第五章 刚体力学
第五章_刚体力学_习题解答
5.1、一长为l 的棒AB ，靠在半径为r 的半圆形柱面上，如图所示。
今A 点以恒定速度0v沿水平线运动。
试求：(i)B 点的速度B v；(ii)画出棒的瞬时转动中心的位置。
解：如图，建立动直角系A xyz -，取A 点为原点。
B A AB v v r ω=+⨯ ，关键是求ω法1(基点法)：取A 点为基点，sin C A AC A CO A A v v r v v v v ωθ=+⨯=+=+即sin AC A r v ωθ⨯=，AC r ω⊥ ，化成标量为ω在直角三角形OCA ∆中，AC r rctg θ=所以200sin sin sin cos A AC v v v r rctg r θθθωθθ===即20sin cos v k r θωθ=取A 点为基点，那么B 点的速度为：2002300sin [(cos )sin ]cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i jr rθωθθθθθθ=+⨯=+⨯-+=--法2(瞬心法)：如图，因棒上C 点靠在半圆上，所以C 点的速度沿切线方向，故延长OC ，使其和垂直于A 点速度线交于P 点，那么P 点为瞬心。
在直角三角形OCA ∆中，sin OA r r θ=在直角三角形OPA ∆中，2cos sin AP OA r r r ctg θθθ==02cos ()sin A PA PA PA r v r k r j r i i v i θωωωωθ=⨯=⨯-===，即20sin cos v r θωθ= 取A 点为基点，那么B 点的速度为：2002300sin [(cos )sin ]cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i jr rθωθθθθθθ=+⨯=+⨯-+=--5.2、一轮的半径为r ，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度0v前进。
刚体力学
下面列出几种常见的，形状对称、材料密度均匀的刚体绕某一些轴的转动惯量．这些结果都可以用前面所说的积分方法计算出来，所有公式中的M都代表物体的总质量．3. 定轴转动的转动定律刚体作定轴转动时只有一个自由度，若取角坐标 ϕ来描述, 则转动定律为MI α= （5．17）式中 M 为刚体所受外力矩之和，I为绕定轴的转动惯量，为转动的角加速度．它提供了解决定轴转动问题的基本方程． 试将式（5．17）与牛顿第二定律 m =Fa 比较．定轴转动中 M , I , α分别对应于质点动力学中的 F , m , a . I 对应于质点的惯性质量 m ，由此可见, I 反映了刚体在转动中的惯性，因此，它被称为转动惯量．4．动能定理利用动能定理及由此导出的机械能守恒原理在处理某些问题时有许多方便之处，常使问题解决得简便迅速．在刚体的定轴转动中，动能定理应如何表达呢？首先来讨论功的概念。
（1）功．外力 F 作用在沿定轴转动的刚体上，它所作的功21W Md ϕ==⎰⎰ F ds （5．18）式中 M 是力对转轴的力矩．力所作的功已表为力矩所作的功． 可以证明：刚体内力作功的总和为零。
刚体内第i 个质点与第k 个质点相互作用的内力为 ik F 与 ki F ，如刚体稍微改变其位置，第i 个质点与第 k 个质点的位移为i dr 与 k dr ，这一对内力作功之和为ik i ki k ik i ki k d d d d +=- F r F r F r F r()ik i k d =- F r r （5．19）()i k d -r r 显然是质点i 相对于质点k 的相对位移． 因为刚体内任意两质点间的距离保持不变，所以相对于质点 k ，质点 i 只能在以质点 k为球心的某个球面上运动；那么相对位移 ()i k d -r r 必然与相对矢径i k -r r 垂直，但内力ik F 必沿着质点i 与质点k 的联线，因此它也和()i k d -r r 垂直．因此一对内力的功()ik i k d - F r r = 0 （5．20）每一对内力的功为零．对所有内力的功求总和自然也为零．（2（5. 21）（3）动能定理．刚体作定轴转动时的动能定理可表为W（外）（5．22）W（外）为外力所作的功．上式又可表为（5．23）如外力全为势力，动能定理可表为机械能守恒原理1122T V T V +=+ （5．24）V 代表刚体的势能．5．动量矩、动量矩守恒图5－5刚体绕定轴转动的动量矩为 JI ω=，转动定律可以用动量矩来表示为即（5．25）当刚体所受外力矩 0M =时，动量矩守恒J=常量即 21J J = （5．26）第六章（四）刚体的平面平行运动刚体的又一种常见的运动方式是平面平行运动．作这种运动时，刚体内所有的点都平行于某一固定的平面而运动．也就是说，刚体上每一点都在与某一固定平面平行的平面内运动．因此，刚体内垂直于固定平面的任一直线，在运动中始终垂直于该平面，而且垂线上各点的运动情况相同．研究这种运动，只需取平行于该平面的任一剖面加以研究就可以了．作平面平行运动的刚体有三个自由度．刚体的质心可以在平面中运动，即有两个平动自由度，刚体又可以绕通过质心与固定平面垂直的轴转动，即有一个转动自由度，所以总共有三个自由度．1．平面平行运动的运动学刚体的平面平行运动可以看成是，刚体随着某个基点平动，再绕基点转动．为了方便起见，常常取这基点在质心．即刚体随着质心以速度0v 平动，再绕质心以角速度ω转动．下面证明如果基点不取在质心，那么平动速度自然不同，但转动的角速度 ω却是一样的，也即是 ω和基点的选取无关．设在t 时刻，刚体的位 置为ABC ；而到了 t t +∆时， 该刚体运动到了A ’B ’C ’位 置．这个位置的改变可以看 成是：刚体先随着C 点平动，位移为C d ，再绕C 点转动角ϕ．这个位置改变也可以看成：刚体随着A 点平动，位移为 A d ，再绕A 点转动角ϕ．最后的位置都是A ’B ’C ’．从图中我们可以看出，基点选取的不同，位移也不同．但不论基点选在那里，刚体转过的角度ϕ都是一样的．本例中/2ϕπ=。
第05章刚体力学基础学习知识补充
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
05.刚体力学
全加速度——即切向、法向加速度的矢量和. 全加速度——即切向、法向加速度的矢量和 ——即切向 矢量和
6.4 如图 已知某瞬时曲柄的角速度 ω = 4rad / s, 如图. 角加速度 ε = 2rad / s2 ；曲柄长为 r = 20cm 。 托架上重物重心G的轨迹 速度、加速度。 的轨迹、 求：托架上重物重心 的轨迹、速度、加速度。
F 1
z
F 2
r
dF t
dm
ω
ε
F n
F i
M z = I zε
—— 刚体定轴转动 刚体定轴转动 动力学基本方程 基本方程. 的动力学基本方程
作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 刚体 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。
ρ dm b C θx
（推导用图） 推导用图）
y
Iz = Ix + I
z r
——无限薄刚体板对任一垂直 无限薄刚体板 无限薄刚体 的转动惯量， 于它的坐标轴 z 的转动惯量， 等于该薄板 薄板刚体对另两坐标轴 等于该薄板刚体对另两坐标轴 的转动惯量之和。 的转动惯量之和。
x
y
x
y
（推导用图） 推导用图）
ω
B
如图: 曲柄作 平面运动. 连 如图: OA曲柄作定轴转动,也是平面运动.AB连 曲柄 定轴转动,也是平面运动 杆作平面运动 平面运动. 活塞作直线运动,也是平面运动 活塞作直线运动 平面运动. 杆作平面运动 B活塞作直线运动,也是平面运动
在刚体上有无限多 平面图形始终作平面 个平面图形始终作平面 运动, 这样的一个 一个平面 运动 这样的一个平面 图形的运动 的运动， 代表了 图形的运动，就代表了 平面运动。 整个刚体的平面运动 整个刚体的平面运动。 因此, 因此 只需研究其中的 一个平面图形的运动. 平面图形的运动 一个平面图形的运动 2. 平面运动的分解 平面运动的分解 将复杂的平面运动, 分解成简单的 平动” 成简单的“ --- 将复杂的平面运动, 分解成简单的“平动” 转动（定轴） 应用合成运动的概念, 合成运动的概念 与“转动（定轴）” ；应用合成运动的概念 求刚体上各点的速度 加速度. 速度和 求刚体上各点的速度和加速度 如上: 杆的运动可分解成“ 如上: AB杆的运动可分解成“平动” 与“转 杆的运动可分解成 平动” 动”.
刚体力学
第五章刚体力学引言：前面一章我们讨论了质点组在外力和内力作用下的运动规律，在此基础上，本章就开始讨论一种特殊形式的质点组---即刚体在外力作用下的运动规律。
对刚体在力的作用下运动规律的研究就称为刚体力学.一、刚体的定义和自由度：什么叫刚体？[对刚体的概念在普通力学中讲过，可由学生回答，然后再得出它正确的定义]，一个质点组，无论所受的作用力如何，只要质点组内任意两个质点之间的距离保持不变，这样的质点组就叫做刚体，这也就是刚体的含义。
由刚体的定义可知，刚体不同于质点的概念，质点是忽略大小和形状，只具备一定质量的几何点，而刚体则是要考虑物体的大小和形状，但忽略其大小和形状变化的一种理想的力学模型。
对物体形状、大小的改变与所研究的问题无关或者关系不大的物体我们都可以将它看作刚体。
因为刚体是质点组的一种特殊情况，所以在上一章中涉及到的所有定理对刚体也同样成立。
把上一章得出的结论应用到刚体上来是研究刚体力学的基本出发点和基本方法。
在上章曾经讲过，一个自由质点需要三个独变量才能确定它在空间的位置。
为确定一个力学系统的位置所需要的独立变量的个数，就叫做这个力学系统的自由度数。
因此一个质点有三个自由度，由N个自由质点组成的质点组，显然就有3N个自由度。
刚体虽然由大量质点组成，但是根据刚体内任意两质点间的距离始终保持不变的这一特征，刚体的自由度并不是很多，那么刚体的自由度到底有几个？我们知道刚性联系的两个质点组成的质点组，它们两者之间存在着在一个刚性的几何约束条件。
因此它的自由度应该是6-1=5，刚性联系的三个质点组成的质点组的自由度是5+3-2=6[2个质点是5个，加上一个质点的3个自由度，再减去增加的2个几何约束条件，所以……]由此可以推知三个以上质点组成的刚体，其自由度也都只有六个,所以,刚体的自由度最多是六个,其实一个刚体,只要它上面不在同一直线上的三个点的位置确定了,刚体的位置也就确定了,所以说一个自由刚体的自由度只有六个。
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
理论力学简明教程第五章答案
第五张 刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到制造的乐趣.走过这遭,或许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A 为基点）A r υυω'=+⨯()()A d r a a r dtωωω'⨯'=++⨯⨯ （2）刚体内的瞬心S ：()21s A A r r ωυω=+⨯〈析〉ω为基点转动的矢量和，12ωωω=++A r r r '=+dr dtυ=*A A A dr dr d r r r dt dt dt υωυω''''=+=++⨯=+⨯ ()A d r d d a dt dt dtωυυ'⨯==++()r ωω'⨯⨯ 值得注意的是：有转动时r '与r ω'⨯的微分，引入了r ω'⨯与()r ωω'⨯⨯项。
2 刚体的动量，角动量，动能 （1）动量：c P m υ=（2）角动量： x x xx xy xz i i i y yxyy yz y zx zyzz z z L J J J L r m L J J J J J J J L ωυωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=⨯===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑式中：转动惯量()()()222222xx yy zz J y z dmJ z x dm J x y dm ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰惯量积xx yy zz J xydm J yzdm J zxdm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰且c c cL r m L υ'=⨯+* l e 方向（以l 为轴）的转动惯量：(),,l l J e J e J ααβγβγ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭222222xx yy zz yz zx xy J J J J J J αβγβγγααβ=++---（,,αβγ别离为l e 与,,x y z 轴夹角的余弦） * 惯量主轴惯量主轴能够是对称轴或对称面的法线若X 轴为惯量主轴，那么含X 的惯量积为0，即: 0==xy xz J J 若,,x y z 轴均为惯量主轴，那么:xx yy zz L J i J j J k =++ 〈析〉成立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，如此会降低解题繁度。
5《学习指南 试题精解》 第五章 刚体力学
第5章 刚体力学5.1 本章要求：1、通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律,了解转动惯量的概念；2、理解刚体的定轴转动的转动定律和刚体在定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律；3、能应用角动量定理和角动量守恒定律解简单的刚体运动的力学问题。
5.2 内容提要1、质点的角动量v r m P r L ⨯=⨯=；2、质点的角动量定理作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。
积分形式00L L d dt LL tt -==⎰⎰ ，微分形式dtd M =外 3、角动量守恒定律如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
则0=dtLd ， ∑=ii L L = 常矢量 4、刚体物体内任意两点间的距离在外力作用下始终保持不变，从而其大小和形状都保持不变的物体，称为刚体。
刚体也是物体的一种理想模型。
5、平动 刚体运动时，连接刚体中任意两点的直线始终保持它的方位不变。
这种运动称为刚体的平动或平移。
6、转动刚体运动时，如果刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动；这一直线称为转轴。
如果转轴相对于所取的参考系是固定不动的，就称为定轴转动。
如果转轴上一点静止于参考系，而转动的方位在变动，这种转动称为定点转动。
刚体的一般运动，可以看作平动和转动所合成。
7、质心质心是与质点系的质量分布有关的一个代表点,它的位置在平均意义上代表着质点分布的中心。
对于有许多质点组成的系统，如果用i m 和i r 表示第i 个质点的质量和位矢，用c r 表示质心的位矢，则有Mrm r iii c ∑=，式中∑=ii m M 为质点系的总质量。
质心位置的坐标为：Mzm z M ym y M xm x iii c iii c iii c ∑∑∑===,,。
对于质量连续性分布的物体，质心的位矢为⎰=Mrdmr c其坐标为⎰⎰⎰===zdm Mz ydm M y xdm M x c c c 1,1,1。
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
第五章 刚体力学基础
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小： (A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球L的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v <(C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
第五章刚体力学-副本
第五章 刚体力学5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为2n va R=，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成反比；也可以写为2n a R ω=，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成正比。
这两者是否有矛盾？为什么？解： 没有矛盾。
根据公式 2n va R=，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成反比，是有条件的，这个条件就是保持v 不变；根据公式2n a R ω=，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成正比，也是有条件的，条件就是保持ω不变。
5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？ 解：设圆盘的角速度为ω，角加速度为α，则：（1）圆盘以恒定角速度转动时：()20n a R d R dv a dt dt τωω⎧=⎪⎨===⎪⎩0a τ=、n a 数值均是恒定的。
（2）圆盘以恒定角加速度转动时：00tdt t ωωαωα=+=+⎰ （其中0ω为0t =时圆盘转动的角速度）()()220n a R t R d R dv a R dt dt τωωαωα⎧==+⎪∴⎨===⎪⎩n a 数值是变化的、而a τ数值均是恒定的。
5-3 原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30 s 后转速达到1152rad s -⋅ 。
求：(1)在这30 s 内电机皮带轮转过的转数；(2)接通电源后20 s 时皮带轮的角速度；(3)接通电源后20 s 时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为5.0 cm 。
解：电机作匀速转动，所以角加速度α为常量()00ω=d dt ωα=0t d t t ωαα∴==⎰ 故：21525.0730rad s t ωα-===⋅而：d dt θω= 20012t t dt tdt t θωαα∴===⎰⎰（1） 2211152302280362.92230t rad θα==⨯⨯= 转（2）'15.0720101.3t rad s ωα-==⨯⋅ （3）''15.07v R m s ω-==⋅225.075100.254a R m s τα--==⨯⨯=⋅ 2'2222101.3510513.1n va R m s Rω--===⨯⨯=⋅ 5-4 一飞轮的转速为1250rad s -⋅ ，开始制动后作匀变速转动，经过90 s 停止。
第五章 刚体力学参考答案
一、选择题［ C ］1、如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而 且F ＝Mg ．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有(A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ．(C) βA ＜βB ． (D) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB ．图5-18参考答案：设定滑轮半径为Ｒ，转动惯量为J ，如图所示，据刚体定轴转动定律Ｍ=Ｊβ有： 对B ：FR=MgR= J βB ．对A ：Mg-T=Ma TR=J βA, a=R βA, 可推出：βA ＜βB[ D ]2、如图5-8所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小(A) 为 41mg cos θ． (B)为21mg tg θ．(C) 为 mg sin θ． (D) 不能唯一确定．[ C ]3、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定．图5-8mm图5-11参考答案:把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零, 系统角动量守恒。
设L 为每一子弹相对固定轴O 的角动量大小.故由角动量守恒定律得: J ω0+L-L=(J+J 子弹) ω ω <ω0[ A ]4、质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 (A) ⎪⎭⎫⎝⎛=RJ mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫⎝⎛=RJ mR v2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mRJ mRv 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针．参考答案：视小孩与平台为一个系统，该系统所受的外力矩为零，系统角动量守恒： 0=Rmv-J ω 可得结论。
第5章 刚体力学2
F x t 棒的末动量
mv mv
Vc
0
M
0
而棒的末动量
F M
MV
w l
2t mv t
lw 2
c
v0
m v
mv t
x
由此可知:一般情况下 Fx
x 子弹和棒的水平方 0 向动量不守恒！！
2)总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?
1、力矩的功
F cos F cos
dA
F dr
F cos
| dr |
r
F cos rd
r M
v
O
d r
F
dA Md
力矩 的功:
dr
P
x
A
2
Md
1
力对转动物体作的功等于相 应力矩和角位移的乘积。
2、刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能 由定轴转动 M 的转动定律:
2、刚体的角动量定理
在定轴转动中
M J J
dw dt d dt (Jw ) d L dt
积分形式
t L
Mdt
0
2
dL
L
1
L
2
L
1
( Jw )
2
( J w )1
左边为对某个固定轴 的外力矩的作用在某 段时间内的积累效果， 称为冲量矩；
右边为刚体对同 一转动轴的角动 量的增量。
v
A
例1：如图一根质量为m、长为l的均匀细棒，可绕 通过其一端的轴 O 在铅直平面内转动，轴承处的 摩擦不计。如果让棒自水平位置开始自由释放， 求棒转到铅直位置时棒端A的速度。 c A ． O 首先分析棒所受之力及相 解：
大学物理教程第五章刚体的转动
⼤学物理教程第五章刚体的转动第五章刚体的转动§5－1 刚体的平动、转动和定轴转动⼀、刚体在外⼒作⽤下形状和⼤⼩都不变化的物体称为刚体．和这定义等价的另⼀定义是：如果物体在外⼒作⽤下它的任意两点之间的距离保持不变，则这物体称为刚体．刚体是⼀种理想模型，在⾃然界中是找不到的．实际上任何物体在外⼒作⽤下，它的形状和⼤⼩都或多或少要发⽣变化．但有许多物体，如果外⼒不甚⼤的话，它的形状和⼤⼩的改变不显著，这样的物体和刚体很接近，刚体⼒学中的结论对于这样的物体⼤致与经验符合．因此在实际问题中这样的物体可以当刚体来处理．⼆、平动和转动刚体的最简单的运动是平动和转动．在§1－3中关于参考系的平动的定义对刚体也适⽤．即如果刚体运动时，它⾥⾯任⼀直线的⽅位始终保持不变，则其运动称为平动．平动的特点是，任⼀时刻刚体中各点的速度和加速度都相等，任⼀点的运动都可以代表整个刚体的运动．刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着⼀条直线作圆周运动(如图5－1)，则这刚体的运动称为转动，这条直线称为转轴．座钟的指针、CD 光碟、涡轮发电机的叶⽚和车辆的轮⼦的运动都是转动．转动刚体的转轴可以是固定的(例如涡轮叶⽚的转轴)，也可以是运动的(例如车轮的转轴)．转轴固定的转动称为定轴转动．可以证明，刚体的⼀般运动可以当作是由⼀平动和⼀绕瞬时轴的转动组合⽽成．例如车轮在地⾯上滚动(图5－2a)，可以看成是由车轮随轮轴的平动以及车轮绕轮轴的转动组合⽽成．车轮上任⼀点P 的瞬时速度v ，等于轮轴的瞬时速度v 0与由于该点随车轮绕轮轴转动所具有的速度v r 的⽮量和，如图5－2(b)所⽰．三、定轴转动如图5－1，P 为刚体中⼀质点，当刚体绕定轴转动时，P 作圆周运动，圆⼼O 为转轴与圆平⾯的交点．由于刚体中任意两点之间的距离是固定不变的，刚体中各质点在同⼀时间Δt 内具有相同的⾓位移Δθ，因此在任⼀时刻各质点具有相同的⾓速度ω和⾓加速度α．所以我们可以⽤Δθ、ω和α作为描写刚体绕定轴转动的物理量，称为刚体的⾓位移、⾓速度和⾓加速度．我们在§1－4中讲过的⾓位移、⾓速度和⾓加速度等概念都适⽤于刚体的定轴转动．如果将⾓位移Δθ图5－1图5－2改为θ，则§1－4中公式θ = ωt ，ω = ω0 + αt 及θ = ω0t +21αt 2对刚体的定轴转动亦适⽤．⾄于刚体内各质点的速度和加速度则由于各质点到转轴的距离不同⽽各不相同，但这些线量与⾓量之间的关系仍然由(1－49)式、(1－51)式及(1－52)式表⽰．例题5－1 ⼀转速为1.80×103 r/min 的飞轮，因受制动⽽均匀地减速，经20.0s 停⽌转动．(1) 求⾓加速度和从制动开始到停⽌转动飞轮转过的转数；(2) 求制动开始后t = 10.0s 时飞轮的⾓速度；(3) 设飞轮半径为0.500m ，求在t = 10.0s 时飞轮边缘上⼀点的线速度和切向与法向加速度．解 (1) 设ω0为初⾓速度，由题意得rad/s π60rad/s 60101.80π2π230=??==n ω s 0.20 ,0==t ω因飞轮均匀减速，其转动为匀变速转动，由§1－4公式，⾓加速度为220rad/s π3rad/s 20.0π60-=-=-=t ωωα从开始制动到停⽌转动飞轮的⾓位移θ及转过的转数N 依次为rad π600rad 20.03π2120.0π6021220=??-=+=t t αωθ 300 2ππ600π2===θN (2) t = 10.0s 时飞轮的⾓速度为()rad/s π30rad/s 10.03ππ600=?-=+=t αωω(3) t = 10.0s 时，飞轮边缘上⼀点的线速度为m/s 1.47m/s 30π.5000=?==ωr v相应的切向加速度及法向加速度为22t m/s 71.4m/s 3π.5000-=?-==αr a()23222n m/s 1044.4m/s 30π.5000?=?==ωr a §5－2 ⼒矩转动定律转动惯量⼀、⼒对转轴的⼒矩根据经验，⼒可以使物体转动．但使物体转动的作⽤，不仅与⼒的⼤⼩有关，⽽且与⼒的⽅向以及⼒的作⽤线和转轴的距离有关．例如当我们⽤⼿关门时，⼒的作⽤线和门的转轴的距离越⼤，越容易把门关上．如果⼒的作⽤线通过门的转轴，或⼒的⽅向与转轴平⾏，则不论⽤多⼤的⼒也不能把门关上．⾸先讨论⼒在垂直于转轴的平⾯内的情形．图5－3为与转轴垂直的刚体的截⾯图，⼒F 在此平⾯内，⼒的作⽤线与转轴的距离为d ，d 称为⼒臂，⼒的⼤⼩F 与⼒臂d 的乘积称为⼒F 对转轴的⼒矩，⽤M 表⽰，则M = Fd （5－1）设r 为从转轴到⼒的作⽤点P 的径⽮，φ为r 与F 之间的夹⾓，由图5－3看出，d = r sin φ，故(5－1)式可写为r F Fr M ⊥==?sin （5—2）其中⊥F 为⼒F 在垂直于r ⽅向的分量．上式表⽰，只有⼒F 在垂直于r ⽅向的分量才对⼒矩有贡献．当φ = 0或φ =180°时M = 0，此时⼒的作⽤线通过转轴，0=⊥F ，d = 0．如果⼒F 不在垂直于转轴的平⾯内，则将F 分解为⼆分⼒F l 、F 2．F l 在垂直于转轴的平⾯内，F 2与转轴平⾏(图5－4)．由于平⾏分⼒F 2对物体转动不起作⽤，可以不考虑，因此在⼒矩定义式(5－1)或式(5－2)中，F 应理解为外⼒在垂直于转轴的平⾯内的分⼒．⼒对定轴的⼒矩不但有⼤⼩，⽽且有转向．⼀般规定，如果⼒矩使刚体沿反时针⽅向转动，⼒矩为正；如果⼒矩使刚体沿顺时针⽅向转动，⼒矩为负．如果同时有⼏个⼒作⽤于刚体，则刚体所受的合⼒矩等于各个⼒对转轴的⼒矩的代数和．⼒对转轴的⼒矩与⼒对⼀点的⼒矩之间的关系如上所述，如果⼒F 与转轴不垂直，可将它分解为垂直于转轴的分⼒F l 和平⾏于转轴的分⼒F 2．设O 为通过⼒F 的作⽤点P ⽽垂直于转轴的平⾯与转轴的交点．r 为从O 点到P 点的径⽮(图5－4)．则由(4－37)式得⼒F 对O 点的⼒矩为M = r × F = r × (F l + F 2) = r × F l + r × F 2将上式两边投影在转轴上．现在来看左右两边投影的意义．左边为⼒F 对O 点的⼒矩在转轴上的投影，右边r × F 2与转轴垂直，它在转轴上的投影为零．r × F l 与转轴平⾏，它在转轴上的投影等于F l r sin φ(图5－4)．⽽后者等于⼒F 对转轴的⼒矩．故得结论：⼒F 对转轴的⼒矩等于⼒F 对O 点的⼒矩M 在转轴上的投影，其中O 为通过⼒F 的作⽤点P ⽽垂直于转轴的平⾯与转轴的交点．应当注意，⼒对⼀点的⼒矩是⽮量，⼒对转轴的⼒矩是标量．这是因为后者是前者的投影之故．⼆、转动定律刚体可看成是由⽆数质点组成，当刚体绕定轴转动时，各个质点都绕定轴作圆周运动，取质点P i 来考虑，设其质量为Δm i ，与转轴的距离为r i ，图5－5为经过P i ⽽垂直于转轴的刚体的截⾯图，作⽤于P i 的⼒有外⼒F i 及内⼒F ’i ，令F i t 及F ’i t 分别表⽰F i 及F ’i 沿切线⽅向的分量，则由切向运动⽅程得F i t + F ’i t = Δm i · r i α两边乘以r i ：F i t r i + F ’i t r i = (Δm i r i 2)α将此式对刚体中⼀切质点求和得图5－3 图5－4∑∑∑='+ii i i ii i i i r m r F r F α)Δ(2t t （5－3） ∑'i ii r F t 为所有内⼒对转轴的⼒矩的代数和，即合内⼒矩．下⾯证明此合内⼒矩等于零．取刚体中两质点P i 及P j 来考虑．根据⽜顿第三定律，这两质点相互作⽤的⼒⼤⼩相等⽅向相反，且在同⼀直线上(图5－6)，此⼆⼒有相同的⼒臂d ，但因⼆⼒⽅向相反，故其对转轴的合⼒矩为零．⼜因内⼒总是成对的，每⼀对内⼒的合⼒矩既然等于零，所以所有内⼒的合⼒矩亦必等于零，即0t ='∑iii r F 因此，(5－3)式化为∑∑=ii i i i i r m r F α)Δ(2t （5－4）∑iii r F t 为所有外⼒对转轴的⼒矩的代数和，即合外⼒矩，⽤M 表⽰，则上式化为∑=ii i r m M α)Δ(2 （5－5）对于⼀定刚体及⼀定转轴来说，上式中∑ii i r m 2Δ为⼀恒量，称为刚体对该转轴的转动惯量，⽤J 表⽰，即∑=ii i r m J 2Δ （5－6）这样(5－5)式便化为αJ M = （5－7）此式表⽰，刚体的⾓加速度与它所受的合外⼒矩成正⽐，与刚体的转动惯量成反⽐，这⼀关系称为转动定律．这是刚体绕定轴转动的基本定律．刚体绕定轴转动的其他定律都可以由这条定律导出．值得注意，这条定律是从⽜顿第⼆、第三定律推出的．三、转动惯量把转动定律αJ M =与⽜顿第⼆定律F = ma ⽐较，可以看出，这两个式⼦⼗分相似，M 对应于F ，α对应于a ，J 对应于m ．我们知道，物体的质量m 是物体的平动惯性⼤⼩的量度，与此类似，物体的转动惯量J 是物体的转动惯性⼤⼩的量度．这可以从转动定律αJ M =看出．转动惯量不同的两个刚体，在相同的图5－5 图5－6外⼒矩作⽤下，转动惯量⼤的刚体⾓加速度⼩，就是它的⾓速度难于改变，也就是转动惯性⼤；反之，转动惯量⼩的刚体，它的转动惯性⼩．根据转动惯量定义：∑=ii i r m J 2Δ如果刚体是由若⼲个质量为m 1，m 2，m 3，…的质点组成，在(5－6)式中Δm i 应代以m i ，得+++=233222211r m r m r m J （5－8）如果刚体的质量连续分布在⼀体积内，(5－6)式中总和式应代以积分式，Δm 应代以d m (刚体中的质量元)，得==VV V r m r J d d 22ρ（5－9）其中d V 为刚体的体积元，ρ为体积元d V 处的质量体密度，此积分遍及于刚体的整个体积V ．(5－9)式可推求如下：将刚体划分为许许多多⼩部分，每⼀部分的线度极⼩，使它可以看成⼀质点．设各⼩部分的质量为Δm 1，Δm 2，…，Δm i ，…，与转轴的距离依次为r 1，r 2，…，r i ，…，按照(5－6)式，刚体的转动惯量J 近似地等于∑i i m r Δ2，即∑≈ii i m r J Δ2设λ为各⼩部分的线度的最⼤值，λ越⼩，每⼀⼩部分越接近于⼀质点，因此和数∑i i m r Δ2越接近于J ，所以当0→λ时，和数∑i i m r Δ2的极限值便完全等于J 了，即∑→=ii i m r J Δlim 20λ按照⾼等数学，上式中右式就是定积分?Vm r d 2，于是得 ??==VV V r m r J d d 22ρ这就是(5－9)式如果刚体的质量连续分布在⼀⾯上或⼀细线上，则需引⽤质量⾯密度或线密度概念，计算转动惯量公式与上式相同，只需将体密度换为⾯密度或线密度，将体积元换为⾯积元或线元即可．参看例题5－2及5－3．在国际单位制中转动惯量单位为千克平⽅⽶，符号为kg·m 2，转动惯量的量纲为ML 2．⼏何形状简单的刚体，其转动惯量可⽤积分法算出，见表5－1．表5－1 质量分布均匀的⼏种刚体的转动惯量a) 细棒(转轴通过中⼼与棒垂直) b) 细棒(转轴过棒的⼀端与棒垂直) 2121ml J = 231ml J =c) 圆柱体(转轴沿⼏何轴) d) 球体(转轴沿球的任⼀直径)221mR J = 252mR J =e) 薄圆筒(转轴沿⼏何轴) f ) 圆筒(转轴沿⼏何轴)2mR J = )(212221R R m J +=例题5－2 求质量为m 、板长为l 的均匀细棒对于通过棒的中点⽽与棒垂直的轴的转动惯量．解在棒上取与轴OO ’距离为x 、长为d x 的⼀⼩段来考虑(图5－7)，这⼀⼩段的质量为d m = λd x ．其中λ为棒的质量线密度．根据转动惯量定义，棒对轴OO ’的转动惯量为32222121d d l x x m x J l l -λλ===?? 棒的质量线密度lm =λ，代⼊上式得 2121ml J = 例题5－3 求质量为m 、半径为r 的匀质圆盘对于通过圆⼼⽽垂直于圆平⾯的轴的转动惯量．解在圆盘上取⼀半径为x ，宽为d x 的圆环来考虑(图5－8)，这圆环的⾯积为2πx d x ，质量为d m = 2πσx d x ，其中σ为圆盘的质量⾯密度．根据转动惯量定义，圆盘对通过圆⼼O ⽽垂直圆平⾯的轴的转动惯量为4032π21d π2d r x x m x J r σσ===?? 圆盘的质量⾯密度2πrm =σ，代⼊上式得 221mr J = 上式对匀质圆柱体对于它的⼏何轴的转动惯量亦适⽤．决定刚体的转动惯量J 的⼤⼩因素有三：①刚体的质量；②刚体质量分布情况；③刚体的转轴的位置．例如质量均匀、⼤⼩相同的铅球和铜球，由于铅球质量较⼤，所以对于位置相同的轴来说，铅球的J 较⼤．⼜如有两个圆柱体，外径相等，质量也相等，但其中⼀个为实⼼，另⼀个为空⼼(质量分布不同)，则对于它们的⼏何轴来说空⼼的圆柱体的J 较⼤．⼜如同⼀根棒对于通过棒的中⼼与棒垂直的轴与对于通过棒的⼀端与棒垂直的轴的J 不相同．例题 5－4 在半径分别为R 1、R 2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各悬挂质量为m 1、m 2的物体，如图5－9所⽰．若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，滑轮的转动惯量为J ，求滑轮的⾓加速度α及各绳中张⼒F T1、F T2．解分析各物体的受⼒情况，如图5－9右图，对于滑轮，重⼒和轴的⽀承⼒通过轴⼼，其⼒矩为零．由于是轻绳，应有F T1 = F’T1，F T2 = F ’T2．先假设物体运动⽅向为：m 1的加速度a 1向下，m 2的加速度a 2向上，滑轮沿顺时针⽅向转动．选取物体运动⽅向为坐标轴正向，根据⽜顿第⼆定律和转动定律可得111T 1a m F g m =- 2222T a m g m F =- αJ R F R F =-22T 11T 滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度：αα2211 ,R a R a == 解以上各式得 g R m R m J R m R m 2222112211++-=α g m R m R m J R R m R m J R g m F 1222211212222111T )(???? ?++++=-=α图5－7 图5－8图5－9gm R m R m J R R m R m J R g m F 2222211211211222T )(???? ?++++=+=α讨论：1) 当m 1gR 1 > m 2gR 2 时，物体运动⽅向与原假定⽅向相同．2) 当m 1gR 1 = m 2gR 2 时，α = 0，滑轮作匀速转动或静⽌，运动状态或⽅向由初时刻条件决定．3) 当m 1gR 1 < m 2gR 2时，物体运动⽅向与原假定⽅向相反，即m 1向上，m 2向下，滑轮沿反时针⽅向转动．§5－3 转动动能⼒矩的功⼀、转动动能如图5－10，设刚体绕通过O 点⽽垂直于图平⾯的定轴转动，⾓速度为ω．当刚体转动时，刚体中各质点都绕定轴作圆周运动，因⽽都有动能．刚体的转动动能等于刚体中所有质点的动能之和．设各质点的质量为Δm 1，Δm 2，Δm 3，…，与转轴的距离为r 1，r 2，r 3，…，线速度为v 1 = r 1ω，v 2 = r 2ω，v 3 = r 3ω，…，则刚体的转动动能为22223322222211k Δ21 Δ21Δ21Δ21ωωωω??=+++=∑i i i r m r m r m r m E 但J r m ii i =∑2Δ为刚体的转动惯量，故E k ⼜可写为2k 21ωJ E =（5－10）即刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与⾓速度的平⽅的乘积的⼀半，(5－10)式与平动动能公式2k 21v m E =形式相似，⽽且量纲也相同．⼆、⼒矩的功如图5－11，设绕定轴转动的刚体在外⼒F 作⽤下有⼀⾓位移d θ，⼒F 在垂直于转轴的平⾯上，从转轴到⼒的作⽤点的径⽮为r ，则⼒的作⽤点的位移d r 的⼤⼩为d s = r d θ．根据定义，⼒F 在位移d r 中的功为d W = F · d r = F cos α d s因α与φ互为余⾓，cos α = sin φ，故上式可写为d W = Fr sin φd θ⼜由(5－2)式Fr sin φ = M 为⼒F 对转轴的⼒矩，故⼜可写为图5－10 图5－11d W = M d θ（5－11）这就是⼒矩M 在微⼩⾓位移d θ中的功的公式．当刚体在⼒矩M 作⽤下产⽣⼀有限⾓位移θ时，⼒矩的功等于(5－11)式的积分：=θθ0d M W （5－12）如果⼒矩M 为常量，则θθθθθM M M W ===??00d d （5－13）如果刚体同时受到⼏个⼒作⽤，则(5－11)及(5－12)式中M 应理解为这⼏个⼒的合⼒矩．当外⼒矩对刚体作功时，刚体的转动动能就要变化，下⾯我们来求⼒矩的功与刚体转动动能的变化之间的关系．由转动定律tJ J M d d ωα== 其中M 为作⽤于刚体的合外⼒矩，在d t 时间内刚体的⾓位移为d θ = ωd t ，合外⼒矩的功为ωωωωθd d d d d d J t t J M W =??== 当刚体的⾓速度由ω1变为ω2时，合外⼒矩对刚体所作的功等于上式的积分，即21222121d 21ωωωωωωJ J J W -==? （5－14）上式指出，合外⼒矩对刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量．例题5－5 ⼀长为l 质量为m 的均匀细长杆OA ，绕通过其⼀端点O 的⽔平轴在铅垂⾯内⾃由摆动．已知另⼀端点A 过最低点时的速率为v 0，杆对通过端点O ⽽垂直于杆长的轴的转动惯量231ml J =，若空⽓阻⼒及轴上的摩擦⼒都可以忽略不计，求杆摆动时A 点升⾼的最⼤⾼度h ．解作⽤于杆的⼒有重⼒m g 及轴对杆的⽀承⼒F N ，⽀承⼒F N 通过O 点，其⼒矩为零．重⼒m g 作⽤于杆的质⼼C ，⼒矩为θsin 2l mg ，当杆沿升⾼⽅向有⾓位移d θ时，由于重⼒矩与⾓位移转向相反．其元功为θθd sin 2d l mg W -= 设θm 为杆的最⼤⾓位移，当杆从平衡位置转到最⼤⾓位移θm 位置时，重⼒矩所作的总功为)cos 1(2d sin 2d m 0m θθθθ--=-==??l mg l mg W W 由图5－12看出，h = l (1-cos θm )，代⼊上式得图5－12mgh W 21-= 杆在平衡位置时的⾓速度l00v =ω，在⾓位移最⼤时的⾓速度0m =ω．由于合外⼒矩的功等于转动动能的增量，故得 20220220613121 21021v v m l m l J m gh W -=??-=-=-=ω由此得 gh 320v = §5－4 绕定轴转动的刚体的⾓动量和⾓动量守恒定律当刚体以⾓速度ω绕定轴转动时，刚体中各质点都绕定轴作圆周运动．设质点P i 的质量为Δm i ，与轴的距离为r i ，线速度的⼤⼩为v i ，则质点P i 的动量的⼤⼩为Δm i v i (图5－13)，P i 对转轴的⾓动量为Δm i v i r i ．刚体中所有质点的⾓动量之和称为刚体对转轴的⾓动量，⽤L 表⽰，则ωωωJ r m r m r m L i i i i i i i i i i =??===∑∑∑22ΔΔΔv这样，刚体的转动定律可写为tL t J t JM d d d )d(d d ===ωω即 tJ t L M d )d(d d ω== （5－15）可以证明：(5－15)式不但适⽤于绕定轴转动的刚体，⽽且适⽤于绕定轴转动的任意物体或物体系．所不同的是，对于绕定轴转动的刚体来说，转动惯量J 是不变的，但对于绕定轴转动的任意物体或物体系来说，J 是可以变化的．在特殊情形下，如果作⽤于转动物体的合外⼒矩M = 0，则由(5－15)式，我们有L = J ω = 常量（5－16）即当物体所受的合外⼒矩等于零时，物体的⾓动量J ω保持不变，这⼀结论称为⾓动量守恒定律．⾓动量守恒有两种情形：① J 不变的情形，由(5－16)式得知ω亦不变，地球的⾃转差不多是这种情形；② J 是变化的情形，由(5－16)式得知，当J 减⼩时，ω增⼤；当J 增⼤时，ω减⼩．例如⼀⼈坐在可以绕铅直轴⾃由转动的凳⼦上，⼿中握着两个很重的哑铃．当他两臂伸开时，使凳⼦和⼈⼀起转动起来，假设轴承处的摩擦很⼩可以忽略不计，则凳⼦和⼈没有受到外⼒矩作⽤，其⾓动量J ω保持不变(图5－14a)．当⼈把两臂收缩时，转动惯量J 减⼩，⾓速度ω就增⼤，即是说⽐两臂伸开时要转得快些(图5－14b)．⼜如跳⽔运动员在空中翻筋⽃图5－13时，先把两臂伸直，当他从跳板跳起时使他⾃⼰以某⼀⾓速度绕通过腰部的⼀⽔平轴线转动，在空中时使臂和腿尽量蜷缩起来，以减⼩转动惯量，因⽽⾓速度增⼤，在空中迅速翻转，当他快要接近⽔⾯时，再伸直两臂和腿以增⼤转动惯量，减⼩⾓速度，以便竖直地进⼊⽔中．⾓动量守恒定律，与前⾯介绍过的动量守恒定律和能量守恒定律⼀样，是⾃然界中的普遍规律之⼀，不但适⽤于宏观物体的机械运动，也适⽤于原⼦、原⼦核和基本粒⼦等微观粒⼦的运动．例题5－6 ⼀⽔平放置的圆盘形转台．质量为m ’，半径为R ，可绕通过中⼼的竖直轴转动，摩擦阻⼒可以忽略不计．有⼀质量为m 的⼈站在台上距转轴为2R 处．起初⼈和转台⼀起以⾓速度ω1转动，当这⼈⾛到台边后，求⼈和转台⼀起转动的⾓速度ω2．解以⼈和转台为⼀系统，该系统没有受到外⼒矩作⽤，因此⾓动量守恒：J 1ω1 = J 2ω2 =常量即 22212221421ωω??? ??+'=???? ?+'mR R m R m R m 由此得 12422ωωmm m m +'+'= 思考题5－1 对于定轴转动刚体上的不同点来说，下⾯的物理量中哪些具有相同的值，哪些具有不同的值？线速度、法向加速度、切向加速度、⾓位移、⾓速度、⾓加速度．5－2 飞轮转动时，在任意选取的⾓位移间隔Δθ内，⾓速度的增量Δω相等，此飞轮是在作匀加速转动吗?5－3 作⽤在刚体上的合外⼒为F ，合外⼒矩为M ，举例说明在什么情况下(1) F ≠ 0⽽M = 0；(2) F = 0⽽M ≠ 0；(3) F = 0且M = 0．5－4 当刚体受到若⼲外⼒作⽤时，能否⽤平⾏四边形法先求它们的合⼒，再求合⼒的⼒矩？其结果是否等于各外⼒的⼒矩之和？5－5 在磁带录⾳机中，驱动装置将磁带匀速拉过读写磁头，于是磁带被拉出的⼀端卷带轴上剩余的磁带半径逐渐减⼩，作⽤在该卷带轴上的⼒矩随时间如何变化？该卷带轴的⾓速度随时间如何变化？5－6 如果要设计⼀个存储能量的飞盘，在质量和半径相同的情况下，应该选取质量均匀分布的圆盘形的还是质量集中在边缘的圆环形的呢？当⾓速度相同时，⼆者的转动动能之⽐为多少？图5－145－7 ⼏何形状完全相同的铁圆盘与铝圆盘，哪⼀个绕中⼼对称轴的转动惯量⼤？要使它们由静⽌开始绕轴转动并获得相同的⾓速度，对哪⼀个圆盘外⼒矩要作更多的功？5－8 恒星起源于缓慢旋转的⽓团，在重⼒作⽤下，这些⽓团的体积逐渐减⼩，在恒星尺度收缩的过程中，它的⾓速度如何变化？习题5－1 ⼀个螺丝每厘⽶长度上有20条螺纹，⽤电动螺丝起⼦驱动，在12.8s 内推进了1.37cm ，求螺丝的平均⾓速度．5－2 转盘半径为10.0cm ，以⾓加速度10.0 rad/s 2由静⽌开始转动，当t = 5.00s 时，求(1) 转盘的⾓速度；(2) 转盘边缘的切向加速度和法向加速度．5－3 ⼀个匀质圆盘由静⽌开始以恒定⾓加速度绕过中⼼⽽垂直于盘⾯的定轴转动．在某⼀时刻，转速为10.0 r/s ，再转60转后，转速变为15.0 r/s ，试计算：(1)⾓加速度；(2)由静⽌达到10.0 r/s 所需时间；(3)由静⽌到10.0 r/s 时圆盘所转的圈数．5－4 如图所⽰，半径r 1 = 30.0 cm 的A 轮通过⽪带被半径为r 2 = 75.0 cm 的B 轮带动，B 轮以π rad/s 的匀⾓加速度由静⽌起动，轮与⽪带间⽆滑动发⽣，试求A 轮⾓速度达到3.00×103 r/min 所需要的时间．5－5 在边长为b 的正⽅形的顶点上，分别有质量为m 的四个质点，求此系统绕下列转轴的转动惯量：(1)通过其中⼀质点A ，平⾏于对⾓线BD 的转轴，如图所⽰．(2)通过A 垂直于质点所在平⾯的转轴．5－6 求半径为R ，质量为m 的均匀半圆环相对于图中所⽰轴线的转动惯量．5－7 代换汽车引擎盖密封垫时要求对螺栓的扭矩达到90.0N·m(扭矩过⼤会使密封垫失效)，如果使⽤长度为45.0 cm 的扳⼿，如图所⽰，在垂直于扳⼿⼿柄⽅向⽤多⼤的作⽤⼒可以完成这⼀⼯作？5－8 ⽔井上提⽔的辘轳为圆柱形，半径为0.200m ，质量为5.00kg ，辘轳缠绕的轻绳上悬挂的⽔桶质量为3.00kg ，如图所⽰．辘轳失去控制使⽔桶⽆初速地下落，在2.00s 后达到井下⽔⾯，忽略辘轳轴上的摩擦阻⼒，求(1) ⽔桶下落的加速度；(2) 井⼝到⽔⾯的深度；(3) 辘轳的⾓加速度．题5－4图题5－5图题5－6图题5－7图5－9 圆盘形飞轮直径为1.25m ，质量为80.0kg ，飞轮上附着的滑轮半径为0.230m ，质量可以忽略，电动机通过环绕滑轮的⽪带驱动飞轮顺时针旋转，如图所⽰．当飞轮的⾓加速度为1.67rad/s 2时，上段⽪带中的张⼒为135N ，忽略轴上的摩擦阻⼒，求下段⽪带中的张⼒．5－10 制陶旋盘半径为0.500m ，转动惯量为12.0kg·m 2，以转速50.0r/min 旋转．陶⼯⽤湿抹布沿径向施加70.0N 的⼒按住旋盘的边缘，使之在6.00s 内制动，求旋盘的边缘和湿抹布之间的有效滑动摩擦系数．5－11 ⼀轻绳跨过滑轮悬有质量不等的⼆物体A 、B ，如图所⽰，滑轮半径为20.0 cm ，转动惯量等于50.0 kg·m 2，滑轮与轴间的摩擦⼒矩为98.1N·m ，绳与滑轮间⽆相对滑动，若滑轮的⾓加速度为2.36 rad/s 2，求滑轮两边绳中张⼒之差．5－12 如图所⽰的系统中，m 1 = 50.0 kg ，m 2 = 40.0 kg ，圆盘形滑轮质量m = 16.0 kg ，半径R = 0.100 m ，若斜⾯是光滑的，倾⾓为30°，绳与滑轮间⽆相对滑动，不计滑轮轴上的摩擦，(1)求绳中张⼒；(2)运动开始时，m 1距地⾯⾼度为1.00 m ，需多少时间m 1到达地⾯？5－13 飞轮质量为60.0 kg ，半径为0.250 m ，当转速为1.00×103 r/min 时，要在5.00 s 内令其制动，求制动⼒F ，设闸⽡与飞轮间摩擦系数µ = 0.400，飞轮的转动惯量可按匀质圆题5－8图题5－9图题5－11图题5－12图题5－13图题5－15图盘计算，闸杆尺⼨如图所⽰．5－14 ⼀个风扇转速为900 r/min ，当马达关闭后，风扇均匀减速，⽌动前它转过了75转，在此过程中制动⼒作的功为44.4 J ，求风扇的转动惯量和摩擦⼒矩．5－15 如图所⽰，质量为24.0 kg 的⿎形轮，可绕⽔平轴转动，⼀绳缠绕于轮上，另⼀端通过质量为5.00 kg 的圆盘形滑轮悬有10.0 kg 的物体，当重物由静⽌开始下降了0.500 m 时，求：(1)物体的速度；(2)绳中张⼒．设绳与滑轮间⽆相对滑动．5－16 蒸汽机的圆盘形飞轮质量为200 kg ，半径为1.00 m ，当飞轮转速为120 r/min 时关闭蒸汽阀门，若飞轮在5.00 min 内停下来，求在此期间飞轮轴上的平均摩擦⼒矩及此⼒矩所作的功．5－17 长为85.0 cm 的均匀细杆，放在倾⾓为45°的光滑斜⾯上，可以绕过上端点的轴在斜⾯上转动，如图所⽰，要使此杆实现绕轴转动⼀周，⾄少应给予它的下端多⼤的初速度？ 5－18 如图所⽰，滑轮转动惯量为0.0100 kg·m 2，半径为7.00 cm ，物体质量为5.00 kg ，由⼀绳与劲度系数k = 200 N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间⽆相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直弹簧⽆伸长时，使物体由静⽌⽽下落的最⼤距离；(2)物体速度达最⼤值的位置及最⼤速率． 5－19 圆盘形飞轮A 质量为m ，半径为r ，最初以⾓速度ω0转动，与A 共轴的圆盘形飞轮B 质量为4m ，半径为2r ，最初静⽌，如图所⽰，两飞轮啮合后，以同⼀⾓速度ω转动，求ω及啮合过程中机械能的损失． 5－20 ⼀⼈站在⼀匀质圆板状⽔平转台的边缘，转台的轴承处的摩擦可忽略不计，⼈的质量为m ’，转台的质量为10 m ’，半径为R ．最初整个系统是静⽌的，这⼈把⼀质量为m 的⽯⼦⽔平地沿转台的边缘的切线⽅向投出，⽯⼦的速率为v （相对于地⾯）．求⽯⼦投出后转台的⾓速度与⼈的线速度．5－21 ⼀⼈站⽴在转台上，两臂平举，两⼿各握⼀个m = 4.00 kg 的哑铃，哑铃距转台轴r 0 = 0.800 m ，起初，转台以ω0 = 2π rad/s 的⾓速度转动，然后此⼈放下两臂，使哑铃与轴相距r = 0.200 m ，设⼈与转台的转动惯量不变，且J = 5.00 kg·m 2，转台与轴间摩擦忽略不计，求转台⾓速度变为多⼤？整个系统的动能改变了多少？5－22 证明刚体中任意两质点相互作⽤⼒所作之功的和为零．如果绕定轴转动的刚体除受到轴的⽀承⼒外仅受重⼒作⽤，试证明它的机械能守恒．5－23 ⼀块长L = 0.500 m ，质量为m ＝3.00 kg 的均匀薄⽊板竖直悬挂，可绕通过其上端的⽔平轴⽆摩擦地⾃由转动，质量m = 0.100 kg 的球以⽔平速度v 0 = 50.0 m/s 击中⽊板中题5－17图题5－18图题5－19图⼼后⼜以速度v = 10.0 m/s 反弹回去，求⽊板摆动可达到的最⼤⾓度．⽊板对于通过其上端轴的转动惯量为231L m J '= ． 5－24 半径为R 质量为m '的匀质圆盘⽔平放置，可绕通过圆盘中⼼的竖直轴转动．圆盘边缘及R /2处设置了两条圆形轨道，质量都为m 的两个玩具⼩车分别沿⼆轨道反向运⾏，相对于圆盘的线速度值同为v ．若圆盘最初静⽌，求⼆⼩车开始转动后圆盘的⾓速度．5－25 花样滑冰运动员起初伸展⼿臂以转速1.50r/s 旋转，然后他收拢⼿臂紧靠⾝体，使他的转动惯量减少到原来的3/4，求该运动员此时的转速．5－26 旋转⽊马转盘半径为2.00m ，质量为25.0kg ，假设可视为圆盘形刚体，转速为0.200r/ s ，⼀个质量为80.0kg 的⼈站在转盘边缘．当此⼈⾛到距转轴1.00m 处时，求转盘的⾓速度和⼈和转盘组成的系统转动动能的改变量．。
第5章 刚体力学基础
0
R 2λ d l
o
R
dm
质点作圆周运动、 质点作圆周运动、圆筒
例5-4（2）求质量为 、半径为 的均匀薄圆盘对中心轴的转 （ ）求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转 动惯量。 动惯量。 设面密度为σ 解：设面密度为 。 R r 宽为d 的薄圆环, 取半径为 r 宽为 r 的薄圆环
o
dr
5.2.2 转动惯量的计算： 转动惯量的计算：
描述刚体转动惯性大小的物理量。 描述刚体转动惯性大小的物理量。
1、定义：刚体对转轴的转动惯量： 、定义：刚体对转轴的转动惯量： 转轴的转动惯量
J = ∑ ∆m i ri
i =1
n
2
J = ∫ r2 dm
2、转动惯量的计算： 、转动惯量的计算： 若质量离散分布： 若质量离散分布：
舍去t t = 0 . 55 s ( 舍去 = 0 和 t = -0.55 ) 此时砂轮的角度： 此时砂轮的角度：
θ = ( 2 + 4 t 3 ) = 2 + 4 × 0.55 3 = 2.67 (rad)
一飞轮从静止开始加速， 补充例题 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地 内其角速度均匀地 增加到200 rad/min，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予 增加到 ，然后以这个速度匀速旋转一段时间， 以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后 飞轮停止了转动。 以制动，其角速度均匀减小。又过了 后，飞轮停止了转动。 若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？ 若飞轮总共转了 转 求共运转了多少时间？ 解：整个过程分为三个阶段 ①加速阶段 ω 1 = β 1 t1 ②匀速阶段 θ 2 = ω 1 t 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
第五章 刚体力学参考答案(修改稿)
一、 选择题【 B 】1、［基础训练1］ 一刚体以60r/min 绕z 轴做匀速转动(ω沿z 轴正方向)．设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r 5 4 3++=，其单位为“10-2 m ”，若以“10-2 m ·s -1”为速度单位，则该时刻P 点的速度为：(A) k j i157.0 125.6 94.2++=v (B) j i 8.18 1.25+-=v(C) j i8.18 1.25--=v (D) k 4.31=v [ ]【提示】：k nπω2= 由 86V r i j ωππ=⨯=-+【 B 】2、[基础训练5 ]如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为231ML ．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 21，则此时棒的角速度应为 (A)ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) MLm 35v ． (D) ML m 47v． [ ]【提示】：把质点与子弹看作一个系统，该系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒有：21123L mv L m v ML ω⋅=⋅+⋅ 由此可得出答案。
图5-9【 C 】3、[基础训练7]一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度(A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． [ ]【提示】：把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。
设L 为每一子弹相对与O 点的角动量大小，ω0为子弹射入前圆盘的角速度，ω为子弹射入后的瞬间与圆盘共同的角速度，J 为圆盘的转动惯量，J 子弹为子弹转动惯量，据角动量守恒定律有：00()J L L J J J J J ωωωωω+-=+=<+子弹子弹【 D 】4、[自测提高2]图5-21(a)为一绳长为l 、质量为m 的单摆．图5-21(b)为一长度为l 、质量为m 能绕水平固定轴O 自由转动的匀质细棒．现将单摆和细棒同时从与竖直线成θ 角度的位置由静止释放，若运动到竖直位置时，单摆、细棒角速度分别以ω 1、ω 2表示．则： (A) 2121ωω=． (B) ω 1 = ω 2．m图5-11 v21v俯视图(C) 2132ωω=． (D) 213/2ωω=．【提示】： 单摆和细棒同时从与竖直线成θ 角度的位置由静止 释放运动到竖直位置时，系统只有保守内力(重力)做功， 故满足机械能守恒条件，则对单摆和细棒分别有：图5-21 221221(cos )21(cos )222mg l l m l l l mg J θωθω⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩（1）（2）(1) 式以单摆运动到竖直位置时为重力势能的零势点，(2)式以匀质细棒质心运动到竖直位置时为零势点。
05.刚体力学
a at R
联立四式解得：
---- （4）
m1 g
m2 g
Mf m2 m1 g R a 1 m1 m2 m 2
Mf m2 m1 g R a 1 m1 m2 m 2 m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2 m2 M f m 2 m1 m 2 g 2 R T2 m 2 g a m m1 m 2 2
P
vP
4
y
单位均为cm s
3
o
x
2 k rad s1
z
5
rP 3i 4 j 5 k cm
该时刻P点的速度为： 3
rP
P
vP
4
y
o
v r 0 3
i
j 0 4
k 2 5
x
-1 v 25.1i 18.8 j (cm s )
* 简化为研究转动平面内的运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量均表示为代数量
四.角速度矢量
角速度:
旋转方向 O
d lim t 0 t dt
角速度矢量
R
P
v
方向：右手螺旋法则 垂直于运动平面，沿轴
o
r
v r
2 3L 4
z
A L4
m o
L
C
B
解1：
解2： J z J C m L 1 mL2 m L 7 mL2 48 4 12 4
刚体力学 (5)
若刚体转动过程中只有重力矩作功， 机械能守恒。 若刚体转动过程中只有重力矩作功，则 机械能守恒。 例2. 一质量为 m 长为 L 的均匀细棒 A OA 可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖 直平面内转动， 直平面内转动，今使棒从水平位置开 始自由下摆， 始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时 （1）质心 C 和端点 A 的线速度 ） （2）质心 C 的线加速度 ） 解法一（ ）研究对象： 解法一（1）研究对象：细棒 r r 受力分析： 不考虑） 受力分析： mg （ N 不考虑）
L
L
m
⋅c
m
*垂直轴定理 垂直轴定理
1 J c = mL2 12 1 L 2 2 J = ( mL ) + m ( ) 12 2
z
1 2 = mL 3
Jz = J x + J y
x
y
8
4. 刚体定轴转动定律 r 对转轴的力矩） （1）力矩（力 F 对转轴的力矩） ）力矩（
r τ = rF sin θ
1 2 ' ' a = Rβ , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
12
T2 m2 g
联立求得： 联立求得：
问：如何求角加速度？ 如何求角加速度？
a=
(m2 − m1 )g −
τr
R
根据 a τ = β R 可求得 注意： 注意：当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时： 及摩擦阻力时：
1 m1 + m2 + m 2
1 τr m1[(2m2 + m)g − ] R 2 T = 1 1 m1 + m2 + m 2
m = 0,
τr = 0
( m 2 − m1 ) a= g m1 + m 2
第五章 刚体力学基础 动量矩参考答案
第五章 刚体力学基础 动量矩班级______________学号____________姓名________________一、选择题1、力kNj i F )53(+=，其作用点的矢径为m j i r )34(-=，则该力对坐标原点的力矩大小为 （ B ）(A)m kN ⋅-3； （B ）m kN ⋅29； (C)m kN ⋅19； (D)m kN ⋅3。
2、圆柱体以80rad /s 的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为24m kg ⋅。
由于恒力矩的作用，在10s 内它的角速度降为40rad /s 。
圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为( D ) (A)80J ，80m N ⋅；(B)800J ，40m N ⋅；(C)4000J ，32m N ⋅；(D)9600J ，16m N ⋅。
3、 一匀质圆盘状飞轮质量为20kg ，半径为30cm ，当它以每分钟60转的速率旋转时，其动能为 ( D )(A)22.16π J ； (B)21.8πJ ；（C ）1.8J ； （D ）28.1πJ 。
4、如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘状定滑轮。
绳的两端分别系着质量分别为m 和2m 的重物，不计滑轮转轴的摩擦。
将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力。
（ D ）(A)mg ； (B)3mg /2； (C)2mg ； (D)11mg /8。
5、一根质量为m 、长度为L 的匀质细直棒，平放在水平桌面上。
若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t =0时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为0ω，则棒停止转动所需时间为 (A )(A)μωg L 3/20； (B) μωg L 3/0； (C) μωg L 3/40； (D) μωg L 6/0。
6、关于力矩有以下几种说法，其中正确的是 ( B )（A ）内力矩会改变刚体对某个定轴的角动量（动量矩）； （B ）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；（C ）角速度的方向一定与外力矩的方向相同；（D ）质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。
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38第五章刚体力学5-1作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为2n va R =，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成反比；也可以写为2n a R ω=，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成正比。
这两者是否有矛盾？为什么？解：没有矛盾。
根据公式2n v a R =，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成反比，是有条件的，这个条件就是保持v 不变；根据公式2n a R ω=，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R 成正比，也是有条件的，条件就是保持ω不变。
5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？解：设圆盘的角速度为ω，角加速度为α，则：（1）圆盘以恒定角速度转动时：()20n a R d R dv a dt dtτωω⎧=⎪⎨===⎪⎩0a τ=、n a 数值均是恒定的。
（2）圆盘以恒定角加速度转动时：000t dt t ωωαωα=+=+∫（其中0ω为0t =时圆盘转动的角速度）()()220n a R t R d R dv a R dt dt τωωαωα⎧==+⎪∴⎨===⎪⎩n a 数值是变化的、而a τ数值均是恒定的。
5-3原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30s 后转速达到1152rad s −⋅。
求：(1)在这30s 内电机皮带轮转过的转数；(2)接通电源后20s 时皮带轮的角速度；39(3)接通电源后20s 时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为5.0cm。
解：电机作匀速转动，所以角加速度α为常量()00ω=d dt ωα=∵0t dt t ωαα∴==∫故：2152 5.0730rad s t ωα−===⋅而：d dt θω=20012t t dt tdt t θωαα∴===∫∫（1）2211152302280362.92230t rad θα==××=≐转（2）'15.0720101.3t rad s ωα−==×⋅≐（3）''15.07v R m s ω−==⋅225.075100.254a R m s τα−−==××=⋅2'2222101.3510513.1n v a R m s R ω−−===××=⋅5-4一飞轮的转速为1250rad s −⋅，开始制动后作匀变速转动，经过90s 停止。
求开始制动后转过33.1410rad ×时的角速度。
解：d dtωα=∵00t dt t ωωαα∴−==∫2025025 2.8909rad s t ωα−∴=−=−=−=−⋅()'''230001 3.14102t t dt t t θωαωα=+=+=×∫即：()'2'31 2.8250 3.141002t t ×−+−×='13.6t s ∴='10250 2.813.6212t rad s ωωα−∴=+=−×=⋅5-5分别求出质量为m =0.50kg、半径为r =36cm 的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是1105rad s −⋅，它们的转动动能各为多大？40解：222220.500.360.0648 6.4810J mr kg m kg m −==×=⋅=×⋅环24222201122 3.241042r m J r r dr r r kg m r ρππππ−=⋅⋅=⋅⋅==×⋅∫盘()22211 6.481010535722E J J ω−∴==×××≐环环()22211 3.2410105178.522E J J ω−==×××≐环盘5-6将一根均匀细直杆等分为四段，每段的长度为l 、质量都为l m ，并在直杆内的三个等分点上分别放置一个质量为m 的质点。
现使此体系以角速度ω绕过其一端点并与细杆垂直的轴转动，试求此体系相对该转轴的转动惯量和转动动能。
解：据题意，体系的转动惯量为：()()()()2222216444231433l l J m l ml m l m l m m l ⎛⎞=+++=+⎜⎟⎝⎠体系的转动动能为：222221164321472233k l l E J m m l m m l ωωω⎛⎞⎛⎞==+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5-7转动惯量为220kg m ⋅、直径为50cm 的飞轮以1105rad s −⋅的角速度旋转。
现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。
求：(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；(3)摩擦力矩所作的功。
已知：220J kg m =⋅150 2.5102R cm m −==×11105rad s ω−=⋅()400N N =0.50µ=110rad s ω−=⋅求：（1）f M （2）t （3）A解：（1）()10.5400 2.51050f M fR N R N m µ−=−=−⋅=−×××=−⋅41（2）由动能定理：()22225211111120105 1.1102222A J J J J ωωω=−=−=−××=−×（3）由转动定理：f d M J dt ω=得：250 2.520f M d rad s dt J ω−−===−⋅积分得：2102.5 2.5t dt t ωω−=−=−∫()1105422.5 2.5t s ω∴===5-8轻绳缠绕在一个质量为0m 的圆盘状定滑轮的边缘，其一端悬挂一质量为m 的物体，如图所示，如果滑轮的半径为r ，求物体与滑轮之间的绳子张力、物体下落的加速度和圆盘的角加速度。
解：圆盘的转动惯量为：2012J m r =()()2012mg T ma m r Tr J m r ααα⎧−==⋅⎪∴⎨==⎪⎩由牛顿第二定律得由转动定理得解得：()()000022122mg m m r m mg T m r m m αα⎧=⎪+⎪∴⎨⎪==⎪+⎩物体下落的加速度为：022mga r m m α==+5-9轻绳跨过一个质量为M 的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为m 的物体，另一端施加一竖直向下的拉力F ，使定滑轮按逆时针方向转动，如图所示。
如果滑轮的半径为r，求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速度。
解：如图示为各物体的受力情况：()()()T mg ma m r F T r J αα⎧−==⋅⎪⎨−=⎪⎩由牛顿第二定律得由转动定理得42即得：()()()1122T mg m r F T r Mr αα−=⋅⎧⎪⎨−=⎪⎩⋯⋯⋯（1）+（2）得：12F mg m M r α⎛⎞−=+⎜⎟⎝⎠()()22F mg m M rα⋅−∴=+故：()()()222222F mg a r m M F mg m Mg F T mg m m M m Mα⋅−⎧=⋅=⎪⎪+⎨⋅−⋅+⎪=+⋅=⎪++⎩5-10一根质量为m、长为l 的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动，如图5-8所示。
现使棒从水平位置自由下摆，求：(1)开始摆动时的角加速度；(2)摆到竖直位置时的角速度。
解：（1）开始摆动时细棒所受力矩为：2lmg ⋅由转动定理：2l mg J α⋅=2322123l l mg mg g J l ml α⋅⋅∴===（2）由机械能守恒：2122l mg J ω⋅=ω∴=5-11一根高为h 的均匀直杆，起初竖直立于地面上，后因受扰动而倒下，求直杆顶端触及地面时直杆的角加速度和线速度。
解：设：直杆的质量为m ，直杆倒下过程中，直杆没有滑动。
由机械能守恒定律：2221112223l mg J ml ωω⎛⎞⋅==⋅⋅⎜⎟⎝⎠v l ω∴=（直杆顶端的线速度）43由转动定理得：2123l mg J ml αα⎛⎞⋅==⋅⎜⎟⎝⎠232123l mg g l ml α⋅∴==5-12有一质量为m 、长为l 的均匀细直棒，其一端由桌子边缘支撑，另一端用手指托住，使它呈水平状。
在某瞬间突然将手指抽回，求在此瞬间：（1）直棒绕桌边支撑点的角加速度；（2）直棒质心的竖直加速度；（3）桌边支撑点作用于直棒的竖直方向的力的大小。
解：（1）均匀细真棒绕桌边的转动惯量为：213J ml =手指抽回的瞬间，由转动定理得：2123l mg J ml αα⎛⎞⋅==⋅⎜⎟⎝⎠232123l mg g l ml α⋅∴==（2）直棒质心的竖直加速度为：332224c l g l g a l α=⋅=⋅=（3）对于质心，真棒在竖直方向受重力和桌边支撑点的作用力T 共同作用，由牛顿第二定律得：c mg T ma −=3144c T mg ma m g g mg ⎛⎞∴=−=−=⎜⎟⎝⎠5-13如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？答：冰山融化，则两极的冰溶化为水后，向海洋中流动，海平面升高，地球的转动惯量增大。
角动量守恒定律知，地球的自转会变慢。
（J ω=∵常量）5-14一个质量为0m 半径为R 的圆盘状平台，以角速度Ω绕通过中心的竖直轴自由旋转。
有一质量为m 的小爬虫垂直地落在平台的边缘。
问：Tmg44（1）小爬虫刚落到平台边缘时，平台的转速是多少？（2）当小爬虫从平台边缘向平台中心爬动离中心的距离为r 时，平台的转速是多少？解：（1）圆盘的转动惯量为：21012J m R =小虫对平台中心的转动惯量为：22J mR =由角动量守恒定律：()112J J J ωΩ=+011202m J J J m mωΩΩ∴==++（2）当小爬虫从平台边缘向平台中心爬动离中心的距离为r 时，小虫对平台中心的转动惯量为：'22J mr =；由角动量守恒定律：()'112J J J ωΩ=+201'221202m R J J J m R mr ωΩΩ∴==++5-15一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为1ω，它相对于此轴的转动惯量为1J 。
现在它的正上方有一个以角速度为2ω转动的圆盘，这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为2J 。
两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上。