频域分析法——频率法和稳定判定
自动控制原理第5章频域分析法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
控制系统的瞬态响应及其稳定性分析
控制系统的瞬态响应及其稳定性分析控制系统的瞬态响应及其稳定性分析是控制理论的重要内容之一、瞬态响应描述了一个控制系统在输入信号改变时的响应情况，稳定性分析则是评估系统响应的稳定性和可靠性。
下面将从瞬态响应和稳定性分析两个方面进行探讨。
一、瞬态响应分析瞬态响应指的是一个控制系统在输入信号发生改变时，系统在一定时间范围内达到稳态的过程。
常见的瞬态响应包括过渡过程和超调量等指标。
1.过渡过程：在一个控制系统中，当输入信号发生改变时，系统输出信号不会立即达到稳定状态，而是经历一个从初值到最终稳定状态的过渡过程。
过渡过程的主要指标有上升时间、峰值时间和调整时间。
-上升时间（Tr）：指的是信号从初始值开始，达到其最终稳定值之间的时间间隔。
上升时间越短，系统的响应越快速。
-峰值时间（Tp）：指的是信号首次超过最终稳定值所需的时间。
峰值时间越短，响应越快。
-调整时间（Ts）：指的是信号从初始值到最终值之间的时间。
调整时间越短，系统的响应越快。
2.超调量：超调量是指在过渡过程中系统输出信号超过最终稳定状态的幅度。
超调量的大小可以直接反映系统的稳定性。
一般来说，超调量越小，系统的稳定性越好。
瞬态响应分析是评估系统性能的重要工具。
通过对瞬态响应的分析，可以了解系统的响应速度、稳定性和鲁棒性，并对系统进行优化和改进。
稳定性分析是评估控制系统稳态响应和稳定性的重要方法。
一个稳定的控制系统应该满足输入信号的变化不会引起系统输出信号的不稳定或震荡。
常见的稳定性分析方法有频域分析法和时域分析法。
1.频域分析法：频域分析主要利用系统的频率特性来分析系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线，可以得到系统的增益和相位特性。
稳定性条件为系统的增益在截止频率处不为负值，即系统的增益曲线应该位于0dB线以上。
2.时域分析法：时域分析主要关注系统的时间响应曲线。
稳定性条件为系统在有限时间内达到并保持在稳定状态。
稳定性分析是评估控制系统性能的关键环节，它不仅可以帮助设计者理解系统的稳定性和鲁棒性，还可以为系统的优化和改进提供指导。
频域稳定性判据
频域稳定性判据的应用场景
频域稳定性判据广泛应用于控制系统的分析和设计。在控制系统分析和设计中，需要评估系统的稳定 性和性能指标。频域稳定性判据可以快速准确地判断系统的稳定性，为控制系统设计和优化提供依据 。
此外，频域稳定性判据还可以用于非线性系统和不确定系统的稳定性分析。通过扩展频域稳定性判据 的方法，可以对非线性系统和不确定系统的稳定性进行分析和评估。
考虑计算效率和精度
在选择合适的频域稳定性判据 时，还需考虑计算效率和精度 。
05
频域稳定性判据的应用实例
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析是频域稳定性判据 的重要应用领域之一。通过分析系统的 频率响应，可以判断系统是否稳定，以 及系统对不同频率输入的响应特性。
频域稳定性判据在控制系统设计、优 化和故障诊断中具有广泛的应用，有 助于提高系统的性能和可靠性。
对未来研究的展望
随着控制系统变得越来越复杂， 对频域稳定性判据的研究也需要 不断深入。未来的研究可以进一 步探索更高效的算法和计算方法， 提高稳定性判据的准确性和计算 效率。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的快速发展，可以考虑将这 些技术应用于频域稳定性判据中， 以实现自适应控制和智能控制。 例如，可以使用机器学习算法来 自动识别和分类系统的频率响应， 从而更快速和准确地判断系统的 稳定性。
频域稳定性判据的重要性
频域稳定性判据是控制系统设计和分析的重要工具之一。通 过频域稳定性判据，可以快速判断系统的稳定性，并优化系 统的性能。
频域稳定性判据具有直观、简便的优点，可以用于分析线性 时不变系统的稳定性和性能。在工程实践中，频域稳定性判 据广泛应用于控制系统设计和分析，如航空航天、电力、化 工等领域。
此外，随着绿色环保理念的普及， 未来的研究也可以考虑将பைடு நூலகம்域稳 定性判据应用于节能减排和可持 续发展的领域，例如通过优化控 制策略来降低能源消耗和减少排 放。
频域分析法
2018/10/24
6
例.己知一个典型的一阶环节传递函数:
5 G ( s) 3s 1
试绘制该环节的Nyquist图 num = 5; den=[3,1]; G=tf(num, den); nyquist(G); grid
2018/10/24
1 Kh A （g）
16
幅值稳定裕度的物理意义：稳定的开环 最小相位系统，如果开环放大系数增大 K h 倍，开环极坐标频率特性曲线恰好穿 过 (−1, j0)点，系统处于临界稳定状态。 若开环放大系数增大的倍数超过 K h ,系统 将变得不稳定。
2018/10/24
17
试分别绘制K=1,7.8,20时系统的极坐标图，并利用 Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。 k=100*[1,7.8,20]; z=[]; p=[0,-5,-10]; G=zpk(z,p,k(1));nyquist(G) hold on G=zpk(z,p,k(2));nyquist(G) G=zpk(z,p,k(3));nyquist(G) axis([-5,1,-5,1]) gtext('K=1');gtext('K=7.8');gtext('K=20');
602.4232 2.8453 329.9063 27.7092 329.9063 0.0015 1 602.4232 0.7588 690.5172 -6.7355 690.5172 0.0089 0
22
例.己知系统的开环传递函数为:
100( s 5) GH ( s) ( s-2)( s 8)( s 20)
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
自动控制原理--第5章 频域分析法
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制原理：第六章频域分析法——伯特图及稳定性分析
• 当阻尼系数接近1时，振荡环节具有低通滤波的作用； • 而随着减小，=n=1/T处的幅值迅速增大，表明其对输
入信号中该频率附近分量的放大作用逐渐加强，此时，振
荡环节具有选频作用。
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图
40
Bode Diagram
二阶微分环节:
30
20
转折频率 渐近线
L() /(dB)
10 /T
1) 将乘除运算转化为加减运算，因而可通过简单的图像叠加 快速绘制高阶系统的伯德图 ；如 G( j) A1()e j1() A2 ()e , j2 () 则20lgA1()A2()=20lgA1()+20lgA2()
2) 伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后， 很容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.
i 1
i m1 1
v n1
v n1 nv n1 2
( jTl 1)
(1 Tl2 2 2 j lTl )
l v 1
l v n1 1
(6 - 17)
其 中 ，K ,0 i 1,0 l 1, i 0,Tl 0都 为 常 数 。
除此外，也存在某个Tl<0,开环不稳定，但闭环可能仍然 稳定的情况。
1
A(ω)
1 ωT 2 2 2ζωT 2
L() /(dB)
10
0
-10 -20
(1 T 22
j2T)1
0.05 0.1 0.3
-30
0.7
1 -40
180
转折频率 渐近线
135
(ω)
arctan
1
2ζωT
ωT
2
90 45
0
() /()
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
自动控制系统的稳定性分析与设计
自动控制系统的稳定性分析与设计自动控制系统是现代工程中广泛应用的一种技术手段，它能够根据外部输入信号实现对被控对象的精确控制。
然而，在实际应用中，系统的稳定性是保证系统正常运行的关键。
本文将对自动控制系统的稳定性进行分析，并提出相应的设计方法。
一、稳定性分析稳定性是指当自动控制系统在受到外界扰动或参数变化的情况下，系统能够恢复到原始状态或者达到新的稳定状态的能力。
常见的稳定性分析方法有：1. 传递函数法传递函数是描述线性时不变系统的输入与输出之间关系的数学方法。
通过对传递函数进行分析，可以得到系统的特征根，从而判断系统的稳定性。
一般情况下，当系统的传递函数特征根的实部小于零时，系统是稳定的。
2. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制系统传递函数特征根随参数变化的轨迹，来分析系统的稳定性。
根轨迹在复平面上的分布形状能够直观地反映系统稳定性的情况。
一般情况下，当根轨迹不经过右半平面时，系统是稳定的。
3. 频域法频域法是通过对系统的频率响应进行分析，来判断系统的稳定性。
常见的频域分析方法有Nyquist稳定性判据和Bode稳定性判据等。
这些方法能够将系统稳定性判据与频率特性相结合，更加直观地分析系统的稳定性。
二、稳定性设计在稳定性分析的基础上，我们可以针对不稳定的系统进行稳定性设计，以保证系统的正常运行。
常见的稳定性设计方法有：1. 控制增益法通过调整系统的控制增益，可以改变系统的特征根从而影响系统的稳定性。
一般情况下，增大控制增益会使系统更加不稳定，而减小控制增益会使系统更加稳定。
通过适当选择控制增益的大小，可以实现系统的稳定控制。
2. PID控制器设计PID控制器是一种常用的控制器设计方法，通过比例、积分和微分三个部分的组合来控制系统。
在稳定性设计中，可以通过调整PID控制器中的参数，如比例系数、积分时间和微分时间等，来实现对系统的稳定控制。
3. 状态反馈控制设计状态反馈控制是一种基于系统状态变量的反馈控制方法。
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析在控制系统的设计和应用中，稳定性是一个至关重要的指标。
控制系统的稳定性分析能够帮助工程师确定系统是否能够在各种工况下保持平稳运行，并避免产生不稳定或振荡的现象。
本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念和方法。
一、稳定性概述稳定性是指在系统受到扰动或干扰的情况下，系统能够在一定的范围内保持平衡或恢复到平衡状态的能力。
对于控制系统来说，稳定性是一个必要条件，只有具备了稳定性，系统才能够实现准确、可靠的控制任务。
二、时域稳定性分析方法时域稳定性分析方法主要通过观察系统的响应和特征方程的性质来判断系统的稳定性。
其中，常用的方法包括：1. 判据法：通过判断系统的极点位置来确定稳定性。
当系统所有极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
2. 力学振荡器法：将系统等效为一个力学振荡器进行分析，通过计算振荡器的振荡周期和阻尼比等参数来判断系统的稳定性。
3. Lyapunov稳定性分析法：利用离散或连续的Lyapunov函数来刻画系统的稳定性，通过判断Lyapunov函数的增减性来确定系统是否稳定。
三、频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法通过对系统传递函数进行频谱分析，利用频率响应特性来判断系统的稳定性。
常用的频域稳定分析方法包括：1. Bode图法：将系统的传递函数表示为极形式，并将其转化为幅频特性和相频特性的曲线来分析系统的稳定性。
2. Nyquist图法：通过将系统的开环传递函数在复平面上绘制出极坐标图，根据图形上的奇点个数来判断系统的稳定性。
3. Nichols图法：将系统的开环传递函数在奈氏图上绘制出闭环频率响应曲线，通过曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
四、数值稳定性分析方法数值稳定性分析方法是利用计算机仿真和数值模拟的手段来分析系统的稳定性。
通过将系统的差分方程或微分方程转化为数值算法，然后利用数值方法求解方程，观察系统的响应和稳定性指标来分析系统的稳定性。
五、稳定性分析的实际应用控制系统的稳定性分析在实际工程中具有重要的应用价值。
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
频域分析法
1
1
U0 (s) Ts 1Ui (s) Ts 1
Ui s2 2
对上式取拉氏反变换，得输出时域解为
u0
(t
)
1
UiT T 2
2
t
eT
Ui sin(t arctanT) 1 T 22
2021年4月15日3时14分
当t→∞时，第一项趋于0，这时电路的稳态输出为
u0 (t)
Ui
1 T 22
sin(t
arctan
T2
T1 2 1 T2 2 1
A
K
T1 2 1 T2 2 12arctan T1
arctan T2
2021年4月15日3时14分
4.2 频率特性的几种图示方法
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2 对数幅值频率特性曲线 对数相角频率特性曲线
伯德图
4.1 频率特性 1、频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，其传递函数为G(s)，若输 入量为一正弦信号，则其输出响应的稳态分量也是同 频率的正弦信号，但幅值、相位与输入信号的不同。 保持输入信号的幅值不变，逐次改变输入信号的频率， 则可测得一系列稳态输出的幅值和相位。 （输出信 号稳态时的幅值与相位按照系统传递函数的不同随着 输入正弦信号频率的变化而有规律的变化）。
j p
例：试求
Gs
K
s T1s 1 T2s 1
的幅频特性和相频特性。
G
j
K
j T1 j 1T2 j 1
G j K 1 1 1
j T1 j 1 T2 j 1
K
1
ej
2
1
e jarctanT1
第5章线性系统的频域分析方法
最小相位环节：
特点:某个参数的符号相反
除积分微分外，最小相位环 节有对应的非最小相位环节
非最小相位环节:
非最小相位环节和与之相对 应的最小相位环节的区别在 于其零极点在s平面的位置。
不稳定环节
设有两个系统
1 Ts G1 ( s ) 1 10Ts
和
1 Ts G2 ( s) 1 10Ts
1 典型环节 根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解 成因式，再将因式分类，得到典型环节。 开环系统可表示为若干典型环节的串联形式
设典型环节的频率特性为
幅值相乘， 相角相加
则系统开环频率特性
系统的开环幅频特性和相频特性
系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成 系统开环对数幅频特性
A 1 U o (s) [U i ( s ) Tuo 0 ] 代入 U i ( s ) L[ A sin t ] 2 s 2 Ts 1
U o ( s) Tu 1 A A [ 2 Tuo 0 ] o 0 再由拉氏逆变换 Ts 1 s 2 (Ts 1)(s 2 2 ) Ts 1
(1) 幅相频率特性曲线 (Nyquist图，极坐标图)
将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A(ω) ， 向量与正实轴夹角为 (ω)，则ω变化时，相应向量的矢端 曲线即为幅相曲线。
G( jω)=A(ω)e j(ω) ，G(-jω)=A(ω)e -j(ω)
A(ω)偶, (ω)奇
ω：0→+∞和ω：0→ -∞的幅相曲线关于实轴对称 只绘制ω从零变化至+∞的幅相曲线。 用箭头表示ω增大时幅相曲线变化方向 对于RC网络 G ( j )
j
cos j sin
控制系统中的稳定性分析方法
控制系统中的稳定性分析方法稳定性是控制系统设计和分析中至关重要的概念，它决定了系统的响应是否会随时间或外部干扰的变化而发散或者衰减。
稳定性分析是评估系统的稳定性并识别可能导致系统不稳定的因素的过程。
掌握稳定性分析方法对于设计和优化控制系统至关重要，本文将介绍几种常用的稳定性分析方法。
1. 时间域稳定性分析方法时间域稳定性分析方法是通过研究控制系统的时间响应来评估其稳定性。
其中，最常用的方法是研究系统的阶跃响应。
阶跃响应可以模拟当系统受到单位阶跃输入时的行为。
通过分析阶跃响应中的振荡和衰减情况，可以判断系统的稳定性。
常见的时间域稳定性分析方法包括：- 稳定性判据法：根据控制系统的特征方程的根在左半平面的个数确定系统的稳定性。
例如，系统的特征方程所有根的实部都小于零，则系统是稳定的。
- 跟踪法：通过分析阶跃响应的振荡情况，如超调量和调整时间，来评估系统的稳定性。
例如，当系统的超调量小于一定阈值并且调整时间满足要求时，可以认为系统是稳定的。
2. 频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法是通过研究系统的频率响应来评估其稳定性。
频率响应可以揭示系统对不同频率信号的传递特性。
常用的频域稳定性分析方法包括：- Nyquist稳定性判据：根据系统的开环传输函数在复频域上的轨迹来判定系统的稳定性。
如果系统的开环传输函数的轨迹不绕复平面的-1点（-1+j0）（即Nyquist轨迹）或者经过-compensation的选择，可以判定系统是稳定的。
- 辐角判据：通过分析系统的相位频率特性曲线，判断系统的辐角是否满足稳定性条件。
如果系统的相位频率特性曲线满足一定的条件，例如相位频率特性曲线的最大幅值小于180度，则系统可以被认定为是稳定的。
3. Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是利用李雅普诺夫函数及其性质来评估系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个具有良好性质的函数，可以确定系统状态的稳定性行为。
通过构建李雅普诺夫函数，并根据其形式和性质对系统进行分析，确定系统的稳定条件。
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法有哪些
电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法有哪些在电力电子领域中，电力电子系统的稳定性分析是非常重要的，它关乎到电力系统的可靠性和安全性。
电力电子系统的稳定性分析方法涉及到系统的动态特性和稳态特性分析，下面将介绍几种常用的稳定性分析方法。
一、频域法频域法是一种常见的稳定性分析方法，它通过对系统进行频率响应分析，来评估系统的稳定性。
频域法主要使用频率响应函数和Bode图进行分析。
通过绘制系统的频率响应曲线，可以得到系统的幅频特性和相频特性，从而判断系统的稳定性。
二、时域法时域法是另一种常用的稳定性分析方法，它是通过分析系统的时间响应来评估系统的稳定性。
时域法可以采用传递函数法、状态空间法或者直接采用微分方程法进行分析。
通过求解系统的微分方程，可以得到系统的时间响应曲线，从而判断系统的稳定性。
三、根轨迹法根轨迹法是一种图解法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹图来判断系统的稳定性。
根轨迹图可以直观地展示系统极点的变化规律，通过观察根轨迹的形状和位置，可以评估系统的稳定性和动态特性。
四、Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是通过绘制系统的Nyquist图进行判断的一种方法。
通过绘制系统的频率响应曲线，可以得到Nyquist图。
根据Nyquist图的形状和位置，可以判断系统的稳定性。
对于闭环系统，如果Nyquist图的曲线不经过-1点，则系统是稳定的。
五、Lyapunov稳定性分析法Lyapunov稳定性分析法是一种通过构造Lyapunov函数来判断系统稳定性的方法。
通过构造适当的Lyapunov函数，可以证明系统是否稳定。
这种方法通常适用于非线性系统的稳定性分析。
综上所述，电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法包括频域法、时域法、根轨迹法、Nyquist稳定性判据和Lyapunov稳定性分析法等。
这些方法可以互相补充，通过不同的角度和方法来对电力电子系统的稳定性进行评估，从而确保电力系统的可靠性和安全性。
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RC网络
❖ 其传递函数
G(s) 1 T RC Ts 1
❖ 频率特性
G(s)
s j
1
Tj 1
1
e j tan1(T) G( j)
(T)2 1
该结论适用任何线性系统！
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
G( j) G( j) G( j) A()e j ()
暂态值
i 1
其中：
ct (t) cs (t)
稳态值
D
(s)
Ar s2 2
(s
j)
s j
( j) Ar
2j
( j)
2
j[ ( j ) ]
Are
2
同理： ( j)
j[ ( j ) ]
B 2 Ar e
2
将B、D代入c(t)，则:
( j)
j[t ( j ) ] j[t ( j ) ]
A
ur Asin t Ur (s) s2 2
Uc
(s)
G(s)U
r
(s)
1 Ts
1
s
2
A
2
uc (t)
A T 1 2T
2
et /T
A sin( t arctg T ) 1 2T 2
(t 0)
正弦稳态输出 ucss (t)
A sin( t arc tg T ) 1 2T 2
稳态输出幅值：1
线性定常系统，在正弦信号作用下，输出
的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率 特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。
频率特性表达式为：
(s) |s j ( j) | ( j) | e j( j)
例子 以RC网络为例
❖ 其传递函数
T
duc dt
uc
ur
T RC
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) Ts 1
频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。 ➢控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
输入信号： r(t) Ar sin t
其拉氏变换式：
R(s)
Ar s2 2
n
输出： C(s) R(s)(s)
Ci
B
D
i1 s si s j s j
拉氏反变换得：
n
c(t) Ciesit (De jt Be jt )
对数坐标系
5-2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G( j) K K e j0o A()e j()
幅频特性
L() 20lg A() 20lg K
☺频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应；
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲 线及对数频率特性曲线。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数 幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频 特性曲线求开环传递函数的方法。
A
2T
2
稳态输出相位：arctg T
取：G( j) 1 1 (arc tg T ) jT 1 1 2T 2
G(j)能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输 出的幅值和相角与输入信号频率之间的规律。 G(j)即 为系统的频率特性。
幅频特性： G( j) | 1 1 2T 2
相频特性：G( j) arctgT
(dB)表示。 L() 20lg A() ~ (lg)
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
L()(dB) 0 0.1 1
10
20
( ) 0 o 0.1 1 10
45o 90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标以幅值对数分贝数为刻度，是均匀的；横坐 标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不 均匀的。——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10、5-50，而轴上所有十倍频程 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标 分贝数的变化量。
频域分析法——频率法和 稳定判定
频率特性法是经典控制理论中对系 统进行分析与综合的又一重要方法。
☺与时域分析法和根轨迹法不同； ☺频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系； ☺频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解 析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方 法测出稳定系统或元件的频率特性；
☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）
以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐 标为幅值，单位采用分贝。
例程：sys=tf([1],[1 1 1]); nichols(sys,{0.1,100}); grid
Bode图的优点
幅值的乘积简化为加减； 可以用叠加方法绘制Bode图； 可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围； 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。
:0
A() ~ 为系统的 幅频特性 。
() ~ 为系统的 相频特性 。
RC网络的幅频特性和相频特性
G(s)
s j
1
Tj 1
1
e j tan1(T) G( j)
(T)2 1
G( j) G( j)
0 1/T
1 1/ 2 0
00 45o 90o
RC网络的幅频特性和相频特性
0 1/T
RC G( j)
1 1/ 2 0
网 络
G( j)
00 45o 90o的源自幅相特性
曲
线
2、对数频率特性 ❖ 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括
对数幅频和对数相频两条曲线。
对数幅频特性：
L() 20lg A() ~ (lg)
对数相频特性:
() ~ (lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 log10，纵坐标采用线性分度用分贝数
5. 熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的 定性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段 的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分 析与比较。
5－1 频率特性
一、基本概念
cs (t) 2 Ar (e
2 e
2
(
j)
Ar
cos(t
(
j)
)
2
( j) Ar sin(t ( j))
Ac sin(t )
cs (t) Ac sin(t )
式中：
Ac ( j) Ar
( j)
结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出
稳态分量是和输入同频率的正弦信号。
二、频率特性的定义及求取方法