3.3平面向量的数量积

θ

2121y y x x + 0=•

2121y y x x +

c a • c b •

1

3.3 平面向量的数量积

一、内容提要（5分钟）

1、设θ为非零向量a ，b 的夹角，则a 与b 的数量积公式为=•b a

2、数量积的坐标运算：设),(11y x =，),(22y x =，则=•

3、设非零向量),(11y x =，),(22y x =，则有⇔⊥b a

⇔

4、数量积的运算定律： （1）⋅=⋅

（2）

())(b a b a λλ•=•

（3）()

=•+ + 5、重要性质

设a ，b 为非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ为非零向量a ，e 的夹角，且),(11y x =，),(22y x =，则： （1

= （2）=• θcos （3

）由ϑ=•可得： ○

1当，同向时，此时=θ ，此时有=• ○

2当，反向时，此时=θ ，此时有=•

○

3当⊥时，此时=θ ，此时有=•

特别地，2

a ==

（4

）由θ=⋅

，得2

2

2

22

12

12

121cos y x y x y y x x ++++=

=

θ

（5

）由θ=⋅

≤==θθcos （6

()

)(2

2b a b a b a -+=-=-

○2○4

（-5，3）

3

π

2

π

t t t f 4

341)(3-=

())

,1(1,+∞-∞-

二、基础训练（分钟）

1、（2分钟）设,,是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题成中， 是真命题的有 ○

1()()θ=•-•

2<

○3()()b a c a c b •-•不与垂直 ○

4()

(

)2323b a b a -=-+

2、（3分钟）已知)1,1(),2,0(),3,1(--C B A 设D 为直线BC 上的一点，

DA CA BA u ++=，且BC u ⊥，请用待定系数法求点D 的坐标为

3、（5分钟）（1）已知，为两个非零向量，且()

)57(3-⊥+，

())27(4-⊥-，求与的夹角为=θ

（2）已知)sin ,(cos αα=，()ββsin ,cos =，（πβα<<<0） （Ⅰ）求证：+与-垂直

（Ⅱ）若k +与k -大小相等，求αβ-（其中R k ∈且0≠k ） 三、综合提升（10分钟） 4、已知平面向量(

)

1,3-=

，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=23,21(

（1）求证：⊥

（2）若存有实数k 和t ，使b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2

，且y x ⊥ ，试求函数关系式)(t f k =

（3）根据（2）的结论，确定)(t f k =的单调区间，

四、课外训练（40分钟） 1、《备考指南》3.3节<基础训练>1——8；

2、《备考指南》3.3节<综合提升>9——14中任选4题；

说明：所有<课外训练>均要做在作业本上，不用抄题，标清页码和题号。