高中数学例题：两条直线垂直的条件
高中数学两条直线的平行与垂直总结练习含答案解析S
2.1.3 两条直线的平行与垂直一、两条直线平行的判定当两条直线的斜率都存在时,如果它们互相平行,那么它们的①;反之,如果两条直线的②,那么它们③.即l1∥l2⇔④(k1,k2均存在).二、两条直线垂直的判定当两条直线的斜率都存在时,如果它们互相垂直,那么它们斜率的乘积等于⑤;反之,如果两条直线的斜率的乘积等于⑥,那么它们⑦.即l1⊥l2⇔⑧(k1,k2均存在).直线系问题1.(2014广东肇庆质量评估,★★☆)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线方程为.思路点拨设出与直线3x+4y+1=0平行的直线系方程,将点的坐标代入求解.2.(2013江苏镇江期末,★★☆)若直线l1:x+2y-4=0与l2:mx+(2-m)y-1=0平行,则实数m= .3.(2014江苏扬大附中检测,★☆☆)已知直线l1经过点A(0,-1)和点B(-4a,1),直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1和l2没有公共点,则实数a的值为.思路点拨由l1与l2无公共点,知l1∥l2.4.(2013江苏金陵中学模拟,★★☆)如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.问如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC 与DM互相垂直?思路点拨用坐标法研究数学问题.一、填空题1.如果直线l 1:2x-ay+1=0与直线l 2:4x+6y-7=0平行,则a 的值为 .2.经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与一倾斜角是45°的直线平行,则a= .3.过点A(2,-3),且与直线2x+y-5=0平行的直线方程是 .4.已知四点A(-m,0),B (0,-m3),C (-n3,0),D(0,n)(m≠0,n≠0),则直线AB 和CD 的位置关系是 . 5.过点(m,n)且与直线nx-my+mn=0平行的直线一定还过点 .6.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限内围成的三角形的面积是24的直线方程是 .7.直线l 1、l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .8.已知直线l 的方程为3x+4y-12=0,存在直线l',使l'与l 垂直,且l'与坐标轴围成的三角形的面积为6,则l'的方程为 .9.已知矩形ABCD 的周长为18,E 、F 分别是边AB 、BC 上的点,且AE=BF=1.若EF⊥BD,则这个矩形的面积为 . 二、解答题10.(1)若直线l 1:y=-x+2a 与直线l 2:y=(a 2-2)x+2平行,求实数a 的值; (2)若直线l 1:y=(2a-1)x+3与直线l 2:y=4x-3垂直,求实数a 的值.11.(1)已知平行于直线2x+5y-1=0的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求l 的方程; (2)求与直线2x-y+3=0垂直,且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大2的直线方程.知识清单①斜率相等 ②斜率相等 ③互相平行 ④k 1=k 2 ⑤-1 ⑥-1 ⑦互相垂直 ⑧k 1·k 2=-1链接高考1.答案 3x+4y-11=0解析 设直线方程为3x+4y+c=0,将(1,2)代入,可得c=-11,所以所求直线方程为3x+4y-11=0. 2.答案 23解析 当m=0或m=2时,显然l 1不平行于l 2.当m≠0且m≠2时,1m =22-m ≠-4-1,所以m=23. 3.答案 -6解析 由题意得,l 1∥l 2,∴k 1=k 2, ∵k 1=-a2,k 2=3,∴-a2=3,∴a=-6.4.解析 以点B 为原点,BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系.由AD=5,AB=3可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).解法一:直线AC 的方程为x 5+y3=1, 即3x+5y-15=0.设过点D(5,3)且与直线AC 垂直的直线方程为5x-3y=t,则t=25-9=16,即过点D(5,3)且与直线AC 垂直的直线方程为5x-3y-16=0.令y=0,得x=165=3.2,即BM=3.2 m 时,两条小路AC 与DM 互相垂直. 解法二:设点M 的坐标为(x,0), ∵AC⊥DM,∴k AC ·k DM =-1. ∴3-00-5·3-05-x=-1,解得x=5-95=165=3.2,即BM=3.2 m 时,两条小路AC 与DM 互相垂直.基础过关一、填空题 1.答案 -3解析 l 2的斜率为-23,由于l 1∥l 2,所以l 1的斜率为-23,即-23=2a ,则a=-3. 2.答案 4解析 k=tan 45°=1,k PQ =a -(-1)3-(-2),即a+15=1,解得a=4.3.答案 2x+y-1=0解析 解法一:已知直线的斜率k=-2,∵两直线平行,∴所求直线的斜率也为-2,∴所求的直线方程为y+3=-2(x-2),即2x+y-1=0.解法二:设与直线2x+y-5=0平行的直线l 的方程为2x+y+m=0,∵l 过点A(2,-3),∴2×2+(-3)+m=0,解之得m=-1,∴所求的直线方程为2x+y-1=0. 4.答案 AB⊥CD解析 显然直线AB 、CD 的斜率存在.k AB =-m 3-00-(-m )=-13,k CD =n -00-(-n 3)=3,k AB ·k CD =-1,故AB⊥CD.5.答案 (0,0)解析 过点(m,n)且与直线nx-my+mn=0平行的直线方程为m(y-n)=n(x-m),即nx-my=0,此直线恒过定点(0,0).6.答案 3x+4y-24=0解析 ∵直线3x+4y+9=0的斜率为-34,∴设所求直线方程为y=-34x+b.令x=0,得y=b;令y=0,得x=4b3.由题意,知b>0,4b3>0,且12b·4b3=24,∴b=6.故所求直线方程为y=-34x+6,即3x+4y-24=0. 7.答案 垂直解析 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,因为k 1、k 2是方程x 2-3x-1=0的两根,所以k 1k 2=-1,故l 1⊥l 2. 8.答案 4x-3y±12=0解析 设直线l'的方程为4x-3y+m=0. 令x=0,得y=m3;令y=0,得x=-m4.由题意,得12·|-m4|·|m3|=6,即m 2=144.解得m=±12. 所以所求直线l'的方程为4x-3y±12=0. 9.答案 18解析 以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,建立直角坐标系. 设AB=a,BC=b,a>0,b>0,则E(1,0),F(a,1),B(a,0),D(0,b). 由EF⊥BD,得k EF ·k BD =1a -1·b-a =-1,又a+b=9, 解得{a =3,b =6,所以S=ab=18.二、解答题10.解析 (1)因为l 1∥l 2,所以a 2-2=-1,且2a≠2,所以a=-1. (2)因为l 1⊥l 2,所以4(2a-1)=-1,解得a=38.11.解析 (1)设直线l 的方程为2x+5y+c=0(c≠-1),与两坐标轴的交点坐标分别为(-c2,0),(0,-c5), 则S=c 220=5,解得c=±10,所以直线l 的方程为2x+5y±10=0.(2)设所求直线方程为x+2y+c=0,与两坐标轴的交点坐标分别为(-c,0),(0,-c2), 则-c=-c2+2,解得c=-4,所以所求直线方程为x+2y-4=0.。
高中数学 2.2.3 第2课时两条直线垂直的条件基础巩固试题 新人教B版必修2
高中数学 2.2.3 第2课时两条直线垂直的条件基础巩固试题 新人教B 版必修2一、选择题1．点P (1,2)关于坐标原点的对称点为P ′，则P ′点的坐标为( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－1，－2)D ．(2,2) [答案] C[解析] 设P ′(x ′，y ′)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ′2＝02＋y ′2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－1y ′＝－2.2．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 [答案] B[解析] 由题意，得1－a ＝0，∴a ＝1.3．(2014·湖南师大附中高一期末测试)过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 [答案] B[解析] 所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为y －3＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y －1＝0.4．与直线3x ＋4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．4x ＋3y －5＝0D ．4x ＋3y ＋5＝0 [答案] A[解析] 平面内任一点P (x ，y )关于x 轴的对称点为P ′(x ，－y )，故与直线3x ＋4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为3x －4y ＋5＝0.5．以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝0[答案] C [解析] k AB ＝13，AB 中点坐标为(1,2)， 故所求直线方程为3x ＋y －5＝0.6．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0[答案] D [解析] l 过AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72且与直线AB 垂直， ∴直线l 的斜率k ＝－1k AB ＝1，故选D.二、填空题7．直线l ：4x －3y ＋12＝0与两坐标轴相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为__________．[答案] 6x ＋8y －7＝0[解析] 直线l ：4x －3y ＋12＝0与两坐标轴的交点A (－3,0)、B (0,4)， k AB ＝43，线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为 y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32 即6x ＋8y －7＝0.8．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________．[答案] 4x －3y ＋8＝0[解析] 所求直线的斜率为43，且过点(－2,0)，故所求直线方程为y ＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋8＝0.三、解答题9．(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程；(2)过A 点且平行于BC 的直线方程．[解析] (1)k AC ＝6－00－4＝－32， ∴AC 边上的高所在的直线的斜率k ＝23， 其方程为y －10＝23(x －8)， 即2x －3y ＋14＝0.(2)k BC ＝6－100－8＝12， ∴过A 点且平行于BC 的直线方程为y ＝12(x －4)， 即x －2y －4＝0.一、选择题1．已知直线3ax －y ＝1与直线⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1 D ．－13或1 [答案] D [解析] 由题意，得3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23－1＝0， 解得a ＝－13或1. 2．(2014·辽宁大连第二中学高一期末测试)若直线l 1：y ＋1＝k (x ＋1)和直线l 2关于直线y ＝x ＋1对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(2,0)B ．(1，－1)C ．(1,1)D ．(－2,0) [答案] D[解析] ∵l 1过定点(－1，－1)，点(－1，－1)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(－2,0)，故l 2过定点(－2,0)．二、填空题3．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.[答案] 5 －12 －2[解析] ∵直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直，∴－a 2·25＝－1，∴a ＝5. 又∵点(1，m )在直线5x ＋2y －1＝0上，∴m ＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x －5y ＋C ＝0上，∴C ＝－12.4．若直线l 经过点M (a －2，－1)和N (－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．[答案] －23[解析] k MN ＝1＋1－a －2－a ＋2＝－1a， 由题意得－1a ×(－23)＝－1， ∴a ＝－23. 三、解答题5．四边形ABCD 的顶点为A (－7,0)、B (2，－3)、C (5,6)、D (－4,9)．求证：四边形ABCD 为正方形．[解析] 由k AD ＝9－0－4－－7＝93＝3， k BC ＝6－－35－2＝93＝3.∴AD ∥BC . 又k AB ＝－32－－7＝－13， k CD ＝9－6－4－5＝－13，∴AB ∥CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵k AB ·k AD ＝(－13)×3＝－1，∴AB ⊥AD ， ∴四边形ABCD 为矩形．又∵k AC ＝6－05－－7＝12，k BD ＝9＋3－4－2＝－2， k BD ·k AC ＝－1，∴AC ⊥BD ，即矩形对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为正方形．6．(2014·山东临沂高一期末测试)已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程．[解析] (1)设点C 的坐标为(m ，n )，∵k BH ＝12，∴k AC ＝－2， ∴n －1m －5＝－2. 又点C (m ，n )在直线2x －y －5＝0上，∴2m －n －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －5＝0n －1m －5＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4n ＝3.∴点C 的坐标为(4,3)．(2)设点B 的坐标为(a ，b )，则a －2b －5＝0，AB 的中点M 的坐标为(a ＋52，1＋b 2)， ∴2×a ＋52－1＋b2－5＝0，即2a －b －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b －5＝02a －b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－3.∴点B 的坐标为(－1，－3)，∴直线BC 的方程为y －3－3－3＝x －4－1－4， 即6x －5y －9＝0.7．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．[解析] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3.∴点A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过点A (4,3)，又由反射光线过点P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝78y ＝3.∴反射光线与直线l 的交点坐标为(78，3)．。
高中数学 两条直线的平行与垂直
典例导学
即时检测
一
二
三
2.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距的绝对值之和为 10 . 3 的直线l的方程为 解析：设与直线2x+3y+5=0平行的直线l的方程为 2x+3y+c1=0(c1≠5),
典例导学
即时检测
一
二
三
二、两条直线平行或垂直条件的应用 如图,在平行四边形OABC中,点A(3,0),点C(1,3). (导学号51800070)
(1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程. 思路分析：已知四边形OABC是平行四边形,可以利用平行四边 形的有关性质求AB的斜率,利用两条直线垂直的条件求CD的斜率, 进而求相应直线的方程.
∴AB
即 3x+5y+2=0. ∵点 C(12,6)不在 AB 上 , ∴AB∥CD.
12-2 ∵kAD= 2+4
-4-2 3 12-6 3 =- ,kCD= =- , 6+4 5 2-12 5 3 的方程为 y-2=- (x+4), 5
=
∴kAB· kAD=-1,即 AB⊥AD.
5 , 3
典例导学
∴m=2.
1
∴当 m=2时,l1⊥l2.
1
典例导学
即时检测
一
二
三
1.已知A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下列结论正确的个数是 ( ) (导学号51800069) ①AB∥CD;②AB⊥AD;③AC⊥BD;④AC∥BD. A.1 B.2 C.3 D.4
解析： ∵kAB=
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高中线线垂直的判定定理
高中线线垂直的判定定理高中数学中，线的垂直是一个重要的概念。
垂直是指两条直线相交成直角的关系。
在解决几何问题时，判定线的垂直关系至关重要。
这篇文章将介绍高中数学中用于判定线的垂直关系的定理，以及其中的一些常见应用。
首先，我们来介绍线线垂直的判定定理：定理：两条线段所在的直线相交成直角的充要条件是这两条直线的斜率之积为-1。
证明：设直线L_1的斜率为k_1，直线L_2的斜率为k_2。
L_1和L_2相交成直角，可以表示为斜率之积为-1，即k_1·k_2=-1。
下面，我们来解释一下为什么这个定理成立。
考虑两条直线L_1和L_2，若它们相交成直角，则两条直线的斜率乘积一定为-1。
这是因为两条垂直直线的斜率分别为正无穷和负无穷，它们的乘积为-1。
当两条直线的斜率不为无穷大时，我们可以通过计算两条直线的斜率之积，来判断它们是否垂直。
通过这个定理，我们可以在几何问题中快速判定两条直线是否垂直。
接下来，我们将通过一些具体的例子来说明这个定理的应用。
例题1：已知直线L_1过点A(-2, 3)，斜率为1/2；直线L_2过点B(4, -1)，求证L_1垂直于L_2。
解：设L_1的斜率为k_1=1/2，L_2的斜率为k_2。
根据定理，L_1垂直于L_2的充要条件是k_1·k_2=-1。
首先计算k_2，根据坐标(4, -1)，可以得到直线L_2的斜率为k_2=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(-1-3)/(4-(-2))=-4/6=-2/3。
然后，计算k_1·k_2，得到(1/2)·(-2/3)=-1/3≠-1。
由此可见，L_1的斜率和L_2的斜率的乘积不等于-1，所以L_1不与L_2垂直。
例题2：已知直线L_1过点A(1, -2)，斜率为3/5；直线L_2垂直于L_1，并且过点B(-3, 4)，求证L_2的方程。
解：设L_2的斜率为k_2，根据垂直关系，L_1的斜率k_1和L_2的斜率k_2满足k_1·k_2=-1。
高中数学如何求解垂直线和平行线问题
高中数学如何求解垂直线和平行线问题在高中数学中，垂直线和平行线是常见的几何概念。
解决与垂直线和平行线相关的问题，需要掌握一些基本的几何知识和技巧。
本文将从垂直线和平行线的定义入手，通过具体的题目举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，以帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些概念。
一、垂直线的定义和求解垂直线是指两条直线相交时，交角为90度的线。
求解垂直线问题，通常需要利用垂直线的性质和相关定理。
例题一：已知直线l1的斜率为k，求与l1垂直的直线l2的斜率。
解析：首先，我们知道垂直线的斜率乘积为-1。
设直线l2的斜率为m，则有k * m = -1。
解得m = -1/k，即l2的斜率为-1/k。
例题二：已知直线l1过点A(2, 3)，且与直线l2垂直，直线l2过点B(4, 5)，求直线l2的方程。
解析：由于l1与l2垂直，根据斜率的性质，我们可以得到l2的斜率为-1/k，其中k为l1的斜率。
根据点斜式，l2的方程为y - y1 = m(x - x1)，代入点B的坐标和斜率-1/k，得到l2的方程为y - 5 = (-1/k)(x - 4)。
二、平行线的定义和求解平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的直线。
求解平行线问题，需要利用平行线的性质和相关定理。
例题三：已知直线l1过点A(2, 3)，且与直线l2平行，直线l2过点B(4, 5)，求直线l2的方程。
解析：由于l1与l2平行，它们的斜率相等。
首先，我们可以通过点A和点B计算出l1的斜率k1和l2的斜率k2。
然后，根据点斜式，l2的方程为y - y1 = k2(x - x1)，代入点B的坐标和斜率k2，即可得到l2的方程。
例题四：已知直线l1的方程为2x + 3y = 6，求与l1平行且过点(4, 5)的直线l2的方程。
解析：由于l1的斜率为-2/3，与l1平行的直线l2的斜率也为-2/3。
根据点斜式，l2的方程为y - y1 = k(x - x1)，代入点(4, 5)的坐标和斜率-2/3，即可得到l2的方程。
高中数学选修一《两条直线平行和垂直的判定》教案与导学案和同步练习
《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。
两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直. (2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在. 当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0. 综上所述,a 的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 . 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.” 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),试求顶点R 的坐标.” 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 ↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 ↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 ↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例 已知点A (0,3),B (-1,0),C (3,0),且四边形ABCD 为直角梯形,求点D 的坐标.思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边,则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.四、小结【教学反思】本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》导学案【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 【重点和难点】重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 【知识梳理】 一、自主导学（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示点睛：若没有指明l 1,l 2不重合,那么k 1=k 2⇔{l 1∥l 2,或l 1与l 2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.二、小试牛刀1.对于两条不重合的直线l 1,l 2,“l 1∥l 2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?2.已知直线l 1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x ,6),且l 1∥l 2,则x= .3．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )4.若直线l 1,l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .【学习过程】 一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).延伸探究 已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a的值.两直线垂直的判定方法条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 .例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.”延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.【达标检测】1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A.1a B.a C.-1aD.-1a或不存在3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .5.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)四点,判断四边形ABCD 形状. 【课堂小结】【参考答案】 知识梳理 二、小试牛刀1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.解析:由题意知l 1⊥x 轴.又l 1∥l 2,所以l 2⊥x 轴,故x=2. 答案:23．答案： (1)× 也可能重合．(2)× l 1∥l 2，其斜率不一定存在． (3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ 4.解析:由根与系数的关系,知k 1k 2=-1,所以l 1⊥l 2. 答案:l 1⊥l 2 学习过程例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行. (2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2.又k AM =3-1-1-0=-2≠-1,则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.延伸探究 解析:当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-mm -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1. 答案:0或1例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-a a -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.跟踪训练1 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形. 延伸探究1 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).金题典例 思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况. 解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边, 则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.达标检测1． 解析：A 中，l 1与l 2可能重合；B 中，l 1，l 2可能存在其一没斜率；C 中，直线也可能与y 轴重合；D 正确，选D.答案 D2. 解析:若a ≠0,则l 2的斜率为-1a ;若a=0,则l 2的斜率不存在.答案:D3.解析:由题意,得a -(-1)3-(-2)=1,即a=4. 答案:44.解析:设直线AD ,BC 的斜率分别为k AD ,k BC ,由题意,得AD ⊥BC , 则有k AD ·k BC =-1,所以有1-2m -2·3-14-0=-1,解得m=52. 答案:525.解:k AB =13,k BC =-12,k CD =13,k AD =-3, 所以直线AD 垂直于直线AB 与CD ,而且直线BC 不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD 是直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //(1,2)A ()3,2B -x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习答案解析一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则 【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B ，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若与的斜率都不存在，则1l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D (1,2),(5,0),(3,4)A B C 1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //或与重合.2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．平行C ．重合D ．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于 直线方程为：直线与轴平行.3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线经过，两点 直线的斜率： 直线的倾斜角为 直线的斜率：，，.4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, , 为直角三角形.5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行 【答案】ACD【解析】当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，1l 2l (1,2)A ()3,2B -x ,A B 2∴AB 2y =∴AB x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l 1l ()3,4A -()8,1B --∴1l 141138k +==-+2l 135∴2l 2tan1351k ==-121k k ∴⋅=-12l l ∴⊥ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C 111152AB k +==--31221BC k -==-1AB BC k k ∴⋅=-AB BC ∴⊥ABC ∆∴x x y则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 【答案】AB【解析】 当AB 与CD 斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ． 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______ 【答案】5；. 【解析】直线l 2的斜率k==a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=．8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为， 的斜率，过点， ， 的斜率，， 与平行或重合. 9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 【答案】2,11m m m =+=12m m m+=53221a --531l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1l 451l ∴11k =2l ()2,1A --()3,4B 2l ∴241132k +==+12k k =1l ∴2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D ()10,6-【解析】设，则，，， ，，解得：，即： 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．(),D x y 2131AB k ==-422033BC k -==--4CD y k x -=1AD y k x =-AB CD ∵⊥//AD BC 411213AB CD AD BCy k k xy k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩106x y =⎧⎨=-⎩()10,6D -(1,2),(5,0),(3,4)A B C《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4)B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列命题中正确的为( ) A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B.若两直线平行，则它们的斜率相等； C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.6.（多选题）设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD2310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1,1)E (1,0)F -,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ABC ∆()2,1B ()6,3C -()3,2H -A ()19,62--()19,62-()19,62-()19,621-1-(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)P Q R S --//SR PQ PQ PS ⊥//PS QS RP QS ⊥所在直线的斜率为________．8．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．9．（1）已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og 8(7+y)=_________. （2）若把本题中“∠NMP=90°”改为“log 8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=_____. 10．若点，，点C 在坐标轴上，使，则点C 的坐标为__________．三、解答题11．已知，，三点，若直线AB 的倾斜角为，且直线，求点A ，B ，C 的坐标．12．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习答案解析一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4) B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】C【解析】A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，，k PQ =B ．l 2过点P(1，1)，Q ，k PQ =。
高中数学必修2直线与圆常考题型：两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定【知识梳理】1．对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【常考题型】题型一、两条直线平行的判定【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)；(3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)；(4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2. (2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.【类题通法】判断两条不重合直线是否平行的步骤【对点训练】1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．k AB＝m－0－5－(m＋1)＝m－6－m，k CD＝5－30－(－4)＝12，由于AB∥CD，即k AB＝k CD，所以m－6－m＝12，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.题型二、两条直线垂直的问题【例2】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1·k2＝－1，得－3－aa－2－3·a－2－3－1－2＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.【类题通法】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.【对点训练】2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)题型三、平行与垂直的综合应用【例3】 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1， 所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【类题通法】1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况．【对点训练】3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝y x －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC ，所以⎩⎨⎧ 1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)． 【练习反馈】1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB .∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145. 答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110. ∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝40－4010－(－10)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－(－1)＝－1，∴k1＝k2.又k AM＝3－1－1－0＝－2≠k1，∴l1∥l2.(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.。
【高中数学】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
2.1.2两条直线平行和垂直的判定基础过关练题组一两条直线平行1.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m 的值为()A.1B.0C.0或1D.0或22.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(易错)A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合3.已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值是()A.1B.32C.72D.1或724.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m 的值是()A.13B.-13C.2D.-25.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B(-4a,1),直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1与l2没有公共点,求实数a的值.题组二 两条直线垂直6.若直线l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为-23的直线垂直,则实数a 的值是( ) A.-23B.-32C.23D.327.下列条件中,使得l 1⊥l 2的是( ) ①l 1的斜率为-23,l 2经过点A(1,1),B (0,−12);②l 1的倾斜角为45°,l 2经过点P(-2,-1),Q(3,-5); ③l 1经过点M(1,0),N(4,-5),l 2经过点R(-6,0),S(-1,3). A.①②B.①③C.②③D.①②③8.已知△ABC 的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A 的坐标为( )A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)9.若不同两点P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ 的垂直平分线的斜率为 .10.已知点A(-3,-2),B(6,1),点P 在y 轴上,且∠BAP=90°,则点P 的坐标是 . 题组三 两条直线平行和垂直的应用11.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l 过点B,且交y 轴于点C(0,y),O 是坐标原点,且O,A,B,C 四点共圆,则y 的值是( ) A.19 B.194C.5D.412.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( ) A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)13.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC的形状)14.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BF⊥AE.15.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.答案全解全析 基础过关练1.C 解法一:∵A(m,3),B(2m,m+4), ∴其方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m+1). ∵C(m+1,2),D(1,0), ∴其方向向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-m,-2),由直线AB 与直线CD 平行,得m×(-2)-(m+1)×(-m)=0,解得m=0或m=1. 经检验,m=0或m=1时,两直线不重合,故选C.解法二:当m=0时,直线AB 与直线CD 的斜率均不存在,此时AB ∥CD,满足题意. 当m ≠0时,k AB =m+4−32m -m=m+1m,k CD =2−0m+1−1=2m,由题意得k AB =k CD ,即m+1m=2m,解得m=1或m=0(舍去).经检验,m=0或m=1时,两直线不重合, ∴m 的值为0或1.故选C.2.D 由题意得,直线l 1的斜率为tan 135°=-1,直线l 2的斜率为-6-(-1)3−(−2)=-1,∴直线l 1与l 2平行或重合.易错警示 当两直线斜率都存在时,两直线平行可以推出两直线的斜率相等;反之不成立,即两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.3.D 因为k 1,k 3是方程2x 2-3x-2=0的两根,所以{k 1=−12,k 3=2或{k 1=2,k 3=−12.又l 1∥l 2,所以k 1=k 2,所以k 1+k 2+k 3=1或72.4.B 解法一:由题意得,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-m-3,2-2m)与a=(-5,5)共线,所以5(-m-3)-(-5)·(2-2m)=0,解得m=-13.经检验知,m=-13符合题意,故选B.解法二:由a=(-5,5)得直线的斜率为5-5=-1,因此直线PQ 的斜率为2m -23−(−m)=-1,解得m=-13.经检验知,m=-13符合题意,故选B.5.解析 由题意得l 1∥l 2,所以k l 1=k l 2.因为k l 1=k AB =1−(−1)-4a-0=-a 2,k l 2=k MN =-2-10−1=3,所以-a2=3,所以a=-6.经检验,a=-6时,直线AB 与直线MN 没有公共点,满足题意. 6.A 依题意得,-23×k l =-1,即k l =1+1-a -2-a+2=32,解得a=-23,故选A.7.B 由两直线垂直的判定知①③正确.故选B.8.A 设A 的坐标为(x,y),由已知得,AH ⊥BC,BH ⊥AC,且直线AH,BH 的斜率存在, 所以{k AH ·k BC=−1,k BH ·k AC =−1,即{y -2x+3×(-14)=−1,(-15)×y -3x+6=−1, 解得{x =−19,y =−62,即顶点A 的坐标为(-19,-62).9.答案 -1解析 由题意得k PQ =3−a -b 3−b -a=1,所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为-1.10.答案 (0,-11)解析 设P(0,y),由题意知,k AB ,k AP 存在,又知∠BAP=90°,所以k AB ·k AP =1−(−2)6−(−3)×y+23=y+29=-1,解得y=-11.所以点P 的坐标是(0,-11).11.B 由O,A,B,C 四点共圆可以得出四边形OABC 的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB ⊥BC,所以k AB ·k BC =-1,即4−03−2·4−y 3−0=-1,解得y=194.故选B.12.A 设第四个顶点为C.当点C 的坐标为(-3,1)时,|OC|=√10,|AB|=√5,|AC|=4,|OB|=3.∵|OC|≠|AB|,|AC|≠|OB|,∴四边形ABOC 不是平行四边形.同理,可验证当C 点坐标为(4,1)或(-2,1)或(2,-1)时,满足题意.故选A. 13.答案 直角三角形解析 因为AB 边所在直线的斜率k AB =2−2√2-(2+2√2)0−2=2√2,CB 边所在直线的斜率k CB =2−2√2-20−4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2−(2+2√2)4−2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB ⊥AC,所以△ABC 是直角三角形.14.证明 建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以k AE =24=12,k BF =4−02−4=-2.又k AE ·k BF =12×(-2)=-1, 所以AE ⊥BF.15.解析 如图,易知直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3.当m=1时,直线AB 的斜率不存在,此时l 2的斜率为0,不满足l 1∥l 2. 当m ≠1时,直线AB 的斜率k AB =m -1-21−m=m -31−m,∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2=m -1m -3.∵l 1与l 2平行,∴k 1=k 2,即√3=m -1m -3, 解得m=4+√3.综上,实数m 的值为4+√3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学同步教学 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线垂直的条件
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课标要求 素养达成
1.理解两条直线垂直的条件. 2.会利用斜率判断两条直线垂直.
通过两条直线垂直的学习,培养了学生的数形结合 思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心素养 的达成.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
知识探究
1.已知两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线垂直的条件 是: A1A2+B1B2=0 ,反之若满足A1A2+B1B2=0,则 两条直线垂直 . 2.已知两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则两条直线垂直的条件是:
类型三 对称问题
【例3】 已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0),则线段 PP′的中点 M 在直线
l
上,且
PP′⊥l.所以
y0 x0
1 2
1 2
1
x0 2
2
2
y0 1 2
2
所以 kl=- 1 =- 4 ,所以直线 l 的方程为 y-2=- 4 x,即 4x+3y-6=0.
k3 3
3
法三 设过l1与l2交点的直线l的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即:(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.※ 又l与l3互相垂直,所以(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0, 解得:λ=11,代入※得:4x+3y-6=0.
(A)60° (B)180°
高中数学选择性必修一课件：两条直线平行和垂直的判定
题型二 两条直线垂直的判定
例 2 【多选题】下列各组直线互相垂直的是( ABD ) A．l1 过点 M(1，1)，N(1，2)，l2 过点 P(1，5)，Q(3，5) B．l1 的斜率为－23，l2 过点 P(1，1)，Q0，－12 C．l1 的倾斜角为 30°，l2 过点 P(3， 3)，Q(4，2 3) D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
课时学案
题型一 两条直线平行的判定
例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过 C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (3)l1 平行于 y 轴，l2 经过 P(0，－2)，Q(0，5)； (4)l1 经过 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过 G(3，4)，H(2，3)． 【思路分析】 根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判 断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．
思考题 1 判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行：
(1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2)； (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5，5)．
高中数学两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识提炼】1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关l1⊥l2(两直线斜率都存在, l1的斜率不存在,l2的斜率系且都不为零)⇔k ·k =-1 为0⇒ l ⊥l 21 2 1【即时小测】1.思考下列问题:(1)如果两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗?提示:不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下,斜率才相等.(2)如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?提示:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在.2.若两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线都与x轴()A.垂直B.相交C.平行D.答案不确定【解析】选A.当两条直线的斜率都不存在时,这两条直线都垂直于x 轴.3.若直线l1的斜率为,直线l2的倾斜角为60°,则两直线的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交D.重合【解析】选A.由于直线l2的倾斜角为60°,则该直线的斜率为,故两直线的斜率相等,所以两直线平行.4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为. 【解析】直线AB的斜率为k AB==3,由于线段AB的垂直平分线与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的斜率为答案:5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x=.【解析】由于直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以l1垂直于x轴,又因为l1∥l2,故x=2.答案:2【知识探究】知识点1 两条直线平行的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线平行与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:利用斜率判定两条直线平行有什么前提条件?【总结提升】1.判定两条直线平行的理论依据(1)依据直线的倾斜角的定义可知:若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线平行.(2)依据直线的斜率的定义可知:①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则l1∥l2⇔α1=α2⇔k1=k2;②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是90°,故它们也互相平行.2.对两条直线平行的判定条件的理解l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个:(1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.知识点2 两条直线垂直的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线垂直与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:判定两条直线垂直应注意哪些问题?【总结提升】两条直线垂直的判定必须注意的三个问题(1)利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在,且都不为0.(2)如果k1·k2≠-1,则两条直线一定不会垂直.(3)若两条直线中,一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零, 则两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定的条件就可叙述为:l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零.【知识拓展】求直线斜率的四种常用方法(1)设α为直线的倾斜角(α≠90°),则k=tanα.(2)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),则k=(x1≠x2),此时k的大小与两点顺序无关.(3)利用两斜率存在的直线平行的条件:k1=k2.(4)利用两斜率存在的直线垂直的条件:k1k2=-1.【题型探究】类型一两直线平行【典例】1.下列直线l1与直线l2平行的有.(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7).(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3).(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2).(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若直线PQ∥直线MN,求m的值.【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面分析?提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合.2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗?如何讨论?提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.【解析】1.(1)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合, 又k BC=故l1∥l2.(2)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合,k FG=故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知,k1=tan60°=,k2=k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.答案:(1)(4)2.当m=-2时,直线PQ的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线PQ的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m≠-2且m≠-1时,因为直线PQ∥直线MN,所以k PQ=k MN,即解得m=0或m=1. 综上,m的值为0或1.【方法技巧】判断两条直线是否平行的步骤【拓展延伸】在证明两直线平行时应注意的特殊情况在证明两直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.【补偿训练】试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.【解析】由题意得:k AB=k CD=由于AB∥CD,即k AB=k CD,所以所以m=-2.类型二两条直线垂直【典例】1.下列直线l1与直线l2垂直的有.(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1).(2)l1经过点A(3,4),B(3,-20),l2经过点M(5,-10),N(-5,-10).(3)l1过点A(),B(0,3),l2过点M(),N(2,0).2.(2015·大同高一检测)已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,求交点C的坐标.【解题探究】1.典例1中如何由两点的坐标求直线的斜率? 提示:k=(x1≠x2).2.典例2中点C的坐标有何特点?直线AC,BC有何位置关系? 提示:点C的纵坐标为0,直线AC与BC垂直.【解析】1.(1)k1=k2=k1k2=1,所以直线l1与直线l2不垂直.(2)l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴, k2=则l2平行于x轴,所以l1⊥l2.(3)k1=则k1·k2==-1,所以l1⊥l2. 答案:(2)(3)2.以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC,设C(x,0),则所以所以x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).【延伸探究】(改变问法)判断本例1(1)中直线AM和直线BM是否垂直?【解题指南】利用斜率公式求出直线AM和直线BM的斜率,再利用两直线垂直的条件判断.【解析】由斜率公式可得k AM=k BM=因为k AM·k BM=-1,所以直线AM和直线BM垂直.【方法技巧】1.两条直线垂直的判定条件(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为-1,则两条直线一定垂直.(2)两条直线中,如果一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率为0,那么这两条直线也垂直.2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若不相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式对参数进行讨论.【变式训练】已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.【解析】因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行或重合.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,所以-m≠3,m≠-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.此时,C,D纵坐标均为-1,所以CD与x轴平行,所以AB⊥CD满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式因为AB⊥CD,所以k AB·k CD=-1,即解得m=1. 综上,m的值为1或-1.【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.【补偿训练】直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且l1⊥l2,求实数a的值.【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即解得a=类型三垂直与平行的综合应用【典例】(2015·衡水高一检测)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解题探究】典例中由矩形可得哪些平行和垂直关系?如何建立等量关系?提示:可得邻边垂直,对边平行,利用斜率关系建立等式求解.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2,3).【延伸探究】1.(变换条件)若在本例中假设点D的坐标为(3,2),求点C的坐标.【解析】设点C的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以即解得故点2.(变换条件)若将本题中的矩形改为平行四边形ABCD,其三个顶点的坐标分别变为A(1,5),B(-1,1),C(3,2),求顶点D的坐标.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DC,AD∥BC,即k AB=k DC,k AD=k BC,设D(x,y),则解得x=5,y=6,故点D(5,6).【方法技巧】利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤(1)描点:在坐标系中描出给定的点.(2)猜测:根据描出的点,猜测图形的形状.(3)求斜率:根据给定点的坐标求直线的斜率.(4)结论:由斜率之间的关系,判断形状.【补偿训练】△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形,求m的值.【解析】因为∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1,即=-1,得m=-7.【延伸探究】1.(变换条件)本例中若改为∠A为锐角,其他条件不变,如何求解m的值. 【解析】由于∠A为锐角,故∠B或∠C为直角.若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=3或m=±2.2.(变换条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉,改为若△ABC为直角三角形,如何求解m的值.【解析】若∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1, 即=-1,得m=-7;若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=-7或m=3或m=±2.规范解答由两条直线平行、垂直的条件求参数的值【典例】(12分)已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1∥l2,求m的值.(2)若l1⊥l2,求m的值.【审题指导】(1)直线l2的斜率存在,当l1∥l2时,则有k1=k2,列等式求解m.(2)由l1⊥l2,要分情况讨论k2=0或k2≠0,再由k1·k2=-1列出等式求得m的值.。
高中数学：2-2-3《两条直线垂直条件》学案(新人教A版必修2)
7、已知 A( 2,4); B (4,6) ，求线段 AB 的垂直平分线。
学习方法指导： 学习方法指导：
课后作业： 课后作业： 学生作业后的反思与体会： 学生作业后的反思与体会：
用心
爱心
专心
第 二 章 直线垂直条件 学案
学习目标： 学习目标：
1、两条直线垂直的条件； 2、会判断两条直线是否垂直； 3、会求一条线段的垂直平分线。 课前预习要求及内容： 1、 已知两条直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0; l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0; 满足什么条件 l1 ⊥ l 2 。
1 5 6 x+6； （4） y = x + 1与y = − x + 6 3 6 5
用心
爱心
专心
5、若 l : Ax + By + C = 0 ，那么与直线 l 垂直的无数条直线如何表示？ 若 l : y = kx + b ，那么与直线 l 垂直的无数条直线如何表示？
6、求过下列个点，且与已知直线垂直的直线。 （1） （-1，3） y = 2 x + 1 ； （1，-3） 2 x + y − 3 = 0 ， （2） ，
学习的重点与关键： 学习的重点与关键：
1、两条直线垂直的条件。
2、已知两条直线 l1 : y = k1 x + b1 ; l 2 : y = k 2 x + b2 ; 满足什么条件 l1 ⊥ l 2
3、那么判断两条直线是否垂直有几种方法？这些条件有什么内在的联系？
4、例题：判断下列直线是否垂直？ （1） 2 x − 4 y − 7 = 0和4 x + 2 y − 5 = 0 ； （2） 3 x + 6 y − 7 = 0和6 x + 3 y − 5 = 0 （3） y = 3 x + 1与y =
(完整版)高中数学2.2直线的方程2.2.3.2两条直线垂直的条件教案
2.2.3.2 两条直线垂直的条件示范教案整体设计教学分析教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．三维目标1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．教学难点：归纳两条直线垂直的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题1直线l：Ax＋By＋C＝0与直线l′：Ax＋By＝0有什么位置关系？2已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.讨论l1⊥l2的条件时，可转化为讨论过原点的哪两条直线垂直的条件？3阅读教材，讨论l1与l2垂直的条件.4写出判断直线l1和l2是否垂直的步骤.讨论结果：(1)l与l′平行或重合(2)由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y ＝0垂直的条件．(3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合．如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．在直线l 1′，l 2′上，分别取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(都不是原点)．由勾股定理，得x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.由假定可知B 1≠0，B 2≠0，因此y 1＝－A 1B 1x 1，y 2＝－A 2B 2x 2.代入上式，得x 1x 2(1＋A 1A 2B 1B 2)＝0. 因为A ，B 都不在y 轴上，所以x 1x 2≠0，因此1＋A 1A 2B 1B 2＝0，① 即A 1A 2＋B 1B 2＝0.②由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l 1′与l 2′垂直，从而也就证明了l 1与l 2垂直．假定l 1，l 2中有一条直线与坐标轴平行或重合．当l 1⊥l 2时，可以推出l 1，l 2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A 1A 2＋B 1B 2＝0.反过来，由条件A 1A 2＋B 1B 2＝0也可以推出l 1⊥l 2.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l 1和l 2，有 l 1⊥l 2 ⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0，则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1，l 2的斜率k 2＝－A 2B 2. 由上面的①式，又可以得出l 1⊥l 2 ⇔k 1k 2＝－1.(4)计算步骤：①给A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2赋值；②计算M ＝A 1A 2＋B 1B 2；③若M ＝0，则l 1⊥l 2；若M≠0，则l 1与l 2不垂直．应用示例思路1例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：(1)2x －4y －7＝0与2x ＋y －5＝0；(2)y ＝3x ＋1与y ＝－13x ＋5； (3)2x ＝7与3y －5＝0.解：(1)因为A 1＝2，B 1＝－4，A 2＝2，B 2＝1，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×2＋(－4)×1＝0，所以这两条直线垂直．(2)由k 1＝3，k 2＝－13，得k 1k 2＝3×(－13)＝－1，所以这两条直线垂直． (3)因为A 1＝2，B 1＝0，A 2＝0，B 2＝3，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直． 此题也可以直接看出直线2x ＝7平行于y 轴，直线3y －5＝0平行于x 轴，从而可以判断这两条直线垂直．点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用A 1A 2＋B 1B 2＝0来判定；由斜截式给出的方程可以用k 1k 2＝－1来判定．变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由．(1)l 1：y ＝4x ＋2，l 2：y ＝－14x ＋5； (2)l 1：5x ＋3y ＝6，l 2：3x －5y ＝5；(3)l 1：y ＝5，l 2：x ＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，则k 1＝4，k 2＝－14， 有k 1·k 2＝4×(－14)＝－1，所以l 1⊥l 2. (2)因为A 1＝5，B 1＝3，A 2＝3，B 2＝－5，A 1A 2＋B 1B 2＝5×3＋3×(－5)＝0，所以l 1⊥l 2.(3)因为l 1平行于x 轴，l 2垂直于x 轴，所以l 1⊥l 2.例2求证：直线Ax ＋By ＋C 1＝0与直线Bx －Ay ＋C 2＝0垂直．证明：因为AB ＋B(－A)＝0，所以这两条直线垂直．点评：一般地，我们可以把与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程表示为Bx －Ay ＋D ＝0.同样可证明与直线y ＝kx ＋b(k≠0)垂直的直线可表示为y ＝－1kx ＋b 1. 变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：(1)(－1,3)，y ＝2x －3；(2)(1,2)，2x ＋y －10＝0.解：(1)设所求直线方程为y ＝－12x ＋b. 因为直线过点(－1,3)，代入方程，得b ＝52，所以所求方程为y ＝－12x ＋52，即x ＋2y －5＝0.(2)设所求的直线方程为x －2y ＋C ＝0.因为直线过点(1,2)，代入方程，得C ＝3，所以所求直线方程为x －2y ＋3＝0.思路2例3已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC 的形状．分析：先作图猜想，然后给出证明．解：由题意，知k AB ＝1－－11－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2. ∵k AB ·k BC ＝－1，∴AB⊥BC.∴△ABC 为直角三角形．点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明． 变式训练已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(－2,6)，求证：AB⊥PQ.证明：k AB ＝6－03＋6＝23，k PQ ＝6－3－2－0＝－32，∴k AB k PQ ＝－1，∴AB⊥PQ.例4已知△ABC 的顶点坐标为A(1,2)、B(－1,1)、C(0,3)，求BC 边上的高所在的直线方程． 分析：BC 边上的高所在直线的斜率与直线BC 的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解．解：设BC 边上的高所在直线斜率为k ，则k·k BC ＝－1，又k BC ＝3－10－－1＝2， ∴k＝－12.∴由点斜式，得y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 点评：本题中利用两直线垂直的条件求出了BC 边上的高所在直线斜率，再利用点斜式求得直线的方程．变式训练求经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0，，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2.又所求直线的斜率k ＝－23，∴y－2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0. 知能训练1．已知三点A(4,1)、B(0,5)、C(8,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：D2．求过点A(2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．分析：一般地，由于与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线的斜率同已知直线互为负倒数，故可设其方程为Bx －Ay ＋λ＝0，这是常常用到的解题技巧(直线系方程)．解：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋λ＝0.∵直线l 经过点A(2,1)，∴2－2×1＋λ＝0，解得λ＝0.故所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3．求经过直线y ＝2x ＋3和3x －y ＋2＝0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋3，3x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝5.又所求直线的斜率k ＝－12，∴y－5＝－12(x －1)，即x ＋2y －11＝0. 4．△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)．求点A 和点C 的坐标．解：如下图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得顶点A(－1,0)，∴直线AB 的斜率为k AB＝2－01－－1＝1.∵x 轴是∠A 的平分线，∴直线AC 的斜率为－1，直线AC 的方程为y ＝－(x ＋1)．①已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∴直线BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．②由①②联立，解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－6，即顶点C 坐标为(5，－6)．∴所求顶点A 坐标为(－1,0)，顶点C 坐标为(5，－6)．拓展提升已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0.求点A 关于直线l 的对称点A′的坐标．解：设点A′的坐标为(x′，y′)，因为点A 与A′关于直线l 对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l 上，而直线l 的斜率是－3.所以k AA′＝13. 又因为k AA′＝y′－4x′＋4，所以y′－4x′＋4＝13.① 再因为直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，AA′的中点坐标是(x′－42，y′＋42)，所以3·x′－42＋y′＋42－2＝0.② 由①和②解得x′＝2，y′＝6.所以A′点的坐标为(2,6)．课堂小结本节课学习了两条直线垂直的条件及其应用．作业本节练习B 3,4题．设计感想本课通过探究两直线垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．通过对两直线垂直的位置关系的研究，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励．备课资料备选习题1．根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点A(3,2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行；(2)经过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1,2)和N(－1，－5)的直线；(3)经过点B(3,0)，且与直线2x ＋y －5＝0垂直．解：(1)由题意得，k ＝－4，由点斜式，得y －2＝－4(x －3)，即4x ＋y －14＝0.(2)所求直线的斜率为k ＝2－－51－－1＝72， ∴由点斜式得y ＋3＝72(x －2)，即7x －2y －20＝0. (3)所求直线的斜率为k ＝12，∴由点斜式，得y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0. 2．证明两直线互相垂直．2x ＋3y ＋4＝0；3x －2y －1＝0.证明：∵k 1＝－23，k 2＝－3－2＝32，∴k 1·k 2＝－1.∴两直线互相垂直． 3．已知两点A(7，－4)、B(－5,6)，求线段AB 的垂直平分线的方程．解：∵k AB ＝6－－4－5－7＝10－12＝－56， ∴AB 的垂直平分线的斜率为65，AB 的中点为(1,1)． ∴由点斜式，得y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.。
高中数学-两条直线的平行与垂直
m 2
2
m 4
,解
24
当l1,l2斜率不存在时,l1与l2的方程分别为x=l1∥l2,此时m=3.
4 5
1 ,x= 2
,显然
故m=-4或m=3为所求.
解法二:因为l1∥l2,则有
(m 2) 4(m- 3) - (m2 - 3m) 2 0,①
(m
2)
(-1)-
4
2
0.②
解式①②,得m=-4或m=3.
两直线平行;当
k1·k2=-1 时,两直线垂直.
2.(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设
为 Ax+By+λ=0(λ≠C)
.
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设
为 Bx-Ay+λ=0
Hale Waihona Puke .返回两条直线平行与垂直
两条直线平行
两条直线垂直
返回
学点一 两条直线的平行与垂直
分别求出符合下列条件的直线l的方程. (1)过点P(2,-1)且与直线3x-2y-6=0平行； (2)过点P(1,-1)且与直线2x+3y+1=0垂直.
返回
【评析】根据光线的对称性，点A关于l的对称点 A′在反射光线上.
返回
某光线经过点P(2,3)投射在直线x+y+1=0上,反射后经过 点A(1,1),求入射光线和反射光线所在的直线方程.
解:设P点关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为Q （x0,y0）,因此PQ的中点在直线x+y+1=0上,且PQ所在 直线与直线x+y+1=0垂直，所以
故
2xyx4222
2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定(含解析)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2，则直线l2的斜率为( D ）（A)(B）a（C)-(D）-或不存在解析：若a=0，则l2的斜率不存在;若a≠0，则l2的斜率为—.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2，斜率分别为k1,k2，有下列说法：(1）若l1∥l2,则斜率k1=k2;（2)若斜率k1=k2,则l1∥l2；(3）若l1∥l2，则倾斜角α1=α2;(4）若倾斜角α1=α2，则l1∥l2。
其中正确说法的个数是（ B )(A）1 (B）2 (C)3 (D)4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4）都可能是两条直线重合，(1）,(3)正确。
3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行，则m 的值为( B ）（A）(B)或1（C)1 (D）—1解析：由题知k AB=2，即==2,整理得2m2-3m+1=0，解得m=或m=1.4.若A（0,1),B(,4）在直线l1上,且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为（ C )（A）-30°(B)30°(C)150°（D）120°解析：因为==，所以l1的倾斜角为60°。
因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5。
以A(—1,1)，B（2,—1），C（1,4)为顶点的三角形是（ C ）(A)锐角三角形（B)钝角三角形（C)以A点为直角顶点的直角三角形（D)以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB==—，k AC==，由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形，故选C。
6.已知A(—4，3）,B（2,5)，C（6，3)，D(—3,0)四点，若顺次连接A,B，C,D四点，则四边形ABCD的形状是（ D )(A）平行四边形（B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析：因为k AB==，k CD==,k AD==-3，k BC==—，所以AB∥CD,AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形.7。
高中数学二级结论总结归纳
高中数学二级结论总结归纳数学作为一门学科，是一种严谨而美妙的知识体系。
在数学的学习过程中，结论的总结归纳是非常重要的一环。
通过总结归纳，我们可以更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力和思维逻辑能力。
在本文中，我将对高中数学二级结论进行总结归纳，帮助大家更好地学习和掌握这一部分知识。
一、平面几何结论1. 垂直性结论：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为负倒数。
证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则L1和L2垂直的充分必要条件是k1 * k2 = -1。
2. 平行性结论：两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等。
证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则L1和L2平行的充分必要条件是k1 = k2。
3. 三角形中位线定理：三角形中位线的交点是三条中位线的共同中点。
证明：设三角形ABC的中位线AD、BE和CF交于点G，则AG = GB = CG。
4. 垂心结论：垂心是三角形三条高的交点。
证明：设三角形ABC的高AD、BE和CF交于点H，则H是三条高的交点。
二、立体几何结论1. 空间几何关系：两条直线垂直的充分必要条件是它们所在平面的法向量垂直。
证明：设直线L1所在平面的法向量为n1，直线L2所在平面的法向量为n2，则L1和L2垂直的充分必要条件是n1·n2 = 0。
2. 球面几何关系：切线和半径于切点垂直。
证明：设球面上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，球心的坐标为(a, b, c)，则切线的方程为(x - x0) / (x0 - a) = (y - y0) / (y0 - b) = (z - z0) / (z0 - c)。
三、数列与数列极限结论1. 等差数列求和公式：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。
证明：分别对等差数列的首项a1和末项an列出求和公式，然后相加得到Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 等比数列求和公式：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1 -q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。
高中数学最新-高二数学两条直线的平行与垂直1 精品
7.3 两条直线的平行与垂直（一）教学要求：掌握两条直线平行与垂直的条件，并能求平行直线和垂直直线的方程。
教学重点：求解方程。
教学难点：理解平行与垂直的条件。
教学过程：一、复习准备：1.直线x＋3y－3＝0的倾斜角是、斜率是、在y轴上的截距是。
2.讨论：直线L1＝k1x＋b1，直线L2：y＝k2x＋b2，当时，L1∥L2；当时，L1⊥L2。
二、讲授新课：1.教学两条直线平行与垂直的条件：①出示例：已知直线L1＝k1x＋b1与L2：y＝k2x＋b2，求证：L1∥L2⇔k1＝k2。
②先由学生证明L1∥L2⇒ k1＝k2，再师生共证k1＝k2⇒ L1∥L2。
③出示例：已知L1＝k1x＋b1与L2：y＝k2x＋b2，求证：L1⊥L2⇔ k1k2＝－1④先试证，再订正。
⑤小结：注意情况，注意α的分析，公式的运用及条件（斜率存在）⑥练习：判别下列直线的位置关系： 2x－4y＋7＝0 2x－y－5＝0 x－2y＋5＝0⑦讨论：A、B、C有何关系？2.教学例题：①出示例：已知点A(1,-4)，直线L：2x＋y－10＝0，求：过点A且与直线L分别平行、垂直的直线方程。
②试练→小结解法：先求K，再用点斜式方程；或设直线为2x＋y ＋c＝0、…的形式，再代入点A求常数项C。
③练习：已知直线L1：ax＋3y＋1＝0与L2：x＋(a－2)y＋a＝0，当a为何值时，L1与L2：平行？垂直？三、巩固练习：1.求直线2x＋3y－6＝0关于点(1,-1)对称的直线方程。
（设动点方法；取两点法）2.求过点P(2,4)且分别与直线2x－y＋1＝0平行、垂直的直线方程。
3.课堂作业：书P47 1、2题。
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高中数学例题：两条直线垂直的条件
例8．已知定点A （―1，3），B （4，2），以A ，B 为直径的端点，作圆与x 轴交于点C ，求交点C 的坐标．
【答案】 （1，0）或（2，0）
【解析】 本题中有三个点A ，B ，C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k AC ·k BC =―1．列出方程，求解即可．
以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥CB ．设C （x ，0），MJ 31AC k x -=+，24BC k x -=-．∴32114
x x --⋅=-+-，去分母解得x=1或2． ∴C （1，0）或C （2，0）．
【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．
本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x 的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．
本例中，当AC 或BC 的斜率不存在时，不满足AC ⊥BC ，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC 或BC 斜率不存在的情形作讨论．
举一反三：
【变式1】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．
【答案】1
【解析】因为直线250
x my
+-=互相垂直，所
x y
-+=与直线260
以220
m=．
-=，所以1
m。