06_1 FEKO多层快速多极子技术MLFMM
FEKO使用指南FEKO
一、 FEKO软件简介FEKO是德语FEldberechnung bei Korpern mit beliebiger Oberflache的缩写，意思是任意复杂电磁场计算，适用于复杂形状三维物体的电磁场分析。
FEKO是一款用于3D结构电磁场分析的仿真工具。
它提供多种核心算法，矩量法（MoM）、多层快速多极子方法（MLFMM）、物理光学法（PO）、一致性绕射理论（UTD）、有限元（FEM）、平面多层介质的格林函数，以及它们的混合算法来高效处理各类不同的问题。
FEKO界面主要有三个组成部分：CADFEKO、EDITFEKO、POSTFEKO。
CADFEKO用于建立几何模型和网格剖分。
文件编辑器EDITFEKO用来设置求解参数，还可以用命令定义几何模型，形成一个以*.pre为后缀的文件。
前处理器/剖分器POSTFEKO用来处理*.pre为后缀的文件，并生成*.fek文件，即FEKO实际计算的代码；它还可以用于在求解前显示FEKO的几何模型、激励源、所定义的近场点分布情况以及求解后得到的场值和电流。
FEKO主要有以下典型应用：天线设计：线天线、喇叭和口径天线、反射面天线、微带天线、相控阵天线、螺旋天线、等等；天线布局：实际上，天线总是装在一个结构上的，这会改变天线的“自由空间”辐射性能；EMC/EMI分析：由于MoM中仅仅需要离散电流流过的表面，FEKO非常适合各种类型的EMC仿真；平面微带天线：FEKO采用全波方法分析微带天线，可以精确获得耦合、近场、远场、辐射方向图、电流分布、阻抗等参数；电缆系统：FEKO与CableMod结合起来，可以非常高效地处理系统中的负责电缆束的耦合以及电缆与天线的耦合问题；SAR计算：不同介质参数区域内的场值可以计算出来。
然后这些场值被用于计算规范吸收比（SAR）；雷达散射截面（RCS）计算：对于大型目标、地面目标等的RCS雷达散射截面（目标识别）计算也通常是电大尺寸问题，同样，FEKO的混合高频算法对这类问题也有很好的计算效果。
FEKO中文手册第五章
5 在CADFEKO中定义求解配置。
利用CADFEKO 2,我们可以建立模型并且得到其在CADFEKO中的完全解。
对于高级用户而言，EDITFIKO 提供了关于求解的更多控制（见5.12节）。
但是，需要注意的是，我们不能在CADFEKO和EDITFEKO中同时控制求解。
一旦*.pre文件在CADFEKO之外定义或编辑，那么在CADFEKO中的求解配置选项就不能再使用了。
通过选择主菜单中Solution →Enable solution configuration，可以重新使用CADFEKO设置，只是在*.pre文件中的用户设置将会被忽略。
5.1使用绝缘耗散媒质在模型中，须要在使用媒质之前定义它们。
模型中的绝缘体由在相应几何体区域中设置Dielectric媒质来确定。
传导损耗是由传导表面是用户定义的金属媒质构成造成的。
表面覆盖层和薄的绝缘层由用户定义的Layered dielectrics在模型表面确定。
Layered dielectrics是由多个单一绝缘层构成的。
在某些情况下我们只知道表面的平均表面阻抗，这时表面可以被看作是一个阻抗层（Impedance sheet）。
用户定义的媒质列举在目录树的Media下。
每种类型都被单独列出来，只是须要使得媒质名称是全局唯一的并且不超过43个字符。
每个选项旁边的颜色标志表明了使用哪种颜色来表示在3D视图和明细树形结构中的媒质（见3.4.2节）。
我们可以通过每种媒质的弹出菜单中Change display color项来修改颜色设置。
（选择的颜色设置保存在*.cfs 文件中）前三个选项分别是良电导体，良磁导体（目前只在设置导磁地平面时使用）和自由空间。
自由空间不能编辑也不能删除。
虽然单一阻抗层严格来说不能看作是一种介质，但是用户定义的阻抗层也在树形结构的Media项下列举了出来。
这时可以像其他介质那样定义、应用和显示阻抗层。
绝缘介质可以在树形结构中重命名，也可以在其相应的属性对话框中修改。
丁 桥_基于FEKO的卡塞格伦天线仿真设计
Key words: FEKO，cassegrain antenna，MLFMM，PO-MoM
1 引言
反射面天线具有高增益、 低旁瓣的方向图特性， 且易被设计成各种波束形状而广泛应用 于高分辨率雷达和远距离智能探测系统中。 卡塞格伦天线是双反射面天线的一种， 不仅具有 单反射面天线结构简单、设计灵活的优点，还具有后馈式纵向尺寸小、口径效率高、可进行 多波束设计等优势，而被广泛应用于雷达智能探测系统中[1]。 反射面天线属于电大尺寸天线，无法用矩量法对电大尺寸的反射面天线进行全波计算。 分析和计算反射面天线，主要使用几何光学（GO）、几何绕射理论（GTD）、物理光学法 （PO）、物理绕射理论（PTD）等高频电磁计算方法。FEKO 软件提供了以下三种方法解 决电大物体的计算问题：
图 6 PO-MoM 算法得到的天线增益方向图
图 7 两次计算的卡塞格伦天线增益方向图
由图 6， 采 用 PO-MoM 算法得到的天线增益比图 5 略小， 但是依然满足大于 30 的要求。
-5-
Altair 2014 技术大会论文集
下面给出两者的计算时间及内存需求，如表 2 所示。 由图 7 可知，两种方法在副瓣上略有区别，但变化的趋势基本保持一致。可见在卡塞格 伦天线设计中，可选用这两种方法进行仿真分析。但如表 2 所示，在此次设计中，MLFMM 方法无论是从内存需求，还是从计算时间上来看，都要略优于 PO-MoM 方法。 表 2 MLFMM 和 PO-MoM 方法计算对比 方法 计算时间 内存需求量 MLFMM 0.677h 832.6MB PO-MoM 1.742h 1.16GB
Based on this, the text designed a cassegrain antenna which belong to electric large; and then calculated its gain pattern using MLFMM method and hybrid method of PO and MoM. Both results showed the design is suitable. On the other hand, we compared the calculation time assumption and peak memory requirement between two methods.
FEKO7.0各类求解器的介绍
FEKO各类求解器的介绍FEKO中的求救器有矩量比（MOM八多层快速多圾子方法（MLFMM人杨理光学法（POJ. 一致性统射理怡（UTD人有限元（FEM丿等计算方法，FEKO SUite 7.0&其原有算法基础上，新增肘城有限差分（FQg求解器，同肘增加了多层快速多圾子（MLFMM）与杨理光竽（PO）的混合算法。
1.矩量法矩量冻是一种基于积分方程的严格的数值方空，其赫度主要取决于目标儿何建栈新度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将儿何n标剖分富散，雀其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得列几何目标上的电流分布，从而其它近迄场信息可从该电浇分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电该散射问題为例，简要介绍矩量法的一般方出。
由麦丸斯维方程纽和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFlEJ 如下：(jcvA+ VΨ)tnn = E霊,T On S.(1)其中，A为矢量该伐，¥为标量电住，在达形式分别如下:_ -Λ∣∕r-^∣初诃0)⑵田㈢=丄∫σ(r ) r^l--√∕5£()Js 4^lr-r I定义基函数糸J n ,将电流展开为j ≈∑I ll J n⑷π-l 其中人为匀第"个基函IUfI 关的的电流展开糸数。
为了将积分方程富我成为 矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数和同的函数糸刃作为权函数，哀 示Λ g •对式(3-1)求积得j3 <Λ,J m > + < VΨ, J m >=< E inC , J m > ⑸(3-4)代入式(45),得列包令N 个未知量的N 个线性方程，可以写成I2a jl∕ J = I V ；］其中，［Z mπ］^jN×N 的矩阵，［人］和［匕：］均为NXI 的向量，［人］为电流糸妳 ［V ； ］ 7⅛激励向量，N 为未知量数目。
FEKO并行求解经验技巧
1
FEKO并行简介
2
矩量法（MoM）并行
3 多层快速多极子算法（MLFMM）并行
4
PO & UTD 并行
FEKO并行模块
矩量法（MoM） 多层快速多极子算法（MLFMM）
高频方法（PO & UTD）
FEKO 并行计算
FEKO支持的平台
FEKO 并行平台
Байду номын сангаас
硬件平台
• Intel • AMD • 32/64bit • 共享内存系统 • 分布式内存系统
MPICH and MPICH-2 (如 Windows, 同样适合SUN和Linux) ScaMPI from Scali (支持一致性可扩展网卡接口的第一个MPI实现) HP-MPI NEC MPI SGI MPT (e.g. for Altix with NumaFlex technology) CRAY MPT SCore GM Parastation MPI Intel MPI
软件平台
• 各种操作系统如MS Windows, Unix/Linux， HP-UX等
•各种主流MPI通信库实 现版本，如MPICH， MPT，LAMMPI， HPMPI等
FEKO采用的通信库
❖ 分布式并行环境编程标准——MPI
❖ 通过远程过程调用（RPC）实现并行，消息传递实现 通信
❖ FEKO支持的MPI实现有
4
• 随着问题规模增大，单机内存 和计算能力已不能处理电大问题， 此时需要并行求解
矩量法的基本步骤
预处理
矩阵填充
方程求解
后处理
❖ 考察矩量法运行并过行程关中的键时间分配
SUMMARY OF REQUIRED TIMES IN SECONDS
FEKO教案设计模版
FEKO 1一、简介FEKO 是美国EMSS 公司推出的一款针对天线设计、天线布局与电磁兼容性分析的专业电磁场分析软件。
FEKO 是以矩量法〔MOM〕为根底，承受多层快速多极子算法〔MLFMM〕，并与物理光学法〔PO〕、全都性绕射理论〔UTD〕等高频电磁分析方法相结合，在保证计算精度的同时，大大提高了计算速度，可以分析电大尺寸构造的电磁辐射、散射、EMC 等确定性问题。
FEKO 特点：具有多种算法可供选择，比方求解电小构造的天线，FEKO 可以承受完全的矩量法进展分析；对于具有电小与电大尺寸混合构造，既可以承受多层快速多极子，也可以承受混合算法——承受矩量法分析电小构造局部，而用高频方法分析电大构造局部。
菜单工具工具按 钮绘图窗口工程树窗口 细节窗口消息窗口FEKO 软件的界面包括 CADFEKO 、EDITFEKO 、POSTFEKO ， 软件模块包括 PREFEKO 、FEKO 、OPTFEK 和 OTIMEFEKO 。
CADFEKO 主要用于创立几何模型，进展网格划分以及进展求解设置。
本课程中，重点对 CADFEKO 建立模型和网格，并在 POSTFEKO 中输出可视化结果的过程进展学习。
更多其他模块的使用方法请参考用户使用手册。
二、操作界面CADFEKO 的用户界面包括工具条、建模窗口、工程树、快捷工具、细节窗口和消息窗口。
cfx boffekcfs outCADFEKORUNFEKOPOSTFEKO建工程和设计结果可视化与输出增加分析和综合根本建模与求解参数设置添加鼓舞与求解项模型构造输出偏好设置建模变量设置GUI接口三、建仿照真过程1、建立工程文件和保存在CADFEKO 中建和保存后生成*.cfx 文件〔原始模型文件，包括几何模型、网格、求解设置、优化设置〕，*.cfm 文件〔保存网格数据〕和*.pre 文件〔PREFEKO 输入文件〕。
运行PREFEKO 又会生成*.fek 文件〔求解模型信息〕。
FEKO7.0各类求解器的介绍分析
FEKO 各类求解器的介绍FEKO 中的求救器有矩量法（MOM ）、多层快速多极子方法（MLFMM ）、物理光学法（PO ）、一致性绕射理论（UTD ）、有限元（FEM ）等计算方法，FEKO Suite 7.0在其原有算法基础上，新增时域有限差分(FDTD )求解器，同时增加了多层快速多极子(MLFMM)与物理光学(PO)的混合算法。
1.矩量法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。
由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE ）如下：tan tan (), on .inc j A E r S w +裏=v v v(1)其中，A为矢量磁位， 为标量电位，表达形式分别如下：''||'0||4)()('ds r r e r J r A r r jk S (2)''||'||4)(1)('ds r r er r r r jk S(3)定义基函数系列n J ，将电流展开为N n n n J I J 1(4)其中n I 为与第n 个基函数相关的的电流展开系数。
为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g，对式(3-1)求内积得m inc m m J E J J A j ,,,(5)将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含N 个未知量的N 个线性方程，可以写成][]][[em n mn V I Z(6)其中，][mn Z 为N N 的矩阵，][n I 和][emV 均为1 N 的向量，][n I 为电流系数，][emV 为激励向量，N 为未知量数目。
feko软件介绍
目录1概述2求解技术3主要应用4流程模块1. 4.1CADFEKO2. 4.2EDITFEKO3. 4.3POSTFEKO5技术特点1. 5.1FEKO针对电大尺寸电磁问题2. 5.2多层快速多极子3. 5.3高效并行技术4. 5.4单站RCS快速收敛技术5.6.7.8.9.10.1概述EMSS公司旗下的FEKO软件是一款强大的三维全波电磁仿真软件。
EMSS公司成立于上个世纪的九十年代初期，在创始人Gronum Smith博士领导下，将80年代盛行的数值方法矩量法（MOM）成功引入到FEKO，在此基础上又引入了多层快速多极子（MLFMM）[1]，FEKO是世界上第一个把该方法推向市场的商业软件。
该方法使得精确分析电大问题成为可能。
FEKO支持有限元方法（FEM），并且将MLFMM与FEM混合求解，MLFMM+FEM混合算法可求解含高度非均匀介质电大尺寸问题。
特别适合结构之间通过自由空间耦合的问题，MLFMM区域（例如辐射区域）和FEM区域（例如介质区域）之间的空间并不需要划分网格，这使得矩阵规模很小，因此需要的计算资源很少；FEKO采用基于高阶基函数(HOBF)的矩量法，支持采用大尺寸三角形单元来精确计算模型的电流分布，在保证精度的同时减少所需要的内存，缩短计算时间；FEKO还包含丰富的高频计算方法，如物理光学法(PO)，大面元物理光学(Large element PO)，几何光学法(GO)，一致性几何绕射理论(UTD)等，能够利用较少的资源快速求解超电大尺寸问题。
基于强大的求解器，FEKO软件在电磁仿真分析领域尤其是电大尺寸问题的分析方面优势突出，成为电磁仿真领域的领军产品。
2求解技术3主要应用1、天线分析2、共形天线设计3、阵列天线设计、4、天线罩分析设计5、多天线布局分析6、RCS隐身分析[2]7、生物电磁-SAR8、复杂线缆束EMC9、微波电路和射频器件l0、系统的EMC（电磁兼容）。
4流程模块CADFEKO1、强大的模型建立、导入和模型修复功能，提供各种常见CAD模型的导入接口：Unigraphics；Catia、Pro Engineer、Parasolid、IGES、ACIS等；2、可以导入复杂的CAE网格模型如：FEMAP、Nastran、Ansys、Patran、STL、Abaqus 等；3、介质材料、金属材料、多层薄层介质、阻抗层、支持频变材料等4、全面的馈电端口：波导端口(同轴端口、矩形波导、圆波导)、微带、线端口、棱边馈电端口、FEM模式馈电端口等，准确计算端口参数；5、计算方法（MoM、高阶MoM、MLFMM、FEM、GO、PO、LE_PO及UTD等）的设定；6、集成了丰富的优化算法，如单纯形法、遗传算法、粒子群算法以及网格快速搜索法等，可方便实现多参数、多目标优化；7、计算参数（近场、远场、电流、S参数及SAR分析等）的图形化设定。
FEKO并行求解经验技巧
延迟 1580 µs
6.7 µs 4.9 µs 1654 µs 772 µs 6.2 µs 0.64 µs 1620 µs 2.3 µs 1.5 µs 0.44 µs
带宽 11 MByte/s 112 MByte/s 116 MByte/s 198 MByte/s 227 MByte/s 231 MByte/s 369 MByte/s 437 MByte/s 561 MByte/s 732 MByte/s 1894 MByte/s
线性方程组求解
❖ 有多种方法
直接求解，如LU分解、高斯消元法等 迭代求解，如CG，BiCGSTAB等
❖ 对于直接求解方法
可以将问题分解为按行或按列的任务元，每个进 程负责若干任务元
直接按行或按列的分解方式可扩展性不好，可以 采用流水线算法实现计算与通信的重叠，提高并 行效率
矩矢相乘并行算法（按行）
主要内容
1
FEKO并行简介
2
矩量法（MoM）并行
3 多层快速多极子算法（MLFMM）并行
4
PO & UTD 并行
FEKO并行模块
矩量法（MoM） 多层快速多极子算法（MLFMM）
高频方法（PO & UTD）
FEKO 并行计算
FEKO支持的平台
FEKO 并行平台
硬件平台
• Intel • AMD • 32/64bit • 共享内存系统 • 分布式内存系统
4
• 随着问题规模增大，单机内存 和计算能力已不能处理电大问题， 此时需要并行求解
矩量法的基本步骤
预处理
矩阵填充
方程求解
后处理
❖ 考察矩量法运行并过行程关中的键时间分配
SUMMARY OF REQUIRED TIMES IN SECONDS
FEKO在太赫兹天线和成像仿真中的应用
（1）给定成像空间分辨率 ，根据文献[5]计算 2 / 0.83 ； （2）根据成像距离和结构要求给定 r1 和 r2 ，由高斯理论计算 1 、 f1 、 f 2 和 ； （3）根据 1 设计高斯双模喇叭，收发双模喇叭完全相同，模型如图 3 所示。 表 1 给出了设计完成的太赫兹 SAR 天线参数值，图 4 给出了运用 FEKO 软件的 MLFMM 算法仿真计算的 双模喇叭在 0.2THz 时的远场幅度方向图。 根据方向图曲线， 计算可得双模喇叭在 0.2THz 时等效高斯束腰约为 1.66mm。
-1-
Altair 2015 技术大会论文集
2 FEKO 软件简介
FEKO 软件的核心算法是矩量法（MOM），不同于有限元法（FEM）和时域有限差分法（FDTD），MOM 法是基于严格的频域积分方程方法，无需进行模型的三维空间网格剖分，且无需建立吸收边界条件，这使得 FEKO 在建模计算方面相对比较简便。由于计算资源的限制，MOM 适用于非电大尺寸结构的全波求解。而对 于电大尺寸结构的仿真，FEKO 软件通过引入 GO、PO、UTD 等高频算法可以很好的解决。 针对非电大和电大尺寸混合结构求解的电磁仿真问题，FEKO 软件通过引入高低频混合法（MOM/PO、 MOM/GO、MOM/UTD）、多层快速多极子算法（MLFMM）、口面场激励结合高频电磁算法等可进行解决。 （1）高低频混合法：突破了单一数值计算方法难以解决诸如喇叭激励大型反射面等非电大尺寸结构与电 大尺寸结构共存电磁问题的局限。对于非电大尺寸结构，可以采用精确的全波 MOM 算法，而对于电大尺寸结 构可选用 GO、PO 等算法。 （2）MLFMM：MLFMM 算法源自 MOM，其采用分组逐层计算单元间的相互作用，加速迭代过程中的矩 阵和向量相乘，从而实现快速计算。采用 MLFMM 算法可以极大减少对内存的需求，同时计算速度得到明显提 高，使得一些电大尺寸物体的电磁问题能够得以精确求解。 （3）口面场激励结合高频电磁算法：诸如波束波导馈电反射面天线或透镜等复杂结构，可采用 MLFMM 或 PO 计算每一级反射面的辐射口面场分布，并用口面场馈电下一级反射面或透镜从而完成问题的求解。
06_2,FEKO电磁仿真数值方法
L ( f n ), W m g , W m
© 2008 PERA Global
区域的离散化
利用算子线性和内积的性质，得到需要的矩阵方程：
a
n 1 N n
L ( f n ), W m g , W m
( m 1, 2, ..., N )
写成矩阵形式
l m n a n g m
( m 1, 2, ..., N )
a1 a a n 2 a N
L f1 , W 1 L f1 , W 2 lm n L f1 , W N
电场积分方程（EFIE）
E ZL (J ) t 0
i
由于是根据电场边界条件建立的，被称 为电场积分方程
算子L为
1 L ( X ) jk X 2 X G d k
磁场积分方程
J n K (J ) n H
?代入磁场积分方程并按伽略金法选择试函数1jsniiijg?tetepjb????teijijsteiiispzglgdsbgeds?????ththpjb????thijijjsthiiispggnkgdsbgnhds??????????2008peraglobal离散积分方程及性态分析?源于电场积分方程是第一类弗雷德霍姆积分方程?源于磁场积分方程是第二类弗雷德霍姆积分方程?比具有好得多的条件数?如果采用迭代方法求解最终离散方程求解离散磁场积分方程的如果采用迭代方法求解最终离散方程求解离散磁场积分方程的收敛速度要快的多tep????thp????thp????tep?????2008peraglobalfeko中的混合积分方程?对闭合的理想导体通过efie和mfie线性组合可以得到cfie混合场积分方程?系数可以在0至1之间选择当系数为1的时就是efie05时就是cfie?feko中同时提供了混合cfieefie技术1efiemfie?cfieefie?2008peraglobal矩量法mom?离散积分方程数学表达形式的离散化方法?矩量法的四要点
FEKO算法设置及其总结
. 求解设置FEKO默认的求解方法是矩量法（MOM），另外还有多层快速多极子方法（MLFMM）、物理光学法（PO）、一致性绕射理论（UTD）、有限元（FEM）等计算方法。
通过选择主菜单solution 中的solution settings或者在树形结构中右键solution选择solution settings来设置数据存储精度和计算方法，若需要用矩量法进行计算，则不需要设置算法。
精度以及各种方法的选择界面分别见图2-10、2-11、2-12、2-13。
在数据存储精度的选择上，一般来说选用单精度即可，除非FEKO的内核给出警告要求转换为双精度。
如果选择了Store/re-use solution，FEKO会保存求解参数。
如果模型没有改变，这些系数可以被用于计算不同的结果（近场、远场等）而不用再重新计算这些参数。
对于小模型，这些参数一般不需要。
对于大模型，保存这些参数可以节省很对计算时间，但是同时也长生了很大的*.str文件。
首要的选择取决于在同一个模型中需要计算不同结果的频繁程度。
图2-10 数据存储精度对话框图2-11多层快速多极子算法设置对话框图2-12有限元算法设置对话框图2-13高频算法设置对话框用MLFMM标签可以激活多层快速而多极子并进行必要的设置。
MLFMM能够比MOM 更快地解决复杂的、高频的问题。
只有当MLFMM得标签被激活时，这个标签的的参数才是激活的。
MLFMM基于分层的数组算法，并且FEKO自动确定每个模型的理想层数。
如果模型不集中，可以通过手动组更改Box size in wavelengths时期集中。
建议使用0.23的起始点，并且值要求不小于这个值。
在Advanced solver settings中可以设置迭代次数、迭代精度和预处理器。
FEKO的MLFMM提供了两种预处理器，即SPAI和ILU。
注意这些参数的设置不管是在精确度上还是在解决的时间上都会产生明显得结果，对MLFMM不是很了解的最好使用默认设置。
FEKO使用指南FEKO
一、 FEKO软件简介FEKO是德语FEldberechnung bei Korpern mit beliebiger Oberflache的缩写，意思是任意复杂电磁场计算，适用于复杂形状三维物体的电磁场分析。
FEKO是一款用于3D结构电磁场分析的仿真工具。
它提供多种核心算法，矩量法（MoM）、多层快速多极子方法（MLFMM）、物理光学法（PO）、一致性绕射理论（UTD）、有限元（FEM）、平面多层介质的格林函数，以及它们的混合算法来高效处理各类不同的问题。
FEKO界面主要有三个组成部分：CADFEKO、EDITFEKO、POSTFEKO。
CADFEKO用于建立几何模型和网格剖分。
文件编辑器EDITFEKO用来设置求解参数，还可以用命令定义几何模型，形成一个以*.pre为后缀的文件。
前处理器/剖分器POSTFEKO用来处理*.pre为后缀的文件，并生成*.fek文件，即FEKO实际计算的代码；它还可以用于在求解前显示FEKO的几何模型、激励源、所定义的近场点分布情况以及求解后得到的场值和电流。
FEKO主要有以下典型应用：天线设计：线天线、喇叭和口径天线、反射面天线、微带天线、相控阵天线、螺旋天线、等等；天线布局：实际上，天线总是装在一个结构上的，这会改变天线的“自由空间”辐射性能；EMC/EMI分析：由于MoM中仅仅需要离散电流流过的表面，FEKO非常适合各种类型的EMC仿真；平面微带天线：FEKO采用全波方法分析微带天线，可以精确获得耦合、近场、远场、辐射方向图、电流分布、阻抗等参数；电缆系统：FEKO与CableMod结合起来，可以非常高效地处理系统中的负责电缆束的耦合以及电缆与天线的耦合问题；SAR计算：不同介质参数区域内的场值可以计算出来。
然后这些场值被用于计算规范吸收比（SAR）；雷达散射截面（RCS）计算：对于大型目标、地面目标等的RCS雷达散射截面（目标识别）计算也通常是电大尺寸问题，同样，FEKO的混合高频算法对这类问题也有很好的计算效果。
电磁散射问题的快速计算
vm S fm (r) Ei (r) (1 )n Hi (r) dS, m Tm. 14
球面的网格剖分相对简单
球面导体存在解析解，可 验证算法和程序的正确性
球面的三角网格剖分
RWG矢量基函数
rn
15
奇异积分
数值积分
f (r)dS
T
w n
i1 i
f
(ri ),
n 1, 4, 7
开用于求解无源不可压流的高阶边界元；
12
电磁场积分方程
EFIE MFIE
t L(J) t Ei (r) , r S,
L(J) jk I / k2 g(r,r') J(r')dS '; S
t J(r) / 2 t n K(J) t n Hi (r) ,
K(J) J(r')g(r,r')dS ' ;
CFIE
S
CFIE EFIE (1)MFIE
Green函数 g(r, r ') e jk|r-r '| / 4 | r - r ' |
13
矩量法（MOM）
N
RWG矢量基函数 J(r) ji fi (r), N # edges.
i 1
fi (r)
lliiρρii
(r) (r)
/ /
4
并行迭代方法
[Zij] [Ij]
向量运算(BLAS-1)
向量运算的并行
矩阵-向量乘积(BLAS-2)
结构矩阵对角化 (FFT) 稠密矩阵稀疏化 (FMM, 小波变换)
矩阵-向量乘积的并行
传统: 矩阵分块、区域分解 MLFMM: 树结构并行划分
提高并行效率
高效预条件子 (块对角、稀疏近似逆) 重排运算次序，让计算与通信的重叠 计算任务的划分尽可能保证负载平衡
FEKO算法描述MoM和MLFMM
FEKO 算法描述（MoM 和MLFMM ） 矩量法（MoM ）1、矩量法的一般方法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。
其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。
下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。
由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE ）如下：tan tan (), on .inc j A E r S (1)其中，A 为矢量磁位，ψ为标量电位，表达形式分别如下： ''||'0||4)()('ds r r e r J r A r r jk S -=--⎰πμ (2) ''||'0||4)(1)('ds r r e r r r r jk S -=ψ--⎰πσε (3)定义基函数系列n J ，将电流展开为∑=≈N n n n J I J 1(4)其中n I 为与第n 个基函数相关的的电流展开系数。
为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g ，对式(3-1)求内积得>>=<ψ∇<+><m inc m m J E J J A j ,,,ω (5) 将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含N 个未知量的N 个线性方程，可以写成][]][[e m n mn V I Z = (6)其中，][mn Z 为N N ⨯的矩阵，][n I 和][e mV 均为1⨯N 的向量，][n I 为电流系数，][e mV 为激励向量，N 为未知量数目。
其形式分别如下：tan m e inc m m S V J E ds =⎰ (7) 001()m m mn m n s m n S S Z j J a ds J ds j ωμψωε=+∇⎰⎰ (8)上式中，'||'''()()4||n jk r r n n S e a r J r ds r r π--=-⎰ (9) '||''''()[()]4||n jk r r n s n S e r J r ds r r ψπ--=∇-⎰ (10)矩阵方程(6)建立之后，下一步就是该矩阵方程的求解。
06_1 FEKO多层快速多极子技术MLFMM
近远相互作用介绍
• 下边来分析两小长方体A和B的远相互作用。设A和B内分别都有100个未知数， 如图1所示。如果用通常方式来执行他们之间的相互作用，则需要100*100次计 算机操作。而快速多极子技术是用一种新的方式来执行A和B之间的远相互作用。 其基本思路是将整个相互作用过程分解成三步：聚集、转移、发散。聚集就是 将分布在A内的100个未知数所对应的等效电流聚集在A的中心。其目的是获得 一组具有下列转移特性的新函数：A内所有等效电流对远处的作用可以由执行 这组函数的转移完成；转移就是将聚集过程中得到的一组函数由A的中心转移 到B的中心；发散就是将转移到B中心的那组函数发散到B内所有100个未知数 所对应的等效电流上，从而完成A和B的远相互作用。此种作用方式由图2表示。 下边会阐述平面波函数具有上述转移特性，而且在能够保证高精度情况下，所 需平面波个数少于原未知数个数。这就是说，完成新函数从A中心到B中心的转 移，只需要少于100次的计算机操作。这就是快速多极子技术能够加快完成A和 B远相互作用的原因。作用过程的分解来源于积分方程中格林函数的多极子展 开，故此项技术称为快速多极子技术。由于格林函数的多极子展开在近相互作 用时很难达到满意精度，则这种新作用方式只适用于远相互作用。这也就是我 们将相互作用分成近相互作用和远相互作用的原因。
FEKO Suite 5.5 基本算法介绍
快速多极子（FMM） 多层快速多极子技术（MLFMM）
FMA overview
•
我们知道解线性方程组的方法可分为两类：一类是直接法，如高斯消元法等； 一类是迭代法，如：共轭梯度法等 用矩量法（MoM）求解线性方程组，它的系数矩阵是满秩的。如用直接法求解， 则计算机内存需要O（N2），运算量达O（N3）；如用迭代法求解，内存一样 需要O（N2），而每次迭代的运算量达O(N2)).如此之多的内存需要量，如此之 大的运算量，大大限制了矩量法的应用范围，在90年代以前，矩量法仅仅适用 于电小尺寸物体（物理尺寸/工作波长< 10）。 20世纪90年代以后，情况发生了改变，目前矩量法已可以计算相当大的电大尺 寸物体，这主要归归功于Rokhlin提出的快速多极子算法，这是一种减少内存需 求，加快矩阵和矢量相乘的技术。
FEKO教案1解析
FEKO 1一、简介FEKO是美国EMSS公司推出的一款针对天线设计、天线布局与电磁兼容性分析的专业电磁场分析软件。
FEKO是以矩量法（MOM）为基础，采用多层快速多极子算法（MLFMM），并与物理光学法（PO）、一致性绕射理论（UTD）等高频电磁分析方法相结合，在保证计算精度的同时，大大提高了计算速度，可以分析电大尺寸结构的电磁辐射、散射、EMC等确定性问题。
FEKO特点：具有多种算法可供选择，比如求解电小结构的天线，FEKO可以采用完全的矩量法进行分析；对于具有电小与电大尺寸混合结构，既可以采用多层快速多极子，也可以采用混合算法——采用矩量法分析电小结构部分，而用高频方法分析电大结构部分。
网址：FEKO 软件的界面包括CADFEKO 、EDITFEKO 、POSTFEKO ，软件模块包括PREFEKO 、FEKO 、OPTFEK 和OTIMEFEKO 。
CADFEKO 主要用于创建几何模型，进行网格划分以及进行求解设置。
本课程中，重点对CADFEKO 建立模型和网格，并在POSTFEKO 中输出可视化结果的过程进行学习。
更多其他模块的使用方法请参考用户使用手册。
二、操作界面 CADFEKO 的用户界面包括工具条、建模窗口、工程树、快捷工具、细节窗口和消息窗口。
绘图窗口 消息窗口细节窗口 工程树窗口工具按钮菜单工具三、建模仿真过程1、建立工程文件和保存在CADFEKO中新建和保存后生成*.cfx文件（原始模型文件，包括几何模型、网格、求解设置、优化设置），*.cfm文件（保存网格数据）和*.pre文件（PREFEKO输入文件）。
运行PREFEKO又会生成*.fek文件（求解模型信息）。
运行FEKO后，又会生成*.bof（图形数据）和*.out（ASCII形式的结果文件）2、基本参数设置设置单位通过选择菜单Model-Model unit进行设置。
系统默认的是cm。
偏好设置中，可以在菜单Option-Colour中选择例如背景颜色。
06_2多层快速多极子技术MLFMM
近远相互作用介绍
• 下边来分析两小长方体A和B的远相互作用。设A和B内分别都有100个未知数， 如图1所示。如果用通常方式来执行他们之间的相互作用，则需要100*100次计 算机操作。而快速多极子技术是用一种新的方式来执行A和B之间的远相互作用。 其基本思路是将整个相互作用过程分解成三步：聚集、转移、发散。聚集就是 将分布在A内的100个未知数所对应的等效电流聚集在A的中心。其目的是获得 一组具有下列转移特性的新函数：A内所有等效电流对远处的作用可以由执行 这组函数的转移完成；转移就是将聚集过程中得到的一组函数由A的中心转移 到B的中心；发散就是将转移到B中心的那组函数发散到B内所有100个未知数 所对应的等效电流上，从而完成A和B的远相互作用。此种作用方式由图2表示。 下边会阐述平面波函数具有上述转移特性，而且在能够保证高精度情况下，所 需平面波个数少于原未知数个数。这就是说，完成新函数从A中心到B中心的转 移，只需要少于100次的计算机操作。这就是快速多极子技术能够加快完成A和 B远相互作用的原因。作用过程的分解来源于积分方程中格林函数的多极子展 开，故此项技术称为快速多极子技术。由于格林函数的多极子展开在近相互作 用时很难达到满意精度，则这种新作用方式只适用于远相互作用。这也就是我 们将相互作用分成近相互作用和远相互作用的原因。
快速多极子技术的数学原理
ij j i 离散积分方程系数矩阵的元素可表示成 （2.71） 这里P（G）表示作用在格林函数G上的算子。假设{x}和{y}分别代表相距较远的两个小长方体A、B中的 的未知数。那么{x}对{y}的作用可表示成 {y}=[Z]{x} （2.72） 快速多极子技术将此矩阵和矢量相乘分解成聚集、转移、发散三步骤进行。下边具体介绍此分解过程。 很简单，主要靠下面两个数学恒等式。第一个便是关于格林函数的加法定律 e jk |r d | （2.73） jk (1)l (2l 1) jl (kd )hl (2) (kr ) Pl (d r ) |rd | l 0 (2) 这里jl是第一类球面Bessel函数，hl 是第二类球面Hankel函数，Pl是Legendre多项式，以及d<r.值得 注意的是，在l<z时，函数jl(z)和hl(z)幅度大致保持常数；在l〉z时，jl(z)衰减非常快，而hl2(z) 递增非常快。这样当d<<r时，式（2.73）能在保证精度下截断。这样展开（2.73）便可以写成 L （2.74） e jk|r d | jk (1)l (2l 1) jl (kd )hl (2) (kr ) Pl (d r ) |rd | l 0 通常取L=kd+2ln(kd+pi)就能保证较高精度了。第二个恒等式便是式（2.74）中jlPl的平面波展开
FEKO使用指南
FEKO使用指南一、FEKO简介FEKO是德简FEldberechnung bei Korpern mit beliebiger Oberflache的简～意写思是任意简简简磁简简算～适用于简简形三简物的简磁简分析。
状体FEKO是一款用于3D简简磁简分析的工具。
提供多简核心算法～矩量构仿真它法;MoM,、多简快速多子方法;极MLFMM,、物理光法;学PO,、一致性简射理简;UTD,、有限元;FEM,、平面多简介简的格林函～以及简的混合算数它法高效简理各简不同的简简。
来FEKO界面主要有三简成部分,个CADFEKO、EDITFEKO、POSTFEKO。
CADFEKO用于建立何模型和格剖几网分。
文件简简器EDITFEKO用简置求解～简可以用命令定简何模型～形成来参数几一以个*.pre简后简的文件。
前简理器/剖分器POSTFEKO用简理来*.pre简后简的文件～并生成*.fek文件～即FEKO简简简算的代简～简可以用于在求解前简示它FEKO的几何模型、激源、所定简的近简点分布情以及求解后得到的简简和简流。
励况FEKO主要有以下典型简用,天简简简,简天简、喇叭和口天简、反射面天简、微简天简、相控简天简、螺旋天简径、等等～天简布局,简简上～天简简是在一简上的～简简改简天简的“自由空简”简射装个构会性能～EMC/EMI分析,由于MoM中简简需要散简流流简的表面～离FEKO非常适合各简简型的EMC仿真～平面微简天简,FEKO采用全波方法分析微简天简～可以精简得合、近简、简确耦简、简射方向简、简流分布、阻抗等～参数简简系简,FEKO与CableMod简合起～可以非常高效地简理系简中的简简简简束的来耦与耦合以及简简天简的合简简～SAR简算,不同介简域的简简可以简算出。
然后简些简简被用于简算简范参数区内来吸收比;SAR,～雷散射截面;达RCS,简算,简于大型目简、地面目简等的RCS雷散射截面达;目简简简,简算也通常是简大尺寸简简～同简～FEKO的混合高简算法简简简简简也有好的很简算效果。
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其中
|rd |
K
p V p ( k p d )T p ( kr , k p r )
p 1
（2.77）
(2)
（2.78）
T p ( kr , k p r )
l0 V p ( k p d ) 与r无关，而 T ( kr , k p r ) 与d无关。这表明式(2.77)已将 注意式（2.77）右边中的
Z
g P (G ) g d S ' d S
|rd |
jk ( 1) ( 2 l 1) j l ( kd ) h l
l0
( kr ) Pl ( d r )
这里jl是第一类球面Bessel函数，hl(2)是第二类球面Hankel函数，Pl是Legendre多项式，以及d<r.值得 注意的是，在l<z时，函数jl(z)和hl(z)幅度大致保持常数；在l〉z时，jl(z)衰减非常快，而hl2(z) 递增非常快。这样当d<<r时，式（2.73）能在保证精度下截断。这样展开（2.73）便可以写成 jk | r d | L （2.74） e l (2) 通常取L=kd+2ln(kd+pi)就能保证较高精度了。第二个恒等式便是式（2.74）中jlPl的平面波展开
•
•
快速多极子技术的基本思路
• 大家都知道，迭代法的运算量主要取决于矩阵与矢量相乘的运算量。从物理意 义上看，矩阵与矢量相乘虽实际上是源点对场点的作用，然由于整个考虑的源 点和场点是重合的，因此也可以形式地认为是等效电流之间的相互作用。
•
快速多极子技术的基本思路是首先将未知等效电流分成小组。分小组可以按如 下方式进行：首先用一个适当大小的长方体将物体刚好包住，然后将此长方体 分成小长方体（小长方体究竟多大合适，下面再作具体分析），并将非空小长 方体标出储存。此处非空小长方体是指其内有未知等效电流的小长方体，也就 是被物体边界相割的小长方体。对任何一个非空小长方体，其他的非空小长方 体可以分成两类：一类为近相互作用，一类是远相互作用。通常，两小长方体 中心之间的距离小于半个波长的为近相互作用，否则为远相互作用。
远相互作用示意图
100 个 未知数
100 x 100次计算机操作
100 个 未知数
图1：远相互作用常规实施办法示意图
远相互作用FMM实施方法
小于100个平面波 小于100个平面波
O’
转移过程 100次计算机操作
O
聚集过程 100x100次计算机操作 100x100次计算机操作
发散过程
图2：远相互作用FMA实施办法示意图
快速多极子技术的数学原理（续）
m’ O’
m
O
图3：快速多极子技术具体实施示意图
多层快速多极子技术的基本思路
• 由前边的讨论可知，快速多极子技术中的组不能太大，因为那样转移过程虽然能非常有 效地计算，但聚集和发散过程都不能有效进行；组也不能太小，因为那样聚集和发散过 程能够虽能有效进行，然转移过程又不能有效计算。为此，我们是通过组的恰当大小来 获得快速多极子技术的最佳效率。 这里我们将介绍一种新的方式来更有效地实现快速多极子技术。其基本思路就是将未知 数分成不同层次的组，低层组大，高层组小，让聚集和发散过程先在最高层进行，后通 过移置、插值完成底层中的聚集和发散，而转移过程只在每层的部分组之间进行。这种 实现方式被称为多层快速多极子技术。 这里，我们以聚集过程为例来具体阐述这一实现方式。如图4所示，假设大组中有4m个 未知数，这样实现聚集需16m2次计算机操作。如果聚集先在小组进行，需4m2次计算机 操作。后将所得的四类以小组中心为起点的平面波移到以大组中心为起点，并相加得到 m个以大组中心为起点的平面波，这又需4m次计算机操作。接着再将m个以大组中心为 起点的平面波插值，得到4m个大组中心平面波，从而完成大组聚集过程。后边我们会说 明此插值过程需64m次计算机操作。因此这种实现方式总共需4m2+4m+64m次计算机操 作。在m很大时，明显少于原来的16m2次计算机操作。
近远相互作用介绍
• 下边来分析两小长方体A和B的远相互作用。设A和B内分别都有100个未知数， 如图1所示。如果用通常方式来执行他们之间的相互作用，则需要100*100次计 算机操作。而快速多极子技术是用一种新的方式来执行A和B之间的远相互作用。 其基本思路是将整个相互作用过程分解成三步：聚集、转移、发散。聚集就是 将分布在A内的100个未知数所对应的等效电流聚集在A的中心。其目的是获得 一组具有下列转移特性的新函数：A内所有等效电流对远处的作用可以由执行 这组函数的转移完成；转移就是将聚集过程中得到的一组函数由A的中心转移 到B的中心；发散就是将转移到B中心的那组函数发散到B内所有100个未知数 所对应的等效电流上，从而完成A和B的远相互作用。此种作用方式由图2表示。 下边会阐述平面波函数具有上述转移特性，而且在能够保证高精度情况下，所 需平面波个数少于原未知数个数。这就是说，完成新函数从A中心到B中心的转 移，只需要少于100次的计算机操作。这就是快速多极子技术能够加快完成A和 B远相互作用的原因。作用过程的分解来源于积分方程中格林函数的多极子展 开，故此项技术称为快速多极子技术。由于格林函数的多极子展开在近相互作 用时很难达到满意精度，则这种新作用方式只适用于远相互作用。这也就是我 们将相互作用分成近相互作用和远相互作用的原因。
( j)
L
l
( 2 l 1) h l
( kr ) Pl ( k p r )（2.79）
格林函数表示的直接相互作用分解成远距离的转移和近距离的聚集或发散。为了更简明的阐述， 不失一般性，以P(G)=G为例说明。如图3所示，取 r r0 r0 ' , d rm o rm ' o ' ，利用（2.77）便可 得矩阵元素（2.71）的FMM表达式
•
•
多层快速多极子技术实施办法示意图
m’
m’
m 转移过程
m
m’
聚集过程
m’
m 发散过程
m
图4 多层快速多极子技术实施办法示意图
多层快速多极子技术的基本思路
• 为了给出一个完整的多层快速多极子技术实现步骤，不失一般性，下面以求解域是正方形 为例来具体说明。如图5所示，将正方形分成四个小正方形，这是第一层分组，其中“*” 号表示小组中心。后再将每一小正方形一分为四，此过程反复进行，直到最小正方形边长 在半个波长为止。为了叙述方便，这里只给出三层分组。图5(b)和图5(c)分别给出第二层 和第三层的分组情况，其中符号“。”和“.”分别表示第二层和第三层的小组中心。 和快速多极子技术一样，多层快速多极子技术也是将矩阵与矢量相乘分解成聚集、转移、 发散三步骤。然聚集和发散过程是先在最高层进行，后通过移置中心、以及插值完成低层 的聚集和发散。至于转移过程，与快速多极子技术中的执行方式完全一样，只是多层快速 多极子技术只在同一层的次相邻中心（后面将解释）进行。 先考虑聚集过程。以第二层的聚集为例。这层的聚集是通过将其高一层即第三层平面波的 中心先移置、后插值完成的。假设在第三层中的每一小正方体有N3个未知数，这样便有 M=N/N3个小正方体。因为聚集在小正方体中心“.”的平面波个数通常小于未知数个数N3， 因此从中心“.”到中心“。”的移置所需计算量要小于N3xM=N。同样可以分析得到其他层 的移置过程所需计算量也要小于N。下边会阐述每一层中插值过程所需计算量也大致为O （N）。这样执行每一层的聚集过程计算量也就在O（N）量级。发散过程相似，计算量也 在O（N）量级。
2
,( p , p ) 表示单位球面 上取样点的球坐标。将式（2.76）代入式（2.74），并将求和次序交换可得 这里K=2L2，wp是权因子，k
e
j |r d |
p
(sin p co s p , sin p sin p , co s p ) ,k p kk p
（2.75）
快速多极子技术的数学原理（续）
ˆ 这里的积分符号“d k ”表示是积分在整个单位球面上进行。此积分可用高斯面积分方法进行。 具体来说,就是在区间[0，pi]上取L点，使得cos( )在区间[-1，1]上满足Gauss-Legendre L点 积分公式。这L点的theta值及积分权因子可以直接调用可以直接调用文献[7]中的子程序“”得 到。对于水平方向phi值得选取，可以在区间[0，2pi]上等间隔选取2L个值。于是式（2.75）右 边的积分便可写成： （2.76）
4 ( j ) j l ( k 0 d ) Pl ( d r )
l
|rd |
jk ( 1) ( 2 l 1) j l ( kd ) h l
l0
( kr ) Pl ( d r )
e
jk d
2 ˆ Pl ( k r ) d k
小长方体多大合适
•
•
这里我们讨论小长方体多大合适的问题？
由上述分析可以知道：转移步骤所需计算量很小。然而，聚集和发散步骤并非如此。实 际上，将原来的100个未知数所对应的100个基函数聚集成大致100个平面波函数，需要 100x100次计算机操作；将100个平面波函数发散给100个未知数所对应的100个基函数， 也需要100x100次计算机操作。因此，如果只考虑两个小长方体的远相互作用，快速多极 子技术所需计算量是超过通常方式的计算量。然而，当我们考虑100个小长方体的远相互 作用时，情况就不同了。此时有100x100=10000个未知数，用通常方式完成它们的相互作 用需10000x10000次计算机操作。如用快速多极子技术，每个小长方体中的聚集需 100x100次计算机操作，现有100个小长方体，因此整个聚集需100x100x100次计算机操作。 同样道理，整个发散需100x100x100次计算机操作。至于转移步骤，因为完成一次转移需 100次计算机操作，现有100个小长方体，需100x100次转移，因此整个转移也需 100x100x100次计算机操作，故用快速多极子技术完成整个相互作用需3*100x100x100次 计算机操作，大大少于通常方式的计算量。由此可见，小长方体尺寸不能过大，因为过 大会导致聚集和发散两步骤地计算量过大；小长方体尺寸不能过小，因为过小会导致转 移步骤的计算量过大。严格来说，假如有N个未知量，分成M组，这样每组大致有N/M个未 知数。根据上面分析，聚集和发散步骤所需计算机操作都是O（N2/M），转移步骤需O （NM）次计算机操作。因此完成整个相互作用需要O（N2/M+MN）次计算机操作。不难知 道，在M=N1/2时，完成整个相互作用需要的计算机操作次数最少为O（N3/2）。不难分析， 此时的内存需要量也为O（N3/2）