武汉大学数理统计复习整理(终稿)
数理统计知识梳理
2、步骤
（ 1） 提 出 原 假 设 H 0 （ 2） 选 择 检 验 的 统 计 量 并 找 出 在 假 设 H 0 成 立 的 条 件 下 ， 该 统 计 量 所服从的概率分布 （ 3） 根 据 所 给 的 显 著 水 平 ， 查 概 率 分 布 临 界 值 表 ， 找 出 检 验 统 计 量 的 临 界 值 ， 并 确 定 否 定 域 （ 4） 用 样 本 值 计 算 统 计 量 的 值 ， 将 其 与 临 界 值 比 较 ， 根 据 比 较 结 果 ， 确 定 样 本 值 是 否 落 入 否 定 域 ， 最 后 对 H 0作 出 结 论
( X 1 , X 2 ,… ， X n )
是n次试验的结果，因此它们是
n个随机变量。但做了试验后，记录下来的是它们在试 验中所取得的数值，得到一串数据
( x1 , x 2 , … ， x n )
这串数据称为样本的观察值。
样本的观察值就是指样本的一次实现， 是一个常数向量
有时样本观察值也称为样本，因此样本一词 具有二重性
服 从 自 由 度 为 （ k 1， k 2） 的 F 分 布 ， 记 F （ k 1， k 2） 。
F分布一个重要特点
F1（ k 1， k 2） =
1 F（ k 2， k 1）
3、统计量
设 X 1 , X 2 , … ， X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， g( x1 , x 2 , … ， x n ) 是 一 个 连 续 函 数 。 如 果 g中 不 包 涵 任 何 未 知 数 参 数 ， 则 称 g(X 1 , X 2 , … ， X n )为 统 计 量 。
2分 布 的 重 要 性 质
X 1 ~ （ m ） ， X 2 ~ （ n ） ; n ）
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
(完整word版)概率论与数理统计知识点总结(word文档良心出品)
Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
（7）概率 的公理化 定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加法+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1、 f (x) 0 。
f (x)dx 1
2、
。
（3）离散 与连续型
3、 P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
x2 f (x)dx
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
概率论与数理统计复习总结
《概率论与数理统计》内容指导一、概率部分1．概率论的基本概念及预备知识随机现象，随机试验E ，样本空间Ω，样本点ω，随机事件A ，基本事件{ω} 必然事件Ω，不可能事件∅，随机变量X ，随机向量（X ,Y）For personal use only in study and research; not for commercial use排列：从n 个元素中任取m组合：从n 个元素中任取m 2．事件间的关系与运算规律For personal use only in study and research; not for commercial use相互关系：1︒ 事件B 包含A ：A ⊂B （指事件A 发生必导致B 发生） A 与B 相等：A ＝B （指A ⊂B 且B ⊂A ）2︒ A 与B 的和事件：A ∪B （指A , B 中至少有一个发生） A 与B 的直和：A ＋B ＝A ∪B （A 与B 互不相容时） 3︒ A 与B 的积事件：A ∩B 或AB （指A 与B 同时发生）， 4︒ A 与B 的差事件：A －B ＝AB （指A 发生而B 不发生） 5︒ A 与B 互不相容或互斥：A ∩B ＝∅．6︒ A 的对立事件ΩU －A ．运算规律：(1) 交换律：A ∪B ＝B ∪A , A ∩B ＝B ∩A(2) 结合律：A ∪(B ∪C )＝(A ∪B )∪C ，A ∩(B ∩C )＝(A ∩B )∩C (3) 分配律：A (B ∪C )＝AB ∪AC 3．频率的定义与性质事件A 发生的频率n A 为n 次试验中A 发生的次数）频率的基本性质：1︒（非负性） 对于任一随机事件A ，有f n (A )≥0 2︒（规范性） 对于必然事件Ω，有f n (Ω)＝1 3︒（有限可加性）若A 1, A 2,…, A k 两两互斥，则()∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k i i n k i i n A f A f 114．概率的定义与性质概率的公理化定义：称实值函数P (A )为事件A 的概率，如果P (A )满足下述公理： 公理1（非负性） 对于任一随机事件A ，有P (A )≥0 公理2（规范性） 对于必然事件Ω，有P (Ω)＝1公理3（完全可加性） 对两两互不相容的事件A 1, A 2, …,有()∑∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i A P A P概率的基本性质：1︒ P (∅)＝0； 0≤P (A )≤12︒（有限可加性）若A 1,A 2,…, A k 两两互斥，则()∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k i i k i i A P A P 113︒ 若A ⊂B , 则P (B －A )＝P (B )－P (A )，P (B )≥P (A ) 5．概率计算公式三种典型概率：古典概率计算公式几何概率计算公式条件概率计算公式加法定理：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ) 概率乘法定理：P (AB )＝P (A )P (B | A )全概率公式：）（ ++==∑∞=211)|()()(B B B A P B P A P i i i Ω贝叶斯公式6．等价定理等价定理1 对事件A与B ，下面四个命题等价(1) A 与B 相互独立； (2) A (3) B (4) 等价定理2 在1)(0,1)(0<<<<B P A P 时，下面四个命题等价 (1) A 与B 相互独立 (2) )()()(B P A P AB P =(3) )()|(A P B A P = (4) )()|(B P A B P = 7．随机变量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度） 分布函数：}{)(x X P x F ≤=分布律： ,2,1 ),0()(}{=--===k x F x F p x X P k k k k 分布密度：)()(x F x f '=（在f (x )的连续点）常用分布：1）．0-1分布（1次试验中A 发生的次数为k ，p A P =)(）⎩⎨⎧==-==1,0,1}{k p k p k X P2）．二项分布(,)B n p （n 重伯努利试验中A 发生的次数为k ，p A P =)(）n k q p C k X P kn k k n ,,2,1,0 ,}{ ===-3）．泊松分布()P λ（n →∞时二项分布的逼近分布，()(,)P np B n p ≈）4）．均匀分布(,)U a b⎪⎩⎪⎨⎧∈-=其它 ,0),( ,1)(b a x ab x f5）．指数分布()e λ⎩⎨⎧≤>=- 0,00,e )(x x x f x λλ 6）．正态分布2(,)N μσ+∞<<∞-=--x x f x ,e π21)(222)(σμσ（常用分布的分布律、分布密度、数学期望及方差见《概率统计》附表1） 8．随机向量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：联合分布函数：},{),(y Y x X P y x F ≤≤= 边缘分布函数：F X ( x )＝P { X ≤x }＝F ( x , +∞ )F Y ( y )＝P { Y ≤y }＝F ( +∞ , y ) 分布律： 联合分布律：P {X ＝x i ,Y ＝y j }＝p i j , i , j ＝1, 2, …---=),0(),(j i j i j i y x F y x F p )0,0()0,(--+-j i j i y x F y x F边缘分布律条件分布律 分布密度：边缘分布密度：⎰∞+∞-='= ),()()(dy y x f x F x f XX⎰∞+∞-='= ),()( )( dxy x f y F y f Y Y条件分布密度f X (x )大于0的连续点）f Y ( y )大于0的连续点）9．构成分布函数、分布律、分布密度的充要条件F (x )为分布函数 ⇔ F (x )单调不减右连续且F (-∞)＝0，F (+∞)＝1 F (x , y )为分布函数 ⇔ F (x , y ) 关于x 和y 均单调不减右连续且F (-∞, y )＝F (x ,-∞)＝F (-∞,-∞)＝0 , F (+∞,+∞)＝1p k 为分布律 ⇔ ）（， ,2,1011=≥=∑∞=k p p k k kp ij为分布律 ⇔),2,1,(0111 =≥=∑∑∞=∞=j i p p ij i j ij，f (x )为分布密度 ⇔)(1)( ≥=⎰∞+∞-x f dx x f ，f (x , y )为分布密度 ⇔ 0),(1),( ≥y x f d x d y y x f ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=10．连续型随机变量的性质1︒ 连续型随机变量的分布函数必连续，但分布函数连续的随机变量未必是连续型的．2︒ 一维（二维）连续型随机变量在任意一点（任意曲线上）取值的概率必为零．3︒ P {a ＜X ＜b }＝P {a ≤X ＜b }＝P {a ＜X ≤b }＝P {a ≤X ≤b }＝F (b )－F (a )＝⎰badxx f )(4︒ 对平面区域G , 有⎰⎰=∈Gdxdyy x f G Y X P ),(}),{(11．随机变量相互独立的等价定理随机变量相互独立的等价定理 对于随机向量(X , Y ), 下面五个命题等价 (1) X 与 Y 相互独立；(2) 所有可能的条件分布律与相应的边缘分布律一致,2,1,,}{}|{}{}|{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧========j i x X P y Y x X P y Y P x X y Y P i j i j i j或 所有可能的条件分布密度与相应的边缘分布密度几乎处处相等．)()|(|y f x y f Y X Y =（几乎处处相等） )()|(|x f y x f X Y X =（几乎处处相等）(3) j i ji pp p ∙∙⋅= 或 )()(),(y f x f y x f Y X 几乎= (4) 对于任意二实数集S , T ，有P {X ∈S ,Y ∈T } = P {X ∈S } P {Y ∈T } (5) 对于任意二实数x , y , 有F (x , y ) = F X (x ) F Y ( y )12．随机变量函数的重要结论1）Y ＝g (X )的分布函数 F Y (y )＝P {Y ≤y }＝P {g (X )≤y } 2）Z ＝g (X ,Y )的分布函数 F Z (z )＝P {Z ≤z }＝P {g (X ,Y )≤z } 3）Z ＝X ＋Y 的分布密度⎰∞+∞--= ),()(dx x z x f z f Z ⎰∞+∞--= ),(dyy y z f⎰∞+∞--= )()(dxx z f x f Y X （当X 与Y 相互独立时）4）当 X 1, X 2,…,X n 相互独立时，max(X 1, X 2,…,X n ) 和min(X 1, X 2,…,X n ) 的分布函数)()()()(21m a xz F z F z F z F n X X X = )](1[)](1)][(1[1)(21min z F z F z F z F n X X X ----=13．有关正态分布的重要结论若),(~2σμN X （正态分布），则N (μ,σ 2)与N (0,1)N (μ,σ 2) 的分布函数()F x 与N (0,1)的分布函数()Φx 满足Φ(-x )＝1－Φ(x )以μ1, μ2, σ1, σ2, ρ 为参数的二维正态随机变量X ,Y 的密度函数为其中的随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是 ρ＝0． 14．随机变量的数字特征 数学期望的性质与计算： 1︒ ∑∞==1k k k p x EX⎰∞+∞-= )(dx x xf2︒∑∞==1)()]([k k k p x g X g E ⎰∞+∞-= )()(dxx f x g3︒∑∑∞=∞==11),()],([i j ijj i p y x g Y X g E ⎰⎰∞+∞-∞+∞-= ),(),(dxdyy x f y x g4︒ 若X 1, X 2,…,X n 是随机变量，a k 是常数，则∑∑==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+nk nk n k n k X E a a X a a E 10105︒ 若X 1, X 2,…,X n 是相互独立的随机变量，则)())(()(2121n n EX EX EX X X X E =方差的性质与计算：1︒ DX ＝Cov(X ,X )＝E (X －EX )2＝EX 2－(EX )2, D (C )＝0, D (CX )＝C 2DX2︒ D (X ＋Y )＝DX ＋DY ＋2 Cov(X ,Y )＝DX ＋DY （X , Y 是相互独立）3︒ DX ＝0的充要条件是 X 以概率1取常数C ＝EX ． 协方差的性质与计算：1︒ Cov(X ,Y )＝Cov(Y , X )＝E [(X －EX )(Y －EY )]＝E (XY )－(EX )(EY ) 2︒ Cov(a ,X )＝0，Cov(aX ,bY )＝ab Cov(X , Y )3︒ Cov(X ＋Y , Z )＝Cov(X ,Z )＋Cov(Y ,Z )． 相关系数与矩：ρXY＝0时称X与Y不相关），k阶原点矩：EX k，k＋l阶混合原点矩：E(X k Y l)，k阶中心矩：E(X－E X)k，k＋l阶混合中心矩：E[(X－E X)k(Y－EY)l] 15．大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式设X具有数学期望E X与方差DX，则对于任意的正数ε, 有P{|X－EX|≥ε}或P{|X－E X|＜ε}≥1辛钦大数定律设X1,X2,…相互独立同分布μ=iEX),2,1(=i，则0>∀ε, 有或伯努利大数定律设n A是n重伯努利试验中A发生的次数, p=P(A), 则0>∀ε, 有或林德伯格-列维（Linderberg-levi）中心极限定理设X1,X2,…独立同分布且E X k =μ, 02>=σkDX),2,1(=k，则的极限分布是标准正态分布N(0,1))()(lim xxFnYnΦ=∞→或即()21,~σμnnNXnkk近似∑=棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理设X～B(n, p)则对于任意的x，有)()(lim xxFnYnΦ=∞→或即())1(,~pnpnpNX-近似二、统计部分1．数理统计的基本概念总体（母体）：所研究对象（取实数值）的全体． 个体： 组成总体的元素．样本（子样）：n X X X ,,,21 （n 为样本容量）样本均值： ∑==ni iX n X 11 样本方差： ∑=--=n i i X X n S 122)(11 样本k 阶原点矩：∑==n i kik X n M 11=k (1,2,…) 样本k 阶中心矩：∑=-='ni k i kX X n M 1)(1=k (1,2,…) 频率直方图： 1(1,2,,)()ii i i n y i l n a a -==-2．基本分布1）标准正态分布 若),(~2σμN X , 则上侧分位数 αu ：{}⎰+∞==≥ααϕαu dx x u U P )(2）2χ分布 设n X X X ,,,21 相互独立且)1,0(~N X i ,则)(~2122n X ni i χχ∑==上侧分位数 )(2n αχ：{}⎰+∞==≥)(2222)()(n dx x f n P αχχααχχ3）t 分布 设X 与Y 相互独立，且)1,0(~N X , )(~2n Y χ，则 n Y X T =～)(n t上侧分位数 )(n t α：{}⎰+∞==≥)()()(n t t dx x f n t T P ααα4）F 分布 设X 与Y 独立，且)(~12n X χ,)(~22n Y χ,则21n Y n X F =～F (21,n n )上侧分位数 ),(21n n F α：{}),(21n n F F P α≥=⎰+∞=),(21)(n n F F dx x f αα3．正态总体的抽样分布一个正态总体的抽样分布设总体),(~2σμN X ，2,,S X n 为样本容量、样本均值、样本方差，那么（1）),(~2N X σμ（2）X 与2S 相互独立，且)1(~)1(2222--=n S n χσχ（3）)1(~/--=n t n S X T μ两个正态总体的抽样分布设),(~211σμN X , ),(~222σμN Y ，且它们相互独立，并设222211,,,,S Y n S X n ，分别为他们的样本容量、样本均值、样本方差，那么（1）)1,0(~)()(22212121N n n Y X U σσμμ+---=（2）当2221σσ=时，)2(~)()(2121-+---=n n t Q Y X T μμ其中2)1()1(112122221121-+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n S n S n n n Q（3）)1,1(~2121222221--=n n F S S F σσ4．参数的点估计抽取子样：n X X X ,,,21 （样本值为n x x x ,,,21 ） 1）矩估计法（无需知道总体分布）矩估计方程：),,2,1(),,,(21k r EX M rk r ==θθθ解之得矩估计量：),,2,1(),,,(ˆˆ21k r X X X n r r ==θθ2）最大似然法 (1) 对总体X (k θθθ,,,21 未知)．构造似然函数：),,,;(Π),,,(21121k i n i k x p L θθθθθθ ==（离散型总体的分布律） ),,,;(Π),,,(21121k i n i k x f L θθθθθθ ==（连续型总体的分布密度）令 ),,2,1(0),,,(ln 21k r L k r ==∂∂θθθθ（对数似然方程）即可解出（使似然函数取最大值的）最大似然估计值k θθθˆ,,ˆ,ˆ21 ，从而得最大似然估计值量),,2,1(),,,(ˆˆ21k r X X X n r r ==θθ3）估计量的评价标准 （1）无偏性 设θˆ=θˆ(n X X X ,,,21 )是θ的估计，若θθ=ˆE , 则称θˆ是θ的无偏估计．（2）有效性 设估计量),,,(ˆ211n X X X θ与),,,(ˆ212n X X X θ是参数θ的两个无偏估计量，若21ˆˆθθD D <，则称1ˆθ较2ˆθ有效．（3）一致性 设θˆ(n X X X ,,,21 )为参数θ的一个估计量，若θθ−→−P nX X X ),,,(ˆ21 则称θˆ(n X X X ,,,21 )是θ的一致估计（相合估计）．5．参数的区间估计(1) 选择包含待估参数的正态总体抽样V ．(2) 根据正态总体抽样~()V V γ构造大概率事件{}2||1P V V αα<=-(3) 根据大概率事件{}2||V V α<构造估计区间，正态总体均值与方差（或均值差与方差比）的区间估计表见附表7 6．参数的假设检验1）假设检验的一般原理(1) 选择包含检验参数的正态总体抽样V ．(2) 根据正态总体抽样~()V V γ构造小概率事件{}||P V V αα≥=(3) 根据小概率事件{}2||V V α≥确定拒绝域．2）假设检验可能犯的两类错误 （1）第一类错误（弃真错误）：原假设0H 正确，但我们却错误地拒绝了它。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计复习资料要点总结--学生
《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。
考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。
7、 掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。
9、 会求分布中的待定参数。
会求区间的概率.10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、 较熟练地求协方差与相关系数.16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。
18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。
概率论与数理统计期末总复习资料
古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。
解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。
例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。
故样本点总数为：N n(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含的样本点数：n!，则 n Nn A P !)(=(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n NnN A C n =!，则n nNNA B P =)((3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：mn C m n N --)1(, 则mn m m n nm n mn N N N C N N C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。