算法设计与分析-第5章归纳法

时间复杂性：Θ(nlogn)。
归纳法
三. 递归算法设计之例
3．寻找多数元素 （5.7 P98）
有关方法：
求中间元素方法：先求序列的中间元素，然后判断中间 元素是否为多数元素。
时间复杂性：Θ(n)。 中间元素为序列中的第 n / 2小元素，多数元素一定 是中间元素，求中间元素的分治算法时间复杂性为Θ(n)， 但其中的常系数较大。
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二.简单的递归算法设计之例
1．选择排序与插入排序 ( 5.2 P90 )
设对n个数据升序排序。 (1)选择排序
●基本思想：
●递归关系：当选出最小元素并交换到第一个位置上后， 问题转换为对其余元素的排序。
●递归出口：当只剩下一个元素时，自然有序。
●参数：待排序子序列的起始位置。 ●功能：对待排序子序列按升序选择排序。 ●选择排序递归算法：选择排序算法 (P90 算法5.1)
三. 递归算法设计之例
1．棋子移动游戏
递归关系： 当n>=5时，经过2次移动，规模为n的问题可转化 为规模为n-1的子问题。 分析：棋子移动游戏.ppt
递归出口：
n=4 参数：问题规模n 算法：算法 CHESS
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Hale Waihona Puke Baidu
三. 递归算法设计之例
2．生成全排列 （5.6） 问题描述：生成n个互异元素a1 , a2,…, an的全排列（所有 排列）。
从而将求Pn(x)的值的问题转化为求Pn-1(x)的值的问题。
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一. 递归的概念和递归算法设计要素
1．递归的概念
一般的有： Pm(x) = x Pm-1(x) + an-m P0(x) = an 其中，Pm(x)=anxm + an-1xm-1 +…+ an-m+1x + an-m 。 , m=1, 2, …, n
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三. 递归算法设计之例
1．棋子移动游戏
问题描述：有2n（n>=4为整数）棋子，黑白棋子各n个， 初始状态为：
__
终止状态为： __
（右边有两个空位）
（左边有两个空位）
将棋子从初始状态移动成终止状态。移动规则如下： 1) 每次必须同时移动相邻两个棋子到空位；
2) 每次移动必须跳过若干棋子。
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口。
具体设计算法时应注意参数的设置，算法功能 的设定等。 分析算法时可找出时间复杂性所满足的递归关 系，用递归方程表示并解之。
算法设计与分析
——归纳法
归纳法
主要内容：
介绍递归算法设计的基本要素和方法。
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一. 递归的概念和递归算法设计要素
1．递归的概念
递归是一种十分重要的程序设计方法，对于一些问 题，用递归方法设计算法可使算法简洁明了，逻辑清晰， 易于设计。 递归指算法自己调用自己, 相应的算法称为递归算法。
• 直接递归与间接递归
3．寻找多数元素 （5.7 P98）
算法的基本思想：逐个扫描序列元素，不断除去不同的 元素对，得到新的子序列，对子序列做同样的运算，直 至序列扫描完毕。 递归出口：序列已扫描完。
参数：待扫描的子序列的起始位置。
算法：寻找多数元素.doc
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递归算法设计与分析小结：
递归是一种自顶向下的解题思维方式，分析问 题时应自顶向下考虑，找出递归关系，递归出
当算法中某步骤要通过解性质相同的子问题实现 时，该步骤用递归调用实现。
递归出口（结束条件）：确定递归的层数。
当子问题的规模充分小时可直接求解时，递归结 束。
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一. 递归的概念和递归算法设计要素
2．递归算法设计要素
参数设置：参数表示了原问题及其不同的子问题。 参数表示了子问题的大小和状态，以区别原问题以 及不同层次的子问题。 算法功能的设定：严格规定递归算法要解决什么样的问 题。 算法功能的正确设定是保证递归过程正确进行的前 提。 例：多项式求值 注意： 初始化，递归与循环，算法正确性的验证，…
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二.简单的递归算法设计之例
2．整数幂问题 (5.4 P93)
问题描述：求实数x的n次幂（n为非负整数）。 递归关系及递归出口： m 2 2 ， m为偶数 x m x ， m0 2 m 2 ， x x m为奇数 xm 1 ,m0 例：x9=x( x4)2 x4=( x2)2 参数：m, x。 算法：算法 5.4 EXPERC
分析： 记A为a1 , a2,…, an的所有排列组成的集合，Ai为A中 以ai开头的所有排列组成的集合，i=1, 2,…, n, 则Ai互不相 交且 A=A1UA2U…UAn 记Bi为a1 ,…, ai-1, ai+1,…, an的所有排列组成的集合， i=1, 2,…, n, 则 Ai={Bi中的排列前加ai }
三. 递归算法设计之例
3．寻找多数元素 （5.7 P98）
问题描述：求n个元素序列中的多数元素，多数元素为 在序列中出现的次数多于n/2的元素。
一个序列不一定存在多数元素。 一个序列的多数元素若存在则唯一。
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三. 递归算法设计之例
3．寻找多数元素 （5.7 P98）
有关方法： 蛮力方法：计数每个元素在序列中的出现次数。 时间复杂性：Θ(n2)。 蛮力方法是一种简单直接地解决问题的方法，常常直 接基于问题的描述和所涉及的概念定义。 排序方法：先对序列排序，然后扫描排序结果序列，求序 列中的出现次数最多的元素。
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二.简单的递归算法设计之例 1．选择排序与插入排序 ( 5.2 P90 ) (2) 插入排序 ● 基本思想： ● 递归关系：若前 n-1个元素组成的子序列为有序的，则 将第 n 个元素插入到前面的有序子序列中就可完成对 n 个元素的排序。问题转换为对前n-1个元素组成的子序 列的插入排序问题。 ● 递归出口：长度为1的子序列自然有序。 ● 参数：待排序子序列的终止位置。 ● 功能：对待排序子序列按升序插入排序。 ● 插入排序递归算法：插入排序算法 (P91算法5.2) ● 递归算法中递归调用的位置
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三. 递归算法设计之例
2．生成全排列 （5.6）
递归关系：求解n个元素的全排列问题可转化为求解n个 n-1个元素的全排列问题（即要求A只要求B1 , B2,…, Bn）。 递归出口：求一个元素的全排列。 参数：指定当前需要求全排列的子序列的位置。
算法：算法及其时间复杂性
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三. 递归算法设计之例
3．寻找多数元素 （5.7 P98）
一种更高效的方法：
观察结论5.1：在原序列中除去两个不同元素后，原 序列中的多数元素在新序列中还是多数元素。
思考：观察结论5.1的逆命题是否成立？
推论：在原序列中除去多对不同元素后，原序列中
的多数元素在新序列中还是多数元素。
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递归方法用于解决一类满足递归关系的问题。 递归关系：对原问题的求解可转化为对其性质相同的子 问题的求解。
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一. 递归的概念和递归算法设计要素
1．递归的概念
例：多项式求值的Horner规则 （5.5 P94） Pn(x)=anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0 Horner规则： Pn(x)=（（…（（（anx + an-1）x + an-2）x +an-3）…）x+
求Pn(x)的值的递归算法：算法 HORNERERC
求Pn(x)的值的迭代算法：算法5.6 HORNER（P95）
归纳法
一. 递归的概念和递归算法设计要素
1．递归的概念
递归算法与迭代算法 递归算法中所蕴含的归纳法思想
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一. 递归的概念和递归算法设计要素
2．递归算法设计要素
递归关系（特性）：产生递归的基础。
三. 递归算法设计之例
3．寻找多数元素 （5.7 P98）
递归关系：
通过对除去多对不同元素后的子序列的多数元素问 题的求解可得到原序列的多数元素问题的候选解。
注意：子序列的多数元素只是原序列的候选多数元素， 必须验证。但若子序列不存在多数元素，则原序列就一 定不存在多数元素。
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三. 递归算法设计之例
a1）x+ a0
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一. 递归的概念和递归算法设计要素
1．递归的概念
令 Pn-1(x)=anxn-1 + an-1xn-2 +…+ a2x + a1 则根据Horner规则，
Pn-1(x)=（…（（（anx + an-1）x + an-2）x + an-3）…）x+ a1
于是有
Pn(x)=x Pn-1(x) + a0