光散射理论

本文由longminghui贡献

光散射概述

Maxwell 方程组：

光波是电磁波，光波在介质中的传播与介质的特性有关，并且服从 Maxwell 电磁场方程。因此， 光波在介质中的传播规律(如光的传播速度、光的散射和吸收、光的偏振性等)都可麦克斯韦电磁场方 程解得并且与表征该传播介质电磁性质的参量(如介质的介电常数 ε 、磁导率 μ 和电导率 σ 等)有关。 Maxwell 方程组：
?H , ??D = ρ ?t ?E ?×H = J +ε , ??B = 0 ?t ? × E = ?μ

物质方程：
(1)
D = ε E = ε r ε 0 E, B = μ H = μ r μ0 H, J = σ E

边界条件：
(2)
n ? ( D1 ? D2 ) = δ , n × ( E1 ? E2 ) = 0 n ? ( B1 ? B 2 ) = 0, n × ( H1 ? H 2 ) = α
(3)
光波由二个相互垂直的振动矢量—电场强度 E 和磁场强度 H 矢量来表征。对于接收光波信号的探 测仪器或眼睛来说，由于产生感光作用和生理作用的主要是电矢量 E ，因此通常将电振荡矢量 E 称作 光矢量，光强 I 与电矢量振幅的平方 E 成正比。 光波二个相互垂直的振动矢量与光波的传播方向垂直，光波为横波，光波在传播中体现出偏振性。

2
波动方程：

?E ( r, t ) = E ( r ) ? exp ( ?iωt ) ? ， Maxwell 方程组表现为： ?H ( r, t ) = H ( r ) ? exp ( ?iωt ) ?

? ?E ?
对单色平面波 ?
? ?E iσ ? ?? × H = J + ε ?t = σ E ? iωε E = ?iω ? ε + ω ? ? ? ?? × E = ? μ ?H = iωμ H ? ?t ?

定义 k1 = iω ? ε +
(4)
? ?
iσ ? 2 ? , k2 = iωμ , k = ? k1k2 ，则通过如下推导可得波动方程 ω?
1
?? × H = ?k1E ? ?? × E = k2 H

和
(5)
?? 2 E + k 2 E = 0 ? ? 2 2 ?? H + k H = 0 ?
(定态波动方程或亥姆霍兹方程)
(6)
【推导过程】
? × ( ? × E ) = k2? × H = ? k1k2 E = k 2 E ? × ( ? × E ) = ? ( ? ? E ) ? ? 2 E = ?? 2 E ?? ? E = 0 ?? ? H = 0 ? 使用条件：假定介质不带自由电荷、无电流并内部均匀 ? ??ε = 0 ??μ = 0 ?
光波与介质相互作用(耗散介质与非耗散介质)：

?? 2 E + ω 2εμ E = 0 ? 当电导率 σ = 0 时， k = ω εμ ，则波动方程为 ? ，传播速度为 v = 1 2 2 ?? H + ω εμ H = 0 ?

2 2
εμ ，光
波在真空中的速度为 c = 1
ε 0 μ0 ，介质的折射率为 n = ε r μr ，则在介质中光波的速度为 v = c n 。
? d 2E 2 ? dx 2 + ω εμ E = 0 ?E = E0 exp ?i ( kx ? ωt ) ? ? ? ? ? ，其解为 ? 。 考虑沿 x 方向传播的平面光波，波动方程为 ? d2H H = H 0 exp ?i ( kx ? ωt ) ? 2 ? ? ? ? ? + ω εμ H = 0 ? dx 2 ?

这说明光波在 σ = 0 的介质中无衰减，这种介质为非耗散介质。光波的能流为 S = E × H ，其传播方向 即波矢 k 的方向。 当电导率 σ ≠ 0 时， k = ω ? ε +

2 2
? ?
iσ ? μ ，则 k = kR + ikI 。为简单起见，考虑沿 x 方向传播的平 ω? ?
? d 2E iσ ? 2? ? dx 2 + ω ? ε + ω ? μ E = 0 ?E = E0 exp ( ? kI x ) exp ?i ( kR x ? ωt ) ? ? ? ? ? ? ? ，其解为 ? 。 面光波。波

动方程为 ? 2 dH iσ ? H = H 0 exp ( ?kI x ) exp ?i ( kR x ? ωt ) ? 2? ? ? ? ? ? + ω ? ε + ? μH = 0 ? dx 2 ω? ? ?

这说明当电导率 σ ≠ 0 时为耗散介质。耗散介质对光波的吸收可以归结为复数折射率 m = n (1 ± iη ) 。

2
m=
k
ω ε 0 μ0
=
σ? ? ?ε + i ? μ ω? ? ε 0 μ0
= ε r μr + i
σμr ε 0ω
(7)
? 1? σ 2μ 2 n 2 = ? ε r2 μr2 + 2 r + ε r μ r ? ? 2? ε0ω2 ? ? ? 1 ? 2 2 σ 2 μr2 2 2 n η = ? ε r μr + 2 2 ? ε r μr ? ? 2? ε0ω ? ?
(8)
当光波在介质中传播时，介质的电导率 σ 决定了介质的耗散性质。根据介质的耗散性质，可将介 质分成耗散介质和非耗散介质二大类。电导率 σ ≠ 0 的介质对光波存在吸收现象，称为耗散介质；电导 率 σ = 0 的介质对光波不吸收，称为非耗散介质。 对于电导率 σ = 0 的非耗散介质，其折射率 m =
ε r μ r 是一个实数，其中 ε r 为介质相对介电常数，
μ r 则是介质的相对磁导率(可在相应手册中查找)。光波在非耗散介质中传播时不存在衰减情况。

对于电导率 σ ≠ 0 的耗散介质，折射率 m 是一个复数，称为复折射率，可写成 m = n ? iη ，其中 复折射率的实部 n 称为散射系数，它反映了介质的折射(散射)特性；虚部η 称为吸收系数，它反映了介 质对光波的吸收特性。当光波在耗散介质中传播时，光强由于吸收而衰减。光强在耗散介质中传播由达 朗伯定律(BLBL)描述，其表达式为
I = I 0 e ?τL
(9)
其中 τ 称为介质的浊度, L 是光波通过介质的距离。 T = τL 称为介质中光波传播方向的光学厚度。
光散射现象

光散射是指光线通过不均匀的介质而偏离其原来的传播方向并散开到所有方向的现象。众所周知， 在均匀介质中， 光线将沿原有的方向传播而不发生散射现象。 当光线从一均匀介质进入另一均匀介质时， 根据麦克斯韦电磁场理论， 它只能沿着折射光线的方向传播， 这是由于均匀介质中偶极子发出的次波具 有与人射光相同的频率，并且偶极子发出的次波间有一定的位相关系，它们是相干的，在非折射光的所 有方向上相互抵消，所以只发生折射而不 发生散射。 如果在均匀介质中掺入一些大小为波长数量级且杂乱分布的颗粒物质， 它们的折射率与周围均匀介 质的折射率不同，如胶体溶液、悬乳液、乳状物等，原来均匀介质的光学均匀性遭到破坏，次波干涉的 均匀性也受到破坏。这种含有不均匀无规则分布的颗粒物质的介质引起了光的散射，称为亭达尔散射 (Tygdall)。在本书以下即将讨论的光散射法测量颗粒时，均产生光的亭达尔散射。这时，散射光的强度 分布及偏振规律与散射颗粒的大小、颗粒相对周围介质的折射率有关。 有些介质表面看来均匀纯净，

但在介质内部由于密度的起伏—介质中存在着局部密度和平均密度之 间统计性的偏离—而破坏了其光学均匀性， 也会引起光的散射， 例如大气散射， 这种散射称为分子散射。 当物质处在气、液二相的临界点时密度涨落很大，光波照射其上就会产生强烈的分子散射，这种散射光

3
称为临界乳光。 上述二种散射(亭达尔散射和分子散射)，其散射光的波长(或频率)与入射光一致。除此之外，还有 一种散射，称为拉曼散射，其散射光中除了存在与入射光相同波长(或频率)的成分外，还存在其它波长 (或频率)的散射。在本书所述的有关颗粒测量问题中，只涉及散射光与入射光具有相同频率的情况。因 此，这里仅限于讨论亭达尔散射。
不相关散射与相关散射

不相关散射是指分散在均匀介质中的微小颗粒(或称散射体)所产生的散射。当颗粒之间的距离足够 大，以致于一个颗粒的散射不会因为其它颗粒的存在而受到影响。在这种情况下，可以不管其它颗粒的 存在而研究一个颗粒的散射行为，称为不相关散射。严格说来，同一入射光中由不同颗粒散射在同一方 向上的散射光具有一定的位相关系， 是相干的。 但由于小颗粒的极其微小的位移或散射角度极微小的变 化会改变其位相差， 因此， 大量无规则杂乱分布的小颗粒散射的净效应可以认为是各个颗粒散射光强的 相加而不管其位相关系，犹如不同颗粒的散射光是不相干的。反之，当散射体相距很近时，就必须考虑 散射体之间的相互影响，这种散射称相关散射。相关散射的数学处理比不相关散射复杂得多。 M. Kerker 指出， 颗粒间距离大于颗粒直径的三倍是保证不相关散射的条件。 为了保证不相关散射， 介质中的颗粒浓度应不大于表 1 给出的数值。 由表可以看出， 工程中所遇到的大多数实际问题都可作为 不相关散射来处理。例如，即使是非常浓的雾，它由直径约为 1 毫米的水滴组成，在 1 立方厘米中大约 存在一个水滴，这时颗粒之间距离大约是直径的 10 倍，满足不相关散射的条件。许多溶胶液体都有类 似情况。 表 1 满足不相关散射的颗粒粒径和浓度对应表 颗粒直径(μm) 颗粒数浓度(cm ) 颗粒体积浓度 CV

-3
0.1 10

13
1.0 10

10
10.0 10

7
100.0 10

4
1000.0 10
<0.524%
单散射与复散射

单散射是指每一个散射颗粒都暴露于原始入射光线中，仅对原始的入射光进行散射。反之，有部分 颗粒并不暴露于原始光线中， 它们对其它颗粒的散射光再次进行散射， 即原始入射光线通过介质时产生 多次散射，如果这种作用比较强，则称这种散射为复散射。 对于不相关的单散射，由 N 个相同颗粒作为

散射中心的集合体的散射强度是单个颗粒散射强度的 N 倍，数学处理十分简单。但对于复散射，散射光强与散射颗粒数的简单正比关系不复存在，目前数 学上处理这类问题仍然很困难。 可以利用介质的光学厚度 T (见公式 9)作为判别是否满足单散射的依据。实验指出，当光学厚度 T < 0.1 时，单散射占绝对优势，复散射的影响可略去不计；当光学厚度 T > 0.3 时，复散射起主导作 用；当 0.1 < T < 0.3 时，可以按单散射处理，但须作适当修正[3]。因此，为了保证试验或测量在不相关 的单散射条件下进行，应对介质中散射体的浓度和光线通过介质的光学厚度加以控制。
有关散射的几个物理量

在研究光散射现象时，常常引入散射光强、散射截面、吸收截面、消光截面以及相应的散射系数、

4
吸收系数和消光系数等描述散射现象的物理量。 这些物理量与散射颗粒的大小、 折射率以及入射光的波 长等因素存在密切的关系， 利用这些关系， 世界各国已研制生产了多种基于光散射原理的颗粒测量仪器。
散射截面、吸收截面和消光截面及其相应系数 1. 散射截面和散射系数(Scattering Section &; Scattering Efficiency)

一个散射颗粒在单位时间内散射的全部光能量 E sca 与入射光强 I 0 之比称为散射截面，记作 C sca 。 也就是说， 一个颗粒单位时间内散射的全部光能量等于入射光单位时间内投射到该颗粒散射截面上的能 量。
?C sca = E sca I 0 ? ? E sca = I 0 C sca
(10a)
散射截面具有面积的量纲。还可以进一步引入一个无量纲的量—散射系数 K sca ，它等于散射截面 与散射体迎着光传播方向的投影面积 S P 之比。显然，散射系数等于一个颗粒单位时间内散射的全部光 能量与投射到散射体上的全部光能量之比。
K sca =
C sca E sca = SP I0SP
(10b)
2.吸收截面和吸收系数(Absorption Section &; Absorption Efficiency)

当颗粒受到光的照射时，除了散射外常常还伴随着吸收，被颗粒吸收的光能量转变为其它形式的 能量而不再以光的形式出现，这与散射情形明显不同。可以采用同样的方法定义吸收截面 C abs 和吸收 系数 K abs 。将颗粒在单位时间内吸收的光能量用单位时间内投射到某一面积上的能量来描述，该面积
C abs 即为吸收截面。与上相似，吸收截面与颗粒迎着光传播方向的投影面积 S P 之比即为吸收系数，并

存在如下关系式
?C abs = E abs I 0 ? ? E abs = I 0 C abs
(11a)
K abs =
C abs E abs = SP I0SP
(11b)
3.消光截面和消光系数(Extinction Section &; Extinction Efficiency)

在光线通过介质时，沿原传播方向的透射光的强度减弱，这种光的衰减称消光。消光是由于颗粒对 人射光散射和吸收二个因素引起的

，与颗粒的物理性质有关。当颗粒为非耗散介质时，消光完全由散射 引起；反之，当颗粒为耗散介质时，散射和吸收同时存在，哪一因素占优势则根据颗粒的材质即颗粒相 对于周围介质的复折射率中实部与虚部的大小而定。 同上， 在单位时间内从原始的入射光中移去的总的光能量 Eext 用单位时间内投射到某一面积 Cext 上 的能量来描述，该面积 Cext 即消光截面。消光截面与颗粒迎着光传播方向的投影面积 S P 之比即为消光 系数 K ext 。

5
?C ext = E ext I 0 ? ? E ext = I 0 C ext
(12a)
K abs =
C abs Eabs = SP I0SP
(12b)
显然，根据能量守恒定律，存在下述关系
C ext = C sca + C abs K ext = K sca + K abs

对非耗散性颗粒，则有
(13a) (13b)
C ext = C sca K ext = K sca

散射振幅函数、强度函数 (标量波描述)
(14a) (14b)
对于不相关的单散射，可先对单个颗粒进行处理。设散射颗粒位于坐标原点，入射光沿 Z 轴正方 向传播，则入射光波可表示为 ui = ae

i (ωt ? kz )
，其中 a 为振幅， ω 为圆频率， k 为波矢常数。
不考虑光波的偏振性，将光波作为标量波处理，取散射颗粒处为坐标原点，入射光沿 z 轴正方向传 播，则入射光波可表示为 ui = ae

i ( ωt ? kz )
(波矢常数 k = 2π / λ )，在远离散射体处的散射光波为球面波，
其波源就是散射体，如图 1 所示。图中， r 为散射光观察点与散射体的距离，散射角为 θ ，观察点与 Z 轴组成的平面即为散射面， ? 称为方位角。
z

θ ?
us r y
x
ui
图 1 一般散射情形示意图
由于在空间某点的散射波振幅与该点到散射体的距离 r 成反比，因而可把远场散射波 u s 写成
us =
1 1 ? ikr +ikz S (θ , ? ) aei(ωt ? kr ) = S (θ , ? ) e ui ikr ikr
(15)
式中 S (θ , ? ) 是无因次函数，表征散射光方向特性，与颗粒的形状、大小、折射率及空间趋向等有关， 称为颗粒的散射振幅函数，一般情况下是复数。散射光的强度即可表示为

6
Is =
S (θ , ? ) k r

2 2
2
I0 =

2
i (θ , ? ) I0 k 2r 2
(16)
式中 i (θ , ? ) = S (θ , ? ) 也是与散射方向有关的无因次函数，称为强度函数。振幅函数和强度函数均与 颗粒的粒径 d 、散射角 θ 、方位角 ? 、颗粒相对周围介质的折射率 m 有关。
散射系数、消光系数与振幅函数、强度函数的关系

振幅函数和强度函数求得后，散射系数和消光系数可按下式计算[3]
K sca = K ext =
1 i (θ , ? )d ? k SP ∫

2
4π Re ? S ( 0 ) ? ? ? k 2 SP
(17)
K abs = K ext ? K sca

上式中 s (0 ) 是散射振幅函数 s (θ ,? ) 在前向 θ = 0 处的值。
【推导过程】 散射截面与散射系数：
Csca = K sca =
Esca = I0
∫∫ I dS = ∫∫

S
S (θ , ? ) k 2r 2 I0

2
2
I 0 dS
I0
=
1 k r
2 2
∫∫ S (θ ,? )
2
d

S =
1 k2
∫∫ S (θ ,? )
2
d?
Csca 1 = 2 SP k SP
∫∫ S (θ ,? )
d? =
1 k SP

2
∫∫ i (θ ,? ) d?
消光截面与消光系数：
z (x,y,z) us y ui
0 x
在 z 轴很远处用望远镜观测处在坐标原点的散射体，入射光沿 z 轴照射颗粒。望远镜观测到的不仅 仅是前向散射的光，而是原始入射光与散射光之和。设物镜上任一点的坐标为 ( x, y, z ) ，因为 z >> x 和
7
? x +y ? x2 + y2 z >> y ，故存在近似关系 r = x + y + z = z ?1 + ，则物镜上 ( x, y , z ) 点处 ? ≈ z+ 2z z2 ? ?

2 2 2 2 2
1 2
接收到的光振幅为
ui + us = ae (
i ωt ? kz )
+

2
S (θ , ? ) ikr

2
ae (
i ωt ? kr )
? S (θ , ? ) i( kz ? kr ) ? e = ui ?1 + ? ikr ? ?
? S ( 0 ) ? ik x + y ≈ ui ?1 + e 2z ikz ? ?
? ? ? ?

2

2 2 ? 2 ? S ( 0 ) ? ik x + y ? ? ? ? 2z e ≈ I 0 ?1 + Re ? ? ? ，对望远镜接收截面 ? i ?? ? kz ? ?? ?
取一级近似后，得到对应的光强为 I = ui + us
A 积分可得 E = ( A ? Cext ) I 0 的形式，显然第二项应该为一负值(因为散射和吸收导致光的衰减)，其中
Cext 即消光截面。则有 Cext Cext = K ext
? S ( 0 ) ? ik x + y 2 e 2z = ? ∫∫ Re ? kz ? i A ?

2
2
? ? dxdy ，这是一个 Fresnel 积分，结果为 ? ?
4π Re ? S ( 0 ) ? ? ? k2 C 4π = ext = 2 Re ? S ( 0 ) ? ? ? SP k SP
这里可以看到：首先考虑入射波与散射波的位相关系，求合振幅，然后得到总光强。所以实际的消 光过程不是简单地被颗粒散射一部分波能量， 而是一种干涉现象。 散射波通过干涉从原始波中移去一部 分能量。 【推导结束】
颗粒群的散射截面和消光截面

当考虑不相关的单散射的颗粒群时，每个粒子的散射特性可以由散射函数 Si (θ , ? ) 确定。在考虑
θ ≠ 0 方向上的散射时，由于颗粒位置的随机性导致散射光位相的随机性，因此总散射强度可以是各粒

子散射光强的总和(非相干叠加)。
I S (θ , ? ) = ∑ I S ,i (θ , ? )

i
Csca = ∑ Csca ,i

i
(18)
对于在 θ = 0 方向上的散射，来自各个颗粒的散射光与入射光之间有一定的位相关系而产生相干现 象，必须通过振幅叠加后再求光强，即先 S ( 0 ) =
∑ S ( 0 ) ，然后可求得

i i
Cext = ∑ Cext ,i

i
(19)
8
应注意，这里求颗粒的总消光截面与前面求散射总截面是不同的。
颗粒散射与吸收的消光定律

考虑一介质对入射光进行不相关单散射，如图 2 所示。假设介质中单位体积内有 N 个无规则分布 的形状和尺寸均相同的散射颗粒。设散射区域的截面积为 S ，则厚度为 dL 的介质层中所包含的颗粒数 为 NSdL 。由于受到颗粒的散射和吸收作用，光强为 I 的光经单元层 dL 后，单位时间内减少的光能量 为 ? SdI ，按消光截面的定义可写出
dL I0 L

图 2 光波穿过介质的消光情形
I
? SdI = ICext NSdL

则光强为 I 0 的入射光通过总厚度为 L 的介质层后，透射光的强度 I 可对上式积分后得
(20)
I = I 0 e ? NCext L = I 0 e ? NσK ext L

与达朗伯定律 I = I 0 e

?τL
(21)
比较即得浊度 τ 与消光截面 Cext 和消光系数 K ext 之间的关系为 (22)
τ = NCext = NK ext S P

不难看出，浊度 r 即是单位体积内颗粒的总消光截面。对直径为 d 的球形颗粒，浊度为
τ = NK ext
πd 2

4

∞
(23)
测量颗粒时，经常遇到的情况是介质中含有成分相同、但大小不等的多分散颗粒系，设颗粒个数分 布函数为 N (d ) ， N (d )dd 表示单位体积内直径为 d 到 d + dd 范围内的颗粒数， 则 而 单位体积内的总颗粒数。此时，浊度 τ 为
∫ N (d )dd = N 为

0
τ =∫
∞
πd 2

4
0
K ext (d )N (d )dd
(24)
以无因次参数 α = π d
λ 表示，则

(25)
τ =∫
∞
0
λ2 2 α K ext (α )N (α )dα 4π
由此得到朗伯－比尔方程（BLBL)为

9
4π ? I 0 ? ∞ 2 ln? ? = α K ext (α )N (α )dα λ2 L ? I ? ∫0

与消光有关的概念：透过率(Transmission) T = I I 0 、消光值(Extinction) E = ? ln T 。
(26)
光散射的矢量波描述：

波矢量及振幅函数

考虑到光波的偏振性，就不能当作标量波来表示。作为矢量波一般需要三个分量，由于光波是横 波，可以用二个分量来表示。 在散射问题中，散射振幅函数 S (θ , ? ) 不再是一个标量，而是一个由四个分量构成的矩阵，它们都 是 θ 、 ? 的函数，分别描述不同的偏振状态。
?S S (θ , ? ) = ? 2 ? S4 ? El ? e ? ikr +ikz ? ?= ikr ? Er ?
S3 ? ? S1 ? ? S2 ? ? S4 S3 ? ? El 0 ? ? ?? S1 ? ? Er 0 ?
(27)
散射光与入射光之间的振幅关系为 (28)
其中“r”和“l”分别表示垂直于散射面和平行于散射面的量，有角码“0”的表示入射光场量，没有 角码“0”的为散射光场量。
z Er

θ
P
El y
r
Ei x
?
图 3 散射示意图
Stokes 参数及其矩阵变换

光波的二个不同位相的分振动的组合会表现出不同的偏振情形，可通过 Stokes 参数来表示。
? I = E l E l* + E r E r* ? * * ? Q = El El ? E r E r ? * * ? U = El E r + E r El ?V = i ( E l E r* ? E r E l* ) ?

10
(29)
四个参数中第一个参数 I 表示光强， 其余三个参数与 I 具有相同的量纲， 组合后表示光波的偏振状 态。当 V = 0 时，光波为完全偏振光；V < 0 为左旋的椭圆偏振光；V > 0 表示右旋偏振光；Q = U = 0 表示圆偏振光； Q = U = V = 0 时为自然光。 四个参数存在关系如下
I 2 ≥ Q2 + U 2 + V 2
(30)
对完全偏振光，等号成立；否则为部分偏振光或自然光。( I , Q, U , V )也可用另一组参数( I l , I r , U , V ) 表示。
? I l = E l E l* ? ? ? I r = E r E r* ?
(31)
散射光振幅可看作入射光振幅的线性变换，变换矩阵为 S (θ , ? ) 。对 Stokes 参数而言也是

一样， 散射光的 Stokes 参数由入射光的 Stokes 参数通过线性变换得到，散射的作用体现在变换矩阵 F (θ , ? ) 中，其形式可通过 S (θ , ? ) 求得。由于 Stokes 参数含有 4 个元素，因此变换矩阵 F (θ , ? ) 是由 16(4×4) 个元素组成，由散射颗粒的形状、大小、折射率及颗粒在空间的取向决定。 考虑公式 28，散射光的电振动矢量 ( E l , E r ) 与入射光电振动矢量 ( E l 0 , E r 0 ) 之间的关系可写成：
El = A2 El 0 + A3 E r 0 ，E r = A4 El 0 + A1 E r 0 ， 其中系数 An = S n

* M k = Ak Ak * S kj = S jk = 1 / 2( A j Ak + Ak A* ) j * ? Dkj = D jk = i / 2( A j Ak ? Ak A* ) j
e ? ikr +ikz ( n = 1,2,3,4 )。 定义下面参数： ikr
(32)
其中 j, k=1, 2, 3, 4， “*”表示共轭复数，可得( I , Q, U , V )的变换矩阵
? F11 ? ? F21 F =? S + S 31 ? 24 ?D + D 31 ? 24 ? I ? ? F11 ? ? ? F 21 ?Q? = ? ? U ? ? S 24 + S31 ? ? ? ? V ? ? D24 + D31
F12 F22 S 24 ? S 31 D24 ? D31 F12 F22 S 24 ? S31 D24 ? D31
S 23 + S 41 S 23 ? S 41 S 21 + S 34 D21 + D34 S 23 + S 41 S 23 ? S 41 S 21 + S34 D21 + D34
? D23 ? D41 ? ? ? D23 + D41 ? ? D21 + D34 ? ? S 21 ? S 34 ? ? ? D23 ? D41 ? ? I 0 ? ?? ? ? D23 + D41 ? ? Q0 ? ? D21 + D34 ? ? U 0 ? ?? ? S21 ? S34 ? ? V0 ?
(33a)
(33b)
也可得( I l , I r , U , V )的变换矩阵

11
? M2 ? ? M F′ = ? 4 2S ? 24 ? 2D ? 24 ? Ir ? ? M 2 ? ? ? M ? Il ? = ? 4 ? U ? ? 2 S 24 ? ? ? ? V ? ? 2 D24

其中
M3 M1 2 S 31 2 D31 M3 M1 2 S31 2 D31
S 23 S 41 S 21 + S 34 D21 + D34 S 23 S 41 S 21 + S34 D21 + D34
? ? ? D41 ? ? D21 + D34 ? ? S 21 ? S 34 ? ? ? ? Ir 0 ? ?? ? ? D41 ? ? I l 0 ? ? D21 + D34 ? ? U 0 ? ?? ? S 21 ? S34 ? ? V0 ? ? D23
? D23
(34a)
(34b)
1 1 ( M 2 + M 3 + M 4 + M 1 ), F12 = ( M 2 ? M 3 + M 4 ? M 1 ) 2 2 1 1 F21 = ( M 2 + M 3 ? M 4 ? M 1 ), F22 = ( M 2 ? M 3 ? M 4 + M 1 ) 2 2 F11 =
(35)
由上可见，若求得 S (θ , ? ) ，即可得到 F 或 F’，也就可根据入射光性质对散射光的光强分布和偏 振情况进行分析。 F 或 F’矩阵各元素取决于颗粒的具体形状，由于颗粒的形状不规则且在空间的取向各异，每个颗 粒的 F 矩阵元素不同。如果有许多相同的颗粒作不相关的单散射，则 F 矩阵的各元素是每个颗粒的 F 矩阵的对应元素之和。
各向同性球形颗粒的有关公式

对于各向同性的球形颗粒， S 3 = S 4 = 0 ， S1 、 S 2 不为零且与散射角有关。散射光与入射光存在 如下关系
0 ? e ? ikr +ikz ? El ? ? S 2 (θ ) ? ?=? ? ?E ? ? 0 S1 (θ ) ? ikr ? r? ? ?

Stokes 参数的转换关系为
? El 0 ? ? ?E ? ? ? r0 ?
(36)
? Il ? ? M 2 ? ? ? ? Ir ? ? 0 ?U ? = ? 0 ? ? ? ?V ? ? 0 ? ? ?

其中 M 1 =
0 M1
0 0 S 21 D21
0 ?? I l 0 ? ?? ? 0 ?? I r 0 ? ? D21 ?? U 0 ? ?? ? S 21 ?? V0 ? ?? ?

2
(37)
S1 (θ ) k 2r 2
2
S 2 (θ ) i i = 21 2 ， M 2 = = 22 2 ， i1 、 i2 为散射函数。 2 2 k r k r k r
i2 λ 2i Il 0 = 2 2 2 Il 0 k 2r 2 4π r λ 2i i I r = 21 2 I r

0 = 2 1 2 I r 0 k r 4π r Il =

12
(38)
对于入射光为自然光的情形( I l 0 = I r 0 =
1 I 0 、 U 0 = V0 = 0 )，球形颗粒的散射光强为 2

(39)
I=
λ2 I (i1 + i2 ) I 0 = 2 0 2 (i1 + i2 ) 2k 2 r 2 8π r
13
经典光散射理论(Lorentz-Mie Theory)之一：理论推导

波动方程：

对单色谐波 ?
?E ( r, t ) = E ( r ) ? exp ( ?iωt ) ? ，存在 Maxwell 方程组： ?H ( r, t ) = H ( r ) ? exp ( ?iωt ) ?

? ?E ?
? ?E iσ ? ?? × H = J + ε ?t = σ E ? iωε E = ?iω ? ε + ω ? ? ? ?? × E = ? μ ?H = iωμ H ? ?t ?
? iσ ? ?k1 = iω ? ε + ω ? ? ? 定义 ?k2 = iωμ ? 2 ?k = ? k1k2 ? ?
? ? ?
，则存在 ?
2 2 ?? × H = ? k1E ?? E + k E = 0 ? 和? 2 2 ?? H + k H = 0 ?? × E = k2 H ?
与颗粒散射有关的电磁场物理量一般只涉及非量子散射， 因此我们只考虑单个波长的散射情况。 上面得 到了波动方程的形式。
曲线正交坐标系：

点 P 的坐标由 u1 、 u2 和 u3 表示，相应的单位矢量为 e1 、 e 2 和 e3 ，沿这三个方向的线元为 dl1 = h1du1 、
dl2 = h2 du2 和 dl3 = h3du3 ， 其 中 h1 、 h2 和 h3 一 般 为 坐 标 的 函 数 ， 任 一 矢 量 可 表 示 为 A = A1e1 + A2e 2 + A3e3 。

关系式： 梯度： ?ψ =
1 ?ψ 1 ?ψ 1 ?ψ e1 + e2 + e3 h1 ?u1 h2 ?u2 h3 ?u3

? ? ? 1 ? ? ( h2 h3 A1 ) + ( h3h1 A2 ) + ( h1h2 A3 ) ? ? ?u2 ?u3 h1h2 h3 ? ?u1 ?
散度： ? ? A =
1
h1e1 ? 1 旋度： ? × A = h1h2 h3 ?u1 h1 A1
h2e 2 ? ?u2 h2 A2
? 1 ? ? ? ? ? ( h3 A3 ) ? ( h2 A2 ) ? e1 ? ? ? ?u3 ? ? h3e3 ? h2 h3 ? ?u2 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? = ?+ ( h1 A1 ) ? ( h3 A3 )? e2 ? ? ? ?u3 ? h3 h1 ? ?u3 ?u1 ? ? h3 A3 ? 1 ? ? ? ? ? ?+ ( h2 A2 ) ? ( h1 A1 )? e3 ? ? h1h2 ? ?u1 ? ?u2 ? ? ? ?
拉普拉斯： ? ψ =

2
1 h1h2 h3
? ? ? h2 h3 ?ψ ? ? ? h3 h1 ?ψ ? ? ? h1h2 ?ψ ? ? ? ? ?? ? ?+ ? ?+ ?u1 ? h1 ?u1 ? ?u2 ? h2 ?u2 ??u3 ? h3 ?u3 ? ? ?
球坐标系：

在球坐标系中：
?u1 = r ?h1 = 1 ? ? 存在 ?u2 = θ 和 ?h2 = r ?u = ? ?h = r sin θ ? 3 ? 3
方程在球坐标系中的表达式：

由?
?? × H = ?k1E 可得： ?? × E = k2 H
? ? ? 1 ? ? ?? k1 Er = 2 ? ?θ ( r sin θ H ? ) ? ?? ( rHθ ) ? r sin θ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ?? k1 Eθ = ? ?? ( H r ) ? ?r ( r sin θ H ? ) ? r sin θ ? ? ? ? 1? ? ? ? ?? k1 E? = ? ( rHθ ) ? ( H r )? r ? ?r ?θ ? ? ?
? ? 1 ? ? ? ?k2 H r = 2 ? ?θ ( r sin θ E? ) ? ?? ( rEθ ) ? r sin θ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? k 2 Hθ = ? ?? ( Er ) ? ?r ( r sin θ E? ) ? r sin θ ? ? ? ? ? 1? ? ?k2 H? = ? ( rEθ ) ? ( Er )? ? ?θ r ? ?r ? ? ?
在颗粒问题中，最简单的描述建立在球坐标系中。因此，上面给出了波动方程在球坐标系中的各个分量 的表达式。
横电波(TE)和横磁波(TM)：

?E = e E + m E ? 可以将电磁波看作二个线性无关的横电波(TE)和横磁波(TM)的叠加，即 ? e m ?H = H + H ?
( (
e
E, e H ) 表示横磁波(TM)或者成为电波： e H r = 0 其余 5 个分量不为 0 E, m H ) 表示横电波(TE) 或者成为磁波： m Er = 0 其余

5 个分量不为 0

2
m
对于横磁波(TM)或者电波：
? e ? 1 ? ? ? e e ?? k1 Er = 2 ? ?θ ( r sin θ H? ) ? ?? ( r Hθ ) ? r sin θ ? ? ? ? e 1 ? e ? ( r H? ) ?? k1 Eθ = ? r ?r ? 1 ? e ? e ?? k1 E? = r ?r ( r Hθ ) ? ?
? ? ? e 1 ? ? e ?0 = 2 ? ?θ ( r sin θ E? ) ? ?? ( r Eθ ) ? r sin θ ? ? ? ? ? 1 ? ? e ? ? e e ? k 2 Hθ = ? ?? ( Er ) ? ?r ( r sin θ E? ) ? r sin θ ? ? ? ? e 1? ? ? e ? ?k2 H? = ? ( r e Eθ ) ? ( Er )? ?θ r ? ?r ? ? ?
利用 ? H + k H = 0 ，可得：

2 2
1 ? ? 2 ?Hθ ?r ?r r 2 ?r ?
?Hθ ? ? 1 ? ?+ 2 ? sin θ ?θ ? r sin θ ?θ ?
? 2 Hθ 1 ? + 2 2 + k 2 Hθ = 0 ? 2 ? r sin θ ??
1 ? ? 2 ?Hθ ? ? ? ?Hθ ? 2 ?Hθ r = + r 2 ?r ? ?r ? ?r ? ?r ? r ?r ? ? ? ? 1 ?2 1 ? ? 1 ? ? ?Hθ ? ? ? ?Hθ rHθ ) = ( rHθ ) = 2 ( ? r ?r + Hθ ? = ?r ? ?r r ?r r ?r ?r r ?r ? ? ?

?Hθ ? ? 1 ?2 1 rHθ ) + 2 ? sin θ 2 ( ?θ r ?r r sin θ ?θ ?
? 1 ?Hθ 1 ?Hθ ? + r ?r + r ?r ?
? 2 Hθ 1 ? + 2 2 + k 2 Hθ = 0 ? 2 ? r sin θ ??
? ?2 ? ?Hθ ? ? ? 1 1 ? 2 Hθ sin θ + k 2 ? ( rHθ ) = ? ? ? 2 ? ? r sin θ ?θ ? ?θ ? r sin 2 θ ?? 2 ? ?r ?

应用到横磁波(TM)则有
? ?2 1 e 2? ? 2 + k ? ( r Hθ ) = ? r sin θ ? ?r ?

e
? ? ? ? e Hθ ? 1 ? 2 e Hθ ? ? ? sin θ ? ?+ ?θ ? sin θ ?? 2 ? ? ?θ ?
? e H? ? e 当存在 ? ? H = 0 时，存在 ( sin θ Hθ ) + ?? = 0 ， ?θ

再结合 ? k1 Er =

e
1 r sin θ
e ? ? ( sin θ e H? ) ? ??Hθ ? ? ? ?θ
? ? 可得 ?
3
? ?2 ? k ? e Er + k 2 ? ( r e Hθ ) = ? 1 ? 2 sin θ ?? ? ?r ?

该结论也可由 k2 Hθ =

e
1 r sin θ
? ? e ? 1 ? e ? e e ? ?? ( Er ) ? ?r ( r sin θ E? ) ? 结合 ? k1 E? = r ?r ( r Hθ ) 得到： ? ?
k2 e Hθ =
? ? e ?? 1 ? e ? ? ( r Hθ ) ? ? ? ( Er ) + ? sin θ k1 ?r ?r ? ?? ? ?? 2 ? 1 ? ? e 1 ? = r e Hθ ) ? ? ( Er ) + sin θ 2 ( r sin θ ? ?? k1 ?r ? 1 r sin θ

k ? e ?2 e r Hθ ) ? k1k2 r e Hθ = ? 1 ( Er ) 2 ( sin θ ?? ?r
? ?2 k1 ? e 2? e ( Er ) ? 2 + k ? ( r Hθ ) = ? sin θ ?? ?r ? ?

同理可得
? ?2 ? ? e Er + k 2 ? ( r e H ? ) = k1 ? 2 ?θ ? ?r ?

因 此 对 横 磁 波 (TM) 或 者 电 波 ( H r = 0 ，

e
同 理 对 横 电 波 (TE) 或 者 磁 波 (
m
Er = 0 ，
? ? e H = 0 )存在

? e ? 1 ? ? ? e e ?? k1 Er = 2 ? ?θ ( r sin θ H? ) ? ?? ( r Hθ ) ? r sin θ ? ? ? ? e 1 ? e ( r H? ) ?? k1 Eθ = ? r ?r ? 1 ? e ? e ?? k1 E? = r ?r ( r Hθ ) ? ? ? 1 ? ? ? e e ?0 = 2 ? ?θ ( r sin θ E? ) ? ?? ( r Eθ ) ? r sin θ ? ? ? ? 2 e ?? ? + k 2 ? ( r e Hθ ) = ? k1 ? Er ? ? ?? ?r 2 sin θ ?? ? ? 2 ? ? e Er ?? ? + k 2 ? ( r e H? ) = k1 ?? ?r 2 ?θ ? ??
? ? m E = 0 )存在

? m ? ? 1 ? ? e e ?k2 H r = 2 ? ?θ ( r sin θ E? ) ? ?? ( r Eθ ) ? r sin θ ? ? ? ? m 1 ? m ( r E? ) ? k 2 Hθ = ? r ?r ? 1 ? m ? m ?k2 H? = r ?r ( r Eθ ) ? ? ? 1 ? ? ? m m ?0 = 2 ? ?θ ( r sin θ H ? ) ? ?? ( r Hθ ) ? r sin θ ? ? ? ? 2 m ? ? ?? ? + k 2 ? ( r m Eθ ) = k2 ? H r ?? ?r 2 sin θ ?? ? ? 2 ? ? mHr ?? ? + k 2 ? ( r m E? ) = ? k2 ?? ?r 2 ?θ ? ??
在电磁场理论和光学原理中均已证明：所有的电磁波都可以看作

二个相互独立(线性无关)的电磁波的合 成。它们分别是横磁波(TM 或电波，用左上标 e 表示)和横电波(TE 或磁波，用左上标 m 表示)。理论分 析指出：TM 波和 TE 波分别满足各自的一套微分方程，如上所示。
4
德拜势引入及场量的德拜势表达式：

电波： 存在 H r = 0 。由波动方程 ? × E = k2 H 可得 H r =

e

e
1 ( ? × e E )r ，只与 e Eθ 和 e E? 有关。 e Eθ 和 e E? 可 k2
采用标势 U 的梯度表示： Eθ =

e
1 ?U e 1 ?U 和 E? = ，而标势函数 U 可引入德拜势表示，其关系 r ?θ r sin θ ??
为U =
? (r eΠ) ?r
。则由上面的波动方程可得各个场量与德拜势之间的关系：

e k1 ? ( r Π ) Hθ = ? r sin θ ?? e e k1 ? ( r Π ) H? = r ?θ e
e
e
e 2 1 ? (r Π) E? = r sin θ ?r ??
2 e 1 ? (r Π) Eθ = r ?r ?θ
e
e
? ?2 ? Er = ? 2 + k 2 ? ( r e Π ) ? ?r ?

2e
Hr = 0
德拜势本身满足波动方程： ?
Π + k2 eΠ = 0
【德拜势波动方程 ?

e
2e
Π + k 2 e Π = 0 的证明和 e Er 的求解】

?? ? e e (r H θ )? ? (r sinθ H ? ) ? ? ?? ? ?θ ?
Er = ?
1 k1 r sin θ

2
?? ? ? e ? ? ? k1 ? e ? ? (r Π )? ? ?? ? ? sin θ ?? (r Π )?? ? ? sin θ ? k1 ? ? ?θ ? ? ?? ? ?θ ? 2 2 ? e ? 1 ?? ? 1 ? e ? =? ? ? sin θ 2 Π ? + ? sin θ ?? 2 Π ? r sin θ ? ?θ ? ?θ ? ? ? =? 1 2 k1 r sin θ

已知 ? ?
? ?2 ? k ? e E r ，用德拜势代入得到： + k 2 ?(r eH θ ) = ? 1 2 ? sin θ ?? ?r ? ?
? ? ?2 ? 1 ? 1 1 ? 2 ?? ( r e Π )? = ? sin θ ?? ?? r sin θ ? ?? ? ? 2 + k ? ?? ?? ? ? ?r ? ? sin θ ?? ? θ ?

? ?? ? ?2 e 1 2 e ? 2 r Π +k r Π + r sin θ ? ?r
? ? e ? 1 ?2 e ?? ? Π?+ Π?? sin θ ? 2 ?θ ? ? sin θ ?? ? ??
(
)
(
)
?? ? ? e ? 1 ? 2 e ?? Π? + Π?? = 0 ? sin θ ? 2 ?θ ? sin θ ?? ? ?θ ? ??
1 ?2 e 1? ? ?e ? e Π ?? 1 ? ? e Π ? e Π ?2 e Π ? ?2 e Π 2 ?eΠ ? Π+r ?? = ? + +r + r Π = ? ? ?= ?r ?? r ? ?r ?r r ?r 2 r ?r r ? ?r ? ?r 2 ? ?r 2 ?
(
)
5
?? ? ?eΠ ? 1 ?2 e ? ? sin θ ?+ Π? ? ? ?θ ? ?θ ? sin θ ?? 2 ? ? ? 2 e e e 2 ? Π 2? Π ? ? ? Π? 1 1 ? e 2 e ? sin θ ?+ 2 = + + 2 2 ? ? r sin 2 θ ?? 2 Π + k Π = 0 ?θ ? r ?r ?r r sin θ ?θ ? 1 ?2 e 1 r Π + k2 eΠ + 2 2 r ?r r sin θ
(
)
在球坐标系中，拉普拉斯算符的形式是
?2 = 1 = 2 r = 1 r2
1 r sin θ

2
?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? ? ? r sin θ ? + ? sin θ ?+ ? ?? ?r ? ?θ ? ?θ ? ?? ? sin θ ?? ? ? ? ?r ?
?? ? 2 ? ? ? ? ?2 ? 1 ? ? 1 ?+ ? sin θ ?+ ? ?r ? ?θ ? sin 2 θ ?? 2 ? ? ?r ? ?r ? sin θ ?θ ?
?? ? ?2 ? ? ? ?2 ? 1 ? ? 1 + 2 2r + r 2 2 ? + sin θ ?? ? ? ? ?r ? sin θ ?θ ? ?θ ? sin θ ?? 2 ? ?? ?r ?2 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ?2 = 2+ + 2 sin θ + 2 2 ? ? ?r r ?r r sin θ ?θ ? ?θ ? r sin θ ?? 2

因此，上述方程正是 ?

e
2e
Π + k2 eΠ = 0。
Er = ?
1 r sin θ
? ? ? ?θ ?
? 1 ?2 e ? ? e ? ?2 2 ? ? e ? sin θ Π?+ Π ? = ? r ?? 2 ? 2 ? Π ? 2 r ?r ? ?θ ?r ? ? sin θ ?? ? ? ?
? ?2 2 ? ? e ?2 = r? 2 + Π ? r? 2 e Π = 2 ( r e Π ) + k 2 ( r e Π ) ? ?r r ?r ?

? ?r

【证明完毕】 磁波： 同样，对磁波引入德拜势 Π ，则存在：

m m m k2 ? ( r Π ) Eθ = r sin θ ?? m m k2 ? ( r Π ) E? = ? r ?θ m m m
m 2 1 ? (r Π) H? = r sin θ ?r ??
2 m 1 ? (r Π) Hθ = r ?r ?θ
Er = 0
m
? ?2 ? Hr = ? 2 + k 2 ? (r m Π) ? ?r ?

2m
德拜势本身满足波动方程： ?
Π + k2 mΠ = 0
以上证明了：横电波 TE 和横磁波 TM 的各个物理量都可以通过引入各自的德拜势来表示。无论是 TE 还是 TM，其德拜势满足的波动方程完全一致。
因此，电磁场物理量 ?
?E = e E + m E ? ，可以通过德拜势来表达： e m ?H = H + H ?

6
e m 2 1 ? ( r Π ) k2 ? ( r Π ) E? = E? + E? = ? r sin θ ?r ?? r ?θ e m
2 e m k2 ? ( r Π ) 1 ? (r Π) Eθ = Eθ + Eθ = + r ?r ?θ r sin θ ??

e m
e 2 m k1 ? ( r Π ) 1 ? ( r Π ) Hθ = Hθ + H θ = ? + r sin θ ?? r ?r ?θ e m e m 2 k1 ? ( r Π ) 1 ? (r Π) H? = H? + H? = + r ?θ r sin θ ?r ?? e m
? ?2 ? Er = e Er + m Er = ? 2 + k 2 ? ( r e Π ) ? ?r ?
? ?2 ? Hr = eHr + mHr = ? 2 + k 2 ? ( r m Π ) ? ?r ?
德拜势的边界条件：

电磁场 E 、 H 的切向分量在介质分界面上连续，即 Eθ 、 E? 、 Hθ 和 H ? 连续。这只要满足
? (r eΠ) ?r
、
k1r Π 、

e
? (r mΠ) ?r
和 k2 r m Π 连续。
由此可见： 电磁场物理量的求解转化为德拜势的求解， 散射问题转化为德拜势波动方程满足边界条件的 解。 结论：电磁波可以归结为横电波 TE 和横磁波 TM 之和，分别用对应的德拜势来描述。这包含三个方面 的含义：电磁波的六个分量可以通过二个德拜势 e Π 和 m Π 表示；电磁场的边界条件即电场量 E 和磁场 量 H 的 切 向 分 量 的 连 续 性 可 以 用 德 拜 势 表 示 ； 二 个 德 拜 势 eΠ 和 mΠ 满 足 相 同 的 微 分 方 程 ? 2 Π + k 2 Π = 0 。因此，求解电磁波物理量最后归结为求解德拜势及其连续性。
德拜势波动方程的简化(德拜势的分离变量及其波动方程的分离)：

德拜势满足波动方程： ? Π + k Π = 0

2 2
拉普拉斯算符在球坐标系中的表达式：
?2 =
1 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? ?r ?+ 2 ? sin θ 2 r ?r ? ?r ? r sin θ ?θ ? ?θ
1 ?2 ? + 2 2 ? 2 ? r sin θ ??
1 ? ? ? ? 1 = 2 ? r2 ? + 2 r ?r ? ?r ? r

≡? 2 r
? 1 ? ? ? ? 1 ?2 ? 1 2 2 ? sin θ ?θ ? sin θ ?θ ? + sin 2 θ ?? 2 ? ≡ ? r + r 2 ?θ? ? ? ? ?

2 ≡?θ?
将德拜势看作可分离变量的函数： Π = R ( r ) Y (θ , ? ) 。 结合上面三个公式可得：
? 2 ? R ( r ) Y (θ , ? ) ? + r ? ?

经过如下过程：
1 2 ?θ? ? R ( r ) Y (θ , ? ) ? + k 2 R ( r ) Y (θ , ? ) = 0 2 ? ? r
7
Y (θ , ? ) ? 2 R ( r ) + r
1 2 R ( r ) ?θ? Y (θ , ? ) + k 2 R ( r ) Y (θ , ? ) = 0 2 r
r2 1 2 2 ?r R ( r ) + ?θ? Y (θ , ? ) + k 2 r 2 = 0 R (r ) Y (θ , ? ) r2 1 2 2 ?r R ( r ) + k 2r 2 = ? ?θ? Y (θ , ? ) ≡ α R (r ) Y (θ , ? )

分离以后得到：
α? ? ? 2 R ( r ) + ? k 2 ? 2 ? R ( r ) = 0 (径

向方程) r r ? ?

2 ?θ? Y (θ , ? ) + α Y (θ , ? ) = 0
(横向方程)
横向方程进一步简化： 令 Y (θ , ? ) ≡ Θ (θ ) Φ (? ) ，代入横向方程并作如下步骤：

2 ?θ? ?Θ (θ ) Φ (? ) ? + αΘ (θ ) Φ (? ) = 0 ? ?
1 ? ? ? ? 1 ?2 sin θ ?Θ (θ ) Φ (? ) ? + 2 ? ? ? sin θ ?? 2 ? Θ (θ ) Φ (? ) ? + αΘ (θ ) Φ (? ) = 0 ? ? sin θ ?θ ? ?θ ? ?

2 ?Θ (θ ) ? 1 ? ? 1 ? Φ (? ) Φ (? ) + αΘ (θ ) Φ (? ) = 0 ? sin θ ? + Θ (θ ) 2 ?θ ? sin θ ?θ ? sin θ ?? 2 2 ?Θ (θ ) ? sin θ ? ? 1 ? Φ (? ) + α sin 2 θ = 0 ? sin θ ?+ 2 Θ (θ ) ?θ ? ?θ ? Φ (? ) ??
sin θ ? Θ (θ ) ?θ
2 ?Θ (θ ) ? ? 1 ? Φ (? ) + α sin 2 θ = ? ≡β sin θ ? ? ?θ ? Φ (? ) ?? 2 ?
则可将横向方程分离为二个相互独立的方程：
d dθ
dΘ ? ? β ? ? sin θ ? + ? α sin θ ? dθ ? ? sin θ ?
? ?Θ = 0 ?
d 2 Φ (? ) + β Φ (? ) = 0 d? 2

对函数 Θ (θ ) 的方程作如下变换：令 cos θ = ξ ，则 sin θ = 1 ? ξ
(
1 2 2
)
，
1 d d = ? (1 ? ξ 2 ) 2 。 dθ dξ
? d ? β ? 2 dΘ ? ?(1 ? ξ ) dξ ? + ? α ? 1 ? ξ 2 ? Θ = 0 dξ ? ? ? ?
8
径向方程作如下变换：
1 d ? 2 dR ? 1 d 2 ( rR ) ?r ?= r 2 dr ? dr ? r dx 2 d2 α? ? rR ) + ? k 2 ? 2 ? ( rR ) = 0 2 ( r ? dr ?

最后德拜势波动方程分离为三个相互独立的方程 (德拜势的分解函数 Π = R ( r ) ? Θ (θ ) ? Φ (? ) )：
d2 α? ? rR ) + ? k 2 ? 2 ? ( rR ) = 0 2 ( r ? dr ?
? d ? β ? 2 dΘ ? ?(1 ? ξ ) dξ ? + ? α ? 1 ? ξ 2 ? Θ = 0 dξ ? ? ? ?

d 2Φ +β Φ=0 d? 2

结 论 ： 以 上 将 德 拜 势 函 数 分 离 变 量 Π ( r , θ , ? ) = R ( r ) ? Θ (θ ) ? Φ (? ) ， 德 拜 势 满 足 的 微 分 方 程
? 2 Π + k 2 Π = 0 分离成每个函数各自满足的相互独立的方程。
德拜势波动方程的通解：

方程
d 2Φ + β Φ = 0 的解： d? 2

2
则可得其通解为 Φ = am cos ( m? ) + bm sin ( m? ) 并应满足单值条件即 Φ (? ) = Φ (? + 2π ) ， 令β = m ， 则 m 必须为整数。
方程
? d ? β ? 2 dΘ ? ?(1 ? ξ ) dξ ? + ? α ? 1 ? ξ 2 ? Θ = 0 的解： dξ ? ? ? ?
可写作 1 ? ξ
(
2
m ) d ξΘ ? 2ξ dΘ + ?α ? 1 ? ξ ? dξ d

2 2 2
?
2
? ? Θ(θ ) = 0 ，此乃缔合勒让德方程，应满足的单值条件为 ?
α = l ( l + 1) ，其中 l 必须为正整数且 l ≥ m 。其通解为缔合勒让德函数 Θ (θ ) = Pl m ( cos θ ) 。(有关缔

合勒让德函数的形式可查阅有关文献，其计算方法将在后面介绍)。
方程
d2 α? ? rR ) + ? k 2 ? 2 ? ( rR ) = 0 的解： 2 ( dr r ? ?

9
写作
l ( l + 1) ? ? d2 rR ) + ? k 2 ? ? ( rR ) = 0 ，该方程可化成半整数阶贝塞尔方程：令 kr = ρ ，并作函数 2 ( dr r2 ? ?

1
变换 R ( r ) =
ρ
Z ( ρ ) 。则有 r =
ρ

k
，
2 dρ d dρ d d d2 2 d =k， = =k ， 2 =k 。 dρ 2 dr dr dr dρ dρ dr
? ? 2 k 2l ( l + 1) ? ρ 1 d2 ? ρ k Z ( ρ ) ? + ?k ? Z (ρ) = 0 ? ? ? ρ2 ? k ρ dρ 2 ? k ? ? ?

2
d2 dρ 2
(
ρ Z ( ρ ) + ?1 ?

?
)
?
l ( l + 1) ? ? ρZ (ρ) = 0 ρ2 ?
d2 dρ 2
(
ρ z(ρ)
)
1 3 d ? 1 ?1 ? 1 ?1 1 ?1 1 ?2 2 2 ′′ 2 ′ 2 ′ = ? ρ Z′ + ρ Z ? = ρ Z + ρ Z + ρ Z ? ρ Z dρ ? 2 2 2 4 ?
1 1 ? 1 ?3 = ρ 2 Z ′′ + ρ 2 Z ′ ? ρ 2 Z 4
ρ 2 Z ′′ + ρ 2 Z ′ ? ρ 2 Z + ρ 2 Z ? ρ 2 l ( l + 1) Z = 0

最后得到：

2 ? 1 ? 1? ? Z ′′ + Z ′ + ?1 ? 2 ? l + ? ? Z = 0 ρ ? ρ ? 2? ? ? ?
1
?
1
1 4
?
3
1
?
3
1
上面这个方程与
d 2 y 1 dy ? n 2 ? + + ?1 ? ? y = 0 具有相同的形式，故可得通解 Z ( ρ ) = J 1 ( ρ ) 。 l+ dx 2 x d x ? x 2 ? 2
则 rR (r ) 的通解可用贝塞尔函数及其线性组合表示，通常有如下形式：
? π kr ? 2 ψl = ? ? J 1 ( kr ) ? 2 ? l+2 ? π kr ? 2 χl = ? ? ? N 1 ( kr ) ? 2 ? l+2

1
1
ζl
(1)
? π kr ? 2 (1) = ψ l ( kr ) ? i χ l ( kr ) = ? ? H 1 ( kr ) ? 2 ? l+ 2 ? π kr ? 2

1
1
ζ l( 2) = ψ l ( kr ) + i χ l ( kr ) = ?

J

l+ 1 2
( 2) ? H l + 1 ( kr ) ? 2 ? 2

(1)

l+ 1 2
、N
l+
1 2
、H
l+
1 2
分别是半整数阶贝塞尔函数、纽曼函数和汉克尔函数。 H
是第一类汉克尔函数，
2) H ( 1 是第二类汉克尔函数。

l+
2
10
因此，可得德拜势波动方程的通解：
r Π = r ∑ ∑ Π lm = ∑ ∑ {clψ l ( kr ) + dl χ l ( kr )} ? Pl ( m ) ( cos θ ) ? {am cos ( m? ) + bm sin ( m? )}

l = 0 m =? l l = 0 m =? l
∞
l
∞
l
结论：以上分别求出了德拜势函数各个分离变量 R ( r ) 、 Θ (θ ) 和 Φ (? ) 的通解并由此得到德拜势的通 解。
Mie 散射理论的德拜势求解：

Mie 散射理论考虑一个各向同性的球形颗粒在单色平行光入射时的散射行为， 在利用德拜势求解散 射问题时，将电磁场分作入射的电磁场、散射的电磁场和球内的电磁场，相应的德拜势分别为入射场的 德拜势、散射场的德拜势和球内场的德拜势，如图所示。
(Ew, Hw)
Πw
(Ei, Hi)+(Es, Hs)
Πi+Πs
图 3 各向同性球形颗粒散射示意图。 已知的参数有：颗粒的折射率和大小、周围介质的折射率、入射光波长(或者频率)与强度。求解散 射场的物理量在球坐标系中进行。 因此首先将入射场的物理量用德拜势表示成球坐标系中的形式， 由此 试探球内场和散射场的德拜势在球坐标系中的形式。然后根据边界条件确定散射场的系数得到最后解。 Mie 理论求解的思路： 将入射波与球形颗粒的相互作用用场的形式及其边界条件表示。 电磁场由入射场、 散射场和球内场构成。 首先求出在球坐标系中入射波的德拜势表达式， 由此试探散射场和球内场的形式， 系数待定。根据边界条件得到待定系数最终得到散射场的表达式。
入射场的德拜势表达式：

假设入射单色平面波的电矢量 E

(i )
的 各 个 分 量 为 Ex = exp ik z = exp ik r cos θ ，
(i )
(
(I)
)
(
(I)
)
( E yi ) = Ez(i ) = 0 。

其中 k (I) = 2π λ (I) 表示光波在介质中的波数值。入射波的磁场量与电场量之间满足
H( ) =

i
() 1 1 ?? ? ? ik I I i i (i (i ? × E( ) ，可得 H x ) = H z( ) = 0 ， H y ) = (I) ? exp ik ( ) z ? Ez ? = (I) exp ik ( ) z 。 ( I) ?x ? k2 k2 k2 ? ?z
(
)
(
)
I
(
)
11
电场量在球坐标系中的分量表达式可通过坐标变换得到：
Er( ) =

i
? ( r sin θ cos ? )
Eθ( )

i
( E? )

i
?r ? ( r sin θ cos ? ) I I = exp ik ( ) r cos θ = cos θ cos ? ? exp ik ( ) r cos θ r ?θ ? ( r sin θ cos ? ) I I = exp ik ( ) r cos θ = ? sin ? ? exp ik ( ) r cos θ r sin θ??
exp ik ( ) r cos θ = sin θ cos ? ? exp ik ( ) r cos θ

I I
( ( (
) ) )
(
) )
(
(
)
由此可利用 H
(i )
=

Ⅰ
1 i ? × E( ) 得到磁场量在球坐标系中的分量形式： ( I) k2
(
)
H r( ) =

i
ik ( ) Ⅰ sin θ sin ? ? exp ik ( ) r cos θ Ⅰ ( ) k2
(
) )
H θ( i ) = H?

(i )
ik ( ) cos θ sin ? ? exp ik (Ⅰ) r cos θ Ⅰ ( ) k2

Ⅰ
(
ik ( ) = (Ⅰ) cos ? ? exp ik (Ⅰ) r cos θ k2

Ⅰ
(
)

(i )

e
以下求解德拜势的表达式：入射波可分解成 TE 波和 TM 波，其中 Er 对应 因此利用 Er = ?

e
Π ( ) 、 H r(i ) 对应 m Π ( ) ，

i i
? ?2 ? + k 2 ? ( r e Π ) 写出下式： 2 ? ?r ?
E
(i ) r
= sin θ cos ? exp ik r cos θ =
(
Ⅰ ()
)
?2 r e Π( )

i
(
?r
2
) + k ( ) r Π( )

Ⅰ2 e i
将包尔公式 exp ik r cos θ =
(
(Ⅰ )
) ∑ i ( 2l + 1)

∞ l l =0
ψ l k (Ⅰ) r

k r

(Ⅰ )
(
)P ( cosθ ) 对 θ 求偏导得到：

l
sin θ exp ik ( ) r cos θ = ?

Ⅰ
(
)
? ? Ⅰ exp ik ( ) r cos θ ? ? ? ik r ?θ 1

(Ⅰ )
(
)
上式代入 Er 的表达式得到：
(i )
ψl k r cos ? ? ∞ l Er = sin θ cos ? exp ik r cos θ = ? (Ⅰ) i ( 2l + 1) Pl ( cos θ ) ∑ ik r ?θ l =0 k (Ⅰ) r cos ? ∞ l ? =? i 2l + 1)ψ l k (Ⅰ) r Pl ( cos θ ) 2 ∑ ( ?θ i k (Ⅰ) r l =0

(i )
(
(Ⅰ )
)
(
(Ⅰ )
)
(
)
(
)
1 ξ = cosθ ? ? ?ξ ? 1 = ? (1 ? ξ 2 ) 2 Pl ( cos θ ) = Pl (ξ ) × Pl (ξ ) = ? Pl ( ) (ξ ) ?θ ?ξ ?θ ?ξ
12
其中 P l
( m)
(ξ ) 的定义为 Pl ( m) (ξ ) = (1 ? ξ 2 ) 2
m
dm (i ) P ξ ，则 Er 表示为 m l ( ) dξ

1 l
Er( ) =

i
( k ( )r )

Ⅰ
cos ?
2
∑ i ( 2l + 1)ψ ( k ( ) r ) P( ) ( cos θ )

∞ l ?1 Ⅰ l =0 l
下面取试探解确定入射波德拜势的系数 设德拜势函数具有形式： r Π

e
(i )
=
(k )

(Ⅰ )

2
1
2
∑ α ψ ( k ( ) r ) P( ) ( cos θ ) cos ?

∞ Ⅰ 1 l =0 l l l
?2 r e Π( )

i
(
?r 2
)=

k (Ⅰ)
(k( ) )

Ⅰ 2
1
α k (Ⅰ) ψ l ″ k (Ⅰ) r Pl (1) ( cos θ ) cos ? 2 ∑ l

l =0
∞
( )
(
)
? 2 r e Π (i ) ?r 2 cos ?

Ⅰ
(
)+

∞ l =0
( )

l ?1
r e Π ( i ) = ∑ α lψ l ″ k (Ⅰ) r Pl (1) ( cos θ ) cos ? + ∑ α lψ l k (Ⅰ) r Pl (1) ( cos θ ) cos ?

l =0 l =0 Ⅰ 1 l l
∞
(
)
∞
(
)
=
( k ( )r )
2
∑ i ( 2l + 1)ψ ( k ( ) r ) P( ) ( cos θ )

? d2 1 +

1?ψ l k (Ⅰ) r = 2 ? dr k (Ⅰ) r ? ?
? 1 αl ? ? (Ⅰ) ? k ?
( )
2
(
)
(
)
2
i l ?1 ( 2l + 1)ψ l k (Ⅰ) r
(
)
则得到：
d 2ψ l k (Ⅰ) r ? (Ⅰ) 2 i l ?1 (2l + 1) ? () Ⅰ + ?k ? ?ψ l k r = 0 2 2 dr r αl ? ?
(
)
(
)
已知：
d2 (rR(r )) + ? k 2 ? l (l + 1) ?(rR(r )) = 0 的解为 rR ( r ) = π kr J l + 1 ( kr ) ? ? 2 2 dr r2 ? ? 2

比较可以得到：
ψ l ( kr ) = α l = i l ?1
π kr

2
J
l+
1 2
( kr )
2l + 1 l ( l + 1)
结论：入射波德拜势表达式
r e Π( ) =

i
(k( ) )

I
1
2
∑i

l =1
∞
l ?1
2l + 1 ψ l k ( I) r Pl (1) ( cos θ ) cos ? l ( l + 1)
(
)
同理，由于 H r 对应
(i )
m
Π ( ) ，利用 e H r = ? 2 + k 2 ? ( r m Π ) 可以求得： ? ?r ?

i
? ?2
?
13
r m Π (i ) =
1 ( I) ( I) k k2
∑ i l ( l + 1) ψ ( k ( ) r ) P( ) ( cos θ ) sin ?

∞

l I 1 l =1 l l
2l + 1
入射波德拜势表达式
r e Π( ) =

i
( )

k ( I)
1
2
∑i

l =1
∞
l ?1
2l + 1 ψ l k ( I) r Pl (1) ( cos θ ) cos ? l ( l + 1)
(
)
r m Π( ) =

i
1 ( I) ( I) k k2
∑ i l ( l + 1) ψ ( k ( ) r ) P( ) ( cos θ ) sin ?

∞

l
2l + 1
I
1
l =1
l
l
德拜势表示的边界条件：

假定各向同性的球形颗粒的半径为 a，球内波矢值为 k

(II)
= 2π λ (II) 。
? ? r ?r ?

Ⅰ
( Π( ) +

e i
e
Π(
s)
)? ?

)? ?
=

r =a
? e (ω ) r Π ?r
(
)
r =a
? ? r ?r ?

Ⅰ
(
m
Π( ) + m Π(

i i
s)
)? ?
=

r =a
? m (ω ) r Π ?r
(
)
r =a
k1( ) ? r ?
( Π( ) +

e i
e
Π(
s)
r =a
= k1(
Ⅱ)
( r Π( ) )

e
ω
r =a
( k2 ) ? r ?
(
m
Π( ) + m Π(
s)
)? ?
r =a
( = k2
Ⅱ)
(r
m
Π(
ω)
)
r =a
角标 ( i ) 、 ( s ) 和 ( w ) 分别表示入射波、散射波和球内波(见图 3)。
由边界条件求散射波的德拜势：

边界条件中的前二式只是对 r 求导， θ 和 ? 无关， 与 可见球内场和散射场的德拜势 Π 和 ? 有关的函数部分应与入射场的德拜势 Π

(i ) ( w)
、Π
(s)
与θ
相同。所以，球内波和散射波的通解中只能出现
Pl ( m ) ( cos θ ) 中 m = 1 的项 Pl (1) ( cos θ ) 。同时，对电波 a1 = 1 ，其余 a m 、 bm 均为 0；对磁波 b1 = 1 ，其

余 a m 、 bm 均为 0。因此，球内波和散射波德拜势的通解可以写成： 球内波德拜势的通解：
r e Π( ) =

w
(k( ) )

II
1
2
∑

l =1 ∞
∞
e
Alψ l k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) cos ?

II 1 m
(
)
r m Π( ) =

w
i ( II ) ( II ) k k2
∑

l =1
Alψ l k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) sin ?

II 1
(
)
散射波德拜势的通解：
14
r e Π( ) =

s
(k )

( I)
1
2
∑

l =1
∞
e
Blζ l( ) k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) cos ?

1 I 1
(
)
r m Π( ) =

s
i I) ( I) k ( k2
∑

l =1
∞
m
Blζ l( ) k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) sin ?

1 I 1
(
)
【注】与径向 r 有关的函数采用
ζ l(1) k ( I ) r 是 由 于 该 函 数 与 第 一 类 Hankel 函 数
(
)
ζ l(1) = ψ l ?

iχ l =
kπr (1) 2 1 (1) ikr H 1 有关。当 kr >> l 时， H ( )1 → eikr 则 ζ l → e 。我们已经知道径 l+ l+ 2 π kr 2 2

(1)
向函数满足 rR ( r ) = ζ l

(1)
eikr ( r ) ，因此当离球心很远时， R ( r ) = ，即散射波是球面波，可见对散射波 r
用 ζ l 表示恰当。这也可以看成是散射波在无穷远处的边界条件。同样地，在给出球内波的时候采用的 径向函数必须满足在 r = 0 处不出现奇点，这可以看成是散射波在 r = 0 处的边界条件。
以下通过边界条件确定德拜势的待定系数：
? e ( w) 1 = ( II ) r Π ?r k
{
}
∑
e
′ Ⅱ 1 Alψ l k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) cos ?
(
)
? e (s) i r Π + r e Π( ) ?r 1 1 1 I 1 = ( I ) ∑ e Blζ l( ) k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) cos ? + ( I ) k k
(
)
(
)
∑i
l ?1
2l + 1 ψ l′ k ( I) r Pl (1) ( cos θ ) cos ? l ( l + 1)
(
)
? m ( w) i r Π = ( II ) ?r k2
(
)
∑

l =1
∞
m
Alψ l′ k ( II ) r Pl (1) ( cos θ ) sin ?
(
)
? m (i ) r Π + r m Π(s) ?r i ∞ i 1 I 1 = ( I ) ∑ m Blζ ( )′ k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) sin ? + ( I ) k2 l =1 k2
(
)
(
)
∑i
l ?1
2l + 1 ψ l′ k ( I ) r Pl (1) ( cos θ ) sin ? l ( l + 1)
(
)
利用边值关系可以得到：
1 k

( II )
e
Alψ l′ k ( ) a = e Bl

II
(
)
1 (1)′ ( I ) 1 2l + 1 ζ ψ l′ k ( I) a k a + ( I) i l ?1 ( I) l l ( l + 1) k k
(
)
(
) )
(1)
i k2

( II )
m
Alψ l′ k ( ) a = m Bl

II
(
)
1 (1)′ ( I ) i 2l + 1 ζ ψ l′ k ( I) a k a + ( I) i l ?1 ( I) l l ( l + 1) k2 k2
(
)
(
(2)
15
(k( ) )

II
k1(
II ) e 2
Alψ l k ( ) a = e Bl

II I I 2 II
(
)
(k( ) )

I II 2 e 1 l l
k1( )

I
ζ (1) k ( I ) a + 2 l

II 2 I
(
)
(k( ) )

I 2 l ?1
k1( )

I
2
i l ?1
2l + 1 ψ l k ( I) a l ( l + 1)
(
)

(3)
( ∵ ?k1( ) k2 ) = k ( )

I
∴
1 k2

( II )
e
( ) , ?k ( ) k ( ) = ( k ( ) ) , k ( ) = k ( ) 1 1 2l + 1 ψ ( k ( )a ) Aψ ( k ( ) a ) = ( ) B ζ ( ) ( k ( ) a ) + ( ) i l ( l + 1) k k

II 1 2 II I l l I I 2 l I 2 1
1 k2

( II )
m
Alψ l k ( ) a =

II(
)
1 m 1 2l + 1 1 I ψ l k ( I) a Blζ l( ) k ( ) a + ( I ) i l ?1 ( I) l ( l + 1) k k1
(
)
(
)
(4)
联立上述四方程： 由 (1) × ( II ) ψ l k
1
k2
(
( II )
a ? ( 3) ×
)
1 k

( II )
ψ l′ k ( II ) a 得到：
(
)
e
2l + 1 al l (l + 1) 2l + 1 m bl Bl = i l +1 l (l + 1) Bl = i l +1
( k2Ⅰ) k (Ⅱ) ?ψ l′ k (Ⅰ) a ψ l k (Ⅱ) a ?ψ l k (Ⅰ) a ψ l′ k (Ⅱ) a (Ⅱ) (Ⅰ ) k k al = (Ⅰ)2 (Ⅱ) k2 k ? ζ l(1)′ k (Ⅰ) a ψ l k (Ⅱ) a ? ζ l(1) k (Ⅰ) a ψ l′ k (Ⅱ) a (Ⅱ) (Ⅰ ) k2 k
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)

(Ⅱ)
对于非吸收性介质： k1 = iωε1 ， k 2 = iωμ1 ；颗粒的参数： k1 于非磁性介质： μ1 =
Ⅰ ()
() Ⅰ
iσ ? ? ( = iω ? ε 2 + ? ， k 2Ⅱ) = iωμ 2 ；对 ω? ?
μ2 。

k1(Ⅱ) =m k1(Ⅰ)
Ⅰ () (Ⅱ) (Ⅱ) Ⅰ ( k 2 ) k (Ⅱ) k 2 k1 k 2 = = ( ( ( k 2Ⅱ) k (Ⅰ) k 2Ⅱ) k1(Ⅰ) k 2Ⅰ

)
( k2Ⅰ) k (Ⅱ) ?ψ l k (Ⅰ) a ψ l′ k (Ⅱ) a ?ψ l k (Ⅱ) a ψ l′ k (Ⅰ) a Ⅰ (Ⅱ) ( ) k k bl = (Ⅰ)2 (Ⅱ) k2 k ? ζ l(1) k (Ⅰ) a ψ l′ k (Ⅱ) a ?ψ l k (Ⅱ) a ζ l(1)′ k (Ⅰ) a Ⅰ (Ⅱ) ( ) k2 k
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
mψ l′ (α )ψ l ( β ) ?ψ l (α )ψ l′ ( β ) ? al = ? mζ l(1)′ (α )ψ l ( β ) ? ζ l(1) (α )ψ l′ ( β ) ? ? ?b = mψ l (α )ψ l′ ( β ) ?ψ l′ (α )ψ l ( β ) ? l mζ (1) α ψ ′ β ? ζ (1)′ α ψ β ( ) l( ) l ( ) l ( ) l ?

其中， α = k a ， β = k

() Ⅰ

(Ⅱ)
a ， β = mk (Ⅰ) a = mα

16
散射波的场矢量：

Er( s ) = Er( s ) = ?2 e (s) r Π + k ( I) 2 ?r
(
) ( ) ( r Π( ) )

2 e s l +1 1 I 1 l l l
(k )

( I)
1
2
r
2
∑ i ( 2l + 1) a ζ ( ) ( k ( ) r )P( ) ( cos θ ) cos ?

s)
Eθ
(s)
( e 2 1? r Π = r ?r ?θ
(
) + k( )

I 2
( m 1 ? r Π r sin θ ??
(
s)
) ( )
=?
? cos ? ? 2l + 1 2l + 1 1 1 I 1 I 1 i l +1 alζ l( )′ k ( ) r Pl ( )′ ( cos θ ) sin θ + ∑ i l blζ l k ( ) r Pl ( ) ( cos θ ) ? ( I) ?∑ l ( l + 1) l ( l + 1) sin θ k r ? ?
(
)
( E?s ) = ?
sin ? I k ( )r
? 1 ? ? sin θ
∑i
l +1
? 2l + 1 2l + 1 alζ l′ k ( I) r Pl (1) ( cos θ ) + ∑ i l blζ l(1) k ( I ) r Pl (1)′ ( cos θ ) sin θ ? l ( l + 1) l ( l + 1) ?
(
)
(
)
远场散射表达式 由于 k r >> l ， Er 和 r 成反比，而 Eθ 和 E? 与 r 成反比。因此，在远场情况下 Er → 0 ，散射波

2
() Ⅰ
(s)
(s)
(s)
(s)
为横波。 当 r → ∞ 时，
ζ l(1) k ( I ) r →
(
)
π kr

2
? ? 1 ?? ? ? 2 π l + 2 ?? π ? ? l +1 ?? π ? ? = exp ?i ? kr ? ( l + 1) ? ? = ( ?i ) exp ( ikr ) exp ?i ? kr ? ? 4 2 2 π kr ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
( ) ( ) ζ ( )′ ( k ( ) r ) = ( ?i ) exp ( ik ( ) r )

ζ l(1) k ( I) r = ( ?i ) exp ik ( I) r

l +1 1 I l I l
则

( E?s ) = ?
i sin ? exp ik ( I ) r ( I) k r
(
)
(1) ? 2l + 1 ? al Pl ( cos θ ) ∑ l ( l + 1) ? sin θ ? bl Pl (1)′ ( cos θ ) sin θ ? l =1 ? ? ? ?

∞
Pl ( ) ( cos θ ) d (1) Pl ( cos θ ) = ? Pl (1)′ ( cos θ ) sin θ ，则散射场电矢量的横向分量 令 πl = 、 τ l ( cos θ ) = dθ sin θ

1
为

( E?s ) = ?
i sin ? exp ik ( I) r ( I) k r
(
+1 ) ∑ l 2ll + 1) ( a π (

∞ l =1 l ∞ l =1 l l
l
+ blτ l )
Eθ( s ) =
i cos ? exp ik ( I ) r ( I) k r
(
+1 ) ∑ l 2ll + 1) ( a τ (
+ blπ l )
17
【 注 】 注 意 ！ 在 整 个 推 导 过 程 中 ， 入 射 光 的 场 矢 量 方 向 沿 x 轴 方 向 偏 振 ， 而 且 其 振 幅 为 1，

i I E( ) = exp ik ( ) r , 0, 0 ，如图 4 所示。散射光的每一个分量可以看作相同方向上偏振的入射光引起，
( (
)
)
如 E? 由垂直于散射面的振幅为 sin ? 的入射光引起； Eθ 则由包含在散射面内的振幅为 cos ? 的入射 光引起。

z r Er

θ
(s)
(s)
P
El y
?
x Er0 E0 El0
图 4 Mie 散射示意图。
Mie 散射结论：

按照散射波电矢量的一般表达式，

垂直散射面的分量 Er 和平行散射面的分量 El 为

( Er = ? E?s ) =
El = Eθ( s )
i iλ S1 (θ ) Er 0 = S1 (θ ) E0 sin ? kr 2π r i iλ S2 (θ ) E0 cos ? = S 2 (θ ) El 0 = kr 2π r
相应的散射光强的表达式为

2 2 1 λ2 λ2 S1 (θ ) I r 0 = 2 2 S1 (θ ) I r 0 = 2 2 i1 (θ ) I 0 sin 2 ? 4π r 4π r k 2r 2 2 2 2 1 λ λ2 I l = 2 2 S2 (θ ) I l 0 = 2 2 S2 (θ ) I l 0 = 2 2 i2 (θ ) I 0 cos 2 ? 4π r 4π r k r
Ir =
【注意】上面二个表达式中的第一个等号对沿任意方向偏振的入射光适合(只要将入射光的电矢量分解 到 r 和 l 方向上得到 Er 0 和 El 0 即可)。第二个等号只在一定条件下成立(即入射光是沿 x 方向偏振的)。 与前面所得结果比较可得散射振幅函数：
18
S1 (θ ) = ∑

l =1
∞
2l + 1 ( alπ l + blτ l ) l ( l + 1) 2l + 1 ( alτ l + blπ l ) l ( l + 1)

2
S 2 (θ ) = ∑

l =1
∞
相应的散射强度函数为
i1 (θ ) = S1 (θ )
2
2l + 1 =∑ ( alπ l + blτ l ) l =1 l ( l + 1)

∞ ∞
i2 (θ ) = S 2 (θ )
2
2l + 1 =∑ ( alτ l + blπ l ) l =1 l ( l + 1)
2
al 和 bl 称为 Mie 系数，它们与球形颗粒的大小、颗粒和介质的折射率有关。其表达式为

al = bl =

其中：
ψ l (α )ψ l′ ( β ) ? mψ l′ (α )ψ l ( β ) ζ l(1) (α )ψ l′ ( β ) ? mζ l(1)′ (α )ψ l ( β )

mψ l (α )ψ l′ ( β ) ?ψ l′ (α )ψ l ( β ) mζ l( ) (α )ψ l′ ( β ) ? ζ l( )′ (α )ψ l ( β )

1 1 1 1
? π ka ? 2 ? πα ? 2 ψl = ? ? J l + 1 ( ka ) = ? ? J 1 (α ) ? 2 ? ? 2 ? l+ 2 2 ? π ka ? 2 ? πα ? 2 χl = ? ? ? N l + 1 ( ka ) = ? ? ? N 1 (α ) ? 2 ? ? 2 ? l+ 2 2

1 1
ζl
(1)
? π ka ? 2 (1) ? πα ? 2 (1) = ψ l ( ka ) ? i χ l ( ka ) = ? ? H l + 1 ( ka ) = ? ? H 1 (α ) ? 2 ? ? 2 ? l+ 2 2
1
1
π l 和 τ l 是与散射角有关的函数，其表达式为

Pl (1) ( cos θ ) dPl ( cos θ ) = π l (θ ) = sin θ d ( cos θ )
τ l (θ ) =
d (1) 1 Pl ( cos θ ) = ? Pl ( )′ ( cos θ ) sin θ dθ
α 称作颗粒无因次粒径参数， α = ka = 2π a λ = π d λ 。其中 k 、 λ 分别是入射光在颗粒周围介质中

的波数和波长，m 是颗粒相对周围介质的折射率， β = mα 。
当入射光是自然光时，散射光为部分偏振光
19
λ2 i1 (θ ) I 0 8π 2 r 2 λ2 I l = 2 2 i2 (θ ) I 0 8π r λ2 I = I r + I l = 2 2 ?i1 (θ ) + i2 (θ ) ? I 0 ? 8π r ? i (θ ) ? i2 (θ ) P= 1 i1 (θ ) + i2 (θ )

Ir =

其中 I 为总散射光强度、P 为偏振度。 由勒让德函数的性质可得：当散射角 θ = 0 时， cos θ = 1 ， π l ( 0 ) = τ l ( 0 ) = 振幅函数为
1 l ( l + 1) 。此时前向散射 2
S ( 0 ) = S1 ( 0 ) = S 2 ( 0 ) =

由此可得消光系数：
1 ∞ ∑ ( 2l + 1)( al + bl ) 2 l =1
K ext =
4
α2
Re ? S ( 0 ) ? = ? ?
2
α2
∑ ( 2l + 1) Re ( a + b )

l =1 l l 2
∞
通过积分方法可求得散射截面和散射系数： 在完全偏振光入射情况下，散射强度函数为 i (θ , ? ) =

i1 (θ ) sin 积分公式可得
? + i2 (θ ) cos 2 ? ，代入散射截面
Csca = K sca
1 i (θ , ? ) d? k 2 ∫∫ C 1 π 2 = sca = 2 ∫ ?i1 (θ ) +i2 (θ ) ? sinθ dθ = 2 2 ? 0 ? πa α α
∑ ( 2l + 1) ( a

∞ l =1
2
l
+ bl
2
)
20
经典光散射理论(Lorentz-Mie Theory)之二：数值计算

Mie 散射公式：

各向同性的球形颗粒在完全偏振光入射下，垂直散射面的分量 Er 和平行散射面的分量 El 为
i S1 (θ ) Er 0 kr i El = S2 (θ ) El 0 kr Er =
(1)
此时散射光的 Er 和 El 分量之间有固定的位相关系，取决于散射角有关。散射光可能是完全偏振光、园 偏振光或者椭圆偏振光。 相应的散射光强的表达式为

2 λ2 λ2 I r = 2 2 S1 (θ ) I r 0 = 2 2 i1 (θ ) I r 0 4π r 4π r 2 2 λ λ2 I l = 2 2 S2 (θ ) I l 0 = 2 2 i2 (θ ) I l 0 4π r 4π r 2 λ I = I r + I l = 2 2 ?i1 (θ ) I r 0 + i2 (θ ) I l 0 ? ? 4π r ?
(2)
当入射光是自然光时，散射光为部分偏振光
λ2 i1 (θ ) I 0 8π 2 r 2 λ2 I l = 2 2 i2 (θ ) I 0 8π r λ2 I = I r + I l = 2 2 ?i1 (θ ) + i2 (θ ) ? I 0 ? 8π r ? i (θ ) ? i2 (θ ) P= 1 i1 (θ ) + i2 (θ )

Ir =

其中 I 为总散射光强度、P 为偏振度。 散射振幅函数：
(3)
S1 (θ ) = ∑

l =1

∞
∞
2l + 1 ( alπ l + blτ l ) l ( l + 1)
2l + 1 S 2 (θ ) = ∑ ( alτ l + blπ l ) l =1 l ( l + 1)

相应的散射强度函数为 i1 (θ ) = S1 (θ ) 和 i2 (θ ) = S 2 (θ ) 。

2 2
(4)
al 和 bl 称为 Mie 系数，它们与球形颗粒的大小、颗粒和介质的折射率有关。其表达式为

1
al = bl =

其中：
ψ l (α )ψ l′ ( β ) ? mψ l′ (α )ψ l ( β ) ζ l (α )ψ l′ ( β ) ? mζ l′ (α )ψ l ( β )

mψ l (α )ψ l′ ( β ) ?ψ l′ (α )ψ l ( β ) mζ l (α )ψ l′ ( β ) ? ζ l′ (α )ψ l ( β )

(5)
? πα ? 2 ψl = ? ? J 1 (α ) ? 2 ? l+ 2 ? πα ? 2 χl = ? ? ? N 1 (α ) ? 2 ? l+ 2

(1) 1 ?H (α ) ? ? ζ l(1) ? ?ψ l (α ) ? i χ l (α ) ? ? πα ? 2 ? l + 1 ? 2 ζl = ? 2 ? = ? ?=? ? ? ? ( 2) ? ? ( )? ? ? ζ l ? ?ψ l (α ) + i χ l (α ) ? ? 2 ? ? H l + 1 (α ) ? 2 ? ?

1
1
(6)
【注意】当使用 ζ l 时，复折射率的虚部应取正数 m = n + iη ；当使用 ζ l 数 m = n ? iη 。
(1)
( 2)
时，复折射率的虚部应取负
π l 和 τ l 是与散射角有关的函数，其表达式为

Pl (1) ( cos θ ) dPl ( cos θ ) π l (θ ) = = sin θ d ( cos θ ) d (1) τ l (θ ) = Pl ( cos θ ) = ? Pl (1)′ ( cos θ ) sin θ dθ
(7)
α 称作颗粒无因次粒径参数， α = ka = 2π a λ = π d λ 。其中 k 、 λ 分别是入射光在介质中的波数和

波长，m 是颗粒相对周围介质的折射率， β = mα 。
散射系数、消光系数和吸收系数为：
K sca = K ext =
2
α
2
∑ ( 2l + 1) ( a

∞

l =1
2
l
+ bl

l l
2
)

(8)
2
α2
∑ ( 2l + 1) Re ( a + b )

l =1
∞
K abs = K ext ? K sca
Mie 散射物理量计算分析：

通常要计算的散射物