概率论与数理统计复习笔记

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概率论与数理统计笔记

概率论与数理统计笔记

概率论与数理统计笔记第一章概率论的基本概念1 随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间,记为{}S e =,称S 中的元素e 为基本事件或样本点.3.可以在相同的条件下进行相同的实验;每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2.样本空间、随机事件1.对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为S 样本空间的元素,即E 的每个结果称为样本点.2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ,当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件,则每次试验S 总是发生,故又称S 为必然事件。

为方便起见,记φ为不可能事件,φ不包含任何样本点.3.若A B ?,则称事件B 包含事件A ,这指的是事件A 发生必导致事件的发生。

若A B ?且B A ?,即A B =,则称事件A 与事件B 相等.4.和事件{}AB x x A x A A B =∈∈或:与至少有一发生.5.当AB φ=时,称事件A 与B 不相容的,或互斥的.这指事件A 与事件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的. ,{,{,,AA S AA S A A AB AA AB ===?=?的逆事件记为若则称互逆,互斥.6.,A B A B AB AB 当且仅当同时发生时,事件发生.也记作.,A B AB AB AB 当且仅当同时发生时,事件发生,也记作.7. 事件 A 的对立事件:设 A 表示事件“A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件. 事件间的运算规律:,,, A B C 设为事件则有,A B B A AB BA ==(1)交换律:()(),A B C A B C =(2)结合律:()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C ACBC ==(3)分配律:,de Morgan AB AB AB AB ==(4)律:3.频率和概率1.记()An n f A n=()A n A f A A n --其中n 发生的次数(频数);n 总试验次数.称为在这次试验中发生的频率.频率反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质:10()12()1n n kkf A f S ≤≤=。

概率论与数理统计总复习知识点归纳

概率论与数理统计总复习知识点归纳

概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。

-频率和概率的关系,概率的基本性质。

-古典概型和几何概型的概念。

-条件概率和乘法定理。

-全概率公式和贝叶斯公式。

-随机变量和概率分布函数的概念。

-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。

2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。

-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。

-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。

3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。

-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。

4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。

-样本统计量和抽样分布的概念。

-点估计和区间估计的概念。

-假设检验的基本思想和步骤。

-正态总体的参数的假设检验和区间估计。

5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。

-矩估计的原理和方法。

-最小二乘估计的原理和方法。

-一般参数的假设检验和区间估计。

6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。

-回归分析的一般原理。

-简单线性回归的估计和检验。

7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。

-秩相关系数的计算和检验。

8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。

-正态总体参数的拟合优度检验。

-贝叶斯估计的基本思想和方法。

9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。

-时间序列预测的方法和模型。

-质量控制的基本概念和控制图的应用。

以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳,希望对你的复习有所帮助。

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点:1.离散型随机变量:设X 是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布:(1)两点分布(0-1分布):若一个随机变量X 只有两个可能取值,且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<,则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布:12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望:()E X p =;两点分布的方差:()(1)D X p p =-(2)二项分布:若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出,则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布:{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望:()E X np =;二项分布的方差:()(1)D X np p =-(3)泊松分布:若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为X~P (λ)泊松分布的概率分布:{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望:()E X λ=;泊松分布的方差:()D X λ=4.连续型随机变量:如果对随机变量X 的分布函数F(x),存在非负可积函数()f x ,使得对于任意实数x ,有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰,则称X 为连续型随机变量,称()f x 为X 的概率密度函数,简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布:(1)均匀分布:若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ,则称X 在区间(a,b )上服从均匀分布,记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望:()2a bE X +=;均匀分布的方差:2()()12b a D X -= (2)指数分布:若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩,则称X 服从参数为λ的指数分布,记为X~e (λ)指数分布的概率密度:00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望:1()E X λ=;指数分布的方差:21()D X λ=(3)正态分布:若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布,记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度:22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望:()E X μ=;正态分布的方差:2()D X σ=(4)标准正态分布:20,1μσ==,2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用: (1)()1()x x x φφ<=--(2)~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-(3)2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1: 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数: 设X 是一个随机变量,称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

概率论与数理统计重点笔记

概率论与数理统计重点笔记

概率论与数理统计重点笔记
概率论与数理统计是数学中的重要分支,它涉及到随机现象的
规律性和统计规律的研究。

在学习概率论与数理统计时,重点笔记
可以包括以下内容:
1. 概率论的基本概念,包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的运算规律等内容。

重点理解事件的概率定义、概率的性质和
概率的运算法则。

2. 随机变量及其分布,重点掌握随机变量的定义、离散随机变
量和连续随机变量的概念,以及它们的分布律、密度函数、分布函
数等。

还要重点理解常见的离散分布(如二项分布、泊松分布)和
连续分布(如正态分布、指数分布)。

3. 大数定律和中心极限定理,重点掌握大数定律和中心极限定
理的表述和应用,理解随机变量序列的收敛性质,以及大样本时样
本均值的渐近正态性质。

4. 参数估计,包括点估计和区间估计的基本概念和方法,重点
理解最大似然估计、矩估计等常用的参数估计方法。

5. 假设检验,理解假设检验的基本思想、原理和步骤,掌握显著性水平、拒绝域、接受域等相关概念,重点理解假设检验的错误类别和势函数的概念。

6. 相关性和回归分析,重点理解相关系数、回归方程、残差分析等内容,掌握相关性和回归分析的基本原理和方法。

总之,在学习概率论与数理统计的过程中,重点笔记应该围绕着基本概念、常用分布、极限定理、参数估计、假设检验和回归分析展开,全面理解这些内容并掌握其应用是十分重要的。

希望以上内容能够帮助你更好地理解概率论与数理统计。

概率论与数理统计复习要点

概率论与数理统计复习要点

第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件①样本点:随机试验的每一个可能结果,用ω表示; ②样本空间:样本点的全集,用Ω表示; 注:样本空间不唯一.③随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示; ④必然事件就等于样本空间;不可能事件()∅是不包含任何样本点的空集; ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

2. 事件的四种关系①包含关系:A B ⊂,事件A 发生必有事件B 发生; ②等价关系:A B =, 事件A 发生必有事件B 发生,且事件B 发生必有事件A 发生;③互不相容(互斥): AB =∅ ,事件A 与事件B 一定不会同时发生。

④互逆关系(对立):A ,事件A 发生事件A 必不发生,反之也成立;互逆满足A A AA ⎧⋃=Ω⎨=∅⎩注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。

) 3. 事件的三大运算①事件的并:A B ⋃,事件A 与事件B 至少有一个发生。

若AB =∅,则A B A B ⋃=+;②事件的交:A B AB ⋂或,事件A 与事件B 都发生; ③事件的差:-A B ,事件A 发生且事件B 不发生。

4. 事件的运算规律①交换律:,A B B A AB BA ⋃=⋃=②结合律:()(),()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂③分配律:()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⋂ ④德摩根(De Morgan )定律:,A B AB AB A B⋃==⋃对于n 个事件,有1111,n ni i i i nni ii i A A A A ======二、随机事件的概率定义和性质1.公理化定义:设试验的样本空间为Ω,对于任一随机事件),(Ω⊂A A 都有确定的实值P(A),满足下列性质: (1) 非负性:;0)(≥A P (2) 规范性:;1)(=ΩP(3)有限可加性(概率加法公式):对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ,有∑∑===ki i ki i A P A P 11)()(.则称P(A)为随机事件A 的概率. 2.概率的性质 ①()1,()0P P Ω=∅= ②()1()P A P A =-③若A B ⊂,则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且 ④()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+注:性质的逆命题不一定成立的. 如 若),()(B P A P ≤则B A ⊂。

概率论与数理统计笔记(重要公式)

概率论与数理统计笔记(重要公式)

r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律: A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件, 且 P(B)>0, 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然, 当 P(A)>0 时,P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p): 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0

设 X 为离散型随机变量, 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质: (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质: (4) 设 x 为 f(x)的连续点,则 F’(x)存在,且 (1) pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) (2) pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时,首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值,然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中,有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率, 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布,其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布: xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1,且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b,即[a,b] [c,d],则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba

概率论与数理统计复习资料要点总结

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1.事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =⋃=⋃(2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃(3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ (4)B A AB B A B A ⋃==⋃3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP(3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -=(6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率 6.条件概率(1) 定义:若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =(2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()((4) Bayes 公式: ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ (注意独立性的应用) 第二章 随机变量与概率分布1. 离散随机变量:取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足(1)0≥i p ,(2)∑iip=1(3)对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2. 连续随机变量:具有概率密度函数)(x f ,满足(1)1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ;(2)⎰=≤≤badx x f b X a P )()(;(3)对任意R a ∈,0)(==a X P4. 分布函数 )()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1)1)( ,0)(=+∞=-∞F F ;(2)单调非降;(3)右连续; (4))()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>; (5)对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(;(6)对连续随机变量,⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5. 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有(1)5.0)0(=Φ;(2))(1)(x x Φ-=-Φ;(3)若),(~2σμN X ,则)()(σμ-Φ=x x F ;(4)以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6. 随机变量的函数 )(X g Y =(1)离散时,求Y 的值,将相同的概率相加;(2)X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导。

概率论与数理统计总复习知识点归纳

概率论与数理统计总复习知识点归纳

D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式:
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x),求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时,FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时, FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为:
f
( x,
y)

概率论与数理统计复习资料知识点总结

概率论与数理统计复习资料知识点总结

《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1.事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =⋃=⋃(2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃(3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ (4)B A AB B A B A ⋃==⋃3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP(3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -=(6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率 6.条件概率(1) 定义:若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =(2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()((4) Bayes 公式: ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ (注意独立性的应用)第二章 随机变量与概率分布1. 离散随机变量:取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足(1)0≥i p ,(2)∑iip=1(3)对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2. 连续随机变量:具有概率密度函数)(x f ,满足(1)1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ;(2)⎰=≤≤badx x f b X a P )()(;(3)对任意R a ∈,0)(==a X P4. 分布函数 )()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1)1)( ,0)(=+∞=-∞F F ;(2)单调非降;(3)右连续; (4))()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>; (5)对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(;(6)对连续随机变量,⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5. 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有 (1)5.0)0(=Φ;(2))(1)(x x Φ-=-Φ;(3)若),(~2σμN X ,则)()(σμ-Φ=x x F ;(4)以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6. 随机变量的函数 )(X g Y =(1)离散时,求Y 的值,将相同的概率相加;(2)X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导。

《概率论与数理统计》笔记

《概率论与数理统计》笔记

《概率论和数理统计》笔记一、课程导读“概率论和数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科在自然界,在人们的实践活动中,所遇到的现象一般可以分为两类:确定性现象随机现象确定性现象在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.例如,向上抛一枚硬币,由于受到地心引力的作用,硬币上升到某一高度后必定会下落.我们把这类现象称为确定性现象(或必然现象).同样,任何物体没有受到外力作用时,必定保持其原有的静止或等速运动状态;导线通电后,必定会发热;等等也都是确定性现象.随机现象在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果,也就是说,在完全相同的条件下,进行一系列观测或实验,却未必出现相同的结果.例如,抛掷一枚硬币,当硬币落在地面上时,可能是正面(有国徽的一面)朝上,也可能是反面朝上,在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上.我们把这类现象称为随机现象(或偶然现象).同样,自动机床加工制造一个零件,可能是合格品,也可能是不合格品;射击运动员一次射击,可能击中10环,也可能击中9环8环……甚至脱靶;等等也都是随机现象.统计规律性对随机现象,从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的;其实不然.人们通过实践观察到并且证明了,在相同的条件下,对随机现象进行大量的重复试验(观测),其结果总能呈现出某种规律性.例如,多次重复抛一枚硬币,正面朝上和反面朝上的次数几乎相等;对某个靶进行多次射击,虽然各次弹着点不完全相同,但这些点却按一定的规律分布;等等.我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性.●使用例子摸球游戏中谁是真正的赢家在街头巷尾常见一类“摸球游戏”.游戏是这样的:一袋中装有16个大小、形状相同,光滑程度一致的玻璃球.其中8个红色、8个白色.游戏者从中一次摸出8个,8个球中.当红白两种颜色出现以下比数时.摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”:结果(比数) A(8:0)B(7:1)C(6:2)D(5:3)E(4:4)奖金(元)10 1 0.5 0.2 -2 注:表中“-2”表示受罚2元解: 此游戏(实为赌博),从表面上看非常有吸引力,5种可能出现的结果.有4种可得奖.且最高奖达10元.而只有一种情况受罚.罚金只是2元.因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加.结果却是受罚的多,何以如此呢?其实.这就是概率知识的具体使用:现在是从16个球中任取8个.所有可能的取法为816C 种.即基本事件总数有限.又因为是任意抽取.保证了等可能性.是典型的古典概型问题.由古典概率计算公式.很容易得到上述5种结果.其对应的概率分别是:3807048730121800099460000155404848385828681878.C C C P(E);.C C 2C P(D);.C C 2C P(C);.C C 2C P(B);.C 2P(A)816816816816816==========假设进行了1000次摸球试验, 5种情况平均出现的次数分别为:0、10、122、487、381次,经营游戏者预期可得2×381-(10×0+1×10+0.5×122+0.2×487) =593.6(元). 这个例子的结论可能会使我们大吃一惊,然而正是在这一惊之中.获得了对古典概率更具体、更生动的知识.戏院设座问题乙两戏院在竞争500名观众,假设每个观众完全随意地选择一个戏院,且观众之间选择戏院是彼此独立的,问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?解 由于两个戏院的情况相同,故只需考虑甲戏院即可。

考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)

考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)
2)在离散型上的体现(1.出现0,一一定不不独立立;2.行行行或列列成比比例例)
三 二二维连续型随机变量量(积分积出来的就是连续的)
1.定义:概率密度积分(二二重积分)
2.联合概率密度
1)性质:1.非非负性;2.规范性
2)应用用:求P,就是求二二重积分
在f(x,y)的连续点上,分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤:1)画图(为了了解不不等式)
2)讨论
3)代入入(注意端点)
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点:一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个(X,Y)向量量
要注意是一一维的(是用用一一个变量量表示)
4.离散+连续(一一定是使用用全概率公式的)
定义:X为离散型,Y为连续型,且相互独立立
六 全概率公式与⻉贝叶斯公式(关键在于完备事件组)
1.完备事件组:互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式:由因到果(推导,画图)(全部路路径)
3.⻉贝叶斯公式:由果到因(推导,画图)(所占的比比例例)
Note:关键是1.完备事件组必须完备;2.要画图3注意抽签原理理
题型一一:概率的基本计算
1.事件决定概率,但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1)具体就是边缘分布函数求导(详⻅见笔记)
Note:注意边缘的公式,在求时,注意取值范围,以及上下限(一一根直线传过去)(类似于 二二重积分的先积部分——后积先定限,限内画条线)
2)G是从几几何看出来的,不不要死记公式,要结合图像(G为非非零区域)
Note:1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0,即要先确定范围

概率论与数理统计重点笔记

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概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果.随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) .对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 11121 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0)3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==n i i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()k k i i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2).(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1).二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()k n k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ~U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx e x f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--x t dt e x 2221)(π , Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ~N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意:Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法:(1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f k y X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y 其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i j ij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x y y ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f . (3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 (4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) .(X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 },{j i j i p y Y x X P ==P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X离散型随机变量 连续型随机变量 分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛) 方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2 =E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p),}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如: 样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…) 二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) . 2.χ2分布 (1)定义 若X ~N (0,1 ) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=n Y X ~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N (μ,σ2 )时,n S X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③) 22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iL θ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.(3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间 μ σ2已知 n X σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知n S X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体(1)均值差μ 1-μ 2 其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ 22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ~t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③. (2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为 ))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

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精品文档第一章概率论的基本概念1随机试验1. 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2. 随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间,记为,称S中的元素e为基本事件或样本点.3. 可以在相同的条件下进行相同的实验;每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2. 样本空间、随机事件1. 对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S样本空间的元素,即E的每个结果称为样本点.2. 一般我们称S的子集A为E的随机事件A,当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生.如果将S亦视作事件,则每次试验S总是发生,故又称S为必然事件。

为方便起见,记 '为不可能事件,••不包含任何样本点.3. 若A B,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必导致事件的发精品文档生。

若A B且B A,即A二B,则称事件A与事件B相等.精品文档4. 和事件AUB={X |X ^A 或x^A}: A 与B 至少有一发生.5•当AB- '时,称事件A 与B 不相容的,或互斥的.这指事件A 与事 件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.A 的逆事件记为 A,{ A A = S ,若{ AU A = S ,则称A ,B 互逆,互斥 AA =0 AB =0 6. 当且仅当A ,B 同时发生时,事件 A^B 发生.A "B 也记作AB . 当且仅当A , B 同时发生时,事件 A n B 发生,A" B 也记作AB .7. 事件A 的对立事件:设A 表示事件 “A 出现”,贝“事件 A不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件. 事件间的运算规律: 设A , B ,C 为事件,则有(1)交换律: A U B 二 B U A , AB 二 BA(2)结合律:(A U B )U C 二 A U (B U C ),(AB )C 二 A (BC )(3)分配律:(A UB) Oc =(APlC)U(BnC)二 ACUBC(4) deMorga n 律: A U B 二 A“B, A“B 二 A U B3. 频率和概率其中n A - A 发生的次数(频数);n -总试验次数. 称f n (A)为A 在这n 次试验中发生的频率.频率f n (A)反映了事件A 发生的频繁程度.2. 频率的性质: 1 O ^fn(A)乞 12。

概率论与数理统计 笔记

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概率论与数理统计笔记概率论的公理化定义1. 相关基本概念:我们首先定义以下概念:至此,我们将试验、事件等概念与集合的概念相联系,显然,我们会有以下的运算性质:2. 事件之间的关系以及运算(本质为集合运算)经过简单的推导可以得出以下运算性质:3. 事件的运算性质经过以上铺垫,我们可以引出频率、概率的定义:4. 频率 (frequency)定义:设随机事件a在n次重复试验中发生了m次,则称比值为事件a在n次重复试验中发生的「频率」。

频率越大,事件a发生就越频繁,可以用频率来预测事件a的发生的可能性大小。

当重复试验次数越多,n越大时,频率越逐渐趋于稳定于某个常数。

5. 概率的公理化定义(前苏联柯尔莫哥洛夫首次提出)设是随机试验的样本空间,对于每个事件,赋予一个实数,记为,称为事件a的「概率」,如果集合函数满足一下三个条件:理解:概率的本质一种映射,是一种将每个事件映射给一个实数的映射。

并且满足以上三个性质。

另外,注意一个常记的技巧:由以上概率的公理化定义推导出的性质:1.不可能事件的概率为02.有限可加性3.逆事件有4.减法公式5.单调性6.容斥原理,可推广至多个事件古典概型与几何概型古典概型是概率论的经典研究内容。

古典概型是指,如果一个随机试验,其中包含有限个样本点,并且所有样本点的概率都相等,那么我们就称该随机试验为古典概型。

而几何概型与以上定义基本相同,只不过包含了无限个样本点(对于几何图形来说,一块区域也包含了无穷个点)我们很容易就能够得到古典概型的计算公式(由可列可加性)关于古典概型的具体例题与技巧在此不再赘述。

如何定性认识古典概型的概率?我们可以认为,这种概率代表了一个试验中事件发生的可能性,可以认为是“ 进行无穷次试验之后事件发生频率的趋近值”。

利用这种可能性,我们可以最优化实际的决策。

条件概率与乘法公式条件概率的引入,是为了解决在某事件已经发生(或者指定某条件)的情况下具体事件的概率。

概率论与数理统计复习笔记

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概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(?):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A∪B (和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A-B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=? (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=?且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(?) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0)3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立? P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~?(?)参数为?的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (?>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ~U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为?的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (?>0).(3)X~N (?,?2)参数为?,?的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -?<x<?, ?>0.特别, ?=0, ?2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, ?(-x)=1-Φ(x) .若X ~N ((?,?2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z ?}= P{Z<-z ?}= P{|Z|>z ?/2}= ?,则点z ?,-z ?, ?z ?/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧?分位点. 注意:?(z ?)=1-? , z 1- ?= -z ?. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法: (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , ?= min (g (-?),g (?)) ?= max (g (-?),g (?)) .如果 f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 ?= min (g (a),g (b)) ?= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ?)=0, F(-?,y)=0, F(-?,-?)=0, F(?,?)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 . (2)归一性 ∑∑=i jij p 1 . 3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<?}= F (x , ?) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<?, Y ≤y}= F (?,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P •=====P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差?(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p) 3.X~ ?(?) ? ?,}{},{•=====i ji i j i p p x X P y Y x X P4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为?的指数分布 ? ?26.X~ N (?,?2) ? ?2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (?,?2 ) ,则 X ~ N (?, ?2 /n) .2.?2分布 (1)定义 若X ~N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ ?2(n)自由度为n 的?2分布.(2)性质 ①若Y~ ?2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ ?2(n 1) Y 2~ ?2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ ?2(n 1 + n 2). ③若X~ N (?,?2 ), 则22)1(σS n -~ ?2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ ?2(n),0< ? <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为?2分布的上、下、双侧?分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ ?2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N (?,?2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (?1,?12 ) 且?12=?22=?2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12 Y~ N (?2,?22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < ?<1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧?分位点. 注意: t 1- ? (n) = - t ? (n).4.F 分布 (1)定义 若U~?2(n 1), V~ ?2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< ? <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧?分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数?1, ?2,…, ?k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,以样本矩A l 取代总体矩? l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, ?1, ?2,…, ?k ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数?1, ?2,…,?k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(?1, ?2,…, ?k )关于?1, ?2,…, ?k 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=?,则估计量∧θ称为参数?的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=?k =E(X k ),即样本均值X ,样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩?k 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= ?, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP→∧,则称估计量∧θ是参数?的相合估计量. 二.区间估计1.求参数?的置信水平为1-?的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,?),其中只有一个待估参数?未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧?分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-?.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间? ?2已知 n X σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) ? ?2未知n S X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α ?2 ?未知22)1(σS n -~ ?2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体(1)均值差? 1-? 2 其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ 22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±- 未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ~t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③. (2) ? 1,? 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比?12/?22的置信区间为 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标?/2改为?,另外的下(上)限取为-? (?)即可.。

《概率论与数理统计》复习资料要点总结

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《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1.事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2.运算规则(1)BAAB A B B A =⋃=⋃ (2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃(3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃(4)BA AB B A B A ⋃==⋃ 3.概率)(A P 满足的三条公理及性质:(1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP (3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()( (n 可以取∞)(4)0)(=φP (5))(1)(A P A P -=(6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤(7))()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率6.条件概率(1)定义:若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =(2)乘法公式:)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有(3)全概率公式:∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()((4)Bayes 公式:∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7.事件的独立性:B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1.离散随机变量:取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足(1)0≥i p ,(2)∑iip=1(3)对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2.连续随机变量:具有概率密度函数)(x f ,满足(1)1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ;(2)⎰=≤≤badx x f b X a P )()(;(3)对任意R a ∈,0)(==a X P 3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(,pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-,npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(,2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4.分布函数)()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1)1)( ,0)(=+∞=-∞F F ;(2)单调非降;(3)右连续;(4))()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>;(5)对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(;(6)对连续随机变量,⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5.正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有(1)5.0)0(=Φ;(2))(1)(x x Φ-=-Φ;(3)若),(~2σμN X ,则()(σμ-Φ=x x F ;(4)以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==>6.随机变量的函数)(X g Y =(1)离散时,求Y 的值,将相同的概率相加;(2)X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导。

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概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果.随机事件事件:样本空间S的子集.必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生.∪B和事件事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生.5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生.6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率.1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ;3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…,PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+…2.性质1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,PA1∪A2∪…∪An=PA1+PA2+…+PAn有限可加性与可列可加性合称加法定理3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA .4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA .5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB .对于任意n个事件A1,A2,…,An…+-1n-1PA1A2…An四.等可能古典概型1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};2每一个基本事件的概率相等,即Pe1=Pe2=…= Pen.则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型.2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率PB|A=PAB / PA PA>0.2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0; PAB=PB P A|B PB>0.PA 1A 2…A n =PA 1PA 2|A 1PA 3|A 1A 2…PA n |A 1A 2…A n-1 n ≥2, PA 1A 2…A n-1 > 03. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S ,则当PB i >0时,有全概率公式 PA=()()i ni i B A P B P ∑=1当PA>0, PB i>0时,有贝叶斯公式P B i|A=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足PAB = PA PB 时,称A,B 为相互独立的事件.1两个事件A,B 相互独立 PB= P B|A .2若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC,称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足PABC =PA PB PC,则称A,B,C 三事件相互独立.个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k 1<k ≤n,任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数Fx=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:10≤Fx≤1 ,F -∞=0,F∞=1. 2Fx 单调不减,即若x 1<x 2 ,则 Fx 1≤Fx 2.3Fx 右连续,即Fx+0=Fx. 4P{x 1<X≤x 2}=Fx 2-Fx 1.二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k k=1,2,… 也可以列表表示. 其性质为:1非负性 0≤P k ≤1 ; 2归一性11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 Fx=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x kk=1,2,…处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布1X~0-1分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p 0<p<1 .2X~bn,p 参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k=0,1,2,…,n 0<p<1 3X~参数为的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !k=0,1,2,… >0 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数Fx 可以表示成某一非负函数fx 的积分Fx=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f x 称为X 的概率密度函数.2.概率密度的性质1非负性 fx ≥0 ; 2归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;3 P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; 4若f x 在点x 处连续,则f x=F/x .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布1X ~U a,b 区间a,b 上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . 2X 服从参数为的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 >0.3X~N ,2参数为,的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -<x<, >0.特别, =0, 2=1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N 0,1,其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, -x=1-Φx .若X ~N ,2, 则Z=σμ-X ~N 0,1, P{x 1<X ≤x 2}=Φσμ-2x-Φσμ-1x .若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意:z =1- , z 1- = -z .四.随机变量X 的函数Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数若gx k k=1,2,…的值全不相等,则由上表立得Y=gX 的分布律.若gx k k=1,2,…的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=gX 的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X x,则求其函数Y=gX 的概率密度f Y y 常用两种方法:1分布函数法 先求Y 的分布函数F Y y=P{Y ≤y}=P{gX ≤y}=()()dx x f ky Xk∑⎰∆其中Δk y 是与gX ≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间可能不只一个,然后对y 求导即得f Y y=F Y/y .2公式法 若gx 处处可导,且恒有g /x>0 或g / x<0 ,则Y=g X 是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=yhyhfyf XY其它βα<<y其中hy是gx的反函数 , = min g -,g = max g -,g .如果f x在有限区间a,b以外等于零,则 = min g a,g b = max g a,g b .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量X,Y称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数Fx,y=P{X≤x,Y≤y}称为X,Y的X和Y的联合分布函数.2.分布函数的性质1Fx,y分别关于x和y单调不减.20≤Fx,y≤1 , Fx,- =0, F-,y=0, F-,-=0, F,=1 .3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y .4对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= Fx 2,y 2- Fx 2,y 1- Fx 1,y 2+ Fx 1,y 1二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i ,y j i ,j =1,2,… 称X,Y 为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为X,Y 的联合分布律.也可列表表示.2.性质 1非负性 0≤p i j ≤1 .2归一性 ∑∑=i jijp 1 .3. X,Y 的X 和Y 的联合分布函数Fx,y=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f x,y,使对任意的x 和y,有Fx,y=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),(则称X,Y 为二维连续型随机变量,称fx,y 为X,Y 的X 和Y 的联合概率密度.2.性质 1非负性 f x,y ≥0 . 2归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .3若f x,y 在点x,y 连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 4若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. X,Y 关于X 的边缘分布函数 F X x = P{X ≤x , Y<}= F x , .X,Y 关于Y 的边缘分布函数 F Y y = P{X<, Y ≤y}= F ,y2.二维离散型随机变量X,Y关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i · i =1,2,… 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=∑∞=1i ij p = p·jj =1,2,… 归一性11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量X,Y关于X 的边缘概率密度f X x=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y y=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有Fx,y= FX x FYy ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立⇔p i j= p i··p·j i ,j =1,2,…对一切x i,y j成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立⇔f x,y=f X xf Y y对X,Y所有可能取值x,y都成立.六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义设X,Y是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=xi |Y=yj}为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称P{Y=yj |X=xi}为在X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,}{},{jj ijjippyYPyYxXP•=====,}{},{•=====ij iijippxXPyYxXP第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i i =1,2,… 概率密度f x数学期望均值EX∑∞=1i i i p x 级数绝对收敛⎰∞∞-dx x xf )(积分绝对收敛方差DX=E{X-EX 2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=EX 2-EX 2 级数绝对收敛 积分绝对收敛函数数学期望EY=EgXi i i p x g ∑∞=1)(级数绝对收敛 ⎰∞∞-dx x f x g )()(积分绝对收敛标准差X=√DX .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX .,Y为任意随机变量时, E X±Y=EX±EY .3. X与Y相互独立时, EXY=EXEY , DX±Y=DX+DY .4. DX = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 EX DX~ 0-1分布P{X=1}= p 0<p<1 p p 1- p ~ b n,p 0<p<1 n p n p 1- p ~~ Ua,b a+b/2 b-a 2/12服从参数为的指数分布2~ N ,22四.矩的概念随机变量X的k阶原点矩EX k k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{X-EX k}随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩EX k Y l l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{X-EX k Y-EY l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11 k=1,2,… 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1k=1,2,…二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E X = EX , D X = DX / n .特别,若X~ N ,2 ,则 X ~ N , 2 /n .分布 1定义 若X ~N 0,1,则Y =∑=ni i X 12~ 2n 自由度为n 的2分布.2性质 ①若Y~ 2n,则EY = n , DY = 2n .②若Y 1~ 2n 1 Y 2~ 2n 2 ,则Y 1+Y 2~ 2n 1 + n 2.③若X~ N ,2 , 则22)1(σS n -~ 2n-1,且X 与S 2相互独立.3分位点 若Y~ 2n,0< <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3. t 分布1定义 若X~N 0,1 ,Y~ 2 n,且X,Y 相互独立,则t=nY X~tn 自由度为n 的t 分布. 2性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N ,2 时,nS X μ-~ t n-1 . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N 1,12 且12=22=2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N 2,22 Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t n 1+n 2-2 , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w3分位点 若t ~ t n ,0 < <1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧分位点.注意: t 1- n = - t n.分布 1定义 若U~2n 1, V~ 2n 2, 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~Fn 1,n 2自由度为n 1,n 2的F 分布.2性质条件同3.2③22212221σσS S ~Fn 1-1,n 2-13分位点 若F~ Fn 1,n 2 ,0< <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=- 第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数1, 2,…, k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩 ll=1,2,…,k 得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式可以是分布律或概率密度为px, 1, 2,…, k ,称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数1, 2,…,k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L 1, 2,…, k 关于1, 2,…, k 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ i =1,2,…,k 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1)无偏性 若E ∧θ=,则估计量∧θ称为参数的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E X = EX , ES 2=DX, EA k =k =EX k ,即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值EX,方差DX,总体k 阶矩k 的无偏估计,2有效性 若E ∧θ1 =E ∧θ2= , 而D ∧θ1< D ∧θ2, 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.3一致性相合性 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数的相合估计量.二.区间估计1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤1寻找样本函数W=WX 1 ,X 2 ,…,X n ,,其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定.2利用双侧分位点找出W 的区间a,b,使P{a<W <b}=1-.3由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间θθ,为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间2已知 nX σμ-~N 0,1 2/ασz n X ±2未知 nS X μ-~ t n-1 )1((2/-±n t n S X α 2未知22)1(σS n -~ 2n-1 ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体1均值差 1- 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N0,1 )(2221212n n z Y Xσσα+±-未知22221σσσ==212111)(n n S Y X w +---μμ~tn 1+n 2-2)11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 2③.2 1, 2未知, W=22212221σσS S ~ Fn 1-1,n 2-1,方差比12/22的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标/2改为,另外的下上限取为- 即可.。

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