自动控制理论第五章 频率分析法2

N ( ) 1 ，N ( ) 0 N N ( ) N ( ) 1 Z P 2[ N ( )
N( ) 0 ，N( ) 0
N( ) 1 ，N( ) 1 N N( ) N( ) 0
N ( ) ] N N( ) N( ) 0
§5.4
1.引言 闭环稳定性
频域稳定性判据
劳斯判据
稳定程度？
奈氏判据
用开环频率特性 判闭环稳定
稳定度 动态性能
5.4.2
幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以 找到对应的象。设辅助函数的幅角为：
F ( s ) s z j s pi
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
(－1，j0)
_
(-1, j0)
Re 0
0
Re
0
Re
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当由
０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对（-∞,-1]实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
当Z=0时，系统闭环稳定。
s 在G(s)H(s)平面上的映射：
① s平面上的虚轴(s=j)映射到G(s)H(s)平面上就 是G(j)H(j) —开环频率特性； ② s 的无穷大半圆部分在 G(s)H(s) 平面上的映射 为 G(s)H(s) 平面上的原点或实轴上的一点，而这 一点与频率特性G(j)H(j)在的映射重合。 因此，s在G(s)H(s)平面上的映射就是G(j)H(j)。
o
上升时间tr 峰值时间tp 调节时间ts
t
控制系统时域性能指标
2 2 n n G0 ( s) G( s ) 2 2 s( s 2n ) s 2n s n 闭环频率性能指标 Amax
零频值A(0)，Amax 谐振频率wr和谐振峰值Mr 带宽频率wb， A(wb) ＝0.707A(0)
j 1 i 1
n
n
F ( s)
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
n
构造 s：
s包围了F(s)在 s 右半平面的所有零极点。
s 与F 的映射关系：
F(s)映射
假设F包围了原点N圈，根据辐角原理:
N PZ
F(s)平面变换到G(s)H(s)平面：
解: (1)
(2) 稳定裕度
相角裕度
幅值裕度
5.5 频域响应分析
在频域中对系统进行分析时，除了稳定性分析外，还要 对系统的动态性能进行分析。 频域性能指标有：幅值穿越频率，相位穿越频率，相角 裕度，幅值裕度，谐振频率，谐振峰值，系统带宽和带 宽频率等。
C(t)
1.0
超 调 量
误差带
稳态误差 (t )
要综合两者考虑稳定性和相对稳定性，不能只考虑一个指标。
29
系统稳定
稳定裕度的讨论

稳定裕度定义只适用于最小相位系统。 稳定裕度可以作为频域性能指标用于系统分析， 也可以用于系统设计指标使用。 稳定裕度又可成为相对稳定性指标。 相位裕度 位裕度。 计算简单方便，因此经常使用相

例：已知单位反馈的最小相位系统，其开环对数 幅频特性如图所示，（1）试求开环传递函数； （2）计算系统的稳定裕度。
5.4.3 奈奎斯特稳定性判据
闭环系统稳定的充要条件是：当由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定； b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=P-Ｒ c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。

ωc ωg 0 g
ω
Kg(dB)

系统稳定，则 Kg>1、g>0 。
-180
26
相角裕度 当
开环截止频率 如果系统稳定， () 再负多少度系统就 不稳定了。如果系统不稳定，相反， () 再 改善多少度系统就稳定了。
幅值裕度 当
如果系统稳定， L() 再向上移动多少分贝 系统就不稳定了。如果是系统不稳定， L() 再改善多少分贝系统就稳定了。
系统闭环后不稳定
系统闭环后不稳定
5.4.4
伯德图上的稳定判据
伯德图 0db线和-180相角线
极坐标图 (-1,j0)点
0db线以上区域 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点 左边的负实轴（-∞,-1]段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db 时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
为负值 对于最小相位系统（开环传函不含右半s平面零极点的系统）： 相角裕量
g g g g
1800 ( c ) 1800 G0 ( j c ) 0 0 0 系统稳定 系统不稳定 系统临界稳定
幅值裕量
1 K g G0 ( j g ) H ( j g ) Kg 1 Kg 1 Kg 1 系统稳定 系统不稳定 系统临界稳定
1 2 2 rt p 1 2
r ts

1 2 2 ln

0.05 1 2
对于给定的阻尼比，二阶系统的谐振频率wr和tp、ts成反比。
同理，二阶系统带宽频率可由下式求出
n 2 2 ( j ) 2 2 n ( j ) n

b
Z=0，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。
例
系统开环传递函数为
G s
s s 0.2 s 2 4 s 100
200 s 1


试判定闭环系统的稳定性(利用对数判据)。 解： (1) 首先判定开环本身的P值： 由G(s)看出开环P=0。
(2) 绘制出G(s)所对应的L()和():
j
G(jωg)H(jωg)
其中，ωg为相位穿越频率。其 定义的含义：如果系统的开环 传递系数增大到原来的Kg倍， 则系统处于临界稳定状态。
0
-1
ωg
ω
0
g
G(jωc)H(jωc)
ωc
(o)(dB)
2. g 180 G0 ( jc ) H ( jc )
其中， ωc为幅值穿越频率。 其定义的含义：如果系统对频率为截 止频率的信号的相角滞后再增大g度， 则系统处于临界稳定状态。
2 4 4 1 2 2
g 在 0.7 时，它们之间近似为 0.01
当g 300 ~ 600， 0.3 ~ 0.6
高低频段特性与动态性能的关系 低频段决定了系统的稳态精度; 中频段决定了系统的动态性能； 高频段决定了系统抗高频干扰的能力。
从图中看出N=0， 则 Z=P-2N=0。
所以闭环系统稳定。
5.4.5

稳定程度的定量指标—稳定裕度
对于奈氏曲线，在GH平面上，可以用奈氏曲线与(-1,j0)的 靠近程度来表征系统的相对稳定性。离(-1,j0)越近，稳定程度 越低。 Im G ( j ) Im
0 g
c
-1 g
c •
• g
相角裕度和阻尼比的关系
n 2 由开环频率特性 Go ( j ) ( j )2 2 ( j ) n
和剪切频率定义 得到
(
Go ( jc ) 1
c 2 ) 4 4 1 2 2 n c 2 n 0 0 g 180 90 －arctg arctg arctg 2 n c
A(0)
0.707A(0)
频域指标和时域指标的关系 谐振峰值和系统超调量的关系，对于二阶系统
1 Mr ( ) 2 2 2 1 1
1 1 2 1 2 Mr
wr
wb
w
( M r 1)
36


2
M r M r 2 1 M r M r 2 1
由 p e
1 b n (1 2 2 ) 2 4 2 4 4 2
(1 2 2 ) 2 4 2 4 4 bt p 1 2
bt s
1

(1 2 ) 2 4 4 ln
2 2 4
1 0.05 1 2
同样，对于给定的阻尼比，二阶系统的带宽频率wb和tp、ts 成反比。一般来说，频带宽的系统有利于提高响应速度， 但同时又容易引入高频噪声，应均衡考虑
1
100%
得到 p e
100 %
可知Mr在1.2~1.5时，p＝20%~30%，系统将获得满意的 过渡过程。 谐振频率及系统带宽与时域指标的关系
r n
tp

1 1 2 (0 ) 2
2
n 1 2
ts
1
n
1
ln

0.05 1 2
Re
g
g -1 •
•
Re
G0 ( j g )
幅值穿越频率
相位穿越频率
c : G0 ( jc ) 1
g : ( jg ) 1800
25
1 1.K g G ( j g ) H ( j g ) or Lg 20 lg G ( j g ) H ( j g )

由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓 “穿越”是指轨迹穿过（-∞,-1] 段。 • 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于（-∞,-1]段的负实轴的正、负穿 越称为正负半次穿越。