分方程为： 数字滤波器差分方程为： 数字滤波器差分方程为
y(n) = 8x(n) − 4x(n −1) +11x(n − 2) − 2x(n − 3) 5 3 1 + y(n −1) − y(n − 2) + y(n − 3) 4 4 8
试用四种基本结构实现此差分方程。 试用四种基本结构实现此差分方程。 解：对差分方程两边取z变换，得系统函数： 变换，得系统函数：
k =1 k =1 k =1 N1 k =1 N2 M1 M2
为了简化级联形式， 为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子 组合成二阶因子， 组合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子 的形式： 的形式：
L 1 + β1k z −1 + β 2 k z −2 H ( z ) = A∏ = A∏ H k ( z ) −1 −2 − α 2k z k =1 1 − α1k z k =1 L
在专用数字信号处理硬件电路上实现 通过编写程序在计算机上实现
3
5.2 数字滤波器的基本概念
数字滤波器的描述 数字滤波器的分类
4
5.2.1 数字滤波器的描述
用差分方程描述： 差分方程描述： 描述
y (n) = ∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x(n − k )
k =1 k =0
N
M
用系统函数描述 系统函数描述
Y ( z) H ( z) = = X ( z) bk z − k ∑ 1 − ∑ ak z − k
k =1
5
M
k =0 N
同一个差分方程，算法会有很多种 同一个差分方程，
1 例如: 例如 H1 ( z ) = −1 −2 1 − 0.8 z + 0.15z −1.5 2.5 H 2 ( z) = + −1 −1 1 − 0.3z 1 − 0.5z 1 1 H 3 ( z) = ⋅ −1 1 − 0.3z 1 − 0.5z −1
k =0 N −1
H ( z ) = ∑ bk z − k
k =0
N −1
有限长， 1）系统的单位抽样响应 h(n)有限长，设N点 处收敛， 2）系统函数H(z)在 z > 0 处收敛，有限z平面只有 零点， 因果系统） 零点，全部极点在 z = 0 处（因果系统） 3）无输出到输入的反馈，为非递归型结构 无输出到输入的反馈，
第五章 数字滤波器的基本结构
本章目录
数字滤波器的基本概念 无限长脉冲响应(IIR)滤波器的结构 无限长脉冲响应(IIR)滤波器的结构 有限长脉冲响应(FIR)滤波器的结构 有限长脉冲响应(FIR)滤波器的结构 系统函数模型的转换（MATLAB) 系统函数模型的转换（
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5.1 引言
数字滤波器是指输入、输出均为数字信 数字滤波器是指输入、输出均为数字信 是指输入 通过一定运算关系改变 改变输入信号所 号，通过一定运算关系改变输入信号所 频率成分的相对比例或者滤除某些频 或者滤除 含频率成分的相对比例或者滤除某些频 率成分的器件 的器件。 率成分的器件。 数字滤波器的实现方法： 数字滤波器的实现方法： 实现方法
直接Ⅰ型结构是由两个网络级联组成： 型结构是由两个网络级联组成：
H ( z ) = H1 ( z ) ⋅ H 2 ( z )
对线性非移变系统，有 对线性非移变系统，
H ( z ) = H1 ( z ) ⋅ H 2 ( z ) = H 2 ( z ) ⋅ H1 ( z )
交换两个网络次序，得到 交换两个网络次序，得到直接Ⅱ型结构 Ⅱ 结构
由不同的结构来实现
二阶系统
并联
级联
6
实现数字滤波器的三种基本运算单元： 实现数字滤波器的三种基本运算单元： 三种基本运算单元
加法器 单位延迟器 常数乘法器
基本的单元两种表示法： 基本的单元两种表示法：
方框图法 信号流图法
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基本运算单元表示及实现方法
8
数字滤波器表示法
差分方差： 差分方差：
y (n) = a1 y (n − 1) + a2 y (n − 2) + b0 x(n)
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5.3 无限长单位冲激响应滤波器的结构 直接Ⅰ 直接Ⅰ型 直接Ⅱ 直接Ⅱ型（正准型、典范型） 正准型、典范型） 级联型 并联型
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5.3.1 直接Ⅰ型 直接Ⅰ
差分方程: 差分方程
y(n) = ∑ak y(n − k) + ∑bk x(n − k)
k=1 k=0
N
M
需N+M个延时单元
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5.3.2 直接Ⅱ型 直接Ⅱ
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流图结构
节点
源节点 阱节点 网络节点 分支节点 相加器 节点的值=所有输入支路的值之和 节点的值=
× 支路的值= 支路的值=支路起点处的节点值
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5.2.2 数字滤波器的分类
经典滤波器 假定输入信号中有用成分和希望滤除的 成分各占不同的频带 通过一个合适的选 不同的频带， 成分各占不同的频带，通过一个合适的选 滤波器可以滤除干扰成分。 滤除干扰成分 频滤波器可以滤除干扰成分。 但是如果信号和噪声的频谱相互重叠 但是如果信号和噪声的频谱相互重叠， 重叠， 经典滤波器就无法将信号与噪声区分开。 无法将信号与噪声区分开 经典滤波器就无法将信号与噪声区分开。 现代滤波器 利用信号和噪声的统计特征 利用信号和噪声的统计特征，从干扰中 统计特征， 最佳地提取信号。 最佳地提取信号。
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级联型结构
1 + β1k z −1 + β 2 k z −2 H ( z ) = A∏ 1 − α1k z −1 − α 2 k z −2 k =1
L
一阶基本节
二阶基本节
N＝6 ＝
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级联型结构的特点
每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点 有关。 有关。 调整系数 β1k、 2k 、 1k 、 2k 简单，即易于调整零 β α α 简单， 极点即易于改变系统的频响特性。 极点即易于改变系统的频响特性。 由于级联结构中后面的网络输出不会再流到前 运算误差的积累相对直接型要小。 面，运算误差的积累相对直接型要小。
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5.4.3 频率采样型结构
对系统函数取样
b 系数 ak， k 对滤波器的性能控制作用不明显
极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或 极点对系数的变化过于灵敏， 较大误差 运算的累积误差较大
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5.3.3 级联型
级联型表示
H(z) = bk z−k ∑ 1− ∑ak z−k
k =1 k =0 N M
= = A kN1 k =1
1−ck z−1 ) ∏(
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从功能上分类
低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器
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四种滤波器的幅频特性
注意： 注意：数 字滤波器 的频响， 的频响， 以2 π为 周期， 周期，以 π为镜像
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按单位冲激响应的长度分类
无限长单位冲激响应（IIR）滤波器 无限长单位冲激响应（IIR）
Infinite Impulse Response
−1 −1 k =1 k k =1 k * −1 k
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k =1 N1
k
k =1 N2
k
* −1 k
将相互共轭的零点（极点）合并起来， 将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一 个实系数的二阶多项式。 个实系数的二阶多项式。
H ( z) = A 1 − g k z −1 )∏ (1 + β1k z −1 + β 2 k z −2 ) ∏( 1 − pk z −1 )∏ (1 − α1k z −1 − α 2 k z −2 ) ∏(
8 − 4z +11z − 2z H ( z) = 5 −1 3 −2 1 −3 1− z + z − z 4 4 8
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−1
−2
−3
8 − 4z−1 +11z−2 − 2z−3 H ( z) = 5 −1 3 −2 1 −3 1− z + z − z 4 4 8
直接Ⅰ型结构： 直接Ⅰ型结构：
分母第一项 必须整理为1 必须整理为1