刚体绕质心轴的转动惯量最小如
刚体转动惯量的研究
刚体转动惯量的研究转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。
测量特定物体的转动惯量对某些研究设计工作都具有重要意义。
刚体的转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量的分布及转轴的位置有关。
如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量就相当于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即++=21J J J 对于形状简单的匀质刚体，可以用数学方法直接计算出其绕定轴转动时的转动惯量，但对形状比较复杂或非匀质刚体，一般通过实验来测量。
刚体的转动惯量可以用扭摆、三转摆、转动惯量仪等仪器进行测量。
（一）用扭摆法测定刚体的转动惯量一 实验目的1. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的设备常数（弹簧的扭转系数）K ;2. 用扭摆测量几种不同形状刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；3. 验证转动惯量的平行轴定理。
二 仪器和用具扭摆装置及其附件（塑料圆柱体等），数字式计时仪，数字式电子天平， 钢直尺，游标卡尺等。
三 实验装置及原理 扭摆的结构如图4-1所示，在垂直轴1上，装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴1的上方可以安装各种待测物体。
为减少摩擦，在垂直轴和支座间装有轴承。
3为水准器，以保证轴1垂直于水平面。
将轴1上方的物体转一个角度θ，由于弹簧发生形变将产生一个恢复力矩M ，则物体将在平衡位置附近作周期性摆动。
根据虎克定律有θK M -= (4-1) 式中k 为弹簧的扭转系数。
而由转动定律有βJ M = 式中J 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，将式4-1代入上式即有θβJK-= (4-2) 令J K /2=ω，则有θωβ2-=此方程表示扭摆运动是一种角谐振动。
方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中A 为角谐振动的角振幅, ϕ为初相位角, ω为角谐振动的圆频率。
此谐振动摆动周期为KJT πωπ22==(4-3)由此可见,对于扭摆,只要测定某一转动惯量已知的物体(如形状规则的匀质物体,可用数学方法求得其转动惯量)的摆动周期,即可求得扭转系数K ,对其它物体,只要测出摆动周期T ,就可根据式(4-3)求得转动惯量J 。
转动惯量_精品文档
转动惯量刚体是力学中的一个理想模型, 是指在任何情况下物体形状、大小都不发生变化的力学研究对象, 其运动主要是平动与转动, 而转动是最主要的研究方向。
在日常生活与生产中, 许多现象都可以视为刚体的转动, 如电机转子的转动, 炮弹的自旋等。
因此研究刚体的转动有着极其重要的作用和意义。
刚体的转动惯量是非常重要的物理量, 它表示刚体转动惯性大小的物理量, 是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。
如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、导弹和卫星的发射等, 都不能忽视转动惯量的大小。
因此转动惯量的测量成为大学物理实验中的基本实验。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴位置都有关系。
对于形状规则、材料密度均匀的标准件, 它的转动惯量可以根据公式计算, 但在工程实践中, 我们常碰到大量形状复杂, 且质量分布不均匀的刚体（例如枪炮的弹丸、电动机的转子等）, 计算它们的转动惯量非常困难, 通常用实验的方法来确定。
转动惯量的测量, 基本实验方法是转换测量。
即使刚体以一定的形式运动, 通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系, 进行转换测量。
刚体转动惯量的测量方法有很多, 如利用三线摆、扭摆、刚体转动实验仪等。
本实验使刚体做扭转摆动, 由摆动周期及其它参数的测定算出刚体的转动惯量。
实验目的1. 熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测量仪的使用2. 利用塑料圆柱体和扭摆测定几种不同形状刚体的转动惯量J和扭摆弹簧的扭摆常数K3. 研究刚体转动周期与转轴位置改变时的变化规律实验原理本实验使物体作扭转摆动, 测定摆动周期和其它参数, 从而计算出刚体的转动惯量。
扭摆的构造如图1所示。
垂直轴上装有金属细杆, 水平仪通过调节仪器底座上的三螺钉使顶面水平, 螺旋弹簧用以产生恢复力矩, 使垂直轴上装的待测物体作简谐振动。
图1 扭摆构造简图扭摆的简谐振动: 将待测物体装在垂直轴上, 并转过一定角度θ, 在弹簧的恢复力矩作用下, 物体开始绕垂直轴作往返运动。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体的转动惯量
刚体的转动惯量1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量 的定义式 I miri2 可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相 应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如质量相同、半径也相同的圆盘与圆环， 二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以， 圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等 的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴， 二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量 的大小.刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 I miri2·········○1可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.dm dx dm dS dm dV于是 I r2dm r2dx l I r2dm r2 dS S I r2dm r2dV V一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.（2）刚体对某轴的转动惯量刚体对 z 轴的转动惯量 Iz r2 z2 dm x2 y2 dm·········○2a刚体对 x 轴的转动惯量 Ix r2 x2 dm y2 z2 dm·········○2b刚体对 y 轴的转动惯量 Iy r2 y2 dm x2 z2 dm·········○2c仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.（3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点 O 的转动惯量可表示为 IO x2 y2 z2 dm·········○3由式○2 、○3 ，得 IO1 2Ix Iy Iz·········○4即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的 转动惯量之和的一半. 3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）I IC md 2·········○5即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为 md 2 .（2）设有两条平行轴 PP ' 与 QQ ' 均不通过质心 C . 如果 PP ' 比 QQ ' 靠近 C ，则刚体绕PP '轴的转动惯量小于绕 QQ ' 轴的转动惯量（如图所示）.QP·C·CQ′P′(a)(b)平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上（3）如果有一簇与质心 C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图 7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.Iz Ix Iy·········○6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二．轴．交．点．且垂．直．于图形平面的那条转轴的转动惯量.注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，I I1 I2 I3 ·········○7即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转 动惯量的叠．加．原．理．.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.。
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体的转动惯量
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
什么是刚体转动惯量的平行轴定理
什么是刚体转动惯量的平行轴定理在物理学中，刚体转动惯量是描述刚体绕轴线旋转的难易程度的物理量。
对于一个给定的刚体，它的转动惯量可能会因为绕不同的轴旋转而发生变化。
在这种情况下，我们就需要用到平行轴定理，来方便地计算出刚体绕某个轴线的转动惯量。
那么，什么是刚体转动惯量的平行轴定理呢？1. 简介刚体的转动惯量可以用来描述刚体围绕某一轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
而平行轴定理则是描述了这种转动惯量与刚体其他轴线转动惯量的关系。
平行轴定理为计算刚体围绕通过其质心的平行轴的转动惯量提供了一种便捷的方法。
2. 平行轴定理的表述刚体绕通过其质心的轴线的转动惯量可以通过以下公式得到：\[I = \sum m_i r_i^2\]其中，\(m_i\) 是刚体的质量，\(r_i\) 是每个质点到旋转轴的距离。
而根据平行轴定理，刚体绕与通过其质心平行且距离为\(d\)的轴线的转动惯量\(I'\)可以通过以下公式得到：这个公式说明了一个重要的性质，即刚体关于通过其质心的任意一条与初始轴平行的轴线的转动惯量恰好等于其关于质心轴的转动惯量与质量总和乘以平行距离的平方之和。
3. 应用举例为了更好地理解平行轴定理，我们可以通过一个简单的例子来说明其应用。
还是看一个在平行轴定理基础上的问题：求一组质点围绕一个与之共面的轴的转动惯量。
假设有一根长为\(L\)，均匀质量为\(m\)，质点在其上的刚直杆围绕其中心转轴竖直旋转。
竖直轴上有一组质点，每个质点的质量为\(m_i\)，距离竖直轴的水平距离为\(r_i\)。
我们需要求解这组质点围绕竖直轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以利用已知的关于质心轴的转动惯量和平行轴定理来解决这个问题。
我们需要计算关于质心轴的转动惯量。
\[I = \frac{1}{12}mL^2\]我们需要计算每个质点关于质心轴的转动惯量。
根据平行轴定理，我们可以得到这组质点关于竖直轴的转动惯量。
刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
；求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。
2.定轴转动定理 (1)
1 J L1 = m L L2， 3 1 J O = mO R 2 2
mO
O’ •
2
mL
J L 2 = J O + mO d
1 1 2 J = m L L + mO R 2 + m O ( L + R ) 2 3 2
例：半经为 R ，质量为 m 的均匀圆环， 的均匀圆环， 求：对于沿直径转轴的转动惯量
df R
r O
dM = r ⋅ df = µσ 2πgr ⋅ dr
2
dM = 2πµσgr ⋅ dr
2
2 M = ∫ 2πµσgr dr = πµσgR 3 3 问题： 问题： 0
2
R
dr
若圆盘以ω 的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？ 若圆盘以 0 的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？
一、刚体定轴转动的角动量 刚体上任一质元∆m i 在垂直 轴的平面内作圆周运动。 于 z 轴的平面内作圆周运动。 对 z 轴的角动量沿 z 轴 正向，大小为： 正向，大小为：
2
Jz =
∑ ∆m r
Lz = J zω
2
i i
——刚体对 z 轴的转动惯量 刚体对 轴的转动惯量
z
轴的角动量为： 刚体对 z 轴的角动量为：
ω
v ri O
即：刚体绕定轴转动时， 刚体绕定轴转动时， 对转轴的角动量，等于刚 对转轴的角动量，等于刚 体对转轴的转动惯量与 体对转轴的转动惯量与角 速度的乘积 的乘积。 速度的乘积。
J = ∫ R dm
2 0
M
M
o
dm
=R
2
∫
M
0
dm = MR
2
R
绕圆环质心轴的转动惯量: 绕圆环质心轴的转动惯量
理论力学试题库
《理论力学》试题库一、判断体：1. 没有参照系就无法描述物体的位置和运动。
2. 经典力学可分为牛顿力学和分析力学两大部分。
3. 运动是绝对的，而运动的描述是相对的。
4. 相对一个惯性系运动的参照系一定不是惯性系。
5. 相对一个惯性系作匀速直线运动的参照系也是一个惯性系。
6. 经典力学的相对性原理表明：所有参照系等价。
7. 通过力学实验不能确定参照系是否为惯性系。
8. 通过力学实验不能确定参照系是否在运动。
9. 位移矢量描述质点的位置。
10. 表述为时间函数的位置变量称为运动学方程。
11. 质点的轨道方程可以由运动学方程消去时间变量得到。
12. 速度矢量的变化率定义为加速度。
13. 速率对时间的一阶导数定义为加速度。
14. 速率对时间的一阶导数等于切向加速度。
15. 若质点的加速度为常矢量则其必作直线运动。
16. 极坐标系中的径向加速度就是向心加速度。
17. 在对物体运动的描述中，参照系和坐标系是等价的。
18. 若质点作圆周运动，则其加速度恒指向圆心。
19. 牛顿第二定律只适用于惯性系。
20. 若质点组不受外力则机械能守恒。
21. 质点组内力对任意点力矩的矢量和与内力有关。
22. 内力不能改变系统的机械能。
23. 内力可以改变系统的机械能。
24. 内力不改变系统的动量。
25. 内力可以改变系统的动量。
26. 质点组内力的总功可以不等于零。
27. 质点系动量守恒时动量矩不一定守恒。
28. 质点系内力对任意点力矩的矢量和必为零。
29. 质点系的质心位置与质点系各质点的质量和位置有关。
30. 质点的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。
31. 质点系的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。
32. 质点系对某点的动量矩守恒则其动量必定守恒。
33. 刚体是一种理想模型。
34. 刚体的内力做的总功为零。
35. 刚体平衡的充要条件是所受外力的矢量和为零。
36. 刚体处于平衡状态的充要条件是所受外力的主矢和主矩均为零。
实验四材料的切变模量与刚体转动惯量的测定(扭摆法)(精)
实验四 材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）【实验目的】本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。
【仪器和用具】1、切变模量与转动惯量实验仪2、仪器使用方法（1）取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再 把夹头放回横梁上。
用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。
（2）转动上端的“扭动旋钮”（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上的霍耳开关（4）。
同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。
（3）调节立柱的两个底脚螺丝。
使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8毫米左 右。
（4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。
此时爪手将绕钢丝作摆动。
（5）爪手有多种功能。
圆环可水平放在爪手上面作振动。
也可以垂直装在爪手下面作振 动。
爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切变图1 切变模量与转动惯量实验仪简图 （其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）12 23 8 456 7 1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关5、铷铁硼小磁钢6、底座7、数字式计数计时仪8、标志旋钮9、扭动旋钮9模量或刚体的转动惯量。
3、数字式计数计时仪使用（1）开启电源开关，使仪器预热10分钟。
（2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求。
（3）使爪手作扭转振动。
当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm距离时，霍耳开关将导通，即产生计时触发脉冲信号。
（4）数字式计数计时仪有延时功能。
当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0。
4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
∆Li = ∆m Rivi i
方向如图所示。 方向如图所示。
ω ∆L
r i
O
i
∆Liz
θ i Ri ∆m
刚体的角动量
点的角动量， 刚体对 o 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量 和。 对于定轴转动， 对于定轴转动，我们感兴趣的只是 L 对沿 Oz 轴 刚体绕定轴转动的角动量。 叫做刚体绕定轴转动的角动量 的分量 L ，叫做刚体绕定轴转动的角动量。
对质量面分布的刚体： 对质量面分布的刚体： dm
σ ：质量面密度
ρ
：质量体密度
= σ dS
= ρdV
对质量体分布的刚体： 对质量体分布的刚体：dm
例题4 求质量为m 例题4-3 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： 三种转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心并和棒垂直； （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； 转轴通过棒的一端并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； 转轴通过棒上距中心为h （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。 并和棒垂直。
2 2 I = mr 3
10、球体（转轴沿直径） 、球体（转轴沿直径）
2 2 I = mr 5
竿 子 长 些 还 是 短 些 较
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
全 ？
安
1 2 如： J C = mR 2
J
2
JC
J = J C + mR
m
1 2 2 = mR + mR 2
R
刚体绕质心轴的转动惯量最小
垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体， 定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于 平面分布的刚体 平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转 动惯量之和： 动惯量之和：J z = J x + J y 证明： 证明：
4刚体的转动惯量
例：半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直 径轴转动的转动惯量Jy。 解：圆盘绕垂直于盘 面的质心 z 轴转动 的转动惯量为：
Jz 1 2 MR
2
动 画
y
x
J z J x J y 2J y
Jy
1 2
Jz
1 4
z
MR
2
§4.刚体的转动惯量/ 五、垂直轴定理
设计制作
干耀国
山东科技大学济南校区
§4.刚体的转动惯量
2
o x x
y
dm
y
§4.刚体的转动惯量/ 五、垂直轴定理
绕 y 轴的转动惯量为：
Jy x dm
o x
2 2
z
绕 z 轴的转动惯量为：
Jz z dm
2 2
y
y
z
dm
( x y ) dm y dm x dm
Jx Jy
2 2
x
证毕
§4.刚体的转动惯量/ 五、垂直轴定理
J dJ
0
R 2
r dm
dr
2
M R r r
r ( 2 rdr )
1 2
R
4
由
M R
2
则圆盘的转动惯量为： J
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
1 2
MR
2
三、典型的几种刚体的转动惯量
r1 r2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
圆筒转轴沿几何轴
Ek 1 2
n
rn
mn
m1
r1
r2 m2
m 1 v1
1 2
理论力学_国防科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
理论力学_国防科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.刚体定轴转动必然为平面运动答案:正确2.定轴转动刚体上转轴外任意点的加速度方向必然垂直于转轴答案:正确3.平动刚体上各点的速度和加速度都相同答案:正确4.密切面的法线为自然轴系中的主法线答案:错误5.曲率和曲率半径的乘积必然为1答案:正确6.因为速度是矢量，所以在不同的坐标系中定义的速度大小是不变量答案:错误7.静摩擦力的大小与接触面压力成正比答案:错误8.如果桁架杆件上存在力偶，不会影响二力杆的假设答案:错误9.不论平面桁架还是空间桁架，其中的杆都是二力杆答案:正确10.如果桁架为平面结构，但载荷存在面外分量，则该桁架不能看作平面桁架答案:正确11.如果桁架为平面结构，并且载荷都作用于平面内，则该桁架可以看作平面桁架答案:正确12.平面平行力系有2个独立平衡方程答案:正确13.平面任意力系采用一投影两力矩形式建立平衡方程时，两个简化中心连线不能和投影方向重合答案:错误14.空间任意力系有3个独立平衡方程答案:错误15.如果主矢和主矩正交，则力系必然是平面力系答案:错误16.空间问题中，固定端约束存在6个独立未知分量答案:正确17.平面问题中，活动铰链约束存在两个未知数答案:错误18.力学具有基础科学和技术科学的二重性答案:正确19.力偶对任一点矩的方向都相同答案:正确20.力F在oxy平面内，则F对x轴的矩为零答案:正确21.力对原点矩在坐标轴上的投影等于力对坐标轴的矩答案:正确22.质点系受三力平衡，则这三个力必然共面答案:正确23.绝对运动速度方向必然沿绝对运动轨迹切线方向答案:正确24.牵连运动轨迹为动系相对定系的运动轨迹答案:错误25.合成运动分析中，不同时刻牵连点一般不同，意味着牵连点存在相对动系的速度答案:错误26.牵连运动为动系相对与定系的运动，如定轴转动、平动等答案:正确27.任一矢量对时间的绝对导数等于相对导数与牵连导数之矢量和答案:正确28.在作用于质点系的力系上增加或除去一个平衡力系，不改变原力系对质点系的作用。
理论力学习题答案第三章
第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。
3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。
当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。
事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。
答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。
3.4 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。
分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故()()iii ii i O F O O r F r M ⨯'-'=⨯'=∑∑'()∑∑⨯'-⨯'=ii ii i F O O F r ∑⨯'+=ii o F O O M即o o M M ≠'主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。
03刚体的定轴转动
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
24
转动中的功和能
一. 力矩的功
设刚体上P点受到外力 F 的作用， z
位移为 d
r,
dW F ds
功为 d
三. 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚
体做匀变速转动 .
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2 v02 2a(x x0 )
2 02 2 ( 0 )
5
定轴转动刚体的 转动定律 力矩 角动量 转动惯量
Li
质元mi对转轴Z的角动量为：
x
Liz
Li
cos( π 2
)
mi Riv i
sin
mi ri vi
对组成刚体的所有质元的角动量求和
z
vi
mi
ri Li
Ri
O
y
Lz Liz (rimivi) (miri2)ω
9
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J miri2
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
i
Lz Jω
刚体绕OZ轴转动的角动量
注意：
转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
#华南理工-理论力学静力学与动力学习题 主观题
第一章静力学基础一． 填空题1．理论力学的任务是研究物体作 机械运动 的规律2．平衡是指 （相对于地球）静止或作匀速直线运动 . 3．力是物体之间 相互的机械 作用，这种作用使物体的 运动 或 形状 发生改变。
4．刚体是受力作用而 不变形 的物体。
5．刚体受到两个力作用而平衡的充分必要条件是 此两力等值、反向、共线 。
6．对刚体而言，力的三要素是大小、方向、作用线。
7．对刚体而言，力是 物体位移 矢量。
第二章 平面汇交力系和平面力偶系一、填空题1．平面汇交力系平衡的几何条件是 力多边形自行封闭 。
2．同一平面内两力偶的等效条件是 两力偶矩矢量相等 。
3．研究平面汇交力系时, 采用两种方法, 即 几何法 和 分析法 。
4．一个力F在某轴上的分力是 量、投影是 量。
5．力偶使刚体转动的效果和 矩心位置 无关，完全由 力偶矩 决定。
6．力偶可在作用平面内任意 移动 ，也可向平行平面 移动 。
三、计算题1．不计杆重，求图示结构中AB 、AC 两杆所受的力。
第三章 一、填空题1．平面任意力系平衡的充要条件为：该力系的主矢 和 主矩 同时为零。
2．平面平行力系独立的平衡方程有 3 个，可解 3 个未知量的问题。
3．作用在刚体上A 点的力,F可以等效平移到刚体上任意点B ，但必须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于 。
4．平面任意力系向一点简化，需要将力系中的各力 简化 到作用面内选定的一点上，该点称为 简化中心 。
三、计算题1．求图示简支梁A 、B 处的约束力。
)(2/7,)(2/9),(4↓=↑=→=qa qa qa FFFBAyAXCABθKN50mKN /20m4m2A BC第四章 空间力系一、填空题1．空间力偶系的独立平衡方程有 3 个。
2．在空间任意力系的简化结果中，当主矢主矩互相 定位时，称为力螺旋。
3．空间任意力系平衡的充分必要条件是：该力系的主矢和主矩分别为零。
4．空间任意力系有 3 个独立的平衡方程。
大学物理(上)课件-第03章刚体的定轴转动3-2
N
o
c
⋅
θ
dθ
⋅
1 1 dω (2) mg cos θ = ml 2 2 3 dt 1 dω dθ 1 2 dω = ml 2 = ml ω 3 dθ dt 3 dθ
ω
o
r1
r2 v1
∆m1
E
27
K
1 2 = J ω ——刚体定轴转动的动能 2
3. 刚体定轴转动的动能定理
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移 dθ 元功：
dA = Mdθ
dω 由转动定律 M = J β = J dt dω 有 dA = J dθ = Jω dω dt
A=
∫ω
ω2
1
1 1 2 2 = J ω － J ω Jω d ω 2 1 2 2
28
刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。
ω = (2 β h r )1 2 = 9.08 rad ⋅ s −1
§3.3 定轴转动刚体的功与能
1.力矩的功 � 刚体在力 F 作用绕轴转过一微小角位移 dθ � � � � 力 F 作功为dA = F ⋅ dr = F cos(π − ϕ ) dr
2 = F sin ϕ dr = F sin ϕds = Fr sin ϕdθ � 力F使刚体由θ 0转到θ 时, 力矩的功为
2
4 2 19 2 65 2 J = J1 + J 2 = mr + mr = mr 3 2 6
22
例1 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑 轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时 的速度和此时滑轮的角速度。 解：
刚体绕质心轴的转动惯量最小如-2022年学习资料
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半-径为R、质量为M的轮子上若干圈后，一端挂-一质量为m的物体，从静 下落h用了时间t,-求轮子的转动惯量J。-解：1mg-T=ma-TR=JB-2-h at212-3-a=R -4-联立方程，求解得：-J=-mR 2gt2-2h
例6、半径为R质量为M的圆盘，求绕直径轴-转动的转动惯量」y。-解：圆盘绕垂直于盘面的质心z轴转动的转-动 量为：-J:-MR?-2-=Jx+J,=2J-X-,-3J.-MRi
例7、长为/、质量为m的-细杆，初始时的角速度为-@,由于细杆与桌面的摩-擦，经过时间t后杆静止，-求摩擦 矩M阻-解：由匀变速转动公式：ω=ω+Pt-00-B=--1-细杆绕一端的转动惯量J=-ml-3-摩擦阻力 为：M阻=JB=一
1三、平行轴定理-定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量J,-等于绕质心轴的转动惯量J加上刚体质量与两-轴 的距离平方的乘积：J=J。+md2-如：Jc=mR2-c+mR2-中-R2+mR-刚体绕质心轴的转动惯量最
三、垂直轴定理-定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于-平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转-动惯量之和 J,=J+J,-证明：-J.=y'dm,J,=∫xdm-J=∫rdm-=∫x2+y2dm-=∫y2dm+∫ 2dm-=J,+Jy
例3：在无质轻杆的b处与3b处各系质量为-2m和m的质点，可绕o轴转动，求：质点-系的转动惯量J。-解：J 是4m,2-i=l-=2mb2+m3b2-=11mb2-例4、半径为R质量为M的-圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量」。-dm-解：J=「Rdm=MR2
例5、半径为R质量为M的圆盘，绕垂直于圆盘-平面的质心轴转动，求转动惯量」。-解：分割圆盘为圆环-dm-π 2-2πrdr-J=∫rdm-元R2-1-二-A
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J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l
3
x o x dx
J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂 直的质心轴转动，求转动惯量 J。 解：建立坐标系，分割质量元
例3：在无质轻杆的 b 处与 3b 处各系质量为
2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点
系的转动惯量J。
解：J
2
m iri2
i 1
2mb 2 m (3b)2
2m
m
o
b 3b
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
J
y
1J 2
z
1 4
MR
2
y
z
x
例7、长为 l、质量为 m 的
细杆，初始时的角速度为
0，由于细杆与桌面的摩
ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
r
R 0
r2
R2
2
rdr
1 MR2 2
二、平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两 轴间的距离平方的乘积： J J C md 2
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
（2）
m2
T1 m1
(T1 T2 )R J （3）
m1g
a R
（4）
J 1 MR 2
m2
2
M ,R
m1
M ,R
T2
T1
T2
联立方程，求解得：
a
m1g
m1 m2 M /2
T1
m1 (m 2 m1 m2
M /2)g M /2
T2
m1
m1m 2 g m2 M
/2
m2
M ,R
m1
当 M=0 时：
T1
T2
m1m 2 g m1 m2
mg
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半 径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂 一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t , 求轮子的转动惯量 J 。
解： mg T ma (1)
TR J
(2)
h at2/2
(3)
T
a R
(4)
联立方程，求解得：
T
J mR 2 ( gt 2 2h ) 2h
如： JC
1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
x
Jx Jy
例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 转动的转动惯量Jy。
解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为：
Jz
1 MR 2
2
J z J x J y 2J y