第3节 二维随机变量的条件分布
二维随机变量及条件分布
21
例4.设(X,Y)服从如图区域D 上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
解:
SD 1
22
H
23
存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数. 记作
可证当
时
47
若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则
当
时
类似定义，当
时
48
Байду номын сангаас同学们思考 答
49
例3
解
50
又知边缘概率密度为
51
例4 解
52
53
多维随机变量
离散型
连续型
边缘分布 条件分布
边缘分布 条件分布
54
作业
p.84 2，9，11
8
(3)右连续 对任意xR, yR,
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
11
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ...
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。
介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。
本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。
●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。
① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
二维离散型随机变量及其分布律
则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1
2. 联合分布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ，若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
第2-3节 二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义： 若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 有限对或可列多对， (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。
例：抛掷两枚硬币一次，观察出现正反的情况，令
⎧0 ξ＝⎨ ⎩1 ⎧0 ,η＝ ⎨ A币出现正面 ⎩1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面
称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
4
5. 随机变量的独立性
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j，恒有pij ≡ pi. p. j，即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。
ij
∑∑ p
i =1 j =1
∞
∞
=1 L i,j=1,2, 为二维离散
则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}
型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
2
3. 边缘ห้องสมุดไป่ตู้布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为：pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。 类似，(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。
例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。
例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。
例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
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求 f X Y ( x y ) 与 fY X ( y x )
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11
解 边缘概率密度为 f X ( x)
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17
为在Y y j的条件下X 的条件概率分布，记为PX Y xi y j ；
事实上，若 P(Y y j ) 0，则
pX Y ( xi y j ) P( X xi Y y j ) P( X xi , Y y j ) P(Y y j )
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4 1/16 1/16 1/16 1/16
解 X和Y的边缘概率分布为
X 1 1/4 2 1/4 3 1/4 4 1/4
pi
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5
Y
1
2
3
4
p j
因为
25/48 13/48
7/48
1/16
p31 1 p32 1 P(Y 1 X 3) , P(Y 2 X 3) , p3 3 p3 3 p33 1 p34 P(Y 3 X 3) , P(Y 4 X 3) 0 p3 3 p3
第三章 多维随机变量及其分布
§3.3 二维随机变量的条件分布
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1
对于二维随机变量(X,Y)，在给定了Y取某个值 或某些值的条件下，X的分布称为X的条件分 布。类似地，我们也可以定义Y的条件分布。
1、离散型随机变量的条件概率分布 设( X , Y )是二维离散型随机变量，其联合概率分布为 P( X xi , Y y j ) pij , i 1, 2,, j 1, 2, , 关于X 与Y的边缘概率分布分别为
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2 1 x xy , 0 x 1, 0 y 2 f ( x, y) 3 0, 其他
称 f X Y ( x y ) 为在条件 Y y下 X 的条件 概率密度；称 fY X ( y x) 为在条件 X x 下 Y 的条件概率密度。
这就是求条件概率分布的公式。
例3.1 设(X,Y)的联合分布律如下表，求（1）在 X=3的条件下Y的条件概率分布；（2）在Y=1的 条件下X的条件概率分布。
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4
Y X 1 2 3 4
1 1/4 0 0 0
2 1/8 1/8 0 0
3 1/12 1/12 1/12 0
存在，则称此极限为在条件 Y y 下X 的条件分 布函数，记为FX Y ( x y )；同样的，可以定义在条 件X x下Y的条件分布函数，记为 FY X ( y x)
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事实上，由于f ( x, y) 及 fY ( y)是连续函数， 且 fY ( y) 0，根据积分中值定理可得
1 2 1 0 ( x xy )dx , 0 y 2 f ( x, y )dx 3 0, 其他 1 1 y, 0 y2 3 6 其他 0,
当 0 x 1时 3x y , 0 y2 f ( x, y ) fY X ( y x ) 6x 2 f X ( x) 其他 0,
lim
y 0
x
f ( x, y 1 y )dx fY ( y 2 y )
其中 0 1 1, 0 2 1. 于是我们有
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9
FX Y
( x y)
x
f ( x, y)dx fY ( y )
0 x 1 其他
1 （） 1 求条件概率密度 f X Y ( x y ) 与 fY X ( y x) 及 f X Y ( x ) 2
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14
1 1 （2）求条件概率 P(Y X ) 4 2
解 （）边缘概率密度为 1 fY ( y )
P( X x, y Y y y ) FX Y ( x y ) lim P( X x y Y y y ) lim y 0 y 0 P( y Y y y )
lim
y y 0 y
y y
x
y y
f ( x, y )dxdy fY ( y )dy
上式两边对 x 求导数，可得 f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y )
同理，若 f X ( x) 0 ，我们有
FY X
( y x)
y
f ( x, y)dy f X ( x)
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f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
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x2 y 1 其他
所以
2 1 3 2 x , f X Y (x ) 2 0
2 2 x 2 2 其他
1 32 1 1 1 （２） P(Y X ) 1 fY X ( y )dy 1 ydy 1 4 2 2 4 4 15
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当0 y 2时 6 x 2 2 xy , f ( x, y ) f X Y ( x y) 2 y fY ( y ) 0,
例3.3 设( X , Y )的联合概率密度为 21 2 x y, f ( x, y ) 4 0, x2 y 1 其他
y 21 2 y x ydx , 0 y 1 f ( x, y )dx 4 0, 其他 7 5 y2 , 0 y 1 2 0, 其他
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15
f X ( x)
1 21 2 x ydy , 1 x 1 x2 f ( x, y )dy 4 0, 其他 21 2 4 x (1 x ) , 1 x 1 8 0, 其他
2 2 1 0 ( x xy )dy , 0 x 1 f ( x, y )dy 3 0, 其他 2 2 2 x x , 0 x 1 3 0, 其他
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12
fY ( y )
pi P ( X xi ) pij ,
j
i ,1, 2, , j 1, 2, .
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p j P (Y y j ) pij ,
i
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我们称在Y y j的条件下，随机变量X 的概率分布 同样的，我们称在X xi的条件下，随机变量 Y 的概率 分布为在X xi的条件下随机变量Y的条件概率分布， 记作 PY X y j xi
pij pj
, (i 1,2,),
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3
若 P( X xi ) 0，则
pY X ( y j xi ) P(Y y j X xi ) P( X xi , Y y j ) P( X xi ) pij pi
, ( j 1,2,)
3 2 3 f ( x, y) x y 2 , y x y 当 0 y 1时 f X Y ( x y) 2 fY ( y ) 其他 0,
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, f ( x, y) 4 当 1 x 1 时，fY X ( y x) 1 x f X ( x) 0,
所以，在X=3的条件下Y的条件概率分布为
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Y
1
2
1/3
3
1/3
4
0
P(Y y j X 3) 1/3
同理，在Y=1的条件下X的条件概率分布为
X 1 2 3 4
P( X Xi Y 1) 12/25 6/25 4/25 3/25
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7
2、连续型随机变量的条件概率密度
定义3.2
设 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量，
给定 y ，fY ( y ) 0 ，假设P( y Y y y ) 0， 且对于任意实数 x ，极限
P( X x, y Y y y ) lim P( X x y Y y y ) lim y 0 y 0 P( y Y y y )