武汉大学数理统计复习整理(终稿)
数理统计知识梳理
2、步骤
（ 1） 提 出 原 假 设 H 0 （ 2） 选 择 检 验 的 统 计 量 并 找 出 在 假 设 H 0 成 立 的 条 件 下 ， 该 统 计 量 所服从的概率分布 （ 3） 根 据 所 给 的 显 著 水 平 ， 查 概 率 分 布 临 界 值 表 ， 找 出 检 验 统 计 量 的 临 界 值 ， 并 确 定 否 定 域 （ 4） 用 样 本 值 计 算 统 计 量 的 值 ， 将 其 与 临 界 值 比 较 ， 根 据 比 较 结 果 ， 确 定 样 本 值 是 否 落 入 否 定 域 ， 最 后 对 H 0作 出 结 论
( X 1 , X 2 ,… ， X n )
是n次试验的结果，因此它们是
n个随机变量。但做了试验后，记录下来的是它们在试 验中所取得的数值，得到一串数据
( x1 , x 2 , … ， x n )
这串数据称为样本的观察值。
样本的观察值就是指样本的一次实现， 是一个常数向量
有时样本观察值也称为样本，因此样本一词 具有二重性
服 从 自 由 度 为 （ k 1， k 2） 的 F 分 布 ， 记 F （ k 1， k 2） 。
F分布一个重要特点
F1（ k 1， k 2） =
1 F（ k 2， k 1）
3、统计量
设 X 1 , X 2 , … ， X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， g( x1 , x 2 , … ， x n ) 是 一 个 连 续 函 数 。 如 果 g中 不 包 涵 任 何 未 知 数 参 数 ， 则 称 g(X 1 , X 2 , … ， X n )为 统 计 量 。
2分 布 的 重 要 性 质
X 1 ~ （ m ） ， X 2 ~ （ n ） ; n ）
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
(完整word版)概率论与数理统计知识点总结(word文档良心出品)
Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
（7）概率 的公理化 定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加法+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1、 f (x) 0 。
f (x)dx 1
2、
。
（3）离散 与连续型
3、 P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
x2 f (x)dx
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
概率论与数理统计复习总结
《概率论与数理统计》内容指导一、概率部分1．概率论的基本概念及预备知识随机现象，随机试验E ，样本空间Ω，样本点ω，随机事件A ，基本事件{ω} 必然事件Ω，不可能事件∅，随机变量X ，随机向量（X ,Y）For personal use only in study and research; not for commercial use排列：从n 个元素中任取m组合：从n 个元素中任取m 2．事件间的关系与运算规律For personal use only in study and research; not for commercial use相互关系：1︒ 事件B 包含A ：A ⊂B （指事件A 发生必导致B 发生） A 与B 相等：A ＝B （指A ⊂B 且B ⊂A ）2︒ A 与B 的和事件：A ∪B （指A , B 中至少有一个发生） A 与B 的直和：A ＋B ＝A ∪B （A 与B 互不相容时） 3︒ A 与B 的积事件：A ∩B 或AB （指A 与B 同时发生）， 4︒ A 与B 的差事件：A －B ＝AB （指A 发生而B 不发生） 5︒ A 与B 互不相容或互斥：A ∩B ＝∅．6︒ A 的对立事件ΩU －A ．运算规律：(1) 交换律：A ∪B ＝B ∪A , A ∩B ＝B ∩A(2) 结合律：A ∪(B ∪C )＝(A ∪B )∪C ，A ∩(B ∩C )＝(A ∩B )∩C (3) 分配律：A (B ∪C )＝AB ∪AC 3．频率的定义与性质事件A 发生的频率n A 为n 次试验中A 发生的次数）频率的基本性质：1︒（非负性） 对于任一随机事件A ，有f n (A )≥0 2︒（规范性） 对于必然事件Ω，有f n (Ω)＝1 3︒（有限可加性）若A 1, A 2,…, A k 两两互斥，则()∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k i i n k i i n A f A f 114．概率的定义与性质概率的公理化定义：称实值函数P (A )为事件A 的概率，如果P (A )满足下述公理： 公理1（非负性） 对于任一随机事件A ，有P (A )≥0 公理2（规范性） 对于必然事件Ω，有P (Ω)＝1公理3（完全可加性） 对两两互不相容的事件A 1, A 2, …,有()∑∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i A P A P概率的基本性质：1︒ P (∅)＝0； 0≤P (A )≤12︒（有限可加性）若A 1,A 2,…, A k 两两互斥，则()∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k i i k i i A P A P 113︒ 若A ⊂B , 则P (B －A )＝P (B )－P (A )，P (B )≥P (A ) 5．概率计算公式三种典型概率：古典概率计算公式几何概率计算公式条件概率计算公式加法定理：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ) 概率乘法定理：P (AB )＝P (A )P (B | A )全概率公式：）（ ++==∑∞=211)|()()(B B B A P B P A P i i i Ω贝叶斯公式6．等价定理等价定理1 对事件A与B ，下面四个命题等价(1) A 与B 相互独立； (2) A (3) B (4) 等价定理2 在1)(0,1)(0<<<<B P A P 时，下面四个命题等价 (1) A 与B 相互独立 (2) )()()(B P A P AB P =(3) )()|(A P B A P = (4) )()|(B P A B P = 7．随机变量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度） 分布函数：}{)(x X P x F ≤=分布律： ,2,1 ),0()(}{=--===k x F x F p x X P k k k k 分布密度：)()(x F x f '=（在f (x )的连续点）常用分布：1）．0-1分布（1次试验中A 发生的次数为k ，p A P =)(）⎩⎨⎧==-==1,0,1}{k p k p k X P2）．二项分布(,)B n p （n 重伯努利试验中A 发生的次数为k ，p A P =)(）n k q p C k X P kn k k n ,,2,1,0 ,}{ ===-3）．泊松分布()P λ（n →∞时二项分布的逼近分布，()(,)P np B n p ≈）4）．均匀分布(,)U a b⎪⎩⎪⎨⎧∈-=其它 ,0),( ,1)(b a x ab x f5）．指数分布()e λ⎩⎨⎧≤>=- 0,00,e )(x x x f x λλ 6）．正态分布2(,)N μσ+∞<<∞-=--x x f x ,e π21)(222)(σμσ（常用分布的分布律、分布密度、数学期望及方差见《概率统计》附表1） 8．随机向量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：联合分布函数：},{),(y Y x X P y x F ≤≤= 边缘分布函数：F X ( x )＝P { X ≤x }＝F ( x , +∞ )F Y ( y )＝P { Y ≤y }＝F ( +∞ , y ) 分布律： 联合分布律：P {X ＝x i ,Y ＝y j }＝p i j , i , j ＝1, 2, …---=),0(),(j i j i j i y x F y x F p )0,0()0,(--+-j i j i y x F y x F边缘分布律条件分布律 分布密度：边缘分布密度：⎰∞+∞-='= ),()()(dy y x f x F x f XX⎰∞+∞-='= ),()( )( dxy x f y F y f Y Y条件分布密度f X (x )大于0的连续点）f Y ( y )大于0的连续点）9．构成分布函数、分布律、分布密度的充要条件F (x )为分布函数 ⇔ F (x )单调不减右连续且F (-∞)＝0，F (+∞)＝1 F (x , y )为分布函数 ⇔ F (x , y ) 关于x 和y 均单调不减右连续且F (-∞, y )＝F (x ,-∞)＝F (-∞,-∞)＝0 , F (+∞,+∞)＝1p k 为分布律 ⇔ ）（， ,2,1011=≥=∑∞=k p p k k kp ij为分布律 ⇔),2,1,(0111 =≥=∑∑∞=∞=j i p p ij i j ij，f (x )为分布密度 ⇔)(1)( ≥=⎰∞+∞-x f dx x f ，f (x , y )为分布密度 ⇔ 0),(1),( ≥y x f d x d y y x f ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=10．连续型随机变量的性质1︒ 连续型随机变量的分布函数必连续，但分布函数连续的随机变量未必是连续型的．2︒ 一维（二维）连续型随机变量在任意一点（任意曲线上）取值的概率必为零．3︒ P {a ＜X ＜b }＝P {a ≤X ＜b }＝P {a ＜X ≤b }＝P {a ≤X ≤b }＝F (b )－F (a )＝⎰badxx f )(4︒ 对平面区域G , 有⎰⎰=∈Gdxdyy x f G Y X P ),(}),{(11．随机变量相互独立的等价定理随机变量相互独立的等价定理 对于随机向量(X , Y ), 下面五个命题等价 (1) X 与 Y 相互独立；(2) 所有可能的条件分布律与相应的边缘分布律一致,2,1,,}{}|{}{}|{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧========j i x X P y Y x X P y Y P x X y Y P i j i j i j或 所有可能的条件分布密度与相应的边缘分布密度几乎处处相等．)()|(|y f x y f Y X Y =（几乎处处相等） )()|(|x f y x f X Y X =（几乎处处相等）(3) j i ji pp p ∙∙⋅= 或 )()(),(y f x f y x f Y X 几乎= (4) 对于任意二实数集S , T ，有P {X ∈S ,Y ∈T } = P {X ∈S } P {Y ∈T } (5) 对于任意二实数x , y , 有F (x , y ) = F X (x ) F Y ( y )12．随机变量函数的重要结论1）Y ＝g (X )的分布函数 F Y (y )＝P {Y ≤y }＝P {g (X )≤y } 2）Z ＝g (X ,Y )的分布函数 F Z (z )＝P {Z ≤z }＝P {g (X ,Y )≤z } 3）Z ＝X ＋Y 的分布密度⎰∞+∞--= ),()(dx x z x f z f Z ⎰∞+∞--= ),(dyy y z f⎰∞+∞--= )()(dxx z f x f Y X （当X 与Y 相互独立时）4）当 X 1, X 2,…,X n 相互独立时，max(X 1, X 2,…,X n ) 和min(X 1, X 2,…,X n ) 的分布函数)()()()(21m a xz F z F z F z F n X X X = )](1[)](1)][(1[1)(21min z F z F z F z F n X X X ----=13．有关正态分布的重要结论若),(~2σμN X （正态分布），则N (μ,σ 2)与N (0,1)N (μ,σ 2) 的分布函数()F x 与N (0,1)的分布函数()Φx 满足Φ(-x )＝1－Φ(x )以μ1, μ2, σ1, σ2, ρ 为参数的二维正态随机变量X ,Y 的密度函数为其中的随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是 ρ＝0． 14．随机变量的数字特征 数学期望的性质与计算： 1︒ ∑∞==1k k k p x EX⎰∞+∞-= )(dx x xf2︒∑∞==1)()]([k k k p x g X g E ⎰∞+∞-= )()(dxx f x g3︒∑∑∞=∞==11),()],([i j ijj i p y x g Y X g E ⎰⎰∞+∞-∞+∞-= ),(),(dxdyy x f y x g4︒ 若X 1, X 2,…,X n 是随机变量，a k 是常数，则∑∑==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+nk nk n k n k X E a a X a a E 10105︒ 若X 1, X 2,…,X n 是相互独立的随机变量，则)())(()(2121n n EX EX EX X X X E =方差的性质与计算：1︒ DX ＝Cov(X ,X )＝E (X －EX )2＝EX 2－(EX )2, D (C )＝0, D (CX )＝C 2DX2︒ D (X ＋Y )＝DX ＋DY ＋2 Cov(X ,Y )＝DX ＋DY （X , Y 是相互独立）3︒ DX ＝0的充要条件是 X 以概率1取常数C ＝EX ． 协方差的性质与计算：1︒ Cov(X ,Y )＝Cov(Y , X )＝E [(X －EX )(Y －EY )]＝E (XY )－(EX )(EY ) 2︒ Cov(a ,X )＝0，Cov(aX ,bY )＝ab Cov(X , Y )3︒ Cov(X ＋Y , Z )＝Cov(X ,Z )＋Cov(Y ,Z )． 相关系数与矩：ρXY＝0时称X与Y不相关），k阶原点矩：EX k，k＋l阶混合原点矩：E(X k Y l)，k阶中心矩：E(X－E X)k，k＋l阶混合中心矩：E[(X－E X)k(Y－EY)l] 15．大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式设X具有数学期望E X与方差DX，则对于任意的正数ε, 有P{|X－EX|≥ε}或P{|X－E X|＜ε}≥1辛钦大数定律设X1,X2,…相互独立同分布μ=iEX),2,1(=i，则0>∀ε, 有或伯努利大数定律设n A是n重伯努利试验中A发生的次数, p=P(A), 则0>∀ε, 有或林德伯格-列维（Linderberg-levi）中心极限定理设X1,X2,…独立同分布且E X k =μ, 02>=σkDX),2,1(=k，则的极限分布是标准正态分布N(0,1))()(lim xxFnYnΦ=∞→或即()21,~σμnnNXnkk近似∑=棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理设X～B(n, p)则对于任意的x，有)()(lim xxFnYnΦ=∞→或即())1(,~pnpnpNX-近似二、统计部分1．数理统计的基本概念总体（母体）：所研究对象（取实数值）的全体． 个体： 组成总体的元素．样本（子样）：n X X X ,,,21 （n 为样本容量）样本均值： ∑==ni iX n X 11 样本方差： ∑=--=n i i X X n S 122)(11 样本k 阶原点矩：∑==n i kik X n M 11=k (1,2,…) 样本k 阶中心矩：∑=-='ni k i kX X n M 1)(1=k (1,2,…) 频率直方图： 1(1,2,,)()ii i i n y i l n a a -==-2．基本分布1）标准正态分布 若),(~2σμN X , 则上侧分位数 αu ：{}⎰+∞==≥ααϕαu dx x u U P )(2）2χ分布 设n X X X ,,,21 相互独立且)1,0(~N X i ,则)(~2122n X ni i χχ∑==上侧分位数 )(2n αχ：{}⎰+∞==≥)(2222)()(n dx x f n P αχχααχχ3）t 分布 设X 与Y 相互独立，且)1,0(~N X , )(~2n Y χ，则 n Y X T =～)(n t上侧分位数 )(n t α：{}⎰+∞==≥)()()(n t t dx x f n t T P ααα4）F 分布 设X 与Y 独立，且)(~12n X χ,)(~22n Y χ,则21n Y n X F =～F (21,n n )上侧分位数 ),(21n n F α：{}),(21n n F F P α≥=⎰+∞=),(21)(n n F F dx x f αα3．正态总体的抽样分布一个正态总体的抽样分布设总体),(~2σμN X ，2,,S X n 为样本容量、样本均值、样本方差，那么（1）),(~2N X σμ（2）X 与2S 相互独立，且)1(~)1(2222--=n S n χσχ（3）)1(~/--=n t n S X T μ两个正态总体的抽样分布设),(~211σμN X , ),(~222σμN Y ，且它们相互独立，并设222211,,,,S Y n S X n ，分别为他们的样本容量、样本均值、样本方差，那么（1）)1,0(~)()(22212121N n n Y X U σσμμ+---=（2）当2221σσ=时，)2(~)()(2121-+---=n n t Q Y X T μμ其中2)1()1(112122221121-+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n S n S n n n Q（3）)1,1(~2121222221--=n n F S S F σσ4．参数的点估计抽取子样：n X X X ,,,21 （样本值为n x x x ,,,21 ） 1）矩估计法（无需知道总体分布）矩估计方程：),,2,1(),,,(21k r EX M rk r ==θθθ解之得矩估计量：),,2,1(),,,(ˆˆ21k r X X X n r r ==θθ2）最大似然法 (1) 对总体X (k θθθ,,,21 未知)．构造似然函数：),,,;(Π),,,(21121k i n i k x p L θθθθθθ ==（离散型总体的分布律） ),,,;(Π),,,(21121k i n i k x f L θθθθθθ ==（连续型总体的分布密度）令 ),,2,1(0),,,(ln 21k r L k r ==∂∂θθθθ（对数似然方程）即可解出（使似然函数取最大值的）最大似然估计值k θθθˆ,,ˆ,ˆ21 ，从而得最大似然估计值量),,2,1(),,,(ˆˆ21k r X X X n r r ==θθ3）估计量的评价标准 （1）无偏性 设θˆ=θˆ(n X X X ,,,21 )是θ的估计，若θθ=ˆE , 则称θˆ是θ的无偏估计．（2）有效性 设估计量),,,(ˆ211n X X X θ与),,,(ˆ212n X X X θ是参数θ的两个无偏估计量，若21ˆˆθθD D <，则称1ˆθ较2ˆθ有效．（3）一致性 设θˆ(n X X X ,,,21 )为参数θ的一个估计量，若θθ−→−P nX X X ),,,(ˆ21 则称θˆ(n X X X ,,,21 )是θ的一致估计（相合估计）．5．参数的区间估计(1) 选择包含待估参数的正态总体抽样V ．(2) 根据正态总体抽样~()V V γ构造大概率事件{}2||1P V V αα<=-(3) 根据大概率事件{}2||V V α<构造估计区间，正态总体均值与方差（或均值差与方差比）的区间估计表见附表7 6．参数的假设检验1）假设检验的一般原理(1) 选择包含检验参数的正态总体抽样V ．(2) 根据正态总体抽样~()V V γ构造小概率事件{}||P V V αα≥=(3) 根据小概率事件{}2||V V α≥确定拒绝域．2）假设检验可能犯的两类错误 （1）第一类错误（弃真错误）：原假设0H 正确，但我们却错误地拒绝了它。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计复习资料要点总结--学生
《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。
考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。
7、 掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。
9、 会求分布中的待定参数。
会求区间的概率.10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、 较熟练地求协方差与相关系数.16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。
18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。
概率论与数理统计期末总复习资料
古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。
解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。
例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。
故样本点总数为：N n(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含的样本点数：n!，则 n Nn A P !)(=(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n NnN A C n =!，则n nNNA B P =)((3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：mn C m n N --)1(, 则mn m m n nm n mn N N N C N N C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习资料一、复习纲要注：以下是考试的参照内容，不作为实质考试范围，仅作为复习参照之用。
考试内容以教课纲领和实行计划为准；注明“认识”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，认识概率的古典定义2、能较娴熟地求解古典概率；认识概率的公义化定义3、掌握概率的基天性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的观点；掌握加法公式与乘法公式4、能正确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的观点及性质。
5、理解随机变量的观点，认识(0 —1) 散布、二项散布、泊松散布的散布律。
6、理解散布函数的观点及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数散布 ( 参数) 、平均散布、正态散布，特别是正态散布概率计算8、会求一维随机变量函数散布的一般方法，求一维随机变量的散布律或概率密度。
9、会求散布中的待定参数。
10、会求边沿散布函数、边沿散布律、条件散布律、边沿密度函数、条件密度函数，会鉴别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的观点及计算。
12、理解二维随机变量的观点，理解二维随机变量的结合散布函数及其性质，理解二维失散型随机变量的结合散布律及其性质，理解二维连续型随机变量的结合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、认识求二维随机变量函数的散布的一般方法。
14、会娴熟地求随机变量及其函数的数学希望和方差。
会娴熟地默写出几种重要随机变量的数学希望及方差。
15、较娴熟地求协方差与有关系数.16、认识矩与协方差矩阵观点。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、认识大数定理结论，会用中心极限制理解题。
18、掌握整体、样本、简单随机样本、统计量及抽样散布观点，掌握样本均值与样本方差及样本矩观点，掌握2散布 ( 及性质 ) 、t 散布、F散布及其分位点观点。
19、理解正态整体样本均值与样本方差的抽样散布定理；会用矩预计方法来预计未知参数。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
《概率论与数理统计》复习-知识归纳整理
《概率论与数理统计》复习大纲第一章 随机事件与概率基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复举行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果闪现，且事先知道试验可能闪现的一切结果，但不能预知每次试验确实切结果。
样本点ω ---随机试验E的每一具可能闪现的结果样本空间Ω----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一具子集。
必然事件---每次试验中必然发生的事件。
不可能事件∅--每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系包含A⊂B相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=∅也称不相容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一具剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C ）A、A=∅B、A⊂BC、A与B相互独立D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或A ∩B 例1设事件A、B满足A B¯=∅，由此推导不出(D)A、A⊂BB、A¯⊃B¯C、A B=BD、A B=B例2若事件B与A满足B – A=B，则一定有(B)A、A=∅B、AB=∅C、AB¯=∅D、B=A¯事件的并A∪B事件的差A-B 注意：A-B= A B= A-AB = (A∪B)-BA1,A2,…,An构成Ω的一具完备事件组(或分斥)−−指A1,A2,…,An两两互不相容，且∪i=1nAi=Ω运算法则交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律A∪B=A∩B A∩B=A∪B文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论Ω样本空间，必然事件全集∅不可能事件空集ω基本事件元素A 事件全集中的一具子集A A的对立事件A的补集A⊂B 事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B 事件A与事件B相等A与B相等A∪B 事件A与事件B至少有一具发生A与B的并集AB 事件A与事件B并且发生A与B的交集知识归纳整理A-B事件A 发生但事件B 不发生A 与B 的差集 AB=∅ 事件A 与事件B 互不相容（互斥） A 与B 没有相同的元素古典概型 古典概型的前提是Ω={ω1,ω2, ω3,…, ωn ,}, n 为有限正整数，且每个样本点ωi 出现的可能性相等。
数理统计复习提纲
1． 基本概念个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量，样本n X X X ,,21的联合分布，统计量2．样本均值∑==ni i X nX 11，性质：nX D X D X E X E )()(),()(==样本方差212)(11X Xn Sni i--=∑=，性质：)()(2X D S E =注意：必须学会用计算器计算样本均值X 和样本方差2S ，考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器可视为作弊，因此考试时务必带好计算器3．2χ分布，t 分布，F 分布的定义，上α分位点的含义及查表4．抽样分布定理定理1（教材P147）定理2、3、4（教材P148）第七章1．矩估计法（用样本的矩作为总体的矩的估计） （1）样本均值∑==ni i X nX 11是总体均值)(X E 的矩估计（2）21)(1X Xnni i-∑=是总体方差)(X D 的矩估计注意：样本方差2S 不是总体方差)(X D 的矩估计2．极大似然估计法极大似然估计法的步骤：（1）写出似然函数),()(1θθ∏==ni i x f L 或),()(1θθ∏==ni i x p L ，（2）似然函数取对数，化简)(ln θL ，（3）求导数θθd L d )(ln ，（4）令0)(ln =θθd L d ，解得参数θ的极大似然估计L θˆ3．估计的无偏性和有效性 （1）样本均值∑==ni i X nX 11是总体均值)(X E 的无偏估计（2）样本方差=2S 21)(11X Xn ni i--∑=是总体方差)(X D 的无偏估计注意：21)(1X X nni i-∑=不是总体方差)(X D 的无偏估计，样本标准差=S 21)(11X X n ni i--∑=不是总体标准差)(X D 的无偏估计（见教材P165例1（3））估计的有效性重点参考相关练习以及老师讲课用的PPT4．参数的区间估计单个正态总体均值μ的置信区间（①方差2σ已知，②方差2σ未知）单个正态总体方差2σ的置信区间（③均值μ未知） 两个正态总体均值之差21μμ-的置信区间（④方差2221,σσ已知，⑤方差2221,σσ未知但2221σσ=）两个正态总体方差之比2221σσ的置信区间（⑥均值21,μμ未知） 上述6种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式第八章1．假设检验的原理及其含义，两类错误2．（1）方差2σ未知时，单个正态总体均值μ的假设检验（①00:μμ=H ，01:μμ≠H ； ②00:μμ≤H ，01:μμ>H ；③00:μμ≥H ，01:μμ<H ；） （2）方差2221,σσ未知但2221σσ=时两个正态总体均值21,μμ的假设检验 （④210:μμ=H ，211:μμ≠H ；⑤210:μμ≤H ，211:μμ>H ； ⑥210:μμ≥H ，211:μμ<H ；）（3）均值21,μμ未知时两个正态总体方差2221,σσ的假设检验（⑦22210:σσ=H ，22211:σσ≠H ；⑧22210:σσ≤H ，22211:σσ>H ；⑨22210:σσ≥H ，22211:σσ<H ）上述9种假设检验的原假设0H ，备择假设1H 及其相应的统计量，拒绝域附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式 注意：（1）根据题意选择双边或单边检验（2）在单边检验中，应选择与事实一致的作为备择假设1H ，然后再确定原假设0H ，也就是说应该选择与事实相反的作为原假设0H3．拟合优度检验法检验总体的分布（了解）第九章1．相关分析，样本相关系数及其性质样本相关系数r 是总体相关系数XY ρ的矩估计2．一元线性回归，最小二乘法21121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i xx x n x L ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===n i i ni i ni i i xy y x n y x L 1111， 21121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i yy y n y L ， （记）xxxyL L b =ˆ，x b y aˆˆ-=，得到y 关于x 的一元线性回归方程x b a y ˆˆˆ+=3．线性相关假设检验的t 检验法和F 检验法（了解）。
武汉大学《数理统计》2022-2023学年期末试卷
武汉大学《数理统计》2022—2023学年第一学期期末试卷一、单项选择题1、设总体X~E(λ)，则λ的矩估计和极大似然估计分别为（）A、B、C、D、2、极大似然估计必然是（ ）。
A、相合估计 B、似然函数的极值点C、似然方程的根 D、无偏估计3、设总体为来自该总体的样本，为样本均值，为样本方差，则的极大似然估计为A、B、sC、D、s24、设X1,X2…X20，是来自总体N（μ,σ2）的样本，则统计量_____为σ2的无偏估计量。
（）A、B、C、D、5、设随机变量 X的概率密度函数是，则 a=（）A.0.5B.1C.2D.ln26、A、 B C D7、设随机变量 X与 Y相互独立，则 P{X=-2|Y=1}=（）A.0.25B.0.3C.0.4D.0.58、A.1/4B.1/2C.2D.49、设二维连续型随机变量（X,Y）的分布函数是?X,Y)，则有X> 1,Y≤2} =（）A.(1,2)B.(1,2)C. (1,+∞)−?(1,2)D.(+∞,2)−?(1,2)10、已知随机变量 X～N(-2,2)，则下列随机变量中，服从 N(0,1)分布的是（）A、 B、 C、D、二、填空题（总分30分）1、总体X ～N(μ,σ2)，则11+μ的极大似然估计值为________2、设总体X 的概率密度为其中为未知参数，x1,x2,…,xn 为来自X 的样本，则的矩估计= _____。
3、设总体X 的分布律为其中p 为未知参数，0＜p ＜1，设为来自该总体的样本，为样本均值，则p 的矩估计______.4、设总体X 的概率密度为f(x;),其中为未知数，且， x 1，x 2，…，x n 为来自总体X 的一个样本, 为样本均值.若为的无偏估计,则常数c=______.5、假设总体X 服从参数为的泊松分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，其均值为，样本方差S 2＝。
已知为的无偏估计，则=______.6、7、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，则X 的边缘概率密度f x (x)= ________________．8、设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度f(x,y)= ________________．9、设某个假设检验的拒绝域为W ，当原假设H 0成立时，样本(x 1，⎩⎨⎧≤≤≤≤其他2y 0,1x 0xyx 2，…，x n )落入W 的概率是0.1，则犯第一类错误的概率为________.10、已知一元线性回归方程为________.三、综合题（总分40分）1、设总体X 的概率密度其中未知参数θ>-1,x 1,x 2…,x n 是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计.2、设总体X 服从指数分布，概率密度（1）求λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(最新整理)
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （8）减
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
独立性 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
1
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F (x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F (x2) ；
3° F () lim F (x) 0 ， F () lim F (x) 1；
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P(X k) pk q1k ， k 0.1，这就是（0-1）分布，所
以（0-1）分布是二项分布的特例。
1
泊松分 设随机变量 X 的分布律为
布
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2，
k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或者
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件 、 样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 本 空 间 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大 和事件 写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
《概率论与数理统计》复习总结(已完成)
大学教案总结之《概率论与数理统计》期末复习目录第一章 (4)定义：一般的，称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件。
.......................... 4 事件间的关系与运算 ....................................................................................................... 4 定义： ............................................................................................................................... 4 概率的性质： ................................................................................................................... 4 古典概率 ................................................................................................................................... 4 条件概率 .. (4)定义： (4)⑴条件概率的乘法公式：()()()A P A B P AB P |= (5)⑵全概率公式 ................................................................................................................... 5 ⑶贝叶斯公式 ................................................................................................................... 5 随机事件的独立性 ................................................................................................................... 5 第二章 一维随机变量及其分布 .. (6)定义：一维随机变量。