多层快速多极子算法的改进措施
多层快速多极子法的内存占用与控制分析
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第 ３ ２卷 第 ４期 ２１ ０ ０年 ４月
文章 编 号 ：０ １５ ６ ２ １ ） ４０ ２ —５ １ ０ —０ Ｘ（ ０ ０ ０ — 术
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快速多极子算法
快速多极子算法快速多极子算法（Fast Multipole Method，简称FMM）是一种高效的计算N体问题的方法，它可以在O(N)的时间复杂度内求解N个粒子之间的相互作用力。
本文将从FMM的基本思想、算法流程、优缺点以及应用领域等方面进行详细介绍。
一、基本思想FMM的基本思想是将远距离作用力的计算转化为局部近距离作用力的计算，从而大大降低了计算复杂度。
具体来说，FMM将空间分割成一系列边长逐级递减的立方体网格，在每个网格中以多项式函数来逼近粒子分布，并利用多极展开和局部展开等技术来实现快速计算。
二、算法流程1. 空间划分：将整个空间划分成若干个立方体网格，并确定每个网格中包含的粒子数目。
2. 多项式逼近：对于每个网格中包含的粒子，采用多项式函数来逼近其分布情况。
3. 多极展开：利用多项式函数对每个网格进行多极展开，并计算其多极矩和电荷矩。
4. 局部展开：对于近距离作用力，采用局部展开技术来计算每个网格中的相互作用力。
5. 远距离作用力计算：对于远距离作用力，采用多极展开技术来计算每个网格之间的相互作用力。
6. 精度控制：根据需要，可以通过增加多项式阶数或网格密度等方式来提高计算精度。
三、优缺点1. 优点：(1) 计算速度快：FMM的时间复杂度为O(N)，比传统的直接求解方法要快得多。
(2) 空间复杂度低：FMM只需要存储每个网格中的多项式系数和电荷矩等信息，空间占用较小。
(3) 适用范围广：FMM不仅适用于N体问题，还可以应用于其他需要求解远距离相互作用力的问题。
2. 缺点：(1) 实现难度较大：FMM需要掌握多项式函数、多极展开等专业知识，并且实现过程较为复杂。
(2) 对粒子分布要求较高：FMM需要将空间划分成若干个网格，并要求每个网格中的粒子分布较为均匀，否则会影响计算精度。
四、应用领域FMM在计算物理、计算化学、电磁学等领域都有广泛应用。
例如，在分子动力学模拟中，FMM可以用于求解分子之间的相互作用力，从而得到分子的结构和性质等信息；在电磁场模拟中，FMM可以用于求解电荷分布所产生的电场和磁场等问题。
06_1 FEKO多层快速多极子技术MLFMM
快速多极子（FMM） 多层快速多极子技术（MLFMM）
FMA overview
•
我们知道解线性方程组的方法可分为两类：一类是直接法，如高斯消元法等； 一类是迭代法，如：共轭梯度法等 用矩量法（MoM）求解线性方程组，它的系数矩阵是满秩的。如用直接法求解， 则计算机内存需要O（N2），运算量达O（N3）；如用迭代法求解，内存一样 需要O（N2），而每次迭代的运算量达O(N2)).如此之多的内存需要量，如此之 大的运算量，大大限制了矩量法的应用范围，在90年代以前，矩量法仅仅适用 于电小尺寸物体（物理尺寸/工作波长< 10）。 20世纪90年代以后，情况发生了改变，目前矩量法已可以计算相当大的电大尺 寸物体，这主要归归功于Rokhlin提出的快速多极子算法，这是一种减少内存需 求，加快矩阵和矢量相乘的技术。
（2.75）
快速多极子技术的数学原理（续）
ˆ 这里的积分符号“d k ”表示是积分在整个单位球面上进行。此积分可用高斯面积分方法进行。 具体来说,就是在区间[0，pi]上取L点，使得cos( )在区间[-1，1]上满足Gauss-Legendre L点 积分公式。这L点的theta值及积分权因子可以直接调用可以直接调用文献[7]中的子程序“”得 到。对于水平方向phi值得选取，可以在区间[0，2pi]上等间隔选取2L个值。于是式（2.75）右 边的积分便可写成： （2.76）
近远相互作用介绍
• 下边来分析两小长方体A和B的远相互作用。设A和B内分别都有100个未知数， 如图1所示。如果用通常方式来执行他们之间的相互作用，则需要100*100次计 算机操作。而快速多极子技术是用一种新的方式来执行A和B之间的远相互作用。 其基本思路是将整个相互作用过程分解成三步：聚集、转移、发散。聚集就是 将分布在A内的100个未知数所对应的等效电流聚集在A的中心。其目的是获得 一组具有下列转移特性的新函数：A内所有等效电流对远处的作用可以由执行 这组函数的转移完成；转移就是将聚集过程中得到的一组函数由A的中心转移 到B的中心；发散就是将转移到B中心的那组函数发散到B内所有100个未知数 所对应的等效电流上，从而完成A和B的远相互作用。此种作用方式由图2表示。 下边会阐述平面波函数具有上述转移特性，而且在能够保证高精度情况下，所 需平面波个数少于原未知数个数。这就是说，完成新函数从A中心到B中心的转 移，只需要少于100次的计算机操作。这就是快速多极子技术能够加快完成A和 B远相互作用的原因。作用过程的分解来源于积分方程中格林函数的多极子展 开，故此项技术称为快速多极子技术。由于格林函数的多极子展开在近相互作 用时很难达到满意精度，则这种新作用方式只适用于远相互作用。这也就是我 们将相互作用分成近相互作用和远相互作用的原因。
提高算法设计和优化能力的15个方法
提高算法设计和优化能力的15个方法算法设计和优化是计算机科学中非常重要的技能，它涉及到对问题的分析、抽象和解决方案的设计与优化。
随着计算机系统的复杂性不断提升，算法的设计和优化能力成为了每一个计算机科学家和工程师必须要具备的技能之一。
在本文中，我们将介绍提高算法设计和优化能力的15个方法，并详细讨论它们的应用和效果。
方法一：学习基本的数据结构与算法首先，要提高算法设计和优化能力，最基本的方法就是学习基本的数据结构与算法。
数据结构与算法是算法设计和优化的基础，只有掌握了基本的数据结构与算法，才能在实际问题中设计和优化出高效的算法。
比如，掌握数组、链表、树、图等数据结构，了解排序、查找、递归、动态规划等算法。
方法二：阅读经典的算法书籍与论文其次，要提高算法设计和优化能力，还需要多阅读经典的算法书籍与论文。
经典的算法书籍与论文中通常包含了丰富的算法设计与优化思想、技巧与方法，通过阅读它们可以学习到很多宝贵的经验。
比如，《算法导论》、《编程之美》、《计算机算法设计与分析》等书籍都是非常不错的选择。
方法三：参与算法竞赛与练习此外，要提高算法设计和优化能力，还可以参与算法竞赛与练习。
算法竞赛是一个非常好的学习与锻炼平台，它可以帮助你积累更多的算法设计与优化经验。
比如，可以参加ACM、ICPC、Codeforces等知名的算法竞赛，在练习中不断提高自己的算法设计与优化能力。
方法四：开展算法设计与优化项目除此之外，要提高算法设计和优化能力，还可以开展算法设计与优化项目。
通过实际的项目实践，可以更深入地理解问题的本质、分析问题的特点、设计高效的解决方案。
比如，可以参与开源项目、科研项目、工程项目等，通过实际项目开发来提高算法设计与优化能力。
方法五：学习高级的算法与数据结构另外，要提高算法设计和优化能力，还需要学习高级的算法与数据结构。
高级的算法与数据结构通常需要更深刻的思考与分析，掌握了它们可以拓展你的算法设计与优化能力。
多层快速多极子算法中修正多极子模式数技术
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第 ３ ２卷
第 １ ２期
系 统 Ｔ 程 与 电 子 技 术
Ｓｙｓ ｅ ｓ Ｅｎｇｉ ｅ ｉ ｔｍ ｎｅ ｒｎｇ ａｎｄ Ｅｌ ｃ ｒ ｃｓ ｅ ｔｏｎｉ
Ｖｏ１ ３２ Ｎ Ｏ．１ ． ２
２ｔ ０ ０年 １ ２月
文 章 编 号 ：０ １５ ６ ２ １ ） ２ ５ ４ １ ０ ０ Ｘ（ ０ ０ １ ５ ７０ ２
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半空间电大散射问题的并行多层快速多极子方法及其区域分解关键技术研究
半空间电大散射问题的并行多层快速多极子方法及其区域分解关键技术研究半空间电大散射问题的并行多层快速多极子方法及其区域分解关键技术研究引言：在电磁散射问题中，半空间电大散射问题是一个重要而具有挑战性的问题。
由于问题的复杂性，传统的求解方法往往需要消耗大量的计算资源和时间。
因此，开发高效的求解算法成为研究的重点之一。
本文介绍了一种新的并行多层快速多极子方法，并研究了该方法中的区域分解关键技术。
一、问题描述在半空间电大散射问题中，我们需要求解电磁波在半空间中的散射现象。
假设我们有一个发射源，它向半空间发射电磁波，而该波通过与半空间中的目标物体相互作用，产生散射现象。
我们的目标是计算出目标物体的散射电场分布。
二、传统方法的挑战传统的求解方法往往需要将整个计算域离散化为大量的小单元，然后通过求解边界积分方程来计算出目标物体的电场分布。
由于计算量巨大，这种方法往往非常耗时，因此限制了其在实际工程中的应用。
三、多层快速多极子方法为了克服传统方法的局限性，我们引入了多层快速多极子方法。
该方法利用了快速多极子算法的核心思想，即将计算域分解成多个层次，从而减少计算量。
首先，我们将计算域分割成小块，然后将这些小块进一步划分成更小的子块，形成多层结构。
接下来，我们使用多极子展开来逼近每个小块的电场和电荷分布，进而将边界积分方程转化为更简洁的求解问题。
四、并行实现为了进一步加快计算速度，我们采用了并行计算的方式。
我们将计算域划分为多个子域，并将每个子域分配给不同的处理器进行计算。
这样，每个处理器只需负责计算相应子域的电场和电荷分布，大大缩短了计算时间。
五、区域分解关键技术在并行计算中，区域分解是一个关键的技术。
为了保证不同处理器之间的通信更加高效，我们采用了经验优化的方法来确定子域的划分方式。
具体而言，我们将处理器与子域之间的通信量进行估计，然后选择最佳的划分方式以最小化通信开销。
六、实验结果与分析我们使用了一台高性能计算机进行了大量的实验验证。
多机器学习算法的集成方法及优化策略
多机器学习算法的集成方法及优化策略随着机器学习的迅速发展，研究者们发现单一的机器学习算法往往难以完全满足复杂问题的需求。
为了提高模型性能，减少过拟合和提高泛化能力，集成学习方法被提出并得到广泛应用。
多机器学习算法的集成方法将多个不同的机器学习算法的结果进行整合，通过合理的权衡和协同，获得更好的分类或回归结果。
本文将介绍几种常见的多机器学习算法集成方法及其优化策略。
首先，我们来介绍一种最简单且常用的集成方法——投票法。
投票法通过将多个机器学习算法的预测结果进行投票，然后根据获得最高投票数的类别作为最终结果。
这种方法适用于分类问题，并且能够有效减少单个算法的偏差。
然而，投票法并不能充分利用各个算法的预测结果潜在的信息。
为了解决这个问题，另一种集成方法被提出，称为平均法。
平均法将各个算法的预测结果进行平均，得到最终的分类或回归结果。
这种方法适用于连续型变量预测，能够减少单个算法的方差。
在平均法的基础上，还有一种改进方法称为加权平均法。
加权平均法给每个算法的预测结果赋予不同的权重，然后将它们进行加权平均。
这种方法可以根据算法的性能调整权重，从而提高整个集成算法的性能。
其中，常见的权重调整方法有基于预测准确率、基于学习模型性能或训练样本分布来分配权重。
另一个常用的集成方法是基于Bagging的方法。
Bagging方法通过有放回地从原始训练集中随机抽取一定数量的样本，然后利用这些抽样集训练多个算法模型。
最终的结果通过对所有算法模型的预测结果进行平均或投票得到。
Bagging方法能够有效降低方差，提高分类或回归模型的性能。
除了Bagging方法，还有一种基于Boosting的集成方法。
Boosting方法通过逐步迭代的方式训练一系列弱学习器，每个弱学习器都专注于修复上一轮迭代中错误分类的样本。
最终的结果通过对所有弱学习器的预测结果进行加权求和得到。
这种方法能够逐步提升模型的性能，但也容易过拟合。
因此，常常需要设置合适的停止条件来避免过拟合。
fast multipole method
文章标题：深入探讨快速多极方法快速多极方法（Fast Multipole Method，FMM）是一种用于求解N-body问题的快速算法。
N-body问题是指在物理学和工程学中经常遇到的一类问题，即求解由大量相互作用的粒子组成的系统的运动规律。
快速多极方法通过将空间分解成层次结构，利用多极展开和局部近似的方式，显著提高了求解N-body问题的效率。
在本文中，我们将深入探讨快速多极方法的原理、应用和未来发展方向。
1. 快速多极方法的原理快速多极方法的核心思想是将相互作用的粒子分组，并用多极展开来近似其作用。
它利用了空间的层次结构，将粒子分为不同的区域，从而减少了相互作用的计算量。
通过多极展开和局部近似，快速多极方法在保证一定精度的情况下，显著减少了计算时间，使得求解N-body问题的效率大大提高。
2. 快速多极方法的应用快速多极方法广泛应用于分子动力学模拟、电磁场求解、流体动力学和地震模拟等领域。
在分子动力学模拟中，由于分子间相互作用的复杂性，快速多极方法能够显著提高模拟计算的效率。
在电磁场求解中，快速多极方法可以用于加速求解Maxwell方程组，从而实现电磁场的快速计算。
在流体动力学中，快速多极方法可以用于求解Navier-Stokes方程，提高流体模拟的效率。
在地震模拟中，快速多极方法可以用于快速求解地震波传播和地震灾害预测。
3. 快速多极方法的未来发展方向随着大规模并行计算和人工智能技术的发展，快速多极方法在规模化和智能化方面仍有很大的发展空间。
未来，快速多极方法将更加注重在异构多核、众核和神经网络等评台上的优化实现，以实现更高的并行性和效率。
快速多极方法还将结合深度学习和强化学习等人工智能技术，实现对粒子系统的自适应建模和智能优化，从而推动其在科学计算和工程应用中的广泛应用。
总结回顾快速多极方法作为一种用于求解N-body问题的快速算法，通过多极展开和局部近似的方式，显著提高了求解效率。
它的应用涵盖了分子动力学模拟、电磁场求解、流体动力学和地震模拟等领域。
解决多层级优化问题的方法
解决多层级优化问题的方法Optimizing multi-level problems can be a challenging task that requires strategic thinking and creative solutions. One approach to addressing these complex issues is to break them down into smaller, more manageable components. By systematically analyzing each level of the problem, it becomes possible to identify key areas for improvement and develop targeted strategies for optimization. This method allows for a more focused and structured approach to tackling complex problems, ultimately leading to more effective and sustainable solutions.解决多层次优化问题可能是一项具有挑战性的任务，需要战略思维和创造性解决方案。
应对这些复杂问题的一种方法是将它们拆分为更小、更易管理的组成部分。
通过系统分析问题的每个层次，我们可以确定关键改进领域并制定有针对性的优化策略。
这种方法可以实现更加专注和有条理的方法来应对复杂问题，最终导致更加有效和可持续的解决方案。
In order to effectively optimize multi-level problems, it is important to consider the interconnected nature of the various components. Each level of the problem may impact and be impacted by otherlevels, creating a complex web of relationships that must be carefully navigated. By understanding these interdependencies and interactions, it becomes possible to develop holistic solutions that address the problem from a comprehensive perspective. This holistic approach allows for a more thorough and nuanced understanding of the problem, enabling more effective and sustainable optimization strategies.为了有效地优化多层次问题，重要的是考虑各个组成部分之间的相互关系。
电大目标散射问题的预修正多层快速多极子分析
摘 要 ： 为 了加 快使 用 多层 快 速 多极 子 方 法来 分 析 散 射 问题 的 求 解 过 程 ， 出 了 一种 预 修 正 方 法． 使 用 物 提 在 理光学方法 时， 物理 光 学 电 流 可 以等 同于 预 修 正 电流 ， 当于 生 成 一 个 稀 疏 阻抗 矩 阵 来 估 算 物 理 光 学 电 流 相 的 表 面 电流 ． 为 相对 于未 知 电 流 来 说 ， 因 它和 物 理 光 学 电 流 问 的差 别 更 接 近 于 零 矢 量 ， 以使 用 两 者 的 差 所
ｅ ａ ｕ ｔ ｈ Ｏ ｕ ｆ ｃ ｕ ｒ ｎ ．Ｂｅ ａ ｓ ｈ ｉｆ ｒ ｎ ｅｂ ｔ ｅ ｎ ｎ ｗｎ ａ ｄ ＰＯ ｕ ｒ ｎ ｓ ｉ ｃｏ ｅ ｏ ｔ ｅ ｖ ｌ ａ ｅ ｔ ｅ Ｐ ｓ ｒａ ｅ ｃ ｒ ｅ ｔ ｃ ｕ ｅ ｔ ｅ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｅ ｗｅ ｎ ｕ ｋ ｏ ｎ ｃ ｒ ｅ ｔ Ｓ ｌ ｓ ｒ ｔ ｈ ｚ ｒ ｅ ｔ ｒ ｈ ｎ ｔ ｅ ｕ ｋ ｏ ｕ ｒ ｎ ｓ ｔ ｅ ｅｖ ｓ ｔｄ ｅ ｅ ｄ ｌｓ ｔ ｒ ｔｏ ｔ ｐ ｓｎ ｈ ｉ ｅ ｅ ｃ ｓ ｅ ｏ ｖ ｃ ｏ ｓ ｔ ａ ｈ ｎ ｎ ｗｎ ｃ ｒ ｅ ｔ ｈ ｍｓ ｌ ｅ ，ｉ ｏ ｓ ｎ ｅ ｅ ｓ ｉ ａ ｉ ｎ ｓ ｅ ｓ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ａ ｅ ｆ
２１ ０ ２年 ４月
西安电子科技大学学报（ 自然 科 学版 ）
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Ａｐ ． ０ ２ ｒ２ １
第 ３卷 ９
第 ２期
电大尺寸辐射问题的预修正多层快速多极子分析
（ ｙ Ｌａ ．ｏ ｔ ｎ ａ ｎ ｉｒ ｗａ ｅ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｋｅ ｂ ｆＡｎ ｅ ｎ ｓａ ｄ Ｍ ｃ ｏ ｖ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｘｉ ｉｎ Ｕｎ ｖ ，Ｘｉ ｎ ７ ０ ７ ，Ｃｈ ｎ ） ｄａ ｉ． ’ １０１ ａ ｉａ
王 元 源 ， 谢 拥 军 ， 王 鹏
（ 安 电 子科 技 大 学 天 线 与微 波技 术重 点 实验 室 ， 西 西 安 西 陕 ７０ ７ ） １ ０ １
摘 要 ： 为 了提 高 多层 快 速 多极 子 方 法 分 析 辐 射 问 题 的 求 解速 度 ， 出 了 一种 预 修 正 的迭 代 求 解 方 法 ． 提 该 方 法在 激 励 点附 近 的 局 部 区域 生 成 一 个 小 的 阻 抗 矩 阵 ， 以该 阻 抗 矩 阵 求 解 出 一 个 近 似 反 映 激 励 点 附近
区域 特 性 的局 部 表 面 电流． 求 电流 与 该 局 部 电流 之 差 与 待 求 电流本 身 相 比更 加 接近 于 初 始 零 向 量 ， 待 因
此 将 差 值 作 为 迭代 过程 中 的未 知 向量 进 行 求 解 ， 需 要较 少 的迭 代 步 数 即可 收敛 ． 数 值 结 果 的 分 析 表 只 对
Ａｂ ｔａ ｔ Ｆｏｒｉ ｒ ａ ｉ ｈｅ ｓ ｕ ｉ ｐｅ ｄ ｏｆｔ ｅ ｒ ｄ ａ ｉｎ ｏｂ ｅ ｕ ｉ ｇ ｔ ｕｌｉｅ ｅ ａ ｔｍ ｕｌｉ ｌ ｓｒ ｃ ： ｎｃ ｅ ｓｎｇ ｔ ｏｌ ｔｏｎ ｓ ｅ ｈ ａ ｉ ｔｏ ｐｒ ｌ ｍ ｓ ｎ ｈｅ ｍ ｔｌｖ ｌｆ ｓ ｔｐｏ ｅ
２１ ０ ０年 ６月
西 安 电子 科 技大 学 学 报 （ 自然 科 学版 ）
多层快速多极子算法中的两步插值技术
（1）
（ l － 1）
Gauss 插 值 系 数 构 成 的 矩 阵， f 其 中 I l， l－1 为 由 （N
（ l） θ
（ l）
， I l， f l－1 和
分 别 为 （N
（ l） θ
N
（ l） φ
× 1 ），
N
（ l） φ
×N
（ l － 1） θ
［ 6］
. 聚集和扩散过程需 要 在 角 谱 空 间 内 沿 θ 方 向 和 φ 方 向 计 算 数 值 积 分， 由于层与层之间
［ 4， 7 － 8］
为了高效计算层间的角谱积分， 引进插值技术计算层 间 角 谱 空 间 的 积 分 . 实 际 操 角谱空间的采样点数不同， 作过程中， 有两种最主要的插值算法， 即全局插值（ 傅立叶变换 ） 与局部插值 局部插值计算效率高于全局插值， 且计算精度可控 . ， 本文主要讨论局部插值，
l） （ l） C1 = N （ θ Nφ Oθ Oφ ，
（2）
其中 C 1 中的下标 1 表示该计算复杂度是由一步 插 值 操 作 得 到 的 . 计 算 过 程 中， 认 为 I l， l － 1 含有 Oθ Oφ 个 非 零 Nθ ∝Ll ， N φ ∝2 L l ， L l 为多极子展开极子数， 元素 . 对每一层， 将上式改写为 C1 ∝ 2 （ L l ） 2 O θ O φ ， 其中 ∝ 为正比于符号 . 1. 2 两步局部插值技术 两步局部插值， 将单步插值沿 θ 向和 φ 向 分 别 进 行 插 值 . 首 先， 角 谱 空 间 的 采 样 点 沿 φ 向 增 加， 用矩阵 表示为
（ 16 ）
ν i （ θ） =
解决多层优化问题的方法
解决多层优化问题的方法
解决多层优化问题通常采用嵌套优化或分解协调方法。
嵌套优化中，先固定外层变量求解内层问题，再根据内层最优解更新外层变量，反复迭代直至收敛。
例如在多层决策环境中，可以逐层设定目标函数和约束条件，分步优化。
另一种方法是分解协调策略，如Benders分解或ADMM算法，通过将多层优化问题转化为多个相对独立子问题，分别求解后再进行协调优化，有效降低计算复杂度。
这两种方法均强调层次化、模块化的处理思路，从而有效应对多层优化挑战。
如何进行超级计算任务的算法优化与改进
如何进行超级计算任务的算法优化与改进随着科学技术的不断进步，超级计算机成为各类科学研究、工程模拟和数据分析的关键工具。
然而，超级计算任务的算法优化与改进是提高计算效率和减少计算成本的重要手段之一。
本文将探讨一些关键技术和方法，以帮助优化超级计算任务的算法，提高计算效率与准确性。
1. 算法的并行化在超级计算任务中，算法的并行化是实现高效计算的关键。
通过将计算任务分解为多个子任务，并在多个计算核心上同时进行计算，可以大幅提高计算速度。
在设计超级计算任务算法时，首先需要考虑算法的可并行性，将其拆分成多个独立的子任务。
然后，可以利用并行编程模型，如MPI（消息传递接口）或OpenMP（多线程并行编程）来实现算法的并行化。
通过合理划分和管理计算资源，可以进一步优化算法的执行效率。
2. 任务划分与负载均衡超级计算任务常常需要处理大规模的数据集和复杂的计算模型。
为了提高计算效率，需要将任务划分为合适的子任务，并确保这些子任务之间的负载均衡。
在任务划分时，可以考虑数据的局部性原理，将相关数据划分到同一个子任务中，以减少数据传输量和通信开销。
另外，可以使用自适应负载均衡策略，根据每个子任务的计算量和计算核心的负载情况，动态调整任务的分配，以避免某些核心空闲，而其他核心负载过重的问题。
3. 数据局部性优化超级计算任务通常需要频繁访问大量的数据。
为了减少数据访问延迟和提高数据吞吐量，需要进行数据局部性优化。
可以通过数据预加载、数据复制、数据重排等技术来提高数据局部性。
例如，通过提前将数据加载到高速缓存中，可以减少数据访问的时间。
此外，可以根据计算模型的特点，对数据进行适当的复制，以减少数据之间的依赖关系，进而实现数据局部性的优化。
4. 算法复杂度分析与降低超级计算任务通常要处理大规模的数据和复杂的计算模型，因此算法的复杂度将直接影响计算任务的执行效率和速度。
在设计算法时，应进行复杂度分析，评估算法的时间复杂度和空间复杂度，并寻找降低算法复杂度的方法。
提高算法设计和优化能力的15个方法
提高算法设计和优化能力的15个方法算法设计和优化能力是计算机科学中非常重要的技能，它直接影响到程序的效率和性能。
下面列出了15种提高算法设计和优化能力的方法：1.学习数据结构和算法：学习不同的数据结构和算法，包括栈、队列、链表、树、图、排序算法、搜索算法等。
理解它们的特点和适用场景，能够灵活运用。
2.深入理解复杂度分析：了解时间复杂度和空间复杂度的概念，能够分析算法的时间和空间复杂度。
这将有助于我们比较和评估不同的算法解决方案。
3.理解设计模式：学习常见的设计模式，如工厂模式、单例模式、策略模式等。
掌握设计模式可以提高代码的可读性和可维护性。
4.学习递归和动态规划：递归和动态规划是解决一些复杂问题的重要技巧。
熟悉它们的原理和应用场景，能够将复杂问题分解为简单的子问题，提高代码的效率。
5.优化基本操作：对于一些常见的基本操作，如遍历、查找、插入、删除等，应该熟悉常见的优化技巧，如二分查找、哈希表等。
6.使用合适的数据结构：根据问题的特点选择合适的数据结构。
例如，对于需要频繁插入和删除的操作，可以选择链表；对于需要快速查找的操作，可以选择哈希表。
7.注意空间复杂度：优化算法时，不仅要考虑时间复杂度，还要关注空间复杂度。
尽量减少不必要的内存使用，使用合适的数据结构和算法。
8.提前终止不必要的计算：对于一些计算任务，当满足某些条件时，可以提前终止计算，从而减少不必要的时间和空间开销。
9.缓存计算结果：对于一些需要重复计算的任务，可以使用缓存来存储计算结果，从而减少重复计算，提高效率。
10.分治思想：将复杂问题分解为几个子问题，分别求解后再合并结果。
这种分治思想可以提高代码的复用性和可维护性。
11.并行计算：利用多线程或分布式计算等技术，将计算任务分解为多个子任务并行执行。
这种并行计算可以提高计算速度，提高算法的效率。
12.采用适当的算法思想：根据问题的特性选择合适的算法思想，如贪心算法、回溯算法、分支定界法等。
算法学习中的优化问题与效率提升方法
算法学习中的优化问题与效率提升方法在计算机科学领域中，算法是解决问题的一种方法或步骤。
然而，随着问题规模的增加，算法的效率可能会变得低下。
因此，优化算法以及提升算法效率的方法成为了研究的热点。
本文将探讨算法学习中的优化问题与效率提升方法。
一、算法优化问题的背景算法优化问题是指通过改进算法的设计和实现，以提高算法的性能和效率。
在现实生活中，我们经常面临着需要在有限的时间内解决大规模问题的挑战。
例如，在物流领域中，需要找到最佳路径来优化运输成本；在图像处理中，需要快速准确地识别和分类图像。
这些问题都需要高效的算法来解决。
二、算法优化的方法1. 数据结构的选择在算法设计中，选择合适的数据结构对算法的效率有着重要影响。
不同的数据结构适用于不同类型的问题。
例如，数组适用于随机访问，链表适用于插入和删除操作频繁的情况。
通过选择合适的数据结构，可以减少算法的时间和空间复杂度。
2. 算法复杂度分析算法复杂度是衡量算法效率的重要指标。
通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，可以评估算法的性能。
一般来说，时间复杂度越低，算法执行时间越短；空间复杂度越低，算法所需的内存空间越小。
因此，在算法设计中，要尽量选择时间复杂度和空间复杂度较低的算法。
3. 分治法与动态规划分治法和动态规划是常用的算法设计思想，可以用于解决一些复杂的问题。
分治法将问题分解成若干个子问题，然后逐个解决，最后将结果合并得到最终解。
动态规划则是将问题划分成一系列相互重叠的子问题，通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
4. 剪枝和启发式搜索剪枝和启发式搜索是在搜索问题中常用的优化方法。
剪枝是指通过排除一些无效的搜索分支，减少搜索空间，从而提高搜索效率。
启发式搜索则是利用启发信息来指导搜索过程，以快速找到最优解。
这些方法可以大大减少搜索的时间和空间开销。
5. 并行计算与分布式计算随着计算机硬件的发展，利用并行计算和分布式计算来提高算法效率已经成为可能。
多层快速多极子算法的改进措施
多层快速多极子算法的改进措施
陈晓昕;张红霞;倪维立
【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(012)004
【摘要】提出了对多层快速多极子算法的多项改进措施,其中包括固定尺度分层分组法和含权转移因子计算法,并介绍了对核心数组存储的一些改进措施,以实现在矩矢乘积中降低内存需求、加快计算速度的目的.数值计算结果表明了方法的有效性.【总页数】5页(P342-346)
【作者】陈晓昕;张红霞;倪维立
【作者单位】上海大学,通信与信息工程学院,上海,200072;中国航空工业发展研究中心,北京,100012;上海大学,通信与信息工程学院,上海,200072
【正文语种】中文
【中图分类】TN011
【相关文献】
1.多层快速多极子算法的改进措施 [J], 刘战合;武哲;周钧;高旭
2.基于多层快速多极子算法分析平面多层结构 [J], 丁大志;刘金权;胡云琴;陈如山
3.自适应多层快速多极子算法及其并行算法 [J], 袁军;邱扬;刘其中;郭景丽;谢拥军
4.一种基于矢量有限元与多层快速多极子技术的电磁散射快速并行算法 [J], 袁军;刘其中;郭景丽
5.多层快速多极子算法中修正多极子模式数技术 [J], 温彬;胡俊;聂在平
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算法多样化如何优化
算法多样化如何优化人教版三年级下册《24小时计时法》教学案例宣恩县民族实验小学杨银菊【教学背景】新课标指出：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。
而教材也在计算教学中很多时候会在旁边加一句话：“还有什么方法”、“你喜欢哪一种方法？”让学生发散思维，想出多样化的方法计算，同时在多样化的计算中，体会哪一种方法好。
在平时的课堂教学中，有的教师力求摆脱传统教学思想的束缚，任凭学生自主的发展、只追求算法多样化；有的教师虽然进行了算法最优化的教学，但教学中仍是强制性的，优化的过程被教师的权威和教师的经验剥夺了。
部分学生口算能力差，笔算过程不规范，混合运算不能合理地选择合适的算法，学困生一节课下来一种方法也没学会。
那么算法多样化，如何进行优化？这是困扰我们一线教师一个长期的问题。
基于此，我试着对求经过时间的算法进行了教学探讨。
【课堂写真】课一开始时，我设计了同学们最感兴趣的动画片的教学情景，引导学生探讨《喜羊羊与灰太狼》这部片子播放多长的时间。
独立计算，大约过了两分钟后，有同学说出了结果。
师：14:25到17:46经过了3时21分，你是怎么知道的呢？谁愿意说一说？生1：我是看钟面边拨边数的。
师：你是怎么数的？说得更具体些。
生1：从14:25拨到15:25，接着拨到16:25，最后到了17:25，，还差21分，总共是3圈又21分，也就是3时21分。
师：和他一样是看着钟面数出来的请举手？（有4个同学举手）还有不同的方法吗？生2：我也是数一数的，不是看钟面的，而是数14时25分到15时25分，是1时，（他举起一个手指）再到16时25分是2时，（他举起两个手指）再到17时25分，是3时，（他举起三个手指）再加上21分就是3时21分。
师：有多少个同学是这样数一数数出来的？（有2个同学）师：（故作惊讶）你们为什么不用这个方法？生3：这个方法太幼稚了。
一种多层快速多极子的高效并行方案
一种多层快速多极子的高效并行方案
潘小敏;盛新庆
【期刊名称】《电子学报》
【年(卷),期】2007(035)003
【摘要】基于多层快速多极子中不同层间数据分布和计算时间不同的特点,提出一种按不同方式并行处理不同层平面波和转移矩阵的高效并行方案.从理论分析和数值试验出发,给出了在不同层间高效使用不同并行方式的原则及具体公式.在北京理工大学信息科学技术学院电磁仿真中心的高性能计算机集群上成功计算了直径为144个波长、超过1000万未知数模拟的金属球散射;与美国伊利诺伊大学计算电磁中心的报道进行了比较,展示了本方案的高效精确.还计算了飞机模型的散射,显示本方案对电大复杂目标散射问题的求解能力.
【总页数】5页(P567-571)
【作者】潘小敏;盛新庆
【作者单位】北京理工大学信息科学技术学院电磁仿真中心,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电磁仿真中心,北京,100081
【正文语种】中文
【中图分类】O441
【相关文献】
1.电大均匀介质目标三维散射的并行多层快速多极子计算 [J], 邸瀚漪;杨明林;盛新庆
2.一种高性能并行多层快速多极子算法 [J], 潘小敏;盛新庆
3.一种基于矢量有限元与多层快速多极子技术的电磁散射快速并行算法 [J], 袁军;刘其中;郭景丽
4.分析电大尺寸目标电磁散射的高效途径——并行快速多极子、射线多极子结合相位基函数法 [J], 徐晓伟
5.基于共享内存的高效OpenMP并行多层快速多极子算法 [J], 潘小敏;皮维超;盛新庆
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(1 - α )^ k× ( 6)
k
ej kR
R
=
π 4 i
inc ^ t ・E ( r) , r ∈ S η k
式中 :^ t 为散射体表面任意单位切向量 ; 表面电流 ) 是未知量 ; Einc ( r) 为含已知入射电场的 密度 J ( r′ 激励项 。 表面磁场积分方程 ( M FIE) 为 πJ ( r) - ^ ) J ( r′ ) = 2 n × × d S′ g ( r , r′ π^ 4 n × H ( r)
CFIE = α EFIE +
i ( ) M FIE 1 -α k ( 3)
α为加权因子 , 根据实际情况可选择 0 ～ 1 式中 : 之间的任何数 。 在进行精确的几何建模后 , 用平面三角形网 格进行 模拟 , 三角 形边 长为 入射 波长 的 1/ 5 ～
1/ 10 , 用基于三角形面元的 RW G 基函数 [ 6 ] 和伽
L = kD max + 11 8 ( d0 )
α 式中 : mn 为转移因子 ; GN 代表来自该组的近区组 的贡献 ; GF 代 表 来 自 该 组 的 远 区 组 的 贡 献 ;
V sni ( ^ k) , Vfmj ( ^ k) 分别为聚合因子 、 解聚因子 。具体
1 混合场积分方程 ( CFIE)
通常情况下飞行器可以视为金属散射体 , 所 以仅研究均匀介质区域的表面积分方程 , 设介质 常数为ε和μ, 基于矩量法的三维闭合导体目标 矢量散射的表面电场积分方程 ( EFIE) 为 1 ) + 2 ′ ) ・J ( r′ ^ t ・ d S′ J ( r′ .
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第5期
刘战合等 :多层快速多极子算法的改进措施
1181
快速多极子算法 , 采用伽辽金匹配时稀疏矩阵对 称性 ,可将其存储内存降低将近一半 ; 计算时迭代 初始值用磁场积分方程 ( M FIE) 求解 。
摘 要 : 为精确求解散射问题 ,采用混合场积分方程 ( CFIE) 、 多层快速多极子算法 ( ML FMA ) 和共轭梯度算 法 (C G) 的收敛技术 。基于传统多层快速多级子算法 ,详细研究了二维拉格朗日插值节点数对计算精度的影 响 ,并改进了插值方法 ,在不同的层采用不同的插值节点数 ; 提出了在不同的层采用不同的精度控制来计算多 级子模式数 ; 分析了稀疏矩阵的对称性对内存使用的影响以及磁场积分方程对迭代初始值的选择 。数值计算 结果表明以上改进可较大幅度地提高计算精度和计算效率 ,同时降低内存使用 ,可满足复杂目标电磁散射计 算要求 。 关键词 : 电磁散射 ; 多层快速多极子算法 ; 拉格朗日插值 ; 模式数 ; 雷达散射截面 中图分类号 : V218 文献标识码 : A
inc inc
∫
S
式中 : ^ n 为散射体表面单位法向矢量 ; H ( r) 为已 | ) = ej k| r - r′ 知入射磁场激励项 ; g ( r , r′ / | r - r′ |为 标量格林函数 。 混和场积分方程是电场积分方程和磁场积分 方程的线性组合[ 9 ] , 可以用来加快收敛并能有效 地解决处于内谐振频率时的稳定性和收敛性问 题 。其表达式可写为
S
表达为
V smi ( ^ k) =
d s′ e ∫
S
ik・ rin
[I - ^ k^ k ] f f ( r in )
j jm
( 5)
Vfmj ( ^ k) = α ds e
S
∫ [ I - ^k^k ] t ( r ) d se t ( r ) ×^ n ∫
ik・ r jm ik・ r jm
S j jm L l =0
收稿日期 :2007208221 ; 修订日期 :2007212229 基金项目 : 国家 “973” 基础研究 (61320) 通讯作者 : 刘战合 nwp ulzh @163. co m
展 ,飞行器 RCS 数值模拟取得了很大进步 , 多层 快速多极子算法 ( ML FMA ) [ 7 ] 使矩量法应用于高 频电磁散射成为可能 。基于多层快速多极子算 法 ,电子科技大学聂在平 [ 8 ] 等开发了三维矢量电 磁散射分析的数值程序 ; 美国 Illinois 大学教授 Chew [ 7 ] 与 Demaco 公司开发出了 FISC ( Fast Illi2
刘战合 , 武哲 , 周钧 , 高旭
( 北京航空航天大学 航空科学与工程学院 , 北京 100191)
Improving Multilevel Fast Multipole Algorithm
Liu Zhanhe , Wu Zhe , Zho u J un , Gao Xu
( School of Aeronautic Science and Engineering , Beijing U niversity of Aeronautics and Ast ro nautics , Beijing 100191 , China)
nois Solver Code ) 软 件 , 该 软 件 成 功 求 解 了 V F Y218 飞机模型在入射波频率为 8 GHz 下的
双站雷达散射截面 ,未知量达到百万量级 。 为分析隐身飞行器的电磁散射特性 , 提高计 算精度 ,文中根据多层快速多极子算法在上行和 下行过程中内插和外插的特点 , 针对不同的层选 取不同的插值节点数 ; 改进了传统方法中求解多 极子模式数的方法 ; 对基于 RW G 基函数的多层
N i =1
∑Z a
ji n ∈GF
i
=
n ∈GN i ∈Gn
∑ ∑Z a
ji பைடு நூலகம் ∈Gn
i
+
ik 2 d ^ kVfnj ( ^ k) ・ π 4
∫
α ∑
mn
(^ rmn ^ k)
V ∑
sni
(^ k) ai , j ∈ Gm
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Abstract : To gain a p recise radar cro ss sectio n ( RCS) scattering f rom t hree2dimensio nal object s efficiently and stably , t he convergence algorit hm is adopted which integrates conjugate grads ( C G) algorit hm co mbined field integral equatio n (CFIE) and multilevel fast multipole algorit hm ( ML FMA) . Based on t raditio nal ML FMA , t he effect on calculation p recision caused by node number used in t he two2dimensional Lagrange interpolation is investigated in detail , and interpolation met hod is imp roved which choo ses different node number at different levels. This article p resent s a met hod t hat adopted different p recisio n cont rol at different levels for t runcatio n number calculation. The impact of symmet ry of sparse mat rix o n t he memory used in calculatio n is analyzed , and t he selectio n of iterative initial value for magnetic field integral equation ( MFIE) is discussed. The imp rovement s can enhance t he p recisio n and efficiency of calculation notably and reduce memo ry , as illust rated by t he numerical result s. They can meet t he algorit hm requirement s of elect romagnetic scattering fo r complex t hree2dimensio nal target s. Key words : elect ro magnetic scattering ; multilevel fast multipole algorit hm ( ML FMA ) ; Lagrange interpolation ; t runcation number ; radar cro ss sectio n ( RCS)
辽金匹配将混合积分方程转化为线性代数方程 组 , 采用多层快速多极子算法进行求解 。
2 多层快速多极子算法基本原理
三维散射问题的快速多极子算法 ( Fast Mul2 tipole Met hod , FMM ) 的数学基础主要是利用球 面波的加法定理对积分方程中的格林函数进行处 理 。可将表面积分方程转化为 [ 9 ]
目前 , 飞行器 、 舰艇的雷达散射截面 ( Radar Cro ss Sectio n ,RCS) 计算主要采用高频方法 ( 几 何光学法 、 物理光学法 、 几何绕射理论 、 物理绕射 理论等) ,其优点主要体现在计算时间和所需内存 相对较少 ,但不能精确模拟计算目标的表面电流 , 因此不能用来求解复杂的散射目标 , 如飞行器表 面结构的缝隙[ 122 ] 、 台阶[ 325 ] 等不连续特征 。基于 表面积分方程的矩量法 ( Met hod of Mo ment s , MOM ) [ 6 ] 虽然 计算 精度 高 , 但受 所需内 存的 限 制 ,长期以来不能应用于电大散射体求解 ; 20 世 纪 90 年代以来 , 随着计算电磁学和计算机的发