第3节 二维随机变量的条件分布
二维随机变量及条件分布
21
例4.设(X,Y)服从如图区域D 上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
解:
SD 1
22
H
23
存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数. 记作
可证当
时
47
若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则
当
时
类似定义，当
时
48
Байду номын сангаас同学们思考 答
49
例3
解
50
又知边缘概率密度为
51
例4 解
52
53
多维随机变量
离散型
连续型
边缘分布 条件分布
边缘分布 条件分布
54
作业
p.84 2，9，11
8
(3)右连续 对任意xR, yR,
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
11
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ...
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。
介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。
本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。
●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。
① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
二维离散型随机变量及其分布律
则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1
2. 联合分布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ，若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
第2-3节 二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义： 若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 有限对或可列多对， (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。
例：抛掷两枚硬币一次，观察出现正反的情况，令
⎧0 ξ＝⎨ ⎩1 ⎧0 ,η＝ ⎨ A币出现正面 ⎩1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面
称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
4
5. 随机变量的独立性
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j，恒有pij ≡ pi. p. j，即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。
ij
∑∑ p
i =1 j =1
∞
∞
=1 L i,j=1,2, 为二维离散
则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}
型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
2
3. 边缘ห้องสมุดไป่ตู้布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为：pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。 类似，(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。
例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。
例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。
例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
二维离散型随机变量及其分布律
例2Байду номын сангаас10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
解 ( X , Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ Ｘ １
２
１
２
０
1/3
1/3
1/3
2.边缘分布律
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律.
定义2.5 ( X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi· =P{Xxi}= pij (i1,2, ); j1 ( X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p· j=P{Yyj}= pij (j1,2, ). i1
2.补例1
练习题
边缘分布律是分布律.
由联合分布 律得到边缘 分布律
相同的边缘 分布律,不同 的联合分布 律
表2.7-2.8
联合分布律<=|=边缘分布律
补例
二 条件分布律 1.定义
P{Xxi |Yyj}P(xi,yj)/P{Yyj} pij ,j1,2,3,...
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P {Xxi,Yyj}P (Xxi)P {Yyj} i,j1,2,3,...
二维随机变量的条件分布
定义 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密度为 f X ( x), fY ( y)，则对一切使
f X ( x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为 f ( x, y ) f ( x, y) fY | X ( y | x) f X ( x) f ( x, y )dy 同样，对一切使 fY ( y) 0的 y, 定义
离散型r.v的条件分布
定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对 定义 于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称 联合分布 P ( X xi ,Y y j ) pi j P(X=xi|Y=yj)= ，i=1,2, … P (Y y j ) p j 边缘分布 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.
连续型 卷积公式
或f Z ( z )
f X
②若X与Y独立，求Z=aX+bY的概率
密度(a,b为非负常数)
例3.3.5：若X与Y是两个独立的随机变量，都 服从N(0,1)分布。证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。
一般
2 , 2 ) 1 , 2 2 2 2 则aX+bY~N( a1 b2 , a 1 b 2 )
f ( x, y ) f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y) f ( x, y )dx
为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
条件密度函数的直观意义
f X |Y ( x | y)dx
P( x X x dx | y Y y dy )
称 FY(y)为( X ,Y )关于Y的边缘分布函数
(2).边缘分布密度
二维随机变量的条件分布
同理，对一切使
的 xi，称
为给定X=xi条件下Y的条件分布律． 概率论与数理统计
❖ 2.条件分布律 1.概念
➢ 例3.5.2 设随机变量(X, Y) 的联合分布律以及边缘分布律为
➢ 求(1)求在X=1的条件下, Y的条件分布律; (2)求在Y=0的条件下, X的条件分布律.
概率论与数理统计
9
❖ 2.条件分布律 1.概念
并称F( x A) 为事件A发生的条件下X的条件分布函数.
概率论与数理统计
3
❖ 1.条件分布函数
1.概念
➢
例3.5.1 设X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，求在
发生的条件下
X
的条件分布函数 F
x
X
1 2
.
x
1
2
➢ 解 X的概率密度函数以及分布函数分别为
1, 0 x 1， f ( x) 0, 其他，
➢ 例3.5.2求(1)求在X=1的条件下, Y的条件分布律; (2)求在Y=0的 条件下, X的条件分布律.
➢ 解 (1) 求在X=1的条件下, Y的条件分布律
P(Y 0 | X 1) P( X 1,Y 0) 0.030 6 P( X 1) 0.045 9
P(Y 1 | X 1) P( X 1,Y 1) 0.010 2 P( X 1) 0.045 9
下Y 的条件概率密度为
fY|X ( y | x)
f (x, y) .
fX (x)
➢ 注:在 fX|Y ( x | y) 中y固定, x变动, 是x的函数; 而在 fY|X ( y | x) 中x
固定y变动，是y的函数. 比如，当X和Y分别表示人的身高(单
位：厘米)与体重(单位：kg)时 fX|Y ( x | 60) 刻画了体重为60kg的
二维随机变量的 条件分布
y y
y - y
x
F(x, y) F(x, y y) y
lim
y0
FY ( y) FY ( y y) y
F (x, y)
x
y
dFY ( y)
f (u, y)du
fY ( y)
dy
f (x, y)连续
fX (x)
dx
y
f (x,v) dv fX (x)
为X = x 的条件下Y 的条件分布函数，记作
f (x, y) FY X ( y x),称 f X (x) 为X = x 的条件下Y 的 条件概率密度函数，记作 fY X ( y x)
注意： FX Y (x y), f X Y (x y) 是 x 的函数, y 是常数, 对于每一 f Y (y) > 0 的 y 处，只要符合定义 的条件，都能定义相应的函数.
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1
p(1 p)nm1
n m 1,m 2,
二维连续型随机变量的条件分布函数和 条件密度函数
设二维连续型随机变量(X,Y )的 联合分布函数为F (x,y), 联合密度函数为 f (x,y)
X 的边缘分布函数为FX (x), 边缘密度函数为 f X (x)
Y 的边缘分布函数为FY (y), 边缘密度函数为 f Y (y)
m 1,2,,n 1; n 2,3, 或 (m 1,2,; n m 1,m 2,)
边缘分布律为
P( X m) p2 (1 p)n2 nm1
p2 (1 p)m1 p(1 p)m1 1 (1 p)
m 1,2,
n1
P(Y n) p2 (1 p)n2
二维随机变量
1
例3:将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，已 在例1中求了(X,Y)的联合分布律，现求二维随机 变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.
X0
1
2
3 p. j
Y
1
0 3/8 3/8 0 6/8
求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律。 假设： （1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 （3）通过此题你得出何结论?
FX ( x) P( X x,Y ) F( x,)
x
x
dx f ( x, y)dy ( f ( x, y)dy)dx
固定x
同理:
固定y
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值 是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维 离散型随机变量。
中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
6e2x3 y , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
求( X ,Y )关于X与Y的边缘概率密度。
解：当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
=0
当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
6e 2x3 y dy 6e 2 x e 3 y dy 2e 2 x
(2) pij 1
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
§3、条件分布
求导数，即得 Y = y 条件下 X 的条件概率密度为
( f ( x, y)dx)dy
x
y
x
10
f ( x, y ) f X Y ( x y) . fY ( y )
即二维连续型随机变量 (X,Y)，在 Y = y 条件下随机 变量X的条件概率密度函数为
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y )
11
例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为
1, | y | x ,0 x 1; f ( x, y) 其它, 0, 求条件概率密度 fY | X ( y | x ). 〖解〗先求X的边缘概率密度
f X ( x ) f ( x , y )dy
x 1dy, 0 x 1; 2 x, 0 x 1; x 其它 . 0, 0, 其它
p1 j , p2 j ,, pi j ,.
类似地，可定义 随机变量(X,Y)在 X xi条件下Y的 条件分布律 p1 i , p2 i ,, p j i ,. 下面讨论条件分布律的求法．
2
条件分布律的求法： 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律为 pij (i 1,2,；j 1,2,) . 先求X与Y的边缘分布律 pi (i 1,2,)和 p j ( j 1,2,). 则在Y = yj条件下，即假定 P (Y y j ) 0, X 的条件 分布律为 P{ X xi , Y y j } pij
03第三讲 二维随机变量的概率分布
第三讲 二维随机变量的概率分布考纲要求1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、二维随机变量的概率分布问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？ 答 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，即),(Y X 的取值落在无穷矩形域(,](,]x y -∞⨯-∞内的概率.二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(,)1F x y ≤≤；⑵(,)(,)(,)0F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=，(,)1F +∞+∞=； ⑶(,)F x y 关于x （关于y ）单调不减； ⑷(,)F x y 关于x （关于y ）右连续. 2.二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数{}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞=≤=≤<+∞=+∞=.二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数{}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞=≤=<+∞≤=+∞=.问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称{},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====为二维离散随机变量(,)X Y 的联合分布律，其中01ij p ≤≤，111ij i j p ∞∞===∑∑.⑵边缘分布称{}1(1,2,)i ij i j P X x p p i ∞⋅=====∑，{}1(1,2,)j ij j i P Y y p p j ∞⋅=====∑分别为(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. 利用联合概率分布表计算如下： ⑶条件分布称{}(1,2,)ij i j j p P X x Y y i p ⋅==== 为在j Y y =的条件下随机变量X 的条件分布；称{}(1,2,)ijj i i p P Y y X x j p ⋅==== 为在i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布. 例1.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p 且中途下车与否相互独立. 以Y 表示在中途下车的人数，求⑴在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 个人下车的概率； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布(01-1). 解 ⑴{}(1)m m n m n P Y m X n C p p -===-； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布为{}{}{},P X n Y m P X n P Y m X n ======(1)(0,1,2,0,1,,)!nm m n mn e C p p n m n n λλ--=-==2.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及关于X 和关于Y 的边缘概率分布的部分数值，将其余数值填入表中的空白处.解 由联合分布与边缘分布的关系，得111116824p =-=；由独立性，得11112464p ⋅=÷=；由概率分布的性质，得213144p ⋅=-=；其余数值可类似求出.故3.设随机变量11~(1,2)1/41/21/4i X i -⎛⎫=⎪⎝⎭且满足{}1201P X X ==，则{}12P X X == . 【0】问题3 何谓二维连续型随机变量的联合密度？它具有哪些性质？ 答 若存在非负函数(,)f x y ，使得随机变量(,)X Y 的分布函数 (,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰，则称(,)X Y 为二维连续随机变量，并称(,)f x y 为(,)X Y 的联合概率密度或者联合密度函数.联合概率密度具有如下性质： ⑴(,)0f x y ≥；⑵(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；⑶(,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰连续；⑷若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则(,)(,)xyF x y f x y ''=； ⑸{}(,)(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰.例1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度2(),(,)0,x y ce f x y -+⎧=⎨⎩.,0,0else y x +∞<<+∞<<则常数=c ；),(Y X 落在区域{(,)1}D x y x y =+≤内的概率为 .【提示：由2()(,)41x y f x y dxdy dx edy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰推出=c 4；{}112()2(,)413xx y P X Y D dx edy e--+-∈==-⎰⎰.】问题4 如何求二维随机变量的边缘密度？答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，则可按如下公式计算边缘密度： 关于X 的边缘密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰； 关于Y 的边缘密度()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰.例 设二维随机变量),(Y X 的概率密度26,,(,)0,x y x f x y else⎧≤≤=⎨⎩ 则),(Y X 关于X 的边缘概率密度=)(x f X ，关于Y 的边缘概率密度=)(y f Y .解 画出概率密度(,)f x y 的非零区域. 由图看出，X 的取值范围[0,1]， 当01x ≤≤时，22()(,)66()x X xf x f x y dy dy x x +∞-∞===-⎰⎰，关于X 的边缘概率密度26(),01,()0,.X x x x f x else ⎧-≤≤=⎨⎩类似可求出关于Y的边缘概率密度),01,()0,.Y y y f y else ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩问题5 如何求二维随机变量的条件密度？答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，关于,X Y 的边缘密度分别为(),()X Y f x f y ，则可按如下公式计算条件概率密度：在Y y =的条件下，X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =；在X x =的条件下，Y 的条件概率密度(,)()()Y X X f x y f y x f x =.问题6 如何判断随机变量的独立性？ 答 判断随机变量的独立性的方法有：⑴随机变量X 与Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=； ⑵离散型随机变量X 与Y 相互独立,,ij i j i j p p p ⋅⋅⇔∀=； ⑶连续随机变量X 与Y 相互独立(,)()()X Y f x y f x f y ⇔=.问题7 何谓二维均匀分布？答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度1,(,),(,)0,(,),x y D f x y x y D σ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩其中σ为D 的面积，则称(,)X Y 服从区域D 上的均匀分布.问题8 何谓二维正态分布？它具有哪些性质？ 答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度221122211221(,)[()2()()()]2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫----=--+⎨⎬-⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，记作221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ具有如下性质：⑴关于X 和Y 的边缘分布分别为211(,)N μσ，222(,)N μσ；⑵条件分布均为正态分布；⑶X 和Y 的非零线性组合aX bY +服从正态分布； ⑷X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0ρ=.例 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）.(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}0{=≤-Y X P【提示 独立的正态变量的线性函数仍为正态变量；B 】二、二维随机变量函数的分布问题9 如何求二维随机变量函数的概率分布？答 设(,)g x y 在随机变量(,)X Y 的一切可能值有定义，则称(,)Z g X Y =为随机变量(,)X Y 的函数.求离散型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =取哪些值，并求出对应的概率；求连续型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =的取值范围，并求出分布函数.求两个独立随机变量X 与Y 的和Z X Y =+的概率密度，可用如下的卷积公式 ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰.例1.设ηξ,是两个相互独立且服从同分布的随机变量，如果ξ的分布律为3,2,1,31}{===i i P ξ，求),max(ηξ=X 与),min(ηξ=Y 的分布律.解 ),m a x (ηξ=X 的取值为1，2，3{}{}{}{}111,1119P X P P P ξηξη========；{}{}{}{}321,11,22,29P X P P P ξηξηξη====+==+===；{}{}{}531129P X P X P X ==-=-==，故),max(ηξ=X 分布律为：类似可求出),min(ηξ=Y 分布律为：2.设1X 和2X 独立，)2,1(1}2{,}1{=-====i p X P p X P i i ，令1,0,X ⎧=⎨⎩为偶数若为奇数若2121X X X X ++ 则2X 的概率分布为 .3.设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x D 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S .(99-1)解 ),(Y X 的概率密度1,(,)(,)20,(,)x y Df x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩X 的取值范围为[0,2]，Y 的取值范围为[0,1]，S XY =的取值范围为[0,2].S XY =的分布函数{}()S F s P S s =≤，当0s ≤时，{}()0S F s P S s =≤=，当2s ≥时，{}()1S F s P S s =≤=， 当02s <<时，{}{}{}()11S F s P S s P S s P XY s =≤=->=->211(,)1(1ln 2ln )22s sxxy ss f x y dxdy dx dy s >==-=+-⎰⎰⎰⎰，故S 的概率密度1(ln 2ln ),02,()20,.S s s f s else ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩4.设随机变量X 和Y 相互独立， 2~(,)X N μσ， ~(,)Y U ππ-.试求Y X Z +=的密度函数（用)(x Φ表示）.(92-1)解 X 和Y 相互独立，2~(,)X N μσ，~(,)Y U ππ-，则),(Y X 的密度函数=),(y x f 1(),()()20,.X X Y f x y f x f y else πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，Y X Z +=的分布函数{}{}()(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰11()()22z y X z y dy f x dx dy ππππμΦππσ---∞---==⎰⎰⎰（令z y t μσ--=）1()()()22z z z z t dt t dt πμπμσσπμπμσσσΦσΦππ--+-+---=-=⎰⎰，Y X Z +=的密度函数1()()[]2Z Z z z f z F z πμπμπσσ+---⎛⎫⎛⎫'==Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
二维随机变量的条件分布
作业： 75页 1, 4
率——条件概率
1. d.r.v.的条件分布列
设 的分布律为 考虑在 已发生的条件下 发生的条件概率
由条件概率公式，有
同理在 已发生的条件下 发生的条件概率
1. d.r.v.的条件分布列
定义： 对于固定的 若
则称
为在 的条件下 的 对于固定的 若
条件分布列. 则称
为在 的条件下 的 条件分布列.
例1 设 从 四个数中等可能取值,又设 从 中等可能取值.问当第二次取到数字 时第一次取四 个数字的可能性各是多少？
条件分布是指二维r.v.中一个分量取某个定值的
条件下，另一个变量的概率分布.
回顾 条件概率公式
P(A |
B)
P( AB) P(B)
(P(B) 0)
设 ( X ,为Y )二维 r.v , y R1 考虑条件概率
P{X x | Y y} (x R1)
能否由这可条视件为在概{Y率=y}定发生义的计条件算下{X≤x}的概
求条件概率密度 fX |Y (x | y) 解： (X ,Y ) 的密度及 Y 的边缘密度分别为
f
(x,
y)
1/,
0,
x2 y2
其它
1
y 1 y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
1
O
x 1
故当 1 y时有1
1 y 2
1 y 2
1
dx,
|
y |1
G
1
f X |Y
(x
|
y)
f (x, y)0,
f2Y2(源自y1)y1 0, 1 y2
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
《概率学》3.4二维随机变量的条件分布
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解 再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他
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求 f X Y ( x y ) 与 fY X ( y x )
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11
解 边缘概率密度为 f X ( x)
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17
为在Y y j的条件下X 的条件概率分布，记为PX Y xi y j ；
事实上，若 P(Y y j ) 0，则
pX Y ( xi y j ) P( X xi Y y j ) P( X xi , Y y j ) P(Y y j )
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4 1/16 1/16 1/16 1/16
解 X和Y的边缘概率分布为
X 1 1/4 2 1/4 3 1/4 4 1/4
pi
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5
Y
1
2
3
4
p j
因为
25/48 13/48
7/48
1/16
p31 1 p32 1 P(Y 1 X 3) , P(Y 2 X 3) , p3 3 p3 3 p33 1 p34 P(Y 3 X 3) , P(Y 4 X 3) 0 p3 3 p3
第三章 多维随机变量及其分布
§3.3 二维随机变量的条件分布
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1
对于二维随机变量(X,Y)，在给定了Y取某个值 或某些值的条件下，X的分布称为X的条件分 布。类似地，我们也可以定义Y的条件分布。
1、离散型随机变量的条件概率分布 设( X , Y )是二维离散型随机变量，其联合概率分布为 P( X xi , Y y j ) pij , i 1, 2,, j 1, 2, , 关于X 与Y的边缘概率分布分别为
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2 1 x xy , 0 x 1, 0 y 2 f ( x, y) 3 0, 其他
称 f X Y ( x y ) 为在条件 Y y下 X 的条件 概率密度；称 fY X ( y x) 为在条件 X x 下 Y 的条件概率密度。
这就是求条件概率分布的公式。
例3.1 设(X,Y)的联合分布律如下表，求（1）在 X=3的条件下Y的条件概率分布；（2）在Y=1的 条件下X的条件概率分布。
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4
Y X 1 2 3 4
1 1/4 0 0 0
2 1/8 1/8 0 0
3 1/12 1/12 1/12 0
存在，则称此极限为在条件 Y y 下X 的条件分 布函数，记为FX Y ( x y )；同样的，可以定义在条 件X x下Y的条件分布函数，记为 FY X ( y x)
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事实上，由于f ( x, y) 及 fY ( y)是连续函数， 且 fY ( y) 0，根据积分中值定理可得
1 2 1 0 ( x xy )dx , 0 y 2 f ( x, y )dx 3 0, 其他 1 1 y, 0 y2 3 6 其他 0,
当 0 x 1时 3x y , 0 y2 f ( x, y ) fY X ( y x ) 6x 2 f X ( x) 其他 0,
lim
y 0
x
f ( x, y 1 y )dx fY ( y 2 y )
其中 0 1 1, 0 2 1. 于是我们有
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9
FX Y
( x y)
x
f ( x, y)dx fY ( y )
0 x 1 其他
1 （） 1 求条件概率密度 f X Y ( x y ) 与 fY X ( y x) 及 f X Y ( x ) 2
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14
1 1 （2）求条件概率 P(Y X ) 4 2
解 （）边缘概率密度为 1 fY ( y )
P( X x, y Y y y ) FX Y ( x y ) lim P( X x y Y y y ) lim y 0 y 0 P( y Y y y )
lim
y y 0 y
y y
x
y y
f ( x, y )dxdy fY ( y )dy
上式两边对 x 求导数，可得 f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y )
同理，若 f X ( x) 0 ，我们有
FY X
( y x)
y
f ( x, y)dy f X ( x)
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f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
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x2 y 1 其他
所以
2 1 3 2 x , f X Y (x ) 2 0
2 2 x 2 2 其他
1 32 1 1 1 （２） P(Y X ) 1 fY X ( y )dy 1 ydy 1 4 2 2 4 4 15
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当0 y 2时 6 x 2 2 xy , f ( x, y ) f X Y ( x y) 2 y fY ( y ) 0,
例3.3 设( X , Y )的联合概率密度为 21 2 x y, f ( x, y ) 4 0, x2 y 1 其他
y 21 2 y x ydx , 0 y 1 f ( x, y )dx 4 0, 其他 7 5 y2 , 0 y 1 2 0, 其他
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15
f X ( x)
1 21 2 x ydy , 1 x 1 x2 f ( x, y )dy 4 0, 其他 21 2 4 x (1 x ) , 1 x 1 8 0, 其他
2 2 1 0 ( x xy )dy , 0 x 1 f ( x, y )dy 3 0, 其他 2 2 2 x x , 0 x 1 3 0, 其他
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12
fY ( y )
pi P ( X xi ) pij ,
j
i ,1, 2, , j 1, 2, .
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p j P (Y y j ) pij ,
i
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我们称在Y y j的条件下，随机变量X 的概率分布 同样的，我们称在X xi的条件下，随机变量 Y 的概率 分布为在X xi的条件下随机变量Y的条件概率分布， 记作 PY X y j xi
pij pj
, (i 1,2,),
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3
若 P( X xi ) 0，则
pY X ( y j xi ) P(Y y j X xi ) P( X xi , Y y j ) P( X xi ) pij pi
, ( j 1,2,)
3 2 3 f ( x, y) x y 2 , y x y 当 0 y 1时 f X Y ( x y) 2 fY ( y ) 其他 0,
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, f ( x, y) 4 当 1 x 1 时，fY X ( y x) 1 x f X ( x) 0,
所以，在X=3的条件下Y的条件概率分布为
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Y
1
2
1/3
3
1/3
4
0
P(Y y j X 3) 1/3
同理，在Y=1的条件下X的条件概率分布为
X 1 2 3 4
P( X Xi Y 1) 12/25 6/25 4/25 3/25
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7
2、连续型随机变量的条件概率密度
定义3.2
设 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量，
给定 y ，fY ( y ) 0 ，假设P( y Y y y ) 0， 且对于任意实数 x ，极限
P( X x, y Y y y ) lim P( X x y Y y y ) lim y 0 y 0 P( y Y y y )