基本初等函数经典复习题+问题详解

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易错点03 基本初等函数(含答案解析)

所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
【易错警示】
易错点1．函数定义域理解不透
2.已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域
【答案】 .
【解析】
【分析】由求解可得．
【详解】错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，
∴ 的定义域是[1，2]
易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解
8.已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.
【答5＝ .
易错点8．关于方程根考虑不全面
9.已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
【答案】＜－2.
【解析】
【分析】对参数的取值情况进行分类讨论，再结合再分类，即可求得参数范围.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时要注意函数的定义域，否则易出错．
易错点6．不理解符合函数的单调性
7.函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.
【答案】A={x|2<x< }.
【解析】
【分析】由奇偶性把不等式变为f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2)，然后由单调性求出不等关系，同时要注意函数的定义域．
【详解】错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3

高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分基本初等函数知识点整理第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数1、指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。

此时，a 的n 次方根用符号表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 的次方根用符号表示。

正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成（a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

3、分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>；（2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；（4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。

基本初等函数经典复习题+答案

必修1根本初等函数复习题求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：⑴偶次方根的被开方数不小于零；(2)对数式的真数必须大于零；⑶分式的分母不等于零；［4〕指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法（八）定义法：①任取xι,X 2∈D,且XKX2；Q)作差千(xι)—fa)；(3)变形〔通常是因式分解和配方］；④定号［即判断差千(x∣)-f(x2)的正负〕；@下结论［指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性］.(B)图象法(从图象上看升降)⑹复合函数的单调性：复合函数Hg"］的单调性与构成它的函数u=g(x),y 二人。

的单调性密切相关，其规律："同增异减〃 1、以下函数中，在区间(0,÷oo)不是增函数的是()1、暴的运算性质〔1〕a r ∙a s = a r+s (r,5 ∈ R)；〔3〕a r ∙b r = (ab)r (r ∈ R) 2对数的运算性质如果 α>0,且 awl, M >0, ① Iog“(M ・N)= Iogq M +log” N ； ③ IOg“M" =〃Iog"M,(Y ∈R). 换底公式：log” b = l°g 。

■ 〔 a IogC α(1)log b n= —log rt ⅛ ; [2 〃7 〔2〕S)' =α" ; (r,StR)(4)a" =yja n, (a>0,m,n E N ∖n> 1) a' = N Q IOga N = x N>0,那么：② log 噂=log” M Tog” N ；④ IOgQl= O, bg" = lO,且 awl ； c>0,且 CW1； b>0〕 log” b =; ---- ∙log/y = a x a>1 0<a<1 y = Iog tj X a>1 II0<a<1定义域R 值域y>0 在R 上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点［0, 1〕 3、定义域：定义域R 值域y>0 在R 上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点〔〕定义域x>0 值域为R在R 上递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域x>0值域为R 在R 上递减非奇非偶函数函数图象都过定点［1, 能使函数式有意义的实数X 的集合称为函数的定义域。

《函数与基本初等函数》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》复习试卷及答案解析一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A.2．方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是( )A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(5,6)答案 C解析令f (x )＝log 3x ＋2x －6，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续，因为f (2)<0，f (3)>0，故有f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )＝log 3x ＋2x －6的零点所在的区间为(2,3)，即方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是(2,3)．故选C.3．(2020·模拟)函数f ()x ＝2x －1x零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y ＝2x 和y ＝1x 的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于方程2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y ＝2x 和y ＝1x的交点个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不同零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C 解析依题意，知Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析对于求函数f (x )＝ln x －x 2＋2x 的零点个数，可以转化为方程ln x ＝x 2－2x 的根的个数问题，分别画出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．又方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12<0，个数是1. 故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为3. 故选D.。

基本初等函数含答案,附上学生版

基本初等函数1.若函数y ＝f (x )的定义域是[0, 2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________．解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 2解析：∵ƒ(x )＝log 2(x 2＋a )且ƒ(3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－73.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x (m－2)(m ＋1)的图象不经过原点，则实数m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，(m －2)(m ＋1)≤0，解得m ＝1或2，经检验m ＝1或2都适合．答案：1或24.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是________． A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝x 3＋1C ．f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )D ．f (x )＝1－2x1＋2x解析：依题意，对于选项A ，注意到f (0)＝f (π)，因此函数f (x )＝sin x 在其定义域上不是增函数；对于选项B ，注意到f (x )的定义域为R ，但f (0)＝1≠0，因此函数f (x )＝x 3＋1不是奇函数；对于选项C ，注意到f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )＝log 21x 2＋1＋x＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )，因此f (x )是奇函数，且f (x )在R 上是增函数；对于选项D ，注意到f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－1＋21＋2x 在R 上是减函数．故选C. 5.函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数为_______．解析：函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2 x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2 x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2 x |＋x －2＝0的解的个数为2.6.已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为 .A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵ c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴ log35>log372>log33＝1，∴ c >a >1.∵ y ＝14x 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ 1413<140＝1，即b <1.∴ c >a >b . 故选D.7.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0均成立，若a ＝f (334)，b＝f (943-)，c ＝f (－543)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a 0均成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为幂函数y ＝x 43在(0，＋∞)上是增函数，指数函数y ＝3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以343<543，943-＝383-<334<343，故c ＝f (－543)＝f (543)>a ＝f (334)>b ＝f (943-)，故b <a <c ，故选A.8.已知f (x )是R 上的奇函数,且f (x )=则f = .[解析] f=-f =-f =-f =-log 2=-log 22-1=1.9.若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：∵|1－x |≥0，∴0<⎝⎛⎭⎫12|1－x |≤1，由题意得0<－m ≤1，即－1≤m <0. 答案：[－1,0)10.已知函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对于任意x ∈(0,+∞),都有f =2,则f的值是 . 因为函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,且f=2恒成立,所以f (x )-为一个大于0的常数,令这个常数为n (n>0),则有f (x )-=n ,且f (n )=2,所以f (n )=+n=2,解得n=1,所以f (x )=1+,11.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为 .解析：由f (x )＝0得m ＝2x ＋1010－x .又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x >0，2x ＋10≥0，解得－5≤x <10，x ∈Z ，∴x＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m ＝2x ＋1010－x，一一验证得，符合条件的m 的取值为0,4,11,28，共4个.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|，－3≤x <0，log a x ，x >0，其中a >0且a ≠1，若函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是 . 解析：∵函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称，∴f (x )＝|x ＋2|(－3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象与f (x )＝log a x (x >0)的图象有且只有一个交点．记f (x )＝|x ＋2|(－3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝|x －2|(0<x ≤3)，作出函数f (x )与g (x )的大致图象．当0<a <1时，如图(1)，显然g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点，符合题意；当a >1时，如图(2)，要使g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点，则需log a 3>1，∴ 1<a <3.综上a ∈(0,1)∪(1,3).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是 .解析：画出f (x )的图象，如图．由图象知0<a <1,16，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25，∵3<c <4，∴21<－(c －5)2＋25<24，即21<abcd <24.14．已知f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，则实数a 的值为________．解析：设函数g (x )＝2|x |＋x 2，因为g (－x )＝g (x )，所以函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋x 2，为增函数；当x <0时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋x 2，为减函数，所以g (x )≥g (0)＝1.因为f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，所以y ＝g (x )与y ＝－a 有唯一的交点，即a ＝－1. 答案：－115.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理：若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不满足题意．综上，可得nm＝9.答案：916.函数f (x )的定义域为D ,若满足f (x )在D 内是单调函数,且存在[a ,b ]⊆D ,使得f (x )在[a ,b ]上的值域为,则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )=log m (m x +2t )(其中m>0且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为 .[解析] 无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m(m x+2t)都是R上的增函数,故应有则问题可转化为已知f(x)=,即log m(m x+2t)=,即m x+2t=在R上有两个不相等的实数根,求实数t的取值范围.令λ=(λ>0),则m x+2t=可化为2t=λ-λ2=-+,结合图像(图略)可得t∈.。

高一数学基本初等函数综合题型(基础)(解析版)

考点01 基本初等函数综合题型（基础）1.（2020•肥城市模拟）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝log a x为减函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝log a x为增函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．故选：A．【知识点】二次函数的性质与图象、对数函数的图象与性质2.（2020•肇庆三模）已知a＝2log2，c＝5log5，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a＝2log2，c＝5log5，∴a＝，，，∵，，，且310＞215＞56，∴，∴c＞a＞b，故选：D．【知识点】对数值大小的比较3.（2020•郑州三模）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a6＝＝，b6＝＝，∴a6＞b6，a，b＞0．∴1＞a＞b，c＝log23＞1．∴b＜a＜c．故选：C．【知识点】对数值大小的比较4.（2020•延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【解答】解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．【知识点】等比数列的通项公式、对数的运算性质5.（2020•山东模拟）已知集合A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}，B＝{x|y＝x}，则A∩B＝（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}＝{y|y＞1}，∴A∩B＝（1，+∞）故选：B．【知识点】交集及其运算、指数函数的定义、解析式、定义域和值域6.（2020•衡阳二模）设，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：因为﹣a＝ln2，，﹣c＝log32，又，，所以﹣b＜﹣c＜﹣a，即a＜c＜b，故选：B．【知识点】对数值大小的比较7.（2020•安徽模拟）已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为a＝log3∈（0，），b＝ln3＞1，c＝2﹣0.99＞2﹣1＝，故b＞c＞a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较8.（2020•滨州二模）设26，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜0.30.1＜0.30＝1，∴0＜a＜1，∵b＝log＝log35，而log33＜log35＜log39，∴1＜b＜2，∵c＝log526＞log525＝2，∴c＞2，∴c＞b＞a，故选：D．【知识点】对数值大小的比较9.（2020春•沙坪坝区校级期中）已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，∴b＜a＜c，故选：D．【知识点】对数值大小的比较10.（2020•武清区校级模拟）已知函数，设a＝f（log30.1），b＝f（3﹣0.2），c＝f（31.1），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：根据题意，，其定义域为R，又由＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，当x＞0时，易得为增函数，故f（x）在R上单调递增，又由log30.1＜0，0＜3﹣0.2＜1，31.1＞3，则有f（31.1）＞f（3﹣0.2）＞f（log30.1），即c＞b＞a，故选：D．【知识点】对数值大小的比较、函数奇偶性的性质与判断11.（2020•宁河区校级模拟）设a＝log23，b＝log46，c＝5﹣0.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为a＝log23∈（1，2），b＝log46＝∈（1，2），且a＞b，c＝5﹣0.1＝∈（0，1），所以c＜b＜a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较12.（2020•山西模拟）设a＝log30.2，b＝0.23，c＝30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log30.2＜0，0＜b＝0.23＜1，c＝30.2＞1，∴c＞b＞a，【知识点】对数值大小的比较13.（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1的图象过函数f（x）＝m x﹣b﹣（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（）A．±B．±C．2D．±2【解答】解：函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1是幂函数，∴2a﹣1＝1，解得a＝1，∴g（x）＝x2；令x﹣b＝0，解得x＝b，∴函数f（x）＝m x﹣b﹣的图象经过定点（b，），∴b2＝，解得b＝±．故选：B．【知识点】幂函数的图象14.（2020•石家庄一模）若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：由可得a＝，c＝log46＝log2，则可知，b＞c＞1＞a，故选：B．【知识点】对数值大小的比较15.（2020春•龙华区校级月考）设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵，∴a＜0，∵，∴b＞2，∵，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，【知识点】对数值大小的比较16.（2020春•漳州月考）若a＝log67，b＝log54，c＝log4，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log67＞log66＝1，∴a＞1，∵log51＜log54＜log55，∴0＜b＜1，∵，∴c＜0，∴c＜b＜a，故选：C．【知识点】对数值大小的比较17.（2020•广州模拟）已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．【解答】解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，∴f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，故答案为：2．【知识点】反函数18.（2020春•龙凤区校级月考）已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝【解答】解：实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，所以α+lnα＝3，lnβ+ln（lnβ﹣1）＝4，即α+lnα﹣3＝0，lnβ﹣1+ln（lnβ﹣1）﹣3＝0，所以α和lnβ﹣1是方程x+lnx﹣3＝0的根，由于方程x+lnx﹣3＝0的根唯一．所以α＝lnβ﹣1，3﹣lnα＝lnβ﹣1，整理得lnα+lnβ＝4，所以αβ＝e4．故答案为：e4．【知识点】对数的运算性质19.（2020•攀枝花模拟）已知a＞0，b＞0，若log3a＝log4b＝，则＝．【解答】解：∵log3a＝log4b＝，∴＝2，则＝，故答案为：．【知识点】对数的运算性质20.（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，则y＝f（x+a）与y＝x有交点，所以，即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，故答案为：[，+∞）．【知识点】反函数21.（2020•黄浦区一模）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是．【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝x+log2（2x+2），设y＝x+，则y﹣x＝，∴2y﹣x＝2x+2，∴2y＝22x+2x+1，∴2x＝＝﹣1，x＝．互换x，y，得g（x）＝，∵f（x）＞log23＞g（x），∴x+log2（2x+2）＞log23＞，解得0＜x＜log215．∴满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是（0，log215）．故答案为：（0，log215）．【知识点】反函数22.（2020•静安区一模）设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为．【解答】解：设log a M r＝b，∴a b＝M r，∴r log a M＝b，∴log a M＝，∴a＝a＝（a）r＝（a）r＝a b＝M r，∴关键步骤为：a＝（a）r＝M r．【知识点】对数的运算性质23.（2020•芜湖期末）计算：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）【解答】解：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）＝（）（）＝（13log85）（9log1252）＝117×＝117×＝13．【知识点】对数的运算性质24.（2020春•金安区校级月考）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝﹣5时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，故不等式的解集是（0，）；（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝，设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥+4＝，∴＝≤＝，∴实数a的取值范围是a≥．【知识点】对数函数的图象与性质25.（2020•咸阳期末）已知函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）计算的值．【解答】解：（I）∵函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点，∴，∴，∴；（II）由（I）知，a＝，∴＝．【知识点】对数函数的单调性与特殊点26.（2020•河西区期末）已知函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝2log a（2x+m），（m∈R），其中x∈[0，15]，a＞0且a≠1．（1）若1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求m的值．（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：由题意：1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，可得：log a2＝2log a（2+m），解得或∵2+m＞0∴不符合题意．所以m的值为．（2）f（x）≥g（x）恒成立，等价于恒成立．即：，x∈[0，15]恒成立．令，则当u＝1时，的最大值为1．所以：m≥1即可恒成立．故m的取值范围是[1，+∞）．【知识点】对数函数的图象与性质27.（2020•新洲区期末）计算下列各式的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝（﹣）2+10﹣10（）+1＝；（2）原式＝log34﹣log+log38+5＝log+9＝log39+9＝2+9＝11．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式28.（2020•崂山区校级期末）己知25，B＝log2（4B+2A），求A，B的值．【解答】解：A＝1+3﹣3×+log53•＝4﹣12+2＝﹣6．B＝，∴2B＝（2B）2﹣12，化为：（2B﹣4）（2B+3）＝0，∴2B﹣4＝0，解得B＝2．【知识点】对数的运算性质29.（2020•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），∴，解得﹣2＜x＜2．∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵﹣2＜x＜2，∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．∵g（x）＝10f（x）+3x，∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），∴g（x）max＝g（）＝，g（x）min→g（﹣2）＝﹣6，∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4∴f（x）的最大值为lg4．∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．【知识点】对数函数的图象与性质30.（2020•聊城期末）（1）计算：；（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A ∪B），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原式＝﹣++＝﹣+6+＝．（2）由，解得3＜x≤．∴集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}＝（3，]，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}＝[4，5]，∴A∪B＝（3，5]，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A∪B），则C⊆（A∪B）．C＝∅时，a+1≥2a﹣1，解得a≤2．C≠∅时，可得：，解得2＜a≤3．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【知识点】集合的包含关系判断及应用、对数的运算性质。

基本初等函数定义域、值域、4大性质、零点问题等考法梳理

基本初等函数题型梳理(一)单调性与值域问题（1）一次函数型例题1 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【解析】2,()22,ax ab x bf x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜ ∵函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∴00a b ≤且＞（2）二次函数型例题2 函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增，求实数m 的取值范围【解析】22(2)3,()23(2)3,x m x x mf x x x m x x m x x m⎧+--≥⎪=-+-=⎨-++-⎪⎩＜∵函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增∴222222mm m m m -⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨+⎪≥⎪⎩ 变式1 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________ 【解析】()(4)f x f x =-恒成立，∴函数关于2x =对称，函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，∴函数在(],2-∞单调递减，关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+，∴232222x x +->+-，解得212x x +>，即22110x x x ⎧<+⎨+≥⎩或()22110x x x ⎧<-+⎨+<⎩，解得112x -<<，解集为1(,1)2-（3）分式函数型例题3 函数1()2ax f x x +=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a 的取值范围【解析】1(2)1212()222ax a x a af x a x x x +++--===++++在(2)--∞，上为增函数易知120a -＜，得12a ＞变式2 设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x xx x x ⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩，图象如图所示由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。

高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！

高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！一、基本初等函数1、幂函数一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 .幂函数y = x^a (a∈Q) 的性质：① 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）.② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点（0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增；若 a < 0 , 幂函数图象只经过点（1,1），在第一象限内递减 .③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 .④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 .⑤ 常见幂函数的图象常见幂函数的图象2、指数函数一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量x 叫指数，a 叫底数 .指数函数的定义域是 R .指数运算法则：指数运算法则指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 的图象：指数函数图象（分两种情况）指数函数的主要性质：① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域（0，+∞）；② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x <1 ) 在 R 上递减；③ 指数函数的图象经过点（0 , 1）.3、反函数一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) ,这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) ,习惯上自变量常用x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) .(1) 反函数的判定：① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；② 定义域上的单调函数必有反函数；③ 周期函数不存在反函数；④ 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 .(2) 反函数的性质：① 函数 y = f(x) 与函数 y = f-1(x) 互为反函数；原函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象关于直线 y = x 对称；② 若点（a , b）在原函数 y = f(x) 上，则点（b , a）必在其反函数 y = f-1(x) 上；③ 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域；原函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域，④ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；⑤ 奇函数的反函数还是奇函数 .(3) 求反函数的步骤：① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ；② x , y 互换，即写出 y = f-1(x)；③ 确定反函数的定义域 .注：若函数 f(ax + b) 存在反函数，则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] , 而不是 y = f-1(ax + b) ,函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 .4、对数函数一般地，对数函数对数函数就是指数函数指数函数的反函数 .对数函数的性质：① 对数函数y = logax 的图象都在y 轴的右侧，定义域（0，+∞），值域 R ；② 对数函数 y = logax 的图象都经过点（1 , 0）；③ 对数函数 y = logax （a > 1）:当 x > 1 时，y > 0 ; 当 0 < x < 1 时，y < 0 ;对数函数 y = logax （0 < a < 1）:当 x > 1 时，y < 0 ; 当 0 < x < 1 时，y > 0 .④ 对数函数 y = logax （a > 1）在（0，+∞）上是增函数，对数函数 y = logax （0 < a < 1）在（0，+∞）上是减函数 .二、习题检测【习题1】用定义证明：函数 f(x) = x + 1/x 在x∈[1 , +∞) 上是增函数 .【解析】【习题2】已知函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在区间 [0 , 1] 有最大值 2，求实数 a 的值 .【解析】解：函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的对称轴为 x = a ,① 当 a < 0 时，[0 , 1] 是函数 f(x) 的递减区间，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得a = -1 ;② 当 a > 1 时，[0 , 1] 是函数 f(x) 的递增区间，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;③ 当0 ≤ a ≤ 1 时，综上所述，a = -1 或 2 .【习题3】已知2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函数的最大值和最小值 .【解析】【习题4】已知 a > 0 且a ≠ 1 , 求使方程有解时的 k 的取值范围 .【解析】∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .【习题5】某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出50 个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少 1 个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少元 .【解析】解：设最佳售价为（50 + x ) 元，最大利润为 y 元，y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40= -x^2 + 40x + 500当 x = 20 时，y 取得最大值，∴ 应定价为 70 元 .。

基本初等函数经典复习题+答案

())1,,,0(.4*>∈>=n N n m a a a n m nmxN N a a x =⇔=log 必修1基本初等函数复习题1、幂的运算性质（1）sr sra a a +=⋅),(R s r ∈；（2）rs s r a a =)(；),(R s r ∈ （3）()r r r ab b a =⋅)(R r ∈2、对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1()N M N M a a a log log log +=⋅； ○2 N M NMa a alog log log -=； ○3()R n M n M a n a ∈=,log log ． ④1log ,01log ==a a a换底公式：abb c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)偶次方根的被开方数不小于零； (2)对数式的真数必须大于零； (3)分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性:复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”1、下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（） A.x y 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x= 2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞）3、若{|2},{|x M y y P y y ====，则M∩P（） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（） A.a>5,或a<2 B.2<a<5 C.2<a<3,或3<a<5 D.3<a<45、已知x a x f -=)()10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（）A.0>aB.1>a C. 1<a D. 10<<a6、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是 ( ) A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞7、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（） A 、0<a<b<1<d<c B 、0<b<a<1<c<d C 、0<d<c<1<a⎪⎭⎫⎝⎛>--且其中x x a a A 、21 B 、 1 C 、2 D 、89、6.0log 5.0=a ，5.0log 2=b ，5log 3=c ，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b10、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］ 11、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 .12. 设函数()()()()4242xx f x x f x ⎧≥⎪=⎨<+⎪⎩，则()2log 3f =13、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点15、求下列各式中的x 的值1)1x (ln )1(<-16.点（2，1）与（1，2）在函数()2ax bf x +=的图象上，求()f x 的解析式。

基本初等函数(含有详解答案)

基本初等函数一、单项选择1. 已知幂函数)(x f y =的图象经过点(2,2)，则=)4(f ( ) A.2 B.21 C.22 D.22 2. 下列式子正确的是( )A.2log 20=B.lg101=C.2510222⨯=122-=3. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于下列哪种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．原点中心对称4. 函数x e y -=的图象A.与x e y =的图象关于y 轴对称B.与x e y =的图象关于坐标原点对称C.与x e y -=的图象关于 y 轴对称D.与x e y -=的图象关于坐标原点对称5. 下列不等式中错误的是（）A 、B 、C 、D 、2log 3log 22>>>6. 若函数f(x)＝log a (x ＋b)的大致图象如图所示，其中a ，b(a>0且a ≠1)为常数，则函数g(x)＝a x ＋b 的大致图象是( )7. 若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1、x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)8. 设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =-，则满足()1f x <的x 的集合为（）A.(0,B. （0，+∞）C. ),16()2,0(+∞⋃D.),161(+∞ 9. 已知函数f(x)＝)x (log 12+，若f(α)＝1，则α＝( )A ．0B ．1C ．2D ．310. 设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2－2}，B ＝{x |y ＝log 2(3－x )}，则A )∩B 等于( )A ．[－2,3)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，3)D ．(－∞，－2)11. 函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为( ) A.(1,2)(2,3) B.(,1)(3,)-∞+∞C.(1,3)D.[1,3]12. 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min 的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为（）A ．220万B ．200万C ．180万D ．160万二、填空题13. 将一张厚度为0.04mm 的白纸对折至少次(假设可能的话),其高度就可以超过珠穆朗玛峰的高度(8848m).14. 设530753801615625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________. 15. 已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。

必修一基本初等函数练习题(含详细答案解析)

必修一基本初等函数练习题（含详细答案解析）一、选择题1．对数式log32－(2＋3)的值是()．A．－1 B．0 C．1 D．不存在1．A解析：log32－(2＋3)＝log32－(2－3)－1，故选A．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象是()．A B C D2．A解析：当a＞1时，y＝log a x单调递增，y＝a－x单调递减，故选A．3．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是()．A．(1－a)31＞(1－a)21B．log1－a(1＋a)＞0C．(1－a)3＞(1＋a)2D．(1－a)1+a＞13．A解析：取特殊值a＝21，可立否选项B，C，D，所以正确选项是A．4．函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是()．A．1＜d＜c＜a＜bB．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b4．B解析：画出直线y＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a，b，c，d的值，由图形可得正确结果为B．(第4题)5．已知f (x 6)＝log 2 x ，那么f (8)等于( )． A ．34 B ．8 C ．18 D ．21 5．D6．如果函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫⎝⎛121 ，上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )．A ． a ≤2B ．a ＞3C ．2≤a ≤3D ．a ≥36．D7．函数f (x )＝2－x －1的定义域、值域是( )． A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域为(0，＋∞)C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R7．C＋∞)．8．已知－1＜a ＜0，则( )．A ．(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜2aB ．2a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)aC ．2a ＜(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21D ．a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)a ＜2a8．B9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧+-1 log 1≤413＞，，)(x x x a x a a是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛310，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡171，9．C解析：由f (x )在R 上是减函数，∴ f (x )在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0上是减函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1］上的最小值7a －1要大于等于f (x )在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f (x )在R 上是减函数．10．已知y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(0，2) D ．［2，＋∞)10．B解析：先求函数的定义域，由2－ax ＞0，有ax ＜2，因为a 是对数的底，故有a ＞0且若0＜a ＜1，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )增大，即函数 y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.若1＜a ＜2，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )减小，即函数 y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递减的．所以a 的取值范围应是(1，2)，故选择B ．二、填空题11．满足2－x ＞2x 的 x 的取值范围是．11．参考答案：(－∞，0)．解析：∵ －x ＞x ，∴ x ＜0．12．已知函数f (x )＝log 0.5(－x 2＋4x ＋5)，则f (3)与f (4)的大小关系为． 12．参考答案：f (3)＜f (4)．解析：∵ f (3)＝log 0.5 8，f (4)＝log 0.5 5，∴ f (3)＜f (4)． 13．64log 2log 273的值为_____．14．已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____．15．函数y ＝)－(34log 5.0x 的定义域为．16．已知函数f (x )＝a －121+x，若f (x )为奇函数，则a ＝________．解析：∵ f (x )为奇函数，三、解答题17．设函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，满足f (－1)＝－2，且任取x ∈R ，都有f (x )≥2x ，求实数a ，b 的值．17．参考答案：a ＝100，b ＝10．解析：由f (－1)＝－2，得1－lg a ＋lg b ＝0 ①，由f (x )≥2x ，得x 2＋x lg a ＋lg b ≥0 (x ∈R )．∴Δ＝(lg a )2－4lg b ≤0 ②．联立①②，得(1－lg b )2≤0，∴ lg b ＝1，即b ＝10，代入①，即得a ＝100．18．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1) ．(1)若函数f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．18．参考答案：(1) a 的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a 的取值范围是[0，1]．解析：(1)欲使函数f (x )的定义域为R ，只须ax 2＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有⎩⎨⎧0 ＜440a －a ＞，解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)； (2)欲使函数 f (x )的值域为R ，即要ax 2＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值．②当a ≠0时，应有⎩⎨⎧0 ≥440a －a ＝＞Δ⇒ 0＜a ≤1．当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的二根)．综上，a 的取值范围是[0，1]．19．求下列函数的定义域、值域、单调区间： (1)y ＝4x ＋2x +1＋1； (2)y ＝2＋3231x －x ⎪⎭⎫⎝⎛．19．参考答案：(1)定义域为R ．令t ＝2x (t ＞0)，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．20．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，其中a＞0，a≠1．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．20．参考答案：(1){x |－1＜x＜1}；(2)奇函数；(3)当0＜a＜1时，－1＜x＜0；当a＞1时，0＜x＜1．(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，且F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log a(－x＋1)－log a(1＋x)＝－［log a(1＋x)－log a(1－x)］＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数．(3)f(x)－g(x)＞0即log a(x＋1)－log a(1－x)＞0有log a(x＋1)＞log a(1－x)．。

函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及解析

函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及解析一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知53a =，85b =，则（）A ．a b C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b+>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．2．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ，则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.3．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．【详解】根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确．对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--，[0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<，存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增，且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=，所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<，又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点，所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.5．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；B ．()()220212f f -+-=；C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则142k <<-4k =；【答案】BD 【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]0,2上单调性一致，所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]5,4--上是减函数，故A 错误；对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误；对于D ，由0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根，即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，则020001244124k k x kxx x⎧>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩，解得04222=2k x ⎧=-⎪⎨⎪⎩，要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，则k 的取值范围为：14222k <<-；当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点，设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得02242=k x ⎧=-⎪⎨'-⎪⎩综上，方程()1f x kx =+有3个实根，则14222k <<-或224k =-,故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.6．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】逐项分析判断即可.【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.7．已知函数()()()52log1,122,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数可能为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以()1f x=的特殊情形为突破口，解出1x=或3或45或4-，将12xx+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得120xx+-≥或124xx+-≤-，作出函数()()()52log1,122,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2；故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.8．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（） A ．x R ∀∈，[][]22x x =B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D ．不等式[][]2230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]22x x ≠，故A 不成立.对于B ，[][]x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222x m r =+，若102r ≤<，则102r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故C 成立.对于D ，由不等式[][]2230x x --≥可得[]1x ≤-或[]32x ≥，故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．()f x x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010mn ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+，即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解；若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”；D ：()()10f xx x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.11．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-，函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx =对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确；对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误；对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确；故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．12．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ．【详解】对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误；对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确；对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．13．设函数2,0()12,02x e xf x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（）．A ．当223b =-+时，方程有1个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误；选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-±，均不满足上面范围，舍去；（2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.14．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解；对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确；对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确；对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解，所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.15．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011x y -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.16．已知函数()3log,092sin,917 44x xf xx xππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d===，且a b c d<<<，则（）A．1ab=B．26c dπ+=C．abcd的取值范围是()153,165D．+++a b c d的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】作出函数()f x的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】由3log2x≤可得32log2x-≤≤，解得199x≤≤.作出函数()f x的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d<<<<<<<<<，由33log loga b=，可得33log loga b-=，即()333log log log0a b ab+==，得1ab=，A选项正确；令()442xk k Zππππ+=+∈，解得()41x k k Z=+∈，当()9,17x∈时，令94117k<+<，解得24k<<，由于k Z∈，3k∴=，所以，函数[]()2sin9,1744xy xππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x=对称，则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根B．当1122a -+<<时，方程有2个根 C．当 a =时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<，故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根；当152a -=时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；当1512a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；1512a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当15a --=3个根，C 正确；当 1542a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确.故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.18．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断；【详解】令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a +>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.19．已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A ．若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B ．关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解 C ．对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D ．当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断. 【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-；当 322x <≤时，()42f x x =-；当23x <≤，则3122<≤x ， 1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当34x <≤，则3222<≤x， 1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当46x <≤，则232<≤x， 11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当68x <≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；依次类推，作出函数()f x 的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈⎪⎝⎭k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立【答案】BC 【分析】对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2()2f x x x -=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+，即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+，故A 错；对于B ，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2()23f x x x =+=，解得11x =，23x =-（舍去），即(1)3f =，所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <，所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对；对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；故选：BC 【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法；（4）若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；。

基本初等函数基础题(答案解析)

基本初等函数基础题汇总一、单选题（共15小题）1.若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|【解答】解：选项A：令a＝1，b＝，则a﹣b＝，而lg＝﹣lg2＜0，A错误，选项B：因为函数y＝x3在R上单调递增，又a＞b，所以有a3＞b3，则a3﹣b3＞0，B正确，选项C：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，又a＞b，所以有0.5a＜0.5b，即0.5a﹣0.5b＜0，C错误，选项D：令a＝1，b＝﹣2，则|a|﹣|b|＝1﹣2＝﹣1＜0，D错误，故选：B【知识点】指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的性质2.设a＝40.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a＝40.4＞1，0＜b＝log0.40.5＜log0.40.4＝1，c＝log50.4＜0，∴c＜b＜a．故选：D．【知识点】对数值大小的比较3.设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）A．B．C．D．【解答】C【知识点】对数的运算性质4.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）A．B．C．2D．8【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴，∴，∴f（x）＝＝，∴f（）＝＝，故选：A．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域5.已知幂函数y＝（k﹣1）xα的图象过点（2，4），则k+α等于（）A．B．3 C．D．4【解答】解：∵幂函数y＝（k﹣1）xα的图象过点（2，4），∴k﹣1＝1，2α＝4，∴k＝2，α＝2，∴k+α＝4，故选：D．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域6.已知x＞0，y＞0，a≥1，若a•（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，则（）A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥0【解答】解：由题意可知，a•（）3y+log2x＝log2y+，∴＝＜≤，令f（x）＝，则f（x）＜f（3y），易知f（x）在（0，+∞）上为增函数，由f（x）＜f（3y）得：x＜3y，∴3y﹣x＞0，∴1+3y﹣x＞1，∴ln（1+3y﹣x）＞ln1＝0，故选：C．【知识点】对数的运算性质7.若a，b，c满足，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵2a＝3，∴a＝log23，∵1＝log22＜log23＜log25，∴b＞a＞1，∵3c＝2，∴c＝log32，∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜c＜1，∴b＞a＞c，故选：D．【知识点】对数值大小的比较8.已知实数a，b，c∈R，满足＝＝﹣＜0，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：易知，a，b，c＞0．由﹣＜0，则c＞1，不妨令c＝e．则＜0，故0＜2a＜1，0＜b＜1．因为，故，所以，而函数f（x）＝，，易知0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上递增，故0＜a＜b＜1．所以c＞b＞a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较9.函数f（x）＝a x﹣2﹣ax+2a+1恒过定点P，则点P的坐标为（）A．（2，1）B．（2，2）C．（3，1）D．（2，2）或（3，1）【解答】解：①令x﹣2＝0，得x＝2，此时y＝1﹣2a+2a+1＝2，所以定点P（2，2），②令x﹣2＝1，得x＝3，此时y＝a﹣3a+2a+1＝1，所以定点P（3，1）综上所述，点P的坐标为（2，2）或（3，1），故选：D．【知识点】指数函数的单调性与特殊点10.若函数为对数函数，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵函数为对数函数，∴a2﹣3a+2＝0，则a＝1（舍去）或a＝2，故选：B．【知识点】对数函数的定义11.若实数a，b满足2a＝2﹣a，log2（b﹣1）＝3﹣b，则a+b＝（）A．3 B．C．D．4【解答】解：由2a＝2﹣a可知，a为函数y＝2x与y＝2﹣x的交点A的横坐标，由log2（b﹣1）＝3﹣b＝2﹣（b﹣1）可知，b﹣1为函数y＝log2x与y＝2﹣x的交点B的横坐标，如图所示：，∵函数y＝2x与函数y＝log2x关于直线y＝x对称，∴点A与点B关于点（1，1）对称，∴a+b﹣1＝2，即a+b＝3，故选：A．【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质12.函数f（x）＝a x﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P又在幂函数g（x）的图象上，则g（3）的值为（）A．4 B．8 C．9 D．16【解答】解：∵f（x）＝a x﹣2+3，令x﹣2＝0，得x＝2，∴f（2）＝a0+3＝4，∴f（x）的图象恒过点（2，4）．设幂函数g（x）＝xα，把P（2，4）代入得2α＝4，∴α＝2，∴g（x）＝x2，∴g（3）＝32＝9，故选：C．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域13.已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上是减函数，则m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2＝，故f（m）＝f（﹣1）＝＝1，故选：C．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域、幂函数的性质14.已知对数函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点P（3，﹣1），则幂函数y＝x a的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵对数函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点P（3，﹣1），∴﹣1＝log a3，∴a＝，故幂函数y＝x a＝，它的图象如图D所示，故选：D．【知识点】幂函数的图象15.从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．20 B．18 C．10 D．9【解答】解：首先从2，4，6，8，10这五个数中任取两个不同的数排列，共A52＝20有种排法，又，，∴从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb＝的不同值的个数是：20﹣2＝18．故选：B．【知识点】对数的运算性质二、填空题（共10小题）16.设函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞1）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（2）＝1，则f（2）＝【解答】解：由题意得：函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞1）过（1，2），将（1，2）代入f（x）得：a2﹣2＝2，解得：a＝2，故f（x）＝2x+1﹣2，故f（2）＝6，故答案为：6．【知识点】反函数17.若函数y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝log a x（a＞0，a≠1）图象经过点（8，），则f（﹣）的值为．【解答】解：由已知可得log a8＝，即a＝8，解得a＝4，所以f﹣1（x）＝log4x，再令log4x＝﹣，即4＝x，解得x＝，由反函数的定义可得f（﹣）＝，故答案为：．【知识点】反函数、函数的值18.若函数y＝log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m＝．【解答】解：∵函数y＝log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），∴函数y＝log2（x﹣m）+1的图象过点（3，1），∴1＝log2（3﹣m）+1∴log2（3﹣m）＝0，∴3﹣m＝1，∴m＝2．故答案为：2．【知识点】反函数19.已知幂函数y＝（n∈N*）的定义域为（0，+∞），且单调递减，则n＝．【解答】解：∵幂函数y＝（n∈N*）的定义域为（0，+∞），且单调递减，∴，解得n＝2．故答案为：2．【知识点】幂函数的性质20.已知函数y＝f（x）在定义域R上是单调函数，值域为（﹣∞，0），满足f（﹣1）＝﹣，且对于任意x，y∈R，都有f（x+y）＝﹣f（x）f（y）．y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若将y＝kf（x）（其中常数k＞0）的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数y＝f﹣1（x）的图象，则实数k的值为（）【解答】解：由题意，设f（x）＝y＝﹣a x，根据f（﹣1）＝﹣，解得a＝3，∴f（x）＝y＝﹣3x，那么x＝log3（﹣y），（y＜0），x与y互换，可得f﹣1（x）＝log3（﹣x），（x＜0），则y＝kf（x）＝﹣k•3x，那么x＝，x与y互换，可得y＝，向上平移1个单位，可得y＝+1，即log3（﹣x）＝，故得k＝3，故答案为：3．【知识点】反函数21.若函数y＝log a（x﹣7）+2恒过点A（m，n），则＝（）【解答】解：∵函数y＝log a（x﹣7）+2恒过点A（m，n），令x﹣7＝1，求得x＝8，y＝2，可得函数的图象经过定点（8，2）．若函数y＝log a（x﹣7）+2恒过点A（m，n），则m＝8，n＝2，则＝＝2，故答案为：2．【知识点】对数函数的单调性与特殊点22.已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m的值为．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝2，或m＝﹣1．∵当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x1﹣m是上是减函数，∴1﹣m＜0，故m＝2，f（x）＝x﹣1＝，故答案为：2．【知识点】幂函数的性质23.已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是（）【解答】解：函数f（x）＝x2﹣3tx+1的对称轴为x＝，若≤0，即 t≤0，则 y＝f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；若≥15，即 t≥10，则 y＝f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；当3≤≤12，即 2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，于是当或，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．【知识点】反函数24.如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1＝log a x，y2＝2log a x，y3＝log a x+3（a＞1）的图象上，则a＝（）【解答】解：设B（x1，2log a x1），C（x1，log a x1+3），A（x2，log a x2），D（x2，2log a x2），则log a x2＝2log a x1，∴，又2log a x2＝log a x1+3，，即x1＝a，，∵ABCD为正方形，∴|AB|＝|BC|；可得a2﹣a＝2，解得a＝2．故答案为：2．【知识点】对数函数的图象与性质25.已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是．【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝x+log2（2x+2），设y＝x+，则y﹣x＝，∴2y﹣x＝2x+2，∴2y＝22x+2x+1，∴2x＝＝﹣1，x＝．互换x，y，得g（x）＝，∵f（x）＞log23＞g（x），∴x+log2（2x+2）＞log23＞，解得0＜x＜log215．∴满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是（0，log215）．故答案为：（0，log215）．【知识点】反函数三、解答题（共10小题）26.计算以下式子的值：（1）2lg2+lg25；（2）；（3）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5．【解答】解：（1）原式＝lg4+lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2；（2）原式＝＝＝＝＝1；（3）原式＝．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式27.求值：（1）；（2）log354﹣log32+log23•log34．【解答】解：（1）原式＝+4+1+＝7；（2）原式＝log327+•＝3+2＝5．【知识点】有理数指数幂及根式、对数的运算性质28.计算下列各式的值：（1）；（2）lg25+4．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝2lg5+2lg2﹣2log23•log32＝2（lg5+lg2）﹣2＝2﹣2＝0．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式29.已知幂函数f（x）＝（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．【解答】解：∵幂函数f（x）经过点（2，），∴＝，即＝∴m2+m＝2．解得m＝1或m＝﹣2．又∵m∈N*，∴m＝1．∴f（x）＝，则函数的定义域为[0，+∞），并且在定义域上为增函数．由f（2﹣a）＞f（a﹣1）得解得1≤a＜．∴a的取值范围为[1，）．【知识点】幂函数的性质30.（1）化简：（a，b均为正数）；（2）求值：lg4+2lg5+π0﹣4ln+．【解答】解：（1）＝＝＝．（2）lg4+2lg5+π0﹣4ln+＝＝2+1﹣4×＝22．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式31.已知函数f（x）为函数y＝a x（a＞0，a≠1）的反函数，f（5）＞f（6），且f（x）在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解关于x的不等式．【解答】解：（1）∵f（x）为函数y＝a x的反函数，∴f（x）＝log a x，又∵log a5＞log a6得：0＜a＜1，由f（x）在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，得：log a a﹣log a3a＝1，解得：a＝；（2）∵0＜a＜1，∴，∴1＜x≤2．【知识点】反函数、指、对数不等式的解法32.计算：（1）．（2）已知，，求实数B的值．【解答】解：（1）原式＝＝．（2）由题意知：，，∴3B＝9B﹣6＝（3B）2﹣6，解得3B＝3或﹣2（舍），∴B＝1．【知识点】对数的运算性质33.已知函数f（x）＝log a（kx2﹣2x+6）（a＞0且a≠1）．（1）若函数的定义域为R，求实数k的取值范围；（2）若函数f（x）在[1，2]上恒有意义，求k的取值范围；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

基本初等函数专项训练(含答案)经典题

(1)假设建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的根本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
(2)假设该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
8、函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为 .
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；
(2)假设第x月的销售量g(x)＝
(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润到达最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)
6、函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋alnx(a为常数)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(Ⅱ) ,令 ,
那么 ,令 ,得x=1(x=-1舍去).
在内,当x∈ 时, ,∴h(x)是增函数;
当x∈ 时, ,∴h(x)是减函数.
那么方程在内有两个不等实根的充要条件是
即 .
9、解：∵ 命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1.
又命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立，
①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1
由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，(10分)
②当a＝时，f′(x)＝ ≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，
所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)
当6＜x＜7时，h′(x)＜0，
∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12 090，(11分)

基本初等函数基础题汇总(解析版)

基本初等函数基础题汇总(解析版)基本初等函数基础题汇总(解析版)基本初等函数是数学中的重要概念，对于学习和理解其他数学领域，如微积分和代数等，都具有重要意义。

本文将对基本初等函数中的一些常见题目进行汇总，并提供解析，帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质和应用。

一、线性函数线性函数是最基本的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。

线性函数的图像为一条直线，斜率为k，截距为b。

例题1：已知直线y = 2x + 3，在x轴上的截距为多少？解析：由于直线截距在x轴上时，y坐标为0，即当y = 0时，2x +3 = 0。

解得x = -1.5，因此直线在x轴上的截距为-1.5。

例题2：已知直线过点A(2, 5)和B(4, 7)，求直线的斜率。

解析：根据斜率的定义，斜率k等于直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

代入点A(2, 5)和B(4, 7)，得到k = (7 - 5) / (4 - 2) = 1。

二、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其表达式为y = a * e^(kx)，其中a和k为常数。

指数函数的图像为开口向上或向下的曲线。

例题3：已知指数函数y = 2 * e^x，求函数的值当x = 0时的值。

解析：当x = 0时，y = 2 * e^0 = 2。

例题4：已知指数函数过点A(1, 4)和B(2, 8)，求函数的底数。

解析：代入点A(1, 4)，得到4 = a * e^k。

代入点B(2, 8)，得到8 = a * e^(2k)。

将第一个等式除以第二个等式，消去a后得到0.5 = e^(-k)，即e^k = 2。

因此函数的底数为2。

三、对数函数对数函数是指以某个正数a为底的对数运算的逆运算函数，其表达式为y = logₐx，其中a为正数，且a ≠ 1。

对数函数的图像为一条曲线。

例题5：已知对数函数y = log₄16，求函数的值。

解析：对于对数函数，y的值表示底数a对应的幂次方，即4^y = 16。

基本初等函数常见典型考题赏析

此解得１＜。＜。
当０＜ａ＜ｌ时．１，‘（）在ｚ ∈ ［１，２］上是增函数，由＿，、（）＞１恒成立．可得／‘（ｊ’）… 一ｌｏｇ（８一日）＞１，且８— ２ａ＞Ｏ，这时 “ 不存在。
综上可知，实数的取值范围是ｆ＼１，芸１，。
ｆ鱼１中的。，６同号且不相等，所以一＜
不等式的解集为ｚ∈（ｏ，专）ｕ（２，＋一）。ｏ，排除Ｂ，Ｄ。由Ｃ中的图像可知＿厂（一１）一
三、幂函数的应用问题对于幂函数 — ｚ（ａ为常数），要借助其
。一６＞
ｏ，。＜ｏ，可
一
图像关于轴对称，ｆ（ｚ）的大致图像如图１所示。ＩＮ为ｆ（ｚ）在Ｅｏ，＋一）上为增函数，所以， ‘ｚ在一。。，ｏ］上为减函数。由
厂（告）一。，可得厂（～号）一。。
＼ｌ｝／
上方。应选Ｃ
２］上的最大值为ｎ一４，即ｎ一÷ ，最小值为
１
ａ一ｍ，从而可得一，这时ｇ（）一（１—
４ｍ）·ｖ％－一÷４，可知ｇ。（）一÷４在［ｏ，
＋ｏｏ）上是增函数。当ｎ＞１时，ｆ（）一 “ 在［一１，２］上的
一指、数函数的应用问题指数函数的应用问题主要有：比较大小问题，简单的指数方程或不等式的求解问题，指数型函数中参数的取值范围问题。在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，要注意对底数的分类讨论。侧，若函数／’（－丁）一日（ｎ＞０，ｎ≠ １）在［一ｌ，２］上的最大值为４，最小值为，且函数ｇ（）一（１— ４ｍ）·ｖ％－在［Ｏ，＋ｏｏ）上是增函数，则ａ一。解：当０＜口＜１时，ｆ（）一ｎ在［一１，

函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案

函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()2214sin 2xxex f x e -=+，则下列说法正确的是（） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx xf x e x e x f x e e --''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+，则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-；任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==；对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确；对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.3．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（） A ．634z x y < D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误；对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.4．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项．【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)，可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥，则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==，可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数，则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确；对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==，因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln lnx x x x x x x x+=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误；故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.6．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确；对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.7．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e-=-，()2120f e-=-<，()10f -=，作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.8．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；B ．()()220212f f -+-=；C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则142k <<-4k =；【答案】BD 【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]0,2上单调性一致，所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]5,4--上是减函数，故A 错误；对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误；对于D ，由0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根，即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，则020001244124k k xkx x x⎧>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩，解得04222=2k x ⎧=-⎪⎨⎪⎩，要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，则k 的取值范围为：14222k <<-；当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点，设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得02242=k x ⎧=-⎪⎨'-⎪⎩综上，方程()1f x kx =+有3个实根，则14222k <<-或224k =-,故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立【答案】BC 【分析】对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2()2f x x x -=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+，即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+，故A 错；对于B ，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2()23f x x x =+=，解得11x =，23x =-（舍去），即(1)3f =，所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <，所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对；对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；故选：BC 【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法；（4）若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；11．已知函数123,12 ()1,222x xf x xf x⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A．若函数()=-y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B．关于x的方程*1()0()2nf x n N-=∈有24n+个不同的解C．对于实数[1,)x∈+∞，不等式2()30xf x-≤恒成立D．当1[2,2](*)n nx n N-∈∈时，函数()f x的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当312x≤≤时，()22f x x=-；当322x<≤时，()42f x x=-；当23x<≤，则3122<≤x，1()1222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当34x<≤，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当46x<≤，则232<≤x，11()2242⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当68x<≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；依次类推，作出函数()f x的图像：对于A，函数()=-y f x kx有4个零点，即()y f x=与y kx=有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．【详解】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.13．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（） A． B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||2x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ．【详解】对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误；对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确；对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．15．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意；（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解16．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.17．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解；对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确；对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确；对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解，所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.18．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（） A ．1ab = B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<，由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确；令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈，当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=，所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称，则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=，1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断；【详解】令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.20．设s,t 0>，若满足关于xs =恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s 必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=，又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t ∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.。